1

¤³ÔµÈÒʵÃ�ÁÑ ÂÁÈÖ¡ÉÒ»�·Õè 3 ¤ÇÒÁ¹�Ò¨Ðà»�¹

บทนา เหตการณบางเหตการณเปนส�งท�ยงไมเกดข �น หรอเปนส�งท�ไมแนใจวาจะเกดข �น เพยงแตทราบวาม

โอกาสท�จะเกดข �นเทาน �น เหตการณท�อาจจะมโอกาสเกดข �น หรอไมมโอกาสเกดข �น ปรมาณท�จะวดวา

เหตการณน �นๆ มโอกาสเกดข �นมากหรอนอยเพยงไร เราเรยกปรมาณน �นวา ความนาจะเปนของเหตการณ

น �นๆ

การทดลองสมและเหตการณ

การทดลองสม (Random Experiment) เปนการกระทาใดๆ ท�เราไมสามารถทราบผลท�จะเกดข �นได

แนนอน แตทราบผลท �งหมดท�อาจเกดข �นได

ผลท�เกดข �นจากการทดลองสม เรยกวา ผลลพธ (Outcome)

ผลการทดลองท �งหมด หรอแซมเปลสเปซ (Sample Space) หมายถง ผลท �งหมดท�อาจจะเกดข �น

จากการทดลองสม

หมายเหต

นยมใช S เปนสญลกษณแทนแซมเปลสเปซ และเขยนไวในเคร�องหมายปกกาและใชเคร�องหมาย

“จลภาค” (,) ค�นระหวางผลลพธแตละตว และใช n(S) แทนจานวนสมาชกในแซมเปลสเปซ

การหาแซมเปลสเปซโดยใชแผนภาพตนไม

ตวอยาง

1. จงหาแซมเปลสเปซของการ โยนเหรยญ 1 อน 2 คร �ง

2. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของการสรางเลข 2 หลก จากแผนปายหมายเลข 1, 2 และ 3

2

3. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของโยนลกเตา 2 ลกพรอมกน

4. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของโยนเหรยญ 1 อน 3 คร �ง

5. จงเขยนแซมเปลสเปซ ของโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ และโยนลกเตา 1 ลก พรอมกน 1 คร �ง

6. ตองการสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3 หรอ 4

จงเขยนจานวนค�ท�สรางไดท �งหมด เม�อตวเลขในจานวนแตละหลกไมซ �ากน

3

7. จากเมอง ก. ไปเมอง ข. มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ ทางรถยนต รถไฟและเคร�องบน

จากเมอง ข. ไปเมอง ค. มเสนทางการเดนทางได 2 วธ คอ ทางรถยนต และเรอ

จากเมอง ค. ไปเมอง ง. มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ ทางเรอ รถไฟ และเคร�องบน

