Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SONSUZ JACOBİ MATRİSLERİ İÇİN SPEKTRAL EŞİTSİZLİKLER
Yelda AYGAR
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2008
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SONSUZ JACOB·I MATR·ISLER·I ·IÇ·IN SPEKTRAL ES·ITS·IZL·IKLER
Yelda AYGAR
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬sman: Prof. Dr. Elgiz BAYRAM
Bu çal¬smada, 8n 2 Z+ için ancn 6= 0, fangn2Z+ , fbngn2Z+ fcngn2Z+ kompleks dizilerolmak üzere l2 (Z+) uzay¬nda
(Jy)n = an�1yn�1 + bnyn + cnyn+1, n = 0; 1; 2; 3; :::
ile tan¬ml¬J operatörü bir fark operatörünü göstermektedir.
Bu tez bes bölümden olusmaktad¬r.
Birinci bölüm giris k¬sm¬na ayr¬lm¬st¬r.
·Ikinci bölümde, spektral analizin temel tan¬m ve teoremleri verilmistir.
Üçüncü bölümde, kompakt operatörlerin s-say¬lar¬ve bunlar¬n baz¬özellikleri ince-
lenmis, s-say¬lar¬arac¬l¬¼g¬yla da bu operatörlere iliskin baz¬özel s¬n¬�ar verilmistir.
Ayr¬ca rölatif kompakt operatörlerin Schmidt aç¬l¬m¬ele al¬m¬st¬r.
Dördüncü bölümde, J operatörünün diskre Laplacian�¬olarak belirlenen J0 opera-
törünün Green fonksiyonu ve J operatörünün spektrumu verilmistir. Buna ek olarak
sonsuz Jacobi matrislerine iliskin pertürbasyon determinantlar ve bunlar yard¬m¬yla
Jost çözümü ele al¬nm¬st¬r. Jost çözümüyle Green fonksiyonu aras¬ndaki ba¼g¬nt¬lar-
dan baz¬spektral esitsizlikler elde edilmistir.
Besinci bölümde, birim disk içinde analitik fonksiyonlar¬n s¬n¬�ar¬için s¬f¬r kümeleri
ele al¬nm¬s bunlar¬n birbirleriyle iliskileri incelenmistir. Bu kümeler yard¬m¬yla, J
operatörünün diskre spektrumunun y¬¼g¬lma noktalar¬kümesine iliskin spektral esit-
sizlik ve çesitli özellikler elde edilmistir.
Temmuz 2008, 70 sayfa
Anahtar Kelimeler: Jacobi matrisleri, Pertürbasyon determinantlar, Kompakt
operatörler, s-say¬lar¬, Özde¼gerler, Sürekli spektrum, Diskre spektrum, Jost çözümü.
i
ABSTRACT
Master Thesis
SPECTRAL INEQUALITIES FOR INFINITE JACOBI MATRICES
Yelda AYGAR
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Superviser: Prof. Dr. Elgiz BAYRAM
In this study, ancn 6= 0 for all n 2 Z+, we denote the operator generated in l2 (Z+)by the di¤erence expression in
(Jy)n = an�1yn�1 + bnyn + cnyn+1, n = 0; 1; 2; 3; :::
by J , where fangn2Z+ , fbngn2Z+ and fcngn2Z+ are complex sequences.This thesis consists of �ve chapters.
The �rst chapter is devoted to the introduction.
The second chapter, main de�nitions and theorems of spectral analysis are given.
In the third chapter, the s-numbers of compact operators and some properties of
them are introduced. Then some special classes have been given with the help of
s-numbers. Also the Schmidt expansion for compact operators has been examined.
In the fourth chapter, Green function of the operator J0, the discrete Laplacian of
J operator, is de�ned and the spectrum of operator J is given. Furthermore, the
Jost solution for in�nite Jacobi matrices has been examined with the help of their
perturbation determinant. Then some spectral inequalities have been obtained by
the relations between Jost solution and Green function.
The �fth chapter contains zero sets for classes of holomorphic functions in the unit
disc. Also with the help of these sets we obtain, some spectral inequalities and
various properties of limit sets for discre spectrum of the J operator.
Temmuz 2008, 70 pages
Key Words: Jacobi matrices, Perturbation determinants, Compact operators,
Eigenvalues, s-numbers, Continuous spectrum, Discrete spectrum, Jost solution.
ii
TESEKKÜR
Çal¬smam¬n her asamas¬nda görüs ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda
yard¬mc¬ve destek olan say¬n hocam Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Ankara Üniver-
sitesi Fen Fakültesi)�a, yüksek lisans yapt¬¼g¬m süre boyunca verdi¼gi burs ile beni
destekleyen TÜB·ITAK�a ve çal¬smalar¬m s¬ras¬nda destek ve anlay¬s¬n¬esirgemeyen
sevgili aileme en içten sayg¬ve tesekkürlerimi sunar¬m.
Yelda AYGAR
Ankara, Temmuz 2008
iii
·IÇ·INDEK·ILER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TESEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1. G·IR·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. KOMPAKT OPERATÖRLER·IN S-SAYILARI VE BUNLARIN
BAZI ÖZELL·IKLER·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Rölatif Kompakt Operatörlerin Schmidt Aç¬l¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Rölatif Kompakt Operatörlere iliskin Baz¬Özel S¬n¬�ar . . . . . . . . 12
3.3 �p S¬n¬f¬ndan Olan Operatörler ·Için Regüle Edilmis Karakteristik
Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. JACOB·I MATR·ISLER·I ·IÇ·IN PERTÜRBASYON
DETERM·INANTLARI VE JOST ÇÖZÜMÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1 Sonsuz Boyutlu Kompleks Jacobi Matrisleri ve Green Fonksiyonu 20
5. B·IR·IM D·ISK ·IÇ·INDEK·I ANAL·IT·IK FONKS·IYON SINIFLARI·IÇ·IN SIFIR KÜMELER·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ÖZGEÇM·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iv
S·IMGELER D·IZ·IN·I
N Do¼gal say¬lar kümesi
Z Tam say¬lar kümesi
Z+ = Z+ fx 2 Z : x � 0gR Reel say¬lar kümesi
C Kompleks say¬lar kümesi
R+ fx 2 R : x > 0gR� (J) J operatörünün resolvent operatörü
� (J) J operatörünün resolvent kümesi
� (J) J operatörünün spektrumu
�d (J) J operatörünün özde¼gerler kümesi
�c (J) J operatörünün sürekli spektrumu
J� J operatörünün adjointi
C+ fz 2 C : Im z > 0gC+ fz 2 C : Im z � 0g
l2 (Z+)�a = fangn2Z+ : kak
2 =Pn2Z+
janj2 <1�
H Ayr¬labilir Hilbert uzay
< H uzay¬nda tan¬ml¬tüm s¬n¬rl¬lineer operatörlerin kümesi
D (A) < de bulunan A operatörünün tan¬m kümesi
R (A) < de bulunan A operatörünün de¼ger kümesi�1 < de bulunan tüm (rölatif) kompakt operatörlerin kümesi
v (A) A operatörünün s¬f¬rdan farkl¬özde¼gerlerinin katlar¬toplam¬
sj (A) A operatörünün s� say¬lar¬D� (A) A operatörünün karakteristik determinant¬fDA (�) �2 den olan A operatörünün regüle edilmis determinant¬
DBnA (�) A operatörünün T = B � A taraf¬ndan üretilen pertürbasyon determinant¬A Birim disk içinde analitik ve s¬n¬ra dek sürekli olan fonksiyonlar¬n cebri
A1 Tüm türevleri A ya ait olan A daki fonksiyonlar¬n alt cebriT Birim çember
� (A) A kümesinin çap¬
L2 (R+)�f :
1R0
jf (x)j2 dx <1�
v
1. G·IR·IS
Fonksiyonel Analiz ve matematiksel �zi¼gin birçok problemi, diferensiyel operatör-
lerin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬n bulunmas¬ ve diferensiyel operatörlerin tan¬m
kümesinde yer alan key� bir fonksiyonun, operatörün özfonksiyonlar¬cinsinden bir
seri veya integral biçiminde aç¬l¬m¬n¬gerekli k¬lm¬st¬r. Bu nedenle diferensiyel opera-
törlerin spektral analizi bir çok çal¬sman¬n temel konusu olmustur.
Kuantum mekani¼gi alan¬nda, non-selfadjoint bir diferensiyel operatörün tan¬m küme-
sinde yer alan bir fonksiyonun, operatörün özfonksiyonlar¬cinsinden aç¬l¬m¬önemli
bir problem olmustur. Bu konuda dikkat çekici ilk gelisme Naimark (1960) taraf¬ndan
singüler non-selfadjoint diferensiyel operatörlerin spektral analizinin incelenmesiyle
elde edilmistir. Ayr¬ca bu problemler, Naimark (1968), Bairamov et al. (1999, 2001,
2004, 2005) ve Agarwal (2000) taraf¬ndan da detayl¬bir biçimde incelenmistir.
q kompleks de¼gerli bir fonksiyon, h 2 C olmak üzere L2(R+) uzay¬nda
l0 (y) := �y00 + q (x) y, x 2 R+
diferensiyel ifadesinin ve
y0 (0)� hy (0) = 0
s¬n¬r kosulunun yard¬m¬ile üretilen non-selfadjoint Sturm-Liouville L0 operatörünün
spektrumunun sürekli spektrum, özde¼ger ve spektral tekilliklerden olustu¼gunu Naimark
(1960) göstermistir. Ayr¬ca
1Z0
e"x jq (x)j dx <1, " > 0
kosulunun gerçeklenmesi durumunda, L0 operatörünün özde¼ger ve spektral tekillik-
lerinin sonlu say¬da oldu¼gu Naimark (1960) taraf¬ndan ispatlanm¬st¬r.
p, q veK kompleks de¼gerli fonksiyonlar ve p, R+ üzerinde mutlak sürekli bir fonksiyon
olmak üzere L2 (R+) uzay¬nda
l1 (y) = �y00 +�q (x) + 2�p (x)� �2
�y, x 2 R+
1
diferensiyel ifadesi ve
�y0 (0)� �y (0) +
1Z0
K (x) y (x) dx = 0; �, � 2 C
j�j+ j�j 6= 0
s¬n¬r kosulu taraf¬ndan üretilen Kuadratik Schrödinger Operatör demeti L1 ile gösteril-
sin. Bairamov et al. (1999), L1 operatörünün özde¼gerlerinin, spektral tekilliklerinin
ve bunlar¬n katlar¬n¬n sonlulu¼gunu, analitik fonksiyonlar¬n birebirlik teoremlerini kul-
lanarak göstermislerdir. Ayr¬ca özde¼ger ve spektral tekilliklere kars¬l¬k gelen esas
fonksiyonlar¬elde ederek bu fonksiyonlar cinsinden bir spektral aç¬l¬m vermislerdir.
Bairamov et al. (2001) fangn2N, fbngn2N kompleks diziler olmak üzere l2 (N) uza-
y¬nda
an�1yn�1 + bnyn + anyn+1 = �yn, n 2 N
fark denklemi ve1Xn=0
hnyn = 0, h0 6= 0
s¬n¬r kosulu taraf¬ndan üretilen non-selfadjoint fark operatörünün özde¼gerlerinin,
spektral tekilliklerinin ve bunlar¬n katlar¬n¬n sonlu oldu¼gunu, 2� periyotlu anali-
tik fonksiyonlar için verdikleri seritte birebirlik teoremlerinden yararlanarak ispat-
lam¬slard¬r.
Bu tez ise Egorova et al. (2005b) çal¬smas¬dikkate al¬narak yaz¬lm¬st¬r.
fangn2Z+ , fbngn2Z+ , fcngn2Z+ kompleks diziler olmak üzere
J =
26666666664
b0 c0 0 0 0 ::: :::
a0 b1 c1 0 0 0 :::
0 a1 b2 c2 0 0 :::
0 0 a2 b3 c3 0 :::
0 0 :::. . . . . . . . . :::
37777777775
2
sonsuz matrisi göz önüne al¬narak
ancn 6= 0, limn!1
an = limn!1
cn =1
2, limn!1
bn = 0
ve1Xn=1
�����an � 12����+ jbnj+ ����cn � 12
����� <1
kosullar¬alt¬nda J matrisi yard¬m¬yla l2 (Z+) uzay¬nda
an�1yn�1 + bnyn + cnyn+1 = �yn, n 2 Z+ (1.1)
y�1 = 0 (1.2)
ikinci dereceden diskre s¬n¬r de¼ger problemi tan¬mlanm¬st¬r. J matrisinin veya (1.1)-
(1.2) s¬n¬r de¼ger probleminin l2 (Z+) uzay¬nda üretti¼gi operatör J ile gösterilmistir.
Ayr¬ca (1.1)-(1.2) s¬n¬r de¼ger probleminin an = cn =1
2ve bn = 0 durumunda
l2 (Z+) uzay¬nda üretti¼gi operatör ise J0 ile gösterilmistir. Tezde öncelikle J0 ope-
ratörünün sürekli spektrumundan bunun yard¬m¬yla da J operatörünün spektru-
mundan bahsedilmistir. J0 operatörünün Green fonksiyonu elde edilmistir. Ayr¬ca
yukar¬da bahsedilen çal¬smalardan farkl¬olarak J operatörüne ait Jost çözümü pertür-
basyon determinantlar ile verilmistir. Green fonksiyonu ile pertürbasyon determi-
nant aras¬ndaki ba¼g¬nt¬lardan baz¬spektral esitsizlikler elde edilmistir. Önceki çal¬s-
malarda aç¬k üst düzlemde analitik reel eksen üzerinde sürekli olan Jost çözümünün
bu çal¬smada analitiklik bölgesi birim yuvar olarak ele al¬nm¬st¬r. Dolay¬s¬yla birim
yuvarda bilinen birebirlik teoremlerinin seritte bilinen birebirlik teoremlerinden daha
fazla olmas¬avantaj sa¼glamaktad¬r buna ra¼gmen daha kuvvetli kosullar alt¬nda önceki
çal¬smalardan daha zay¬f sonuçlar elde edilmistir. Amaç bu durumun hangi sebepten
kaynakland¬¼g¬n¬arast¬rmakt¬r. Ayr¬ca birim disk içinde analitik olan fonksiyonlar¬n
s¬f¬rlar¬na iliskin özellikler incelenerek, bu özelliklerin J operatörünün diskre spekt-
rumunun y¬¼g¬lma noktalar¬kümesi ile iliskisine de¼ginilmistir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde daha sonra kullan¬lacak temel tan¬mlar ve teoremler verilmistir.
·Ilk olarak herhangi bir A operatörü için resolvent operatör, resolvent küme ve spekt-
rum kavramlar¬na iliskin genel tan¬mlar verelim. A operatörü bir H Hilbert uzay¬nda
tan¬mlanm¬s herhangi bir operatör ve A n¬n tan¬m kümesi H içinde yo¼gun olsun.
Tan¬m 2.1. E¼ger (A� �I)�1 operatörü var, s¬n¬rl¬ ve tüm H Hilbert uzay¬nda
tan¬ml¬ise bu operatöre A operatörünün resolvent operatörü denir ve
R� (A) = (A� �I)�1
seklinde gösterilir (Naimark 1968).
Tan¬m 2.2. A operatörünün resolvent kümesi � (A) ile gösterilir ve
� (A) =
8>>><>>>:� : � 2 C,R� (A) var
R� (A) s¬n¬rl¬
D (R� (A)) = H
9>>>=>>>;seklinde tan¬mlan¬r (Naimark 1968).
Tan¬m 2.3. A operatörünün spektrumu � (A) ile gösterilir ve
� (A) = Cn� (A)
seklinde tan¬mlan¬r (Naimark 1968).
