Xətti cəbr və riyazi analiz

1. Xətti asılılığın tərifinə görə 0321 cba bərabərliyi

0321 olduqda ödənərsə onda ba , və c vektorları bazis əmələ

gətirir.

Verilənləri nəzərə alsaq

040

0273

0352

321

321

321

tənliklər sistemini alarıq.

Ücüncü tənlikdən 31 4 əvəzləməsini digər iki tənlikdə nəzərə alsaq

02712

0358

323

323

olar. Buradan

02

0

0147

055

32

32

32

32

tərəf-tərəfə çıxcaq 03 alarıq. Deməli 03 olduğunu digər tənliklərdə

nəzərə alsaq 0321 alarıq.

Deməli bu vektorlar bazis əmələ gətirir.

d vektorun ba , və c vektorları üzrə xətti kombinasiyasını tapmaq üçün

dcba 321 tənliyini həll etməliyik.

Verilənləri nəzərə alsaq

340

12273

4352

321

321

321

alarıq.

Axırıncı tənliyi olduğu kimi saxlayıb -2 –yə vurub 1-ci tənliklə, -3-ə vurub 2-ci

tənliklə toplayaq.

32

2

340

21147

1055

340

32

32

321

32

32

321

İkinci və ücüncü tənlikləri tərəf-tərəf cıxsaq 13 alarıq.

Bu qiyməti 2-ci tənlikdə nəzərə alsaq 121 22 olar. 13

olduğunu 34 31 tənliyində nəzərə alsaq 11 alarıq.

Deməli yeni koordinatlar 1;1;1 d olar. Yəni cbad

xətti kombinasiya alınar.

2. 00 6060,5,3,2 cbabcba olarsa cbad -nin

uzunluğunu tapın.

Bilirik ki, ddd , bərabərliyi doğrudur. Burdan

cccbbbaaa ;,;,;22

alına bilər.

222;2;2;2

;;2;2;;2;

;

ccbCoscbcaCoscabbaCosbaa

cccbcabbbaaa

cbacbad

19251510964252

1532

2

15229

2

13224

Deməli, 19d olar.

3. ? ba

Bilirik, ki aaa ; bərabərliyi doğrudur. Həmçinin,

30;2;22 bbaabababa

250;2

900;2650

30529;22

ba

ba

ba

125; ba alarıq.

Onda

5291252121;2

;

22bbaa

bababa

20400250650 alarıq.

20 ba

4. a və b vektorlarının bazis əmələ gətirdiyini yoxlamaq üçün 021 ba

bərabərliyindən

02

022

21

21

sistemini alarıq.

Tərəf-tərəfə toplasaq 01 alarıq. Yerinə yazsaq 01 olar.

Deməli, tərifə görə a və b vektorları bazis əmələ gətirir.

P vektorunun koordinatlarını tapaq.

1;44;21;24;44;21;22;22 P

Xətti ayrılış üçün pba 21 şərti ödənməlidir.

12

422

21

21

sistemində tənlikləri tərəf-tərəfə toplasaq 51

alarıq. Digər tənlikdə yerinə yazsaq 3624522 111 alarıq.

Deməli, bap 53 alınar.

5. nR - də xətti asılı olan vektorlar haqqında teorem və isbatı.

Teorem 1. м

ааа

,...,,21

vektorlarının xətti asılı olması üçün zəruri və kafi şərt bu

vektorlardan heç olmazsa birinin yerdə qalanlarının xətti kombinasiyası kimi göstərilməsidir.

Zərurilik. Fərz edək ki, м

ааа

,...,,21

vektorları xətti asılıdır. Yəni, (2) bərabərliyi

м ,...,,

21 ədədlərinin biri (məsələn, m) sıfırdan fərqli olduqda doğrudur. Onda (2)

bərabərliyinin hər tərəfini m–ə bölsək м

а

vektorunu digərləri ilə aşağıdakı kimi ifadə edə bilərik:

1

1

2

2

1

1 ...

м

м

м

мм

маааа

. (4)

Burada, м

и

и

1,1 ми kimi işarə etsək, onda (4) bərabərliyini

112211...

mmмаааа

(5)

şəklində yaza bilərik. Bu isə o deməkdir ki, м

а

vektoru 121

,...,,м

ааа

vektorlarının xətti

kombinasiyası kimi göstərilə bilir.

