vibracion cap1

Vibraciones Mecnicas Pg. 1-1

1. Introduccin Los movimientos oscilatorios son movimientos que se repiten en el tiempo. Por ejemplo el movimiento que realiza el pndulo de un reloj o el movimiento que realiza un pndulo torsional. Una vibracin es el movimiento peridico de un cuerpo o sistema de cuerpos interconectados que se mueven en torno a una cierta posicin de equilibrio. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Todos los sistemas que vibran estn sujetos en menor o mayor grado a amortiguamiento, lo cual determinar su comportamiento. 1.1 Clasificacin de las vibraciones Vibraciones libres: cuando el movimiento se mantiene debido a fuerzas

restauradoras gravitacionales o elsticas. Ejemplos: movimiento oscilatorio de un pndulo, vibracin de una cuerda de instrumento, vibracin de una varilla elstica, etc.

Vibraciones forzadas: son provocadas por una o varias fuerzas externas peridicas o

intermitentes que se aplican al sistema. Ejemplo: vibraciones causadas en una estructura por un motor con parte giratorias no balanceadas o excntricas.

Ambos tipos de vibracin pueden ser amortiguados o no amortiguados, dependiendo ello del grado de amortiguamiento del sistema. La vibracin no amortiguada puede continuar en forma indefinida pues para su anlisis se ignora la friccin.

El anlisis de ambos tipos de vibracin se limitar, en los captulos de la primera parte, a sistemas de un grado de libertad. Es decir, a sistemas que requieren de una sola coordenada para especificar completamente la posicin del sistema en cualquier instante. 1.2 Movimiento armnico El movimiento peridico ms simple es el movimiento armnico. En la fig. 1.1(a) el punto P se mueve con trayectoria circular y velocidad constante Pv . La proyeccin del movimiento circular del mencionado punto P sobre el eje vertical x mostrado en la fig. 1.1(b), es decir, el movimiento rectilneo de ida vuelta que realiza el punto P, se denomina movimiento armnico simple. La fig. 1.1(c) muestra la grfica de x en funcin del tiempo y la fig. 1(d) muestra el mecanismo denominado yugo escocs, que sirve para la generacin del movimiento armnico simple.

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Fig. 1.1 Generacin del movimiento armnico simple.

(a) (b) (c)

(d)

t = 0

x(t) x(t)

t

0

x = 0

A

Pv

P P

A

-A

x

t0

Pa

A

vP

aPP

0

2 /0

De la fig. 1.1(a) se ve claramente que: senAx =

Como el movimiento de P es circular uniforme: t0 =

tsenAx 0= donde: A : amplitud 0: frecuencia circular Se definen:

Perodo T: tiempo que necesita P para dar una vuelta completa

T02 = 0

2

=T [s] Frecuencia (f) : El nmero de vibraciones por unidad de tiempo.

2

1 0==T

f [s-1 = Hz] Tenemos entonces: tsenAx 0= (1.1) tAx 00 cos =& (1.2) (1.3) tsenAx 0

20 =&&

de (1.3) y (1.1): 20=xx&&

ordenando: (1.4) 020 =+ xx && la cual es una ecuacin diferencial homognea de 2 orden con coeficientes constantes y caracteriza al movimiento armnico simple.



En consecuencia, si al analizar un determinado sistema vemos que la ecuacin diferencial que rige su movimiento tiene la forma de la ecuacin (1.4), entonces podremos afirmar que se trata del movimiento armnico simple. En dicho caso la solucin ms general tendr la forma:

tBtsenAtx 00 cos)( += (1.5) donde A y B son constantes que se determinan a partir de condiciones iniciales particulares del problema. Otra forma usual de escribir la solucin de (1.4) se consigue de la siguiente manera: Si hacemos: 0cos CA = y 0senCB =

222 BAC += 22 BAC += y

AB=0tan A

Barctan0 = en (1.5): tsenCtsenCx 0000 coscos +=

)()( 00 += tsenCtx (1.6) la cual es equivalente a la solucin (1.5). All

Si g

En arm

Pont: 0 se denomina ngulo de fase del movimiento C es la amplitud del movimiento

raficamos x = x(t):

0t = 0

x(t)

t

0

x = 0

C

C

-C

x

t0

= tt

T = 2 / 0

Fig. 1.2 Grfico xt para el movimiento armnico simple.

el grfico de la fig. 1.2 se pueden apreciar los siguientes parmetros del movimiento nico simple:

C : amplitud de la vibracin

T : perodo 0

2

=T [s] (2.4)

f : frecuencia 2

1 0==T

f [s-1] (2.5)

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m

l

Ejemplo 1.1: Anlisis del movimiento de un pndulo simple (el hilo tiene peso despreciable y es inextensible).