Tan¬m 2.4. A operatörünün özde¼gerler kümesi (discret spektrum) �d (A) ile gösteri-
lir ve
�d (A) = f� : � 2 C, R� (A) mevcut de¼gildirg
seklinde tan¬mlan¬r (Naimark 1968).
Tan¬m 2.5. A operatörünün sürekli spektrumu (continuous spectrum) �c (A) ile
4
gösterilir ve
�c (A) =
8>>><>>>:� : � 2 C,R� (A) var
R� (A) s¬n¬rs¬z
D (R� (A)) = H
9>>>=>>>;seklinde tan¬mlan¬r (Naimark 1968).
Tan¬m 2.6. (Kompakt Operatör) X ve Y iki normlu uzay olsun. Bir T : X ! Y
operatörü T nin lineer ve X in her M s¬n¬rl¬alt kümesi için T (M) görüntüsünün
rölatif kompakt, yani T (M) kapan¬s¬kompakt olmas¬halinde kompakt lineer opera-
tör olarak adland¬r¬l¬r (Gohberg and Krein 1965).
Tan¬m 2.7. (Self-Adjoint, Uniter ve Normal Operatör) Bir H Hilbert uzay¬nda,
s¬n¬rl¬lineer bir T : H ! H operatörü verilmis olsun. T �, T operatörünün Hilbert
adjointi olmak üzere
T � = T ise T ye self-adjoint
T � = T�1 ise T ye uniter (T birebir ve üzerine)
TT � = T �T ise T ye normal operatör
ad¬verilir (Gohberg and Krein 1965).
Teorem 2.1. (Minimum- Maksimum Prensibi) A, B 2 �1 ve 0 � A � B ise bu
durumda j = 1; 2; ::: için �j (A) ve �j (B) s¬ras¬yla A ve B operatörlerinin özde¼gerleri
olmak üzere �j (A) � �j (B) (j = 1; 2; :::) esitsizli¼gi sa¼glan¬r (Gohberg and Krein
1965).
Tan¬m 2.8. f , C+ da analitik ve C+ da n = 0; 1; 2; ::: için sonsuz türevlenebilir bir
fonksiyon, 0 < � < 1 olmak üzere
��f (n) (z)�� � C (C1)n n!n
n
�
esitsizli¼gi sa¼glan¬yor ise f fonksiyonuna �-¬nc¬mertebeden analitik fonksiyonlar¬n
Gevrey s¬n¬f¬ndand¬r denir (Golinskii and Egorova 2005b).
5
3. KOMPAKT OPERATÖRLER·IN S-SAYILARI VE BUNLARIN BAZI
ÖZELL·IKLER·I
3.1 Rölatif Kompakt Operatörlerin Schmidt Aç¬l¬m¬
Bu bölümde bahsedilen operatörler s¬n¬rl¬ lineer operatörlerdir. <, H ayr¬labilir
Hilbert uzay¬nda tan¬ml¬tüm s¬n¬rl¬lineer operatörlerin cümlesini göstermek üzere
A 2 < için
D (A) = H
olup
kAk = supk�k=1
kA�k
seklinde tan¬mlan¬r. Burada D (A) A operatörünün tan¬m kümesidir.
Tan¬m 3.1.1. A 2 �1 ve T = (A�A)12 2 �1 olmak üzere T operatörünün özde¼ger-
lerine A operatörünün s-say¬lar¬denir (Gohberg and Krein 1965).
Dolay¬s¬yla sj (A), A operatörünün s-say¬lar¬n¬göstermek üzere
sj (A) = �j (T ) (j = 1; 2; 3; :::; r (T )) ; r (T ) = dimR (T )
seklinde ifade edilir. s1 (A) = kAk seklinde tan¬mlan¬r. Ayr¬ca e¼ger dimR (T ) =
r (T ) <1 ise bu durumda j = r (T ) + 1; ::: için sj (A) = 0 olarak tan¬mlan¬r.
Bu tan¬ma dayanarak A 2 �1 olmas¬ndan T operatörünün kompaktl¬¼g¬söylenir.Ve
8f 2 D (A) için hA�Af; fi = hAf;Afi � 0
oldu¼gundan A�A operatörü pozitiftir. Pozitif operatörlerin bir tek pozitif karakökü
oldu¼gundan T = (A�A)12 operatörü de pozitif operatördür.
E¼ger A 2 �1 operatörü self-adjoint ise
sj (A) = j�j (T )j ; (j = 1; 2; :::)
6
yaz¬l¬r.
Lemma 3.1.1.
(I)
sj (A) = sj (A�) ; (j = 1; 2; :::) (3.1.1)
(II) Key� s¬n¬rl¬B operatörü için (j = 1; 2; :::) olmak üzere
sj (BA) � kBk sj (A) (3.1.2)
sj (AB) � kBk sj (A) (3.1.3)
esitsizlikleri sa¼glan¬r (Gohberg and Krein 1965).
·Ispat : ·Ilk olarak (II) özelli¼gi ispatlanacakt¬r. (I) özelli¼ginin ispat¬bundan sonraki
k¬s¬mda verilecektir.
T = (A�A)12 olmak üzere �j (T ) = sj (A)
tan¬m¬ndan ve �, A operatörünün özde¼geri iken �2, A2 operatörünün özde¼geri ola-
ca¼g¬ndan
s2j (BA) = �j ((BA)�BA)
= �j (A�B�BA)
ile
s2j (A) = �j (A�A)
esitlikleri yaz¬l¬r. Di¼ger yandan 8f 2 H için
hA�B�BAf; fi = kBAfk2 � kBk2 kAfk2 = kBk2 hA�Af; fi
7
oldu¼gundan
kBk2 hA�Af; fi � hA�B�BAf; fi � 0�kBk2A�A� A�B�BA
�f; f�� 0
olup key� f 2 H için son esitsizlik sa¼gland¬¼g¬ndan kBk2A�A � A�B�BA � 0 olur.
Buradan
A�B�BA � kBk2A�A
elde edilir. Son esitsizlik dikkate al¬narak Teorem (2.1) minimum-maksimum prensibi
gere¼gince
�j (A�B�BA) � kBk2 �j (A�A)
yaz¬l¬r. Dolay¬s¬yla
s2j (BA) � kBk2 s2j (A) olup
sj (BA) � kBk sj (A)
olarak (3.1.2) esitsizli¼gi elde edilir.
Simdilik (I) k¬sm¬n¬n yani (3.1.1) esitli¼ginin do¼grulu¼gu kabul edilsin (j = 1; 2; 3; :::).
Bundan yararlanarak
sj (AB) = sj ((AB)�) = sj (B
�A�)
yaz¬l¬r. Burada (3.1.2) esitsizli¼gi göz önüne al¬narak
sj (B�A�) � kB�k sj (A�)
elde edilir. B operatörü s¬n¬rl¬oldu¼gundan Hilbert-adjointi vard¬r, tektir ve kB�k =
kBk dir. Dolay¬s¬yla sj (B�A�) � jBj sj (A�) olup (3.1.1) kabulünden sj (A�) = sj (A)
ve sj ((AB)�) = sj (AB) olaca¼g¬ndan sj (AB) � jBj sj (A) olarak (3.1.3) esitsizli¼gi
elde edilir.
8
Tan¬m 3.1.2. (Polar Gösterim) Her s¬n¬rl¬lineer A operatörü A = UT seklinde bir
polar gösterim kabul eder. Burada T = (A�A)12 ve U ise R (A�) alt uzay¬n¬R (A)
üzerine götüren izometrik operatördür. Bu A = UT gösterimine A operatörünün
polar gösterimi denilir (Gohberg and Krein 1965).
A = UT gösteriminde bulunan operatörler için asa¼g¬daki esitlikler sa¼glan¬r.
1) U�A = T
2) T1 = UTU�, T = U�T1U burada T1 = (AA�)12 dir.
3) A = T1U , T1 = AU�
A�A pozitif operatör oldu¼gundan tek bir pozitif karaköke sahip olur dolay¬s¬yla tek
olarak belirlidir. Böylece A operatörünün A = UT polar gösterimi de tek olarak
belirlidir.
A kompakt operatörünün özde¼gerleri sonlu veya sonsuz say¬dad¬r. E¼ger sonsuz say¬da
ise en çok say¬labilir say¬dad¬r. Özde¼gerler say¬labilir say¬da ise tek bir limit noktas¬
olabilir, o noktada s¬f¬rd¬r. Özde¼gerlerin kat¬ sonludur. Sonsuz mertebeli özde¼ger
yoktur.
E¼ger operatör pozitif ise özde¼gerlerde pozitiftir. Bunlara kars¬l¬k gelen özfonksiyon-
lar¬n kat¬1 dir ve bu özfonksiyonlar tan¬ml¬oldu¼gu uzayda baz olusturur.
Simdi (3.1.1) lemmas¬n¬n (I) k¬sm¬ispatlanabilir. A kompakt operatörü ve A = UT
olarak onun polar gösterimi ele al¬ns¬n. �j ile T operatörünün R (T ) de yo¼gun olan
özvektörlerinin ortonormal sistemi gösterilsin (j = 1; 2; 3; :::; r (T )). Bu durumda
T =
r(T )Xj=1
sj (A)�:; �j
��j (3.1.4)
yaz¬l¬r. (3.1.4) esitli¼ginin, sa¼g k¬sm¬ndaki seri norm anlam¬nda yak¬nsak ise bu
9
esitli¼gin iki yan¬na U operatörü uygulanabilir ve
A = UT =
v(A)Xj=1
sj (A)�:; �j
�U�j (3.1.5)
elde edilir. Bu esitli¼ge A operatörünün Schmidt aç¬l¬m¬denir. �j 2 R (T ) ve U uniter
operatör oldu¼gundan U�j (j = 1; 2; 3; :::; r (A)) sistemi ortonormaldir. Çünkü �j ler
ortonormal oldu¼gundan �j; �k
�=
�1; j = k
0; j 6= k
yaz¬l¬r. Bu durumda U uniter oldu¼gundan U� = U�1 olup
U�j; U�k
�=
�j; U
�U�k�
=�j; �k
�bulunur. Dolay¬s¬yla U�j sistemi ortonormaldir. Bu yüzden her lineer kompakt A
operatörü Schmidt aç¬l¬m¬kabul eder. (3.1.5) esitli¼ginden
A =
r(A)Xj=1
sj (A):; �j
� j 3 U�j = j (3.1.6)
yaz¬l¬r. (3.1.6) Esitli¼ginden yararlan¬larak ise
A� =
r(A)Xj=1
sj (A):; j
��j
yaz¬l¬r. Buradan A�A�j = s2j (A)�j elde edilir. Gerçekten
10
j = 1 için
A�A�1 = A�
8<:r(A)Xj=1
sj (A)�1; �j
� j
9=;= A� fs1 (A) 1g
=
r(A)Xj=1
sj (A)s1 (A) 1; j
��j
= s21 (A)�1
j = 2 için
A�A�2 = A�
8<:r(A)Xj=1
sj (A)�2; �j
� j
9=;= A� fs2 (A) 2g
=
r(A)Xj=1
sj (A)s2 (A) 2; j
��j
= s22 (A)�2
olup
A�A�k = A�
8<:r(A)Xj=1
sj (A)�k; �j
� j
9=;
11
= A��s1 (A) h�k; �1i 1 + s2 (A) h�k; �2i 2 + :::+ sr(A) (A)
�k; �r(A)
� r(A)
=
r(A)Xj=1
sj (A)s1 (A) h�k; �1i 1 + :::+ sr(A) (A)
�k; �r(A)
� r(A); j
��j
= s1 (A) s1 (A) h�k; �1i�1 + s2 (A) s2 (A) h�k; �2i�2
+:::+ sr(A) (A) sr(A) (A)�k; �r(A)
��r(A)
=
r(A)Xj=1
s2j (A)�k; �j
��j
=
�s2j (A)�j; k = j
0 ; k 6= j
elde edilir. Buradan ise
A�A�j = s2j (A)�j (3.1.7)
yaz¬l¬r. Benzer sekilde
AA� j = s2j (A) j (j = 1; 2; 3; :::; r (A)) (3.1.8)
elde edilir. T = (A�A)12 olmak üzere s2j (A) = �j (A
�A) oldu¼gu (3.1.7) ve (3.1.8)
esitliklerinde dikkate al¬nd¬¼g¬nda
A�A�j = �j (A�A)�j ve AA� j = �j (A
�A) j (3.1.9)
yaz¬l¬r. Ayr¬ca AA� j = �j (AA�) j olaca¼g¬ndan bu son esitlik ve (3.1.9) ifadesinin
ikinci esitli¼ginden �j (AA�) = �j (A
�A) bulunur. Böylece s2j (A) = s2j (A�) yani
sj (A) = sj (A�) elde edilmis olur.
12
3.2 Rölatif Kompakt Operatörlere iliskin Baz¬Özel S¬n¬�ar
�1 = fA 2 < : A (rölatif) kompakt operatörg
�p =
(A 2 < : A kompakt operatör ve
1Pj=1
spj (A) <1 (1 � p <1))yani;
1Xj=1
spj (A) <1
olacak sekilde tüm (rölatif) kompakt A operatörlerini içeren s¬n¬f �p ile gösterilir.
E¼ger A 2 �p isev(A)Pj=1
k�j (A)kp ��kAkp
�p, (p > 0) esitsizli¼gi sa¼glan¬r.. Özel olarak
p = 1 ise
�1 =
(A 2 < : A 2 �1 ve
1Pj=1
sj (A) <1)olarak �1 s¬n¬f¬elde edilir.
p = 2 oldu¼gunda ise
�2 =
(A 2 < : A 2 �1 ve
1Xj=1
s2j (A) <1)
s¬n¬f¬elde edilir.
Bir A operatörü �1 s¬n¬f¬na ait ise A operatörüne çekirdek operatör denilir. Çekirdek
operatörü baska yöntemle de karakterize edilebilir. Bu da bu sekildeki operatörler
için bir iz notasyonu üretme imkan¬sa¼glar.
< uzay¬nda olan A operatörlerinin s¬n¬rl¬ve lineer oldu¼gu biliniyor. E¼ger < uzay¬n¬n
herhangi ortonormal��j11baz¬için
1Pj=1
A�j; �j
�serisi yak¬nsak ise bu oparatörler
sonlu matris izine sahiptir (Gohberg and Krein 1965).
Lemma 3.2.1. S¬n¬rl¬, lineer ve pozitif A operatörü ele al¬ns¬n.1Pj=1
hAxj; xji toplam¬
uzay¬n herhangi fxjg11 ortonormal baz¬için ayn¬de¼gere sahiptir. Ve
A 2 �1 ()1Xj=1
hAxj; xji <1
13
olmas¬d¬r (Gohberg and Krein 1965).
Teorem 3.2.1. S¬n¬rl¬, lineer bir A operatörünün sonlu matris izine sahip olmas¬
için gerek ve yeter sart çekirdek operatörü olmas¬d¬r (Gohberg and Krein 1965).
E¼ger A 2 �1 ise1Pj=1
hAxj; xji toplam¬H uzay¬n¬n ortonormal fxjg11 bazlar¬seçimine
ba¼gl¬ de¼gildir. Bu toplam SpA ile gösterilir ve A operatörünün izi seklinde ad-
land¬r¬l¬r.
Sonlu boyutlu uzaylarda bulunan operatörler için SpA fonksiyonelinin asa¼g¬daki özel-
liklere sahip oldu¼gu bilinir.
1) Sp (�A+ �B) = �SpA+ �SpB
2) SpA� = SpA
3) Sp (AB) = Sp (BA)
4) Sp (S�1AS) = SpA
5) SpA =v(A)Pj=1
�j (A)
�2 s¬n¬f¬ndan olan operatörler ise Hilbert-Schmidt operatörleri olarak adland¬r¬l¬r.
