Konsep dualitas dalam model
pemrograman linier
Suprayogi
Andi Cakravastia
Leksananto Gondodiwirjo Kelompok Keahlian Sistem Industri dan Tekno-Ekonomi
Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Bandung
Model pemrograman linier simetris
(kasus maksimisasi)
Suatu model pemrograman linier untuk kasus
maksimisasi dikatakan simetris jika dicirikan oleh hal-
hal berikut :
• Tiap pembatas dinyatakan dalam pertidaksamaan
berbentuk “lebih kecil atau sama dengan”.
• Tiap variabel keputusan adalah tak negatif.
2
Model pemrograman linier simetris
(kasus maksimisasi)
3
Contoh model pemrograman linier simetris
(kasus maksimisasi)
4
Model pemrograman linier simetris
(kasus minimisasi)
Suatu model pemrograman linier untuk kasus
minimisasi dikatakan simetris jika dicirikan oleh hal-
hal berikut:
• Tiap pembatas dinyatakan dalam pertidaksamaan
berbentuk “lebih besar atau sama dengan”.
• Tiap variabel keputusan adalah tak negatif.
5
Model pemrograman linier simetris
(kasus minimisasi)
6
Contoh model pemrograman linier simetris
(kasus minimisasi)
7
Hubungan primal-dual untuk
model pemrograman linier simetris
Misal terdapat model pemrograman linier simetris
dengan 𝑚 pembatas fungsional dan 𝑛 variabel
keputusan.
Model pemrograman linier ini disebut model primal
(primal model).
Bentuk cerminan dari model primal disebut
dengan model dual (dual model).
Model dual memiliki 𝑛 pembatas fungsional dan 𝑚
variabel keputusan.
8
Tabel konversi untuk model primal dan dual
simetris
9
Contoh konversi model primal dan dual
simetris
10
Primal Dual
Contoh konversi model primal dan dual
simetris
11
Primal Dual
Model pemrograman linier tak simetris
Model pemrograman linier tak simetris (asymmetric
linear programming model) dicirikan oleh:
• Rumusan pembatas bervariasi yang dapat berbentuk " ≤ ", " ≥ " atau " = ".
• Nilai variabel-variabel keputusan dapat dibatasi tak
negatif, tak positif atau bebas
12
Konversi ke model simetris
Pembatas fungsional berbentuk "≥" diubah menjadi
berbentuk "≤" untuk kasus maksimisasi atau
pembatas fungsional berbentuk "≤" diubah menjadi
berbentuk "≥" untuk kasus minimisasi.
Pembatas fungsional berbentuk "=" diubah menjadi
dua pertidaksamaan berbentuk "≤" untuk kasus
maksimisasi atau dua pertidaksamaan berbentuk
"≥" untuk kasus minimisasi.
Variabel keputusan tak positif disubstitusi menjadi
negatif dari variabel tak negatif.
Variabel keputusan bebas disubstitusi menjadi
selisih dua variabel tak negatif
13
Contoh
14
Konversi ke bentuk tak simetris ke simetris
15
16
Primal (Tak Simetris) Primal (Simetris)
17
Primal (Simetris) Dual (Simetris)
Konversi ke bentuk dual simetris ke
bentuk dual tak simetris
18
19
Dual (Simetris) Dual (Tak simetris)
Hasil akhir konversi primal-dual tak simetris
20
Primal (Tak Simetris) Dual (Tak Simetris)
Bentuk dual untuk model pemrograman linier
bentuk baku kasus maksimisasi
21
Primal
Dual
Contoh
22
Primal Dual
Bentuk dual untuk model pemrograman linier
bentuk baku kasus minimisasi
23
Primal
Dual
Contoh
24
Primal Dual
Hubungan primal-dual untuk model pemrograman
linier bentuk baku dalam notasi matriks-vektor
25
Contoh konversi primal-dual melalui pengubahan
model pemrograman linier ke bentuk baku
26
Konversi ke bentuk baku
27
28
Primal (tak simetris) Primal (Baku)
29
Primal (Baku) Dual (dari primal
bentuk baku)
Konversi dual dari primal bentuk baku ke model tak
simetris
30
31
Dual (dari primal bentuk baku)
Dual (tak simetris)
Konversi primal-dual secara umum
32
33
Primal Dual
34
Primal Dual
Teorema dualitas lemah
35
36
Teorema kriteria keoptimalan
37
Teorema dualitas kuat
38
Teorema sisipan komplementer
39
40
41
42
Contoh penentuan solusi dual berdasarkkan
teorema sisipan komplementer
43
Primal Primal (dengan penambahan variabel-variabel sisipan)
44
Dual Dual (dengan penambahan variabel-variabel sisipan)
45
46
Model Primal:
Min Z = 3*x1 + 2*x2
Subject to
5*x1 + 3*x2 >= 15
3*x1 + 4*x2 > = 12
X1, x2 >=0
a) Tentukan solusi model Primal (dg grafis)
b) Rumuskan model dual
c) Tentukan solusi dual berdasarkan kondisi sisipan
komplementer
47
a) Solusi optimal primal, x1 = 24/11 = 2 2/11, x2 =
15/11 = 1 4/11. Nilai fungsi tujuan Z = 102/11 = 9
3/11.
