Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
Analyse des signaux - ELE2700Transformée de Laplace et de Fourier et Spectres Continus
Christian Cardinal, Ph.D
Département de génie électriqueÉcole Polytechnique de Montréal
6 janvier 2009
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
Lignes directrices
1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Lignes directrices
1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Définitions de la transformée de Laplace
Deux définitions : Unilatérale et Bilatérale
Transformée de Laplace Unilatérale
Soit un signal représenté par une fonction x(t). La transformée deLaplace unilatérale de x(t) constitue une fonction L{x(t)} telle que
L{x(t)} : C → C
s 7→∫ ∞
0x(t)e−stdt (1)
Transformée de Laplace Bilatérale
Soit un signal x(t). La transformée de Laplace bilatérale de x(t)constitue une fonction X (s) telle que
L{x(t)} : C → C
s 7→∫ ∞
−∞e−stdt (2)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Définitions (suite....)
On note aussi X (s) comme la transformée de Laplace d’unsignal x(t) :
X (s) = L{x(t)} (3)
En général, nous considérons que l’opérateur L désigne latransformée bilatéraleCependant, comme nous manipulons typiquement des signauxcausaux, dont le support est inclus dans R+, cette transforméedégénère en transformée unilatéraleNotation : s = σ + jω, i.e. <{s} = σ,={s} = ω
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Lignes directrices
1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Région de convergence
La région de convergence d’une transformée de Laplace consiste enle sous-ensemble de C où X (s) est parfaitement définie, au sens oùl’intégrale impropre converge.
il est difficile de déterminer cette région de convergence,spécifique à chaque signalcependant,il est facile de déterminer la région de convergenced’une exponentielle naturelleon peut donc déterminer un sous-ensemble de la région deconvergence de toute fonction absolument bornée par uneexponentielle
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Définition de la région de convergence de X (s)(suite...)
La région de convergence de X (s) correspond aux valeurs des ∈ C tel que |X (s)| <∞
|X (s)| =∣∣∣∣∫ ∞
−∞x(t)e−stdt
∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞
−∞
∣∣x(t)e−st∣∣ dt
≤∫ ∞
−∞
∣∣∣x(t)e−(σ−jω)t∣∣∣ dt =
∫ ∞
−∞
∣∣x(t)e−σt∣∣ dt
(4)
il faut donc que x(t)e−σt soit absolument intégrableil existe une plage de valeurs de σ, σ1 < σ < σ2 tel que|X (s)| <∞
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
La région de convergence de la transformée de Laplace bilatéraled’un signal à support fini x(t), intégrable dans l’intervalle [a, b] est C.
X (s) =
∫ b
ax(t)e−stdt . (5)
l’intégrale converge pour tout a < b
La région de convergence de la transformée de Laplace dusignal x(t) = eat , t ≥ 0 est le demi-plan complexe :
ROC = {s ∈ C | <(s) > a}. (6)
X (s) =
∫ ∞
0eate−stdt =
∫ ∞
0e(a−σ)te−jωtdt (7)
Pour avoir convergence, il faut (a− σ) < 0⇒ σ > a ou <{s} > a
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
La région de convergence de la transformée de Laplace bilatéraled’un signal à support fini x(t), intégrable dans l’intervalle [a, b] est C.
X (s) =
∫ b
ax(t)e−stdt . (5)
l’intégrale converge pour tout a < b
La région de convergence de la transformée de Laplace dusignal x(t) = eat , t ≥ 0 est le demi-plan complexe :
ROC = {s ∈ C | <(s) > a}. (6)
X (s) =
∫ ∞
0eate−stdt =
∫ ∞
0e(a−σ)te−jωtdt (7)
Pour avoir convergence, il faut (a− σ) < 0⇒ σ > a ou <{s} > a
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
X (s) =1
s − a, ROC = {s ∈ C | <(s) > a} (8)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Exemple : Fonction échelon
La fonction marche de Heaviside ou échelon est un signal u(t) définicomme
u(t) =
0 , si t < 012 , si t = 01 , si t > 0,
(9)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Exemple : Fonction échelon
Pour x(t) = u(t),
X (s) =
∫ ∞
0e−stdt =
e−st
−s
∣∣∣∞0
=1s, ROC = {s ∈ C|<(s) > 0} (10)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Types de signaux et régions de convergence
Un signal est dit de droite si son support est contenu dans unintervalle fermé à gauche et ouvert à droite⇒ ROC de droiteUn signal est dit de gauche si son support est sous-ensembled’un intervalle fermé à droite et ouvert à gauche⇒ ROC degauche
La fonction échelon u(t) ainsi que tout signal dont la définitionimplique un produit par la fonction u(t) sont des signaux de droite
Exemple :l’exponentielle à droite est définie comme eatu(t − t0) (pourtout t0 ∈ R) ;l’exponentielle à gauche est définie comme eatu(t0 − t).
