INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR San Pedro Coahuila
Asignatura: Métodos Numéricos
Clave de la asignatura: SCM - 0422
Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales
A N T O L O G I A
Presenta:
ING. ALEJAND RO H ERNAND EZ LOP EZ
SAN PED RO, COAH UILA. SEMESTRE: AGOSTO - D ICIEMBRE 201 1
Calz. del Tecnológico # 53, Col. Tecnológico, C.P. 27800, San Pedro, Coah. Tels: (872) 772 8807, 772 8808, email: [email protected]
www.tecsanpedro.edu.mx
IInnsstt ii ttuuttoo TTeeccnnoollóóggiiccoo SSuuppeerr iioorr dd ee SS aa nn PP ee dd rr oo CC oo aa hh uu ii ll aa
“2012, Año de la Nutrición y de la Activación Física”
INDICE OBJETIVO GENERAL…………………..…………………….……………… 5
JUSTIFICACION …………………………………………………………….. 6
UNIDAD I Teoría de errores……………………………………………………………… 7
1.1 I mportancia de los métodos numéricos…………………………………. 8
1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo………………………………………………...............
15
1.3 Tipos de errores…………………..………………………………………. 1.3.1 Definición de error: error absoluto y relativo…………… 1.3.2 Error por redondeo………………………………………… 1.3.3 Error por truncamiento…………………………………….. 1.3.4 Error numérico total…………………………………………
17 17 18 20 22
1.4 Software de computo numérico…………………………….……………. 23
1.5. Métodos iterativos ……………………………………………………….. 26
UNIDAD II Métodos de solución de ecuaciones………….…………………………….. 37
2.1. Método de Intervalo………………………………………………….. 38
2.2. Método de bisección………………………………………………… 41
2.3. Método de interpolación…………………………………………….. 2.3.1. Método de Newton – Raphson…………………………… 2.3.2. Método de la secante………………………………………
48 48 51
2.4. Aplicaciones………………………………………………………… 54
UNIDAD III Métodos de solución de sistemas de ecuaciones……………………… 61
3.1 Métodos Iterativos………………………………………………………… 3.1.1. Jacobi....……………………………………………………..3.1.2. Gauss – Seidel………………………………………………
62 62 64
3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales……………………………………. 3.2.1. Método iterativo secuencial……………………………………….
66 66
III
3.3 Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones……………….. 3.3.1 Sistemas de ecuaciones de Newton……………………..
71 71
3.4 Aplicaciones……………………………………………………………….. 76
UNIDAD IV Diferenciación e integración numérica …………………………………... 86
4.1. Diferenciación numérica………………………………………………….. 87
4.2. Integración numérica…………………………………………..……….. 4.2.1. Método del trapecio……………………………….……….. 4.2.2. Método de Simpson……………………………….………
95 98 106
4.3. Integración Múltiple……………………………………………………….. 114
4.4. Aplicaciones……………………………………………………….………. 116
UNIDAD V Soluciones de ecuaciones diferenciales ………………………………… 118
5.1 Método de un paso……………………………………………………….. 5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado……………………….. 5.1.2 Método de Runge – Kutta…………………………………..
119120129
5.2. Método de pasos Múltiples……………………………………………… 134
5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 135
5.4. Aplicaciones 136
Bibliografía 141
IV
OBJETIVO GENERAL
El estudiante conocerá, comprenderá y aplicará métodos numéricos para resolver problemas
de la ingeniería y científicos mediante el uso de computadora.
V
VI
JUSTIFICACION
Uno de los objetivos del Instituto Tecnológico Superior de San P edro es el de promover,
apoyar e impulsar el trabajo creativo del docente, principalmente en la elaboración de
antologías que apoyan al proceso enseñanza – aprendizaje, el cual debe ser estimulado con
los comentarios y sugerencias del profesorado y conviene que sea imitado por otros
maestros, quienes con capacidad de trabajo y tiempo disponible, pueden y deben gestar
literatura de este género, dando los pasos adecuados para pulirla y poder formar así textos
que faciliten la enseñanza y el aprendizaje del curso.
El presente material de consulta y apoyo didáctico se pone en manos de nuestros maestros
y, particularmente, de los alumnos que se forman en nuestro instituto. Considero los
contenidos de esta antología como el propósito más firme de mi convencimiento para facilitar
el estudio de los Métodos Numéricos en las nuevas generaciones que me honran al
confiarme su preparación y garantizar modestamente el fijarles una enseñanza para toda la
vida.
UNIDAD 1
TEORÍA DE ERRORES.
Objetivo: El estudiante comprenderá la importancia de los métodos numéricos y conocerá las características operativas del software de cómputo numérico comercial.
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
1.1. Importancia de los métodos numéricos.
El objeto de estudio del análisis numérico es la construcción y valoración de los métodos
numéricos que tienen como resultados un valor numérico.
Relación entre análisis numérico y métodos numéricos:
Algunas de las razones por las cuales se debe estudiar los métodos numéricos son los
siguientes:
• Son algoritmos que establecen la secuencia de solución de sistemas de ecuaciones
de gran tamaño, con características de ser no lineales y geométricas complicadas,
porque la mayor parte de los problemas reales tienen este comportamiento, y que
por lo general su solución es muy complicada a través de métodos analíticos.
• Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos básicos de los
métodos más comunes, ya que en el transcurso de su carrera, tendrá la necesidad
de usar software comercial o implementar su propio software, que resuelvan los
algoritmos de problemas reales y que estén basados sobre algún método numérico.
• Con los métodos numéricos el ingeniero usara la computadora como herramienta, el
cual es uno de los propósitos, porque el profesionista debe de olvidarse de los
cálculos, y enfocarse en el diseño y planteamiento de la solución de los problemas.
• Proporciona una mayor comprensión de las matemáticas, ya que reducen las
matemáticas superiores a operaciones básicas simples.
8
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de
tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos
de métodos numéricos, todos comparten una característica común: invariablemente los
métodos numéricos lleva a cabo un buen numero de tediosos cálculos aritméticos. Con el
desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos
en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado considerablemente en los últimos
años.
Métodos anteriores a la aparición de la computadora.
Más allá de solo proporcionar un aumento en la potencia de cálculo la disponibilidad general
de las computadoras (especialmente de las computadoras personales) y su asociación con
los métodos numéricos, ha tenido una influencia muy significativa en el proceso de solución
de problemas de ingeniería. Antes del uso de la computadora había tres métodos diferentes
que los ingenieros aplicaban a la solución de problemas:
1. Primero, se encontraban las soluciones de algunos problemas usando método
exacto o analítico. Con frecuencia estas soluciones resultaban útiles y
proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos
sistemas. Sin embargo, las soluciones analíticas pueden encontrarse solo para una
clase limitada de problemas. Estos problemas incluyen aquellos que pueden
aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tienen valor práctico
limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican
formas y procesos complejos.
2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas.
Éstas tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a
menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no
son muy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una
computadora) son tediosas en extremo y difíciles de implementar. Finalmente, las
técnicas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedan describirse
usando tres dimensiones o menos.
3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras manuales y
reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aproximaciones deberían ser
perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se
9
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
presentan algunas dificultades. Los cálculos manuales son lentos y tediosos.
Además no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocaciones
cuando se efectúan las tareas manualmente.
Antes del uso de la computadora, se gastaba mucha energía en la técnica misma de
solución, en vez de aplicarla sobre la definición del problema su interpretación (Fig. 1.1 a).
Esta situación desafortunada existía debido al tiempo y trabajo monótono que se requerían
para obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban a la computadora.
Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para
cálculos tan complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se
pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o
técnicas deficientes.
Aunque dichas suposiciones son aún extremadamente valiosas tanto para resolver
problemas como para proporcionar una mayor comprensión, los métodos numéricos
representan alternativas que amplían considerablemente la capacidad para confrontar y
resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo para aprovechar las
habilidades creativos personales. Por consiguiente, es posible dar más importancia a la
formulación de un problema, a la interpretación de la solución y a su incorporación al sistema
total, o conciencia "holística" (Fig. 1.1 b).
Figura: Las tres fases en la solución de problemas de ingeniería en a) la era anterior a las
computadoras y b) la era de las computadoras. Los tamaños de los recuadros indican con el
10
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
nivel de importancia que se dirige a cada fase en el salón de clases. Las computadoras
facilitan la implementación de técnicas de solución así permiten un mayor cuidado sobre los
aspectos creativos de la formulación de problemas y la interpretación de resultados.
Los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería Desde finales de la década de 1940, la multiplicación y disponibilidad de las computadoras
digitales ha llevado a una verdadera explosión en cuanto al uso y desarrollo de los métodos
numéricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a
computadoras grandes (mainframes), por lo que muchos ingenieros continuaban usando
simples planteamientos analíticos en una buena parte de su trabajo. No es necesario
mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de bajo costo, ha dado a
mucha gente un fácil acceso a poderosas capacidades de cómputo.
Además existen un buen número de razones por las cuales se deben estudiar los métodos
numéricos:
1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente poderosas para la
solución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes,
no linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la practica de la
ingeniería y que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto,
amplían la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.
2. En el transcurso de la carrera, es posible que el estudiante tenga la ocasión de usar
software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso
inteligente de programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se
basan estos métodos.
3. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las
computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender
programar las computadoras es escribir los programas. Como los métodos
numéricos, en su mayor parte están elaborados para implementarse en
computadoras, resultan ideales para este propósito. Aun mas, están especialmente
adaptadas para ilustrar la potencia así como las limitaciones de las computadoras.
11
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
4. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las
matemáticas. Porque una función de los métodos numéricos es la de reducir las
matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas ya que se profundizan en
los temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su
capacidad de comprensión en la materia.
Problemas matemáticos y sus soluciones. En el campo profesional de la ingeniería se requiere utilizar modelos matemáticos para la
predicción y explicación de ciertos fenómenos, un modelo matemático imprescindible para el
ingeniero son los métodos numéricos, ya que son técnicas mediante las cuales es posible
plantear soluciones a los problemas.
1. Raíces de ecuaciones.
Estos problemas están relacionados con el valor de una variable o de un parámetro que
satisface una ecuación. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería donde
con frecuencia resulta imposible despejar analíticamente parámetros de ecuación de
diseño.
Encontrar x tal que f(x) = 0
2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Estos problemas son similares a los de raíces de ecuaciones en sentido de que están
relacionados con valores que satisfacen las ecuaciones. Sin embargo, en lugar de
satisfacer una sola ecuación se busca un conjunto de valores que satisfaga
simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales las cuales surgen en el
contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de ingeniería. Se
originan a partir de modelos matemáticos de grandes sistemas de elementos
interrelacionados, tal como estructuras, circuitos eléctricos y redes de flujo. Las
ecuaciones lineales simultáneas surgen en el contexto de una variedad de problemas y
en todas las disciplinas de la ingeniería.
12
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Dadas las a y las c
Encontrar:
2222121
1212111
cxaxacxaxa
=+=+
x tal que
3. Integración.
Tal como se representa, una interpretación física de la integración numérica es la
determinación del área bajo la curva. La integración tiene diversas aplicaciones en la
práctica de la ingeniería, que van desde la determinación de los centroides de objetos de
forma extraña hasta el cálculo de cantidades totales basadas en conjunto de medidas
discretas.
Encontrar el área bajo la curva. ∫=b
a
dxxfI )(
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen un enorme significado en la practica de la
ingeniería. Esto se debe a que muchas leyes físicas están expresadas en términos de la
razón de cambio de una cantidad mas que en términos de magnitud. Entre otros
13
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
14
ejemplos tenemos los modelos de la predicción demográfica (razón de cambio de una
población) hasta la aceleración de un cuerpo que cae ( razón de cambio de la velocidad)
),( ytfty
dtdy
=ΔΔ
≅ Encontrar y como función
de t.
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
1.2. Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo.
El análisis numérico proporciona métodos computacionales para el estudio y solución de
problemas matemáticos. Al derivar los métodos numéricos para la solución de dichos
problemas, analizaremos los errores presentes en esos métodos. Debido a que muchos
cálculos son realizados en computadores digitales, es conveniente la discusión para la
implementación de los métodos numéricos como programas de computador.
Una característica de estos métodos es que proporcionan sólo resultados aproximados, por lo
tanto el estudio del error es de interés central para el análisis numérico. En la practica
profesional, los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastróficos. Se
puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llega a fallar.
El concepto de cifras o dígitos significativos se han desarrollado para designar
ormalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un numero son
aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del numero de dígitos que se
ofrecen con certeza, mas uno estimado. Estas cifras proporcionan información real relativa a
la magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de
cifras significativas incrementa la precisión de una medición. Los ceros no siempre son
cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números
0.000 018 45
0.000 184 5
0.001 845
tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la
notación científica en donde :
4.53 x 104
4.530 x 104
4.5300 x 104
muestran que el numero tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.
El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los
métodos numéricos:
15
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
1. Los métodos numéricos dan resultados aproximados, por lo tanto, se deben de
desarrollar criterios para especificar que tan confiables son dichos resultados. Una
manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible
afirmar que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro
cifras significativas.
2. Aunque ciertas cantidades tales como 7,,eπ representan cantidades especificas,
no se pueden expresar exactamente con un numero finitos de dígitos. Por ejemplo,
π 3.14159265358979= ..
hasta el infinito. Como las computadoras tienen solo un numero finito de cifras
significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la
omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
precisión y exactitud.
La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos.
Ya que el numero de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las
lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se
compone de dos características: conformidad y el numero de cifras significativas con las
cuales se puede realizar la medición.
La exactitud se refiere al grado de aproximación o conformidad al valor real de la cantidad
medida. .
Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador al
blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se
pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del
blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida también como
sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque las
balas en la figura c están más juntas que las de la figura a, los dos casos son igualmente
inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión,
por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque
las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco),
la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.
16
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión. a)
Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.
1.3. Tipos de errores.
1.3.1. Definición de error: error absoluto y relativo.
Definición de Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud
obtenida.
Si es una aproximación a , el error se define como *p p
*ppE −=
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como
*ppEA −=
y el error relativo como
,*
ppp
ER−
= si 0≠p
y como por ciento de error a
100)(ERERP =
17
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
18
Error aproximado
100xonaproximaci actual
a =∈onaproximacionaproximaci anterioractual −
Ejemplo: Suponga que el valor para un calculo debería ser
21010.0 xp = pero se obtuvo el resultado , entonces 2* 1008.0 xp =
%20100
2.01010.0
1008.01010.0
21008.01010.0
2
22
22
==
=−
=
=−=
ERxERPx
xxER
xxEA
1.3.2. Error por redondeo
Este error es el resultado de representar aproximadamente números exactos. Es decir, se
debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Un
ejemplo de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un
número finito de cifras significativas, cuyo máximo de dígitos o de cifras significativas son de
8 a 14 lo cual obliga a redondear el valor real.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de
cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta función de maneras
diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede
almacenar y usar Π como Π = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un
error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los
errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del
porque pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
1. ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una
respuesta. Además, estos cálculos a menudo depende entre si. Estos es, los
cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación
en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativos.
2. el efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones
algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo.
Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo
puede resultar de mucha importancia.
En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.
El último dígito retenido se aumenta en uno si el primer dígito descartado es 5 , si no
fuera así, el dígito conserva su valor.
≥
Ejemplo: la importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos.
Determínese la diferencia de dos números grandes: 32981108.1234 y 32981107.9989.
Enseguida, repítase los cálculos pero incrementándose el minuendo en in 0.001%.
Solución:
La diferencia de los números es:
32981108.123432981107.9989
0.1245−
19
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el numero 32 981 437.934 5 y
la diferencia es:
32981437.934532981107.9989
329.3356−
Que es considerable diferente de la primera. De aquí que una modificación en el minuendo,
aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.
Ejemplo: Ilustraciones de las reglas de redondeo
Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados.
