Cálculo de Capitales Cálculo de Capitales NecesariosNecesarios
Octubre de 2008
Agenda
• ¿Qué es el capital necesario?
• Elementos a considerar para su cálculo
– Valor presente
– Expectativas de vida
Antes…. ¿Qué es una pensión?
• Es el retiro de los ahorros acumulados en la/las cuentas de capitalización individual y el Bono de Reconocimiento.
– Cuenta de Capitalización Individual de Cotizaciones Obligatorias (CCICO)
– Cuenta de Capitalización Individual de Depósitos Convenidos (CCIDC)
– Cuenta de Capitalización Individual de Cotizaciones Voluntarias (CCICV)
– Cuenta de Capitalización Individual de Voluntarias Colectivas (CCIVC)
¿Cómo retiro los ahorros?
• El retiro de los ahorros debe realizarse de manera tal que permitan asegurar un flujo de estable recursos, cubriendo el tiempo de sobrevida posterior a la pensión, del grupo familiar involucrado.
Modelo Simple
• Saldo (S) : fondos disponibles al momento de pensionarse
• Sobrevida (N): sobrevida del grupo familiar en años
• Pensión Anual (P) : monto de pensión anual
SaldoPensión =
Sobrevida
Representación Gráfica
• Saldo (S) : 250 millones• Sobrevida (N): 25 años
P = S / N => Pensión Anual (P) = 10 millones
¿Qué limitación tiene este modelo?
• No considera que los ahorros permanecen en el fondo y continúan rentando
• No existe forma de conocer a priori la sobrevida de un grupo familiar
• El Cálculo de Capital Necesario es una metodología que nos permite incorporar estos dos elementos en el cálculo de la pensión
¿Cómo incorporamos la rentabilidad?
• Consideremos la pensión que pagaremos el año 15 de sobrevida (10 millones)
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Los 10 millones que pagaremos el año 15 permanecerán todo ese tiempo en el fondo
• ¿Tiene sentido reservar hoy 10 millones para pagarlos en 15 años?
• Si el fondo no rentara: SI
• Si el fondo renta: NO
• Como sabemos que el fondo renta:
NO TIENE SENTIDO RESERVAR HOY 10 MILLONES PARA PAGARLOS EN 15
AÑOS MÁS
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Tenemos que determinar una reserva hoy (C0) para pagar 10 millones el año 15
• Durante el primer año (año 0), el fondo rentó una tasa r0
• ¿Cuánto es la reserva C0 al término del primer año 0? (C1, reserva inicial para el año 1)
C1 = C0 * ( 1+ r0 )
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Aplicamos la misma lógica para el segundo año (C2, reserva inicial para el año 2)
C2 = C1 * ( 1+ r1 )
y como sabemos que C1 = C0 * ( 1+ r0 ), reemplazos en la fórmula anterior y obtenemos
C2 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 )
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Y sucesivamente para los años siguientes
C3 = C2 * ( 1+ r2 )
y como sabemos que C2 = C0 * ( 1+ r0 ) ( 1+ r1 ) , reemplazos en la fórmula anterior y obtenemos
C3 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Al inicio del año 15 tendremos una reserva C15 de
C15 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……*( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )
• Como el año 15 debemos pagar la pensión de 10 millones, entonces C15 lo igualamos a ese monto
¿Cuánto debo reservar hoy?
C15 = 10 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……*( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )
En consecuencia, para pagar 10 millones el año 15, debo reservar
C0 =( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……* ( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )
10 millones
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Como las rentabilidades futuras no las conocemos (r0, r1, r2, r3,….., r13, r14), debemos estimarlas
• Para efectos de simplificar, vamos a estimar que todas las rentabilidades futuras son iguales a r (r = r0= r1 = r2 = r3 =…..= r13 = r14)
C0 =( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……* ( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )
10 millones
C0 =( 1+ r ) * ( 1+ r ) * ( 1+ r )…. ……* ( 1+ r ) * ( 1+ r )
10 millones
C0 =( 1+ r )15
10 millones
¿Cuánto debo reservar hoy?
¿Cuánto debo reservar hoy?
• En términos generales, para pagar una Pensión Anual de un monto dado P en el año t, necesito reservar HOY:
Ct =( 1+ r )t
P
• Definiremos Ct como la reserva hoy para para pagar una pensión P en el año t
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Volviendo al ejemplo, debo reservar HOY para pagar una pensión anual de 10 millones desde el año 0 al año 25
• Para el año 0 debo reservar C0
• Para el año 1 debo reservar C1
• Para el año 2 debo reservar C2…..
• ……………
• Para el año 24 debo reservar C24
• Para el año 25 debo reservar C25
¿Cuánto debo reservar hoy?