ถา นายเอก จะเดนทางจากเมอง ก. ไปเมอง ง. โดยผานเมอง ข. และ ค. จะเลอกเดนทางไดก�วธ

8. กาหนดใหหยบลกบอล 2 ลก จากกลองทบใบหน�งมลกบอล สแดง 2 ลก สขาว 2 ลก และสฟา 1 ลก

โดยท�ทกๆลกขนาดตางกน

(1) จงเขยนแซมเปลสเปซของหยบออกมา 2 ลกโดยหยบทละลกและใสคน

(2) จงเขยนแซมเปลสเปซของหยบออกมา 2 ลกโดยหยบทละลกและไมใสคน

(3) จงเขยนแซมเปลสเปซของหยบออกมา 2 ลกโดยหยบพรอมกน 2 ลก

4

9. มลกปงปองเขยนเลข 1, 2, 3, 4, 5 กากบไวอยางละหน�งลก

(1) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 2 ลกพรอมกน

(2) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 2 ลกท�ละลกและไมใสคน

(3) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 2 ลกท�ละลกและใสคน

(2) จงเขยนแซมเปลสเปสของการหยบลกปงปองออกมา 3 ลกพรอมกน

10. มานพ และ เอก แขงขนเทนนสกน โดยมกตกาวาผใดชนะสองเกมตดตอกน หรอชนะรวมสามเกม

จะเปนผชนะในการแขงขน จงหาวาจะมการแขงขนกนจนกวาจะมผชนะท �งหมดก�วธ

5

การหาแซมเปลสเปซโดยการใชกฎการนบเบ �องตน

กฎการนบเบ �องตน

ถาในการดาเนนงานอยางใดอยางหน�งใหสาเรจ ตองประกอบดวยการกระทายอยๆ ถง k ข �นตอน โดยท�

ข �นตอนท� 1 เลอกกระทาได n1 วธ

และในแตละวธของการกระทาข �นตอนท� 1 สามารถเลอกกระทาข �นตอนท� 2 ได n2 วธ

และในแตละวธของการกระทาข �นตอนท� 2 สามารถเลอกกระทาข �นตอนท� 3 ได n3 วธ

เปนเชนน �เร�อยๆ จนกระท�งถงการกระทาข �นตอนท� k ซ�งเลอกกระทาได nk วธ

ดงน �น ในการดาเนนงานคร �งน �ใหสาเรจสามารถเลอกกระทาได k321 nnnn ดดดด วธ

ตวอยาง

1. จงหาจานวนผลการทดลองท�อาจเกดข �นท �งหมดของการ

(1) เลอกซ �อขาวราดกบขาว 2 อยาง จากรานท�มแกงเน �อ ผดวนเสน ไขดาว หมทอด

(2) สลากกนแบงรฐบาลออกเลขทาย 2 ตว

(3) นาจดหมาย 3 ฉบบใสตไปรษณย 4 ต

2. ในการสอบวชาสงคมศกษา มขอสอบแบบ ถก – ผด อย 10 ขอ

นกเรยนจะเลอกตอบขอสอบท �ง 10 ขอดงกลาวไดก�วธ

3. มชาย 3 คน หญง 3 คน นามายนสลบกนเปนแถวยาวจะสามารถทาไดก�วธท�แตกตางกน

6

ขอ 1 – 5 จงเขยนแซมเปลสเปซจากการทดลองสมตอไปน �

1. โยนเหรยญ 1 อน 1 คร �ง ................................................................................................................

2. โยนเหรยญ 1 อน 2 คร �ง ................................................................................................................

3. โยนเหรยญ 2 อน 1 คร �ง ................................................................................................................

4. โยนเหรยญ 3 อน 1 คร �ง ................................................................................................................

5. ไพสารบหน�งม 52 ใบ ในจานวนท �งหมดแบงออกเปน 4 ชด คอ

ช โพดา 13 ใบ มสดา ฉ โพแดง 13 ใบ มสแดง

จขาวหลามตด 13 ใบ มสแดง ง ดอกจก 13 ใบ มสดา

แตละชดประกอบดวยแตม 13 แตม คอ K,Q,J,A,2,3,4,5,6,7,8,9,10

(1) หยบไพ 1 ใบออกจากสารบ

.....................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

(2) หยบ 1 ใบไดชดดอกจก ...........................................................................................................

(3) หยบไดไพท�มแตมเปนจานวนเฉพาะ .........................................................................................

.............................................................................................................................................

(4) หยบไดไพแตม J,Q หรอ K ......................................................................................................

6. นกเรยนคนหน�งมเส �อและกางเกงสาหรบไปเท�ยวอย 3 ตว และ 2 ตว ตามลาดบ เขาจะสวมเส �อและ

กางเกงไปเท�ยวเปนชดตางๆ กนไดท �งหมดก�วธ

7. สนามกฬาแหงหน�งมประตอย 4 ประต ถาจะเขาประตหน�งแลวออกอกประตหน�งซ�งไมซ �ากบประตท�เขา

