Chương 2

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Hàm một biến)

Đạo hàm

Vi phân

Đạo hàm và vi phân cấp cao

Các định lý giá trị trung bình

Quy tắc L’hospital

ĐẠO HÀM

Định nghĩa: Cho hàm 𝑓 xác định trong (𝑎; 𝑏) và

𝑥0 là một số thuộc (𝑎; 𝑏). Nếu tỷ số 𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ

có giới hạn khi 𝑕 tiến về 0, ta nói:

• Hàm 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥0, và

• Giá trị của giới hạn là đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥0, được ký hiệu là 𝑓′ 𝑥0 .

limℎ→0

𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0)

𝑕= 𝑓′(𝑥0)

Chú ý: Đặt 𝑥 = 𝑥0 + 𝑕. Đẳng thức trên trở thành

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0= 𝑓′(𝑥0)

ĐẠO HÀM

Ví dụ: Cho 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥. Tính 𝑓′ 𝑥 .

limℎ→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕= limℎ→0

𝑒𝑥+ℎ − 𝑒𝑥

𝑕

= limℎ→0𝑒𝑥𝑒ℎ − 1

𝑕

Ví dụ: Cho 𝑓 𝑥 = sin 𝑥. Tính 𝑓′ 𝑥 .

limℎ→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕= limℎ→0

sin 𝑥 + 𝑕 − sin 𝑥

𝑕

= limℎ→0

2 cos 𝑥 +𝑕2sin𝑕2

𝑕

ĐẠO HÀM

Ý nghĩa của đạo hàm: Cho hàm 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏).

Hình học: 𝑓′(𝑥0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm có hoành độ là 𝑥0.

Cơ học: Nếu ta xem 𝑓(𝑥) là quãng đường đi được của một chất điểm theo thời gian là 𝑥 thì 𝑓′(𝑥0) là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm 𝑥0.

ĐẠO HÀM

Định lý: Nếu hàm 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥0 thì 𝑓 liên tục tại đó. Chú ý: Chiều ngược lại của định lý không đúng. Chẳng hạn với hàm 𝑓 𝑥 = 𝑥 tại 𝑥0 = 0.

Định lý: Nếu các hàm 𝑢 và 𝑣 có đạo hàm tại 𝑥 thì các hàm 𝑢 + 𝑣, 𝑢𝑣 có đạo hàm tại 𝑥 và

𝑢 + 𝑣 ′ = 𝑢′ + 𝑣′ 𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

Nếu có thêm 𝑣′ 𝑥 ≠ 0 thì hàm 𝑢

𝑣 có đạo hàm

tại 𝑥, và 𝑢

𝑣

′

=𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

ĐẠO HÀM

Định lý: Nếu hàm 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥 và 𝑔 có đạo hàm tại 𝑦 = 𝑓(𝑥) thì 𝑔 ∘ 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥 và

𝑔 ∘ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑦 . 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥)

Ví dụ: Cho 𝑕 𝑥 = sin(2𝑥 + 3). Tính 𝑕′(𝑥).

Định lý: Nếu hàm 𝑓 có đạo hàm khác không tại 𝑥 và 𝑓 có hàm ngược 𝑓−1 thì 𝑓−1 có đạo hàm tại 𝑦 = 𝑓(𝑥), và

𝑓−1 ′ 𝑦 =1

𝑓′(𝑥)=

1

𝑓′(𝑓−1(𝑦))

Ví dụ: Cho 𝑕 𝑦 = arcsin 𝑦. Tính 𝑕′(𝑦).

ĐẠO HÀM

Đường cong tham số: Điểm (𝑥, 𝑦) ≡ (𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)) khi 𝑡 thay đổi sẽ tạo nên một đường cong trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦

𝑥

𝑦

𝑂

. 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)

Đường cong như vậy được gọi là đường cong cho bởi phương trình tham số, tham số ở đây là 𝑡.

𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)

ĐẠO HÀM

Đạo hàm theo tham số: Cho cung tham số có phương trình

Giả sử trong một lân cận (𝛼; 𝛽) của 𝑡 ta có 𝑦 là hàm theo 𝑥, và hơn nữa 𝑦 có đạo hàm theo 𝑥, 𝑥, 𝑦 có đạo hàm theo 𝑡. Ta có

𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)

, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

𝑦′ 𝑡 = 𝑦′ 𝑥 𝑡 . 𝑥′(𝑡) Suy ra

𝑦′ 𝑥(𝑡) =𝑦′(𝑡)

𝑥′(𝑡)

ĐẠO HÀM

Ví dụ: Cho cung tham số có phương trình

Tính 𝑦′ 𝑥 .

𝑥 = 2 cos 𝑡𝑦 = 3 sin 𝑡

, 0 < 𝑡 <𝜋

2

Đáp số: 𝑦′ 𝑥(𝑡) =3 cos 𝑡

−2 sin 𝑡

Ví dụ: Cho cung tham số có phương trình

Tính 𝑦′ 1 .

𝑥 = 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑡2 − 2𝑡

Đáp số: 𝑦′ 1 =-2

ĐẠO HÀM

Khái niệm hàm ẩn: Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là hàm ẩn được xác định bởi phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 nếu

𝐹 𝑥, 𝑓 𝑥 = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓

Ví dụ: Hàm 𝑦 = 1 − 𝑥2 được xác định bởi phương trình

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Nói chung, từ phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 ta khó có thể giải ra được hàm ẩn 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Chẳng hạn từ 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 …

ĐẠO HÀM

Đạo hàm hàm ẩn: Giả sử 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm ẩn được xác định bởi phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 và 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥. Ta tính 𝑦′ = 𝑦′ 𝑥 bằng cách lấy đạo hàm theo 𝑥 hai vế của phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0, sau đó, ta suy ra 𝑦′.

Ví dụ: Cho hàm 𝑦 được xác định bởi phương trình 𝑥2 + 𝑦2 = 25. Tính 𝑦′(𝑥). Viết phương trình tiếp với đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 25 tại 3; 4 .

Giải: 2𝑥 + 2𝑦. 𝑦′ = 0 ⟹ 𝑦′ = −𝑥

𝑦

Tại (3; 4): 𝑥 = 3, 𝑦 = 4 nên 𝑦′(3) = −3

4

Phương trình tiếp tuyến: 3𝑥 + 4𝑦 = 25

ĐẠO HÀM

Ví dụ: Cho hàm 𝑦 được xác định bởi phương trình 𝑥3 + 𝑦3 = 6𝑥𝑦, lá Descartes. a) Tính 𝑦′(𝑥). b) Viết phương trình tiếp với lá Descartes tại 3; 3 .

Giải: a) 3𝑥2 + 3𝑦2𝑦′ = 6𝑦 + 6𝑥𝑦′

hay

𝑦′ =2𝑦−𝑥2

𝑦2−2𝑥

b) Tại (3; 3): 𝑥 = 3, 𝑦 = 3 nên 𝑦′(3) = −1

Phương trình tiếp tuyến: 𝑥 + 𝑦 = 6

𝑥2 + 𝑦2𝑦′ = 2𝑦 + 2𝑥𝑦′

Giải tìm 𝑦′:

ĐẠO HÀM

Ví dụ: Cho hàm 𝑦 được xác định bởi phương trình sin 𝑥 + 𝑦 = 𝑦2 cos 𝑥. Tính 𝑦′(𝑥).

Giải:

1 + 𝑦′ cos 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦𝑦′ cos 𝑥 + 𝑦2(− sin 𝑥)

𝑦′ =𝑦2 sin 𝑥+cos(𝑥+𝑦)

2𝑦 cos 𝑥−cos(𝑥+𝑦) Giải tìm 𝑦′:

Ví dụ: Cho hàm 𝑦 được xác định bởi phương trình 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥. Tính 𝑦′(𝑥).