1. Errores de redondeo
5.6723 5.67 3 cifras significativas
10.406 10.41 4 cifras significativas
7.3500 7.4 2 cifras significativas
88.21650 88.217 5 cifras significativas
1.25001 1.3 2 cifras significativas
2. suma y resta
a) 2.2 – 1.768 = 0.432 = 0.4
b) 0.00468 x 10 -7 + 8.3 x 10 -4 –228 x 10-6 =6.02468 x 10 –4 = 6.0 x 10 -4 se
redondea hasta el 3 porque nos indica que es el valor para redondeo
3. multiplicación y división
a) Evalúese 0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31
b) 945/0.3185 = 2967.032967= 2970
1.3.3. Error por truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita
de pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca
prematuramente después de un cierto número de pasos.
20
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas :
645751311 . 2 7 =
2.64 7 ≈
Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de
una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el
número, por lo que también cae en un error.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de
un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación matemática
usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial.
La serie de Taylor.
La serie de Taylor
La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en en términos
de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto
1+ix
.ix
Por ejemplo: el primer término de la serie es conocida como aproximación de orden cero.
)()( 1 ii xfxf ≅+
aproximación de primer orden .
hxfxfxf iii )()()( 1 ′+≅+ donde )( 1 ii xxh −= +
aproximación de segundo orden .
21 !2
)()()()( h
xfhxfxfxf i
iii
′′+′+≅+ donde )( 1 ii xxh −= +
De esta manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión
completa de la serie de Taylor.
21
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
nni
ni
iii Rhn
xfh
xfhxfxfxf ++
′′+′+≅+ !
)(!2
)()()()(
)(2
1
Se incluye un termino residual para considerar todas los términos desde n + 1 hasta el
infinito:
1)1(
)!1()( +
+
+= n
n
n hn
fR ξ
donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n- ésimo orden y ξ es un
valor cualquiera de x que se encuentra en y ix 1+ix
1.3.4. Error numérico total.
El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. Éste es el
medio para poder lograra minimizar los errores debido a redondeo, y esto se logra
incrementando el número de cifras significativas.
Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se
incrementan. Para poder disminuir un componente del error numérico total, se debe
incrementar otro valor.
Errores humanos 1. Errores por equivocación. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de
modelación matemática y puede contribuir con todas las otras componentes del error.
22
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Se puede evitar únicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con
el cuidado sobre la aproximación y diseño de la solución a un problema.
2. Errores de formulación. Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo
que se podrían considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un
error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no
explica los efectos relativistas.
3. Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un análisis debido
a la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.
1.4. Software de cómputo numérico
En la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado están aquellos que
toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentran en el
modo estándar de operación del software existente. Por ejemplo, resultan muy sencillo
resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar graficas con valores x - y con EXCEL,
Matlab o Mathcad . como este modo de operación por lo común requiere un mínimo
esfuerzo, muchos de los usuarios adoptan este modo de operación. Además, como los
diseñadores de estos paquetes se anticipan a la mayoría de las necesidades típicas de los
usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de esta manera.
Pero , ¿ Que pasa cuando se presentan problemas que están mas allá de las capacidades
estándar de dichas herramientas ? . en tal caso usted tiene dos alternativas.
La primera seria buscar otro paquete y ver si sirve para resolver el problema. Esta es una de
las razones por las que quisimos usar EXCEL como mathcad o Matlab. Como veremos ,
ninguno de ellos abarca todo y cada uno tiene sus ventajas.
El segundo seria que es posible volverse un “ potente usuario ” si se aprende a escribir
macros en EXCEL VBA ( visual basic for applications ).
Programas computacionales
Los programas computacionales son únicamente conjuntos de instrucciones que dirigen a la
computadora para realizar cierta tarea.
23
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Visto desde esta perspectiva , reducimos toda complejidad a unos cuantos tópicos de
programación, que son:
Representación de información sencilla ( declaración de constantes, variables y
tipos)
Representación de información más compleja ( estructura de datos, arreglos y
registros)
Formulas matemáticas (asignación, reglas de prioridad y funciones intrínsecas)
Entrada / salida
Representación lógica ( secuencia, selección y repetición)
Programación modular ( funciones y subrutinas)
Programación estructurada
En esencia la programación estructurada es un conjunto de reglas que desarrollan en el
programa los hábitos para lograr un buen estilo. Aunque la programación estructurada es
bastante flexible para permitir considerable creatividad y expresión personal, sus reglas
imponen suficientes restricciones para hacer que los programas resultantes sean muy
superiores a sus versiones no estructuradas.
Un diagrama de flujo es una representación visual o grafica de un algoritmo. Emplea una
serie de cajas o bloques y flechas, cada una de las cuales representa un determinado paso u
operación del algoritmo. Otra manera de expresar los algoritmos y que constituyen un puente
de unión entre los diagramas de flujo y el código de la computadora, es el pseudocodigo.
Programación modular
Dividir una tarea o una materia complicada en partes mas accesibles es una manera de
hacerla mas fácil. Siguiendo una misma idea, los programas de computación se dividen en
subprogramas mas pequeños, o módulos que pueden desarrollar y probarse por separado. A
esta forma de trabajar se le llama programación modular.
Excel.
Excel es una hoja de calculo producida por Microsoft Inc. Las hojas de cálculos son un tipo
especial de software para matemáticas que permite al usuarios ingresar y realizar cálculos
en renglones y columnas de datos. Como tales, son una versión computarizada de una gran
hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran cantidad de cálculos
interrelacionados. Puesto que cuando se modifica un valor de la hoja , hay que actualizar
todos los cálculos , las hojas son ideales para hacer análisis del tipo “ ¿ y que pasa si ... ?”
24
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Excel cuenta con varios recursos numéricos interconstruidos como resolución de
ecuaciones, ajuste de curvas y optimización. Incluye también VBA como un lenguaje de
macro que sirve para hacer cálculos numéricos. Por ultimó, tiene varias herramientas para la
visualización como diagramas y graficas tridimensionales, que son un valiosos complemento
para el análisis numérico.
Matlab
Matlab es el principal producto de software de Mathworks, Inc. , fundada por los analistas
numericos Cleve Moler y John N. Little. Como su nombre lo indica, Matlab se desarrollo
originalmente como un laboratorio para matrices. Hoy , el elemento principal de Matlab sigue
siento la matriz. La manipulación matemática de matrices se ha realizado muy
adecuadamente en un ambiente interactivo fácil de utilizar. A esta manipulación matricial,
Matlab agrega varias funciones numéricas, cálculos simbólicos y herramientas para
visualización.
Matlab tiene diferentes funciones y operadores que permiten la adecuada realización de los
métodos numericos que aquí desarrollamos.
Mathcad
El uso del software Mathcad 2001 Professional supone un paso adelante para clarificar y
potenciar el aprendizaje de conceptos, técnicas e ideas matemáticas de forma que sean de
clara utilidad práctica, tanto de cara al desarrollo del currículo académico como de cualquier
actividad profesional. En este sentido, el uso adecuado de este programa no sólo facilita la
adquisición de conceptos clave sino que también fomenta la creatividad dentro del ámbito
matemático, facilitando la contextualización de las asignaturas cuantitativas y ofreciendo
cientos de operadores y funciones incorporadas para resolver problemas técnicos, desde los
más simples hasta los más complicados.
Mathcad 2001 Professional es un software de cálculo, extremadamente versátil y potente
como lenguaje de programación. Contiene una exhaustiva biblioteca de funciones
estadísticas y de análisis, una colección de potentes algoritmos para resolución problemas
así como herramientas de manipulación de matrices. La principal característica de Mathcad es que resulta tan fácil de usar como las conocidas hojas de cálculo que pueden encontrarse
en el mercado. Y, sin embargo, no es necesario aprender ninguna sintaxis complicada en
Mathcad una ecuación aparece tal y como se podría ver en una pizarra o en un libro.
25
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
Algoritmos y estabilidad.
El tema fundamental de esta asignatura es el estudio, selección y aplicación de algoritmos,
que se definen como secuencias de operaciones algebraicas y lógicas para obtener la
solución de un problema. Por lo general, se dispone de varios algoritmos para resolver un
problema particular; unos de los criterios de selección es la estabilidad del algoritmo; esto es,
que a pequeños errores de los valores manejados se obtengan pequeños errores en los
resultados finales
.
1.5. Métodos iterativos.
Ejemplo: Estimación del error para métodos iterativos Enunciado del problema : en matemáticas, a menudo se puede representa las funciones
mediante una serie infinita. Por ejemplo la función exponencial se puede calcular usando:
...!4!3!2
1432
+++++=xxxxe x
Mientras mas términos se le agreguen a la serie , la aproximación se acercara mas y mas al
valor de ∈x . la ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin.
Empezando con el primer termino , e x = 1, y agregando un termino a la vez, estímese el
valor de e 0.5 . después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y a∈ . Nótese
que el valor real de agréguense términos hasta que 648721271.15.0 =e
sa <∈∈contempla tres cifras significativas.
Solución
∈ s = (0.5 x 10 2 – 3 ) % = 0.05 %
por lo tanto , se agregaran términos a la serie hasta que ∈ a se menos que este nivel.
,*
ppp
ER−
= si 0≠p 100)(ERERP =
26
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
100xonaproximaci
onaproximacionaproximaci
actual
anterioractuala
−=∈
Ejercicio: La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:
L−+−+−=!8!6!4!2
8642 xxxxCosx
Iniciando con el primer termino cos x = 1 , agréguense los términos uno a uno para estimar
3cosπ
. Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense los errores
porcentuales relativos, exactos y aproximados .Úsense una calculadora para determinar el
valor exacto. Agréguense términos hasta el valor absoluto del error aproximado falle bajo
cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.
Solución:
∈ s = (0.5 x 10 2 – 2 ) % = 0.5 %
cosπ
3⎛⎜⎝
⎞⎟⎠0.5=
27
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
28
Ejercicio: Repítase los cálculos del problema anterior pero ahora usando la serie de
Maclaurin para sen x = 0
L+−+−=!7!5!3
753 xxxxSenx
estímese el 2πSen
∈ s = (0.5 x 10 2 – 2 ) % = 0.5 %
12=
πSen empezando sen x = 0
Ejemplo: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.
Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para
aproximar la función :
2.125.05.015.01.0)( 234 +−−−−= xxxxxf desde el punto 0=ix y con h = 1. Esto es,
predecir el valor de la función en .11 =+ix
Solución:
Ya que se trata de una función conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
f x( ) 0.1− x4 0.15x3− 0.5x2
− 0.25x− 1.2+:= x 0:=f x( ) 1.2=
f x( ) 0.1− x4 0.15x3− 0.5x2− 0.25x− 1.2+:= x 1:=f x( ) 0.2=
Los resultados indican que la función empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta
f(1)=0.2. por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.
La aproximación en serie de Taylor de orden cero es:
)()( 1 ii xfxf ≅+ =1.2
Como se puede ver en la figura la aproximación de orden cero es una constante . el error de
truncamiento en este caso es
*ppE −=
E = 0.2 – 1.2 = - 1.2
En x = 1. Para n = 1, la primera derivada se debe determinar y evaluar en x = 0
f x( ) 0.1− x4 0.15x3− 0.5x2
− 0.25x− 1.2+:= x 0:=
xf x( )d
d0.25−=
La aproximación a primer orden es:
)( 1 ii xxh −= +
))((')()( 11 iiiii xxxfxfxf −+≅ ++
hxf i 25.02.1)( 1 −≅+
29
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
f h( ) 1.2 0.25− h⋅( )+:= h 1:=
f h( ) 0.95=
que se puede usar para h = 1 , calcular f(1) = 0.95 . Por consiguiente , la aproximación
empieza a coincidir con la trayectoria de la función como la pendiente de una línea recta. De
esta manera el error de truncamiento se reduce a :
E = valor verdadero – valor aproximado = 0.2 – 0.95 = - 0.75
en x = 1 para n = 2, se evalúa la segunda derivada en x = 0:
f x( ) 0.1− x4 0.15x3− 0.5x2
− 0.25x− 1.2+:= x 0:=
2xf x( )d
d
21−=
2111 )(
!2)(''))((')()( ii
iiiiii xxxfxxxfxfxf −+−+≅ +++
21 )
!21(25.02.1)( hhxf i
−+−≅+
f h( ) 1.2 0.25− h⋅( )+1−
2!h 2⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
+:= h 1:=
f h( ) 0.45=
E = valor verdadero – valor aproximado = 0.2 – 0.45 = - 0.25
Los términos adicionales mejoran aun mas la aproximación.
en x = 1 para n = 3, se evalúa la tercera derivada en x = 0:
30
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
f x( ) 0.1− x4 0.15 x3− 0.5 x2
− 0.25 x− 1.2+:= x 0:=
3xf x( )d
d
30.9−=
31
2111 )(
!3)(''')(
!2)(''))((')()( ii
iii
iiiiii xxxfxxxfxxxfxfxf −+−+−+≅ ++++
321 )
!39.0()
!21(25.02.1)( hhhxf i
−+
−+−≅+
f h( ) 1.2 0.25− h⋅( )+1−
2!h 2⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
+0.9−
3!h 3⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
+:= h 1:=
f h( ) 0.3= E = valor verdadero – valor aproximado = 0.2 – 0.3 = - 0.1
En x = 1 para n = 4, se evalúa la cuarta derivada en x = 0:
f x( ) 0.1− x4 0.15 x3− 0.5 x2
− 0.25 x− 1.2+:= x 0:=
4xf x( )d
d
42.4−=
41
43
12
111 )(!4
)()(!3
)(''')(!2
)(''))((')()( iii
iii
iii
iiiii xxxfxxxfxxxfxxxfxfxf −+−+−+−+≅ +++++
4321 )
!44.2()
!39.0()
!21(25.02.1)( hhhhxf i
−+
−+
−+−≅+
Donde el termino residual es:
1)1(
)!1()( +
+
+= n
n
n hn
fR ξ
5
)5(
4 !5)( hfR ξ
=
31
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
f x( ) 0.1− x4 0.15x3− 0.5x2
− 0.25x− 1.2+:= x 0:=
5xf x( )d
d
50=
ya que la quinta derivada de un polinomio de cuarto orden es nula, R4 =0. Por consiguiente,
la expansión en serie de Taylor hasta la cuarta derivada produce una aproximación exacta
en x = 1
f h( ) 1.2 0.25− h⋅( )+1−
2!h 2⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
+0.9−
3!h 3⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
+2.4−
4!h 4⋅⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
+:= h 1:=
f h( ) 0.2=
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta para un polinomio
de n-ésimo. Para otras funciones continuas diferenciales, como las exponenciales o
senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un numero finito de términos.
Cada uno de los término adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación , aunque
sea con poco. La decisión sobre cuantos términos se requieren para obtener una “
aproximación razonable” se basa en el termino residual de la expansión .
1)1(
)!1()( +
+
+= n
n
n hn
fR ξ
Esta ecuación residual es de la forma general, tiene dos grandes desventajas . Primero ξ
no se conoce exactamente sino que solo se sabe que esta entre xi y xi+1 . Segundo , para la
evaluación de la ecuación anterior se requiere para evaluar la (n + 1 ) – ésima derivada de
f(x).
Ejemplo: Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un numero infinito
de derivadas.