Lemma 3.2.2. S¬n¬rl¬lineer A operatörünün Hilbert-Schmidt operatörü olmas¬için
gerek ve yeter sart Sp (A�A) <1 olmas¬d¬r (Gohberg and Krein 1965).
·Ispat : A s¬n¬rl¬lineer operatör ve A 2 �2 olsun. �2 s¬n¬f¬n¬n tan¬m¬ndan
1Xj=1
s2j (A) <1
yaz¬l¬r. Buradan s2j (A) = �j (A�A) oldu¼gundan
1Pj=1
�j (A�A) < 1 bulunur. Bu ise
Sp (A�A) <1 esitsizli¼gini verir.
Tersine s¬n¬rl¬lineer A operatörü için Sp (A�A) < 1 olsun. A�A operatörünün izi
sonlu oldu¼gundan1Pj=1
hA�Axj;xji < 1 yaz¬l¬r. Buradan lemma (3.2.1) gere¼gince
14
A�A 2 �1 dir. Dolay¬s¬yla
Sp (A�A) =
v(A)Xj=1
�j (A�A) =
1Xj=1
s2j (A) <1
oldu¼gundan A 2 �2 bulunur.
K =nPj=1
�:; j
��j boyutu n den küçük yada esit olan key� sonlu boyutlu operatör
olsun. = ile K ve K� operatörlerinin de¼ger uzaylar¬n¬ içeren key� sonlu boyutlu
alt uzay¬gösterilsin. = alt uzay¬n¬n fxjgm1 ortonormal bazlar¬ için det (I �K) ile
k�jk � (Kxj;xk)km1 matrisinin determinant¬gösterilir. Bilindi¼gi gibi bu determinant
= alt uzay¬n¬n seçilisinden ve bunun içindeki bazlardan ba¼g¬ms¬zd¬r. Bundan dolay¬
det (I �K) =
v(K)Yj=1
(1� �j (K))
bulunur. Bu esitlik �1 den olan herhangi A operatörü için det (I � A) n¬n
det (I � A) =
v(A)Yj=1
(1� �j (A)) (3.2.1)
seklinde tan¬mlanabilece¼gini söyler. (3.2.1) esitli¼ginin sa¼g k¬sm¬yak¬nsakt¬r. Çünkü
herhangi A 2 �1 içinv(A)Pj=1
k�j (A)k � kAk1 gerçeklenir.
det (I � �A) =
v(A)Yj=1
(1� ��j (A)) ;A 2 �1
determinant¬na A operatörünün karakteristik determinant¬denir ve D� (A) ile gös-
terilir (Gohberg and Krein 1965).
15
3.3 �p S¬n¬f¬ndan olan Operatörler için Regüle edilmis Karakteristik
Determinantlar
Tan¬m 3.3.1. p 2 N ve 8A 2 �p için
det(p) (I � A) =
v(A)Yj=1
"(1� �j (A)) exp
p�1Xk=1
1
k�kj (A)
#
say¬s¬na I � A operatörünün regüle edilmis determinant¬denir.
det(p) (I � �A) =
v(A)Yj=1
"(1� �j (A)�) exp
p�1Xk=1
1
k�kj (A)�
k
#
determinant¬na ise A operatörünün regüle edilmis karakteristik determinant¬denir
ve D(p)A (�) ile gösterilir.
E¼ger A 2 �2 ise yukar¬daki determinant
D(2)A (�) =
v(A)Yj=1
(1� �j (A)�) e��j(A)
seklinde tan¬mlan¬r ve fDA (�) seklinde gösterilir (Gohberg and Krein 1965).
Lemma 3.3.1. fDA (�) determinant¬asa¼g¬daki esitsizli¼gi gerçekler
���D(2)A (�)
��� � exp �12j�j2 Sp (AA�)
�
(Gohberg and Krein 1965).
·Ispat : fDA (�) determinant¬n¬n tan¬m¬ndan
���D(2)A (�)
���2 = v(A)Yj=1
j1� ��jj2��eRe��j+i Im��j ��2 ; �j (A) = �j
16
yaz¬l¬r. Buradan;
���fDA (�)���2 =
v(A)Yj=1
j1� ��jj2��eRe��j ��2 ��ei Im��j ��2
=
v(A)Yj=1
(1� ��j) (1� ��j)e2Re(��j)
elde edilir. ��j = a+ ib olmak üzere a = Re (��j) b = Im (��j) olup
(1� ��j) (1� ��j) = (1� a� ib) (1� a+ ib)
= 1� 2a+ a2 + b2
olaca¼g¬ndan ���fDA (�)���2 = v(A)Y
j=1
�1� 2Re (��j) + j��jj2
�e2Re(��j) (3.3.1)
bulunur. 1 + x � ex oldu¼gundan bu esitsizlikte
x = �2Re (��j) + j��jj2
al¬nd¬¼g¬nda
���fDA (�)���2 �
v(A)Yj=1
e�2Re(��j)+j��j j2
e2Re(��j)
=
v(A)Yj=1
ej��j j2
= ej��1j2
ej��2j2
:::ej��v(A)j2
= exp
8<:v(A)Xj=1
j��jj29=;
bulunur. Buradan���fDA (�)
���2 � exp(j�j2 v(A)Pj=1
j�jj2)veya
���fDA (�)��� � exp
8<:12 j�j2v(A)Xj=1
j�jj29=;
17
elde edilir.v(A)Xj=1
j�jj2 �1Xj=1
s2j (A) = Sp (A�A)
esitsizli¼gi göz önüne al¬narak ise
���fDA (�)��� � exp�1
2j�j2 Sp (A�A)
�
bulunur.
Teorem 3.3.1. A 2 �p, (p 2 Z+) ve F key� kapal¬s¬n¬rl¬küme olsun. Bu durumda
herhangi B 2 �p ve 8" > 0 için 9� > 0 vard¬r 3 jA�Bj < � iken
max�2F
���D(p)A (�)�D
(p)B (�)
��� < "
sa¼glan¬r (Gohberg and Krein 1965).
Lemma 3.3.2. A 2 �2 ve��j1j=1
ise H uzay¬n¬n key� ortonormal bazlar¬olmak
üzere fdet (I � A) = limn!1
"det �jk � A�j;�k� n1 exp nX
j=1
A�j;�j
�#
gerçeklenir (Gohberg and Krein 1965).
·Ispat : A 2 �2 oldu¼gundannPj=1
s2j (A) < 1 dur. Bir operatörün öklid uzaydaki
matris gösterimi
An =nXj=1
�:; �j
�A�j
(r = 1; 2; :::) olarak yaz¬labilir.
fdet (I � An) = det �jk � A�j;�k� n1 exp nX
j=1
A�j;�j
�n = 1; 2; :::
fAng11 dizisi �2 nin normu alt¬nda A operatörüne yak¬nsad¬¼g¬ndan dolay¬ teorem
(3.3.1) gere¼gince fdet (I � A) = limn!1
det (I � An)
elde edilerek ispat tamamlan¬r.
18
Tan¬m 3.3.2. E¼ger I � �A operatörünün tersi varsa � kompleks say¬s¬na A opera-
törünün F-regüler noktas¬denir (Gohberg and Krein 1965).
A ve B ayr¬labilir H Hilbert uzay¬nda s¬n¬rl¬lineer operatörler olsunlar. A�B 2 �1olsun. E¼ger � noktas¬A operatörünün F-regüler noktas¬ise
(I � �B) (I � �A)�1 = I � � (B � A) (I � �A)�1
olur. Burada � (B � A) (I � �A)�1 2 �1 dir. Gerçekten; � noktas¬A operatörünün
F-regüler noktas¬oldu¼gundan (I � �A)�1 mevcuttur.
I � � (B � A) (I � �A)�1 = I � �B (I � �A)�1 + �A (I � �A)�1
= (I � �A) (I � �A)�1 � �B (I � �A)�1 + �A (I � �A)�1
= (I � �A� �B + �A) (I � �A)�1
= (I � �B) (I � �A)�1
olarak bulunur. Ayr¬ca lemma (3.1.1) özellik II gere¼gince key�s¬n¬rl¬B operatörü için
sj (AB) � kBk sj (A) yaz¬l¬r. A 2 �1 oldu¼gundan1Pj=1
sj (A) < 1 olup kars¬last¬rma
testinden1Pj=1
sj (AB) < 1 bulunur. Böylece �1 s¬n¬f¬ndan olan opeatörle s¬n¬rl¬bir
operatörün sa¼gdan veya soldan çarp¬m¬ile olusan operatörün de �1 s¬n¬f¬ndan oldu¼gu
söylenir. �, A operatörünün F-regüler noktas¬oldu¼gundan (I � �A)�1 s¬n¬rl¬d¬r ve
(B � A) 2 �1 oldu¼gundan � (B � A) (I � �A)�1 2 �1 dir. Bu durumda
DB=A (�) = det�(I � �B) (I � �A)�1
�(3.3.2)
determinant¬n¬n anlam¬vard¬r. Bu determinanta A operatörünün T = B�A taraf¬n-
dan üretilen pertürbasyon determinant¬denir ve A operatörünün tüm F-regüler nok-
talar¬n¬içeren bölgede analitik fonksiyondur (Gohberg and Krein 1965).
19
4. JACOB·IMATR·ISLER·I ·IÇ·IN PERTÜRBASYONDETERM·INANTLARI
VE JOST ÇÖZÜMÜ
4.1 Sonsuz Boyutlu Kompleks Jacobi Matrisleri ve Green Fonksiyonu
J =
26666666666664
b0 c0 0 0 0 0 0 � � �
a0 b1 c1 0 0 0 0 � � �
0 a1 b2 c2 0 0 0 � � �
0 0 a2 b3 c3 0 0 � � �
0 0 0 a3 b4 c4 0 � � �
� � � � � � � � � � � � . . . . . . . . . � � �
37777777777775J ile kompleks bilesenli sonsuz boyutlu Jacobi matrisi gösterilsin.
limn!1
an = limn!1
cn =1
2ve limn!1
bn = 0, n 2 Z+ = f0; 1; 2; 3; � � � g
olsun. Ayr¬ca1Xn=0
�����an � 12����+ jbnj+ ����cn � 12
����� <1
sa¼glans¬n. Ve
J0 : an = cn =1
2; bn = 0
J matrisinin diskre Laplacian�¬olarak tan¬mlans¬n. J operatörü J0 operatörünün
kompakt pertürbasyonudur.
y =
26666666666666666664
y0
y1
y2...
yn�1
yn
yn+1...
37777777777777777775
20
olmak üzere, (Jy)n = �yn için26666666666664
b0 c0 0 0 0 0 0 � � �
a0 b1 c1 0 0 0 0 � � �
0 a1 b2 c2 0 0 0 � � �
0 0. . . . . . . . . � � � � � � � � �
0 0 0 an�1 bn cn � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
37777777777775
26666666666664
y0
y1...
yn�1
yn
� � �
37777777777775= �
26666666666664
y0
y1...
yn�1
yn
� � �
37777777777775olur. Buradan
an�1 yn�1 + bn yn + cn yn+1 = �yn; � =z + z�1
2
y�1 = 0
fark denklemi elde edilir.�n 2 Z+; z 2
_
D = fz : jzj � 1g ; z 6= 0�
�c (J) = [�1; 1] = �c (J0) olup J operatörünün spektrumu � (J) = [�1; 1] [ �d (J)
dir. Ayr¬ca J0 operatörünün Green fonksiyonu
G (n;m; z) =
8><>: 2zm�n � zn�m
z � z�1;m � n
0 ;m < nm; n 2 Z+ (4.1.1)
olarak tan¬mlan¬r.
Bu bölümde
1Xk=0
(k + 1)
�����ak � 12����+ jbkj+ ����ck � 12
����� <1 (4.1.2)
kosulu alt¬nda Jacobi matrislerinin pertürbasyon determinantlar¬incelenmistir.
Lemma 4.1.1. (4.1.2) kosulu alt¬nda �J = J � J0 2 �1 dir. Ve � =2 [�1; 1] için
(J � �) (J0 � �)�1 = I +�J (J0 � �)�1
21
yaz¬l¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : Teorem (3.2.1) gere¼gince s¬n¬rl¬lineer bir A operatörünün sonlu matris izine
sahip olmas¬ için gerek ve yeter sart onun çekirdek operatörü olmas¬d¬r. J � J0
operatörü kompakt oldu¼gundan s¬n¬rl¬d¬r. E¼ger J � J0 operatörünün sonlu matris
izine sahip oldu¼gu gösterilirse J � J0 2 �1 oldu¼gu söylenir.
J � J0 =
26666666664
b0 c0 0 0 0 ::: :::
a0 b1 c1 0 0 0 :::
0 a1 b2 c2 0 0 :::
0 0 a2 b3 c3 0 :::
0 0 :::. . . . . . . . . :::
37777777775�
26666666664
0 120 0 0 :::
120 1
20 0 :::
0 120 1
20 :::
0 0 12
0. . . :::
0 0 0. . . . . . :::
37777777775
=
26666666664
b0 c0 � 12
0 0 0 ::: :::
a0 � 12
b1 c1 � 12
0 0 0 :::
0 a1 � 12
b2 c2 � 12
0 0 :::
0 0 a2 � 12
b3 c3 � 12
0 :::
0 0 :::. . . . . . . . . :::
37777777775oldu¼gundan J � J0 operatörünün sonlu matris izine sahip oldu¼gunu göstermek için1Pj=0
bj <1 oldu¼gunu göstermek yeterlidir. (4.1.2) kosulu dikkate al¬narak
1 >
1Xk=0
(k + 1)
�����ak � 12����+ jbkj+ ����ck � 12
����� � 1Xk=0
(k + 1) jbkj �1Xk=0
jbkj
yaz¬l¬r. Buradan1Pk=0
bk �1Pk=0
jbkj < 1 oldu¼gundan istenilen elde edilir. � =2 [�1; 1]
için
(J � �) (J0 � �)�1 = I +�J (J0 � �)�1 (4.1.3)
yaz¬l¬r. Çünkü (3.3.2) tan¬m¬ve (3.3.2) esitli¼gine göre (4.1.3) esitli¼ginin yaz¬lmas¬
için �J (J0 � �)�1 2 �1 olmal¬d¬r. �J 2 �1 oldu¼gundan istenilenin sa¼glanmas¬için
(J0 � �)�1 s¬n¬rl¬olmal¬d¬r. �c (J) = [�1; 1] = �c (J0) oldu¼gundan [�1; 1] aral¬¼g¬na
düsen � lar için (J0 � �)�1 s¬n¬rs¬zd¬r. Dolay¬s¬yla ancak � =2 [�1; 1] için (4.1.3)
esitli¼gi yaz¬l¬r. Tan¬m (3.3.2) dikkate al¬narak J0 operatörü için pertürbasyon deter-
22
minant¬
�(z; J) = det (J � �) (J0 � �)�1 ; � =z + z�1
2
seklinde tan¬mlan¬r. (4.1.2) kosulu alt¬nda � fonksiyonu birim disk olan D =
fz : jzj < 1g içinde analitik ve s¬n¬ra dek sürekli olan fonksiyonlar¬n cebrine aittir.
Lemma 4.1.2. jz0j < 1 için �(z0) = 0 () � (z0) 2 �d (J) sa¼glan¬r (Egorova and
Golinskii 2005b).
·Ispat : jz0j < 1 ve �(z0) = 0 olsun. Bu durumda
det�[J � � (z0)] [J0 � � (z0)]
�1 = 0olup
�[J � � (z0)] [J0 � � (z0)]
�1�1 mevcut de¼gildir. Yani [J0 � � (z0)] [J � � (z0)]�1
mevcut de¼gildir. Bu durumda [J � � (z0)]�1 mevcut olmay¬p � (z0) 2 �d (J) bulunur.
