第三章行列式

3.1 矩陣的行列式 3.2 使用基本運算求行列式3.3 行列式的性質 3.4 特徵值介紹3.5 行列式的應用

Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

2/73

3.1 矩陣的行列式 2 × 2 矩陣的行列式 (determinant)

注意：

2221

1211

aa

aaA

12212211||)det( aaaaAA

2221

1211

aa

aa

2221

1211

aa

aa

線性代數 : 3.1 節 p.152

3/73

範例 1 ：二階矩陣的行列式

21

32

24

12

42

30

注意： 矩陣的行列式可以為正、零或負值。

)3(1)2(2 34 7

)1(4)2(2 44 0

)3(2)4(0 60 6

線性代數 : 3.1 節 p.153

4/73

餘因子 (cofactor)

ijji

ij MC )1(

ija

的子行列式 (minor) 由 A 消去第 i 列和第 j 行所形成矩陣的行列式

nnjnjnn

nijijii

nijijii

njj

ij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaaa

M

)1()1(1

)1()1)(1()1)(1(1)1(

)1()1)(1()1)(1(1)1(

1)1(1)1(11211

ija

線性代數 : 3.1 節 p.153

5/73

範例 2 ：

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3332

131221 aa

aaM

212112

21 )1( MMC

3331

131122 aa

aaM

222222

22 )1( MMC

線性代數 : 3.1 節 p.154

6/73

注意 :餘因子的符號型式

3 × 3 矩陣 4 × 4 矩陣 n ×n 矩陣

注意： 奇數位置 (i+j 是奇數 ) 為負號，並且 偶數位置 (i+j 為偶數 ) 為正號。

線性代數 : 3.1 節 p.154

7/73

範例 2 ：求 A 所有的子行列式和餘因子

,514

2312

M,110

2111

M

解： (1) 所有 A 的子行列式

404

1313

M

,210

1221

M ,414

1022

M 814

2023

M

,521

1231

M ,323

1032

M 613

2033

M

104

213

120

A

線性代數 : 3.1 節 pp.154-155

8/73

,514

2312

C,110

2111

C 404

1313

C

ijji

ij MC )1(

,210

1221

C ,414

1022

C 814

2023

C

,521

1231

C ,323

1032

C 613

2033

C

解： (2) 所有 A 的餘因子 .

線性代數 : 3.1 節 pp.154-155

9/73

定理 3.1 ： 餘因子展開 (expansion by cofactors)

n

jininiiiiijij CaCaCaCaAAa

12211||)det()(

( 第 i列展開 ) i=1, 2,…, n

n

injnjjjjjijij CaCaCaCaAAb

12211||)det()(

( 第 j行展開 ) j=1, 2,…, n

令 A 是 n 階方陣，則 A 的行列式為

或

線性代數 : 3.1 節 p.155

10/73

範例： 3 階矩陣的行列式

線性代數 : 3.1 節 補充

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333323231313

323222221212

313121211111

333332323131

232322222121

131312121111)det(

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCaA

11/73線性代數 : 3.1 節 p.156

104

213

120

A

6 ,3 ,5

8 ,4 ,2

4 ,5 ,1

333231

232221

131211

2E

CCC

CCC

CCCx

14)6)(1()8)(2()4)(1(

14)3)(0()4)(1()5)(2(

14)5)(4()2)(3()1)(0(

14)6)(1()3)(0()5)(4(

14)8)(2()4)(1()2)(3(

14)4)(1()5)(2()1)(0()det(

333323231313

323222221212

313121211111

333332323131

232322222121

131312121111

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCaA

解：

範例 3 ： 3 階矩陣的行列式

12/73線性代數 : 3.1 節 pp.158-159

範例 5 ： (3 階矩陣的行列式 )

?)det( A

144

213

120

A

解：

914

21)1( 11

11

C 5)5)(1(14

23)1( 21

12 C

-84-4

13)1( 31

13

C

2

)-8)(1()5)(2()9)(0(

)det( 131312121111

CaCaCaA

13/73線性代數 : 3.1 節 p.157

注意： 包含較多 0 的列 ( 或行 ) 通常是餘因子展開的最佳選擇。

例題 4 ： (4 階矩陣的行列式 )