Enunciado del problema : úsense los términos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para
aproximar :
32
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
xxf cos)( =
en 3/π=x
4/
con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto )60( °
π= 45(x )° .Nótese que esto significa que 1243πππ
=−=h
Solución: Nota: el resultado de la sustitución y de ellos quien tengan el valor pequeño ese será el valor exacto
F(x)= 0.5 f(x)= 0.707106781
El valor exacto
f x( ) cos x( ):= xπ
3:=
f x( ) 0.5=
La aproximación de orden cero es
f x( ) cos x( ):= xπ
4:=
f x( ) 0.707106781=
%4.41%1005.0
707106781.05.0−=
−=ERP
La aproximación de primer orden es
)()(' xsenxf −=
( ) hxsenxf ))((cos3
−≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛π
f h( ) cos x( ) sin x( )−( )h+:= xπ
4:= h
π
12:=
f h( ) 0.521986659=
%40.4%1005.0
521986659.05.0−=
−=ERP
La aproximación de segundo orden es
)cos()('' xxf −=
33
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
( ) 2
!2)cos())((cos
3hxhxsenxf −−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
f h( ) cos x( ) sin x( )−( ) h+cos x( )−
2 !⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
h 2+:= x
π
4:= h
π
12:=
f h( ) 0.497754491=
%449.0%1005.0
497754491.05.0=
−=ERP
La aproximación de tercer orden es
)()(''' xsenxf =
( ) 32
!3)(
!2)cos())((cos
3hxsenhxhxsenxf +−−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
f h( ) cos x( ) sin x( )−( )h+cos x( )−
2!⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
h 2+
sin x( )3!
h 3⋅+:= x
π
4:= h
π
12:=
f h( ) 0.499869147=
%0262.0%1005.0
499869147.05.0=
−=ERP
La aproximación de cuarto orden es
)cos()(4 xxf =
( ) 432
!4)cos(
!3)(
!2)cos())((cos
3hxhxsenhxhxsenxf ++−−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
f h( ) cos x( ) sin x( )−( )h+cos x( )−
2!⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
h2+
sin x( )3!
h3⋅+
cos x( )4!
h4⋅+:= x
π
4:= h
π
12:=
f h( ) 0.500007551=
21051.1%1005.0
500007551.05.0 −−=−
= xERP
34
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
35
La aproximación de quinto orden es
)()(5 xsenxf −=
( ) 5432
!5)(
!4)cos(
!3)(
!2)cos())((cos
3hxsenhxhxsenhxhxsenxf −++−−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
f h( ) cos x( ) sin x( )−( )h+cos x( )−
2!⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
h2+
sin x( )3!
h3⋅+
cos x( )4!
h4⋅+
sin x( )−
5!h5⋅+:= x
π
4:= h
π
12:=
f h( ) 0.500000304=
51008.6%1005.0
500000304.05.0 −−=−
= xERP
La aproximación de sexto orden es
)cos()(6 xxf −=
( ) 65432
!6)cos(
!5)(
!4)cos(
!3)(
!2)cos())((cos
3hxhxsenhxhxsenhxhxsenxf −−++−−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
f h( ) cos x( ) sin x( )−( )h+cos x( )−
2!⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
h2+
sin x( )3!
h3⋅+
cos x( )4!
h4⋅+
sin x( )−
5!h5⋅+
cos x( )6!
h6⋅−:= x
π
4:= h
π
12:=
f h( ) 0.499999988=
61040.2%1005.0
499999988.05.0 −=−
= xERP
Nótese que las derivadas nunca se acercan a cero, como es el caso del polinomio. Sin
embargo, cada término que se le agrega a la serie produce una mejor aproximación. Nótese
también que la mayor aproximación se consigue con los primeros términos.
UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES
36
f x( ) cos x( ):= x 4− 3.9−, 10..:=
5 0 5 10
1
1
f x( )
x
Orden n )(xf n ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
3πf
ERP
6543210
499999988.0500000304.0500007551.0499869147.0497754491.0521986659.0707106781.0
6
5
2
1040.21008.61051.1
0262.0449.0
4.44.41
−
−
−
−
−
−
)cos()sin(
)cos()sin(
)cos()sin(
)cos(
xx
xx
xx
x
−−
−−
−
xx
x
UNIDAD 2
METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES
Objetivo: Implementara métodos de solución de ecuaciones algebraicas o trascendentales, con apoyo de un lenguaje de programación.
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
2.1 Método de Intervalo A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos
valores iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o
estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto
emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así
converger a la respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para
determinar valores iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las
funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.
Métodos gráficos.
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste
en graficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto , que representa el valor de x para
el cual f(x) = 0 , proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo: Métodos gráficos
Enunciado del problema: Empléese graficas para obtener una raíz aproximada de la función
: xexf x −= −)(
Solución: Se calcula los siguientes valores
f x( ) e x− x−:= x 0.2− 0.1−, 1.1..:=
0.5 0 0.5 1 1.5
1
1
2
f x( )
x
Ejemplo: Métodos gráficos
Enunciado del problema: Empléese graficas para obtener una raíz aproximada de la función
38
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
39
f x( ) 0.874− x2 1.75 x+ 2.627+:= x 2.5− 2.4−, 4.5..:=
5 0 5
10
5
5
f x( )
x
Ejemplo: Métodos gráficos
Enunciado del problema: Empléese graficas para obtener una raíz aproximada de la función
f x( ) 2 x 2 3 x+ 5−:= x 5− 5..:=
5 0 5
50
50
100
f x( )
x
f x( ) sin 10x( ) cos 3x( )+:= x 5− 4.9−, 5..:=
5 0 5
2
2
f x( )
x
Ejemplo: Para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de
masa m = 68.1 kg. Tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s.
Nota la aceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2 . Determine su grafica.
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− t
mc
ec
gmtv 1
S
E
1
f
E
E
S
Solución:
Este problema
10, g = 9.8, v
( )c
gmcf⎜⎜
⎝
⎛= 1
0
20
20
4034.115
3.977−
f c( )
4
Ejemplo : Gra
f x( ) x 10 −:=
5
5
10
15
f x( )
Ejemplo: realic
Solución:
a se resuelve
= 40 y m = 68
et
mc
−⎟⎟
⎠
⎞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
1
0 5
ficar
1−
0 0.5
x
ce la grafica d
UNIDAD I
e determinand
8.1
v
10 15
c
x 0 0.001, ..:=
1 1.5
x
de la ecuación
I / METODO
do la raíz de
(f
20
17
1.3
n
O DE SOLUC
la ecuación
.68(8.9)( =c
c
CION DE EC
usando los p
1)1 1.68
⎜⎜
⎝
⎛−
⎜⎝⎛−
c
e
CUACIONES
40
parámetros t =
4010
1 −⎟⎟
⎠
⎞⎟⎠⎞
S
0
=
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
Ejemplo: Escriba el programa que utiliza en Matlab para poder grafica r la siguiente función
X = 1:0.1:5
Y = x.^3 + 3*x^2 + 5*x +3
Figure
Plot(x,y)
Disp( ‘grafica de función’ )
2.2 Método de bisección Los métodos de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar
un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de
signo, se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de
subintervalos.
El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos
intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se
evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina
41
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
42
situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El
proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Si el intervalo original es de tamaño y el criterio de convergencia aplicado al valor
absoluto de la diferencia de dos consecutivas es
a
rx ε , entonces se requerirán n iteraciones
, donde n se calcula con la igualdad de la expresión
ε≤n
a2
de donde :
( ) ( )( )2ln
lnln ε−=
an
Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren.
O bien se puede utilizar el siguiente criterio de convergencia ε<aE
anterioractuala aproxaproxE −=
Algoritmo Sencillo :
Paso 1: Elija los valores iniciales inferior y de forma tal que la función cambie de
signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que
1x ux
( ) ( ) 01 <uxfxf
Entonces hay al menos una raíz entre y . 1x ux
Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:
21 u
rxx
x+
=
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo cae la raíz
)a ( ) ( ) 01 <rxfxf ; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o
izquierdo . Por lo tanto, tome ru xx = y continué en el paso 2.
)b ( ) ( ) 01 >rxfxf ; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o
derecho. Por lo tanto, tome rxx =1 y continué en el paso 2.
)c ( ) ( ) 01 =rxfxf ; la raíz es igual a ; termina el calculo. rx
Paso 4: Fin
Problema: Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:
n 10=nln 1 0−( ) ln 0.001( )−
ln 2( ):=
si tiene raízf x1( ) f xu( )⋅ 0.632120559−=
xu 1:=x1 0:=f x( ) e x− x−:=
0 0.5 1
1
f x( )
x 0 0.001, 1..:=Calculo :
n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2)n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raíz)f(x1) = funcion de x inferiorf(xu) = funcion de x superiorf(xr) = funcion de x media
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]f(x1)*f(xu) < 0 , existe raízxr = (x1 + xu ) / 2f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdof(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho
Datos
xu 1:=x1 0:=error 0.001:=f x( ) e x− x−:=
43
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
s x1 0←
xu 1←
xrx1 xu+
2←
c e x1− x1−( ) e xr− xr−( )⋅←
xrx1 xu+
2←
tmp xr←
xu tmp←
c 0<if
xrx1 xu+
2←
tmp xr←
x1 tmp←
c 0>if
xr c 0=if
k 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,∈for
xr
:=
s 0.567382813=
44
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
s 1.303710938=
s x1 1←
xu 2←
xrx1 xu+
2←
c cos x1( ) ln x1( )−( ) cos xr( ) ln xr( )−( )⋅←
xrx1 xu+
2←
tmp xr←
xu tmp←
c 0<if
xrx1 xu+
2←
tmp xr←
x1 tmp←
c 0>if
xr c 0=if
k 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,∈for
xr
:=
n 10=nln 2 1−( ) ln 0.001( )−
ln 2( ):=
si tiene raízf x1( ) f xu( )⋅ 0.599354115−=
xu 2:=x1 1:=f x( ) cos x( ) ln x( )−:=
1 1.5 2
2
1
1
f x( )
x
x 1 1.001, 2..:=Cal culo :
n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2)n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raíz)f(x1) = funcion de x inferiorf(xu) = funcion de x superiorf(xr) = funcion de x media
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]f(x1)*f(xu) < 0 , existe raízxr = (x1 + xu ) / 2f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdof(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho
Datos
xu 2:=x1 1:=error 0.001:=f x( ) cos x( ) ln x( )−:=
Problema 2: Utilice el metodo de biseccion para obtener la raí real de la función
45
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
Problema: La ecuación de estado de Van der Walls para un gas real es:
( ) RTbVVaP =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 2
Donde :
=P presión en atm ;
=T temperatura en K;
=R constante universal de los gases en atm – L / (gmol K) = 0.08205
=V volumen molar del gas en L / gmol;
46
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
=ba, constantes particulares para cada gas
Calcule V a 80 º C (353.2 ºK) para una presión de 10 atm
Gas a b
He 0.03412 0.02370
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando como intervalo inicial
, , vV 8.01 = vVu 2.1=
Donde . Con PRTv /= 01.0<aE
Solución:
n 7=nln vu v1−( ) ln 0.01( )−
ln 2( ):=
n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2)n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raíz)f(x1) = funcion de x inferiorf(xu) = funcion de x superiorf(xr) = funcion de x media
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]f(x1)*f(xu) < 0 , existe raízxr = (x1 + xu ) / 2f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdof(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho
Datos
si tiene raíz f v1( ) f vu( )⋅ 2178.6232848−=
f V( ) p V3⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) V2
⋅− a V⋅+ a b⋅−:=
vu 3.4776072=v1 2.3184048=
vu 1.2 v⋅:=v1 0.8 v⋅:=
b 0.02370:=a 0.03412:=v
R T⋅p
:=
T 353.2:=R 0.08205:=p 10:=
47
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
s v1 2.3184048←
vu 3.4776072←
vrv1 vu+
2←
c p v13⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) v12
⋅− a v1⋅+ a b⋅−⎡⎣ ⎤⎦ p vr3⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) vr2⋅− a vr⋅+ a b⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅←
vrv1 vu+
2←
tmp vr←
vu tmp←
c 0<if
vrv1 vu+
2←
tmp vr←
v1 tmp←
c 0>if
vr c 0if
k 1 2, 3, 4, 5, 6, 7,∈for
vr
:=
s 2.925174806=
2.3. Método de interpolación
2.3.1. Método de Newton – Raphson
Calculo de raíces por el método de newton Es una de las formulas mas ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de la
raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto
donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz.
El método de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación
geométrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente
48
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
( ) ( )1
0
+−−
=′ii
ii xx
xfxf
Que se puede ordenar para obtener
( )( )i
iii xf
xfxx′
−=+ 1
La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.
Ejemplo . Utilice el método de Newton Raphson para obtener la raíz real de la función
20102)( 23 −++= xxxxf 31 10−+ =≤− εii xx
49
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
50
Cálculos en mathcad
f x( ) x3 2x2+ 10 x+ 20−:=x
f x( )dd
3 x2⋅ 4 x⋅+ 10+→
df x( ) 3x2 4x+ 10+:=
x0 1:= i 0 5..:=
xi 1+ xi
f xi( )df xi( )−:=
xi
11.41176
1.36934
1.368811.36881
1.36881
= xi 1+ xi−
0.4120.042
5.283·10 -4
8.08·10 -8
1.776·10 -15
0
= f xi( )-7
0.918
0.011
1.704·10 -6
3.908·10 -14
0
=
Cálculos de Matlab
Ejemplo: Use el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de la ecuación
515183)(
2 +−=
xxxf , con un punto inicial de 8 , con un error de aproximación 01.0=Ea
.
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
2.3.2. Método de la secante Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación
de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomio y para muchas otras
funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.
En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como la
figura
Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de
Newton - Raphson en el sentido de que una aproximación a la raíz se calcula extrapolando
51
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
52
una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo, el metodo de la secante usa una
diefrencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.
Por lo tanto el método de la secante
( ) (( ) ( )
)1−− ii xfxf
11
−+
−−= iii
iixfxx
xx ε<−+ ii xx 1
Ejemplo . Utilice el método de la secante para obtener la raíz real de la función
20102)( 23 −++= xxxxf 31 10−+ =≤− εii xx
cálculos en Mathcad
f x( ) x3 2x2+ 10x+ 20−:=
x0 0:= x1 1:= i 0 5..:=
k 1 6..:=
xk 1+ xk
xk xk 1−−( ) f xk( )⋅
f xk( ) f xk 1−( )−( )−:=
xi
01
1.53846
1.35031
1.36792
1.36881
= xi 1+ xi−
10.538461538
0.188150612
0.017606419
0.000895543
0.000004782
= f xk( )-7
3.75967228
-0.388136149
-0.018786791
1.008579888·10 -4
-2.600780391·10 -8
=
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
cálculos en EXCEL.
2.4. Aplicaciones Problema: utilice el método de bisección: La ecuación de estado de Van der Walls para un
gas real es:
( ) RTbVVaP =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 2
donde :
=P presión en atm ;
=T temperatura en K;
=R constante universal de los gases en atm – L / (gmol K) = 0.08205
=V volumen molar del gas en L / gmol ;
constantes particulares para cada gas =ba,
Calcule V a 80 º C (353.2 ºK) para una presión de 10 atm
Gas A b
He 0.03412 0.02370
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando como intervalo inicial
, , donde vV 8.01 = vVu 2.1= PRTv /= . Con 01.0<aE
54
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
n 7=nln vu v1−( ) ln 0.01( )−
ln 2( ):=
n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2)n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raíz)f(x1) = funcion de x inferiorf(xu) = funcion de x superiorf(xr) = funcion de x media
Algoritmo
Intervalo [x1,xu]f(x1)*f(xu) < 0 , existe raízxr = (x1 + xu ) / 2f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdof(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho
Datos
si tiene raíz f v1( ) f vu( )⋅ 2178.6232848−=
f V( ) p V3⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) V2
⋅− a V⋅+ a b⋅−:=
vu 3.4776072=v1 2.3184048=
vu 1.2 v⋅:=v1 0.8 v⋅:=
b 0.02370:=a 0.03412:=v
R T⋅p
:=
T 353.2:=R 0.08205:=p 10:=
55
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
s v1 2.3184048←
vu 3.4776072←
vrv1 vu+
2←
c p v13⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) v12
⋅− a v1⋅+ a b⋅−⎡⎣ ⎤⎦ p vr3⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) vr2⋅− a vr⋅+ a b⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅←
vrv1 vu+
2←
tmp vr←
vu tmp←
c 0<if
vrv1 vu+
2←
tmp vr←
v1 tmp←
c 0>if
vr c 0if
k 1 2, 3, 4, 5, 6, 7,∈for
vr
:=
s 2.925174806=
Problema : utilice el método de bisección: La ecuación de estado de Van der Walls para un
gas real es:
( ) RTbVVaP =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 2
donde :
=P presión en atm ;
=T temperatura en K;
=R constante universal de los gases en atm – L / (gmol K) = 0.08205
=V volumen molar del gas en L / gmol ;
=ba, constantes particulares para cada gas
Calcule V a 80 º C (353.2 ºK) para una presión de 30 atm
56
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
57
Gas a b
He 0.03412 0.02370
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando como intervalo inicial
, , vV 8.01 = vVu 2.1=
Donde . Con PRTv /= 01.0<aE
p 30:= R 0.08205:= T 353.2:=
vR T⋅p
:= a 0.03412:= b 0.02370:=
v 0.966002=v1 0.8 v⋅:= vu 1.2 v⋅:=
v1 0.7728016= vu 1.1592024=
f V( ) p V3⋅( ) p b⋅ R T⋅+( ) V2
⋅− a V⋅+ a b⋅−:=
f v1( ) f vu( )⋅ 26.5288152−= si tiene raíz
Datos Algoritmo
Intervalo [x1,xu]f(x1)*f(xu) < 0 , existe raízxr = (x1 + xu ) / 2f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdof(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho
n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2)n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raíz)f(x1) = funcion de x inferiorf(xu) = funcion de x superiorf(xr) = funcion de x media
nln vu v1−( ) ln 0.01( )−
ln 2( ):= n 5=
P
c
A
a
S
s v1 0.←
vu 1←
vr ←
c ←
v
t
v
cif
v
t
v
cif
vr i
k ∈for
vr
:=
s =
Problema: Pa
con su vapor,
Aplicando un
aproximación
Solución:
.7728016
.15922024
v1 vu+
2←
p v13⋅( ) p(−⎡⎣←
vrv1 vu+
2←
tmp vr←
vu tmp←
0<
vrv1 vu+
2←
tmp vr←
v1 tmp←
0>
c 0if
1 2, 3, 4, 5,
0.978086503
ra obtener la
se llegó a la
método iterat
de 10-2 aplica
UNIDAD I
b⋅ R T⋅+ ) v12⋅
temperatura d
ecuación:
tivo de dos p
ado a f(T).