Benzer sekilde tersine olarak � (z0) 2 �d (J) al¬nd¬¼g¬nda �(z0) = 0 elde edilir.
Teorideki anahtar k¬s¬m pertürbasyon determinantlar¬için yaklas¬m iliskisine aittir.
S¬ras¬yla J ve J0 matrislerinin ilk m+ 1 sat¬r ve sütunu al¬narak (m+ 1)� (m+ 1)
tipinde
Jm =
26666666666664
b0 c0 0 0 ::: 0
a0 b1 c1 0 ::: 0
0 a1 b2. . . 0
...... 0 a2
. . . . . ....
....... . . . . . . . . cm�1
0 0 ::: 0 am�1 bm
37777777777775ve J0;m =
26666666666664
0 12
0 ::: ::: 0
12
0 12
0 ::: 0
0 12
0 12
0 0
0. . . . . . . . . . . . 0
0 ::: 0. . . . . . 1
2
0 ::: ::: 0 12
0
37777777777775tan¬mlans¬n. Bu durumdaD kümesinin kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün olarak
�(z; J) = limm!1
det
�Jm � �
J0;m � �
�(4.1.4)
yaz¬l¬r (Killip and Simon 2003; 2.59).
Ayr¬ca J ve J0 matrislerinin ilk (n+ 1) sat¬r ve sütunu silinerek olusturulan J (n) ve
23
J(n)0 matrisleri ele al¬ns¬n.Bu durumda
J (n) =
26666666664
bn+1 cn+1 0 0 :::
an+1 bn+2 cn+2 0. . .
0 an+2 bn+3. . . . . .
0 0. . . . . . . . .
......
. . . . . . . . .
37777777775J(n)0 = J0 ve J (�1) = J yaz¬l¬r.
det (Jm � �) birinci sat¬r boyunca aç¬l¬p det (J0;m � �) ya bölünerek
det
�Jm � �
J0;m � �
�= (b0 � �) det
J(0)m�1 � �
J0;m�1 � �
!det
�J0;m�1 � �
J0;m � �
�(4.1.5)
�a0c0 det J(1)m�2 � �
J0;m�2 � �
!det
�J0;m�2 � �
J0;m � �
�
elde edilir. Gerçekten;
det (Jm � �) = det
26666666664
b0 � � c0 0 ::: 0
a0 b1 � � c1. . .
...
0 a1 b2 � �. . . 0
.... . . . . . . . . cm�1
0 ::: 0 am�1 bm � �
37777777775
24
= (b0 � �) det
26666666664
b1 � � c1 0 ::: 0
a1 b2 � � c2. . .
...
0 a2 b3 � �. . . 0
.... . . . . . . . . cm�1
0 ::: 0 am�1 bm � �
37777777775
�c0 det
26666666664
a0 c1 0 ::: 0
0 b2 � � c2. . .
...
0 a2 b3 � �. . . 0
.... . . . . . . . . cm�1
0 ::: 0 am�1 bm � �
37777777775
det (Jm � �) = (b0 � �) det
26666666664
b1 � � c1 0 ::: 0
a1 b2 � � c2. . .
...
0 a2 b3 � �. . . 0
.... . . . . . . . . cm�1
0 ::: 0 am�1 bm � �
37777777775
�a0c0 det
26666666664
b2 � � c1 0 ::: 0
a2 b3 � � c2. . .
...
0 a3 b4 � �. . . 0
.... . . . . . . . . cm�1
0 ::: 0 am�1 bm � �
37777777775olup
det (Jm � �) = (b0 � �) det�J(0)m�1 � �
�� a0c0 det
�J(1)m�2 � �
�olarak bulunur.
det
�Jm � �
J0;m � �
�=h(b0 � �) det
�J(0)m�1 � �
�� a0c0 det
�J(1)m�2 � �
�idet (J0;m � �)�1
25
= [(b0 � �) det�J(0)m�1 � �
�det (J0;m�1 � �) det (J0;m�1 � �)�1
�a0c0 det�J(1)m�2 � �
�det (J0;m�2 � �)
det (J0;m�2 � �)�1] det (J0;m � �)�1
= (b0 � �) det
J(0)m�1 � �
J0;m�1 � �
!det
�Jm�1 � �
J0;m � �
�
�a0c0 det J(1)m�2 � �
J0;m�2 � �
!det
�J0;m�2 � �
J0;m � �
�
olarak (4.1.5) esitli¼gi elde edilir.
Lemma 4.1.3. j 2 N = f1; 2; :::g olmak üzere
limm!1
det
�J0;m�j � �
J0;m � �
�= (�2z)j
esitli¼gi sa¼glan¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat :
J0;m � � =
26666666664
0 12
0 ::: 0
12
0 12
. . . 0
0 12
0. . . 0
0. . . . . . . . . 1
2
0 0 0 12
0
37777777775(m+1)�(m+1)
�
26666666664
� 0 0 � � � 0
0 � 0. . . 0
0 0. . . . . . 0
.... . . . . . � 0
0 0 0 0 �
37777777775(m+1)�(m+1)
26
=
26666666664
�� 12
0 0 0
12
�� 12
. . . 0
0 12
�� . . . 0
0. . . . . . . . . 1
2
0 0 0 12
��
37777777775(m+1)�(m+1)
oldu¼gundan
det (J0;m � �) = �� det
26666666664
�� 12
0 ::: 0
12
�� . . . . . . 0
0. . . . . . . . . 0
.... . . 1
2
. . . 12
0 ::: 0 12
��
37777777775� 12det
26666666664
12
12
0 ::: 0
0 �� 12
. . . 0
0 12
�� 12
0.... . . . . . . . . 1
2
0 ::: 0 12
��
37777777775
= �� det
26666666664
�� 12
0 ::: 0
12
�� . . . . . . 0
0. . . . . . . . . 0
.... . . 1
2
. . . 12
0 ::: 0 12
��
37777777775� 14det
26666666664
�� 12
0 0
12
�� . . . 0
0. . . . . . 1
20
.... . . 1
2�� 1
2
0 ::: 0 12
��
37777777775olarak bulunur. gm (z) = det (J0;m � �) olmak üzere
gm (z) = ��gm�1 (z)�1
4gm�2 (z) ; � (z) =
z + z�1
2
ikinci dereceden bir fark denklemi elde edilir. � de¼geri yerine yaz¬ld¬¼g¬nda
4gm (z) = �2�z + z�1
�gm�1 (z)� gm�2 (z)
bulunur. m! m+ 2 ye ötelendi¼ginde
4gm+2 (z) = �2�z + z�1
�gm+1 (z)� gm (z)
27
yaz¬l¬r. Bu fark denkleminin genel çözümü gm (z) = nm biçimindedir. Bu durumda
4nm+2 = �2�z + z�1
�nm+1 � nm
olup
nm�4n2 + 2
�z + z�1
�n+ 1
�= 0
bulunur. nm 6= 0 oldu¼gundan 4n2 + 2 (z + z�1)n+ 1 = 0 olup
n1;2 =�2 (z + z�1)� 2
q(z � z�1)2
8
n1 =�z2, n2 =
�z�12
olarak elde edilir. gm (z) çözümü bu çözümlerin kombinasyonu olaca¼g¬ndan
gm (z) = A
�z
�2
�m+B
�z�1
�2
�m=Azm +Bz�m
(�2)m
biçimindedir. g0 (z) = 1, g1 (z) =z + z�1
2kosullar¬n¬sa¼glayan çözüm ise g0 (z) = 1
için A+B = 1, g1 (z) =z + z�1
2için
Az +Bz�1
(�2) =z + z�1
2olup
gm (z) =(�z � 2z�1) zm + (2z + z�1) z�m
(z � z�1) (�2)m (4.1.6)
olarak elde edilir. Simdi limm!1
det
�J0;m�j � �
J0;m � �
�= (�2z)j oldu¼gu gösterilebilir.
det
�J0;m�j � �
J0;m � �
�=det (J0;m�j � �)
det (J0;m � �)
olup
limm!1
det (J0;m�j � �)
det (J0;m � �)
28
= limm!1
(�z � 2z�1) zm�j + (2z + z�1) z�(m�j)
(z � z�1) (�2)m�j(z � z�1) (�2)m
(�z � 2z�1) zm + (2z + z�1) z�m
= limm!1
(�z � 2z�1) z2m�2j + (2z + z�1)
zm�jzm (�2)j
(�z � 2z�1) z2m + (2z + z�1)
yaz¬l¬r. Buradan jzj < 1 oldu¼gundan
limm!1
[(�z � 2z�1) z2m�2j + (2z + z�1)] (�2)j
z�j [(�z � 2z�1) z2m + (2z + z�1)]=
(2z + z�1) (�2)j
(2z + z�1) z�j
= (�2z)j
bulunur veya gn (z) + gn+2 (z) = (z + z�1) gn+1 (z) biçimindeki ikinci dereceden fark
denkleminin g1 (z) = (z + z�1), g0 (z) = 1 kosullar¬n¬sa¼glayan çözümünün
gn (z) =z�(n+1) � zn+1
z�1 � z
oldu¼gu tümevar¬m yöntemiyle gösterilebilir. (� = z + z�1)
gn+2 (z) =�z + z�1
�gn+1 (z)� gn (z)
gn+1 (z) =�z + z�1
�gn (z)� gn�1 (z)
gn (z) =�z + z�1
�gn�1 (z)� gn�2 (z)
::: = :::
g2 (z) =�z + z�1
�g1 (z)� g0 (z)
olup
g2 (z) =�z + z�1
�2 � 1 (4.1.7)
oldu¼gundan
gn (z) =z�n�1 � zn+1
z�1 � z(4.1.8)
29
çözümüne tümevar¬m yöntemi uyguland¬¼g¬nda
n = 0 için g0 (z) =z�1 � z
z�1 � z= 1
n = 1 için g1 (z) =z�2 � z2
z�1 � z= z�1 + z olup
n = 2 için g2 (z) =z�3 � z3
z�1 � z=�z�1�2+ z2 + 1
olarak (4.1.7) esitli¼gi elde edilir. n = k � 1 için
gk�1 (z) =z�k+1�1 � zk�1+1
z�1 � z=z�k � zk
z�1 � z
do¼gru olsun. Bu durumda
gk (z) =�z + z�1
�gk�1 (z)� gk�2 (z)
esitli¼ginin do¼grulu¼gu incelendi¼ginde
gk (z) =�z + z�1
� z�k � zk
z�1 � z� z�(k�1) � zk�1
z�1 � z
=z�(k+1) � zk+1
z�1 � z
bulunur. Her n 2 Z+ için (4.1.8) esitli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan
gn (z) + gn+2 (z) =�z + z�1
�gn+1 (z)
fark denkleminin g1 (z) = (z + z�1), g0 (z) = 1 kosullar¬n¬ sa¼glayan çözümünün
(4.1.8) oldu¼gu söylenir. � =(z + z�1)
2al¬nd¬¼g¬nda ise; (4.1.6) esitli¼gi bulunur. Bu
ifadeden yararlanarak ayn¬sekilde
limm!1
det
�J0;m�j � �
J0;m � �
�= (�2z)j ; j = f1; 2; :::g
oldu¼gu söylenir. Lemma (4.1.3) kullan¬larak (4.1.5) esitli¼ginden m ! 1 için limit
al¬nd¬¼g¬nda;
30
limm!1
det
�Jm � �
J0;m � �
�= �(z; J) = (b0 � �) lim
m!1det
J(0)m�1 � �
J0;m�1 � �
!(�2z)
�a0c0 limm!1
det
J(1)m�2 � �
J0;m�2 � �
!(�2z)2
yaz¬l¬r. Buradan
�(z; J) = (�� b0) 2z limm!1
det
J(0)m�1 � �
J0;m�1 � �
!� a0c04z
2 limm!1
det
J(1)m�2 � �
J0;m�2 � �
!
�(z; J) = (�� b0)�2z�
�z; J (0)
��� a0c0
�4z2�
�z; J (1)
��(4.1.9)
bulunur. (4.1.9) esitli¼gi key�J matrisi için sa¼gland¬¼g¬ndan J = J (n) içinde bu esitlik
yaz¬l¬r.
J =
26666666664
b0 c0 0 ::: :::
a0 b1 c1 0 :::
0 a1 b2. . . . . .
0 0. . . . . . . . .
... :::. . . . . . . . .
37777777775, J (n) =
26666666664
bn+1 cn+1 0 0 :::
an+1 bn+2 cn+2 0 :::
0 an+2 bn+3 cn+3. . .
... 0. . . . . . . . .
......
. . . . . . . . .
37777777775oldu¼gundan
��z; J (n)
�= (�� bn+1)
�2z�
�z; J (n+1)
��� an+1cn+1
�4z2�
�z; J (n+2)
��(4.1.10)
esitli¼gi elde edilir. Bu esitlik zn ile çarp¬ld¬¼g¬nda;
zn��z; J (n)
�= 2�zn+1�
�z; J (n+1)
�� 2bn+1zn+1�
�z; J (n+1)
��4an+1cn+1zn+2�
�z; J (n+2)
�yaz¬l¬r. n = zn�
�z; J (n)
�denilirse
n (z) = 2�n+1 (z)� 2bn+1n+1 (z)� 4an+1cn+1n+2 (z)
31
bulunur. Burada n = m� 1 al¬nd¬¼g¬nda
m�1 (z) + 2bmm (z) + 4amcmm+1 (z) = 2�m (z) m � 0 (4.1.11)
olarak ikinci dereceden bir fark denklemi elde edilir.
Önerme 4.1.1. (4.1.2) kosulu alt¬nda kapal¬D diski içinde düzgün olarak
limm!1
��z; J (m)
�= 1
esitli¼gi gerçeklenir (Egorova and Golinskii 2005b).
Lemma 4.1.4. (4.1.2) kosulu alt¬nda
H (n) =1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) , H (n;m) =n+m�1Yj=n+1
(1 +H (j))
seklinde H (n), H (n;m) dizileri olusturulabilir. fH (n)g 2 l1 ve H (n), H (n;m)
dizileri n ye göre azaland¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : Öncelikle
(4ajcj � 1) = (2aj � 1) (2cj + 1) + 2cj � 2aj
= (2aj � 1) (2cj + 1) + (2cj � 1)� (2aj � 1)
olup
H (n) =
1Xj=n
[j2bjj+ j(2aj � 1) (2cj + 1) + (2cj � 1)� (2aj � 1)j]
<1Xj=n
fj2bjj+ j(2cj � 1)j+ j(2aj � 1)jg+1Xj=n
j(2cj + 1)j j(2aj � 1)j
yaz¬l¬r. (4.1.2) kosulu dikkate al¬narak j(2cj + 1)j < M olacak sekilde M 2 R+
32
oldu¼gu söylenir. Böylece
H (n) <1Xj=n
[j2bjj+ j(2cj � 1)j+ j(2aj � 1)j] +M
1Xj=n
j(2aj � 1)j
yaz¬l¬r. Yine (4.1.2) kosulundan
1Xj=n
j(2aj � 1)j <1 ve1Xj=n
[j2bjj+ j(2cj � 1)j+ j(2aj � 1)j] <1
olaca¼g¬ndan H (n) < 1 elde edilir. Dolay¬s¬yla H (n) tan¬ml¬d¬r. fH (n)g 2 l1
oldu¼gunu göstermek için ise
1Xn=0
�����1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j)����� =
1Xn=0
1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) <1
oldu¼gunu göstermek yeterlidir.