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
signaux non bornés
La région de convergence d’un signal non borné est une debande complexe parallèle à l’axe jω
Exemple : La région de convergence de la transformée de Laplace dela somme de l’exponentielle à droite eatu(t − t0) et de l’exponentielleà gauche ebtu(t1 − t), a < b ∈ R est la bande complexe
ROC = {s ∈ C | a < <(s) < b}. (11)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
signaux fini
La région de convergence d’un signal fini dans un intervalle [a, b]constitue tout le plan complexe C
Exemple
La transformée de Laplace de la fonction de Dirac, δ(t − to) est∫ ∞
−∞δ(t − to)e−st = e−sto (12)
La région de convergence est donc tout le plan complexe
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Forme rationnelle de la Transformée de Laplace :Pôles et Zéros
Dans plusieurs applications X (s) prend la forme d’une fonctionrationnelle :
X (s) =b0 + b1s + b2s2 + ... + bMsM
a0 + a1s + a2s2 + ... + aNsN =
∑Mk=0 bk sk∑Nk=0 ak sk
=N(s)
D(s)
(13)
Les Zéros de X (s) sont les valeurs de s tel que X (s) = 0 : i.e lesM racines, si , i = 1, 2, 3....M de N(s)Les Pôles de X (s) sont les valeurs de s tel que X (s) =∞ : i.e.les N racines, si , i = 1, 2, 3....N de D(s)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Forme rationnelle de la Transformée de Laplace : ROCSoit les N pôles, si ∈ C, i = 1, 2, 3....N. On définit :
σmax = max {<(si)} , et (14)
σmin = min {<(si)} (15)
pour une signal de droite :
ROC = {s ∈ C|<(s) > σmax} (16)
Pour un signal de gauche :
ROC = {s ∈ C|<(s) < σmin} (17)
pour un signal non borné :
ROC = {s ∈ C|σmin < <(s) < σmax} (18)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Le tableau suivant résume ce qu’il faut retenir au sujet des régions deconvergence.
signaux FormeFinie Plan complexe : ROC = {s ∈ C}
À droite Demi-plan de droite : ROC = {s ∈ C|<(s) > σmax}À gauche Demi-plan de gauche : ROC = {s ∈ C|<(s) < σmin}non borné Bande du plan : ROC = {s ∈ C|σmin < <(s) < σmax}
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Principales propriétés de la transformée de Laplace
Linéarité, Décalage temporel, Dérivation, compression, ....
Signal Transformée Région de convergence ROCx(t) X (s) Rx1(t) X1(s) R1
x2(t) X2(s) R2
ax1(t) + bx2(t) aX1(s) + bX2(s) R1 ∩ R2
x(t − to) e−sto X (s) Reso tx(t) X (s − so) Décalage de Rx(at) 1
|a|X ( sa ) Compression de R
x(−t) X (−s) Inversion de Rx1(t) ∗ x2(t) X1(s)X2(s) R1 ∩ R2
ddt x(t) sX (s) au moins R−tx(t) d
ds X (s) R∫ t−∞ x(τ)dτ 1
s X (s) au moins R ∩ {<(s) > 0}
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Lignes directrices
1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Transformée inverse de Laplace
Définition de la transformée de Laplace inverse
x(t) =1
2iπ
∫ σ+i∞
σ−i∞X (s)estds (19)
le choix de σ ne change pas la valeur de l’intégrale ; il fautcependant prendre une telle droite complexe dans la région deconvergence de X (s)
Généralement, la solution de cette intégrale est complexe
SOLUTION
DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS PARTIELLES
TABLE DE TRANSFORMÉES DE LAPLACE
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Transformée inverse de Laplace
Définition de la transformée de Laplace inverse
x(t) =1
2iπ
∫ σ+i∞
σ−i∞X (s)estds (19)
le choix de σ ne change pas la valeur de l’intégrale ; il fautcependant prendre une telle droite complexe dans la région deconvergence de X (s)
Généralement, la solution de cette intégrale est complexe
SOLUTION
DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS PARTIELLES
TABLE DE TRANSFORMÉES DE LAPLACE
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Table de transformées de Laplace
Signal Transformée Région de convergence ROCδ(t) 1 pour tout s ∈ Cu(t) 1
s <(s) > 0−u(−t) 1
s <(s) < 0tn−1
(n−1)!u(t) 1sn <(s) > 0
− tn−1
(n−1)!u(−t) 1sn <(s) < 0
e−αtu(t) 1s+α <(s) > −α
−e−αtu(−t) 1s+α <(s) < −α
tn−1
(n−1)!e−αtu(t) 1
(s+α)n <(s) > −α
− tn−1
(n−1)!e−αtu(−t) 1
(s+α)n <(s) < −α
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
DéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
Table de transformées de Laplace (suite...)
