Zweiniveausystemverschränkte Zustände, EPR-Paradoxon

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 11. Vorlesung

Das Experiment kann so erklärt werden, dass das Elektron

einen Eigendrehimpuls besitzt, der die Werte annehmen kann

Wenn sich ein Strahl von Elektronen (Silberatomen) durch ein inhomogenes Magnetfeld bewegt, spaltet der Strahl in zwei Teilstrahlen auf

Stern-Gerlach-Experiment

Elektronspin: Spin zeigt nach oben oder unten

ZweiniveausystemEs gibt eine Vielzahl von Systemen, z.B. Elektronen oder Photonen, die man(näherungsweise) durch zwei Niveaus beschreiben kann

Photonen: Horizontale oder vertikale Polarisation

i.F. benutzen wir die Sprechweise „spin up“ and „spin down“

Zweiniveausystem : Wellenfunktion

Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist

Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“

Normierung der Wellenfunktion

Zweiniveausystem : Wellenfunktion

Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist

Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“

Wellenfunktion für „spin left“ und „spin right“

Zweiniveausystem : BlochkugelAlle Wellenfunktionen können auf der sogenannten Blochkugel dargestellt werden

Wie misst man Elektronenspin ?Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in z-Richtung misst, wirddurch folgenden Operator beschrieben

„spin up“ und „spin down“ sind Eigenzustände dieses Messoperators

Wie misst man Elektronenspin ?Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in x-Richtung misst, wirddurch folgenden Operator beschrieben

„spin right“ und „spin left“ sind Eigenzustände dieses Messoperators

Wie misst man Elektronenspin ?Was passiert, wenn man Elektronenspin in der „falschen“ Basis misst ?

„spin right“ ist kein Eigenzustand von Stern-Gerlach-Experiment in z-Basis !!!

John von Neumann hat 1932 eine Vorschriftgegeben, wie man in diesem Fall vorgehen

muss

von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :

(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig

Die Betragsquadrat die Entwicklungskoeffizienten „spin up“ und „spin down“ lieferndie Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zugehörige Eigenwert gemessen wird

Ein Stern-Gerlach-Experiment in der z-Basis kann nur die Ergebnisse„spin up“ und „spin down“ liefern

Im obigen Beispiel wird „spin up“ und „spin down“ mit jeweils 50% - iger Wahrscheinlichkeit gemessen

Messung in z – Basis

Messung

Ergebnis +1 mit Wahrscheinlichkeit 50% Ergebnis -1 mit Wahrscheinlichkeit 50%

Messprozess : ZweiniveausystemQuantenmechanik gibt nur Wahrscheinlichkeit für bestimmte Messung

Messprozess : Heisenbergsche UnschärferelationKann man gleichzeitig x- und z-Komponente von Spin bestimmen ?

Spielt die Messreihenfolge eine Rolle ?

Die beiden Messoperatoren vertauschen nicht !

Entsprechend der Heisenbergschen Unschärferelation gilt

x- und z-Komponente von Spin können nicht gleichzeitig genau bestimmt werden !!!

„Gott würfelt nicht …“

Albert Einstein (1875 – 1955)

Was ist, wenn das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung gar nicht zufälligis t? Wenn „verborgene Parameter“ existieren, die das Ergebnis vorausbestimmen ?

Weil wir l nicht kennen (vielleicht überhaupt nicht kennen können), sieht es so aus, als ob Ergebnis der Messung zufällig ist.

In Wirklichkeit ist Ergebnis durch Wert von l vorbestimmt.

Verborgene Parameter l

Kann man irgendwie nachprüfen, ob es solceheverborgenen Parameter tatsächlich gibt?

Dieser Zustand wird als „verschränkt“ bezeichnet. Für ihn gilt:

Es ist der Zustand von zwei Teilchen Er besitzt den Gesamtspin Null Der Spin der Teilchen a und b ist vollkommen unbestimmt Teilchen a und b haben stets antiparallele Spins

EPR ParadoxonEinstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendesParadoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll

Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchenerzeugt werden kann

EPR ParadoxonEinstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendesParadoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll

Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchenerzeugt werden kann

Der Zustand ist auch in der x-Basis verschränkt !!!