1Xn=0
1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) =1Xj=0
j2bjj+ j4ajcj � 1j+1Xj=1
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) + :::
= (j2b0j+ j4a0c0 � 1j) + (j2b1j+ j4a1c1 � 1j) + :::
(j2b1j+ j4a1c1 � 1j) + (j2b2j+ j4a2c2 � 1j) + :::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
=
1Xk=0
(k + 1) (j2bkj+ j4akck � 1j)
�1Xk=0
(k + 1)
0@ j2bkj+ j2ak � 1j j2ck + 1j
+ j2ck � 1j+ j2ak � 1j
1A=
1Xk=0
(k + 1) (j2bkj+ j2ck � 1j+ j2ak � 1j)
+
1Xk=0
(k + 1) j2ak � 1j j2ck + 1j
olup (4.1.2) kosulu gere¼gince
1Xn=0
1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) < M +M1
1Xk=0
(k + 1) j2ak � 1j
33
(M;M1 2 R) ve1Pk=0
(k + 1) j2ak � 1j <1 olaca¼g¬ndan
1Xn=0
1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) <1
elde edilir. Bu ise fH (n)g 2 l1 oldu¼gunu verir. Ayr¬ca her n için
H (n+ 1) =1X
j=n+1
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) <1Xj=n
(j2bjj+ j4ajcj � 1j) = H (n)
oldu¼gundan fH (n)g dizisi n ye göre azalan dizidir. Benzer sekilde her n ve m � 1
için
H (n;m)
H (n+ 1;m)=
n+m�1Qj=n+1
(1 +H (j))
n+mQj=n+2
(1 +H (j))
=[1 +H (n+ 1)]
[1 +H (n+m)]
olupH (n+ 1) > H (n+m) oldu¼gundanH (n;m)
H (n+ 1;m)� 1 bulunur. Bu da fH (n;m)g
dizisinin n ye göre azalan oldu¼gunu verir. Buna ek olarak
H (n;m+ 1)
H (n;m)=
n+mQj=n+1
(1 +H (j))
n+m�1Qj=n+1
(1 +H (j))
= 1 +H (n+m) > 1
olup key�m için H (n;m+ 1) > H (n;m) oldu¼gundan fH (n;m)g dizisi m ye göre
artan dizidir.
Lemma 4.1.5. � =z + z�1
2ve � (n;m) Kroniker delta olmak üzere J0 operatörünün
Green fonksiyonu olan G (n;m; z)
1
2G (n;m+ 1; z) +
1
2G (n;m� 1; z)� �G (n;m; z) = � (n;m) (4.1.12)
esitli¼gini sa¼glar (Egorova and Golinskii 2005b).
34
·Ispat : Lemmay¬ispatlamak için (4.1.12) esitli¼ginde n = m için
n = m için1
2G (n;m+ 1; z) +
1
2G (n;m� 1; z)� �G (n;m; z) = 1
n 6= m için1
2G (n;m+ 1; z) +
1
2G (n;m� 1; z)� �G (n;m; z) = 0
oldu¼gunu göstermek yeterlidir. Öncelikle m = n olsun. Bu durumda (4.1.12) ifadesi
ve Green fonksiyonu tan¬m¬gere¼gince
1
2G (n; n+ 1; z)+
1
2G (n; n� 1; z)� z + z�1
2G (n; n; z) =
z � z�1
z � z�1+1
20� z + z�1
20 = 1
olur. m 6= n olsun. Bu durumda m < n veya m > n dir. ·Ilk olarak m < n oldu¼gunu
kabul edelim. Dolay¬s¬yla m� 1 < n ve m+ 1 � n olur ve
1
2G (n;m+ 1; z) +
1
2G (n;m� 1; z)� z + z�1
2G (n;m; z) = 0 + 0 + 0 = 0
olarak bulunur. m > n ise m+ 1 > n ve m� 1 � n olur. Böylece
1
2G (n;m+ 1; z) =
1
22zm+1�n � zn�(m+1)
z � z�1
1
2G (n;m� 1; z) =
1
22zm�1�n � zn�m+1
z � z�1
�z + z�1
2G (n;m; z) =
�z � z�1
22zm�n � zn�m
z � z�1
olaca¼g¬ndan
1
2G (n;m+ 1; z) +
1
2G (n;m� 1; z)� z + z�1
2G (n;m; z) = 0
bulunur. Bu durumda (4.1.12) esitli¼gi ispatlanm¬s olur.
Teorem 4.1.1. (4.1.2) kosulu alt¬nda
�(z; J) =1Xj=0
�jzj
pertürbasyon determinant¬n¬n Taylor katsay¬lar¬
35
j�jj �1Yj=1
(1 +H (j))
1Xm=[j j2 j]
(j2bmj+ j4am � 1j) (4.1.13)
esitsizli¼gini sa¼glar (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : ·Ispata elde edilen baz¬esitliklerde düzenlemelerle baslayal¬m. (4.1.12) esitli¼gi
m ile (4.1.11) esitli¼giG (n;m; z)
2ile çarp¬ld¬¼g¬nda s¬ras¬yla
1
2mG (n;m+ 1; z) +
1
2mG (n;m� 1; z)� �mG (n;m; z) = m� (n;m) (4.1.14)
ve
1
2m�1G (n;m; z) + bmmG (n;m; z) + 2amcmm+1G (n;m; z) = �mG (n;m; z)
(4.1.15)
esitlikleri elde edilir. (4.1.14) esitli¼ginden (4.1.15) ifadesi ç¬kar¬ld¬¼g¬nda ise
1
2mG (n;m+ 1; z) +
1
2mG (n;m� 1; z)�
1
2m�1G (n;m; z)
�bmmG (n;m; z)� 2amcmm+1G (n;m; z)
= m� (n;m)
ifadesi elde edilir. Elde edilen bu son ifade de n den N ye kadar toplam al¬nd¬¼g¬nda
NXm=n
8<: 12mG (n;m+ 1; z) +
12mG (n;m� 1; z)� 1
2m�1G (n;m; z)
�bmmG (n;m; z)� 2amcmm+1G (n;m; z)
9=; = n (z)
bulunur. Dolay¬s¬yla
n (z) =
NXm=n
��bmG (n;m; z) +
1
2G (n;m� 1; z)
�m (4.1.16)
+
NXm=n
24 12mG (n;m+ 1; z)� 1
2m�1G (n;m; z)
�2amcmm+1G (n;m; z)
35olarak yaz¬l¬r. (4.1.16) esitli¼ginin sa¼g k¬sm¬ndaki ikinci ifade aç¬l¬p gerekli sadelestirme
36
islemleri sonucu
NXm=n
�1
2mG (n;m+ 1; z)�
1
2m�1G (n;m; z)� 2amcmm+1G (n;m; z)
�=
1
2nG (n; n+ 1; z)�
1
2n�1G (n; n; z)� 2ancnn+1G (n; n; z)
+1
2n+1G (n; n+ 2; z)�
1
2nG (n; n+ 1; z)� 2an+1cn+1n+2G (n; n+ 1; z)
::::::::::::::::::::::::::::::
+1
2N�1G (n;N ; z)�
1
2N�2G (n;N � 2; z)� 2aN�1cN�1NG (n;N � 1; z)
+1
2NG (n;N + 1; z)� 1
2N�1G (n;N ; z)� 2aNcNN+1G (n;N ; z)
=1
2NG (n;N + 1; z)� 1
2n�1G (n; n; z) +
NXm=n
�2amcmm+1G (n;m; z)
olarak bulunur. G (n; n; z) = 0 olaca¼g¬ndan (4.1.16) ifadesi
n (z) =NXm=n
��bmG (n;m; z) +
1
2G (n;m� 1; z)
�m +
1
2NG (n;N + 1; z)
+NXm=n
�2amcmm+1G (n;m; z)
=NXm=n
��bmG (n;m; z) +
1
2G (n;m� 1; z)
�m +
N�1Xm=n
�2amcmm+1G (n;m; z)
�2aNcNN+1G (n;N ; z) +1
2NG (n;N + 1; z)
=
NXm=n
��bmG (n;m; z) +
1
2G (n;m� 1; z)
�m +
1
2NG (n;N + 1; z)
�2aNcNN+1G (n;N ; z) +NXm=n
�2am�1cm�1mG (n;m� 1; z)
olup
n (z) =
NXm=n
��bmG (n;m; z) +
�1
2� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z)
�m
+1
2G (n;N + 1; z)N � 2aNcNG (n;N ; z)N+1 (z)
37
olarak elde edilir. Bu ifadede N !1 için limit al¬nd¬¼g¬nda
limN!1
n (z) =1Xm=n
8><>:�bmG (n;m; z)
+
�1
2� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z)
9>=>;m (4.1.17)
+ limN!1
�1
2G (n;N + 1; z)N � 2aNcNG (n;N ; z)N+1
�
olur. Esitli¼gin sa¼g taraf¬ndaki limit incelendi¼ginde N + 1 > n, N > n ve
1
2G (n;N + 1; z) =
zN+1�n � zn�N�1
z � z�1; G (n;N ; z) = 2
zN�n � zn�N
z � z�1
oldu¼gundan
limN!1
�1
2G (n;N + 1; z)N � 2aNcNG (n;N ; z)N+1 (z)
�
= limN!1
�zN+1�n � zn�N�1
z � z�1N � 4aNcN
zN�n � zn�N
z � z�1N+1
�
= limN!1
�z2N+2�2n � 1
(z � z�1) zN+1�nN � 4aNcN
z2N�2n � 1(z � z�1) zN�n
N+1
�
= limN!1
2664z2N+1�nz�NN
z � z�1� zn�1z�NN
z � z�1� 4aNcNz
2N�n+1z�(N+1)N+1z � z�1
+4aNcNN+1z
�(N+1)zn+1
z � z�1
3775yaz¬l¬r. Buradan lim
N!1Nz
�N = limN!1
��z; J (N)
�= 1 N > n ve jzj < 1 oldu¼gu
dikkate al¬narak
limN!1
�1
2G (n;N + 1; z)N � 2aNcNG (n;N ; z)N+1 (z)
�=
�zn�1 + zn+1
z � z�1
=zn (z � z�1)
z � z�1= zn
38
olarak elde edilir. Dolay¬s¬yla bu son limit de¼geri (4.1.17) ifadesinde yaz¬ld¬¼g¬nda
n (z) = zn +
1Xm=n
��bmG (n;m; z) +
�1
2� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z)
�m
= zn +1X
m=n+1
��bmG (n;m; z) +
�1
2� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z)
�m
bulunur. Buradan
M (n;m; z) = �bmG (n;m; z) +�1
2� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z)
olmak üzere n (z) çözümü
n (z) = zn +
1Xm=n+1
M (n;m; z)m (z) n = �1; 0; 1; ::: (4.1.8)
seklinde ifade edilebilir. Green fonksiyonu tan¬m¬ndanM (n; n; z) = 0 oldu¼gu aç¬kt¬r.
Ayr¬ca^M (n;m; z) = M (n;m; z) zm�n olmak üzere �
�z; J (n)
�= z�nn oldu¼gu
dikkate al¬narak ve (4.1.18) esitli¼gi
��z; J (n)
�= 1 +
1Xm=n+1
^M (n;m; z)�
�z; J (m)
�seklinde ifade edilir veya
��z; J (n)
�� 1 =
1Xm=n+1
^M (n;m; z) +
1Xm=n+1
^M (n;m; z)
���z; J (m)
�� 1�(4.1.19)
formunda yaz¬labilir.
^M (n;m; z) z ye göre bir polinomdur ve jzj < 1 için
��G (n;m; z) zm�n�� = 2��z2(m�n) � 1�� ��z � z�1
���1 � 2 jzj jm� nj (4.1.20)��G (n;m� 1; z) zm�n�� = 2 jzj2 jm� n� 1j � 2 jzj jm� nj
esitsizlikleri gerçeklenir.
39
Gerçekten;
^M (n;m; z) = M (n;m; z) zm�n
=
��bmG (n;m; z) +
�1
2� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z)
�zm�n
olup^M (n;m; z), z ye göre bir polinomdur.
��G (n;m; z) zm�n�� = ����2zm�n � zn�m
z � z�1zm�n
���� = 2 ����z2(m�n) � 1z � z�1
���� = 2 ����z2(m�n) � 1z2 � 1
���� jzjolup
limz!1
z2(m�n) � 1z2 � 1 = lim
z!1
2 (m� n) z2m�2n�1
2z= m� n
oldu¼gundan
��G (n;m; z) zm�n�� = 2 ����z2(m�n) � 1z2 � 1
���� jzj � 2 jzj jm� nj
olarak bulunur. Benzer sekilde;
��G (n;m� 1; z) zm�n�� =
����2zm�n�1 � zn�(m�1)
z � z�1zm�n
���� = ����2z2m�2n�1 � z
z � z�1
����= 2
����z2m�2n�1 � z
z2 � 1
���� jzj = 2 jzj2 ����z2m�2n�2 � 1z2 � 1
����olup
limz!1
z2m�2n�2 � 1z2 � 1 = lim
z!1
2 (m� n� 1) z2m�2n�32z
= m� n� 1
oldu¼gundan
��G (n;m� 1; z) zm�n�� = 2 jzj2 ����z2m�2n�2 � 1z2 � 1
���� � 2 jzj2 jm� n� 1j � 2 jzj jm� nj
40
olarak (4.1.20) esitsizlikleri elde edilmis olur. Bu esitsizlikler kullan¬larak
���� ^M (n;m; z)
���� =
������ �bmG (n;m; z) zm�n
+�12� 2am�1cm�1
�G (n;m� 1; z) zm�n
������ (4.1.21)
� 2 jbmj jzj jm� nj+����12 � 2am�1cm�1
���� 2 jzj jm� nj
= jzj jm� nj (2 jbmj+ j1� 4am�1cm�1j) ; jzj � 1
yaz¬l¬r. Simdi teoremin ispat¬nda gerekli olacak baz¬lemmalar¬verelim.
Lemma 4.1.6. (4.1.2) kosulu alt¬nda g (n; z) =1P
m=n+1
^M (n;m; z) serisi kapal¬birim
disk olan D içinde düzgün ve mutlak yak¬nsakt¬r. Ayr¬ca (4.1.21) esitsizli¼gi gere¼gince
jg (n; z)j �1X
m=n+1
mhm; hm = 2 jbmj+ j1� 4am�1cm�1j
yaz¬l¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat :
jg (n; z)j =�����
1Xm=n+1
^M (n;m; z)
����� �1X
m=n+1
���� ^M (n;m; z)
�����
1Xm=n+1
jzj jm� nj (j2bmj+ j1� 4am�1cm�1j) ; jzj � 1 oldu¼gundan
�1X
m=n+1
jm� nj (j2bmj+ j1� 4am�1cm�1j)
�1X
m=n+1
m (j2bmj+ j1� 4am�1cm�1j) =1X
m=n+1
mhm
elde edilir.
1� 4am�1cm�1 = (1� 2am�1) (1 + 2cm�1) + (1� 2cm�1)� (1� 2am�1)
41
oldu¼gundan
jg (n; z)j �1X
m=n+1
m (j2bmj+ j1� 4am�1cm�1j)
�1Xm=1
m (j2bmj+ j1� 2am�1j j1 + 2cm�1j+ j1� 2cm�1j � j1� 2am�1j)
=1Xm=1
m (j2bmj+ j1� 2am�1j+ j1� 2cm�1j)
+1Xm=1
m (j1� 2am�1j j1 + 2cm�1j)
olup (4.1.2) kosulu gere¼gince jg (n; z)j < 1 yaz¬l¬r. Dolay¬s¬yla g (n; z) Weierstrass
testinden D da düzgün ve mutlak yak¬nsakt¬r.