Kafilik. Fərz edək ki, м

ааа

,...,,21

vektorlarından biri (məsələn, м

а

) yerdə qalanlarının

xətti kombinasiyasıdır. Yəni, (5) bərabərliyi doğrudur. Onda (5) bərabərliyini

0а1)(аα...аαаα м1m1m2211

(6)

kimi yazsaq, 01м

olduğundan tərifə əsasən м

ааа

,...,,21

vektorlarının xətti asılı

olduğunu alırıq.

Qeyd edək ki, əgər м

ааа

,...,,21

vektorlarının heç olmazsa biri sıfır vektordursa, onda bu

vektorlar xətti asılıdır. Doğrudan da fərz etsək ki, 0ам

. Onda ,1

м ,0...

132

м

götürsək, (2) bərabərliyi ödənir.

Yoxlamaq olar ki, м

ааа

,...,,21

vektorlarının bir neçəsi xətti asılıdırsa, onda bu vektorların

hamısı xətti asılıdır.

6.

132

531

412

A,

211

232

143

B,

112

211

324

Cmatrisləri

üzərində qruplaşdırma qanununun ))()(( BCACAB doğruıuğunu yoxlayın.

101811

3814

818

211

232

143

132

531

412

AB

101811

3814

818

))(( CAB

73046

233942

142515

112

211

324

331

259

2910

112

211

324

211

232

143

BC

73046

233942

142515

331

259

2910

132

531

412

))(( BCA

))()(( BCACAB -nun doğruluğunu yoxladıq

7. Determinant anlayışı. Minor və cəbri tamamlayıcı. Determinantın əsas

xassələri. n tərtibli Anxn kvadrat matrisinin aij elementinin yerləşdiyi i-ci sətri və j-ci sütunu şərti

olaraq sildikdən sonra qalan elementlərin əmələ gətirdiyi n –1 tərtibli kvadrat matrisin

determinantını Mij ilə işarə edək. Mij –yə aij elementinin minoru deyilir. Bu halda

н

ъ

нн

н

ъъ

ъМаМаМаМа

1

11

1

1212111111

11...1 (7)

cəminə n tərtibli Anxn kvadrat matrisinin determinantı deyilir.

Xassə 1. Determinantın bütün sətirlərinin onun uyğun nömrəli sütunları ilə yerini

dəyişdikdə determinantın qiyməti dəyişməz. Yəni,

нн2н1н

н22212

н12111

ннн2н1

2н2221

1н1211

...аа а

...............

...аа а

...аа а

...аа а

...............

...аа а

...аа а

. (1)

sonrakı xassələrini ancaq sətirləri və ya ancaq sütunları üçün söyləmək kifayətdir.

Xassə 2. Hər hansı determinantın ixtiyari iki sətrinin (sütununun) yerini dəyişsək, onda

determinantın yalnız işarəsi dəyişər. Yəni, məsələn

...аа а

...............

...аа а

...аа а

...аа а

...............

...аа а

...аа а

н2н1

1н1211

2н2221

ннн2н1

2н2221

1н1211

. (2)

Xassə 3. İki sətri və ya iki sütunu eyni olan determinant sıfra bərabərdir.

Xassə 4. Determinantın hər hansı bir sətir (sütun) elementlərinin ortaq vurğu olarsa, həmin

vurğu determinantın işarəsi xaricinə çıxarmaq olar. Yəni

ннн2н1

2н2221

1н1211

ннн2н1

2н2221

1н1211

а ...а а

................

а ...а а

а ...а а

к

а ...а а

.....................

а ...а а

...каа кка

. (4)

Xassə 4 onu göstərir ki, нхн

детАк hasilini tapmaq üçün detAnxn –nin hər hansı bir sətirinin

(sütununun) elementlərini həmin k ədədinə vurmaq lazımdır.

Xassə 5. Determinantın iki sətrinin (sütunun) elementləri mütənasibdirlərsə, həmin

determinant sıfra bərabərdir.

Xassə 6. Determinantın hər hansı sətrinin (sütunun) bütün elementləri sıfırdırsa, onda

determinant sıfra bərabərdir.