I / METODO
a v1⋅+ a b⋅− ⎤⎦⋅
de burbuja de
puntos, encue
O DE SOLUC
p vr3⋅( ) p b⋅(−⎡⎣
e una mezcla
entre la tempe
CION DE EC
b R T⋅+ ) vr2⋅ +
de CCl4 y CF
eratura de bu
CUACIONES
58
a vr⋅+ a b⋅− ⎤⎦
F4 en equilibrio
rbuja con una
S
8
o
a
UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES
A continuación se muestra la hoja de MathCAD con que se resuelve este problema usando
el método de posición falsa. Previamente a lo mostrado, se hicieron algunas evaluaciones de
f(T) para obtener un intervalo de búsqueda relativamente pequeño.
A continuación se muestra la hoja de MATLAB con que se resuelve este problema usando el
método de posición falsa. Previamente a lo mostrado, se hicieron algunas evaluaciones de
f(T) para obtener un intervalo de búsqueda relativamente pequeño.
59
UNIDAD 3
METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
Objetivo: Implementara los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, con apoyo de un lenguaje de programación.
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
3.1 Métodos Iterativos
3.1.1. Jacobi El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de
raíces de una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales :
Algunas veces no converge
Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.
El método Jacobi también puede tener esas fallas.
Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de
ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.
ski
ki
ki
ia xxx
εε <−
=−
100*1
,
Ejemplo : resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi
141414
14
43
432
321
21
=+−=−+−=−+−
=−
xxxxxxxx
xx
62
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
63
con 01.0=sε ski
ki
ki
ia xxx
εε <−
=−
100*1
,
despejando las ecuaciones
412
1+
=xx
4131
2++
=xx
x 4
1423
++=
xxx 4
134
+=
xx
Otro manera de poder resolverse utilizando otro criterio de paro o de convergencia
( ) ( )1
1 dxx kk =−+
( ) ( ) ( )2122
12
21
111 ... k
nkn
kkkk xxxxxxd −++−+−= +++
Problemas:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi con 210−=ε
3
L
e
S
p
C
i
l
2289
3
21
42
21
21
++=+++++−
xxxxx
xxxxx
3.1.2. Gau
Los métodos
eliminación.
Suponga que
ki
ia xx
ε−
=,
para todas la
Como cada
inmediatamen
la solución es
UNIDAD III
3
1425
43
43
43
−=−
=+=+
xx
xxxx
ss – Seidel
s iterativos
El método d
e se da un con
ki
kix
<−
100*1
s i, donde j y
nuevo valor
nte en la sigu
s convergente
/ METODO
510=
o aproximad
e Gauss-Sei
njunto de n ec
sε<
j-1 son las ite
de x se ca
uiente ecuació
e, se emplear
OS DE SOLU
dos proveen
del es el mé
cuaciones:
eraciones act
lcula con el
ón para deter
ra la mejor es
UCION SIST
n una altern
étodo iterativ
uales y previa
método de
rminar otro va
stimación pos
TEMAS DE E
nativa en lo
o más comú
as.
Gauss-Seide
alor de x. De
ible.
ECUACIONE
s métodos
únmente usad
el, este se u
esta manera
ES
64
de
do.
usa
, si
D
O
Ejemplo : res
444
14
43
32
21
21
=+−−+−−+−
=−
xxxxxx
xx
Despejando l
412
1+
=xx
Otro manera
( ) ( )1 xx kk −+
UNIDAD III
suelva el sigu
111
4
3
==−=−
xx
as ecuacione
12
+=
xx
a de poder re
1d= 1d
/ METODO
uiente sistema
es
413 ++ x
x
esolverse uti
( 11
11k xx −= +
OS DE SOLU
a por el méto
442
3+
=xxx
lizando otro
) ( 12
21
kk xx −+ +
UCION SIST
odo de Gauss
1+ 4 =x
criterio de p
) (22 ... k
nk xx ++ +
TEMAS DE E
s – Seidel
413 +=
x
paro o de con
)21 knx−+
ECUACIONE
nvergencia
ES
65
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
Problemas :
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss – Seidel con
210−=ε
322
1548910253
4321
42
4321
4321
−=−++=+
=+++=+++−
xxxxxx
xxxxxxxx
3.2. Sistemas de ecuaciones no lineales
3.2.1. Método iterativo secuencial A continuación se dan ejemplos:
a)
( )0),(
04,212212
22
21211
=−=
=−+=
xxxxf
xxxxf
b)
01),(0)(10)(
1212
2122,11
=−=
=−=
xxxfxxxxf
66
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
c)
0335),(
015)(2),(010),(
3331
223,21
23213,21
2313213,21
=+−−=
=−++=
=+−=
xxxxxxxf
xsenxxxxxxfxxxxxxxxf
Ejemplo: Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales
0810
08102
2
221
=+−+=
=++−=
yxxyyxf
yxxyxf
),(
),(
Solución:
Despejar x Despejar y
10822 ++
=yxx
1082 ++
=xxyy
Con la notación de la ecuación :
10822
1 ++=+ )()( kk
k yxx 10
8221 ++=+ )()( kkk
k yyxy
con los valores iniciales se inicia el proceso iterativo ,, 00 00 == yx
Primera iteración
8010
800 221 .=
++=x 80
108000 2
1 .)(
=++
=y
Segunda iteración
928.010
8)8.0()8.0( 222 =
++=x 93120
108808080 2
2 ..).(.
=++
=y
Al continuar el proceso iterativo, se muestra la siguiente sucesión de vectores:
67
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
68
k kx ky
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.00000
0.80000
0.92800
0.97283
0.98937
0.99578
0.99832
0.99933
0.99973
0.99989
0.99996
0.99998
0.99999
1.00000
0.00000
0.80000
0.93120
0.97327
0.98944
0.99579
0.99832
0.99933
0.99973
0.99989
0.99996
0.99998
0.99999
1.00000
Usando mathcad
s x 0←
y 0←
xrx2 y2
+ 8+
10←
xqx y2⋅ x+ 8+
10←
tmp1 xr←
tmp2 xq←
x tmp1←
y tmp2←
k 0 12..∈for
:=
s 1=
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar los criterios, como
distancia entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componente a componente
de dos vectores consecutivos.
Una condición suficiente aunque no necesaria , para asegurar la convergencia es que
;121 <≤∂∂
+∂∂ M
xg
xg 121 <≤
∂∂
+∂∂ M
yg
yg
Por otro lado, si M es muy pequeña en una región de interés, la iteración converge
rápidamente ; si M es cercana a 1 en magnitud , entonces la iteración puede converger
lentamente.
( )( )kkk
kkk
yxgy
yxgx
,
,1
21
11
++
+
=
=
Problema : Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el
método de punto fijo multivavriable con desplazamiento sucesivos
0810
08102
2
221
=+−+=
=++−=
yxxyyxf
yxxyxf
),(
),(
69
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
Solución:
10822 ++
=yxx
1082 ++
=xxyy
( )10
8)()(,22
11 ++
==+kk
kkk yxyxgx
( )10
8)(,121
12
1 ++==
++++
kkkkkk xyxyxgy
Al derivar parcialmente, se obtiene
1021
kxxg
=∂∂
1021
kyyg
=∂∂
101)(2 +
=∂∂ ky
xg
10
2 12
kk yxyg +
=∂∂
con los valores iniciales se inicia el proceso iterativo ,, 00 00 == yx
001 =
∂∂
xxg
001 =
∂∂
yyg
101
02 =
∂∂
yxg
00
02 =
∂∂
y
x
yg
Por lo tanto
;1101
101021 <=+=
∂∂
+∂∂
xg
xg
100021 <=+=∂∂
+∂∂
yg
yg
70
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
3.3. Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones
3.3.1. Sistemas de ecuaciones de Newton El método iterativo para sistemas de ecuaciones convergen linealmente. Como en el
método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el
método de Newton – Raphson multivariable , a continuación se obtendrá este procedimiento
para dos variables; la extensión a tres o mas variables es viable generalizando los
resultados. Supóngase que se esta resolviendo el sistema.
( )( ) 0,
0,
2
1
==
yxfyxf
Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en
serie de Taylor. Esto es:
] ...)(
))((2)([!2
1
)()(),(),(
22
22
2
+−∂∂
∂
+−−∂∂
∂+−
∂∂∂
+−∂∂
+−∂∂
+=
byyxf
byaxyxfax
xxf
byxfax
xfbafyxf
donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto ( a, b) y todas las derivadas parciales
están evaluadas en ( a, b ).
71
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
72
Para simplificar aun mas se cambia la notación con
jyy kk =−+1
hxx kk =−+1
y así queda la ( k + 1) – ésima iteración en términos de la k – ésima , como se ve a
continuación:
jyyhxx
kk
kk
+=
+=+
+
1
1
la sustitución de la ecuación :
),(
),(
222
111
kk
kk
yxfjyf
hxf
yxfjyf
hxf
−=∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
el cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j.
Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el
determinante de la matriz de coeficiente o matriz j no sea cero; es decir, si
022
11
≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
yf
xf
yf
xf
J
Interpretación geométrica del método de Newton – Raphson.
Desarrollemos en etapas esta interpretación para un sistema de dos ecuaciones. Sea el
sistema
1),(
1),(22
2
221
−−=
−+=
yxyxf
yxyxf
La grafica de se muestra en la figura 4.4. 1),( 221 −+= yxyxf
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
74
Ejemplo: Use el método de Newton – Raphson para encontrara una solución aproximada del
sistema:
0810
08102
2
221
=+−+=
=++−=
yxxyyxf
yxxyxf
),(
),(
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=∂∂
+=∂∂
=∂∂
−=∂∂
1021
2102
222
11
xyyfy
xf
yyfx
xf
que aumentada en el vector de funciones resulta en:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−−−−+−
−=∂∂
+=∂∂
=∂∂
−=∂∂
810810
1021
2102
2
22
222
11
yxxyyxx
xyyfy
xf
yyfx
xf
primera iteración
al evaluar la matriz en se obtiene : [ Tyx 00 , ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−81018010
que al resolverse por eliminación de Gauss da
h = 0.8, j = 0.88
al sustituir en la ecuación se obtiene
88.088.008.08.00
01
01
=+=+=
=+=+=
jyyhxx
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
75
Calculo de la distancia entre y 0x 1x
18929.1)088.0()08.0( 22)0()1( =−+−=− xx
segunda iteración
al evaluar la matriz en se obtiene : [ Tyx 11 , ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
61952.0592.87744.141440.17600.1400.8
que al resolverse por eliminación de Gauss da
h = 0.19179, j = 0.11171
al sustituir en la ecuación se obtiene
99171.011171.088.099179.019179.08.0
22
12
=+=+=
=+=+=
jyyhxx
Calculo de la distancia entre y 1x 2x
22190.0)88.099171.0()8.099179.0( 22)0()1( =−+−=− xx
Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes:
k kx ky kk xx −+1
0
1
2
3
4
0.00000
0.80000
0.99179
0.99998
1.00000
0.00000
0.88000
0.99171
0.99997
1.00000
------
1.18929
0.22195
0.01163
0.00004
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
76
3.4. Aplicaciones Problema: En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una
corriente de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considérese que el
benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a
contracorriente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de henry (y = mx) y que la
columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato.
Datos: V = 100 moles / min;
L = 500 moles / min, fracción molar de benceno en V. 09.00 =y
0.00 =x fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).
m = 0.12.
Solución : los balances de materia para el benceno en cada plato son
Plato Balance de benceno
12345
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0
0000
1012
2123
3234
4345
5450
=−+−=−+−=−+−=−+−=−+−
yyVxxLyyVxxLyyVxxLyyVxxLyyVxxL
Al sustituir la información que se tiene, las consideraciones hechas y rearreglando las
ecuaciones, se llega a:
512 x1 - 500 x2 = 9
12 x1 - 512 x2 + 500 x3 = 0
12 x2 - 512 x3 + 500 x4 = 0
12 x3 - 512 x4 + 500 x5 = 0
- 12 x4 + 512 x5 = 0
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se resuelve con mathcad como
sigue:
A
512
12
0
0
0
500−
512−
12
0
0
0
500
512−
12
0
0
0
500
512−
12−
0
0
0
500
512
9
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0.018
4.32 10 4−×
1.037 10 5−×
2.487 10 7−×
5.829 10 9−×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Problema : Con los datos del diagrama siguiente 8 donde los porcentajes están dados en
peso) , encuentre posibles valores de la corriente , si 321 ,, MMM kgM 1004 =
Solución : Mediante balance de materia por componentes y global, se tiene:
Componente Balance de materia
Etanol
Metanol
Agua
Global
0021.021.039.017.0
021.024.061.00058.055.0083.0
4321
4321
4321
4321
=−++=−++
=−++=−++
MMMMMMMM
MMMMMMMM
77
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
02121.039.017.0
2124.061.005855.0083.0
4321
321
321
321
=−++=++
=++=++
MMMMMMM
MMMMMM
A
0.83
0
0.17
0
0.61
0.39
0.55
0.24
0.21
58
21
21
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
19.014
4.225
76.761
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
por lo tanto kgMkgMkgM 761.76,225.4,014.19 321 ===
Problema: Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado,
dispone maíz, desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes
nutritivos , de acuerdo con la tabla siguiente:
Alimento
Maíz Desperdicios Alfalfa Cebada Requerimientos unidades / Kg.
Carbohidratos
Proteínas
Vitaminas
Celulosa
Costo $
80
28
20
50
18
15
72
20
10
5
35
57
12
20
7
60
25
20
60
20
230
180
80
160
__
a) Determine los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el
requerimiento diario ( Presentado en la ultima columna)
b) Determine el costo de la mezcla.
78
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
a( )
A
80
28
20
50
15
72
20
10
35
57
12
20
60
25
20
60
230
180
80
160
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1.852
1.032
0.618
0.745
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
b( )
Costo 18 5 7 20( ):= kilogramos
1.852
1.032
0.618
0.745
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Total Costo kilogramos⋅:= Total 57.722( )=
Problema : (manufactura). R. S. C. L. S y Asociados fabrica tres tipos de computadora
personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2
para probar sus componentes y 2 horas mas para instalar sus programas. El tiempo
requerido para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para
instalarla. La Cicloide, la mas sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de
prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fabrica de esta empresa dispone de 1560 horas de
trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿ cuantas PC
de cada tipo puede producir en un mes ?