Signal Transformée Région de convergence ROCδ(t − T ) e−sT pour tout s ∈ C
cos(ω0t)u(t) ss2+ω2
0<(s) > 0
sin(ω0t)u(t) ω0s2+ω2
0<(s) > 0
e−αt cos(ω0t)u(t) s+α(s+α)2+ω2
0<(s) > −α
e−αt sin(ω0t)u(t) ω0(s+α)2+ω2
0<(s) > −α
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
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1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
INTRODUCTION
La transformée de Fourier constitue la décomposition d’un signaldans une base d’exponentielles complexes comportant un nombreinfini et non dénombrable d’éléments.
Produit Scalaire :Pour les signaux R→ C en général (pas nécessairement périodique),on définit le produit scalaire de signaux x(t) et y(t) comme
〈x(t), y(t)〉 =
∫ ∞
−∞x(t)y∗(t)dt . (20)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
INTRODUCTION
La transformée de Fourier constitue la décomposition d’un signaldans une base d’exponentielles complexes comportant un nombreinfini et non dénombrable d’éléments.
Produit Scalaire :Pour les signaux R→ C en général (pas nécessairement périodique),on définit le produit scalaire de signaux x(t) et y(t) comme
〈x(t), y(t)〉 =
∫ ∞
−∞x(t)y∗(t)dt . (20)
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IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
INTRODUCTION
La transformée de Fourier constitue la décomposition d’un signaldans une base d’exponentielles complexes comportant un nombreinfini et non dénombrable d’éléments.
Produit Scalaire :Pour les signaux R→ C en général (pas nécessairement périodique),on définit le produit scalaire de signaux x(t) et y(t) comme
〈x(t), y(t)〉 =
∫ ∞
−∞x(t)y∗(t)dt . (20)
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2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
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Définitions
Définition de la Transformée de Fourier
La transformée de Fourier d’un signal x(t) représenté par unefonction R→ C est la fonction
X (f ) : R → Cf 7→ F{x(t)} = 〈x(t), e−2jπft〉 =
∫∞−∞ x(t)e−j2πftdt (21)
Transformée de Fourier inverse
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (f ) est
x(t) = F−1{X (f )} = 〈X (f ), ej2πft〉 =
∫ ∞
−∞X (f )ej2πftdf (22)
Note : Le spectre fréquencielle d’un signal x(t) est simplement latransformée de Fourier X (f ) = F{x(t)}, f étant la fréquence en [Hz]
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IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Définitions
Définition de la Transformée de Fourier
La transformée de Fourier d’un signal x(t) représenté par unefonction R→ C est la fonction
X (f ) : R → Cf 7→ F{x(t)} = 〈x(t), e−2jπft〉 =
∫∞−∞ x(t)e−j2πftdt (21)
Transformée de Fourier inverse
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (f ) est
x(t) = F−1{X (f )} = 〈X (f ), ej2πft〉 =
∫ ∞
−∞X (f )ej2πftdf (22)
Note : Le spectre fréquencielle d’un signal x(t) est simplement latransformée de Fourier X (f ) = F{x(t)}, f étant la fréquence en [Hz]
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IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Définitions
Définition de la Transformée de Fourier
La transformée de Fourier d’un signal x(t) représenté par unefonction R→ C est la fonction
X (f ) : R → Cf 7→ F{x(t)} = 〈x(t), e−2jπft〉 =
∫∞−∞ x(t)e−j2πftdt (21)
Transformée de Fourier inverse
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (f ) est
x(t) = F−1{X (f )} = 〈X (f ), ej2πft〉 =
∫ ∞
−∞X (f )ej2πftdf (22)
Note : Le spectre fréquencielle d’un signal x(t) est simplement latransformée de Fourier X (f ) = F{x(t)}, f étant la fréquence en [Hz]
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Conditions de définition
Pour que la transformée de Fourier X (f ) d’un signal x(t) existe, il fautque ce signal satisfasse les deux conditions suivantes :
1 x(t) doit être absolument intégrable — i.e.∫∞−∞ |x(t)|dt <∞.
