Zeros de funções

Slide 1

Zeros de funesJones Corso1o sem / 2015

DMAT UDESC - JOINVILLE

DefinioUm zero de uma funo f: [a,b] ----> R um nmero real tal que f() = 0. Geometricamente a abcissa do ponto de interseo do grfico de f com o eixo Ox.A raiz de uma equao f(x) = 0 um nmero real tal que f() = 0. Se uma raiz da equao f(x) = 0 ento um zero de f .Problema123abxyf(x)Zeros de funesPolinomiais:1 grau: equao da reta2 grau: frmula de bskara3 e 4 grau: Frmulas de CardanoPolinmio de grau n (n>4): No existem frmulasTranscedentais (no-algbricas):Combinam funes trigonomtricas (seno, cosseno,...), exponenciais (ex, 3x2,...) ou logartmicas (log x, ln x, ): Raramente conseguimos encontrar um zero por mtodos analticos.ProcedimentosLocalizar (isolar) uma raiz de f(x) num intervalo (a,b).

Partindo de um valor inicial, aproximar-se sucessivamente do valor da raiz, at atingir uma preciso .1. Isolamento das razesTeorema 1Se f(a)f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto x = entre a e b que zero de f(x)

xf(x)xf(x)aabb1231. Isolamento das razesxf(x)xf(x)ObservaoSob as hipteses do teorema anterior, se f(x) existir e preservar sinal em (a,b), ento este intervalo contm um nico zero de f(x)

baba

Ex. 1)

Anlise do sinal de f(x):

Como f(x) contnua, existe ao menos um zero de f(x) em cada um dos intervalos I1=[-5,-3], I2=[0,1], I3=[2,3]. Alm disso, como f(x) um polinmio de grau 3, cada intervalo contm um nico zero de f(x).

x -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5f(x) - + + + - - + + +1. Isolamento das razesEx. 2)

Temos que D(f)= e o sinal de f(x) fica:

Logo, f(x) tem ao menos um zero em (1,2). Para saber se este zero nico, devemos analisar o sinal de f(x):

Assim f(x) admite um nico zero em (1,2).

x0123...f(x)--++...1. Isolamento das razesObservao: Se f(a)f(b) > 0 ento podemos ter nenhuma raiz ou um nmero par de razes (Teorema de Bolzano)xf(x)xf(x)xf(x)bababa121=2 1. Isolamento das razesProcedimentos para anlise grfica:esboar o grfico de f(x) e localizar as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x; oua partir de f(x), desmembr-la numa equao equivalente g(x) = h(x), esboar os grficos de g(x) e h(x) e localizar os pontos onde as curvas se interceptam, pois f() = 0 g() = h()1. Isolamento das razesEx. 1: (pelo mtodo i)

xf(x)123

1. Isolamento das razesEx 1: (pelo mtodo ii)

Equao equivalente

onde

x123

1. Isolamento das razes2. Refinamento da soluo realizado atravs de mtodos iterativosMtodo iterativo: sequncia de instrues executadas passo a passo, repetidas em ciclos (iteraes), que fornecem uma aproximao para a soluo exata

baxf(x)x0x1x2x3

2. Refinamento da soluoMtodos iterativos a serem estudados:BissecoPosio falsaPonto fixo (iterao linear)Newton-Raphson (tangente)Secante

Critrio de paradaA execuo de um mtodo iterativo interrompida quando:

Alcanou-se uma preciso desejada para a soluo. Neste caso:

i) (abordagem pelo eixo-x) ou ii) (abordagem pelo eixo-y)

Teste da preciso da soluoNem sempre possvel satisfazer os critrios (i) e (ii) ao mesmo tempoxf(x)xf(x)xf(x)

Outro critrio de parada2. Executando-se um nmero mximo de iteraes estipuladas.

baxf(x)x0x1x2x3

x4x5Mtodo da bissecoSeja f(x) contnua em (a,b) e tal que f(a)f(b) < 0Suponha que o intervalo [a,b] contenha uma nica raiz da equao f(x)=0Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo at que (b - a) < , dividindo sucessivamente o intervalo ao meiob=b0 a =a0 =a1xf(x)x0=b1=b2=b3x1=a2x2=a3

Mtodo da bissecoExemplo: f(x)= xlog(x) 1, tem um zero em [2,3]

Iteraes:

Mtodo da bissecoAlgoritmo: Bisseco

Mtodo da bissecoESTUDO DA CONVERGNCIA

Mtodo da bissecoConsideraes finais

A vantagem do mtodo que as iteraes no envolvem clculos laboriosos

A convergncia lenta, pois se b0 - a0 >> e se for muito pequeno, o nmero de iteraes tende a ser muito grande

normalmente utilizado apenas para diminuir o intervalo que contm a raizMtodo da bissecoMtodo da posio falsaSeja f(x) contnua em (a, b). Se f(a) est mais prximo de zero que f(b), ento provvel que a raiz esteja mais prxima de a que de b (ao menos se f(x) linear em (a, b)). O inverso tambm verdadeiro (se f(b) est mais prximo de zero ento a raiz deve estar mais prxima de b).