Xassə 7. Determinantın hər hansı bir sətrinin (sütununun) bütün elementləri iki toplananın

cəmi şəklindədirsə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabərdir: 1-ci determinantda

həmin sətir (sütun) elementi olaraq 1-ci toplanan, 2-ci determinantda isə həmin sətir (sütun)

elementləri olaraq 2-ci toplanan götürülür. Yəni, məsələn 1-ci sətir elementləri üçün

21

ннн2н1

2н2221

1н1211

ннн2н1

2н2221

1н1211

ннн2н1

2н2221

1н1н12121111

...аа а

................

...аa a

...бб б

...аа а

................

...аа а

...аа а

..а..........а а

..............................................

....а..........а а

б...аbа ба

ΔΔΔ

(5)

olur.

Xassə 8. Determinantın hər hansı sətrinin (sütununun) bütün elementlərini bir ədədə vurub digər

bir sətrinin (sütununun) uyğun elementlərinin üzərinə əlavə etsək determinantın qiyməti

dəyişməz. Yəni,məsələn,

ннн2н1

2н2221

2н1н22122111

ннн2н1

2н2221

1н1211

а ... а а

.............................................

а ... а а

ка...ака какаа

...аа а

.................

...аа а

...аа а

. (6)

Xassə 9. Determinantın hər hansı sətir (sütun) elementlərinin, digər sətirin (sütunun) uyğun

elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına hasillərinin cəmi sıfra bərabərdir.

Yəni, məsələn

0Аа...АаАа 2н1н22122111 . (7)

8.

233

120

031

A olarsa, 232 xxxf çoxhədlisinə uyğun ?Af

3120

133

300

200

020

002

699

360

093

1219

413

391

200

020

002

699

360

093

430669603

220340300

030063001

100

010

001

2

233

120

031

3

233

120

031

233

120

031

232 EAAAf

9.

01

32A olarsa, 2324 23 xxxxf çoxhədlisinə uyğun

EAAAAf 2324 23 şəkildə yaza bilərik.

3235

105102

20

02

03

96

64

1214

2428

8480

20

02

03

96

64

1214

0634

0216144

20

02

03

96

32

672

01

32

32

6344

10

012

01

323

01

32

01

322

01

32

01

32

01

324Af

10. Əgər determinantın hər hansı sütunu iki toplananın cəmi şəklindədirsə onu iki

determinantın cəmi kimi yaza bilərik.

11

11

11

21

21

21

12

12

12

121

121

121

12

12

12

11

11

11

2

2

2

2

2

2

22

22

22

2

2

2

22

22

22

22

22

22

c

b

a

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

cccc

bbbb

aaaa

ccc

bbb

aaa

Əgər determinantın iki sütunu eyni və ya mütənasibdirsə, o determinant sıfra

bərabərdir. Onda I toplanan və axırıncı toplanan sıfra bərabər olar. Digər

determinantları da ayırsaq

alarıq.

Buradan

caacbcbcabab

baaccbcabcab

2

2 222222

alarıq.

1

1

1

20

1

1

1

1

1

1

0

21

21

21

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cc

bb

aa

cc

bb

aa

cc

bb

aa

cc

bb

aa

cc

bb

aa

cc

bb

aa

ccc

bbb

aaa

11. Determinantın uyğun xassəsini yazın və həmin xassədən istifadə edərək

mpk

fed

cba

x

mpkxpxk

fedxexd

cbaxbxa21

Determinantın hər hansı sətir və sütunu iki toplananın cəmi şəklindədirsə, onda

determinant elə iki determinantın cəminə bərabərdir ki, birinci determinantda

birinci toplanan, ikinci determinantda isə ikinci toplanan olmaqla qalan elementləri

isə verilmiş determinantda olduğu kimi saxlanılır.

Iki sətri və ya sütunu eyni olan determinant .... bərabərdir.

Determinantın hər hansı bir sətrinin və ya sütununun bütün elementlərinin ortaq

vuruğunu determinant işarəsi xaricinə çıxarmaq olar. Hər hansı determinantın iki

sətrinin yerini dəyişsək, onda determinant yalnız işarəsini dəyişər. Determinantın

mütənasib olan sətirləri və ya sütunları varsa, bu determinant sıfıra bərabərdir.