2 Tout intervalle fini (ou support du signal) doit comporter unnombre fini de discontinuités et d’extrema.
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Autres Définitions : fréquences angulaires
Définition de la transformée de Fourier dans le domaine desfréquences angulaires
La transformée de Fourier d’un signal x(t) peut aussi s’éxprimer dansle domaine de la fréquence angulaire ω = 2πf rad/s :
X (ω) =
∫ ∞
−∞x(t)e−jωtdt (23)
Transformée de Fourier inverse dans le domaine des fréquencesangulaires
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (ω) est
x(t) = F−1{X (ω)} =1
2π
∫ ∞
−∞X (ω)ejωtdω (24)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Autres Définitions : fréquences angulaires
Définition de la transformée de Fourier dans le domaine desfréquences angulaires
La transformée de Fourier d’un signal x(t) peut aussi s’éxprimer dansle domaine de la fréquence angulaire ω = 2πf rad/s :
X (ω) =
∫ ∞
−∞x(t)e−jωtdt (23)
Transformée de Fourier inverse dans le domaine des fréquencesangulaires
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (ω) est
x(t) = F−1{X (ω)} =1
2π
∫ ∞
−∞X (ω)ejωtdω (24)
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Autres Définitions : fréquences angulaires
Définition de la transformée de Fourier dans le domaine desfréquences angulaires
La transformée de Fourier d’un signal x(t) peut aussi s’éxprimer dansle domaine de la fréquence angulaire ω = 2πf rad/s :
X (ω) =
∫ ∞
−∞x(t)e−jωtdt (23)
Transformée de Fourier inverse dans le domaine des fréquencesangulaires
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (ω) est
x(t) = F−1{X (ω)} =1
2π
∫ ∞
−∞X (ω)ejωtdω (24)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
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REMARQUES
Dans le reste de ce cours nous utiliseront la définition dans ledomaine des fréquences en HzCependant, occasionnellement nous utiliseront la définition dansle domaine des fréquences angulaires uniquement par facilitéd’écriture et de développement mathématique
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IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Lignes directrices
1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
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Lien avec la transformée de Laplace
Soit un signal x(t) ayant pour transformée de Laplace X (s) et unerégion de convergence Rxpar définition, on a :
X (s) =
∫ ∞
−∞x(t)e−stdt (25)
On peut aussi écrire :
X (σ + jω) =
∫ ∞
−∞x(t)e−(σ+jω)tdt (26)
On constate que si l’axe {jω} = {j2πf} ⊆ Rx , la transformée deFourier X (f ) s’obtient par :
X (σ + j2πf )|σ=0 = X (f ) =
∫ ∞
−∞x(t)e−j2πftdt (27)
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IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Lien avec la transformée de Laplace (suite...)
REMARQUES :1 Cela revient donc à poser s = j2πf dans X (s) :
X (f ) = X (s)|s=j2πf si l’axe jω est dans la région de convergence(ROC) de X (s)⇒ Cas des signaux convergents
2 X (f ) n’existe pas si l’axe jω n’est pas dans la ROC et n’estpas une borne de la ROC⇒ Cas des signaux divergents
3 X (f ) existe et comporte des Dirac, (δ(f − fi)) si l’axe jω est uneborne de la région de convergence de X (s)⇒ Cas des signauxoscillants (sinus, cosinus) ou stagnants (fonction échelon)
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Lignes directrices
1 Transformée de LaplaceDéfinitionRégion de convergence, ROCInversion
2 Transformée de FourierIntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée deLaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table destransformées de Fourier Usuelles
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
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Principales Propriétés de la Transformée de Fourier
Les propriétés de la transformée de Fourier decoulent de cellesde la transformée de Laplace
Signal T.F. (fréq., Hz) T.F.(fréq. angulaire, rad/s)x(t) X (ω) X (f )y(t) Y (ω) Y (f )
ax(t) + by(t) aX (ω) + bY (ω) aX (f ) + bY (f )x(t − to) e−jωto X (ω0) e−j2πfto X (f )
ejω0tx(t), ej2πf0tx(t) X (ω − ω0) X (f − f0)x∗(t) X ∗(−ω) X ∗(−f )x(−t) X (−ω) X (−f )x(at) 1
|a|X (ωa ) 1
|a|X ( fa )
x(t) ∗ y(t) X (ω)Y (ω) X (f )Y (f )
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Propriétés de la Transformée de Fourier (suite...)