2043

3020

2011

0321

A ?)det( A

14/73

解：))(0())(0())(0())(3()det( 43332313 CCCCA

243

320

211

)1(3 31

133C

39

)13)(3(

)7)(1)(3()4)(1)(2(03

43

11)1)(3(

23

21)1)(2(

24

21)1)(0(3 322212

線性代數 : 3.1 節 pp.157-158

15/73

3×3 矩陣的行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

122133112332

132231322113312312332211

||)det(

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaAA

加這三個乘積

減這三個乘積

線性代數 : 3.1 節 p.158

16/73

範例 5 ：

144

213

120

A

44

13

20

-4

0

260)4(12160||)det( AA

16 -12

0 6

線性代數 : 3.1 節 p.159

17/73

上三角矩陣 (upper triangular matrix)

下三角矩陣 (lower triangular matrix)

對角矩陣 (diagonal matrix)

矩陣之主對角線下方的元素都為零

矩陣之主對角線上方的元素都為零

矩陣之主對角線上方和下方的元素皆為零

線性代數 : 3.1 節 p.159

注意： 一個矩陣同時為上三角與下三角被稱為對角 (diagonal)

18/73

33

2322

131211

a00

aa0

aaa

333231

2221

11

aaa

0aa

00a

範例：

上三角矩陣

33

22

11

a00

0a0

00a

下三角矩陣 對角矩陣

線性代數 : 3.1 節 p.159

19/73

定理 3.2 ： 三角矩陣的行列式

若 A 是 n 階三角矩陣，則它的行列式為主對角線上元素的乘積。即

nnaaaaAA 332211||)det(

線性代數 : 3.1 節 p.160

20/73

範例 6 ： 求下列矩陣的行列式

(a)

3351

0165

0024

0002

A (b)

20000

04000

00200

00030

00001

B

|A|=(2)(-2)(1)(3)=-12

|B|=(-1)(3)(2)(4)(-2)=48

(a)

(b)

解：

線性代數 : 3.1 節 p.161

21/73

摘要與複習 (3.1 節之關鍵詞 )

determinant : 行列式 minor : 子行列式 cofactor : 餘因子 expansion by cofactors : 餘因子展開 upper triangular matrix: 上三角矩陣 lower triangular matrix: 下三角矩陣 diagonal matrix: 對角矩陣