• Entonces la reserva total (C) que debo hacer para pagar la pensión desde el año 0 al 25, es la suma de las reservas que debo hacer para cada año de pensión
C = C0 + C1 + C2 + C3 + ….. + C23 + C24 + C25
¿Cuánto debo reservar hoy?
C = C0 + C1 + C2 + C3 + ….. + C23 + C24 + C25
C = P/(1+r)0 + P/(1+r)1 + P/(1+r)2 +……
….. P/(1+r)22 + P/(1+r)23 + P/(1+r)24
C = P * ∑ 1/(1+r)t
Ct =( 1+ r )t
P
¿Qué plazo debo considerar en la reserva?
• De acuerdo a estudios realizados por las Superintedencias de Pensiones y de Seguros, se ha determinado que la reserva de se debe efectuar hasta los 110 años de vida
• Lo anterior no significa que no exista personas que vivan más de 110, si no que desde el punta de vista estadístico, son irrelevantes
¿Qué plazo debo considerar en la reserva?
C = P * ∑ 1/(1+r)t-edad
Con t variando de t=edad hasta t=110
• Por lo tanto, la formula determinar la reserva se debe considerar desde hoy hasta que el beneficiario cumpla los 110 años.
En resumen…..
C: Reserva de Capital P: Pensión Anual x: edad
• La primera aproximación que hicimos era:
• Ahora la reserva de capital es:
C = P * (110-x)
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x
Con t variando de t=x hasta t=110
Ejemplo…..
Pensión anual de 10 millones para una persona de 70 años
Con la primera aproximación
C = P * (110-X) => C = 10 * 40 = 400 mill
Con la segunda aproximación (tasa 4%)
C = P*∑ 1/(1+r)t-70 => C = 10*19.79
= 197.93 millCon t variando de t=70 hasta t=110
¿Es suficiente esta segunda aproximación?
• ¿Qué supuesto hay involucrado?
• Considera que todas las personas viven hasta los 110 años, lo que sabemos que no es así
• ¿Cómo incorporamos la expectativa de vida en el cálculo?
Volvamos…..
Ct =( 1+ r )t
P• Reserva de capital para pagar P en el año t
• Esta reserva de capital Ct la multiplicaremos por la probabilidad de pagarla, es decir, que el pensionado este vivo el año t
Ct =( 1+ r )t
Ppt
¿Cómo cambia la reserva de capital?
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x
Ahora es……
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt
Con t variando de t=x hasta t=110
¿Qué implicancias tiene?
• Dado que la probabilidad siempre es menor o igual a 1, significa que al incorporar la expectativa de vida, necesito reservar menos capital que en la formula anterior, por lo tanto a un mismo capital puedo pagar pensiones más altas.
• ¿Cómo calculo las probabilidades pt?
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt
Cálculo de pt
• Para el cálculo de pt debemos utilizar las tablas de mortalidad, que definen en conjunto las Superintendencias de Pensiones y de Valores y Seguros
• Existen las siguientes tablas de mortalidad
• Causantes
• Beneficiarios
• Se diferencia por sexo e invalidez
Cálculo de pt
• En consecuencia existen 6 tablas de mortalidad
• Causantes Hombres• Causante Mujeres• Beneficiarios Hombres• Beneficiarios Mujeres• Hombres Inválidos• Mujeres Inválidas
¿Qué es una tabla de mortalidad?
• Nos indica el porcentaje de la población de una edad determinada que muere a esa edad
• Por ejemplo, de todas las personas de 70 años cuántos mueren teniendo 70 años
• A dicho valor le llamaremos el q70
• Así se obtiene una tabla para para todas las edades qx
Tabla de MortalidadEdad qx
20 0,000532847 21 0,000569311 22 0,000608271 23 0,000649897 24 0,000694371 25 0,000747944
98 0,278723463 99 0,290358745
100 0,302470436 101 0,315205839 102 0,328313256 103 0,341965728 104 0,356185919 105 0,370997438 106 0,386424874 107 0,402493840 108 0,419231013 109 0,436664178 110 1,000000000
Gráficamente qx (Causantes)
Tablas de Mortalidad
• La tabla anterior corresponde a los valores para el año 2008
• Las tablas de mortalidad son dinámicas, esto significa que la probabilidad de morir a los 60 años el año 2008 no es la misma de morir a los 60 años el año 2020
• El modelo de tablas de mortalidad incluye el aumento en la expectativa de vida de la población
Evolución qx para 60 años(Causante Hombre)
Comparación Tabla 2008, 2020 y 2040(Causantes Hombres)
¿Qué significa lo anterior?