b) Model dual
Memaksimumkan W = 15*y1 + 12*y2
subject to
5*y1 + 3*y2 <= 3
3*y1 + 4*y2 <= 2
y1, y2 >=0
48
Min Z = 3*x1 + 2*x2
Subject to
5*x1 + 3*x2 - u1 = 15
3*x1 + 4*x2 - u2 = 12
X1, x2 , u1, u2 >=0
Max W = 15*y1 + 12*y2
subject to
5*y1 + 3*y2 + v1 = 3
3*y1 + 4*y2 + v2 = 2
y1, y2, v1, v2 >=0
49
X1 = 24/11 v1 = 0
X2 = 14/11 v2 = 0
5*24/11 + 3*15/11 = 15 u1 = 0
3*24/11 + 4*15/11 = 12 u2 = 0
U1 = 0 y1 >= 0
U2 = 0 y2 >= 0
5*y1 + 3*y2 = 3
3*y1 + 4*y2 = 2
Solusi optimal dual: Y1 = 6/11, Y2 = 1/11
W = 102/11 = 9 3/11
50
Penentuan solusi optimal dual dalam
metode simpleks
51
52
53
54
Contoh
55
56
57
58
Interpretasi solusi dual
Tiap variabel dual berkaitan dengan tiap pembatas fungsional.
Jika konstanta pembatas menunjukkan ketersediaan sumber daya, dalam konteks ekonomi, variabel dual menunjukkan harga bayangan (shadow price) dari sumber daya.
Harga bayangan dari tiap sumber daya menunjukkan nilai peningkatan fungsi tujuan (kasus maksimisasi) jika ketersediaan sumber daya tersebut dinaikkan satu satuan.
Dengan demikian, jika tiap sumber daya dapat ditingkatkan, maka prioritas harus diberikan pada sumber daya yang memberikan peningkatan nilai peningkatan fungsi tujuan (kasus maksimisasi) yang paling tinggi.
59
60
61
62
Model Primal:
Min Z = 3*x1 + 2*x2
Subject to
5*x1 + 3*x2 >= 15 3*x1 + 4*x2 > = 12
X1, x2 >=0
a) Rumuskan model dengan sistem persamaan pembatas dalam bentuk kanonik
b) Misal pada suatu iterasi, variabel basis adalah x1 dan x2, tentukan matriks B dan invers dari B pada iterasi ini.
c) Tentukan solusi pada (b)
d) Periksa apakah solusi pada (c) optimal atau tidak.
e) Susun tabel simpleks pada iterasi ini (mengacu pada soal b) f) Jika solusi pada (d) optimal, tentukan solusi optimal dual.
63
Min Z = 3*x1 + 2*x2 + M*X5 + M*X6
Subject to
5*X1 + 3*X2 – X3 + X5= 15
3*X1 + 4*X2 – X4 + X6 = 12
X1, …, X6 >=0
B = 5 3
3 4
Invers dari B 4/11 -3/11
-3/11 5/11
64
No. c
X-Basis = b-bar
b-bar = B-invers * b
No. d
C-bar = Cj - C-basis * B-invers * A
No.e Elemen di bawah kolom konstanta B-invers * b
Elemen di baris koef. Tujuan relatif (c-bar) Cj –C-basis * B-invers Elemen koefisien pembatas ekivalen B-invers * A
No. f
Y = C-Basis * B-invers
65