22/73

3.2 使用基本運算求行列式 定理 3.3 ： 基本列運算和行列式

令 A 和 B 是方形矩陣

線性代數 : 3.2 節 pp.165-166

)()( ArBa ij )det()det( AB

)()( )( ArBb ki )det()det( AkB

)()( )( ArBc kij )det()det( AB

))( (i.e. AArij

))( (i.e. )( AkAr ki

))( (i.e. )( AAr kij

23/73

範例：

線性代數 : 3.2 節 補充

121

410

321

A

121

410

1284

1A

121

321

410

2A

121

232

321

3A

2)det( A

8)2)(4()det(4))(det()det()( )4(11

)4(11 AArAArA

2)2()det())(det()det( )( 122122 AArAArA

2)det())(det()det( )( )2(123

)2(123 AArAArA

24/73線性代數 : 3.2 節 p.166

注意：))(det()det( )det())(det( ArAAAr ijij

))(det(1

)det( )det())(det( )()( Ark

AAkAr ki

ki

))(det()det( )det())(det( )()( ArAAAr kij

kij

25/73線性代數 : 3.2 節 p.166

注意： 方陣的列梯形形式為上三角矩陣

範例 2 ： 使用基本列運算求行列式值

310221

1032A ?)det( A

解：

310

1032

221

310

221

1032

)det(12

r

A

26/73線性代數 : 3.2 節 p.167

7)1)(1)(1)(7(

100

210

221

7 )1(

23

r

310

210

221

)1

)(1(

310

1470

221

71

)71(

2)2(

12

rr

27/73

注意：

線性代數 : 3.2 節 補充

AEEA

ijRE )1( 1 ijRE

AEARAArEA ijij

)( )2( kiRE kRE k

i )(

AEARAkArEA ki

ki )()(

)( )3( kijRE 1)( k

ijRE

AEARAArEA kij

kij )()( 1

28/73

行列式與基本列運算

)()( AcBaij

令 A 和 B 是方形矩陣

)det()det( AB

)()( )( AcBb k

i )det()det( AkB

)()( )( AcBc k

ij )det()det( AB

))( (i.e. AAcij

))( (i.e. )( AkAc k

i

))( (i.e. )( AAc k

ij

定理： ( 基本列運算與行列式 )

線性代數 : 3.2 節 p.167

29/73

200

104

312

A

範例：

200

140

321

2A

200

102

311

1A

200

104

012

3A

8)det( A

4)8)(2

1()det(

2

1))(det()det()( )4(

11

)2

1(

11 AAcAAcA

8)8()det())(det()det( )(12

212

2 AAcAAcA

8)det())(det()det( )( )3(

233

)3(

233 AAcAAcA

線性代數 : 3.2 節 p.167

30/73

定理 3.4 ： 產生零行列式的條件

(a) 一整列 ( 或一整行 ) 全為零

(b) 兩列 ( 或行 ) 是相等的

(c) 某一列 ( 或行 ) 是另一列 ( 或行 ) 的倍數

若 A 是方陣並且下列任何的條件是成立的，則 det (A) = 0

線性代數 : 3.2 節 p.168

31/73

範例：

線性代數 : 3.2 節 補充

0

654

000

321

0

063

052

041

0

654

222

111

0

261

251

241

0

642

654

321

0

6123

5102

481

32/73

餘因子展開 列簡化

n 階 加法 乘法 加法 乘法

3 5 9 5 10

5 119 205 30 45

10 3628799 6235300 285 339

注意：

線性代數 : 3.2 節 p.170

33/73

範例 5 ：求行列式

603

142

253

A

解：

3)1)(3(34

45)1)(3(

003

342

453

603

142

253

)det( 13)2(

13

C

A

3)53

)(5(63

)1)(5(

603

0

253

603

142

253

)det( 53

52

2153

52

)54

(

12

C

A

線性代數 : 3.2 節 p.170

34/73

範例 6 ：求行列式

解：

02311

34213

32101

12312

23102

A

1003

4651

3211

2312

(1)(-1)

10003

46501

32101

12312

23102

02311

34213

32101

12312

23102

)det( 22

)1(25

)1(24

rr

A

線性代數 : 3.2 節 p.171

35/73

6513

218

500

6513

218

318

)1(1)(

1000

46513

3218

2318

)11(21

)3(41

44

r

C

135

)27)(5(

513

181)5( 31

線性代數 : 3.2 節 p.172

36/73

3.3 行列式的性質

注意 :

)det()det()det( BABA

定理 3.5 ：矩陣相乘的行列式

(1) det (EA) = det (E) det (A)

(2)

(3)

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

bbb

aaa

aaa

aaa

aaa

333231

232322222222

131211

aaa

bababa

aaa

det (AB) = det (A) det (B)

線性代數 : 3.3 節 p.175

37/73

範例 1: 矩陣相乘的行列式

101

230

221

A

213

210

102

B

7

101

230

221

||

A 11

213

210

102

|| B

解：

求 |A| 、 |B| 與 |AB|

線性代數 : 3.3 節 p.175

38/73

115

1016

148

213

210

102

101

230

221

AB

77

115

1016

148

|| AB

|AB| = |A| |B| 檢查 :

線性代數 : 3.3 節 p.176

39/73

範例 2 ：

5

132

503

421

,

103020

50030

402010

A

求 |A|解：

132

503

421

10A 5000)5)(1000(

132

503

421

103

A

定理 3.6 ：矩陣純量積的行列式

若 A 是一個 n × n 矩陣並且 c 是一個純量，則 det (cA) = cn det (A)

線性代數 : 3.3 節 p.177

40/73

範例 3 ：下列兩個矩陣那一個是可逆 ?