Ou seja, podemos usar a idia do mtodo da bisseco, mas fazendo uma mdia ponderada de a e b:

Mtodo da posio falsaAplicao do mtodo:b=b0=b1 a = a0xyx2

x1=b2

x0 =a1=a2f(x) Algoritmo do Mtodo da Posio FalsaIncio Se f(a) * f(b) < 0 Ento Incio x ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) f(a) ) Enquanto ( | f( x ) | > epsilon E | b a | > epsilon ) Faa Incio Se f(a) * f(b) < 0 Ento ax Seno bx x ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) f(a) ) Fim-Enquanto Escreva(A raiz do intervalo dado , x ) Fim - Se Seno Escreva(No h razes no intervalo dado.)FimVariveis utilizadas no algoritmo: Reais: x, a, b, epsilon.OBS: a e b so, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do intervalo, f afuno definida e epsilon a preciso fornecida.Mtodo da posio falsaEx.1

Mtodo da posio falsaMtodo do ponto fixo (ou iterao linear)1. Construir uma funo (x) a partir da equao f(x) = 0, tal que:x = (x)

(Obs: este passo consiste em aplicar o mtodo grfico (ii), visto anteriormente, com g(x) = x e h(x) = (x) )2. A partir de uma aproximao inicial x0, gerar a sequncia {xk}, a partir da relao:xk+1=(xk)

3. A raiz de f(x)=0 corresponde a um ponto fixo da relao anterior, isto , f(x)=0 () =

{x0, x1=(x0), x2=(x1), x3=(x2),..., xk=(xk-1), xk= (xk)= }

4. A funo (x) que satisfaz as condies acima dita uma funo de iterao para f(x)=0

Mtodo do ponto fixoGeometricamentexy

g(x) = xh(x) = (x)f(x)Geometricamentexy

g(x) = xh(x) = (x)x0x1x2Mtodo do ponto fixoGeometricamentexy

g(x) = xh(x) = (x)x2x1x0x3Mtodo do ponto fixoTeorema 2Seja uma raiz da equao f(x)=0, isolada num intervalo I centrado em . Seja (x) uma funo de iterao para f(x)=0.

Sei) ii) iii)

Ento a sequncia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1=(xk) converge para .

Mtodo do ponto fixoGeometricamentexy

g(x) = xh(x) = (x)x0x1x2

Mtodo do ponto fixoGeometricamentexy

g(x) = xx2x1x0

x3h(x) = (x)Mtodo do ponto fixoAnlise da primeira derivada de (x):-1 < (x) < 0 : convergncia oscilante(x) < -1 : divergncia oscilante0 < (x) < 1 : convergncia monotnica(x) > 1 : divergncia monotnicaMtodo do ponto fixoEx: Possveis funes de iterao:

Sabendo que existe uma raiz 1 num intervalo centrado em -3 e outra raiz 2 num intervalo centrado em 2, podemos estudar a convergncia das funes de iterao para o intervalo centrado em 2, utilizando o Teorema 2:

(i)

(ii)

Portanto, no existe um intervalo centrado em 2 que satisfaa a condio (ii) do Teorema 2. Logo, 1(x) gerar uma sequncia divergente.

Mtodo do ponto fixoMtodo do ponto fixoPara

(i)

(ii)

Portanto, possvel obter um intervalo centrado em 2 tal que as condies (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 so satisfeitas. Logo, 2(x) gera uma sequncia convergente.

Mtodo do ponto fixoPara

(i)

(ii)

possvel obter um intervalo centrado em -3 tal que as condies (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 so satisfeitas. Logo, 3(x) gera uma sequncia convergente para x0=-2,5, no intervalo I = [-3,5, -2,5], por exemplo.

Mtodo do ponto fixoAlgoritmo: Ponto fixoEntrada: x0 (aproximao inicial), (preciso)Sada: xn (raiz aproximada)

Mtodo do ponto fixoExerccio:

Estudo da convergncia

Estudo da convergncia

Ordem de convergncia do MPF

Mtodo de Newton-Raphson (ou das tangentes)Seja f(x) contnua em (a,b) e f(x) 0, ento:xyx0=bf(x)x1f(x0)x2

a

Mtodo de Newton-RaphsonCondies de Newton-Raphson-FourierO mtodo converge para a raiz contida no intervalo (a,b) se e somente se:

f(a)f(b) < 0 (extremos com sinais contrrios)f(a)f(b) > 0 (funo apenas crescente ou decrescente)f(a)f(b)>0 (concavidade no muda no intervalo)Mtodo de Newton-RaphsonCondies de Newton-Raphson-Fourierxyx0f(x)x1x0x1Mtodo de Newton-RaphsonAlgoritmo: Newton-RaphsonEntrada: x0 (aproximao inicial), (preciso)Sada: xn (raiz aproximada)

Mtodo da secanteUtiliza a mesma forma da funo de iterao do mtodo de Newton, mas aproximando o valor da derivada de f(x) pelo quociente das diferenas:

onde xn e xn-1 so aproximaes para a raiz. Assim, a funo de iterao fica:

Mtodo da secanteGeometricamente, o ponto xn+1=(xn) a absissa do ponto de interseco do eixo x e da reta secante que passa por (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn))xf(x)x0x1x2x3Mtodo da secanteAlgoritmo: SecanteEntrada: x0, x1 (aproximaes iniciais), (preciso)Sada: (raiz aproximada)

Observaes acerca de equaes polinomiaisRegra de sinal de Descartes:

Dado um polinmio com coeficientes reais, o nmero de zeros reais positivos p esse polinmio, no excede o nmero v de variaes de sinal dos coeficientes. Ainda mais, v-p inteiro, par e no negativo.Regra de sinal de DescartesEx:

Regra de sinal de DescartesPara se determinar o nmero de razes reais negativas, neg, faz-se pn(-x) e usa-se a regra de Descartes para razes positivas:

Regra de sinal de DescartesExerccio: Determinar o nmero de razes reais das equaes:

Localizao grfica dos zeros polinomiaisExemplo: Para o polinmio f(x) = x - 5 x + 11 x - 15 x + 14 x - 10 x + 4