• Significa que todos aquellos que tiene la misma edad “actuarial” en un año dado, tienen la misma tabla de mortalidad
• La tabla de mortalidad de las personas 60 años “actuariales” el año 2008 es distinta a la de las personas de 60 años “actuariales” el año 2020
Tabla de Mortalidad DinámicaCausantes Hombres 2.004
Edad Ax qx 20 0,0166 0,000532847 21 0,0166 0,000569311 22 0,0166 0,000608271 23 0,0166 0,000649897 24 0,0166 0,000694371 25 0,015 0,000747944 26 0,015 0,000799128
60 0,0093 0,008569178 61 0,0093 0,009414724 62 0,0093 0,010346090 63 0,0093 0,011379720 64 0,0093 0,012533073 65 0,0088 0,013929636 66 0,0088 0,015416168 67 0,0088 0,017008919 68 0,0088 0,018736030 69 0,0088 0,020599505
104 0 0,356185919 105 0 0,370997438 106 0 0,386424874 107 0 0,402493840 108 0 0,419231013 109 0 0,436664178 110 0 1,000000000
• Para cada tipo de tabla existe una tabla base con un factor de mejoramiento (Ax) que permite calcular los qx para lo años siguientes, por medio de la fórmula:
• qx año y = qx año base (1-Ax) y-año base
• Ejemplo tabla causante hombre, la tabla base es al año 2004:
• Determinar el qx de 60 años el año 2020
• q60 año 2020 = q60 año 2004 (1-A60) 2020-2004
• q60 año 2020 = 0,008569178 (1-0,0093)16
• q60 año 2020 = poner valor
• Con la fórmula anterior construimos la tabla general completa de mortalidad para causante hombre
Tabla de Mortalidad Dinámica(Causante Hombre)
Edad 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 qx
20 0,00049834 0,00049006 0,00048193 0,00047393 0,00046606 0,00045833 0,00045072 0,00044324 0,00043588 0,00042864 0,00042153 0,00049834
21 0,00053244 0,0005236 0,00051491 0,00050636 0,00049796 0,00048969 0,00048156 0,00047357 0,00046571 0,00045798 0,00045037 0,00052360
22 0,00056888 0,00055943 0,00055015 0,00054101 0,00053203 0,0005232 0,00051452 0,00050598 0,00049758 0,00048932 0,00048119 0,00055015
23 0,00060781 0,00059772 0,00058779 0,00057804 0,00056844 0,00055901 0,00054973 0,0005406 0,00053163 0,0005228 0,00051412 0,00057804
24 0,0006494 0,00063862 0,00062802 0,00061759 0,00060734 0,00059726 0,00058735 0,0005776 0,00056801 0,00055858 0,00054931 0,00060734
25 0,00070407 0,00069351 0,0006831 0,00067286 0,00066276 0,00065282 0,00064303 0,00063338 0,00062388 0,00061453 0,00060531 0,00065282
26 0,00075225 0,00074096 0,00072985 0,0007189 0,00070812 0,0006975 0,00068703 0,00067673 0,00066658 0,00065658 0,00064673 0,00068703
27 0,00080373 0,00079167 0,0007798 0,0007681 0,00075658 0,00074523 0,00073405 0,00072304 0,00071219 0,00070151 0,00069099 0,00072304
28 0,00085873 0,00084585 0,00083316 0,00082066 0,00080835 0,00079623 0,00078428 0,00077252 0,00076093 0,00074952 0,00073827 0,00076093
29 0,00091749 0,00090373 0,00089018 0,00087682 0,00086367 0,00085072 0,00083795 0,00082539 0,000813 0,00080081 0,0007888 0,00080081
30 0,00099289 0,00097939 0,00096607 0,00095293 0,00093997 0,00092719 0,00091458 0,00090214 0,00088987 0,00087777 0,00086583 0,00086583
2088 2089 2090 2091 2092 2093 2094 2095 2096 2097 2098
100 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044
101 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584
102 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326
103 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573
104 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592
105 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744
106 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487
107 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384
108 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101
109 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418
110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,00000000
• Se ingresa a la tabla por edad actuarial y año (ejemplo 20 años actuariales el 2008)
Tabla de Mortalidad Dinámica
• De esta forma construimos la tabla de mortalidad específica para un causante hombre de 20 años actuariales el año 2008
• Cada vez que calculamos un CNU, debemos construir la tabla de mortalidad específica (qx) para cada miembro del grupo familiar
• Para esto escogemos la tabla de mortalidad general a aplicar a cada uno:• Causante o Beneficiario• Inválido o Normal• Hombre o Mujer
Cálculo de Edad Actuarial
• La edad actuarial corresponde a la edad que se cumple en una ventana de +/- seis meses a la fecha de cálculo.
• Por ejemplo:• Fecha de nacimiento: 12/11/1966• Fecha de cálculo: 28/08/2008• Ventana: 28/02/2008 a 28/02/2009• En esa ventana de tiempo cumple 42 años• Edad actuarial 42 años
¿Cómo calculamos el px?