Signal T.F. (fréq., Hz) T.F.(fréq. angulaire, rad/s)x(t)y(t) 1
2π X (ω) ∗ Y (ω) X (f ) ∗ Y (f )ddt x(t) jωX (ω) j2πfX (f )∫ t
−∞ x(τ)dτ 1jω X (ω) + πX (0)δ(ω) 1
j2πf X (f ) + 12 X (0)δ(f )
tx(t) j ddω X (ω) j
2πddf X (f )
x(t) réel X (ω) = X ∗(−ω) X (f ) = X ∗(−f )<{X (ω)} = <{X (−ω)} <{X (f )} = <{X (−f )}={X (ω)} = −={X (−ω)} ={X (f )} = −={X (−f )}|X (ω)| = |X (−ω)| |X (f )| = |X (−f )|
∠X (ω) = −∠X (−ω) ∠X (f ) = −∠X (−f )
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Propriétés de la Transformée de Fourier (suite...)
Dualité :
f (t) F←→ F (ω)
F (t) F←→ 2πf (−ω)
Relation de Parseval pour les signaux apériodiques :∫ ∞
−∞|x(t)|2dt =
12π
∫ ∞
−∞|X (ω)|2dω
∫ ∞
−∞|x(t)|2dt =
∫ ∞
−∞|X (f )|2df
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Table des Transformées de Fourier
x(t) X (ω) X (f )e−αtu(t) 1
α+jω1
α+j2πfte−αtu(t) 1
(α+jω)21
(α+j2πf )2
|t | −2ω2
−2(2πf )2
δ(t) 1 11 2πδ(ω) δ(f )
u(t) πδ(ω) + 1jω
12δ(f ) + 1
j2πfcos(ω0t)u(t) π
2 [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]14 [δ(f − f0) + δ(f + f0)]
+ jω(ω2
0−ω2)+ j2πf
((2πf0)2−(2πf )2)
sin(ω0t)u(t) π2j [δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]
14j [δ(f − f0)− δ(f + f0)]
+ ω0(ω2
0−ω2)+ 2πf0
((2πf0)2−(2πf )2)
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Table des Transformées de Fourier (suite...)
x(t) X (ω) X (f )cos(ω0t) π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]
12 [δ(f − f0) + δ(f + f0)]
sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]j2 [δ(f + f0)− δ(f − f0)]
e−atsin(ω0t)u(t) ω0(a+jω)2+ω2
0
2πf0(a+j2πf )2+(2πf0)2
ω02π Sa
(ω0t2
), rect[−ω0/2,ω0/2](ω) rect[−f0/2,f0/2](f )
rect[−τ/2,τ/2](t) τSa(
ωτ2
)τSa (πf τ)
Λ[−τ,τ ](t) τ[Sa
(ωτ2
)]2τ [Sa (πf τ)]2
e−a|t| 2aa2+ω2
2aa2+(2πf )2
e−t2/2σ2σ√
2πe−σ2ω2/2 σ√
2πe−σ2(2πf )2/2
Transformée de LaplaceTransformée de Fourier
IntroductionDéfinitionRelation entre la transformée de Fourier et la transformée de LaplacePropriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Usuelles
Transformée de Fourier de Signaux périodiquesSoit x(t) un signal périodique de période T :
x(t) =∑n∈Z
Xnej 2πntT
La transformée de Fourier de x(t) est :
X (f ) =∑n∈Z
XnF{
ej 2πntT
}=
∑n∈Z
Xnδ(f − n/T )
Dans le domaine des fréquences angulaires :
X (ω) =∑n∈Z
XnF{
ej 2πntT
}= 2π
∑n∈Z
Xnδ(ω − 2πn/T )