Document

Mainski fakultet Univerziteta u Niu
Prva godina akademskih studija
Inenjerska grafika
geometrijskih oblika(1. predavanje, 1. tema)
Predava:
Dr Predrag Rajkovi, red. prof.
Februar 19, 2013 1. predavanje, 1. tema

Inenjerska grafika geometrijskih oblika
Inenjerska grafika je nauna disciplinakoja se bavi:
definisanjem i analizom geometrijskihobjekata
i njihovim transformacijama u prostoru.
Moderna inenjerska grafika poinje sarazvojem kompjuterske tehnologije od1960. godine.

Inenjerska grafika je tesno povezana sa sledeim matematikim disciplinama:
Analitika, projektivna i kompjuterskageometrija;
teorija skupova, topologija i numerikamatematika.
Kombinacija matematikih disciplina,zbog esto vrlo sloenih modela, zahteva imoan kompjuter.

Kompjuterska geometrija
Kompjuterska geometrija je glavni sastavni deo:
kompjuterski podranog dizajna i proizvodnje
CAD/CAM sistema
(Computer Aided Design and
Computer Aided Manufacturing).
Kompjuterske grafike, umetnosti, animacija,
simulacija.
Kompjuterske vizije i robotika.

Kompjuterska geometrija
Kompjuterske modele moemo kreirati na osnovu:
objekata koji zaista postoje ili
prema naoj zamisli.
lake je i praktinije analizirati neki model
nego eksperimentisati sa realnim objektom.
Pred autora se postavljaju stroiji zahtevi i oekuje vee iskustvo i mo imaginacije.

PROJEKTIVNI SOFTVER
Postoje brojni projektivni (grafiki) softveri:
AUTOCAD, RHINOCEROS, SOLIDWORKS, PROENGINEER, PRODESK TOP, ...
ovladavanjem jednim od ponuenih softvera,
stvaraju se dobri preduslovi za brzo prilagoavanjebilo kojem od preostalih.

Pojektivni softver RHINOCEROS
2000. verzija 1.1;
2003. verzija 3.0;
2006. Verzija 4.0.
2010. Verzija 5.0.
prua mogunost crtanja projekcija
objekata u Dekartovom koordinatnom
sistemu.

Geometrija
Geometrija doslovno znai merenje povrine zemljita.
Sam naziv ukazuje da se do odreenih zakljuaka dolazilo merenjem to veeg broja slinih sluajeva, dakle induktivno.
Induktivni metod je postupak koji od pojedinanog vodi ka optem.
Blizak je naem iskustvu i jednostavan.
Nedostatak metoda je u tome to esto nismo u mogunosti da proverimo sve sluajeve, pa zakljuak moe biti pogrean.

Geometrija
Revolucionarni preokret u razvoju nauke predstavlja uvoenje deduktivnog metoda.
Sutina deduktivnog metoda je u izboru osnovnih pojmova koji se smatraju opte poznatim i tvrenja koja se smatraju tanim (aksiome i postulati). Odreenim metodama zakljuivanja dokazuju se sva ostala tvrenja (teoreme).
Zvanino se vezuje za staru Grku i dela Talesa (7. vek p.n.e), Pitagore (6 vek p.n.e.) i naroito Euklida (3. vek p.n.e)

Euklidova geometrija
Geometrija je deduktivno zasnovana i izloena u 13 knjiga pod zajedni kim nazivom Elementi grkog matematiara Euklida(325.p.n.e.-265.p.n.e).
Prvi put izloena kao potpun neprotivrean sistem u knjizi Davida Hilberta Osnovi geometrije, 1899.
U izlaganju geometrije
koristimo osnovne pojmove
matematike logike
i teorije skupova.

Geometrijski oblici
Geometrijski oblik (figura) je proizvoljanneprazan podskup prostora.
Dve figure su podudarne ako imaju sve elemente jednake.
Taka je geometrijski oblik bez dimenzija.
Modeli taaka su vrh igle, temena stola.
Take oznaavamo velikim slovima latinice
A, B, C,... .

Prava
Prava je jednodimenzionalni geometrijski objekt odreen sa 2 take.
Primeri prave su: igla, ivica stola, sunev zrak na kratkom rastojanju, ...
Prave oznaavamo malim slovima latinice
a,b,c, ..., p,q,r,s, ...

Ravan
Ravan je je dvodimenzionalni osnovni geometrijski objekt odreen sa 3 nekolinearne take .
Modeli ravni su pod, zid, tabla, ...
Ravni oznaavamo grkim slovima
, , , ... .