• Recordemos….
• Ct reserva de capital hoy para pagar pensión P el a la edad t
• pt probabilidad de pagar la pensión a la edad t
• r rentabilidad estimada del fondo
Ct =( 1+ r )t-x
Ppt
¿Cómo calculamos el px?
• A partir de las tablas de mortalidad…Tabla Específica
Edad Año qxX Y qx yX+1 Y+1 qx+1 y+1X+2 Y+2 qx+2 y+2X+3 Y+3 qx+3 y+3X+4 Y+4 qx+4 y+4X+5 Y+5 qx+5 y+5X+6 Y+6 qx+6 y+6X+7 Y+7 qx+7 y+7X+8 Y+8 qx+8 y+8X+9 Y+9 qx+9 y+9X+10 Y+10 qx+10 y+10X+11 Y+11 qx+11 y+11X+12 Y+12 qx+12 y+12X+13 Y+13 qx+13 y+13
Hasta los 110 años
Tabla Específica 72 años el 2008Edad Año qx
72 2009 0,02597927 73 2010 0,02817935 74 2011 0,03060069 75 2012 0,03345470 76 2013 0,03643552 77 2014 0,03970752 78 2015 0,04334507 79 2016 0,04737493 80 2017 0,05183112 81 2018 0,05853015 82 2019 0,06596586 83 2020 0,07391240 84 2021 0,08264633 85 2022 0,09201798
106 2043 0,38642487 107 2044 0,40249384 108 2045 0,41923101 109 2046 0,43666418 110 2047 1,00000000
¿Cómo calculamos el px?
• ¿Si tengo 60 años, cual es la probabilidad de estar vivo a los 61?
• Si estoy vivo a los 60 la probabilidad de estar vivo a los 60 es 1
• Si estoy vivo a los 60 ¿cuál es la probabilidad de estar vivo a los 61?
• Se deben cumplir dos condiciones:
• Estar vivo a los 60
• No morirse a los 60
• p (vivo a los 60) * p (no morir a los 60)
¿Cómo calculamos el px?
• En términos generales:
• Pt = Pt-1 * P (no morir en t-1)
• Y así sucesivamente:
• Pt-1 = Pt-2 * P (no morir en t-2)
• Pt-2 = Pt-3 * P (no morir en t-3)
• P (no morir en t) = (1-qt) (lo obtenemos de la tabla)
• Por lo tanto tenemos
• Pt = Pt-1 * (1-qt-1) = Pt-2 (1-qt-2) * (1-qt-1)
¿Cómo calculamos el px?
• Volvamos al ejemplo…. Si está vivo a los 60 años, ¿cuál es la probabilidad de estar vivo a los 70 años?
• p70 = p60 *(1-q60)*(1-q61)*(1-q62 )*(1-q63 )* (1-q64)*(1-q65 )*(1-q66 )*(1-q67 )*(1-q68 )*(1-
q69 )
• Como sabemos a que a los 60 está vivo tenemos que p60 es igual a 1
• Por lo tanto
• p70 = 1 *(1-q60)*(1-q61)*(1-q62 )*(1-q63 )* (1-q64)*(1-q65 )*(1-q66 )*(1-q67 )*(1-q68 )*(1-q69 )
¿Cómo cambia la reserva de capital?
Por lo tanto ya tenemos completa nuestra fórmula
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt
Con t variando de t=x hasta t=110,
x es la edad
En resumen…..
• Veremos una metodología que permite implementar los cálculos anteriores en una forma estructurada
• Hasta aquí tenemos determinado como calcular el CNU para una persona. Veremos como debemos determinar el CNU de un grupo familiar.