Yuxarıda qeyd etdiyimiz xassələrə əsasən verilmiş determinantı hesablayaq.

mpk

fed

cba

x

mkp

fde

cab

x

mpk

fed

cba

mppx

feex

cbbx

mkxpx

fdxex

caxbx

mpk

fed

cba

mkxk

fdxd

caxa

mpkxpx

fedxex

cbaxbx

mpkxk

fedxd

cbaxa

mpkxpxk

fedxexd

cbaxbxa

22 1

12 .

1123

2112

1121

A

Bilirik ki, matrisin sıfırdan fərqli ən yüksək minorunun tərtibinə ranq deyilir. Ranqı

tapmaq üçün haşiyələyən minorlar üsulundan istifadə edək.

054112

212

M 08423641

123

112

121

3

M

olduğuna görə bu matrisin ranqı 3Ar olar. Onda

0

123

112

121

3

M olduğundan həm də bazis minoru olacaqdır.

13. Matrisin ranqı və onun hesablanması

mxn ölçülü Amxn düzbucaqlı matrisində нмминк , şərtini ödəyən ixtiyari k sayda sətir və

k sayda sütunların kəsişməsində duran elementlərdən düzəldilmiş k tərtibli Akxk kvadrat matrisin

determinantına k tərtibli minor deyilir və Mk ilə işarə olunur.

ккк2к1

2к2221

1к1211

к

...аа а

................

...аа а

...аа а

М kimidir.

Matrislərin ranqı üçün aşağıdakı münasibətlərin doğruluğunu yoxlamaq olar.

1) БрАрБАр ; 2) БрАрБАр ;

3) БрАр минАБр , ; 4) АрААр Т ;

5) АрАБр əgər 0детБ olarsa;

6) нБрАрАБр , burada n, A matrisinin sütunlarının sayını və ya B matrisinin

sətirləri sayını göstərir.

ranqın tapılması üsullar haşiyələyən minorlar və elementar çevirmələr üsuludur.

1) Haşiyələyən minorlar üsulu.

Amxn matrisinin ranqını tapmaq üçün hesablamanı, onun aşağı tərtibli minorlarından

başlayıb yuxarı tərtibli minorlara keçmək və bu prosesdə sıfırdan fərqli r tərtibli Mr minoruna

rast gəldikdən sonra, Mr minorunu haşiyələyən (öz daxilində saxlayan) (r+1) – tərtibli minorları

hesablamaq lazımdır. Əgər Mr –i 0р

М haşiyələyən (r+1) – tərtibli minorların hamısı

sıfırdırsa, onda Amxn matrisinin ranqı r -dir. Yəni, рАрмхн

. Əgər (r+1) – tərtibli haşiyələyən

minorlardan biri, məsələn, 1р

М sıfırdan fərqli olarsa, onda Amxn matrisinin ranqı r-dən böyük

olmalıdır. Bu prosesi 1р

М -i haşiyələyən (r+2) – tərtibli minorları hesablamaqla davam etdirsək

və 1р

М -i 01

рМ haşiyələyən bütün (r+2) – tərtibli minorlar sıfıra bərabərdirsə onda Amxn

matrisinin ranqı r+1-ə bərabərdir və s.

2) Elementar çevirmələr üsulu.

İsbatsız olaraq aşağıdakı teoremi qeyd edək.

Teorem. Matrisin üzərində aparılan elementar çevirmələr onun ranqını dəyişmir.

Qeyd edək ki, ranqları bərabər olan matrislərə ekvivalent matrislər deyilir və

АБрАр ~ Б kimi işarə olunur. Deməli, elementar çevirmələrdən sonra alınan matris,

verilmiş matrisə bərabər deyildir.

Teorem (bazis minorlar haqqında teorem). Matrisin bazis sətirləri (bazis sütunları) xətti

asılı deyildir. Matrisin ixtiyari sətri (ixtiyari sütunu) onun bazis sətirlərinin (bazis sütunlarının)

xətti kombinasiyası şəklində göstərilə bilər.

14.

211

121

111

A matrisinin tərsini elementar çevirmələrlə tapaq.

Bilirik ki, EAQ / kimi bir qoşma matrisi düzəldilir. Onu elementar

çevirmələrlə AE / şəklinə gətirilir.

