Тема 12: Числові ряди
1. Основні поняття теорії числових рядів2. Знакододатні ряди3. Знакозмінні ряди
1.1. Поняття числового ряду
Нехай – числова послідовність.
Вираз
називається числовим рядом,
числа – члени ряду,
– n-й або загальний член ряду.
Ряд (1) вважається заданим, якщо відоме правило, за яким для
довільного номера n можна записати відповідний елемент
ряду:
Приклад:
1 2 3
1
n n
n
a a a a a
1 2, , ..., , ...
na a a
na
(1)
1 2, , ..., , ...
na a a
( ).n
a f n
...!
1...
!3
1
!2
11
!
1
...2
1...
4
1
2
1
2
1
nnu
u
n
nnn
Інший спосіб задання ряду – за допомогою рекурентного
співвідношення, яке задає наступний елемент через попередні.
Приклад:
Послідовно знаходимо:
і так далі.
Отримуємо ряд:
21213
1
2
1,
2
1,1 nnn uuuuu
12
71
3
1
2
1
2
13 u
24
11
2
1
3
1
12
7
2
14 u
...24
11
12
7
2
11
Сума скінченної кількості n перших членів ряду (1)
називається n-ою частковою сумою.2 n
a a 1n
S a
1 1,S a 2 1 2
, ...,S a a
1 2.
n nS a a a
Для ряду (1) можна побудувати послідовність n-их часткових сум
, яка може збігатися або розбігатися nS
Якщо послідовність часткових сум ряду (1)
збігається, тобто існує скінченна границя
то ряд (1) називається збіжним, а число – S –
сумою даного ряду ( ).
Якщо не існує або нескінченність, то
ряд (1) називається розбіжним.
lim ,n
nS S
1
n
n
S a
limn
nS
1.2 Збіжні та розбіжні ряди
Приклад 1
1. Ряд 0+0+0+...+0+... збіжний, його сума S=0.
2. Ряд 1+1+1+...+1+... розбіжний, оскільки границя
3. Ряд 1-1+1-1+... розбіжний, оскільки послідовність часткових сум
не має границі.
lim lim .n
n nS n
11,S
20,S 3
1,...S
Геометричний ряд
1
112 ......n
nn aqaqaqaqa
q
qaS
n
n
1
)1(При 1q сума n членів
геометричної прогресії
1q
1q
0lim
n
nq
n
nqlim
q
a
q
qaS
n
nn
n
11
)1(limlim
ряд збігається
nn
Slim ряд розбігається
Геометричний ряд
1q
anSn
nn
limlim ряд розбігається
ряд має вигляд ...... aaaa
1q
nn
S
lim ряд розбігається
ряд має вигляд ...)1(... 1 aaaa n
,0nS при n-парному; ,aSn при n-непарному
не існує
Таким чином
1q ряд збіжний і
1
1
n
naq
q
aS
11q ряд розбіжний
1
1
n
naq
1.3 Властивості збіжних рядів
10. Якщо ряд збіжний і його сума дорівнює S,
то ряд
теж збіжний і його сума дорівнює cS, с – деяке число.
1 2
1
... ...,n n
n
cu cu cu cu c
1
n
n
u
Якщо всі члени збіжного ряду помножити на одне і теж
число, то отриманий ряд залишиться збіжним, а його
сума помножиться на це число.
Приклад 2
2 3 40
1 1 1 1 1 11 .... ...
2 2 2 2 2 2n nn
Відомо, що ряд
збігається. Показати, що збігається і ряд
4 3 2
2 3 4 4 40
1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 .... ...
2 2 2 2 2 2n nn
44
4 40 0 0 0
1 1 2 12
2 2 2 2 2n n n nn n n n
Останній ряд отримали з першого множенням на с=24
20. Якщо ряди
збігаються і їх суми дорівнюють відповідно S’ і S’’,то
й кожний з двох рядів збігається і
сума кожного дорівнює відповідно S’∓S’’.
1 2 3
1
... ...n n
n
v v v v v
1 2 3
1
... ...n n
n
u u u u u
Збіжні ряди можна почленно додавати і віднімати.
1
n n
n
u v
Приклад 3
0
2 3 5 13 2 32 ... ...
6 6 36 6
n n n n
n nn
Дослідити на збіжність ряд
і якщо він збігається, знайти його суму S.