Solución:
Marcas Ensamblado Pruebas Instalación
Ciclón
Cíclope
Cicloide
10
12
6
2
2.5
1.5
2
2
1.5
1560 340 320
3205.1223405.15.22
156061210
=++=++
=++
zyxzyx
zyx
79
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
80
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
10
2
12
2.5
6
1.5
1560
340⎛
2 2 1.5 320
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠ 0 0 1 80
:= rref A( )
1
0
0
1
0
0
60
40⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Por consiguiente cada mes se pueden fabricar 60 Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides.
Problema : ( Cambio de moneda extranjera ).Una empresaria internacional necesita, en
promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante
cada viaje de negocios. Este año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $ 2550
dólar con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por
dólar. La segunda vez cambio $ 2840 dólar en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y
1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total de $ 2800 dólar a 100 yenes, 0.6 libras
y 1.2 marcos por dólar. ¿ Cuantos yenes, libras y marcos compro cada vez ?
Solución:
28002.1
16.0
11001
28402.1
15.0
11251
25506.1
16.0
11001
=++
=++
=++
zyx
zyx
zyx
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
1100
1125
1100
10.6
10.5
10.6
11.6
11.2
11.2
2550
2840
2800
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
80000
600
1200
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
En consecuencia, cada vez compro 80 000 yenes, 600 libras y 1200 marcos para viajar.
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
81
Problema : ( Calculo de una función demanda ). Bikey, Inc., quiere fabricar un nuevo tipo de
zapato deportivo, poco costoso, e investiga el mercado de la demanda. Encuentra que si un
par de zapatos nuevo cuesta $ 20 en un área de ingreso familiar promedio de $ 20000, y que
si un competidor Tríceps , Inc., vende cada par de zapatos a $ 20, vendería 660 pares. Por
otro lado, si el precio fuera igual y Tríceps bajara su precio a $10 el par, entonces, vendería
1130 pares en un área de $ 30000 de ingreso. Por ultimo, si el precio de los zapatos fuera $
15 el par, y la competencia se queda en $ 20 el par, se vendería 1010 pares en un área de
$25000 de ingreso. Determine la función demanda, suponiendo que depende linealmente de
sus variables.
Solución:
Sea D = a P + b I + c C . Deseamos conocer a, b y c.
10102025000151130103000020660202000020
=++=++=++
cbacbacba
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
20
20
15
20000
30000
25000
20
10
20
660
1130
1010
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
20−
0.05
3
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Por consiguiente , la función demanda esta expresada por CIPD 305.020 ++−=
Problema: ( soluciones químicas ). Se necesitan tres ingredientes distintos, A, B y C , para
producir determinada sustancia. pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a
reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por
centímetros cúbicos ( g / cm3 ), combinada con la solución B cuya concentración es de 3.6 g
/ cm3 y con la solución C con 5.3 g / cm3 forma 25.07 g de la sustancia. si las proporciones
de A, B y C en esas soluciones se cambian a 2.5, 4.3 y 2.4 g / cm3 , respectivamente (
permaneciendo iguales los volúmenes ), se obtienen 22.36 g de la sustancia. Por ultimo, si
las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g / cm3 , respectivamente, se producen 28.14 g
de la sustancia. ¿ Cuales son los volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que
contienen A, B y C?
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
Solución:
14.282.35.57.236.224.23.45.207.253.56.35.1
=++=++=++
zyxzyxzyx
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
1.5
2.5
2.7
3.6
4.3
5.5
5.3
2.4
3.2
25.07
22.36
28.14
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.5
3.1
2.2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Por consiguiente, los volúmenes correspondientes de las soluciones que contienen A, B y C
son 1.5 cm3 , 3.1 cm3 y 2.2 cm3.
Ejemplo: Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras.
Se requiere cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes
electrónicos – en la producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades
necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora.
Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg. de metal , 970 Kg. de plástico y
601 componentes electrónicos, ¿Cuántas computadoras de cada tipo se puede construir por
día?
Computadoras Horas-hombre, kg/computadora
Metales kg/computadora
Plásticos kg/computadora
Componentes, unidades / computadora
1
2
3
4
3
4
7
20
20
25
40
50
10
15
20
22
10
8
10
15
Totales 504 1970 970 601
82
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
Usando mathcad
A
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
504
1970
970
601
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
10
12
18
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
M
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= v
504
1970
970
601
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
soln lsolve M v,( ):=
soln
10
12
18
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
x1
504
1970
970
601
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= x2
3
20
10
10
504
1970
970
601
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
x1 10= x2 12=
x4
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
504
1970
970
601
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=x3
3
20
10
10
4
25
15
8
504
1970
970
601
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
x4 15=x3 18=
83
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
84
Problema : Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH,
existen tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición
de estos depósitos viene dad en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada
depósito para cumplir con las necesidades requeridas ?
Sustancia Depósito ( % )
1 2 3
NaCl
KCl
NaOH
52
30
18
20
50
30
25
20
55
Solución:
A
0.52
0.30
0.18
0.20
0.50
0.30
0.25
0.20
0.55
4800
5810
5960
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3744.767
7071.744
5753.488
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Problema: Sobre una membrana elástica, apoyada en sus extremos actúan 3 fuerzas
, aplicadas en 3 puntos equidistantes . Estas fuerzas provocan los
siguientes deshilamiento en cada punto respectivamente 3, 5 y 3 , si los coeficientes de
influencia son ;
321 ,, fff 321 ,, PPP
32,1 =a 22,1 =a ; 13,1 =a ; para el y 1P 21,2 =a ; ; 42,2 =a 5/13,2 =a
para y ; ; 2P 11,3 = aa 22, =3 33,3 =a para . Se piden determinar las fuerzas para
.
3P
321 ,, fff
A
3
2
1
2
4
2
1
15
3
3
5
3
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
529
6758
529
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0.172
1.155
0.172
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES
85
Problema: Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en
solución a partir de los siguientes datos espectrofotometricos .
Longitud de onda
i
Absorbancia molar del componente Absorbancia total observada j
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
98
11
27
1
2
9
118
27
3
4
2
9
85
17
7
1
4
8
142
17
0.5
0.88
2
25
118
0.1100
0.2235
0.2800
0.3000
0.1400
Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a
estas longitudes de onda. Utilice el método de Gauss – Seidel. Utilizando como criterio de
paro 002.0=ε ; es la concentración molar del componente j en la mezcla. =jC
UNIDAD 4
DIFERENCIACION E INTEGRACION
NUMERICA
Objetivo: Aplicara los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación.
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
4.1 Diferenciación numérica. Cuando se va a practicar una operación en una función tabulada, el camino es aproximar la
tabla por alguna función y efectuar la operación aproximadamente. Así se procedió en la
integración numérica y así se procederá en la diferenciación numérica; esto es, se
aproximara la función tabulada f(x) y se diferenciara la aproximación ).(xpn
Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto, la diferenciación numérica
consiste simplemente en diferenciar la formula del polinomio interpolante que se utilizo. Sea
en general.
)()()( xRxpxf nn +=
y la aproximación de la primera derivada queda entonces
dxxdp
dxxdf n )()(
=
o en general
nn
n
n
n
dxxpd
dxxfd )()(
=
Al diferenciar la formula fundamental de Newton dada arriba se tiene
nn
n
nn
n
n
n
dxxRd
dxxpd
dxxfd )()()(
+=
donde nn
n
dxxRd )(
es el error que se comete al aproximar n
n
dxxfd )(
por nn
n
dxxpd )(
.
Si las abcisas dadas están espaciadas regularmente por intervalos de longitud
h, entonces puede escribirse en términos de diferencias finitas.
nxxx ,...,, 10
)(xpn
Y la primera derivada de f(x) queda aproximada por
hxfxf
dxxdf )()()( 01 −
=
Se desarrollan las diferencias hacia delante y se tiene
87
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
)(2
2)(
22242
)(2
22)(22
1012
1002
10 xfh
xxxxf
hhxxx
xfh
hxxxdx
xdf⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
=
la segunda derivada puede calcularse derivando una vez mas con respecto a x, o sea
)(1)(2)(1)(2212022
2
xfh
xfh
xfhdx
xfd+−=
Problema : La ecuación de Van der Walls para un gmol de CO2 es
( ) RTbvvaP =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + 2
donde
KgmolcmatmRgmolcmb
gmolcmatmxa
*/*1.82/8.42
/*106.3
3
3
266
=
=
= −
Si T = 350 K, se obtiene la siguiente tabla de valores.
Puntos 0 1 2 3
P (atm) 13.782 12.577 11.565 10.704
V (cm3 ) 2000 2200 2400 2600
Calcule vP
∂∂
cuando v = 2300 cm3 y compárelo con el valor de la derivada analítica
Solución :
2210
1210
0210
22
22242
222
Ph
vvvP
hhvvv
Ph
hvvvvP
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
=∂∂
; con h = 200
00506.0)565.11()200(2
22002000)2300(2
)577.12()200(2
)200(2)2200(2)2300(4)2000(2)782.13()200(2
)200(222002000)2300(2
2
22
−=−−
+
−+−+
−−−=
88
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
89
La derivada analítica es
Pv Pb−av
+a b⋅
v2− RT P v b−( )
av
+a b⋅
v2− RT
P v( )a−
v v b−( )a b⋅
v2 v b−( )+
R T⋅v b−( )
+ P v( )a−
v2 v b⋅−( )a b⋅
v3 v2 b⋅−( )+R T⋅
v b−( )+
va−
v2 v b⋅−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
dd v
a b⋅
v3 v2 b⋅−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
dd
+v
R T⋅v b−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
dd
+ simplify1
v3
2 a⋅ v2⋅ 4 a⋅ v⋅ b⋅− 2 a⋅ b2⋅ R T⋅ v3⋅−+( )v− b+( )2
⋅→
R 82.1:= T 350:= a 0.0000036:= b 42.8:= v 2300:=
1
v3
2 a⋅ v2⋅ 4 a⋅ v⋅ b⋅− 2 a⋅ b2⋅ R T⋅ v3⋅−+( )v− b+( )2
⋅ 5.6398962938964669366 10-3⋅−→
Problema : En una reacción química A + B ----> Productos, la concentración del reactante A
es una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta la
concentración de A en gmol/L como una función de estas dos variables.
P (Kg/cm2) Temperatura T (K)
273 300 325 360
1 0.99 0.97 0.96 0.98
2 0.88 0.82 0.79 0.77
8 0.62 0.51 0.48 0.45
15 0.56 0.49 0.46 0.42
20 0.52 0.44 0.41 0.37
Calcule la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 Kg/cm2 y T = 300 K,
usando un polinomio de segundo grado.
Solución.
Lo que se busca es en si 8,300 ==∂∂
PTA
TC
que se puede evaluar con la ecuación
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
( )( ) ( )( ) ( )( ) )(2
)(2
)(2)(2
1202
101
2101
200
2010
212 xfxxxx
xxxxf
xxxxxxx
xfxxxx
xxxdx
xdp⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−=
donde f(x) representa a CA y x a T; de tal modo que sustituyendo los tres puntos enmarcados
de la tabla queda
2300, 8
( ) (2(300) 300 325)(0.62)(273 300)(273 325)
(2(300) 273 325)(0.51) (2(300) 273 300)(0.48) 0.0026(300 273)(300 325) (325 273)(325 300)
AT P
p x Cx T
gmolLK
= =
∂ ∂ − −= =
∂ ∂ − −− − − −
+ + = −− − − −
90
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
91
Diferencias divididas finitas de la primera derivada hacia delante
Primera derivada
( ) ( ) ( )h
xfxfxf ii
i−
=′ +1
( ) ( ) ( ) ( )h
xfxfxfxf iii
i 234 12 −+−
=′ ++
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )2
12 32h
xfxfxfxf iii
i−−
=′′ ++
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
123 354h
xfxfxfxfxf iiii
i+−+−
=′′ +++
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
123 33h
xfxfxfxfxf iiii
i−+−
=′′′ +++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
1234
251824143
hxfxfxfxfxf
xf iiiiii
−+−+−=′′′ ++++
Cuarta derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
1234 464h
xfxfxfxfxfxf iiiii
i+−+−
=′′′′ ++++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
12345 3142624112h
xfxfxfxfxfxfxf iiiiii
i+−+−+−
=′′′′ +++++
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
92
donde:
Δfi = se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y
h = se le llama tamaño del paso, esto es la longitud del intervalo sobre el cual se hace la
aproximación.
Se le llama diferencia “ hacia adelante ” ya que se usa los datos “ i “ e i + 1 para estimar la
derivada.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se puede desarrollar
mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las
aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias
centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la ecuación:
Aproximaciones a la primera derivada con diferencia hacia atrás.
Primera derivada
( ) ( ) ( )h
xfxfxf ii
i1−−
=′
( ) ( ) ( ) ( )h
xfxfxfxf iii
i 243 21 −− +−
=′
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )2
212h
xfxfxfxf iii
i−− +−
=′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
321 452h
xfxfxfxfxf iiii
i+−− −+−
=′′
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
321 33h
xfxfxfxfxf iiii
i−−− −+−
=′′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
4321
231424185
hxfxfxfxfxf
xf iiiiii
−−−− +−+−=′′′
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
93
Cuarta derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4hi
4321 464 xfxfxfxfxfxf iiiii −−−− +−+−
=′′′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
54321 2112426143h
xfxfxfxfxfxfxf iiiiii
i−−−−− −+−+−
=′′′′
Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales.
Primera derivada
( ) ( ) ( )h
xfxfxf ii
i 211 −+ −
=′
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
xfxfxfxfxf iiii
i 1288 2112 −−++ +−+−
=′
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )2
11 32h
xfxfxfxf iii
i−+ +−
=′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2112
12163016
hxfxfxfxfxf
xf iiiiii
−−++ −+−+−=′′
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
2112
222
hxfxfxfxf
xf iiiii
−−++ −+−=′′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
321123
8813138
hxfxfxfxfxfxf
xf iiiiiii
−−−+++ +−+−+−=′′′
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
94
Cuarta derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4hi
2112 464 xfxfxfxfxfxf iiiii −−++ +−+−
=′′′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
321123
61239563912
hxfxfxfxfxfxfxf
xf iiiiiiii
−−−+++ ++−+++=′′′′
Las aproximaciones mas exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo
en la serie de Taylor términos de orden mas alto. Finalmente, todas las versiones anteriores
se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores.
Ejemplo : Formulas de diferenciación con alta exactitud.
Planteamiento del problema:
F (x) = - 0.1 x 4 – 0.15 x 3 – 0.5 x 2 – 0.25 x + 1.2
En x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.25.
Solución:
F ‘ (x) = - 0.4 x 3 – 0.45 x 2 – 1.0 x – 0.25 x
Y se puede usar para calcular el valor exacto de :
F ‘ (x) = - 0.4 x 3 – 0.45 x 2 – 1.0 x – 0.25 x ; X = 0.5; f ‘ ( 0.5) = - 0.9125.
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
1750
50250
0
2
1
1
2
=
=
=
=
=
+
+
−
−
i
i
i
i
i
xxxxx
...
2063632810
9250103516121
2
1
1
2
.)(.)(
.)(.)(.)(
=
=
=
=
=
+
+
−
−
i
i
i
i
i
xfxfxfxfxf
Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia delante
85937502502
925036363281042050 .).(
).().(.).( −=
−+−=′f
la diferencia dividida hacia atrás
87812502502
21103515625149250350 .).(
.).().().( −=
+−=′f
Y la diferencia dividida central
9125025012
21103515625186363281082050 .).(
.).().(.).( −=
+−+−=′f
Ejercicios propuestos:
Úsense aproximaciones de diferencias de 0(h) hacia atrás y hacia delante y una
aproximación central de 0 (h2 ). Para estimar la primera derivada de la función mencionada .
F(X) = 25 x3 – 6x 2 + 7x – 88
Evalúese la derivada en x = 2.5 usando un tamaño de paso de h = 0.25. compárense los
resultados con el valor correcto de la derivada en x = 2.5.
4.2 Integración numérica De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “ unir todas las partes en un todo;
unificar; indicar la cantidad total, . . . ”. matemáticamente, la integración se representa por
∫=b
adxxfI )(
EC. 1
95
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
La cual representa a la integración de la función f (x) con respecto a la variable x, evaluada
entre los limites x = a y x = b.