100

010

001

211

121

111

/ EA ~

111100

011010

001111

~

~

111100

011010

002101

~

111

111

113

100

010

001

Qeyd edək ki, birinci sətri ikinci ilə toplayıb ikinci sütunda yazdıq, birinci ilə

üçüncü sətri toplayıb üçüncü sətirdə yazdıq. Daha sonra birinci sətirlə ikinci sətri

toplayıb birinci sətirdə yazdıq. Sonra birinci sətirlə üçüncü sətri toplayıb birinci

sətirdə yazdıq. Nəticədə A matrisinin tərsini elementar çevirmələr yoli ilə tapmış

olduq.

15.

023

310

121

A matris üçün 1A -i tapaq.

Bilirik ki, A matrisinin tərsi

332313

322212

312111

1

det

1

AAA

AAA

AAA

AA düsturu ilə hesablanır.

Verilmiş A matrisinin tərs matrisini tapaq.

6230102

311

11

11

A , 99003

301

21

12

A

3132023

101

31

13

A , 2210202

121

12

21

A

3310103

111

22

22

A , 46223

211

32

23

A

716113231

121

13

31

A , 110

211

33

33

A

Deməli

143

339

726

15

11A

16 .

412

131

210

Aolduqda

2A -ni tapaq.

Bilirik ki, 2A -ni tapmaq üçün -i

112 AAA hesablamaq lazımdır.

1A -matrisin tərsini tapmaq üçün

332313

322212

312111

1 1

AAA

AAA

AAA

AA düsturundan

istifadə etmək lazımdır.Bu düsturu verilmiş misalla tətbiq edək.

81204220

412

131

210

A

,

1111241

131

11

11

A

62442

111

21

12

A

, 761

12

311

31

13

A

2)24(41

211

12

21

A

,

44042

201

22

22

A

2)20(12

101

32

23

A

, 561

13

211

13

31

A

22011

201

23

32

A

, 110

31

101

33

33

A

Deməli

127

246

5211

8

11A olur.

112 AAA olduğundan

419

307

7318

8

1

32872

24056

5624144

64

1

1435

2830

5455

2814

41612

10822

71277

142466

3512121

64

1

127

246

5211

127

246

5211

8

12

2A

EAA 22olduğunu göstərək

2197

591

953

412

131

210

412

131

2102A

E

AA

100

010

001

800

080

008

8

1

842749

20277

361521

21021

503

909

18963126

456318

813554

8

1

419

307

7318

2197

591

953

8

122

17.

543

1132

132

523

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

Bilirik ki, əsas matris dəyişənlərin əmsallarından düzəldilir.

143

312

132

123

A genişləndirilmiş matris isə

5143

11312

1132

5123

A olar.

Kroneker –Kapelli teoreminə görə sistemin həllinin varlığı üçün ArAr

olmalıdır.

Əvvəlcə Ar -nı tapaq.

04932

232 M ; 0412364227

212

132

123

3 M olduğundan

3Ar olur.

İndi isə A -un ranqını tapaq.

Bunun üçün

0482819224196028486244490

076

487

411

0176

4387

4111

0100

5143

11312

1132

5123

A

olduğuna görə 4Ar olar.

Deməli 43 ArAr olduğundan sistem uyuşan deyil.

18. . n məchullu m xətti tənlik sistemi. Кронекер-Капелли теореми

n məchullu m xətti tənlik sisteminə baxaq:

....

.......................................

,...

,...

2211

22222121

11212111

бхахаха

бхахаха

бхахаха

мнмнмм

нн

нн

(1)

(1) xətti tənliklər sistemini həll etməzdən qabaq onun həllinin olub-olmadığını müəyyən

etmək lazım gəlir.

Qeyd edək ki,

мнмм

н

н

мхн

аа а

аа а

аа а

А

...

..............

...

...

21

22221

11211

(2) verilən sistemin əsas matrisi,

ммнм2м1

22н2221

11н1211

*1нмx

б ...аа а

...................

б ...аа а

б ...аа а

А (3) verilən sistemin genişlənmiş matrisi

adlanır.

(1) sisteminin birgə (uyuşan) olub-olmamasını müəy-yənləşdirmək üçün aşağıdakı teorem

mühüm rol oynayır.