Розв’язок
0 0 0 0
2 2
2 3 2 3 1 1 1 1
6 6 6 3 2 3 2
1 1 1 11 1 ...
3 2 3 2
n nn n n n
n n n n nn n n n
Даний ряд можна записати у вигляді
або 0 0 0
1 1 1 1
3 2 3 2n n n nn n n
Розглянемо кожний з отриманих двох рядів
і
20
1 1 1 11 ... ...
3 3 3 3n nn
20
1 1 1 11 ... ...
2 2 2 2n nn
Оскільки вони є рядами спадної геометричної
прогресії, то вони збігаються і їх суми дорівнюють
відповідно:
13
1 3lim lim
1 2n
n nS S
Отже, даний ряд збігається і його сума:
12
1lim lim 2
1n
n nS S
3 72
2 2S S S
30. Якщо до ряду
додати або відкинути скінченну кількість членів,
то отриманий ряд збігається або розбігається
одночасно з даним.
У випадку збіжності розглянутих рядів їх суми
відрізняються на суму доданих або відкинутих
членів.
1 2 3
1
... ...n n
n
u u u u u
Приклад 4
2 3 40
1 1 1 1 1 11 .... ...
2 2 2 2 2 2n nn
Відомо, що ряд
збігається. Тоді збігається і ряд:
3 5 6 1
1 1 1 1100 2 .... ...
2 2 2 2n
отриманий з даного відкиданням і додаванням
скінченної кількості членів.
• Сума
називається n-им залишком ряду
1 2
1
... ...n n n n k n k
n
r u u u u
1
n
n
u
Оскільки залишок отримуємо з заданого ряду
відкиданням, а заданий ряд із залишку - додаванням
скінченної кількості членів, то за властивістю 30, вони
одночасно збігаються або розбігаються.
• Якщо ряд збіжний, то 1
n
n
u
Тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при
необмеженому зростанні n.
В питаннях наближених обчислень важливу роль відіграєоцінка точності наближення.
Якщо значення даної величини представлено у вигляді ряду,то оцінку наближення за допомогою часткових сум можнаотримати шляхом дослідження залишку ряду.
lim lim lim lim 0n n nn n n n
r S S S S S S
1.4 Необхідна умова збіжностічислового ряду
Якщо ряд збігається, то загальний
член ряду прямує до нуля при ,
тобто
1
n
n
a
na n
lim 0.n
na
Якщо
або не існує, то ряд розбіжний.
lim 0n
na
1
n
n
a
Приклади
1 2)1(
n
n
n
n1.
ряд розбігається
1
1...
1...
3
1
2
11
n nn2.
Необхідна умова збіжності виконується
01
1
2)1(limlim
n
na n
nn
n
гармонічний ряд
01
limlim n
an
nn
Доведемо, що цей ряд розбіжний
Гармонічний ряд
nnnS n
2
1...
1
11...
3
1
2
112
Запишемо суму перших 2n і n членів ряду:
nSn
1...
3
1
2
11
nnSS nn
2
1...
1
12
;...2
1
2
1;
2
1
1
1
nnnn
Оскільки , то
2
1
2
1
2
1...
2
1
2
12
nn
nnnSS nn
Припустимо навпаки. Нехай гармонічний ряд збігається
SSS nn
nn
2limlim
Перейшовши до границі в нерівності, отримуємо
2
10limlim)(lim 22
SSSSSS n
nn
nnn
n
суперечність
2. Знакододатні ряди. Достатні умови збіжності
Числовий ряд, у якого всі члени додатні (від'ємні),
називається знакододатним (знаковід'ємним) рядом.
Ряд називається знакосталим, якщо він
знакододатний або знаковід'ємний.
Часткові суми знакододатних рядів утворюють
зростаючу числову послідовність
Лема. Якщо часткові суми ряду з додатними елементами
обмежені зверху, то ряд збігається. ( )MSn
Зауваження. Якщо знакододатний ряд розбігається, то
його часткові суми прямують до нескінченності, тобто
або .
nn
Slim
1n
nu
......21 nSSS
Якщо для елементів рядів
справедлива нерівність
для всіх , то
• якщо ряд (3) збіжний, то ряд (2) теж збіжний;
• якщо ряд (2) розбіжний, то і ряд (3) розбіжний.