มา จะมวธเขาและออกไดท �งหมดก�วธ

8. นก 5 ตว จะเลอกเกาะตนไม 3 ตน ไดก�วธ

Ẻ½�¡ËÑ´ : ¡Ò÷´ÅͧÊØ�ÁáÅÐá«Áà»�ÅÊ໫

7

9. เดกคนหน�งพนนยงปนกบเพ�อนของเขา โดยมกตกาวา ถาเขายงถกเปาเขาจะได 1 บาท แตถาเขายง

ผดเปา เขาจะเสย 1 บาท ถาเดกคนน �ยงไดท �งหมดไมเกน 5 นด และจะหยดเลนกอนครบ 5 นด เม�อ

เขาเสยเงนหมด หรอเขาไดกาไร 3 บาท จงหาจานวนวธการเลนของเดกคนน �จนกวาเขาจะหยดเลน

โดยกาหนดวา เม�อเร�มเลนเดกคนน �มเงนอยแลว 1 บาท

10. การแขงขนฟตบอลระหวางทมผแดง และทมหงสแดง โดยมกตกาวา ทมใดท�ชนะ 3 คร �ง ทมน �นจะ

เปนผชนะ (กาหนดใหผลการแขงขนแตละคร �งมชนะหรอแพเทาน �น) จงหาจานวนวธแขงขนจนกวาจะม

ทมท�ชนะในการแขงขนคร �งน �

11. ถาตองการสรางจานวนท�ม 3 หลก เลขแตละหลกเลอกจากตวเลข 2,3,5,7 และ 9

จะสรางไดท �งหมดก�จานวน เม�อ

(1) ไมมเง�อนไขใดเพ�มเตม (2) เลขแตละหลกไมซ �ากน

(3) จานวนท�สรางทคานอยกวา 400 (4) เปนจานวนค

(5) เปนจานวนค�และเลขแตละหลกไมซ �ากน (6) จานวนท�สรางไดหารดวย 5 ลงตว

8

12. ถาตองการเลอกประธาน รองประธาน และเหรญญก ตาแหนงละ 1 คน โดยเลอกจากนกเรยนชาย 5 คน

และนกเรยนหญง 4 คน จะเลอกกรรมการดงกลาวไดท �งหมดก�ชด โดยท�ประธานและรองประธานเปน

เพศเดยวกน แตเปนคนละเพศกบเหรญญก

13. ถาตองการสรางคาท�ประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซ�งไมซ �ากน และเลอกตวอกษรมาจากคาวา

EXPONENTIAL จะสรางไดท �งหมดก�คา เม�อคาท�สรางไมจาเปนตองมความหมาย และ

(1) ตวอกษรในคาน �นมพยญชนะอยางนอย 1 ตว

(2) ตวอกษรในคาน �นมสระอยางนอย 1 ตว

14. มหนงสอคณตศาสตรท�แตกตางกน 3 เลม มหนงสอเคมท�แตกตางกน 5 เลม ตองการจดหนงสอจานวน

5 เลม บนช �นหนงสอเปนแถวยาว จะมวธการจดหนงสอท �งหมดก�วธ เม�อ

(1) มหนงสอคณตศาสตรบนช �นอยางนอย 1 เลม

(2) หนงสอเลมแรกและเลมสดทายเปนวชาเดยวกน

15. จงหาจานวนของจานวนเตมบวกซ�งหาร 23 ด 34 ด 52 ลงตว

9

เหตการณ (Event) เหตการณ (Event) ไดแกผลลพธท�เราสนใจจากการทดลองสม

บทขยายความ

1. ผลลพธทกตวในเหตการณเปนผลลพธในแซมเปลสเปซ

2. แซมเปลสเปซกเปนเหตการณหน�ง เรยกวา เปนเหตการณท�แนนอน

3. ผลลพธท�ไมเกดข �นจากการทดลองสมกเปนเหตการณหน�ง เรยกวา เหตการณท�เปนไปไมได

4. ใช E เปนสญลกษณแทนเหตการณ

ตวอยาง 1 จงเขยนแซมเปลสเปซ จากการทดลองโยนเหรยญ 3 อน 1 คร �ง

และ จงเขยนเหตการณจากการทดลองสมแตละขอตอไปน �

(1) เหตการณไดกอยสองอน (2) เหตการณไดหวหน�งอน

(3) เหตการณไดกอยอยางนอยหน�งอน (4) เหตการณไดหวอยางมากหน�งอน

ตวอยาง 2 จงเขยนแซมเปลสเปซจากการหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก ข �นมาจากถงใบหน�งท�บรรจลก

หนสแดงไว 3 ลกและสขาว 2 ลก ถาการหยบลกแรกไดแลวไมใสคนและจงเขยนเหตการณจาก

การหยบลกหนในแตละขอตอไปน �

(1) ไดลกหนสแดงท �งสองลก (2) ไดลกหนสแดงในการหยบคร �งท�สอง

(3) ไดลกหนสขาวลกเดยว (4) ไดลกหนสเหลอง

10

ตวอยาง 3 จงหาเหตการณตอไปน �

(1) นาเลขโดด 3, 4 และ 5 มาเรยงเปนเลข 3 หลก ใหมจานวนมากกวา 400 โดยแตละหลกใช

ตวเลขไมซ �ากน

(2) ครอบครวหน�งตองการมบตร 2 คน คนหน�งเปนผหญง

(3) เอา 3 หาร เลข 4 หลกคอ 65k3 ไดลงตว เม�อ k เปนจานวนเตมบวก

(5) ทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 คร �ง และไดแตมรวมไมเกน 4