Teorem (Kroneker–Kapelli). Verilmiş (1) xətti tənliklər sisteminin birgə (uyuşan) olması

üçün zəruri və kafi şərt sistemin əsas matrisinin ranqının onun genişlənmiş matrisinin ranqına

bərabər olmasıdır, yəni, *АрАр olmasıdır.

19.

192765

11543

12

13432

4321

321

431

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxx

Birinci tənliyi aparıcı tənlik kimi qəbul edək. Digər dəyişənləri toplama üsulu ilə

“yox” edək.

8422224

5012142

14622

13432

432

432

432

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

Indi isə ikinci tənliyi aparıcı tənlik kimi qəbul edək və toplama üsulu ilə digər

dəyişənləri ardıcıl yox edək.

3561018

536610

14622

13432

43

43

432

4321

xx

xx

xxx

xxxx

16818030305450 4433 xxxx

3

124

3

3

x

x

33 x qiymətini 36610 43 xx tənliyində yerinə yazsaq

1

66

36630

4

4

4

x

x

x

1

22

14662

2

2

2

x

x

x

2

13492

1

1

x

x

Deməli, tənliyin ümumi və xüsusi həlləri eynidir.

1;3;1;2 olur.

20. Bilirik ki, bircins xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həllinin varlığı üçün

əsas matrisin determinantı sıfra bərabər olmalıdır.

10220814371240

21

714

312

aaaa

a

olarsa, sistemin sonsuz sayda həlli var.

02

074

032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

üçüncü tənliyi aparıcı tənlik kimi saxlayaq.

03

03

02

32

32

321

xx

xx

xxx

23 3xx alarıq.

RCx 2 qəbul etsək~

Cx 33 və Cx

CCx

5

06

1

1

alarıq.

Onda sistemin ümumi həlli CCC 3;;5 olar.

21. 312321 ;2;8( xxxxxxAx ) Bu çevirmənin matrisi əmsalardan

düzəldilir.

101

020

811

Ax

Məxsusi ədədi tapmaq üçün

0 EA tənliyini həll etmək lazımdır.

0

101

020

811

0002800121

08112

,21

3

3

9

081

3

2

2

2

Onların cəmi 2)3(2321 olar

22. Verilən çevirmələrin əmsallarından A və B matrislərini düzəldək

011

102

110

101

120

031

BA

121

204

216

011

102

110

101

120

031

AB

151

161

221

101

120

031

011

102

110

AB

030

163

415

151

161

221

121

204

216

BAAB

Onda AB-BA çevirməsi

yz

zyxy

zyxx

3

63

45

23. Bilirik ki, məxsusi ədəd 0 EA tənliyindən tapılır.

0424000210

20

212

022

044821

08821

01821

0821

11 082 2

0822

2,4 32

Hər bir məxsusi ədədə uyğun məxsusi vektorları tapaq.

11 olduğunu nəzərə alaq.

020

0212

0022

321

321

21

xxx

xxx

xx

02

022

02

32

31

21

xx

xx

xx

23

31

21

2

2

xx

xx

xx

12 Cx qəbul etsək RC 10 olmalıdır.

Onda məxsusi vektor 111 2;;2 CCC olar.

2) 42 -ə uyğun sistem

042

0232

022

32

321

21

xx

xxx

xx

32

321

21

2

0232

xx

xxx

xx

21

22

23

2

2

0

Cx

Cx

Cx

alarıq.

Məxsusi vektor 222 ;2;2 CCC alınar.

3) 23 -yə uyğun məxsusi vektor.

022

0232

024

32

321

21

xx

xxx

xx

32

321

12

0232

2

xx

xxx

xx

33

32

31

2

2

Cx

Cx

Cx

333 2;2; CCC alınar.

24 Verilmiş

25

43A matrisinin xətti çevirməsinin məxsusi ədədini və

məxsusi vektorunu tapın.

Həlli. 0

aaa

aaa

aaa

nn2n1n

n22221

n11211

...

............

...

...

bərabərliyinə əsasən verilmiş matrisin xarakte-

ristik tənliyini

0145202325

432

EA

şəklində yaza bilərik. Bu xarakteristik tənliyin kökləri 21

və 72 olar.