Teilchen b Teilchen a

AliceBob

EPR ParadoxonWenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert.

Messung von sz an Teilchen a Teilchen b muss entgegengesetzten Spin besitzen

Messung von sx an Teilchen b Teilchen a muss entgegengesetzten Spin besitzen

x- und z-Komponente des Spins eines Teilchens können gleichzeitigbestimmt werden ( widerspricht Heisenbergscher Unschärferelation )

AliceBob

EPR ParadoxonWenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert.

Teilchen b Teilchen a

Quantenmechanik ist unvollständig !?

AliceBob

Q: Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit !?

A: Nein, es wird keine Information übertragen ! ( Ergebnis des Experiments zufällig )

„ … spooky action at a distance“

EPR ParadoxonBohr widersprach Einstein und meinte, dass es durch die Messung des Spinszu einem Kollaps der Wellenfunktion kommt

Nils Bohr: Messung reduziert Wellenfkt. !!!

Verborgene Variablen versusKollaps der Wellenfunktion

Q: Kann man entscheiden, welches der beiden Modelle richtig ist ?

John Bell, 1964:

„Wenn es verborgene Variablen gäbe, so hätte dies messbare Konsequenzen !“

Teilchen b Teilchen a

AliceBobl l

Bellsche UngleichungNehmen wir zuerst an, dass die Theorie der verborgenen Variablen richtig ist.Wir können dann eine Korrelationsfunktion definieren

P( l ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verborgenen Variablen …

Für E gelten allgemein folgende Schranken

In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe

die Ungleichung

Bellsche Ungleichung

Diese Ungleichung kann in der Quantenmechanik verletzt werden !!!

Bell konnte folgendendes zeigen :

In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe

die Ungleichung

Beweis :

q.e.d.

Bellsche UngleichungBell konnte folgendendes zeigen :

Quantenmechanik

Operator für Messung in z – Basis

Operator für Messung in q – Basis

Bellsche UngleichungNun untersuchen wir dieselbe Messabfolge in der Quantenmechanik

Quantenmechanik

Eigenwert und Eigenzustand

Was passiert bei Messung in qa und qb Basis ?

Verschränkter Zustand

Bellsche UngleichungNehmen wir an, dass zuerst Alice den Zustand in der qa – Basis misst

Messung von Alice

Wellenfunktion von Bob

Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat

Bellsche Ungleichung : Messung

Messung liefert entweder +1 oder -1 (mit jeweils 50% Wahrscheinlichkeit)

Zuerst misst Alice …

Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat

Bellsche Ungleichung : Messung

Messung von Alice

Wellenfunktion von Bob

Zuerst misst Alice und dann Bob

Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse

Bellsche Ungleichung : MessungWahrscheinlichkeit für unterschiedliche Messabfolgen

Bellsche Ungleichungen sind verletzt !!!

Bellsche Ungleichung : KorrelationsfunktionWir können nun dieselbe Korrelationsfunktion wie bei der Theorie der verborgenenVariablen berechnen

Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse

Teilchen b Teilchen a

AliceBob

Experimenteller Aufbau

A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981).

Bellsche Ungleichung : ExperimentBell hat somit ein Experiment vorgeschlagen, mit dem man überprüfen kann, obdie Theorie der verborgenen Variablen oder die Quantenmechanik richtig ist

Bellsche Ungleichung : ExperimentVerschränkte Photonen können durchnichtlineare Prozesse (parametric down con-version) erzeugt werden

Zeilinger Gruppe

M. A. Rowe et al., Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection, Nature 409, 791 (2001).

S

Bellsche Ungleichung : Experiment

Vorhersage der Quantenmechanik richtig… keine lokalen verborgenen Parameter !!!

EPR Paradoxon : Konsequenzen

Die Messung an einem Teil einer verschränkten Wellenfunktion, hat zu demselbenZeitpunkt (!?) einen Einfluß auf die Wellenfunktion an einer anderen Stelle desUniversums !!!