Metodología de Cálculo
• Introduciremos los siguientes conceptos que son utilizados por esta metodología de cálculo para determinar los capitales necesarios :
• Lx Dx Nx (x: edad)
• Comenzamos con Lx
• Es la probabilidad de una persona específica de estar vivo a la edad x
• A continuación veremos como lo calculamos
• x se refiera a la edad a la fecha de cálculo y t es una edad cualquiera entre x y 110
Cálculo de Lx
Edad (x) Año q(x) L(x) 88 2008 0,126988601 1,00000000 89 2009 0,138651292 90 2010 0,150991942 91 2011 0,164077881 92 2012 0,177926719 93 2013 0,192384360 94 2014 0,207575829 95 2015 0,223266185 96 2016 0,239916432 97 2017 0,256997090 98 2018 0,277944051 99 2019 0,289923511
100 2020 0,302470436 101 2021 0,315205839 102 2022 0,328313256 103 2023 0,341965728 104 2024 0,356185919 105 2025 0,370997438 106 2026 0,386424874 107 2027 0,402493840 108 2028 0,419231013 109 2029 0,436664178 110 2030 1,000000000
• Como sabemos que tiene 88 años el año 2008 y que está vivo L88 es 1, ya que la probabilidad de estar vivo es 1 si está vivo
• Como vimos antes, la probabilidad de estar vivo a los 89 años el año 2009 es la probabilidad de estar vivo a los 88 el año 2008 y no morirse a los 88 años el año 2008:
• L89 = L88 * (1-q88)• Así sucesivamente se construye la
tabla de Lx
• L90 = L89 * (1-q89)
• L91 = L90 * (1-q90)……
• L110 = L109 * (1-q109)
• L111 = L110 * (1-q110) = L111 = L110 * (1-1) = 0
Cálculo de Lx
Edad (x) Año q(x) L(x)
88 2008 0,126988601 1,00000000
89 2009 0,138651292 0,87301140
90 2010 0,150991942 0,75196724
91 2011 0,164077881 0,63842625
92 2012 0,177926719 0,53367462
93 2013 0,192384360 0,43871965
94 2014 0,207575829 0,35431685
95 2015 0,223266185 0,28076923
96 2016 0,239916432 0,21808296
97 2017 0,256997090 0,16576127
98 2018 0,277944051 0,12316111
99 2019 0,289923511 0,08892921
100 2020 0,302470436 0,06314654
101 2021 0,315205839 0,04404658
102 2022 0,328313256 0,03016284
103 2023 0,341965728 0,02025998
104 2024 0,356185919 0,01333176
105 2025 0,370997438 0,00858318
106 2026 0,386424874 0,00539884
107 2027 0,402493840 0,00331259
108 2028 0,419231013 0,00197930
109 2029 0,436664178 0,00114951
110 2030 1,000000000 0,00064756
• De esta forma estructurada tenemos calculados todos los Lx desde los 88 hasta los 110 años
• Recordemos Lx es la probabilidad de estar vivo a la edad x
Como se inserta lo anterior dentro de nuestra fórmula
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt
Con t variando de t=x hasta t=110
• Lo que hemos hecho calculando los Lx es calcular todos los valores de pt de la fórmula anterior
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt
Con t variando de t=x hasta t=110
Ahora determinamos Dx
• Dt lo definimos como el valor presente de la reserva para un período t a la edad 0 (con x<= t <=110)
Volviendo a nuestra formula
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt
Con t variando de t=x hasta t=110
Si tomamos t=x tenemos:
Lx / (1+r)x-x = Lx = 1
Que es el valor presente de Lx a la edad x del cálculo (en nuestro ejemplo anterior 88 años)
Ahora determinamos Dx
Lx =1
Es el valor presente de Lx a la edad x del cálculo
Para calcular Dx, valor presente de Lx a la edad 0, debemos hacer lo siguiente:
Dx = Lx / (1+r)x
Dx = 1 / (1+r)x
Ahora determinamos Dt (para x<= t <= 110)
Volviendo a nuestra formula
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt
Con t variando de t=x hasta t=110
Si tomamos t cualquiera tenemos la reserva es:
Lt / (1+r)t-x
Que es el valor presente de Lt a la edad x del cálculo (en nuestro ejemplo anterior x=88 años)
Tenemos….
Dt = Lt / (1+r)t-x / (1+r)x = Lt / (1+r)t
Dt= Lt / (1+r)t => Lt= Dt * (1+r)t
Volviendo a nuestra formula
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt
La reescribimos como
C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Dt * (1+r)t
C = P * (1+r)x ∑ Dt
Con t variando de t=x hasta t=110
Ahora determinamos Dt (para x<= t <= 110)
Y ahora calculamos los Dx
Dx = Lx / (1+r)x-edad / (1+r) edad Dx = Lx / (1+r)x
• Conociendo los Lx, que ya calculamos, podemos calcular los Dx
• Usemos una tasa de 4% anual, que la que se utiliza para el año 2008 en el fondo C
• D89 = L89 / (1+0.04)89
• D90 = L90 / (1+0.04)90
• D91 = L91 / (1+0.04)91
• D92 = L92 / (1+0.04)92…..
• ….D109 = L109 / (1+0.04)109
• D110 = L110 / (1+0.04)110
• D111 = L111 / (1+0.04)111
• D111 = 0 / (1+0.04)111
Edad (x) Año q(x) L(x) Dx 88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502
89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367
93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668
96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234
100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619
104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843
108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662
Cálculo de Nx
• Ya tenemos definidos y desarrolla la metodología para calcular los
• Lx y Dx
• Ahora nos falta el Nx
• Nx lo definiremos como
Nx = ∑ Dt
Con t variando de t=x hasta t=110
• Es decir el N88 = ∑ DtCon t variando de t=88 hasta t=110
Cálculo de Nx
Volviendo una vez más a nuestra formula……
C = P * (1+r)x ∑ DtCon t variando de t=x hasta t=110
La reescribimos así…..