21

olduqda tənliyinə görə

0225

0423

025

043

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

045

045

21

21

xx

xx Rc

cx

cx

1

12

110

5

4.

Deməli, 21

məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektoru 11

54 ccX ;

şəklindədir. Rc 1

olduğundan istənilən qiymətlər verməklə verilən çevirmənin

məxsusi vektorlarını tapa bilərik.

Eyni qayda ilə 72 olduqda uyğun bircins tənlik

0725

0473

025

043

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

055

044

21

21

xx

xxRccxx

xx

xx

2221

21

21;0

0

0.

Deməli, 72 məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektor

22ccX ; kimidir.

25. Xətti çevirmənin matrisi , məxsusi ədədi və məxsusi vektoru

Tutaq ki, n-ölçülü nR xətti fəzasında n,...,e,ee 21 bazis vektorları və A xətti

çevirməsi verilmişdir. Onda bu fəzadan götürülmüş nRX

vektorunun bazis

vektorları üzrə yeganə qayda ilə

nnexexexX

...2211

(1)

şəklində ayrılışını yaza bilərik. A xətti çevirmə olduğu üçün bu ayrılışı XAY

bərabərliyində nəzərə alsaq,

nn2211 eAxeAxeAxXAY

... (2)

alarıq. Digər tərəfdən n1ieA i ;

vektorları da nR fəzasının elementləri olduğundan

onların da ne...ee ,,, 21 bazis vektorları üzrə ayrılışını yazmaq olar.

nnnnnn

nn

nn

eaeaeaeA

eaeaeaeA

eaeaeaeA

...

.........................................

...

...

2211

22221122

12211111

(3) Bu ayrılışları (2) münasibətində nəzərə alsaq,

nnnnnn

nn

nn

xaxaxay

xaxaxay

xaxaxay

...

.........................................

...

...

2211

22221212

12121111

(4) alarıq. (4) bərabərliyinin əmsallarından düzəldilmiş

nn2n1n

n22221

n11211

nn

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

kvadrat matrisinə ne...ee ,,, 21 bazisində A xətti çevirməsinin

matrisi deyilir. Burada,

n

2

1

1n

x

x

x

X

.

. -dir.

Bu çevirməni qısa olaraq 1nnn1n XAY kimi yazmaq olar.

Tutaq ki, A operatoru nR -dən nR -ə təsir edən xətti çevirmədir.

Tərif. nR -dən götürülmüş sıfırdan fərqli hər hansı X vektoru üçün

nRXXAX 0 (5)

bərabərliyini ödəyən ədədinə A operatorunun məxsusi ədədi, ona uyğun

tapılan X vektoruna isə məxsusi vektor deyilir.

Bəzən məxsusi ədəd əvəzinə məxsusi qiymət də işlədilir.

(5) bərabərliyini açıq şəkildə yazsaq

0...

.................................................

0...

0...

...

...........................................

...

...

2211

2222121

1212111

2211

22222121

11212111

nnnnn

nn

nn

nnnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xxaxaxa

xxaxaxa

xxaxaxa

(6)

şəklində bircins xətti tənliklər sistemi alarıq. Bu sistemin sıfırdan fərqli həllinin

varlığı üçün zəruri və kafi şərt onun məchullarının əmsallarından düzəldilmiş

determinantın sıfra bərabər olmasıdır:

0

aaa

aaa

aaa

nn2n1n

n22221

n11211

...

............

...

...

. (7)

(7) bərabərliyini qısa olaraq 0 EA şəklində yazmaq olar. Bu bərabərliyin

sol tərəfi həm də -dan asılı n-dərəcəli çoxhədlidir. Bu çoxhədliyə xarakteristik

çoxhədli deyilir. Xarakteristik çoxhədlinin kökləri A xətti çevirməsinin məxsusi

ədədləridir.

(7) xarakteristik tənliyini həll edərək k21 ,...,, məxsusi ədədlərini tapırıq və

bu məxsusi ədədləri ayrı-ayrılıqda (6) bircins xətti tənliklər sistemində yerinə

yazaraq sıfırdan fərqli X həllini (vektorunu) tapırıq. Həmin bu X vektoru uyğun

məxsusi vektor olacaqdır.