0A

123

123

120

A

123

123

120

B

A 是不可逆 (奇異 )

012B B 是可逆 ( 非奇異 )

解：

定理 3.7 ：可逆矩陣的行列式

方陣 A 是可逆 ( 非奇異 ) 若且唯若 det (A) 0

線性代數 : 3.3 節 p.178

41/73

範例 4 ：?1 A

012

210

301

A?TA(a) (b)

4

012

210

301

|| A 4111

AA

4 AAT

解：

定理 3.8 ：反矩陣的行列式

)Adet(1

)Adet( 1 是可逆，則若A

定理 3.9 ：轉置的行列式)det()det( T AAA 是一方陣，則若

線性代數 : 3.3 節 pp.180~182

42/73

若 A 是一個 n × n 矩陣，下列敘述是等價的

(1) A 是可逆

(2) 對每一個 n × 1 矩陣 b ， Ax = b 具有唯一解

(3) Ax = 0 只有顯然解

(4) A 列等價於 In

(5) A 可以寫為一些基本矩陣的相乘

(6) det (A) 0

非奇異矩陣的等價條件

線性代數 : 3.3 節 p.181

43/73

範例 5 ：下列系統何者有唯一解 ?

(a)

423

423

12

321

321

32

xxx

xxx

xx

(b)

423

423

12

321

321

32

xxx

xxx

xx

線性代數 : 3.3 節 p.181

44/73

解：

bx A(a)

0A

這個系統沒有唯一解

(b) bx B

012 B

這個系統有唯一解

線性代數 : 3.3 節 p.182

45/73

3.4 特徵值的介紹 特徵值問題 (eigenvalue problem)

若 A 為一 nn 矩陣，在 Rn 中是否存在著非零向量 x，使得 Ax與 x之間存在著倍數關係？

特徵值 (eigenvalue) 與特徵向量 (eigenvector)

A ： nn 矩陣 ：純量x： Rn 中的非零向量

xAx

特徵值

特徵向量線性代數 : 3.4 節 p.187

( 特徵值問題的基本方程式 )

46/73

範例 1 ： 證明特徵值與特徵向量

32

41A

1

11x

11 51

15

5

5

1

1

32

41xAx

特徵值

22 )1(1

21

1

2

1

2

32

41xAx

特徵值

特徵向量

特徵向量

1

22x

線性代數 : 3.4 節 p.188

47/73

問題： 給予一個 nn 矩陣 A ， 如何求其特徵值與其對應之特徵向量？

A 的特徵方程式 (characteristic equation) AMnn:

0)I()Idet( 011

1 cccAA n

nn

0)I( xAxAx

注意：(齊次系統 )

當 時有非零解，若且唯若 0)I( xA 0)Idet( A

線性代數 : 3.4 節 p.188

48/73

範例 2 ： 求特徵值與特徵向量

32

41A

解：特徵方程式：

0)1)(5(54

32

41)I(

2

A

特徵值： 1 ,5 21

1 ,5

線性代數 : 3.4 節 p.189

49/73

1)2( 2

0 ,1

22

0

0

42

42)I(

2

1

2

12

ttt

t

x

x

x

xxA

5)1( 1

0 ,1

1

0

0

22

44)I(

2

1

2

11

ttt

t

x

x

x

xxA

線性代數 : 3.4 節 p.189

50/73

範例 3 ： 求特徵值與特徵向量

011

121

221

A

解：特徵方程式：

0)3)(1)(1(

11

121

221

I

A

3 ,1 ,1： 321 特徵值

線性代數 : 3.4 節 p.190

51/73

11

000

110

201

~

111

111

220

I1 A

1

1

2

:

2

3

2

1

t

t

t

t

x

x

x

特徵向量

12

000

110

201

~

111

131

222

I2 A

1

1

2

:

2

3

2

1

t

t

t

t

x

x

x

特徵向量

線性代數 : 3.4 節 p.191

52/73

33

000

110

201

~

311

111

222

I3 A

1

1

2

:

2

3

2

1

t

t

t

t

x

x

x

特徵向量

線性代數 : 3.4 節 p.192

53/73

3.5 行列式的應用

A 的餘因子矩陣 (matrix of cofactors of A)

nnnn

n

n

ij

CCC

CCC

CCC

C

21

22221

11211

ijji

ij MC )1(

nnnn

n

n

Tij

CCC

CCC

CCC

CAadj

21

22212

12111

)(

A 的伴隨矩陣 (adjoint matrix of A)

線性代數 : 3.5 節 p.195

54/73

定理 3.10 ： 矩陣之伴隨矩陣所表示的反矩陣

bcadA )det(

若 A 是一個 n × n 可逆矩陣，則

)()det(

11 AadjA

A

dc

baA

ac

bdAadj )(

)(

det11 Aadj

AA

範例：

ac

bd

bcad1

線性代數 : 3.5 節 p.196

55/73

範例 1 及 範例 2 ：

1A

201

120

231

A

(a) 求 A 的伴隨矩陣

(b) 使用 A 的伴隨矩陣來求

,420

1211

C

解：

,121

1012

C 2

01

2013

C

ijji

ij MC )1(

,620

2321 C ,0

21

2122

C 3

01

3123

C

,712

2331

C ,1

10

2132

C 2

20

3133

C

線性代數 : 3.5 節 p.195

56/73

A 的餘因子矩陣

217

306

214

ijC

A 的伴隨矩陣

232

101

764

)( TijCAadj

232

101

764

31

A 的反矩陣

)(

det11 Aadj

AA 3det A

32

32

31

31

37

34

1

0

2

檢查： IAA 1

線性代數 : 3.5 節 pp.195-198

57/73

定理 3.11 ： Cramer 法則 (Cramer’s Rule)

11212111 bxaxaxa nn

nnnnnn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121 bx A

)()2()1( ,,, n

nnij AAAaA

nx

x

x

2

1

x

nb

b

b

2

1

b

0)det(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

( 系統有唯一解 )

線性代數 : 3.5 節 p.200

58/73

)()1()1()2()1( ,,,,,,, njjj AAbAAAA

nnjnnjnn

njj

njj

aabaa

aabaa

aabaa

)1()1(1

2)1(22)1(221

1)1(11)1(111

,)det(

)det(

A

Ax j

j nj ,,2,1

線性代數 : 3.5 節 p.200

njnjjj CbCbCbA 2211)det(( i.e. )

59/73

證明：

線性代數 : 3.5 節 p.201

0)det( A A x = b,

bx 1 A b)()det(

1Aadj

A

nnnnn

n

n

b

b

b

CCC

CCC

CCC

A

2

1

21

22212

12111

)det(

1

nnnnn

nn

nn

CbCbCb

CbCbCb

CbCbCb

A

2211

2222121

1212111

)det(1

60/73線性代數 : 3.5 節 p.201

)det(

)det(

A

Aj

)()det(

12211 njnjjj CbCbCb

Ax

nj ,,2,1

61/73

範例 4 ： 使用 Cramer 法則對下列線性方程式系統求解

8

442

100

321

)det( 1

A

2443

02

132

zyx

zx

zyx

解：

10

443

102

321

)det(

A

,15

423

102

311

)det( 2

A 16

243

002

121

)det( 3

A

54

)det()det( 1

AA

x23

)det()det( 2

AA

y58

)det()det( 3

AA

z

線性代數 : 3.5 節 p.201

62/73線性代數 : 3.5 節 p.202

63/73線性代數 : 3.5 節 p.202

64/73線性代數 : 3.5 節 p.202-203

65/73線性代數 : 3.5 節 p.203

66/73線性代數 : 3.5 節 p.203-204

67/73線性代數 : 3.5 節 p.204

68/73線性代數 : 3.5 節 p.204

69/73線性代數 : 3.5 節 p.205

70/73線性代數 : 3.5 節 p.205

71/73線性代數 : 3.5 節 p.206

72/73線性代數 : 3.5 節 p.206-207

73/73

Keywords in Section 3.5:

matrix of cofactors : 餘因子矩陣 adjoint matrix : 伴隨矩陣 Cramer’s rule : Cramer 法則