C = P * (1+r) x * Nx
Cálculo de Nx
En nuestro ejemplo edad = 88
• C = (1+r) 88 * P * N88
• C = P * N88 * (1+r) 88
• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88
• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88
• C = P * 4.9411825
Edad (x) Año q(x) L(x) Dx Nx 88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502 0,156637965 89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 0,124937463 90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 0,098326982 91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 0,076287653 92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367 0,058295760 93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 0,043834393 94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 0,032403332 95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668 0,023526502 96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 0,016762834 97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 0,011711325 98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 0,008019431 99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234 0,005381847
100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 0,003550613 101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 0,002300309 102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 0,001461728 103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619 0,000909560 104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 0,000552940 105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 0,000327298 106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 0,000187614 107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843 0,000103132 108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 0,000053289 109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 0,000024653 110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662 0,000008662
Cálculo de CNU
Volviendo una vez más a nuestra fórmula… que la habíamos escrito así….…
C = P * (1+r) x * Nx
Pero como Dx = Lx / (1+r)x y Lx=1
Podríamos reescribir la fórmula como
C = P * (1+r) x * Nx
C = P * Nx / Dx
Y ahora un último ajuste….
Entonces podemos decir que el CNU lo podemos escribir de la forma
Nx/Dx
Esta provisión se pagará en mensualidades a período anticipado, por lo tanto se produce
una condición de borde al final de la sobrevida, que implica un ajuste a nuestra fórmula
anterior, la que finalmente queda:
CNU = Nx/Dx – 11/24
Aplicación del Ajuste
En nuestro ejemplo edad = 88
• C = (1+r) 88 * P * N88
• C = P * N88 * (1+r) 88
• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88
• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88
• C = P * (4.9411825–11/24)
• C = P * (4.9411825–11/24)
• C = P * 4.4828492
Edad (x) Año q(x) L(x) Dx Nx 88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502 0,156637965 89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 0,124937463 90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 0,098326982 91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 0,076287653 92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367 0,058295760 93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 0,043834393 94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 0,032403332 95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668 0,023526502 96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 0,016762834 97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 0,011711325 98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 0,008019431 99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234 0,005381847
100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 0,003550613 101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 0,002300309 102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 0,001461728 103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619 0,000909560 104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 0,000552940 105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 0,000327298 106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 0,000187614 107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843 0,000103132 108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 0,000053289 109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 0,000024653 110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662 0,000008662
Cálculo Períodos mayores a X
Si tenemos desarrollada la tabla, tenemos que
Cx = P * (1+r) x * Nx
¿Cómo calculamos el CNU para un perido x+n?
Cx = P * (1+r) x+n * Nx+n
Cx = P * Nx+n / Dx+n =>
CNU = Nx+n / Dx+n – 11/24
Entonces, desarrollando una vez la tabla,
podemos calcular todos los CNU hasta el final de la tabla de mortalidad
Cálculo de CNUEdad (x) Año q(x) L(x) Dx Nx CNUx
88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502 0,156637965 4,482849123
89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 0,124937463 4,236713901
90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 0,098326982 4,003099169
91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 0,076287653 3,781779311
92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367 0,058295760 3,572804348
93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 0,043834393 3,376340849
94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 0,032403332 3,191993633
95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668 0,023526502 3,020031091
96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 0,016762834 2,860048013
97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 0,011711325 2,713839705
98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 0,008019431 2,582112310
99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234 0,005381847 2,480585005
100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 0,003550613 2,381466470
101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 0,002300309 2,284764442
102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 0,001461728 2,188917170
103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619 0,000909560 2,092171853
104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 0,000552940 1,992185525
105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 0,000327298 1,884795928
106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 0,000187614 1,762411884
107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843 0,000103132 1,610810236
108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 0,000053289 1,402583569
109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 0,000024653 1,083335726
110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662 0,000008662 0,541666667
Se obtiene todos los CNUS hasta el final de la tabla de mortalidad.
Esto es de especial utilidad para el cálculo de proyecciones de pensión.
Ejemplo…..
• Pensión anual de 10 millones por 40 años:
Con la primera aproximación
C = P * X => C = 10 * 40 = 400 mill
Con la segunda aproximación (tasa 4%)
C = P * ∑ 1/(1+r)x => C = 10 * 19.79 = 197.93 mill
Con la tercera aproximación (tasa 4%, 70 años al 09/2008)
C = P * ∑ 1/(1+r)x * px=> C = 10 * 10,728700491
= 107.29 mill
Cálculo para un grupo familiar
• Para el cálculo de capital necesario de un grupo familiar se debe considerar en forma separada el capital necesario para cada uno de los miembros
• A lo anterior, se debe restar una cantidad que corresponde al capital de la sobrevivencia conjunta de los miembros del grupo familiar.