1
n
n
a
1
n
n
b
0n n
a b
0n n N
(2) (3)
Ознака порівняння
Гранична ознака порівняння
Нехай і
– ряди з додатними членами, причому існує
скінченна відмінна від нуля границя
Тоді ряди
збігаються або розбігаються одночасно.
1
n
n
a
1
n
n
b
lim 0.n
nn
aA
b
1
,n
n
a
1
n
n
b
Ряди, що використовуються для порівняння
10 q ряд збігається
1q ряд розбігається
1
1
n n
1 ряд збігається
1 ряд розбігається
1
1
n
naq
Приклад
1. Ряд – збіжний (як
узагальнений гармонійний при
2. Ряд – розбіжний (як
узагальнений гармонійний при
2
1
1
n n
2 1.p
121
1
n n
1 1
2p
Приклади
2 ln
1
n n1.
ряд розбіжний
2.
nnnn
ln
11ln 2n
1
1
n nряд розбіжний
2 ln
1
n n
12
2
4
sin
n n
n
ряд збіжний
222
22 1
4
1
4
sin1sin
nnn
nn
1n
12
1
n nряд збіжний
12
2
4
sin
n n
n
13
2
5
46
n n
n3.
ряд розбіжнийряд розбіжний
1
1
n n
041
5
46lim
3
2
nn
n
n
13
2
5
46
n n
n
Ознака ДаламбераНехай – ряд з додатними членами,
і існує скінченна границя
Тоді, якщо , то ряд збігається;
якщо , то ряд розбігається;
якщо l=1, то ряд може як збігатися, так і
розбігатися.
1
n
n
a
1lim .n
nn
al
a
1l
1l
Нехай для ряду ( )
Тоді, якщо l<1, то ряд збігається;
якщо l>1, то ряд розбігається;
якщо l=1, то ряд може як збігатися, так і
розбігатися.
Ознака Коші
1n
nа ,Nn 0na lann
n
lim
Приклади
11 !
6
2
1
!2
6
n
n
n
n
nn1.
101
6lim
6
!
)!1(
6limlim
1
1
n
n
na
a
nn
n
nn
n
n
-ряд збігається за ознакою
Даламбера
1
6 2
)3
11(
n
n
n2.
1))3
11((lim)
3
11(limlim 2236
e
nna n
n
n
n
nn
n
- ряд розбігається
За ознакою Коші
Якщо , де f(x) – функція додатня, монотонно
спадна і неперервна при
то ряд і невласний інтеграл
збігаються або розбігаються одночасно.
Інтегральна ознака Коші
1n
nа
)(nfаn
,1 ax
a
dxxf )(
1
1
n n
aa
xx
dx
x
dx
aa
a
alnlim
1lnlimlim
11
- ряд розбігається
- розбігається
3. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ
Знакозмінні та знакопочережні ряди
Знакозмінний ряд виду
де для всіх називається
знакопочережним.
1
1 2 3 4
1
1
( 1)
( 1)
n
n
n
n
n
a a a a a
a
0n
a ,n N
(4)
Ряди, які містять як додатні, так і від'ємні члени
називаються знакозмінними.
Ознака Лейбніца
Нехай задано знакопочережний ряд (4). Якщо
виконуються умови
1) послідовність абсолютних величин членів ряду
монотонно спадає:
2) загальний член ряду прямує до нуля при
:
то ряд збігається. При цьому сума ряду
задовольняє нерівність
1 2 3;
na a a a
n lim 0,n
na
10 .S a (5)
Абсолютно та умовно збіжні ряди
• Знакозмінний ряд називаєтьсяабсолютно збіжним, якщо збігається ряд,складений з модулів його членів.
Твердження. Якщо ряд збігається абсолютно,то він збігається.
• Знакозмінний ряд називається умовнозбіжним, якщо він збігається, алерозбігається абсолютно.
1n
na
......21
1
n
n
n aaaa
Тобто ряд - збігається,
а ряд - розбігається.
1n
na
1n
na
Достатня умова збіжності
збігається за ознакою Лейбніца
Твердження обернене достатній умові
збіжності неправильне
1
1 1)1(
n
n
n
1
1
n nрозбігається як гармонійний ряд
Приклад
13
cos
n n
n
13
cos
n n
n
13
1
n n
33
1cos
nn
nNn , оскільки 1cos n
13
1
n n- збіжний
13
cos
n n
n- збіжний
13
cos
n n
n- збіжний
Ряд порівняємо з рядом