Como lo sugiere la definición del diccionario, el significado de la ecuación es el valor total o
sumatoria de f (x ) dx sobre el intervalo de x = a a b. En realidad, el símbolo ∫ es una s
mayúscula estilizada que indica la conexión cercana entre la integración y la sumatoria (
Thomas y Finney, 1979).
La figura 1 , representa una manifestación grafica de este concepto. Para las funciones que
se encuentran sobre el eje x, la integral expresada por la ecuación 1, corresponde al área
bajo la curva de f (x) entre x = a y x = b. Habrá muchas ocasiones de volver a referirse a
esta concepción grafica a medida que se desarrollen formulas matemáticas para integración
numérica. De hecho, la mayor parte de los métodos numéricos para integración, se puede
interpretar desde una perspectiva grafica.
figura 1. Representación grafica de la integral de f(x) .
Formulas de integración de Newton - cotes
Las formulas de Integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica
más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos
tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar :
dxxfdxxfIb
a
b
a n∫ ∫≅= )()(
donde f n (x)=polinomio
96
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
donde n es el orden del polinomio. Por ejemplo en la figura (1ª) , se usa un polinomio de
primer orden (una línea recta) como aproximación. En la figura (1 b) se emplea una parábola
para el mismo propósito.
figura 1 : estimación de una integral mediante el área bajo a) una línea recta, y b) una
parábola.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la
función o a los datos sobre intervalos de longitud constantes. Por ejemplo en la figura 2, se
usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.
figura 2: aproximación de la integral mediante el área bajo tres segmentos.
Se puede usar polinomio de mayor grado para este mismo propósito. Con estos
fundamentos ahora se reconoce que el “ método de bandas”de la figura 3 empleo una serie
de polinomios de orden cero ( esto es, constantes) para aproximar la integral.
97
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
Se dispone de las formas abiertas y cerradas de las formulas de Newton-Cotes. Las formas
cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los limites de integración
se conocen figura (3 a. )
figura 3: diferencia entre formulas de integración a) cerradas y b) abiertas.
Las formulas tienen los limites de integración extendidos mas allá del rango de los datos
figura (3 b) . Las formulas abiertas de Newton Cotes, en general, no se usan en la
integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Fundamentos matemáticos
b
a
b
axFdxxfI )()( == ∫
en donde F(x) es la integral de F(x) , esto es , cualquier función tal que F’(x) = f(x) . la
nomenclatura sobre el lado derecho queda
)()()( aFbFxF b
a−=
4.2.1 Método del trapecio La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las formulas de integración cerrada
de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio en la ecuación [1] es de primer
orden :
98
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
99
∫ ∫≅=b
a
b
adxxfdxxf )()(/ 1
Recuerde que una línea recta se representa como :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )axab
afbfafxf −−−
+=1
El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f (x) entre los limites a y b :
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
+=b
adxax
abafbfafI )()()()(
El resultado de la integración es :
( )2
)()( bfafabI +−=
La cual se denomina regla trapezoidal.
Error de la regla Trapezoidal
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral
bajo una curva, obviamente podemos incurrir en un error que puede ser sustancial. Una
estimación para el error de truncamiento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es :
( )( )3
121 abfEt −′′−= ξ
donde ξ está en algún lugar en el intervalo de "a" a "b". La ecuación anterior indica que si la
función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal será exacta.
De otra manera, ocurrirá un error para funciones con derivadas de segundo y tercer orden
(es decir con curvatura).
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
100
Ejemplo: aplicación de la regla trapezoidal simple para integrar numéricamente
f x( ) 0.2 25x+ 200x2− 675x3+ 900x4− 400x5+:= x 0 0.001, 0.8..:=
a 0:= b 0.8:=
0 0.5 1
2
4
f x( )
I1a
bxf x( )
⌠⎮⌡
d:= I1 1.64053333=
x
I b a−( )f a( ) f b( )+
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅:=
I 0.1728=
que representan un error de
E v = 1.64053334 – 0.1728 = 1.46773334
Que corresponde a un error relativo porcentual de ∈ v = 89.5 % . La razón para este error
tan grande es evidente en la grafica .
nótese que el área bajo la línea recta descuida una porción significativa de la integral sobre
la línea.
En la situación actual, no se tendría conocimiento previo del valor verdadero. Por lo tanto, se
requiere una aproximación al error. Parta obtener esta aproximación, se calcula la segunda
derivada de la función sobre el intervalo , derivando la función original dos veces para dar
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
mediaa
b
x2xf x( )d
d
2⌠⎮⎮⎮⌡
d
b a−:= media 60−=
Ea1−
12media⋅ b a−( )3⋅:=
Ea 2.56=
Que es el mismo orden de magnitud y signo que tiene el error verdadero.
Existe una discrepancia debido a que un intervalo de este tamaño, el promedio de la
segunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de f “ ( ξ ). Por lo tanto, se
denota que el error es aproximado usando la notación E a , en vez de usar E v.
Ejercicio : aplicación de la regla trapezoidal simple
f x( ) 10 2x+ 6x2− 5x4+:= x 0 0.001, 10..:=
a 0:= b 10:=
0 5 10
2 .104
4 .104
6 .104
f x( )
x
I1a
bxf x( )
⌠⎮⌡
d:= I1 98200=
I b a−( )f a( ) f b( )+
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅:=
I 247200=
Ejercicio : aplicación de la regla trapezoidal simple
101
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
102
f x( ) 1 x− 4x3− 3x5
+:= x 3− 2.99−, 5..:=
a 3−:= b 5:=
5 0 5
5000
5000
1 .104
f x( )
x
I1a
bxf x( )
⌠⎮⌡
d:= I1 6904=
I b a−( )f a( ) f b( )+
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅:=
I 33016=
Ejercicio : aplicación de la regla trapezoidal simple
f x( ) 8 5sin x( )+:= x 0 0.001, π..:=
a 0:= b π:=
0 1 2 3 48
10
12
14
f x( )
x
I1a
bxf x( )
⌠⎮⌡
d:= I1 35.13274123=
I b a−( )f a( ) f b( )+
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅:=
I 25.1327=
La regla del trapecio utilizando segmentos múltiples
Una mejor manera de mejorar la actitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo
de integración de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los
segmentos.
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
103
Figura: ilustración de la regla trapezoidal múltiple a) dos segmentos, b) tres segmentos; c)
cuatro segmentos; d) cinco segmentos
En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre
el intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce como formulas de
integración de segmento múltiple o formulas de integración compuestas.
nabh −
=
Si a y b son designados como X o y X n, respectivamente, la integral total se representa como
∫ ∫ ∫−
+++= 1
0
2
1 1
)(...)()(x
x
x
x
x
x
n
n
dxxfdxxfdxxfI
( ) ( )
Al sustituir la regla trapezoidal para cada integral se obtiene :
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= −
2...
2212110 nn xfxf
hxfxf
hxfxf
hI
o mediante agrupación de términos :
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
( ) ( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++= ∑
−
=
1
10 2
2
n
ini xfxfxfhI
en formato general es : n
xfxfxfabI
n
n
ii
2
)()(2)()(
1
10 ++
−=∑
−
=
ya que la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido por 2n es igual a 1,
la altura promedio representa un promedio pesado de los valores de la función. De acuerdo
a la ecuación anterior , las alturas de los puntos interiores aparecen doblemente respecto a
los puntos finales f ( x0) y f (x n ).
n
ff
n
i∑
=
′′=′′ 1 por lo tanto.
( )2
3
12nfabEa
′′−−=
De esta manera que , si el numero de segmento se duplica , el error de truncamiento
disminuye a un cuarto de su valor. Nótese que la ecuación anterior es un error aproximado
debido a la naturaleza aproximada de la ecuación.
Ejemplo : regla trapezoidal de segmentos múltiples.
104
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
I 1.0688=
I b a−( )f x0( ) 2 f x1( )⋅+ f x2( )+
2 n⋅
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅:=
x2 0.8=x1 0.4=
x2 x1 h+:=x1 x0 h+:=x0 0:=
h 0.4=h
b a−
n:=
0 0.5 1
2
4
f x( )
x
Int 1.64053333=Inta
bxf x( )
⌠⎮⌡
d:=
n 2:=b 0.8:=a 0:=
x 0 0.001, 0.8..:=f x( ) 0.2 25x+ 200x2− 675x3+ 900x4− 400x5+:=
Ejercicio : regla trapezoidal de segmentos múltiples
f x( ) 8 5 sin x( )⋅+:= x 0 0.001, π..:=
0 1 2 3 48
10
12
14
f x( )
x
a 0:= b π:= n 6:=
Inta
bxf x( )
⌠⎮⌡
d:= Int 35.13274123=
hb a−
n:= h 0.523599=
105
4U
o
c
S
c
I 34.9032274=
I b a−( )f(⎡
⎢⎣
⋅:=
x6 3.141593=
x6 x5 h+:=
x1
x1x0 0:=
4.2.2 MétoUn forma de
orden superio
camino entre
Si hay dos p
conectar con
UN
Eb a−(−
12 n2⋅
:=
4
x0) 2 f x1( ) +(⋅+
3
1 0.523599=1 x0 h+:=
odo de Simpobtener una
or para cone
f(a) y f(b), los
puntos igualm
un polinomio
IDAD IV / D
a)3
2
a
b
2xf(d
d
2⌠⎮⎮⎮⌡
b a−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⋅
f x2( )+ f x3( )+
2 n⋅
x2 1.047198=
x2 x1 h+:=
pson estimación e
ctar los punto
s tres puntos
mente espaci
o de tercer ord
DIFERENCIA
xx( ) d
a
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
f x4( )+ f x5( )+
x3 1.570796=
x3 x2 h+:=
exacta de una
os. Por ejem
se pueden co
iados entre f
den.
ACION E INT
E 0.228463=
) f x6( )+ ⎤⎥⎦
x4 2.09439=6
x4 x3 h+:=
a integral es c
plo, si hay u
onectar con u
f(a) y f(b), lo
TEGRACIO
3
x5 2.6179=95
x5 x4 h+:=
con el uso de
n punto extra
una parábola.
os cuatro pun
N NUMERIC
1
994
h
e polinomios
a a la mitad d
.
ntos se pued
CA
106
de
del
den
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
Las formulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como
reglas de Simpson.
Regla de Simpson 1/3
La Regla de Simpson 1/3 resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es
sustituida en la ecuación :
∫ ∫≈=d
b
d
b
dxxfdxxfI )()( 2 2abh −
=
donde, para este caso, h = (b - a)/2. Esta ecuación es conocida como regla Simpson 1/3. La
especificación"1/3" surge del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación anterior .
La regla de Simpson 1/3 se expresa también con el uso del formato de la ecuación :
6)()(4)(
)( 210 xfxfxfabI
++−=
Ejemplo de aplicación de la regla de Simpson de 1/3 simple
f x( ) 0.2 25x+ 200 x2− 675 x3
+ 900 x4− 400 x5
+:=
desde a = 0 hasta b = 0.8
solucion el valor exacto es:
0
0.8xf x( )
⌠⎮⌡
d 1.640533333333333333→
x 0 0.01, 0.8..:=
107
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
108
,
0 0.5 1
2
4
f x( )
x
a 0:= b 0.8:=hb a−( )
2:=
h 0.4= f x( ) 0.2 25 x+ 200 x2− 675 x3+ 900 x4− 400 x5+:=
f a( ) 0.2= f h( ) 2.456= f b( ) 0.232=
la regla de Simpson 1/3
I b a−( )f a( ) 4 f h( )⋅+ f b( )+
6⋅:=
I 1.367467=
media0
0.8
x4xf x( )d
d
4⌠⎮⎮⎮⌡
d
b a−2400.0000000000000000−→:=
E1−
90h 5 media⋅:=E a
b a−( ) 5−
2880media⋅:=
E 0.2730667( )=E a 0.2730667=
Problemas propuestos: evalúense las integrales con la aplicación simple de la regla Simpson
de 1/3
a( )0
10
x10 2x+ 6x2− 5x4+( )⌠⎮⌡
d →
b( )3−
5
x1 x− 4x3− 3x5+( )⌠⎮⌡
d →
R
L
s
L
O
A
S
r
a
c( )0
π⌠⎮⌡
d( )0
4
x⋅⌠⎮⌡
Regla de Sim
La Regla de S
segmentos de
nabh −
=
La integral tot
Observe que
Además, los
Sin embargo
representan e
aplicaciones
UN
8 5 sin x( )⋅+( )
xe2xd74
ex⋅→
mpson 1/3 de
Simpson se p
e igual anchu
tal se puede
bI ( −=
e, se debe ut
coeficientes
o, siguen en
el termino me
adyacentes y
IDAD IV / D
xd 8 π⋅ 10+→
xp 8( )14
+
e segmentos
puede mejora
ura
representar c
xfa
4)()
0 +
tilizar un num
"4"y "2" en la
n forma natu
edio para cad
y por tanto se
DIFERENCIA
0
s múltiple
ar al dividir el
como :
n
xfn
ii
3
)(41
5,3,1+∑
−
=
mero par de s
a ecuación po
ural la regla
da aplicación
cuentan dos
ACION E INT
intervalo de i
n
xfn
jj )(2
2
6,4,2∑
−
=
segmentos p
odrían parece
a de Simpso
n. Los puntos
veces.
TEGRACIO
integración en
xf n )(+
para impleme
er peculiares
on 1/3. Los
s pares son c
N NUMERIC
1
n un numero
ntar el métod
a primera vis
puntos non
comunes en
CA
109
de
do.
sta.
nes
las
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
110
Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson se obtiene sumando los errores
individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada.
)(180
)( )4(4
5
ξfnabEa
−−=
donde f (4) es el promedio de la cuarta derivada para el intervalo
Ejemplo : de la regla de Simpson de 1/3 de aplicación múltiples
f x( ) 0.2 25x+ 200 x2− 675 x3
+ 900 x4− 400 x5
+:=
desde a = 0 hasta b = 0.8 con n = 4
solucion el valor exacto es:
0
0.8xf x( )
⌠⎮⌡
d 1.640533333333333333→
x 0 0.01, 0.8..:= ,
0 0.5 1
2
4
f x( )
x
a 0:= b 0.8:= n 4:=hb a−( )
n:=
f x( ) 0.2 25x+ 200 x2− 675 x3+ 900 x4− 400 x5+:=h 0.2=
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
I b a−( )f x0( ) 4 f x1( ) f x3( )+( )⋅+ 2 f x2( )( )⋅+ f x4( )+
3 n⋅⋅
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
la regla de Simpson 1/3 de aplicación multiple
f x3( ) 3.464=f x2( ) 2.456=f x1( ) 1.288=f x0( ) 0.2=f x4( ) 0.232=
x4 0.8=x3 0.6=x2 0.4=x1 0.2=x0 0=
x4 b:=x3 a h+ h+ h+:=x2 a h+ h+:=x1 a h+:=x0 a:=
I 1.623467=
media0
0.8
x4xf x( )d
d
4⌠⎮⎮⎮⌡
d
b a−2400.0000000000000000−→:=
Eab a−( ) 5
−
180 n 4⋅
media⋅:=
Ea 0.017067=
Regla de Simpson 3/8
3abh −
=
[ ]8
)()()(3)()( 3210 xfxfxfxf
abI+++
−=
111
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
)(
6480)( )4(
5
ξfabEa−
−=
LA REGLA DE SIMPSON 3/8
a( ) Con la regla de Simpson 3/8 integre
f x( ) 0.2 25 x+ 200 x2− 675 x3
+ 900 x4− 400 x5
+:=
desde a = 0 hasta b = 0.8 con n = 4
b( ) Usela junto con la regla de simpson 1/3 con la finalidad de integrar la misma funcion en cinco segmentos.