Desde una posicin determinada por el ngulo 0 se deja libre al pndulo sin velocidad inicial ( = 0). Determinar la ecuacin del movimiento del pndulo en funcin de as como el periodo de las oscilaciones pequeas.

0&

Solucin:

Fig. 1.3 Pndulo matemtico. Segn la 2da. ley de Newton los sistemas mostrados son equivalentes:

mg

T

mar

e

re

Fig. 1.4

Ahora podemos escribir: F : amsengm = )2( &&&& rrm += &&lm= es decir: 0=+ sengmm &&l

de donde: 0=+ sengl&& (ecuacin diferencial del movimiento)

Como se ve, se trata de una ecuacin diferencial no lineal. Para desplazamientos pequeos ( pequeo) se puede linearizar dicha ecuacin diferencial teniendo en cuenta que:

L+=!5!3

53 sen

Si limitamos 8 entonces se puede aproximar: sen

0=+ l&& g

Si hacemos (donde l/20 g= 0 es la frecuencia propia o circular o natural del sistema)

020 =+ && la cual corresponde a la forma estndar de la ecuacin diferencial del movimiento armnico simple.

El tiempo (perodo) para una oscilacin completa ser: g

T l 220

== Este hecho fue descubierto por Galileo Galilei por medio de experimentacin y entonces expres que el periodo de un tal pndulo no depende de la masa.



Ejemplo 1.2: En un tubo en forma de U de seccin constante se encuentra un lquido de densidad . La longitud del tubo ocupada por el lquido es L. Encontrar la frecuencia circular de las oscilaciones del fluido despreciando la friccin (fluido ideal).

zz

z = 0

Fig. 1.5 Tubo con lquido. Solucin: En la posicin de equilibrio (z = 0) los niveles de las columnas izquierda y derecha coinciden. Si se hace que la columna derecha suba en una distancia z, entonces la columna izquierda desciende en la misma distancia z. En consecuencia, la diferencia de niveles es (2z) y entonces la fuerza restauradora ser

gA (2z). La masa del fluido es: A L La segunda ley de Newton nos predice el comportamiento dinmico del fluido: zLAzAg && = 2

02 =+ zLgz&&

Ecuacin que tiene la forma caracterstica de la ecuacin diferencial del movimiento armnico simple: 020 =+ zz &&

en consecuencia: Lg22

0 = de donde la frecuencia circular natural del fluido ser:

Lg2

0 =



Ar

G

x

y

Fig. 1.6

e

Ejemplo 1.3: El cuerpo mostrado en la figura est formado por dos partes soldadas una con otra (un disco circular y una plancha). La masa total es m, el centro de gravedad G y el momento de inercia con respecto al eje que pasa por G es . El movimiento es tal que la parte circular rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal. Si el cuerpo se aparta de la posicin de equilibrio esttico (posicin de la figura) en un pequeo ngulo

GI

0 y se deja libre con velocidad 00 =& , se pide:

a) La ecuacin diferencial del movimiento para pequeas oscilaciones.

b) La frecuencia circular del sistema.

c) La ecuacin de movimiento para pequeas oscilaciones.

Solucin: a) Como el movimiento es de rodadura pura: rxA =

G

r

y

x

Fig. 1.7

e

La abscisa del centro de gravedad es:

senerxG = :/ dtd cos&&& erxG = :/ dtd (1) seneerxG 2cos &&&&&&& +=

y la ordenada correspondiente:

coseryG = :/ dtd seneyG && = :/ dtd (2) cos2&&&&& eseneyG +=

El diagrama de cuerpo libre y su sistema equivalente segn DAlembert muestran que:

G

Ff

N

x

y

r

GGxm &&

Gym &&

&&GI

mg

Fig. 1.8

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:CM GGG xermysenemIsenegm &&&&&& )cos( ++= (3) Reemplazando (1) y (2) en (3):

+++= )cos()( 2 &&&&& senesenemIsenegm G )cos()cos( 2 seneererm &&&&& ++ Linearizamos la ecuacin para pequeo: sen

1cos Adems los trminos que contienen y son muy pequeos respecto a los dems, por lo cual pueden ser despreciados.