Izvedeni geometrijski pojmovi
Kolinearnost. Tri ili vie taaka su kolinearne ako postoji prava koja ih sadri.
U protivnom su nekolinearne.
Komplanarnost. etiri ili vie taaka su komplanarne ako postoji ravan koja ih sadri.
U protivnom su nekomplanarne.

Izvedeni geometrijski pojmovi
PRESEK DVA OBJEKTA
Dve prave se seku ako imaju jednu jedinstvenu zajedniku taku.
Prava i ravan se seku ako imaju jednu jedinstvenu zajedniku taku.
Dve ravni se seku ako postoji bar jedna zajednika taka i bar jedna koja nije zajednika

Aksiome pripadnosti (incidencije)
I1 Za svake dve razne take postoji tano jedna prava koja ih sadri.
I2 Svaka prava sadri bar 2 take.
I3 Za svake 3 take postoji bar jedna ravan koja ih sadri.
I4 Za svake 3 nekolinearne take postoji tano jedna ravan koja ih sadri.

Aksiome pripadnosti (incidencije)
I5 Svaka ravan sadri bar 3 take.
I6 Ako 2 razne take jedne prave pripadaju nekoj ravni tada i sve take te prave pripadaju toj ravni.
I7 Ako dve ravni imaju jednu zajedniku taku tada one imaju bar jo jednu zajedniku taku.
I8 Postoje 4 nekomplanarne take.
Definicija. Prave su mimoilazne ako ne postojiravan koja ih sadri.

Aksiome rasporeda
1. Ako vai A-B-C, tada su A, B i C 3 razne
kolinearne take.
2. Ako je A-B-C tada je i C-B-A.
3. Ako je A-B-C tada nije i A-C-B.
4. Za svake 2 razliite take A i B postoji taka C tako da je A-B-C.
5. Ako su A, B i C tri razne kolinearne take
tada je jedna od njih izme]u drugih dveju.

Du
Du AB je skup svih taaka X za koje vai A-X-B.
Take A i B su sa raznih strana take S ako vai A-S-B.
Poluprava Ox je deo prave x koje ine sve take sa jedne strane take O.
Ugaona linija je skup svih taaka dveju polupravih sa zajednikim poetkom.
Ugao je deo ravni ravni omeen ugaonom linijom.
Trougao ABC je deo ravni omeen sa tri nekolinearne take i njima odreenim duima.

Aksioma neprekidnosti (Dedekind)
Ako je otvorena du razloena na uniju dva
disjunktna skupa taaka tako da nijedna taka
jednog nije izmeu dveju taaka drugog skupa,
tada postoji jedinstvena taka date dui koja
pripada jednom od njih i nalazi se izmeu svih
taaka ovih skupova.

Euklidova geometrija
Aksioma paralelnosti Euklida
Ako taka ne pripada pravoj tada u ravni njima odreenoj postoji tano jedna prava koja sadri datu taku i nema zajednikih taaka sa datom pravom
Geometrija zasnovana na aksiomama pripadnosti, rasporeda, podudarnosti, neprekidnosti i paralelnosti je Euklidova geometrija.

Hiperbolina geometrija (Lobaevski)
Aksioma paralelnosti Lobaevskog
Ako taka ne pripada pravoj tada u ravni njima odreenoj postoje bar dve prave koje sadre datu taku i nemaju zajednikih taaka sa datom pravom.
Geometrija zasnovana na aksiomama pripadnosti, rasporeda, podudarnosti , neprekidnosti i paralelnosti Lobaevskog je hiperbolina geometrija.
Nikolaj Lobaevski (1793-1856)

Hiperbolina geometrija
Dat je granini krug.
Hiperboline take su unutranje take graninog kruga.
Hiperboline linije su kruni lukovi unutar graninog
kruga koji su delovi delovi krugova ortogonalnih na
granini krug ukljuujui njegove prenike.
Aksioma paralelnosti hiperboline geometrije: Za datu
liniju i taku van nje postoje bar 2 linije koje sadre datu
taku i paralelne su datoj liniji.

Sferna geometrija
Izuzetnio vana za navigacijuMenelaus (oko 100. g.ne.)Ako za prave proglasimo velike krugove, tada za svake dve razne take postoji vie pravihkoje ih sadre.Zbir uglova u trouglu moe biti vei od 2 prava ugla.

Documents

Document