soluciona( ) Una sola aplicacion de la regla de Simpson requiere cuatro puntos equidistantes:
el valor exacto es:
0
0.8xf x( )
⌠⎮⌡
d 1.640533333333333333→
x 0 0.01, 0.8..:=
0 0.5 1
2
4
f x( )
x
f x3( ) 0.232=f x2( ) 3.487177=f x1( ) 1.432724=f x0( ) 0.2=
x3 0.8=x2 0.5333=x1 0.267=x0 0=
x3 b:=x2 a h+ h+:=x1 a h+:=x0 a:=
h 0.267=f x( ) 0.2 25x+ 200x2
− 675x3+ 900x4
− 400x5+:=
hb a−( )
3:=
n 4:=b 0.8:=a 0:=
112
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
la regla de Simpson 3/8
I b a−( )f x0( ) 3 f x1( )⋅+ 3 f x2( )⋅+ f x3( )+
8⋅
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
I 1.51917=
media0
0.8
x4xf x( )d
d
4⌠⎮⎮⎮⌡
d
b a−2400.0000000000000−→:=
Eab a−( )5
−
6480media⋅:=
Ea 0.121363=
b( ) Los datos necesarios para una aplicacion con cinco segmentos
f x5( ) 0.232=f x4( ) 3.182=f x3( ) 3.186=f x2( ) 1.743393=f x1( ) 1.296919=f x0( ) 0.2=
x1 0.16=x0 0=x5 0.8=x4 0.64=x3 0.48=x2 0.32=
x5 a h+ h+ h+ h+ h+:=
x4 a h+ h+ h+ h+:=x3 a h+ h+ h+:=x2 a h+ h+:=x1 a h+:=x0 a:=
h 0.16=f x( ) 0.2 25x+ 200x2
− 675x3+ 900x4
− 400x5+:=
hb a−( )
n:=
n 5:=b 0.8:=a 0:=
113
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
La integral para los dos primeros segmentos se obtiene usando la regla de simpson 1/3
x0 0= x1 0.16= x2 0.32=I1 x2 x0−( )
f x0( ) 4 f x1( )⋅+ f x2( )+
6⋅
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
I1 0.3803237=
Para los ultimos tres segmentos , la regla 3/8 se utiliza para obtener x2 0.32= x3 0.48= x4 0.64= x5 0.8=
I2 x5 x2−( )f x2( ) 3 f x3( ) f x4( )+( )⋅+ f x5( )+
8⋅:=
I2 1.2647535=
La integral total calculada sumando los dos resultados:I I1 I2+:=
I 1.6450772=
4.3 Integración Múltiple
Cualquiera de las técnicas de integración vistas en esta unidad es modificable, de modo que
se puede aplicar en la aproximación de integrales dobles o triples. A continuación se ilustra
el método de Simpson 1/3 en la solución de integrales dobles.
a) ∫ ∫π
0
3
0ysenxdxdy
Se divide el intervalo [ a, b] = [ 0, 3 ] en n = 6 subintervalos iguales, con lo que la amplitud de
cada subintervalo es igual a:
I0
π
y0
3xy sin x( )⋅
⌠⎮⌡
d⌠⎮⌡
d:= I 9.82022=
h13 0−
6:= h1 0.5=
f x( ) sin x( ):=
x0 0:= x1 x0 h1+:= x2 x1 h1+:= x3 x2 h1+:= x4 x3 h1+:= x5 x4 h1+:= x6 x5 h1+:=
I1 3 0−( )f x0( ) 4 f x1( ) f x3( )+ f x5( )+( )⋅+ 2 f x2( ) f x4( )+( )⋅+ f x6( )+
3 6( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅:=
I1 1.9907=
114
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
115
Se divide el intervalo [ a, b] = [ 0, π ] en n = 8 subintervalos iguales, con lo que la amplitud de
cada subintervalo es igual a:
g y( ) I1 y⋅:= h2π 0−
8:= h2 0.393=
y0 0:= y1 y0 h2+:= y2 y1 h2+:= y3 y2 h2+:= y4 y3 h2+:= y5 y4 h2+:= y6 y5 h2+:=
y7 y6 h2+:= y8 y7 h2+:=
I2 π 0−( )g y0( ) 4 g y1( ) g y3( )+ g y5( )+ g y7( )+( )⋅+ 2 g y2( ) g y4( )+ g y6( )+( )⋅+ g y8( )+
3 8( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅:=
I2 9.8237=
Se divide el intervalo [ a, b] = [ 0, 4 ] en n = 4 subintervalos iguales, con lo que la amplitud de
cada subintervalo es igual a:
I1
3y
0
4xex y+⌠
⎮⌡
d⌠⎮⌡
d:= I 930.85274=
h14 0−
4:= h1 1=
f x( ) ex:=
x0 0:= x1 x0 h1+:= x2 x1 h1+:= x3 x2 h1+:= x4 x3 h1+:=
I1 4 0−( )f x0( ) 4 f x1( ) f x3( )+( )⋅+ 2 f x2( )( )⋅+ f x4( )+
3 4( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅:=
I1 53.8638=
Se divide el intervalo [ a, b] = [ 1, 3 ] en n = 6 subintervalos iguales, con lo que la amplitud de
cada subintervalo es igual a:
g y( ) I1 ey⋅:= h23 1−
6:= h2 0.333=
y0 0:= y1 y0 h2+:= y2 y1 h2+:= y3 y2 h2+:= y4 y3 h2+:= y5 y4 h2+:= y6 y5 h2+:=
I2 3 1−( )g y0( ) 4 g y1( ) g y3( )+ g y5( )+( )⋅+ 2 g y2( ) g y4( )+( )⋅+ g y6( )+
3 6( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅:=
I2 344.162=
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
4.4 Aplicaciones Antecedentes:
La determinación de la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de un material
es un problema con el que a menudo nos enfrentamos. La característica necesaria para
llevar acabo este calculo es la capacidad calorífica c . este parámetro representa la cantidad
de calor requerida para elevar una unidad de temperatura en una unidad de masa. Si c es
constante en el intervalo de temperatura que se examinan, el calor requerido
TmcH Δ=Δ ............EC. 1
donde c esta en , m = masa (g) y )/( Cgcal °⋅ TΔ = cambio de temperatura . Y la
ecuación para calcular el promedio
)( C°
:)(Tc
12
2
1
TT
dTTcTc
T
T
−=
∫ )()(
........................EC. 2
donde . 12 TTT −=Δ
Nota : para hallar el valor exacto de la función se debe sustituir la ecuación 2 en la ecuación
1.
La capacidad calorífica de un material podría aumentar con la temperatura de acuerdo con
la relación tal como
274 10642105611320 TxTxTc −− ++= ...)(
con 1000 gramos de material desde –100 hasta 200 °C.
Determine:
a) El valor exacto de la integral
] ( ) ∫∫
=−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=Δ=Δ=Δ 2
1
2
112
12
T
T
T
T dtTcmTTTT
dtTcmtTcmTmcH )(
)()()()[(
116
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
1000100−
200
T0.132 0.000156 T+ 0.000000264 T 2+( )⌠⎮⌡
d⋅ 42732.000000000000000→
b) Grafica
100 0 100 2000.1
0.15
0.20.174
0.119
c T( )
200100− T
c) Las integración numérica siguiente
• Regla del trapecio simple
c T( ) 0.132 0.000156T+ 0.000000264T2+:=
T0 100−:= c T0( ) 0.11904=m 1000:=
T1 200:= c T1( ) 0.17376=
I1 T1 T0−( )c T0( ) c T1( )+
2⋅:= I m I1⋅:= I 43920=
Regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 2
c T( ) 0.132 0.000156 T+ 0.000000264 T2+:=
h200 100−( )−
2150→:= T0 100−:= c T0( ) 0.11904=
T1 T0 h+ 50→:= c T1( ) 0.17376=n 2:=
m 1000:= T2 T1 h+ 200→:= c T2( ) 0.17376=
I1 T2 T0−( )c T0( ) 2 c T1( )⋅+ c T2( )+
2n⋅:=
I m I1⋅:= I 43029=
117
UNIDAD IV / DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA
118
• Regla de Simpson de 1/3
c T( ) 0.132 0.000156 T+ 0.000000264 T 2+:=
h200 100−( )−
2150→:= T 0 100−:= c T 0( ) 0.11904=
T 1 T 0 h+ 50→:= c T 1( ) 0.14046=
m 1000:= T 2 T 1 h+ 200→:= c T 2( ) 0.17376=
I1 T 2 T 0−( )c T 0( ) 4 c T 1( )⋅+ c T 2( )+
6⋅:=
I m I1⋅:= I 42732=
• Regla de Simpson de 1/3 de aplicación múltiple n = 5
I 39413.6=I m I1⋅:=
I1 3000.11904 4 0.12618 0.14617+( )+ 2 0.13523 0.15901+( )+ .17376+
15⋅ 39.413600000000000001→:=
m 1000:=
c T 5( ) 0.17376=c T 4( ) 0.15901=
c T 3( ) 0.14617=T 5 T 4 h+ 200→:=c T 2( ) 0.13523=c T 1( ) 0.12618=c T 0( ) 0.11904=
T 4 T 3 h+ 140→:=T 3 T 2 h+ 80→:=T 2 T 1 h+ 20→:=T 1 40−:=T 0 100−:=
c T( ) 0.132 0.000156 T+ 0.000000264 T 2+:=
h300
560→:=
• Regla de Simpson de 3/8
h3003
100→:=c T( ) 0.132 0.000156 T+ 0.000000264 T2+:=
T0 100−:= T1 0:= T2 T1 h+ 100→:= T3 T2 h+ 200→:=
c T0( ) 0.11904= c T1( ) 0.132= c T2( ) 0.15024= c T3( ) 0.17376=
m 1000:=
I1 3000.11904 3 0.132 .15024+( )+ .17376+
8⋅ 42.732000000000000000→:=
I m I1⋅:= I 42732=
UNIDAD 5
SOLUCION DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Objetivo: Aplicara los métodos numéricos para la
solución de problemas de diferenciación
de integración numérica, usando un
lenguaje de programación.
.
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
5.1. Método de un paso
El objetivo del método es obtener una aproximación al problema
),,( yxfdxdy
= bxa ≤≤
con la condición inicial, 00 )( yxy = .
Inicialmente no se obtendrá una aproximación continua de la solución y(x), sino que se
generarán aproximaciones de y en varios puntos, llamados puntos de red, en el intervalo [a , b].
Una vez que se obtenga la solución aproximada en estos puntos, es posible encontrar un
polinomio de interpolación que se ajuste a los valores (tabulados) obtenidos. Supondremos que
los puntos de la red están distribuidos uniformemente sobre el intervalo [a , b]. Podemos
garantizarlo, escogiendo un entero positivo N y seleccionando los puntos de red
nxxxx <<<< ...210 donde
ihxxi += 0 , para cada i = 0, 1, 2, ..., N
La distancia común entre los puntos,
Na - b = h
se llama tamaño de paso, y el punto inicial, (x0 , y0), es el único punto conocido de la solución
exacta.
La aproximación y1 en el próximo punto x1 de la red está determinado por la recta tangente a la
curva y en el punto (x0 , y0):
119
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
120
Como
,dx
= )y,xf( = )x(y’ = x - x 000
01
01 dyy - y
entonces,
( ) ( )000101 , yxfxxyy −=−
Por lo tanto,
( )0001 , yxhfyy +=
Y, en general,
),(1 nnnn yxhfyy +=+
con nn xxh −= +1
La solución explícita es y = 2ex - x - 1, y para el punto x20 = 1 se tiene que y (x 20) = 3.4365637.
5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado Método de Euler
Este método fue ideado por Euler hace más de 200 años. Es bastante sencillo, pero no tan
preciso como los otros métodos que veremos posteriormente. Sin embargo, el método de
Euler sirve como punto de partida hacia técnicas alternativas que aparecerán según se
considere.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi
),( ii yxf=φ
donde f (X i, Y i) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá
substituirse en la ecuación nos queda que :
hyxfyY iiii ),(+=+1
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Esta fórmula es conocida como el método de Euler ( o Euler- Caunchy o de un punto medio).
Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el
valor original de X) que habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h
Ejemplo:
Método de Euler
Enunciado del problema : utilícese el método de Euler para la ecuación
f x( ) 0.5− x4 4x3+ 10x2− 8.5x+ 1+:=
De x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1.
Solución:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===
+−+−=
=
5.0?)4(1)0(
5.820120.2)( 23
hyy
xxxdx
xdf
PVI
121
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
f x( ) 0.5− x4 4x3+ 10x2− 8.5x+ 1+:=x 0 0.0001, 4..:=
0 1 2 3 4
10
5
5
10
f x( )
xf x( )d
d
x
5.250005.87500
5.125004.500004.75000
5.87500
7.125007.00000
3.25000
1.00000
3.218753.000002.218752.00000
2.71875
4.000004.71875
3.00000
0.00000
1.00000
2.00000
3.00000
4.00000
5.00000
6.00000
7.00000
8.00000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejercicios:
Enunciado del problema : utilícese el método de Euler para la ecuación
f x( ) 0.5− x4 4x3+ 10x2− 8.5x+ 1+:=
De x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.25. La condición inicial en x = 0 es y = 1.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===
+−+−=
=
25.0?)4(1)0(
5.820120.2)( 23
hyy
xxxdx
xdf
PVI
122
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
3.12500
4.179694.492194.34375
3.968753.55469
3.242193.125003.250003.61719
4.179694.84375
5.468755.867195.80469
5.00000
3.12500
1.00000
2.560553.218753.279303.00000
2.591802.218751.998052.000002.24805
2.718753.34180
4.000004.529304.71875
4.31055
3.00000
0.00000
1.00000
2.00000
3.00000
4.00000
5.00000
6.00000
7.00000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Análisis de error en el método de Euler
La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de
error :
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las
técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo , que son el resultado del numero limite de cifras significativas
que pueden retener una computadora.
Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de
truncamiento local que puede que resulta al aplicar el método en cuestión en un paso. El
123
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
segundo error de programación que resulta de las aproximaciones producidas durante los
pasos anteriores. La suma de los dos es el error de truncamiento global.
Ejercicio: Resuelva el siguiente
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===
−=
2.0?)1(2)0(
)(
hyy
yxdxdy
PVI
mediante el método de Euler
1.60000
1.320001.13600
1.02880 0.983040.98643
0.00000
-0.30000-0.44800 -0.50160 -0.50304-0.48304
-1.00000
-0.50000
0.00000
0.50000
1.00000
1.50000
2.00000
1 2 3 4 5 6
Ejercicios: Un tanque cilíndrico de fondo plano con un diámetro de 1.5 m contiene un líquido
de densidad ρ = 1.5 kg/L a una altura a de 3 m. Se desea saber la altura del líquido dentro
del tanque tres minutos después de que se abre completamente la válvula de salida, la cual
124
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
125
da un gasto de gaA 260. , donde A es el área seccional del tubo de salida y es
m2 y g = 9.81 m/s2.
sm /3
410578 −x.
Solución El vaciado el llenado de un tanque cilíndrico se modela haciendo un balance de materia con
las siguiente expresión :
306
0180=
−=h
Acumulación = entrada – salida gaAdt
dV 2600 .−=ρ
donde :
ahrV 22π= 750 ).(π=
entonces :
gaAdtda 260.−=750 2).(π ga
gaAdtda 200266530
750260
2 .).(
.−=
−=
π
Al considerar como tiempo cero el momento el abrir momento de abrir la válvula y además la
altura buscada a un tiempo de 3 minutos (180 segundos), se llega
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎧dtda
⎨=
=
−=
?)()(
.
18030
200266530
ama
ga
PVI
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
En virtud de que la exactitud de los resultados que se esperan no es grande, se usa el
método de Euler para resolver este PVI.
Tiempo (s) 0 30 60 90 120 150 180
a (m) 3.00 2.39 1.84 1.36 0.95 0.60 0.33
Ejercicios : Calcule el tiempo necesario para que el nivel del liquido del tanque esférico con
radio r = 5 m mostrado en la figura pase de 4 m a 3 m. La velocidad de salida por el orificio
del fondo es av 8954.= m/s, el diámetro de dicho orificio es de 10 cm
Solución :
Balance de materia en el tanque
Acumulación = entrada – Salida
ρρ AvdtdV
−= 0
126
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
127
donde v es el volumen del líquido en el tanque que, en función de la altura esta dado por
)(53
2 aa3
V −= π 3m
A es el área del orificio de salida
2104
).(π
=A 2m
y
av 8954.= m/s
Estas cantidades se sustituyen en la primera ecuación y se tiene
adt
aad895410
43
52
32
.).()( ππ −=
−
Se deriva
adtdaa
dtdaa 8954
410
3310
22
.).(
−=−
y al despejar se tiene
)().(.