2& &&2

entonces: 0)( 2 = ermIegm G &&&&

es decir: 0)( 2

=++ ermIegm

G

&&

b) La frecuencia circular natural del sistema ser:

20 )( ermIegm

G +=

c) La solucin ser de la forma:

tsentt 00

000 cos)(

&+= como = 00& tt 00 cos)( =

Ecuacin diferencial del movimiento

o tambin : )()( 00 += tsenAt

donde 02

0

020

=

+= &A

tan 00

000 =/==/ oo

&

tt 00 cos)( =

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Nota: otra manera de llegar a la ecuacin diferencial del movimiento del sistema es utilizando el principio de conservacin de la energa (dado que no hay prdidas de energa en el sistema). Entonces:

=+ VT constante

Ar

G

G

e e vG

coser N. de R.

A

CIR

&

h

Fig. 1.9

)cos(21

21 22 ergmIvm GG ++ = constante (1)

pero cos2222 rereh +=

:dtd && senrehh 22 =

(2) && senrehh =

=++ cos21

21 222 egmrgmIhm G && const.

:dtd 0)22(

21 22 =+++ &&&&&&&&& senegmIhhhm G

0)cos2()( 222 =++++ &&&&&&&&& senegmIreremsenrem G 0

0

0

)2( 222 =++++ egmIreremrem G &&&&& pero 02 & )( 2 =++ egmIrem G &&&& ])( 2 =++ egmremG &&

Pontificia Universidad[I0)( 2

=++ remIegm

G

&&

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Ejemplo 1.4:

C

Or

R 0

Fig. 1.10

El disco mostrado (masa m, radio r) puede rodar (sin deslizar) sobre la superficie mostrada. Si el disco es dejado libre desde la posicin determinada por el ngulo 0 con velocidad nula, se pide: a) Determinar la ecuacin diferencial del

movimiento para pequeas oscilaciones alrededor de la posicin de equilibrio.

b) Calcular el periodo de las oscilaciones.

c) Determinar la solucin de la ecuacin diferencial.

Solucin: a) DCL de la rueda en un instante genrico determinado por el ngulo :

Fig. 1.11

O

r

R

Ff

Nmg

Or

R nGma

tGma

GI

DAlembert: (1) RmsenmgFf &&= (2) RmmgN 2cos &= +0M Gf IrF =: (3) cinemtica: rRatG == && r

R &&=

en (3):

=rRmrrFf &&22

1 &&RmFf 21=

en (1): RmsenmgRm &&&& =21

ordenado: 032 =+ sen

Rg&&

linearizado: 032 =+

Rg&& (4)

que viene a ser la ecuacin diferencial de movimiento para pequeas oscilaciones del cilindro.



Otra manera de conseguir la ecuacin diferencial del movimiento del cilindro es a travs del empleo de criterios de energa: =+ VT const.

( =++ cos121

21 22 RmgImv GG ) const.

( ) ( =++ cos12121212

22 RmgrRmrRm && ) const.

=++ cos41

21

2

22222 RmgRmg

rRmrRm && const.

=+ cos43 2 ggR& const.

:dtd 0

432 =+

&&&& sengR

de donde: 032 =+ sen

Rg&&

linearizado: 032 =+

Rg&&

b) La frecuencia circular natural ser: Rg

32

0 =

El periodo de las oscilaciones pequeas: gRT

2322

0

==

c) La solucin de la ecuacin diferencial es: tsenCtCt 0201 cos)( += (5) (6) tCtsenCt 002001 cos)( +=& Condiciones iniciales: 0)0(;)0( 0 == &

0)0( = en (5): 0110 0 =+= CC

0)0( =& en (6): 00 202 == CC en (5): tt 00 cos)( =

tRgt

32cos)( 0 = Ecuacin del movimiento del cilindro



1.3 Aplicacin a la determinacin de momentos de inercia de masas Los conceptos aprendidos hasta ahora se pueden utilizar en la prctica para encontrar de manera experimental el momento de inercia IG de masas de geometra complicada, como por ejemplo elementos de mquinas en general (bielas, cigeales, rotores de bombas o turbinas, partes de mecanismos como eslabones, levas, engranajes, etc.).