แฟกทอเรยล (Factorial) นยาม ถา n เปนจานวนเตมบวกแลว ผลคณของจานวนเตมบวกต �งแต 1 ถง n ดงน �

1 2 3 ... n

เขยนแทนดวยสญลกษณ n! อานวา เอนแฟกทอเรยล โดยกาหนดวา 0! = 1

น�นคอ

หรอ

เพ�มเตม

n ! = 1 2 3 … n

n ! = n(n – 1)(n – 2)… 3 2 1

จานวนวธเรยงสบเปล�ยนของ n ส�ง ซ�งแตกตางกนท�งหมด นามาจดคราวละ n ส�ง ได n ! วธ

11

ตวอยาง 4 จงหาจานวนวธของเหตการณตอไปน �

(1) จงหาจานวนวธท�แตกตางกนท�จะจดคน 6 คน เขาแถวเรยงหน�ง

(2) จงหาจานวนวธท�แตกตางกนท�จะจดตวอกษรจากคาวา PHYSIC ใหเปนคาใหม

โดยใชตวอกษรท �งหมดโดยไมคานงถงความหมายของคา

(3) สามภรรยาคหน�ง พรอมดวยลก 4 คน มายนเรยงเปนแถวยาวเพ�อถายรป

จะมวธจดใหยนท �งหมดก�วธเม�อ

ก. ไมมเง�อนไขใดเพ�มเตม

ข. พอและแมยนตดกน

ค. พอและแมยนรมท �งสองดาน .

(4) มลกบอลสแดง 4 ลก สขาว 4 ลก และสมวง 4 ลก ลกบอลแตละลกไมเหมอนกน

ถาตองการจดลกบอลเรยงเปนแถวยาว จะจดไดก�วธเม�อ

ก. ลกบอลสลบสกนทละลก

ข. ลกบอลสลบสกนทละ 2 ลก

12

จงหาเหตการณจากการทดลองสมตอไปน �

1. โยนเหรยญ 3 เหรยญ แลวได

(1) กอย 2 เหรยญ ...................................................................................................................

(2) ไดกอยอยางนอย 2 เหรยญ .................................................................................................

(3) ไดหวและกอยเทากน .........................................................................................................

(4) ไดหวมากกวากอย .............................................................................................................

(5) ไดหวนอยกวา 4 คร �ง ..........................................................................................................

2. ทอดลกเตา 3 ลกแลวได

(1) ไดผลบวกของแตมเปน 10 ..................................................................................................

(2) ไดผลบวกของแตมมากกวา 10 ...........................................................................................

(3) ไดผลบวกของแตมไมเกน 5 ................................................................................................

(4) ไดผลบวกเปน 1 ................................................................................................................

3. การสรางเลข 3 หลก จากเลข 3,7 และ 0 โดยใชตวเลขซ �าได

(1) เลขค� ................................................................................................................................

(2) เลขมากกวา 500 ..............................................................................................................

(3) เลขท�หลกสบเปน 3 ...........................................................................................................

4. การหยบลกบอล 2 ลก จากกลองทบท�มลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 2 ลก สฟา 1 ลก โดยหยบทละลกและ

ไมใสคน

(1) สเดยวกน ..........................................................................................................................

(2) ตางส ................................................................................................................................

5. การหยบไพ 1 ใบจากสารบ

(1) ไพสแดง ..........................................................................................................................

(2) ไพโพดาแตมค ...................................................................................................................

(3) ดอกจกแตมท�ไมเกน 8 ........................................................................................................

Ẻ½�¡ËÑ´ : à˵ءÒó�¢Í§¡Ò÷´ÅͧÊØ�Á

13

6. เลอกตวอกษร 3 ตว จากตวอกษร 5 ตว คอ S,A,B,E และ N

(1) ม E รวมอยดวย ...............................................................................................................

(2) มสระอยดวยเสมอ .............................................................................................................