Lemma 4.1.7. Ard¬s¬k yaklas¬mlar¬n standart metodu gere¼gince
��� �z; J (n)�� 1�� � exp 1Xm=1
mhm
! 1Xm=n+1
mhm
esitsizli¼gi sa¼glan¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat: (4.1.19) esitli¼ginde
f (n; z) = ��z; J (n)
�� 1; g (n; z) =
1Xm=n+1
^M (n;m; z)
olmak üzere
f (n; z) = g (n; z) +
1Xm=n+1
^M (n;m; z) f (m; z)
yaz¬l¬r.
f1 (n; z) = g (n; z) ; fj+1 (n; z) =1X
m=n+1
^M (n;m; z) fj (m; z)
olmak üzere tümevar¬m yöntemiyle
jfj (n; z)j ��j1 (n)
(j � 1)!
42
oldu¼gu gösterilebilir. Burada �1 (n) =1P
m=n+1
mhm biçimindedir. j = 1 için
jf1 (n; z)j = jg (n; z)j =�����
1Xm=n+1
^M (n;m; z)
����� �1X
m=n+1
mhm = �1 (n)
elde edilir.
j için
jfj (n; z)j ��j1 (n)
(j � 1)!
ifadesi do¼gru olsun. Bu durumda
jfj+1 (n; z)j =�����
1Xm=n+1
^M (n;m; z) fj (m; z)
����� (4.1.22)
�1X
m=n+1
���� ^M (n;m; z)
���� jfj (m; z)j�
1Xm=n+1
mhm�j1 (m)
(j � 1)! =1
(j � 1)!
1Xm=n+1
mhm�j1 (m)
olur. (4.1.22) esitsizli¼ginde1P
m=n+1
mhm�j1 (m) ifadesine (a+ b)j+1�aj+1 � (j + 1) ajb;
(a; b > 0) esitsizli¼gi uyguland¬¼g¬nda; a = �1 (m), b = mhm olmak üzere
[mhm + �1 (m)]j+1 � �j+11 (m) � (j + 1)�j1 (m)mhm
olur.1P
k=m+1
khk = �1 (m) oldu¼gundan
mhm�j1 (m) � 1
j + 1
h(mhm + �1 (m))
j+1 � �j+11 (m)i
=1
j + 1
24 1Xk=m+1
khk +mhm
!j+1� �j+11 (m)
35=
1
j + 1
24 1Xk=m
khk
!j+1� �j+11 (m)
35
43
elde edilir.1Pk=m
khk = �1 (m� 1) olaca¼g¬ndan ise
mhm�j1 (m) =
1
j + 1
��j+11 (m� 1)� �j+11 (m)
bulunur. Bu son esitlik (4.1.22) esitsizli¼ginde dikkate al¬nd¬¼g¬nda
jfj+1 (n; z)j �1
(j � 1)!
1Xm=n+1
1
j + 1
��j+11 (m� 1)� �j+11 (m)
� 1
j!limp!1
pXm=n+1
��j+11 (m� 1)� �j+11 (m)
=
1
j!limp!1
8<: �j+11 (n)� �j+11 (n+ 1) + �j+11 (n+ 1)� �j+11 (n+ 2)
+:::+ �j+11 (p� 1)� �j+11 (p)
9=;=
1
j!�j+11 (n)� 1
j!limp!1
�j+11 (p)
yaz¬l¬r. Yak¬nsak serinin kalan terimi s¬f¬ra gidece¼ginden limp!1
�j+11 (p) = 0 olup
jfj+1 (n; z)j �1
j!�j+11 (n)
elde edilir. Böylece
jfj (n; z)j �1
(j � 1)!�j1 (n)
esitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬elde edilmis olur. Bu esitsizlik dikkate al¬nd¬¼g¬nda
��� �z; J (n)�� 1�� = jf (n; z)j =�����1Xj=1
fj (n; z)
����� �1Xj=1
�j1 (n)
(j � 1)! �1Xj=1
�j�11 (n)�1 (n)
(j � 1)!
= �1 (n) exp [�1 (n)] = exp
1Xm=n+1
mhm
! 1Xm=n+1
mhm
� exp
1Xm=1
mhm
! 1Xm=n+1
mhm; n � �1, jzj � 1
elde edilir.
44
Lemma 4.1.8. ��z; J (n)
�pertürbasyon determinant¬Taylor serisine aç¬ld¬¼g¬nda;
��z; J (n)
�= 1 +
1Xj=1
{ (n; j) zj
seklinde ifade edilir ve { (n; j) Taylor katsay¬lar¬için
j{ (n; j)j � C
1Xm=n+1
mhm
esitsizli¼gi gerçeklenir. Burada C, uzay¬n de¼giskeninden ve spektral parametreden
ba¼g¬ms¬z pozitif sabittir. Sabitlenen j için n ! 1 iken { (n; j) ! 0 elde edilir
(Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : f (z), bir C : jz � z0j = R çemberinin üzerinde ve içinde analitik,
M = maxz2C
jf (z)j
olmak üzere jf (z)j �M ise Cauchy esitsizli¼gi��f (n) (z0)�� � n!M
Rnesitsizli¼ginin gerçek-
lendi¼gini söyler.
D = fz : jzj � 1g olup D bölgesinde
g (n; z) =1X
m=n+1
^M (n;m; z)
mutlak ve düzgün yak¬nsak oldu¼gundan terim terim türevlenebilir ve analitiktir.
Ayr¬ca jg (n; z)j �1P
m=n+1
mhm ve j{ (n; j)j =��������0; J (n)
��(j)j!
����� oldu¼gundan Cauchyesitsizli¼ginden Lemma (4.1.7) dikkate al¬narak
j{ (n; j)j =��������0; J (n)
��(j)j!
����� � C
1Xm=n+1
mhm
yaz¬l¬r. M =1P
m=n+1
mhm seklinde ifade edilir. Buradan
45
0 � j{ (n; j)j � C1X
m=n+1
m (j2bmj+ j1� 4am�1cm�1j)
yaz¬l¬r. n!1 için m!1 olup
0 � limn!1
j{ (n; j)j � 0
olur, buradan ise limn!1
j{ (n; j)j = 0 dolay¬s¬yla sabitlenen j için n ! 1 iken
{ (n; j) ! 0 bulunur. Simdi (4.1.1) Teoreminin ispat¬na devam edilebilir. (4.1.10)
esitli¼ginde
��z; J (n)
�= 1 +
1Xj=1
{ (n; j) zj
aç¬l¬m¬yaz¬ld¬¼g¬nda
1 +1Xj=1
{ (n; j) zj =
�z + z�1
2� bn+1
�2z
1 +
1Xj=1
{ (n+ 1; j) zj!
�4z2an+1cn+1
1 +
1Xj=1
{ (n+ 2; j) zj!
=�z2 + 1� 2zbn+1
�+�z2 + 1� 2zbn+1
� �{ (n+ 1; 1) z + { (n+ 1; 2) z2 + :::
��4z2an+1cn+1
�4z2an+1cn+1�{ (n+ 2; 1) z + { (n+ 2; 2) z2 + :::
�= 1� 2zbn+1 + (1� 4an+1cn+1) z2
+�{ (n+ 1; 1) z + { (n+ 1; 2) z2 + :::
��2zbn+1
�{ (n+ 1; 1) z + { (n+ 1; 2) z2 + { (n+ 1; 3) z3 + :::
�+z2
�{ (n+ 1; 1) z + { (n+ 1; 2) z2 + { (n+ 1; 2) z2 + :::
��4z2an+1cn+1
�{ (n+ 2; 1) z + { (n+ 2; 2) z2 + :::
�
46
ç¬kar. Buradan
{ (n; 1) z + { (n; 2) z2 + { (n; 3) z3 + :::
= �2bn+1z + (1� 4an+1cn+1) z2
+�{ (n+ 1; 1) z + { (n+ 1; 2) z2 + :::
��2bn+1
�{ (n+ 1; 1) z2 + { (n+ 1; 2) z3 + :::
�+�{ (n+ 1; 1) z3 + { (n+ 1; 2) z4 + :::
��4an+1cn+1
�{ (n+ 2; 1) z3 + { (n+ 2; 2) z4 + :::
�elde edilir. Son esitlikte katsay¬lar kars¬last¬r¬larak
{ (n; 1) = { (n+ 1; 1)� 2bn+1
{ (n; 2) = (1� 4an+1cn+1)� 2bn+1{ (n+ 1; 1) + { (n+ 1; 2)
{ (n; 3) = { (n+ 1; 1)� 4an+1cn+1{ (n+ 2; 1)
�2bn+1{ (n+ 1; 2) + { (n+ 1; 3)
{ (n; 4) = { (n+ 1; 2)� 4an+1cn+1{ (n+ 2; 2)
�2bn+1{ (n+ 1; 3) + { (n+ 1; 4)
:::
{ (n; j + 1) = { (n+ 1; j � 1)� 4an+1cn+1{ (n+ 2; j � 1)
�2bn+1{ (n+ 1; j) + { (n+ 1; j + 1) , (j � 2)
bulunur veya iterasyon ile
{ (n; 1)� { (n+ 1; 1) = �2bn+1
{ (n+ 1; 1)� { (n+ 2; 1) = �2bn+2
:::::::::::::::::::::::::: = :::::::
{ (m� 1; 1)� { (m; 1) = �2bm
{ (m; 1)� { (m+ 1; 1) = �2bm+1
47
olaca¼g¬ndan bu esitliklerin taraf tarafa toplanmas¬sonucu
{ (n; 1)� { (m+ 1; 1) = �2m+1Xk=n+1
bk
elde edilir. m!1 için { (m+ 1; 1)! 0 olaca¼g¬ndan
{ (n; 1) = �2m+1Xk=n+1
bk (4.1.23)
olur. Benzer sekilde
{ (n; 2)� { (n+ 1; 2) = (1� 4an+1cn+1)� 2bn+1{ (n+ 1; 1)
{ (n+ 1; 2)� { (n+ 2; 2) = (1� 4an+2cn+2)� 2bn+2{ (n+ 2; 1)
{ (n+ 2; 2)� { (n+ 3; 2) = (1� 4an+3cn+3)� 2bn+3{ (n+ 3; 1)
::::::::::::::::::::::::: = :::::::::::::::::::::::::::::::::::::
{ (m� 1; 2)� { (m; 2) = (1� 4amcm)� 2bm{ (m; 1)
{ (m; 2)� { (m+ 1; 2) = (1� 4am+1cm+1)� 2bm+1{ (m+ 1; 1)
olup bu esitlikler taraf tarafa topland¬¼g¬nda
{ (n; 2)� { (m+ 1; 2) = �m+1Xk=n+1
[2bk{ (k; 1) + 4akck � 1]
bulunur. Buradan m!1 için limit al¬nd¬¼g¬nda { (m+ 1; 2)! 0 olaca¼g¬ndan
{ (n; 2) = �1X
m=n+1
[2bm{ (m; 1) + 4amcm � 1] (4.1.24)
48
olarak bulunur. Ayn¬sekilde j � 2 için
{ (n; j + 1)� { (n+ 1; j + 1) = { (n+ 1; j � 1)� 2bn+1{ (n+ 1; j)
�4an+1cn+1{ (n+ 2; j � 1)
{ (n+ 1; j + 1)� { (n+ 2; j + 1) = { (n+ 2; j � 1)� 2bn+2{ (n+ 2; j)
�4an+2cn+2{ (n+ 3; j � 1)
{ (n+ 2; j + 1)� { (n+ 3; j + 1) = { (n+ 3; j � 1)� 2bn+3{ (n+ 3; j)
�4an+3cn+3{ (n+ 4; j � 1)
::::::::::::::::::::::::::::::::: = ::::::::::::::::::::::::::::::::
{ (k; j + 1)� { (k + 1; j + 1) = { (k + 1; j � 1)� 2bk+1{ (k + 1; j)
�4ak+1ck+1{ (k + 2; j � 1)
olup elde edilen son esitlikler taraf tarafa topland¬¼g¬nda
{ (n; j + 1)� { (k + 1; j + 1) = �k+1X
m=n+1
[2bm{ (m; j) + 4amcm{ (m+ 1; j � 1)]
+k+1X
m=n+1
{ (m; j � 1)
{ (n; j + 1)� { (k + 1; j + 1) = { (n+ 1; j � 1)
�k+1X
m=n+1
f2bm{ (m; j) + (4amcm � 1){ (m+ 1; j � 1)g
yaz¬l¬r. Yine k !1 için { (k + 1; j + 1)! 0 olaca¼g¬ndan j � 2 için
{ (n; j + 1) = { (n+ 1; j � 1)�1X
m=n+1
f2bm{ (m; j) + (4amcm � 1){ (m+ 1; j � 1)g
(4.1.25)
olarak elde edilir.
H (n; 0) = [1 +H (n+ 1)] [1 +H (n)] [1 +H (n� 1)]
olmak üzere H (n), H (n;m) dizilerinin tan¬mlar¬ ve (4.1.23) , (4.1.24) , (4.1.25)
49
esitlikleri kullan¬larak j üzerinden tümevar¬mla
j{ (n; j)j � H (n; j)H
�n+ 1 +
�����j2������ , n � �1 (4.1.26)
esitsizli¼gi yaz¬l¬r.
j = 1 için
j{ (n; 1)j =������2
1Xm=n+1
bm
����� �1X
m=n+1
j2bmj �1X
m=n+1
j2bmj+ j4amcm � 1j
= H (n+ 1) � H (n+ 1)H (n; 1)
olup (4.1.26) esitsizli¼gi elde edilir.
j için
j{ (n; j)j � H (n; j)H
�n+ 1 +
�����j2������ (4.1.27)
esitsizli¼gi do¼gru olsun.
j + 1 için
j{ (n; j + 1)j � H (n; j + 1)H
�n+ 1 +
�����j + 12������
esitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬(4.1.27) esitsizli¼gi yard¬m¬yla gösterilir. (4.1.25) esitli¼ginden
j{ (n; j + 1)j � j{ (n+ 1; j � 1)j+1X
m=n+1
j2bm{ (m; j)j+j(4amcm � 1){ (m+ 1; j � 1)j
olup (4.1.27) kabulü alt¬nda
j{ (n; j + 1)j � H (n+ 1; j � 1)H�n+ 2 +
�����j � 12������
+1X
m=n+1
j2bmjH (m; j)H�m+ 1 +
�����j2������
+1X
m=n+1
H (m+ 1; j � 1)H�m+ 2 +
�����j � 12������ j4amcm � 1j
yaz¬l¬r. H (n;m) dizisi n ye göre azalan m ye göre artan dizi ve H (n) dizisi n ye
50
göre azalan dizi oldu¼gundan
j{ (n; j + 1)j � H (n+ 1; j � 1)H�n+ 1 +
�����j + 12������
+H (n+ 1; j)H
�n+ 1 +
�����j + 22������ 1X
m=n+1
j2bmj
+H (n+ 2; j � 1)H�n+ 1 +
�����j + 32������ 1X
m=n+1
j4amcm � 1j
� H (n+ 1; j)H
�n+ 1 +
�����j + 12������
1 +
1Xm=n+1
j2bmj+ j4amcm � 1j!
=
n+jYm=n+2
[1 +H (m)]H
�n+ 1 +
�����j + 12������ [1 +H (n+ 1)]
=
n+jYm=n+1
[1 +H (m)]H
�n+ 1 +
�����j + 12������
= H (n; j + 1)H
�n+ 1 +
�����j + 12������
olup istenilen elde edilir. Dolay¬s¬yla
j{ (n; j)j � H (n; j)H
�n+ 1 +
�����j2������
esitsizli¼gi n � �1 için j üzerinden tümevar¬mla elde edilmis olur. Buradan H (n;m)
ve H (n) dizilerinin tan¬mlar¬ndan
j{ (n; j)j �n+m�1Yj=n+1
1 +H (j)1X
m=n+1+[j j2 j](j2bmj+ j4amcm � 1j) (4.1.28)
j{ (n; j)j �1Yj=1
[1 +H (j)]
1Xm=n+1+[j j2 j]
(j2bmj+ j4amcm � 1j)
elde edilir. Bu esitsizlikte n = �1 al¬nd¬¼g¬nda
j�jj �1Yj=1
[1 +H (j)]1X
m=[j j2 j](j2bmj+ j4amcm � 1j)
51
bulunarak ispat tamamlan¬r.