Ví dụ: Cho hàm 𝑦 được xác định bởi phương trình arctan 𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦. Tính 𝑦′(𝑥).

VI PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0. Khi ấy, ta có

𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 . Δ𝑥 + 0(Δ𝑥)

Biểu thức 𝑓′ 𝑥0 . Δ𝑥 được gọi là vi phân của hàm 𝑓 tại 𝑥0.

Ký hiệu 𝑑𝑓 𝑥0 = 𝑓

′ 𝑥0 . Δ𝑥

Chú ý: Nếu 𝑓 𝑥 = 𝑥 thì 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑥 = 1. Δ𝑥.

𝑑𝑓 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 . 𝑑𝑥

VI PHÂN

Ví dụ: Tính vi phân của hàm 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 tại 𝑥0 = 1.

Ví dụ: Tính vi phân của 𝑓 𝑥 = arctan(1 + 𝑥2)

Ví dụ: Tính vi phân của 𝑓 𝑥 = 2ln(arcsin 𝑥)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

Đạo hàm cấp cao

𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑛−1 (𝑥)′

Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥. Tính 𝑓 𝑛 (𝑥)

𝑢 𝑥 . 𝑣(𝑥) (𝑛) = 𝐶𝑛𝑘 𝑢 𝑘 𝑥 . 𝑣 𝑛−𝑘 (𝑥)

𝑛

𝑘=0

Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑒2𝑥. Tính 𝑓 10 (𝑥)

Vi phân cấp cao: Nếu 𝑥 là biến độc lập thì

𝑑 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑑 𝑑 𝑛−1 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝑛

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥. Tính vi phân cấp 𝑛 của 𝑓 𝑥 .

Ví dụ: Tính vi phân cấp 10 của 𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑒2𝑥

Ví dụ: Tính vi phân cấp 3 của 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 tại 𝜋

4.

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Cực trị: Điểm 𝑥0 được gọi là điểm cực tiểu của 𝑓 nếu có 𝑎; 𝑏 ⊂ 𝐷𝑓 sao cho

𝑓 𝑥0 < 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)

Khi ấy, ta nói 𝑓 đạt cực tiểu tại 𝑥0, 𝑓(𝑥0) là giá trị cực tiểu của 𝑓 tại 𝑥0 và (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm 𝑓.

Tương tự cho khái niệm cực đại

𝑥0

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Định lý Fermat: Nếu 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥0 và đạt cực trị tại đó thì 𝑓′ 𝑥0 = 0.

Định lý Rolle: Nếu 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏], có đạo hàm trong (𝑎; 𝑏) và 𝑓 𝑎 =𝑓(𝑏) thì tồn tại 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) sao cho 𝑓′ 𝑐 = 0. 𝑐 𝑎 𝑏

𝑥0

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Định lý Lagrange: Nếu 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏], có đạo hàm trong (𝑎; 𝑏) thì tồn tại 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) sao cho

𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎.

Định lý Cauchy: Nếu 𝑓 và 𝑔 liên tục trên [𝑎; 𝑏], có đạo hàm trong (𝑎; 𝑏) và 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 trên (𝑎; 𝑏) thì tồn tại 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) sao cho

𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎)=𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐)

𝑐 𝑎 𝑏

QUY TẮC L’HOSPITAL

Định lý L’hospital: Giả sử hai hàm 𝑓, 𝑔 có đạo hàm và 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 trong 𝑎; 𝑏 chứa 𝑥0 (có thể loại trừ 𝑥0) sao cho

lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = lim

𝑥→𝑥0𝑔 𝑥 = 0 (∞)

Khi ấy, ta có

lim𝑥→𝑥0

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐿 ⟹ lim

𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= 𝐿

Chú ý: Định lý cũng đúng khi thay 𝑥0 bởi ∞, và 𝐿 có thể là ∞.