(3) ไมมสระ ............................................................................................................................

7. จดเรยงเดก 3 คน คอ ก,ข และ ค เขาแถวหนากระดานถายรป

(1) จงเขยนผลการจดเรยงท �งหมด ............................................................................................

(2) ข อยกลางเสมอ ...............................................................................................................

(3) ก อยรมเสมอ ...................................................................................................................

8. มชาย 3 คน และหญง 2 คน จะมก�วธท�จะใหคนท �ง 5 มายนเปนแถว โดยท�ชายท �ง 3 คนยนตดกน และ

หญง 2 คนยนตดกน

.................................................................................................................................................

9. ถานาตวอกษรจากคาวา TRIANGLE มาจดเปนคาใหม โดยท�คาน �นจะมความหมายหรอไมกได

9.1 จะจดเปนคาใหมไดท �งหมดก�คา ..........................................................................................

9.2 จะจดเปนคาใหมไดท �งหมดก�คา ถาคาน �นข �นตนดวย T และลงทายดวย E

………………………………………………………………………………………………………….

10. จะมก�วธท�จะนาตวอกษรจากคาวาHONESTY มาจดเปนคาใหม โดยคาดงกลาว

ไมมความหมายกได ถา

10.1 S และ T ตองอยตดกน ..................................................................................................

10.2 S และ T ตองไมอยตดกน ...............................................................................................

14

11. ชาย 3 คน และหญง 2 คน มาน�งบนมาน�ง 5 ตวเรยงแถวยาว จะมวธการน�งท �งหมดก�วธ เม�อ

11.1 เพศเดยวกน น�งตดกน ......................................................................................................

11.2 หญง 2 คน น�งตดกน .......................................................................................................

11.3 ชาย 3 คน น�งตดกน .......................................................................................................

11.4 ชายและหญงน�งสลบกนท�ละคน .......................................................................................

12. มผชาย 6 คน และผหญง 6 คน ถาตองการนาคนท �งหมดไปน�งเรยงแถวยาว จะมวธการน�งก�วธ เม�อ

ตองการให

12.1 ชายและหญงน�งสลบกนทละ 1 คน .................................................................................

12.2 ชายและหญงน�งสลบกนทละ 2 คน ................................................................................

12.3 ชายและหญงน�งสลบกนทละ 3 คน ................................................................................

13. เดกนกเรยนคนหน�งมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอฟสกส 2 เลม และหนงสอเคม 4 เลม ถาหนงสอ

ทกเลมมความแตกตางกน และตองการจดหนงสอท �งหมดเรยงแถวบนช �นหนงสอ จะจดไดก�วธ เม�อ

13.1 หนงสอท�เปนวชาเดยวกนอยตดกน ...................................................................................

13.2 หนงสอคณตศาสตรอยตดกน แตหนงสอเคมอยตดกนทเดยว 4 เลมไมได

.................................................................................................................................................

13.3 หนงสอท�อยรมท �งสองดานตองเปนหนงสอวชาเดยวกน

.................................................................................................................................................

14. มจานวนท�มคามากกวา 1,000,000 ก�จานวน ถาจานวนน �นสรางมาจากเลขโดด 0,1,2,3,4,5,6 โดยท�แต

ละหลกเลขตองไมซ �ากน

.................................................................................................................................................

15. มจานวนท�ม 6 หลกก�จานวนท�หารดวย 5 ไมลงตว ถาจานวนเหลาน �นสรางจากเลขโดด 4,5,6,7,8,9 โดย

ท�เลขแตละหลกตองไมซ �ากน

………………………………………………………………………………………………………..

15

ความนาจะเปนของเหตการณ(Probability of Events) ถา n(S) เปนจานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ

n(E) เปนจานวนสมาชกในเหตการณ

P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E

จะไดวา n(S)

n(E)P(E)

บทขยายความ

1. เน�องจากสมาชกทกตวในเหตการณเปนสมาชกในแซมเปลสเปซ เพราะฉะน �น 0 n(E) n(S)

2. ถา E เปนเหตการณใดๆ จะไดวา

2.1 0 P(E) 1

2.2 P(E) = 1 หมายถงเหตการณน �นเกดข �นแนนอน

2.3 P(E) = 0 หมายถงเหตการณน �นไมมโอกาสเกดไดเลย

3. ถา S เปนแซมเปลสเปซจะไดวา P(S) = 1

4. ถา E แทนเหตการณท�เราไมสนใจ จะไดวา P(E) = 1 – P(E)