Ejemplo 1.5: Se desea medir el momento de inercia IG del elemento de mquina mostrado

en la figura. Para ello se suspende dicho elemento de un punto fijo (punto O en este caso) de tal manera que se mover como pndulo. Apartamos el sistema del equilibrio esttico en un ngulo 0 pequeo y se deja oscilar libremente.

El principio de DAlembert nos permite escribir:

G

W

O

rG rr 00 IM =

es decir: &&0)( Isenrgm G = 00 =+ senrgmI G&&

Si pequeo: 00 =+ GrgmI &&

00

=+ I

rgm G&&

que es la ecuacin diferencial linearizada del movimiento. Fig. 1.12 Elemento del cual se quiere medir IG.

Dicha ecuacin diferencial es de la forma: donde 02 =+ O&&0

0 Irgm G=

Su solucin ser de la forma: tctsenc 0201 cos += Determinamos c1 y c2 a partir de condiciones iniciales:

para : 0=t 0 = 20 0 c+= 02 =c adems: tsenctc 020001 cos =&para : 0=t 0 =& 20010 cc = 01 =c

en consecuencia, la ecuacin de movimiento del sistema ser: tI

rgm G0

0 cos =

El periodo de la funcin coseno es 2 radianes, entonces, el tiempo para una oscilacin completa (ida y vuelta), es decir, el periodo T ser:

0

2

=T 0

2

Irgm

TG

=



de donde: GrgmTI

2

0 2

=

y segn Steiner: 20 GG rmII =

es decir: 22

2 GGGrmrgmTI

=

= GGG rgTrmI 2

2

4 Ejemplo 1.6:

A continuacin se muestra otra manera de medir el momento de inercia de un cuerpo sin necesidad de conocer su masa. Se conecta el cuerpo en su centro de gravedad con la varilla. La varilla tiene constante de rigidez torsional kt (momento torsor necesario para torcer la varilla en un ngulo unitario). Se hace girar la masa describiendo un ngulo pequeo y se suelta sin velocidad inicial, originndose, como ya lo podemos imaginar, un movimiento oscilatorio alrededor de la posicin de equilibrio esttico del sistema (varilla sin torsionar).

kt

G

l

Aplicando el principio de DAlembert para una posicin genrica del sistema determinada por la coordenada

&&Gt Ik =es decir: 0=+

G

t

Ik&&

ecuacin diferencial del movimiento cuya forma es:

donde 020 =+ &&G

t

Ik=20

Su solucin tiene la forma: tctc 0201 cossen += F . 1.13 Pndulo torsional.

si Ad

si

La

Sinu

de

Poig t = 0: 0 = )1()0( 210 cc += 02 =c

0

ems: 002001 cos senctc =& t = 0: 0=& )0(0 01 = c 01 =c

ecuacin de movimiento del pndulo ser: tIk

G

tcos0 =

endo el periodo de la funcin coseno 2 radianes, el periodo T de una oscilacin de estro pndulo ser:

0

2

=T t

G

kIT 2=

donde: tG kTI 2

2

4 =

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Si se desconoce la constante de rigidez torsional kt, se la puede calcular fcilmente a partir de sus dimensiones y el mdulo de cizallamiento G de la varilla:

ldGkt

4

32=

Otra forma de averiguar el valor de kt : se monta una inercia conocida, se mide el periodo de la oscilacin correspondiente y luego se despeja el valor de kt. Ejemplo 1.7: Se quiere medir experimentalmente el momento de inercia del cuerpo

mostrado con respecto al eje g-g que pasa por su centro de gravedad G.