Sonuç 4.1.1. J matrisi ile (n+ 1) : moment olan
Mn+1 =
1Xk=0
(k + 1)n+1�����ak � 12
����+ jbkj+ ����ck � 12����� <1 (4.1.29)
olsun. Bu durumda pertürbasyon determinant¬n¬n n:mertebeden türevi olan�(n) (z),
asa¼g¬daki esitsizli¼gi gerçekler.
maxz2D
���(n) (z)�� � C (J)Mn+1 (4.1.30)
burada C (J) sadece J ye ba¼gl¬pozitif sabittir (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : Pertürbasyon determinant¬n Taylor serisi �(z; J) =1Pj=0
�jzj oldu¼gundan
�(z) = �0 + �1z + �2z2 + :::+ �nz
n + �n+1zn+1 + :::
�(1) (z) = �1 + 2�2z + :::+ n�nzn�1 + (n+ 1) �n+1z
n + :::
�(2) (z) = 2�2 + 6�3z + :::+ n (n� 1) �nzn�2 + n (n+ 1) �n+1zn�1 + :::
::::::: = :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
�(n) (z) = n (n� 1) (n� 2) (n� 3) :::3:2:1�n + (n+ 1)n (n� 1) :::3:2:1�n+1z + :::
olup
�(n) (z) =
1Xj=0
(j + 1) ::: (j + n) �j+nzj
seklinde ifade edilebilir. Buradan
maxz2D
���(n) (z)�� = max
z2D
�����1Xj=0
(j + 1) ::: (j + n) �j+nzj
����� �1Xj=0
(j + 1) ::: (j + n) j�j+nj
(4.1.31)
52
yaz¬l¬r. Teorem (4.1.1) dikkate al¬nd¬¼g¬nda
j�j+nj �1Y
j+n=1
[1 +H (j + n)]
1Xm=[j j+n2 j]
(j2bmj+ j4amcm � 1j)
yaz¬l¬r.1Q
j+n=1
[1 +H (j + n)] <1 oldu¼gundan
j�j+nj � C1
1Xm=[j j+n2 j]
(j2bmj+ j4amcm � 1j) � 2C11X
m=j+n
(j2bmj+ j4amcm � 1j)
olarak bulunur. Dolay¬s¬yla
maxz2D
���(n) (z)�� � 2C1
1Xj=0
(j + 1) ::: (j + n)
1Xm=j+n
(j2bmj+ j4amcm � 1j)
� C2 (J)1Xj=0
(j + n)n1X
m=j+n
Am, Am = j2bmj+ j4amcm � 1j
� C2 (J)1Xm=n
Am
m�nXj=0
(j + n)n = C2 (J)1Xm=n
Ammn
m�nXj=0
1
= C2 (J)1Xm=n
mnAm (m� n+ 1) � C2 (J)1Xm=n
(m+ 1)n+1Am
= C2 (J)1Xm=n
(m+ 1)n+1 (j2bmj+ j4amcm � 1j)
� C2 (J)1Xm=0
(m+ 1)n+1
8<: jbmj+��am � 1
2
��+ ��cm � 12
��+��am � 1
2
�� ��cm + 12
��9=;
� C (J)
1Xm=0
(m+ 1)n+1�jbmj+
����am � 12����+ ����cm � 12
�����= C (J)Mn+1
elde edilir.
53
5. B·IR·IM D·ISK ·IÇ·INDEK·I ANAL·IT·IK FONKS·IYON SINIFLARI ·IÇ·IN
SIFIR KÜMELER·I
Bu bölümde analitik fonksiyonlar¬n s¬f¬r kümelerine ait baz¬özellikler ele al¬nm¬st¬r.
A ile birim disk içinde analitik ve s¬n¬ra dek sürekli olan fonksiyonlar¬n cebri, X
ile A cebrindeki fonlsiyonlar¬n bir alt s¬n¬f¬, E ile de T birim çemberinin kapal¬bir
alt kümesi gösterilmistir. Ayr¬ca A1 ile tüm türevleri A ya ait olan A daki fonksi-
yonlar¬n alt cebri gösterilmistir. Daha aç¬k bir ifadeyle A1, birim yuvar¬n içinde
analitik birim çemberde yani birim yuvar üzerindeki noktalarda sonsuz mertebeden
türevlenebilir fonksiyonlar¬n cebrini göstermektedir. Bu bölümde A1 nun baz¬özel
alt s¬n¬�ar¬incelenmistir.
Tan¬m 5.1. Bir fonksiyonun E kümesi üzerinde s¬f¬r olmas¬ndan özdes olarak s¬f¬r
olmas¬ç¬k¬yorsa bu kümeye fonksiyonun birebirlik kümesi denir. Di¼ger bir ifadeyle
e¼ger E üzerinde s¬f¬r olan hiçbir asikar olmayan fonksiyon yoksa E kümesi X için bir
birebirlik veya teklik kümesi olarak adland¬r¬l¬r.
g 2 A1 ve Gn (g) := Gn = maxz2D
��g(n) (z)�� ; n 2 Z+ (5.1)
al¬ns¬n (Egorova and Golinskii 2005b).
Lemma 5.1. g 2 A1 olsun. Bu durumda herbir n do¼gal say¬s¬ve key� z; w 2 D
için �����g (z)�n�1Xk=0
g(k) (w)
k!(z � w)k
����� � Gnn!jz � wjn (5.2)
esitsizli¼gi sa¼glan¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : f fonksiyonunun x = a civar¬nda Taylor serisi
f (x) =
nXk=0
f (k) (a)
k!(x� a)k +Kn (x) ; Kn (x) =
f (n+1) (c) (x� a)
(n+ 1)!; a < c < x
54
biçimindedir. Dolay¬s¬yla g analitik fonksiyonunun z = w civar¬nda Taylor serisi
g (z) =
n�1Xk=0
g(k) (w)
k!(z � w)k +Kn (z)
olur. Burada Kn (z) = g(n) (c)(z � w)n
n!; c 6= z ve c 6= w biçimindedir. Bu durumda
�����g (z)�n�1Xk=0
g(k) (w)
k!(z � w)k
����� = jKn (z)j =����g(n) (c) (z � w)n
n!
����� jz � wjn
n!
��g(n) (c)�� � jz � wjn
n!maxc2D
��g(n) (c)��=
Gnn!jz � wjn
olup ispat tamamlan¬r.
g Fonksiyonunun Birim Çember Üzerindeki S¬f¬rlar¬n¬n Kümesi
F (g) = F :=�� 2 T : g(n) (�) = 0 8n 2 Z+
, � = ei�; 0 � � � 2�
olsun.
Lemma 5.2. F s¬f¬r ölçülü kapal¬bir kümedir (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : Özdes olarak s¬f¬r olmayan analitik fonksiyonun tüm sonsuz katl¬ s¬f¬rlar¬
analitiklik bölgesinin s¬n¬r¬ndad¬r. Dolay¬s¬yla F1, g fonksiyonunun analitiklik böl-
gesinin s¬n¬r¬ndaki s¬f¬rlar¬n¬n kümesi olmak üzere F � F1 yaaz¬l¬r. E¼ger � (F1) = 0
ise Lebesgue ölçüsü s¬f¬r olan kümenin her alt kümesinin Lebesgue ölçüsü de s¬f¬r
olaca¼g¬ndan � (F ) = 0 yaz¬l¬r. g 2 A1 oldu¼gundan birim yuvarda analitik birim
yuvar¬n s¬n¬r¬nda sürekli z 2 F1 için g (z) = 0 ancak tüm birim yuvarda g (z) 6= 0
oldu¼gundan Privalov teoreminden � (F1) = 0 bulunur. Dolay¬s¬yla � (F ) = 0 elde
edilir. Ayr¬ca F g fonksiyonun s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬n¬içerdi¼ginden kapal¬d¬r.
Ft uzakl¬klar¬en fazla t den F kümesine uzanan noktalar¬n kapal¬bir kümesi olsun.
Yani; Ft ile F kümesinin t komsulu¼gu gösterilsin.
55
'F (t) = ' (t) = jFtj
olsun. ' fonksiyonuna dF (x) = dist (x; F ) x 2 R fonksiyonunun da¼g¬l¬m fonksiyonu
denir.
Herbir h ölçülebilir fonksiyonu için t 2 F ise dF (t) = 0, t =2 F ise dF (t) = s olup
'�1 (t) = dF (t) = u de¼gisken de¼gistirmesiyle
ZFs
h (dF (t)) dt =
sZ0
h (u) d' (u) (5.3)
elde edilir.
Ayr¬ca g 2 A1 için
T (s) := infk�0
Gk (g) sk
k!, s > 0 (5.4)
olarak tan¬mlans¬n.
Lemma 5.3. g 2 A1 ve g 6= 0 olsun. Bu durumda
2�Z0
lnT (s) d' (s) > �1
esitsizli¼gi sa¼glan¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : g 2 A1 8z; w 2 D için (5.2) esitsizli¼gi gere¼gince�����g (z)�n�1Xk=0
g(k) (w)
k!(z � w)k
����� � Gnn!jz � wjn
yaz¬l¬r. Burada w = ei�0 z = ei�, �0 2 F al¬nd¬¼g¬nda�����g �ei���n�1Xk=0
g(k)�ei�0�
k!
�ei� � ei�0
�k����� � Gnn!
��ei� � ei�0��n
56
olup �0 2 F oldu¼gundan
��g �ei���� � Gn��ei� � ei�0
��nn!
(5.5)
yaz¬l¬r. f (x) = eix fonksiyonuna [�0; �] aral¬¼g¬nda ortalama de¼ger teoremi uygu-
land¬¼g¬nda f0(c) = ieic =
ei� � ei�0
� � �0olacak sekilde en az¬ndan bir tane c 2 (�0; �)
vard¬r. Dolay¬s¬yla ��ieic�� = 1 = ��ei� � ei�0��
j� � �0j
yaz¬l¬r. Buradan��ei� � ei�0
��n = j� � �0jn olaca¼g¬ndan (5.5) esitsizli¼gi
��g �ei���� � Gn j� � �0jn
n!
biçiminde yaz¬l¬r. Son esitsizli¼gin sa¼g k¬sm¬n ve �0 olmak üzere iki parametre içeriyor
sol taraf daha da küçültülebilir.
��g �ei���� � infn�0
Gnn!(dF (�))
n = T (dF (�))
yaz¬l¬r. Buradan
ln��g �ei���� � lnT (dF (�))
bulunur. ·Iyi bilinen2�R0
ln��g �ei���� d� > �1 esitli¼gi dikkate al¬nd¬¼g¬nda
�1 <
2�Z0
ln��g �ei���� d� � 2�Z
0
lnT (dF (�))
yaz¬l¬r. Buradan (5.3) esitli¼gi
2�Z0
lnT (dF (�)) =
2�Z0
lnT (s) d' (s)
olaca¼g¬n¬söyler. Böylece
�1 <
2�Z0
lnT (s) d' (s)
57
elde edilir. Baska sekilde de bu esitsizli¼gin varl¬¼g¬na ulas¬labilir (Bairamov et al.
2001; lemma 4.4) 2� peryotlu g fonksiyonu tüm düzlemde analitik, tüm türevleri
aç¬k üst düzlemde sürekli supz2P
��g(k) (z)�� � Ak, G, g fonksiyonunun P seridi içindeki
sonsuz katl¬s¬f¬rlar¬n¬n kümesi G � [0; 2�], � (G) = 0 ve
F (s) = infk
Aksk
k!
k = 0; 1; 2; ::: olmak üzere
wZ0
lnF (s) d� (Gs) = �1 w 2 [0; 2�]
ise C+ da g � 0 oldu¼gu söylenir. Verilen (5.3) lemmas¬nda g 2 A1 oldu¼gun-
dan kendisi ve tüm türevleri birim disk içinde analitik ve s¬n¬ra dek süreklidir.
Gn = maxz2D
��g(n) (z)�� n 2 Z+, F g fonksiyonunun birim çember üzerindeki sonsuz
katl¬s¬f¬rlar¬kümesi, F � [0; 2�) � (F ) = 0 ve T (s) = infk�0
Aksk
k!> 0 oldu¼gundan
wR0
lnT (s) d' (s) = �1 ise g � 0 olur. g 6= 0 verildi¼ginden2�R0
lnT (s) d' (s) 6= �1
olup2�R0
lnT (s) d' (s) > �1 elde edilir.
g fonksiyonunun iç s¬f¬rlar¬yla iliskili E kümesi
E (g) = E := f� 2 T : fzng 2 D, zn ! �, g (zn) = 0g
seklinde tan¬mlans¬n.
Lemma 5.4.
F (g) = F :=�� 2 T : g(n) (�) = 0 8n 2 Z+
, � = ei�, 0 � � � 2�
E (g) = E := f� 2 T : fzng 2 D, zn ! �, g (zn) = 0g
olmak üzere E � F sa¼glan¬r (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : Kabul edelim ki herhangi w eleman¬için w 2 E ancak w =2 F olsun. w =2 F
58
oldu¼gundan w, g fonksiyonunun sonlu katl¬s¬f¬r¬d¬r. Farz edelim ki w, (n� 1) katl¬
s¬f¬r olsun. Bu durumda g(k) (w) = 0; k = 1; 2; :::; n � 2 ve g(n�1) (w) 6= 0 yaz¬l¬r.
(5.2) esitsizli¼gi gere¼gince�����g (z)�n�1Xk=0
g(k) (w)
k!(z � w)k
����� � Gn jz � wjn
n!
oldu¼gu söylenir. Buradan g(k) (w) = 0; k = 1; 2; :::; n� 2 oldu¼gundan����g (z)� g(n�1) (w)
(n� 1)! (z � w)n�1���� � Gn jz � wjn
n!(5.6)
bulunur. w 2 E oldu¼gundan limk!1
zk = w olacak sekilde fzkg 2 D vard¬r öyleki herbir
k için g (zk) = 0 yaz¬l¬r. (5.6) esitsizli¼ginde z = zk al¬n¬rsa g (zk) = 0 olaca¼g¬ndan�����g(n�1) (w)(n� 1)! (zk � w)n�1���� � Gn jzk � wjn
n!
yaz¬l¬r. Buradan 0 ���g(n�1) (w)�� � Gn
njzk � wj olup. k ! 1 için limit al¬nd¬¼g¬nda
g(n�1) (w) = 0 elde edilir.Bu ise g(n�1) (w) 6= 0 oldu¼gundan çeliskidir. Dolay¬s¬yla
kabul yanl¬s olup w 2 E iken w 2 F oldu¼gu söylenir. Bu da E � F oldu¼gunu verir.
Tan¬m 5.2. E¼ger J matrisi için����an � 12����+ ����cn � 12
����+ jbnj � C1 exp��C2n�
�; 0 < � < 1; C1, C2 > 0 (5.7)
kosulu sa¼glan¬yorsa J matrisi P (�) s¬n¬f¬ndand¬r denir (Egorova and Golinskii 2005b).
Tan¬m 5.3. (Genel Metrik Uzaylarda p-ölçü)
X bir uzay 0 � p <1 olmak üzere p key� reel say¬olsun. Verilen key� " > 0 say¬s¬
için
m"p = inf
1Xi=1
[� (Ai)]p
olmak üzere
mp (X) = sup">0
m"p (X)
59
al¬ns¬n. mp (X) e X in p-ölçüsü denir. Burada Ai ler X = A1 + A2 + :::olmak
üzere X in say¬labilir say¬da çap¬" dan küçük alt kümelerinin herhangi ayr¬smas¬d¬r
(Hurewicz and Wallman 1948).