• En general, se debe calcular una serie de Nx y Dx de acuerdo al tipo de beneficiario. Con estos valores calculados se aplican en las formulas contenidas en la circular 1535.
Entonces…..
• Ya sabemos que la fórmula general para un CNU es:
• CNUx = (Nx/Dx-11/24)Con x la edad del causante
• Para el CNU de la cónyuge, usamos la misma fórmula:
• CNUy = 0,6 * (Ny/Dy – 11/24) (a)Con y la edad del cónyuge
• Para el CNU conjunto usamos también la misma formula:
• CNUxy = 0,6 * (Nxy/Dxy – 11/24) (b)Con xy la “edad conjunto”
• (a) - (b), nos queda que el CNU del cónyuge es:
• CNUy = 0,6 * (Ny/Dy – Nxy/Dxy) (c)Con y la edad de la cónyuge xy la “edad conjunto”
Esta es la fórmula que aparece en la circular 1535 para cónyuge sin hijos con derecho a pensión
¿Cómo se origina está fórmula?
• Si sólo sumamos ambas reserva, estamos pagando ambas pensiones en forma simultánea, que estando vivo el causante no procede, por cuanto la cónyuge no recibe pensión hasta que este fallezca.
• Por lo tanto a la reserva compuesta por la suma de las dos anteriores, debemos restarle una “reserva” equivalente a la sobrevivencia conjunta de ambos integrantes del grupo familiar.
¿Cómo calculamos los Dxy y Nxy?
¿Cómo calculamos los Dxy y Nxy?
Determinación de Pxy
• Como vimos antes, ya tenemos avanzado el cálculo de causante y la cónyuge, por lo tanto las tablas de Lx y Ly ya las tenemos.
• Volvamos al ejemplo de causante hombre de 88 años y cónyuge de 80
Cálculo de LxyEdad (y) Ly Edad (x) Lx Lxy/100000
80 1,00000000 88 1,000000000 0,00100000 81 0,96799698 89 0,873011399 0,00084507 82 0,93377736 90 0,751967241 0,00070217 83 0,89728227 91 0,638426247 0,00057285 84 0,85848919 92 0,533674621 0,00045815 85 0,81742004 93 0,438719647 0,00035862 86 0,77414986 94 0,354316848 0,00027429 87 0,72881511 95 0,280769235 0,00020463 88 0,68162075 96 0,218082959 0,00014865 89 0,63284590 97 0,165761273 0,00010490 90 0,58284673 98 0,123161108 0,00007178 91 0,53205580 99 0,088929211 0,00004732 92 0,48097707 100 0,063146542 0,00003037 93 0,43017557 101 0,044046580 0,00001895 94 0,38026131 102 0,030162841 0,00001147 95 0,33186747 103 0,020259980 0,00000672 96 0,28562337 104 0,013331761 0,00000381 97 0,24212390 105 0,008583176 0,00000208 98 0,20189759 106 0,005398839 0,00000109 99 0,16537617 107 0,003312594 0,00000055
100 0,13252536 108 0,001979295 0,00000026 101 0,10339232 109 0,001149513 0,00000012 102 0,07881216 110 0,000647562 0,00000005 103 0,05858991 104 0,04239637 105 0,02979866 106 0,02029733 107 0,01336538 108 0,00848987 109 0,00518756 110 0,00303955
• Los Ly y Lx ya están calculados, para determinar Lxy lo hacemos por medio de la siguiente fórmula:
Lxy = Ly * Lx /100.000
• La tabla conjunta de Lxy es hasta que uno de los dos cumple los 110, ya que hasta esa edad el L comienza a ser 0
• Recordemos que estamos buscando los términos Nxy y Dxy para la fórmula de la cónyuge:
• CNU c = 0,6 * (Ny/Dy – Nxy/Dxy)
Cálculo de DxyEdad (y) Ly Edad (x) Lx Lxy/100000 Dxy
80 1,00000000 88 1,000000000 0,00100000 0,000037085
81 0,96799698 89 0,873011399 0,00084507 0,000030134
82 0,93377736 90 0,751967241 0,00070217 0,000024075
83 0,89728227 91 0,638426247 0,00057285 0,000018886
84 0,85848919 92 0,533674621 0,00045815 0,000014524
85 0,81742004 93 0,438719647 0,00035862 0,000010931
86 0,77414986 94 0,354316848 0,00027429 0,000008039
87 0,72881511 95 0,280769235 0,00020463 0,000005767
88 0,68162075 96 0,218082959 0,00014865 0,000004028
89 0,63284590 97 0,165761273 0,00010490 0,000002733