ตวอยาง 1 กลองทบใบหน�งมบอลสขาว 5 ลก สแดง 3 ลก หยบบอล 1 ลกจากกลองใบน � จงหา

(1) ความนาจะเปนของการหยบลกบอล 1 ลกจากกลองไดสขาว

(2) ความนาจะเปนของการหยบลกบอล 1 ลกจากกลองไดสแดง

(3) ความนาจะเปนของการหยบลกบอล 1 ลกจากกลองไดสฟา

ตวอยาง 2 จากการโยนเหรยญ 3 เหรยญพรอมกน จงหา

(1) แซมเปลสเปซและจานวนของแซมเปลสเปซ

(2) ความนาจะเปนของเหตการณท�ไดเหรยญข �นหนากอย 2 เหรยญ

(3) ความนาจะเปนของเหตการณท�ไดเหรยญข �นหนาหวอยางนอย 2 เหรยญ

16

ตวอยาง 3 จากการโยนลกเตา 2 ลก 1 คร �ง จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �

(1) ไดแตมท �งสองเหมอนกน (2) ไดแตมท �งสองตางกน

(3) ไดผลรวมของแตมมากกวา 3 (4) ไดผลคณของแตมเปนจานวนค

ตวอยาง 4 ดงไพ 1 ใบ จากไพสารบหน�งซ�งม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนท�ไพใบน �น

(1) เปนไพโพแดง (2) จะเปนไพ A

(3) จะเปน A หรอ K (4) จะเปน Q และ K

ตวอยาง 5 ครอบครวหน�งมลก 4 คน จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �

(1) ในครอบครวน �นมลกชาย 3 คน ลกสาว 1 คน

(2) ในครอบครวน �นมลกชายคนโต และมลกสาวคนเลก

(3) ในครอบครวน �นมลกชาย 2 คน ลกสาว 2 คน สลบกน

17

1. โยนเหรยญ 4 เหรยญ 1 คร �ง จงหา

1.1 ความนาจะเปนท�ไดหว 2 คร �ง 1.2 ความนาจะเปนท�ไดหวไมเกน 3 คร �ง

1.3 ความนาจะเปนท�ไดหวเทากบกอย 1.4 ความนาจะเปนท�ไดหวอยางนอย 1 หว

2. ขอสอบฉบบหน�งม 20 ขอ ขอละ 1 คะแนน จงหา

2.1 ความนาจะเปนท�ทาขอสอบฉบบน �ไดผาน

2.2 ความนาจะเปนท�ทาขอสอบไดมากกวา 18 ขอ

3. ถาสมครอบครวท�มบตรสามคนมาครอบครวหน�ง จงหาความนาจะเปนของเหตการณท�ครอบครวน �น

3.1 มบตรคนแรกเปนหญง และบตรคนท�สองเปนชาย

3.2 มบตรเปนชายอยางนอย 1 คน

3.3 ไมมบตรหญงเลย

3.4 มบตรเปนหญงอยางมาก 1 คน

4. ถงใบหน�งใสเหรยญหาไว 100 อน เหรยญแตละอนไดเขยนเลขกากบไว โดยไมซ �ากนคอเร�มจาก 1 จนถง

100 ถาหยบเหรยญอนหน�งออกมาโดยการสม จงหาความนาจะเปนท�เลขท�เขยนกากบไว

4.1 เปนจานวนเตมค

4.2 เปนจานวนค�และจานวนท�หารดวย 3 ลงตว

4.3 เปนจานวนท�มรากท�สองเปนจานวนเตม

4.4 เปนจานวนคหรอมรากท�สามเปนจานวนเตม

Ẻ½�¡ËÑ´ : ¤ÇÒÁ¹�Ò¨Ðà»�¹¢Í§à˵ءÒó�

18

5. สมหยบลกบอล 1 ลก จากถงใบหน�งซ�งบรรจลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 4 ลก และสเขยว 5 ลก