Tan¬m 5.4. (Hausdor¤ Boyut) Verilen key�X metrik uzay¬n¬n Hausdor¤ boyutu
ile, mp (X) > 0 olacak sekilde tüm p reel say¬lar¬n¬n supremumu belirtilir.
X, n boyutlu uzay olmak üzere 0 � n <1 için dimX � n ve mp (X) > 0 olup
dimX � Hausdor¤dimX
dir (Hurewicz and Wallman 1948).
Teorem 5.1. 0 < � <1
2olmak üzere J 2 P (�) olsun. Bu durumda EJ = f�d (J)g
0
s¬f¬r ölçülü kapal¬bir alt kümedir ve
dimEJ � � (EJ) �1� 2�1� �
(5.8)
esitsizli¼gi gerçeklenir. Burada dimEJ , EJ kümesinin hausdor¤ boyutudur ve [�1,1]
kapal¬aral¬¼g¬n¬n kapal¬F alt kümesi için
� (EJ) = inf
(" > 0 :
1Xj=1
jljj" <1)
seklinde tan¬mlan¬r. fljgler F kümesinin tamamlay¬c¬aral¬klar¬d¬r. E¼ger J 2 P�12
�ise EJ = ? dir (Egorova and Golinskii 2005b).
·Ispat : J 2 P (�) oldu¼gundan 0 < � < 1, C1 > 0, ve C2 > 0 olmak üzere����an � 12����+ ����cn � 12
����+ jbnj � C1 exp��C2n�
�sa¼glan¬r. Dolay¬s¬yla herbir n için otomatik olarak
Mn+1 =
1Xk=0
(k + 1)n+1�����ak � 12
����+ jbkj+ ����ck � 12����� <1
60
sa¼glan¬r. Buradan Mr momentleri ç¬kar¬labilir. Yine J 2 P (�) oldu¼gundan����ak � 12����+ jbkj+ ����ck � 12
���� � C exph�C (k + 1)�
iyaz¬l¬r. Burada C orjinal J matrisine ba¼gl¬pozitif sabittir. Dolay¬s¬yla
Mr � C
1Xk=0
(k + 1)r exph�C (k + 1)�
i= C
1Xk=0
(k + 1)r exp
��C � C
2(k + 1)�
�
olup
Mr � C
1Xk=0
(k + 1)r exp
��C2(k + 1)�
�exp
��C2(k + 1)�
�(5.9)
elde edilir.
u (x) = xr exp
��Cx�2
�elementer fonksiyonu için
u0(x) = rxr�1 exp
��Cx�2
�+ xr
��C�2
�x��1 exp
��Cx�2
�(5.10)
= exp
��Cx�2
��rxr�1 � C�
2x�+r�1
�
yaz¬l¬r. u0(x) = 0 için exp
��Cx�2
�6= 0 olaca¼g¬ndan xr�1
�r � C�
2x��= 0 olur.
Buradan u fonksiyonu için x0 =�2r
C�
� 1� ve x1 = 0 kritik noktalar¬bulunur. (5.10)
esitli¼gininden x -e göre bir kez daha türev al¬narak
u00(x) = exp
��Cx�2
���C�r2
x�+r�2 +C2�2
4x2�+r�2
�+exp
��Cx�2
��r (r � 1)xr�2 � C�
2(r + � � 1)x�+r�2
�
61
olarak bulunur.
u00(x0) = u
00
264� 2rC�
� 1�
375
= exp
��C2r2C�
�8>>>>><>>>>>:
�C�r2
�2r
C�
�� + r � 2�
+C2�2
4
�2r
C�
�2� + r � 2�
+r (r � 1)�2r
C�
�r � 2� � C�
2(r + � � 1)
�2r
C�
�r + � � 2�
9>>>>>=>>>>>;= �r� exp
��r�
��2r
C�
�r � 2�
olup exp��r�
�> 0,
�2r
C�
�r � 2�
> 0 ve r� > 0 oldu¼gundan
�r� exp��r�
��2r
C�
�r � 2�
< 0
bulunur. Dolay¬s¬yla x0 =�2r
C�
� 1� noktas¬u fonksiyonunun yerel maksimum nok-
tas¬d¬r. Böylece
maxx�0
u (x) = u (x0) =
�2r
C�
� r�e
�r�
=
�2
C�e
� r�r
r
� ; x0 =�2r
C�
� 1�
yaz¬l¬r. Bu esitlik (5.9)�da dikkate al¬narak
Mr � B
�2
C�e
� r�r
r
�
bulunur. Burada B = C1Pk=0
exph�C2(k + 1)�
iile ifade edilmistir. Elde edilen bu
esitsizlik sonuç (4.1.1) deki (4.1.30) esitsizli¼ginde göz önüne al¬narak n � 0 olmak
62
üzere
Gn (�) = maxz2D
���(n) (z)�� � C (J)Mn+1
� C (J)B
�2
C�e
�n+ 1�
(n+ 1)
n+ 1
�
= C
�2
C�e
�n+ 1�
(n+ 1)
n+ 1
�
elde edilir. Buradan
�n+ 1
n
�n�< e
1
� , (n+ 1)
1
� < e
n+ 1
� , (n+ 1)
n+ 1
�< e
1
� n
n
� e
n+ 1
�
esitsizlikleri yard¬m¬yla
Gn (�) � C
�2
C�e
�n+ 1�
e
1
� n
n
� e
n+ 1
�
� C2
n+ 1
�
C
n+ 1
� �
n+ 1
�
e
1
� n
n
� � C2
n+ 1
� (C�)�n+ 1
� e
1
� n
n
�
Gn (�) � C (C1)n n
n
� � C (C1)n n!n
n
� , n � 0 (5.11)
olup P (�) s¬n¬f¬ndan olan J matrisinin pertürbasyon determinant¬n¬n G� Gevrey
s¬n¬f¬na ait oldu¼gu elde edilir.
Simdi
T (s) = infk�0
Gk (g) sk
k!; s > 0
fonksiyonu ele al¬ns¬n. (5.11) esitsizli¼gi dikkate al¬narak
T (s) � C infn�0
(C1)n n
n
� sn
n!= C inf
n�0
(C1s)n n
n
�
n!
63
yaz¬l¬r. nn � enn! oldu¼gundan
T (s) � C infn�0
(C1se)n n
n
��n= C inf
n�0tnn�n
olur. Burada yeterince küçük s ler için t = C1se <1
2ve 0 < � < 1 olmak üzere
� = ��1 � 1 > 0 biçiminde ifade edilmistir. v (x) = txx�x elementer fonksiyonu için
v0(x) = tx (ln t)x�x + x�x (� lnx+ �) tx (5.12)
yaz¬l¬r. v0(x) = 0 için txx�x (ln t+ � lnx+ �) = 0 olaca¼g¬ndan ve tx 6= 0 oldu¼gundan
x�x = 0 veya ln t+ � lnx+ � = 0 olmal¬d¬r. ln t+ � lnx+ � = 0 ise
x = exp
��1� ln t
�
�
olup x =1
e
�1
eln t
� 1� yani
x2 =t
�1�
e
ve x�x = 0 ise
x3 = 0
kritik noktalar¬elde edilir. (5.12) esitli¼ginden x-e göre bir kez daha türev al¬nd¬¼g¬nda
v00(x) = [tx (ln t)x�x + txx�x (� lnx+ �)] (ln t+ �+ � lnx) +
�
xtxx�x
= txx�xn(ln t+ �+ � lnx)2 +
�
x
obulunur. � > 0, e > 0, t = C1es > 0 oldu¼gundan
x =1
et
�1� için (ln t+ �+ � lnx)2 > 0 ve
�
1
et
�1�
= e�t
1
� > 0
64
olur. Dolay¬s¬yla v00
0@1et
�1�
1A > 0 olup x2 =1
et
�1� , v (x) fonksiyonunun yerel
minimum noktas¬d¬r. Böylece u =1
et
�1� olmak üzere
minx�0
v (x) = v (x2) = tuu�u = tu1
e�ut
��u� = e��u
= exp
8>><>>:��t
�1�
e
9>>=>>; öyleki x2 =1
et
�1� >> 1 (5.13)
esitli¼gi elde edilir. Buradan n = [jx2j] olmak üzere (5.13) esitli¼ginden
T (s) � C infntnn�n � C exp
0@��et�1
�
1A � C exp
0BB@�(C1es)�1� �
e
1CCA
� C exp
2664�(C1e)�1� �
e
�1
s
� �
1� �
3775 ; s � s0
= C exp
264�C �1s
� �
1� �
375 ; s � s0, 0 < � < 1
bulunur. Lemma (5.3)
�1 <
2�Z0
lnT (s) d' (s)
oldu¼gunu söyler. Buradan
�1 <
aZ0
lnT (s) d' (s) � C
aZ0
ln exp
264�C �1s
� �
1� �
375 d' (s)�1 < �D
aZ0
d' (s)
s�=1��; 0 < a < 1
65
olupaZ0
d'F (s)
s�=1��<1; 0 < a < 1 (5.14)
F = F (�) elde edilir. Öncelikle 0 < � <1
2olsun. Bu durumda;
aR0
d'F (s)
s�=1��< 1,
0 < a < 1 integralinin yak¬nsakl¬¼g¬fljg ler F kümesinin tamamlay¬c¬aral¬klar¬olmak
üzere1Pj=1
jljj1� 2�1� � serisinin yak¬nsakl¬¼g¬na esittir (Carleson 1952).
� (F ) = inf
(" > 0 :
1Xj=1
jljj" <1)
seklinde tan¬mland¬¼g¬ndan
� (F ) � 1� 2�1� �
yaz¬l¬r. Fraktal boyut teorisi gere¼gince dimF � � (F ) yaz¬l¬r. Ayr¬caE � F oldu¼gun-
dan ve boyutlar¬n monotonlu¼gundan dimE � � (F ) � 1� 2�1� �
bulunur. �d (J), J
operatörünün D içindeki s¬f¬rlar¬n¬n kümesi bu s¬f¬rlar¬n limit noktalar¬da s¬f¬r ola-
ca¼g¬ndan EJ � E yaz¬l¬r. Dolay¬s¬yla
dimEJ � � (EJ) �1� 2�1� �
yaz¬l¬r. Böylece 0 < � < 1 için (5.8) esitsizli¼gi ispatlanm¬s olur. EJ � E � F ve
� (F ) = 0 oldu¼gundan � (EJ) = 0 oldu¼gu söylenir. C Hausdor¤ uzay �d (J) � C
oldu¼gundan f�d (J)g0= EJ kapal¬d¬r.
Simdi (5.14) esitsizli¼ginin � =1
2durumu ele al¬ns¬n. Bu durum F kümesi bos küme
de¼gilse imkans¬zd¬r. Gerçekten; lj =��j; �j
�tamamlay¬c¬yaylar¬n¬n boylar¬na göre
azalan s¬rada numaraland¬¼g¬farz edilsin. Böylece jl1j � jl2j � :::yaz¬l¬r.
0 < t1 < t2 <jl1j2=�1��12
olsun. ' fonksiyonunun tan¬m¬ndan
' (t2)� ' (t1) = jfx : t1 < dist (x; F ) � t2gj
66
yaz¬l¬r. I (t1; t2) = (�1 + t1; �1 + t2) aral¬¼g¬için I (t1; t2) � fx : t1 < dist (x; F ) � t2g
oldu¼gu aç¬kt¬r. Bu yüzden ' (t2)�' (t1) � t2�t1 dir. d'F Lebesgue ölçüsü oldu¼gun-
dan (5.14) integrali ¬raksakt¬r. Sonuç olarak e¼ger J 2 P�1
2
�ise F dolay¬s¬yla E
bos kümedir. Bu da �d (J) kümesinin sonlu oldu¼gunu söyler ispat tamamlan¬r.
67
KAYNAKLAR
Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2001. Spectral properties of non-self adjoint di¤erence
operators, J. Math. Anal., Appl. 261; 461-478.
Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2003. Di¤erence equations of second order with
spectral singularities,.Math. Anal. Appl. 277; 714-721.
Agarval, R.P. 2000. Di¤erence Equations and Inequalities Theory, Methods and
Applications, Marcel Dekker, New York.
Agarval, R.P. and Wong, P.J.Y. 1997. Advanced Topics in Di¤erence Equations,
Kluwer, Dordrecht.
Bairamov, E. 1999. Spectrum and spectral expansion for a non-self adjoint discrete
Dirac operators Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 50; 371-384.
Bairamov, E. and Coskun, C. 2004. Jost solutions and the spectrum of the system
of di¤erence equations Appl. Math. Lett. 17; 1039-1045.
Bairamov, E. and Coskun, C. 2005. The structure of the spectrum of a system of
di¤erence equations, Appl. Math. Lett. 18; 387-394.
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M. 1999a. An eigenfunction expansion for
a quadratic pencil of a Schrödinger operator with spectral singularities,
J. Di¤erential equations 151; 268-289.
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M. 1999b. Spectrum and spectral singularities
of a quadratic pencil of a Schrödinger operator with a general boundary
condition. J. Di¤, equations 151; 252-267.
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M. 2001a. Spectral analysis of non-self adjoint
discrete Schrödinger operator with spectral singularities, Math. Nachr. 231;
89-104.
Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M. 2001b. Non-self adjoint di¤erence opera
tors and Jacobi matrices with spectral singularities, Math. Nachr. 229;
5-14.
Carleson, L. 1952. Sets of uniqueness for functions in the unit disc, Acta Math. 87;
325-345.
68
Egorova, I. and Golinskii, L. 2005a. On the location of the discrete spectrum
for complex Jacobi matrices. Proceedings of the American Mathemati-
cal Society, volume 133. Number 12; 3635-3641.
Egorova, I. E. and Golinskii, L. B. 2005b. Limit sets for discrete spectrum of complex
Jacobi matrices. Matematicheskii Sbornik 196:6; 43-70.
Gohberg, I.C. and Krein, M.G. 1965. Introduction to the Theory of Linear Non
self adjoint Operators. Nauka, Moscow. English transl., Amer. Math.
Soc., Providence,RI 1969.
Guseinov, G.S. 1976. The determination of an in�nite Jacobi matrix from the scat
tering data, Dokl. Akad. Nauk SSSR 227:6; 1289-1292; English transl. in
Soviet Math. Dokl. 17 (1976).
Hurewicz, W. and Wallman, H. 1948. Dimension Theory. Princeton University
Press.
Kato, T. 1966. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer-Verlag. New
York.
Killip, R. and Simon, B. 2003. Sum rules for Jacobi matrices and their applications
to spectral theory. Ann. of Math. 158; 253-321.
Naimark, M. A. 1960. Investigation of the spectrum and the expansion in eigenfunc-
tions of a non-self adjoint operator of second order on a semi- axis. AMS.
Transl. 2(16); 103-193.
Naimark, M. A. 1968. Linear Di¤erential Operators. I, II, Ungar. New York
Reed, M. and Simon, B. 1978. Methods of Modern Mathematical Physics, IV.
Analysis of Operators, Academic Press, New York.
69
ÖZGEÇM·IS
Ad¬Soyad¬ : Yelda AYGAR
Do¼gum Yeri : Çorum/Sungurlu
Do¼gum Tarihi : 28. 01 .1983
Medeni Hali : Bekar
Yabanc¬Dili : ·Ingilizce
E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise : Sungurlu Haydar Öztas Anadolu Lisesi (2001)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü (2006)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬(Eylül 2006� Temmuz 2008)
Çal¬st¬¼g¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü Arast¬rma Görevlisi 2007-...
70