2
2
104108954aa
adtda
−−
=
que con la condición inicial y la pregunta forma el siguiente y la pregunta forman el siguiente
PVI(problema de valor inicial)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
−−=
mama
aaa
dtda
PVI340
101223750
2
(?))(
)(.
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
128
Con el Método de Euler y un paso de integración de h = 10 segundos, se tiene
Por lo tanto el tiempo necesario para que el nivel del liquido dentro del tanque esférico pase
de 4 a 3m es aproximadamente 100 segundos.
Método de Euler mejorado. En el método de Euler se tomo como valida para todo el primer subintervalo la derivada
encontrada en un extremo de este. Para obtener una exactitud razonable se utiliza un
intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor 8 ya que se realizara mas
cálculos).
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de
la derivada tomada en los extremos del intervalo, en lugar de la derivada tomada en un solo
extremo.
El método de Euler modificado consta de dos pasos básicos :
1. Se parte de y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de
correspondiente a . Este valor de se denotara aquí como
( 00 , yx
1x
) y
y 1y , ya que solo es un
valor transitorio para . Esta parte del proceso se conoce como paso predictor. 1y
2. El segundo paso se llama corrector , pues trata de corregir la predicción. En el
nuevo punto obtenido ( )11, yx se evalua la derivada ( )11, yxf usando la ecuación
diferencial ordinaria PVI que se este resolviendo; se obtiene la media aritmética de
esta derivada y la derivada en el punto inicial ( )00 , yx .
s
q
5E
U
N
o
D
v
p
d
se usa la deri
que deberá s
5.1.2 MétoEs la resoluci
( , )dy f x ydx
=
Utilizando un
Nuevo valor =
o en términos
1i iY y hφ+ = +
De acuerdo c
valor anterior
puede aplicar
de la solución
U
[21
ivada promed
er mas exact
y
odo de Rungeión de ecuaci
)
método num
= valor anterio
s matemático
h
con esta ecu
r Yi a un nue
r paso a paso
n.
NIDAD V / S
( )[ 00 , fyxf +
dio para calcu
Y i =+1
to que y1.
( 101
xyy +=
e – Kutta iones diferenc
mérico se pued
or + pendient
s como :
uación, la pen
vo valor Yi+1
o para calcula
SOLUCION
( )]11 , yxf = d
ular un nuevo
xfy i (+
) ([ 00 ,
2xf
x−
ciales de la fo
de resolver un
te * tamaño d
ndiente estim
en una dista
ar el valor en
DE ECUAC
derivada prom
valor de y1 ,
hyx ii ),
) ( 10 , yxfy +
orma
na ecuación c
el paso
mada φ se us
ancia h (ver g
el futuro y, p
CIONES DIF
medio
con la ecuac
)]1y
como :
sa para extra
gráfico Nº1). E
por tanto, traz
ERENCIALE
1
ión
apolar desde
Esta fórmula
ar la trayecto
ES
129
un
se
oria
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
130
Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma general, que sólo va a
diferir en la manera en la cual se estima la pendiente. El procedimiento mas simple es usar
la ecuación diferencial para estimar la pendiente derivada en Xi al inicio del intervalo. En
otras palabras, la pendiente al inicio del intervalo es tomada como una aproximación de la
pendiente promedio sobre todo el intervalo. Este procedimiento se llama método de Euler.
Existen otros métodos de un paso que cumplen estimaciones de pendiente en forma alterna
y cuyas resultantes serán predicciones mas exactas. Todas estas técnicas se conocen por lo
general como métodos de Runge-Kutta.
Método de Runge-Kutta
Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de una serie de
Taylor sin requerir el calculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero
todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación :
1 ( , , )i i i iY y x y h hφ+ = +
donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, al cual puede interpretarse como una
pendiente representativa sobre el intervalo. La función incremento se escribe por lo general
como :
1 1 2 2 ... n na k a k a kφ = + + +
donde a son constantes y las k son :
1
2 1 11 1
3 2 21 1 22 2
1 1 1 1,2 2 1, 1
( , )( , )( , )( , ... )
i i
i i
i i
n i n i n n n n n
k f x yk f x p h y q k hk f x p h y q k h q k hk f x p h y q k h q k h q k h− − − − −
=
= + += + + += + + + + + 1−
Observe que las k son relaciones de concurrencia. Esto es k1 aparece en la ecuación para
k2, que apareces en la ecuación de k3,etc. Esta recurrencia hace a los métodos RK
eficientes para su calculo en computadoras.
Es posible concebir varios tipos de métodos de Runge-Kutta al emplear diferentes números
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
131
de términos en la función incremento como la especificada por n. Observe que el método de
Runge-Kutta (RK) de primer orden con n = 1 es, de hecho, el método de Euler.
Una vez que se elige n, se evalúan las a,p y q al igualar la ecuación [10] a los termino de la
serie de expansión de Taylor .Así al menos para las versiones de orden inferior, el numero
de términos n con frecuencia representa el orden de la aproximación.
Método de Runge-Kutta de segundo Orden
La versión de segundo orden de la ecuación [10]
1 1 1 2 2
1
2 1 11 1
( )( , )( , )
i i
i i
i i
Y y a k a k hk f x yk f x p h y q k h
+ = + +== + +
Los valores para a1,a2,p1 y q11 son evaluados al igualar el termino se segundo orden de la
ecuación Yi+1 en [12] con la expansión de la serie de Taylor. Para realizar esto,
desarrollamos tres ecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas. Las tres
ecuaciones son :
1 2
1 2
2 11
11212
a a
a p
a p
+ =
=
=
Ejemplo : Método RK de segundo orden:
F ( x , y) = - 2 x 3 + 12 x 2 – 20 x + 8.5
Desde x = 0 hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5.
La condición inicial en x = 0 es y = 1.
Solución:
Y I + 1 = y I + ( 1/3 k 1 + 2/ 3 k 2) h
k 1 = f ( x i , y i )
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
k 2 = f ( x I + 3/4 h , y I + 3/4 hk1 )
φ = 1/3k1 + 2/3 k2
X = 0 y = 1 h = 0.5
k 1 = f ( x i , y i )
K 1 0 f ( 0 , 1 ) = - 2 (0) 3 + 12 (0) 2 – 20 (0) + 8.5 = 8.5
k 2 = f ( x I + 3/4 h , y I + 3/4 hk1 )
K 2 = f [ ( 0 +3/4 ( 0.5) , 1 + 3/4 (0.5)(8. 5 )] =
K 2 = f ( 0.375 , 4.1875 )
= - 2 (0.375) 3 + 12 (0.375) 2 – 20 (0.375) + 8.5 =
= 2.58203125
φ = 1/3k1 + 2/3 k2
φ = 1/3( 8.5 ) + 2/3 (2.58203125) = 4.5546875
Y I + 1 = y I + ( 1/3 k 1 + 2/ 3 k 2) h
Y (0.5) = 1 + 4.5546875 ( 0.5 ) = 3. 27734375
X = 0.5 y = 3.27734375 h = 0.5
k 1 = f ( x i , y i )
K1 = f ( 0.5 , 3. 27734375 )
= - 2 (0.5) 3 + 12 (0.5) 2 – 20 (0.5) + 8.5
= 1.25
132
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
k 2 = f ( x I + 3/4 h , y I + 3/4 hk1 )
K 2 = f [ ( 0.5 +3/4 ( 0.5) , 3.27734375 + 3/4 (0.5)(1.25 )] =
K 2 = f ( 0.875 , 3.74609375 )
= - 2 (0.875) 3 + 12 (0.875) 2 – 20 (0.875) + 8.5
= - 1.15234375
φ = 1/3k1 + 2/3 k2
φ = 1/3( 1.25 ) + 2/3 (- 1.15234375) = - 0.3515625
Y I + 1 = y I + ( 1/3 k 1 + 2/ 3 k 2) h
Y (0.5) = 3.27734375 + ( - 0. 3515625) ( 0.5 ) = 3.1015625
X Y verdadera
Ralston RK ⏐∈ v⏐ 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
1.00000
3.21875
3.00000
2.21875
2.00000
2.71875
4.00000
4.71875
3.00000
1.00000
3.27734375
3.1015625
2.34765625
2.140625
2.85546875
4.1171875
4.80078125
3.03125
0
1.8
3.4
5.8
7.0
5.0
2.9
1.7
1.0
133
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
134
Método de Runge-Kutta de tercer Orden
Para n = 3, se puede hacer desarrollo similar al método de segundo orden. El resultado de
dicho desarrollo es de seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por tanto, se debe especificar
con antelación los valores para las dos incógnitas con el fin de establecer los parámetros
restantes. Una versión común que resulta es :
( )1 1 2
1
2 1
3 1
1 46
( , )1 1( , )2 2
( , 2
i i
i i
i i
i i
Y y k k k h
k f x y
k f x h y k h
k f x h y k h k h
+ = + + +
=
= + +
= + − +
3
2 )
5.2. Métodos de pasos múltiples Los métodos del tipo de Runge - Kutta (los cuales incluyen los métodos de Euler y de Euler
modificado como caso especial), se llaman métodos de un paso, debido a que solo utilizan la
información del último paso calculado. Es decir, a pesar de que estos métodos generalmente
0.00000
1.00000
2.00000
3.00000
4.00000
5.00000
6.00000
0 2 4 6 8 10
Y verdadera
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
135
usan información de evaluación funcional en puntos entre x1 y x i+1, no retienen esta
información para usarla directamente en aproximaciones futuras.
Las técnicas alternas, llamadas Métodos de Pasos Múltiples, se basan en el conocimiento de
que una vez que los cálculos se han iniciado, la información evaluada en puntos previos
sirve de guía. La curvatura de las líneas que conectan estos puntos anteriores proporciona
información referente a la trayectoria de la solución.
El principio fundamental de los Métodos de Pasos Múltiples es el de utilizar los valores
anteriores de y o y' para construir un polinomio que se aproxime a la función derivada, y
extrapolar este polinomio en el siguiente intervalo. La mayoría de los métodos utilizan
valores equiespaciados anteriores, para hacer que la construcción de polinomios sea fácil.
5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Problema : Pase la ecuación diferencial ordinaria
222
2
yxdxdy
dxyd
+=+
A un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas de primer orden.
Solución :
222
2
yxydx
yd++′−=
El cambio de variable es:
yy =1 ; yy ′=2
Al derivar la primera y sustituir en la segunda queda:
21 yy =′
Se deriva la segunda
yy ′′=′2
Y las nuevas variables se sustituyen en la ecuación diferencial, con lo cual resulta
21
222
21
yxyyyy
++−=′
=′
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
136
5.4. Aplicaciones Ejercicios:
En un tanque perfectamente agitado se tiene 400L de una salmuera en la cual están
disueltos 25 kg de sal común (NaCl), en cierto momento se hace llegar al tanque un gasto de
80 L/min de una salmuera que contiene 0.5 Kg. de sal común por litro. Si se tiene un gasto
de salida de 80 L/min determine.
a) ¿ Que cantidad de sal hay en el tanque transcurridos 10 minutos?
b) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque transcurridos un tiempo muy grande?
Solución:
a) si se llaman x los Kg. De sal en el tanque después de t minutos , la acumulación de
sal en el tanque esta dada por y por la expresión dtdx /
=dtdx
masa de sal que entra - masa de sal que sale
los valores conocidos se sustituyen y se llega a la ecuación :
xdtdx
xdtdx
2040
400805080
.
)().(
−=
−=
que con la condición inicial de que hay 25 Kg. De sal al tiempo cero, da el siguiente
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
−=
?)()(
.
10250
2040
xx
xdtdx
PVI
como vía de ilustración se utilizara un método de Runge - Kutta de tercer orden cuyo
algoritmo esta dado por:
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
)( 3211 46
kkkhyy ii +++=+
con
( )
( )123
12
1
222
hkhkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
−++=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=
=
,
,
,
y3 103.98=y3 y216
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:=
k3 19.704=k2 25.788=k1 23.458=
k3 40 0.2 y2 k1 h− 2 k2 h+( )−:=k2 40 0.2 y212
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:=k1 40 0.2 y2( )−:=
h 1:=y2 82.712:=x2 1:=
y2 82.712=y2 y116
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:=
k3 24.069=k2 25.788=k1 28.653=
x0 0:= y0 25:= h 1:=
k1 40 0.2 y0( )−:= k2 40 0.2 y012
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:= k3 40 0.2 y0 k1 h− 2 k2 h+( )−:=
k1 35= k3 29.4=k2 31.5=
y1 y016
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:= y1 56.733=
x1 1:= y1 56.733:= h 1:=
k1 40 0.2 y1( )−:= k2 40 0.2 y112
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:= k3 40 0.2 y1 k1 h− 2 k2 h+( )−:=
137
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
x3 1:= y 3 103.98:= h 1:=
k1 40 0.2 y 3( )−:= k2 40 0.2 y 312
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:= k3 40 0.2 y 3 k1 h− 2 k2 h+( )−:=
k1 19.204= k2 17.284= k3 16.131=
y 4 y 316
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:= y 4 121.392=
y 6 147.316=y6 y516
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:=
k3 13.206=k2 11.584=k1 12.871=
k3 40 0.2 y5 k1 h− 2 k2 h+( )−:=k2 40 0.2 y512
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:=k1 40 0.2 y5( )−:=
h 1:=y5 135.646:=x5 1:=
y 5 135.646=y5 y416
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:=
k3 13.206=k2 14.149=k1 15.722=
k3 40 0.2 y4 k1 h− 2 k2 h+( )−:=k2 40 0.2 y412
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:=k1 40 0.2 y4( )−:=
h 1:=y4 121.392:=x4 1:=
y8 164.69=y8 y716
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:=
k3 7.246=k2 7.764=k1 8.626=
k3 40 0.2 y7 k1 h− 2 k2 h+( )−:=k2 40 0.2 y712
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:=k1 40 0.2 y7( )−:=
h 1:=y7 156.869:=x7 1:=
y7 156.869=y7 y616
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:=
k3 10.811=k2 11.584=k1 10.537=
k3 40 0.2 y6 k1 h− 2 k2 h+( )−:=k2 40 0.2 y612
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:=k1 40 0.2 y6( )−:=
h 1:=y6 147.316:=x6 1:=
138
UNIDAD V / SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
x8 1:= y8 164.69:= h 1:=
k1 40 0.2 y8( )−:= k2 40 0.2 y812
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:= k3 40 0.2 y8 k1 h− 2 k2 h+( )−:=
k1 7.062= k2 6.356= k3 5.932=
y9 y816
k1 4 k2+ k3+( )⋅ h⋅+:= y9 171.093=
x9 1:= y9 171.093:= h 1:=
k1 40 0.2 y9( )−:= k2 40 0.2 y912
k1⋅ h⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−:= k3 40 0.2 y9 k1 h− 2k2 h+( )−:=
k1 5.781= k2 5.203= k3 4.856=
y10 y916
k1 4k2+ k3+( )⋅ h⋅+:= y10 176.335=
b) la solución se obtiene hasta que la cantidad de sal en el tanque no cambie con el
tiempo; esto es, hasta que se alcance régimen permanente.
Por lo tanto se obtuvieron los siguientes datos:
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BIBLIOGRAFIA
• Chapra Steven y Canale R. ; Métodos Numéricos para ingenieros; Ed. Mc Graw Hill
• Antonio Nieves – Federico C. Domínguez; Métodos numéricos aplicados a la ingeniería ;
Ed. CECSA
• Ing. Javier Rosas Margarito ; Métodos numéricos, teoría y programación en lenguaje C.;
Ed. Moya
• Nakamura Shoichiro; Métodos numéricos aplicados a software; Ed. Prentice Hall;
• Smith Allen; Análisis numérico; Ed.Prentice Hall
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