จงหาความนาจะเปนท�จะ

5.1 หยบไดลกบอลสขาว

5.2 หยบไดลกบอลสขาวหรอสแดง

5.3 หยบไมไดลกบอลสแดง

5.4 หยบไดลกบอลสขาวและสเขยว

6. ในถงใบหน�งบรรจเหรยญ 5 บาท 5 เหรยญ และเหรยญ 1 บาท 2 เหรยญ สมหยบข �นมา 2 เหรยญ ท�ละ

เหรยญไมใสคน และหยบคร �งแรกทกคร �งเปนเหรยญ 5 บาท จงหาความนาจะเปนท�หยบเหรยญคร �งท�

สองเปนเหรยญ 5 บาทดวย

7. ไพสารบหน�งม 52 ใบ สมหยบข �นมา 2 ใบ โดยหยบทละใบแลวใสคนกอนหยบใหม จงหาความนาจะเปน

7.1 ไดไพ A โพดาดวยเสมอ

7.2 ไมไดไพโพดาเสมอ

8. ถาเลอกสมตวอกษร 1 ตวจากคาวา MATHS จงหาความนาจะเปน

8.1 สมหยบจากกลมไดสระ

8.2 สมหยบจากกลมไดพยญชนะ

19

9. กลองใบหน�งมลกบอลสแดง 3 ลก และสขาว 2 ลก หยบลกบอลอยางสมจากกลองใบน � 2 ลก

จงหาความนาจะเปนท�ลกบอล 2 ลกน �น จะเปนสแดง 1 ลก และสขาว 1 ลก

10. กลองใบหน�งมหลอดไฟอย 10 หลอด ในจานวนน �เปนหลอดเสย 3 หลอด นอกน �นเปนหลอดด

ถาหยบหลอดไฟออกจากกลองอยางสม 2 หลอด จงหาความนาจะเปนท�ไมมหลอดเสย ตดมาเลย

11. มคนกลมหน�งจานวน 8 คน ในจานวนน � มนาย ก, นาย ข และ นาย ค รวมอยดวย

ถาสมเลอกคนเหลาน �ออกมา 4 คน จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �

11.1 ไดท �งนาย ก, นาย ข, และ นาย ค

11.2 ไดนาย ก แตไมได นาย ข

11.3 ไดนาย ก, นาย ข และนาย ค เพยง 2 คนเทาน �น

12. สลาก 20 ใบ มหมายเลขกากบต �งแต 1 ถง 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 มรางวล 1,000, 500,

300 และ 200 บาท ตามลาดบ ชายผหน�งหยบสลาก 2 ใบ แบบสมจากสลากท �งหมด

จงหาความนาจะเปนท�

12.1 ชายผน �ไดรบรางวลรวมกน 500 บาทพอด

12.2 ชายผน �ไดรบเงนรางวลอยางนอย 1,000 บาท

20

13. สมหยบไพ 3 ใบ ออกจากสารบหน�ง ซ�งม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน �

13.1 ไดไพหมายเลขเดยวกนท �งสามใบ

13.2 ไดไพชด(ดอก)เดยวกนท �งสามใบ

13.3 ไพท �งสามใบมาจากชดตางๆ กน

14. สมชายทอดลกเตาลกหน�ง ถาแตมท�ข �นหารดวย 2 ลงตวจะหยบฉลากหน�งใบจากกลองซ�งมฉลาก 2 ใบม

ตวเลข 1 และ 4 กากบอย แตถาแตมท�ข �นหารดวย 2 ไมลงตวจะหยบฉลากหน�งใบจากกลองอกใบหน�ง

ซ�งมฉลาก 2 ใบเชนกนแตมตวเลข 3 และ 2 กากบอย ความนาจะเปนท�ผลรวมของแตมท�ข �นกบตวเลขใน

ฉลากจะหารดวย 3 ลงตว มคาเทาใด

15. มแมกญแจ 4 ตว และลกกญแจ 4 ดอก วางรวมกนอยบนโตะ ลกกญแจหน�งดอกไขแมกญแจได 1 ตว

เทาน �น สมหยบแมกญแจมา 2 ตว และสมหยบลกกญแจมา 2 ดอก ความนาจะเปนท�จะไขแมกญแจ

ไดท �งสองตว มคาเทาใด

16. นาไพ 4 ใบ ท�มตวเลข 1 ถง 4 กากบอย สบไพ 4 ใบน �น แลวเรยงหงายทละใบบนโตะ ความนาจะ

เปนท�จะมเพยง 2 ใบวางถกตาแหนง (วางถกตาแหนงคอไพท�มตวเลข n วางอยในตาแหนงท� n)