Sean:

Go

o

g

ll

m : masa de la pieza mp : masa de la plataforma IG : momento de inercia de la pieza IP : momento de inercia plataforma

con respecto a su propio CG lo : distancia entre los ejes o-o y g-g l : distancia entre el ejes o-o y el

centro de gravedad de la plataforma

Line

esta e

como

PontifOg T : periodo de oscilacin de la plataforma con la pieza

TP : periodo de la plataforma sola Fig. 1.14 Cuerpo motado sobre la plataforma

basculante.

G

mp gmg

o

Gp

Fig. 1.15

De acuerdo al principio de DAlembert para un instante de movimiento determinado por la coordenada tendremos:

&&ll Opo Isengmsengm =

donde IO es el momento de inercia del conjunto (cuerpo + plataforma) con respecto al eje O.

Ordenando: 0=++ senI

gmgm

O

po ll&&

arizando para pequeo: 0=++ O

po

Igmgm ll&&

cuacin es de la forma donde 020 =+ &&O

po

Igmgm ll +=20

el periodo est dado por 0

2

=T 22

20

4T =

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Igualando con el trmino proporcionado por la ecuacin diferencial:

)(4 2

2

ll gmgmTI poO += Para evaluar el momento de inercia del conjunto con respecto al eje que pasa por O:

22 ll mImII POGO +++=

Ahora podemos escribir: )(4 2

222 llll gmgmTmImI poPOG +=+++

despejando y ordenando: PpooG ITgmTgmI

+

= llll 2

2

2

2

44 (1) Es ev dente que esta expresin tambin ser valida en el caso de que la plataforma oscile sin c ga. Entonces, haciendo m = 0 e IG = 0, obtenemos:

dond

reem

de do

Ejem

Fig

Pontifiar

= ll 2

2

4 P

pPTgmI (2)

e TP es el periodo de oscilacin de la plataforma vaca.

plazando (2) en (1):

+

= llllll 2

2

2

2

2

2

444 P

ppooGTgmTgmTgmI

nde finalmente: )(44

2222

2

Pp

ooG TTLgm

LTgLmI +

=

plo 1.8: Pndulo trifilar. Tres cuerdas de igual longitud sostienen una plataforma de peso ligero e igualmente espaciadas alrededor del centro de ella. Dicha plataforma puede ser triangular o circular.

G

r

rr

l

Sean: m : masa de la pieza mp : masa de la plataforma IG : momento de inercia de la pieza Ip : momento de inercia plataforma r : radio de la plataforma : ngulo de la plataforma l : longitud de la cuerda : ngulo de la cuerda z : eje vertical que pasa por G

. 1.16 Elemento montado en un pndulo trifilar.

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Se coloca la pieza de la cual se quiere calcular IG de tal manera que su centro de gravedad coincida con el de la plataforma. Se hace girar la plataforma en un pequeo ngulo, se suelta y se deja girar libremente como si fuera un pndulo torsional y entonces se mide el periodo de las oscilaciones. A continuacin deduciremos una expresin para T. Del principio de DAlembert: = rr GG IM ecuacin vectorial que en la direccin vertical se puede expresar como:

&&)()( pGp IIrsengmm +=+

linearizando para pequeo: &&)()( pGp IIrgmm +=+

y como lr= 0

)()( 2 =+

++ pG

p

IIgrmm

l&&

que es la ecuacin diferencial del movimiento pendular de la plataforma y que tiene la forma:

donde 020 =+ && )()( 22

0pG

p

IIgrmm

++= l

Ya sabemos que la solucin de esta ecuacin diferencial es: t00 cos = El periodo T de una oscilacin est dado por T02 =

es decir: TII

grmm

pG

p

)()(

22

++= l

de donde: lgrmmTII ppG

22 )(2

+

=+ (1) Es evidente que esta expresin tambin ser valida en el caso de que la plataforma oscile sin carga. Entonces, haciendo m = 0 e IG = 0, obtenemos:

lgrmT

I ppp22

2

= (2)

donde Tp es el periodo de oscilacin de la plataforma vaca.

Reemplazando (2) en (1): llgrmTgrmmTI pppG

2222

2)(

2

+

=

de donde finalmente: [ ]2222 )(4 pppG TmTmmgrI += l


Ejemplo 1.4:1.3 Aplicacin a la determinacin de momentos de inercia de

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