มคาเทาใด

21

17. ถงใบหน�งมดนสอ 3 แทง ยาวแทงละ 3, 4 และ 5 เซนตเมตร หยบออกมาดคร �งละ 1 แทง บนทกความ

ยาวไวแลวใสกลบคน ทาเชนน �ซ �ากน 3 คร �ง ถาสรางรปสามเหล�ยมใหมความยาวของดานสอดคลองกบ

ความยาวท�บนทกไว ความนาจะเปนท�จะไดรปสามเหล�ยมมมฉากเปนเทาใด

18. กลองใบหน�งบรรจฉลากหมายเลข 2, 3, 4 และ 5 กลองใบท�สองบรรจฉลากหมายเลข 3, 4, 5 และ 6

หยบฉลาก 1 ใบจากแตละกลอง ถา a คอหมายเลขในฉลากท�หยบไดจากกลองใบแรก และ b คอ

หมายเลขในฉลากท�หยบไดจากกลองใบท�สอง ความนาจะเปนท�เม�อนา 3 ไปหารผลคณของ a กบ b

แลวเหลอเศษมากกวา 1 มคาเทาใด

19. มสลาก 4 ใบ หมายเลข 1 ถง 4 อยในกลอง สมหยบสลากมา 1 ใบ เปดดจดตวเลขไว แลวใสกลบคน

ลงในกลองตามเดม เขยากลองสกครจงหยบสลากออกมาอก 1 ใบ เปดดและจดตวเลขไว

ถา a คอ ตวเลขท�จดไวคร �งแรก และ b คอตวเลขท�จดไวคร �งท�สอง

ความนาจะเปนท� a2b + 1 หารดวย 5 ลงตวเปนเทาใด

22

20 ชายคนหน�งทอดลกเตา 1 ลก 2 คร �ง ให x1 คอแตมท�ไดจากการทอดคร �งแรก เขาจะกาวจากจดท�เขายน

อยไปทางขวาเปนจานวน x1 กาว จากน �นทอดลกเตาอกคร �ง และให x2 คอแตมท�ไดจากการทอด

คร �งท�สอง เขาจะกาวไปทางซายจากตาแหนงท�เขายนอยขณะน �นเปนจานวน x2 กาว ความนาจะเปนท�

ภายหลงจากท�เขากาวไปทางซายเปนจานวน x2 กาวแลวทาใหเขาอยหางจากจดท�เขายนอยคร �งแรกไป

ทางซายเปนจานวน 3 กาวเปนเทาใด

21. กลองบรรจลกแกว 2 ใบ ใบท�หน�งบรรจลกแกวสแดง ใบท�สองบรรจลกแกวสเหลอง ถาเชอกท�ผกไวกบ

กลองใบท�หน�งถกดง ลกแกวสแดงจะหลนออกมา 2 ลก แตถาเชอกท�ผกไวกบกลองใบท�สองถกดง

ลกแกวสเหลองจะหลนออกมา 1 ลก สมดงเชอกคร �งละเสน 4 คร �ง ความนาจะเปนท�ลกแกวท�หลน

ออกมาเปนสแดง 4 ลก และสเหลอง 2 ลกมคาเทาใด

22. มไมยาว 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 เซนตเมตรอยางละทอนอยในถง สมหยบข �นมาสามทอน ความนาจะเปน

ท�จะนาไมสามทอนน �นมาประกอบเปนรปสามเหล�ยมไมไดเปนเทาใด

23

23. สชาตเขยนจดหมายฉบบหน�งถงเพ�อน 4 คน แตเม�อนาจดหมายใสซองปดผนกและสงไปแลว จงนกข �น

ไดวากอนนาจดหมายใสซอง ลมดวาช�อในจดหมายกบช�อท�จาหนาซองตรงกนหรอไม ความนาจะเปนท�

จะมเพ�อนคนใดคนหน�งเพยงคนเดยวเทาน �นท�ไดรบจดหมายถกตองตามท�จาหนาซองเปนเทาใด

24. กลองใบหน�งมลกปงปอง ซ�งมหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 หมายเลขละหน�งลก สมหยบข �นมา 2 ลก

พรอมกน จงหาความนาจะเปนท�ผลคณของหมายเลขท �งสองเปนจานวนค