90 0,58284673 98 0,123161108 0,00007178 0,000001798
91 0,53205580 99 0,088929211 0,00004732 0,000001140
92 0,48097707 100 0,063146542 0,00003037 0,000000704
93 0,43017557 101 0,044046580 0,00001895 0,000000422
94 0,38026131 102 0,030162841 0,00001147 0,000000246
95 0,33186747 103 0,020259980 0,00000672 0,000000138
96 0,28562337 104 0,013331761 0,00000381 0,000000075
97 0,24212390 105 0,008583176 0,00000208 0,000000040
98 0,20189759 106 0,005398839 0,00000109 0,000000020
99 0,16537617 107 0,003312594 0,00000055 0,000000010
100 0,13252536 108 0,001979295 0,00000026 0,000000004
101 0,10339232 109 0,001149513 0,00000012 0,000000002
102 0,07881216 110 0,000647562 0,00000005 0,000000001
• Dx es valor presenta a la edad 0
• Aquí tenemos un conjunto y dijimos antes que xy era la “edad del conjunto”
• Definiremos la edad del conjunto (x+y)/2
• Dxy se definirá como el valor presente de Lxy a la edad cero del conjunto
• Dxy = Lxy / (1+tasa) (x+y)/2
• D88,80 =
L88,80 / (1+tasa) (88+80)/2
Cálculo de NxyEdad (y) Ly Edad (x) Lx Lxy/100000 Dxy Nxy
80 1,00000000 88 1,000000000 0,00100000 0,000037085 0,0001608026
81 0,96799698 89 0,873011399 0,00084507 0,000030134 0,0001237175
82 0,93377736 90 0,751967241 0,00070217 0,000024075 0,0000935833
83 0,89728227 91 0,638426247 0,00057285 0,000018886 0,0000695078
84 0,85848919 92 0,533674621 0,00045815 0,000014524 0,0000506218
85 0,81742004 93 0,438719647 0,00035862 0,000010931 0,0000360981
86 0,77414986 94 0,354316848 0,00027429 0,000008039 0,0000251670
87 0,72881511 95 0,280769235 0,00020463 0,000005767 0,0000171277
88 0,68162075 96 0,218082959 0,00014865 0,000004028 0,0000113609
89 0,63284590 97 0,165761273 0,00010490 0,000002733 0,0000073328
90 0,58284673 98 0,123161108 0,00007178 0,000001798 0,0000045996
91 0,53205580 99 0,088929211 0,00004732 0,000001140 0,0000028012
92 0,48097707 100 0,063146542 0,00003037 0,000000704 0,0000016613
93 0,43017557 101 0,044046580 0,00001895 0,000000422 0,0000009578
94 0,38026131 102 0,030162841 0,00001147 0,000000246 0,0000005358
95 0,33186747 103 0,020259980 0,00000672 0,000000138 0,0000002902
96 0,28562337 104 0,013331761 0,00000381 0,000000075 0,0000001517
97 0,24212390 105 0,008583176 0,00000208 0,000000040 0,0000000763
98 0,20189759 106 0,005398839 0,00000109 0,000000020 0,0000000368
99 0,16537617 107 0,003312594 0,00000055 0,000000010 0,0000000168
100 0,13252536 108 0,001979295 0,00000026 0,000000004 0,0000000072
101 0,10339232 109 0,001149513 0,00000012 0,000000002 0,0000000027
102 0,07881216 110 0,000647562 0,00000005 0,000000001 0,0000000008
• Nx = ∑ Dx• Aquí aplicamos lo
mismo• Nxy = ∑ Dxy
Entonces el CNU del cónyuge
CNUy = 0,6 * (Ny/Dy – Nxy/Dxy)
Con y la edad de la cónyuge, xy la “edad conjunto”
CNU80 = 0,6 * (N80/D80 – N88,80/D88,80)
CNU80 = 0,6 * (0,41088254110 / 0,04338432613 –
0,00016080259 / 0,00003708510)
CNU80 = 3,08083043
Esta es la fórmula que aparece en la circular 1535 para cónyuge sin hijos con derecho a pensión
Formula General de un CNU
• En términos generales la expresión:
(Nx/Dx-11/24)
• Es la reserva de capital unitario desde la edad x hasta el final de la tabla respectiva, es decir hasta los 110 años, calculado a la edad x.
Cuando x es igual a la edad que tiene al momento del cálculo, los valores Nx y Dx están el la primera fila de la
tabla y Dx=1
¿Cómo se construyen las fórmulas?
• Nx valor presente de los flujos desde edad x hasta los 110 años
• Dx es un factor de actualización que opera de la siguiente manera:
• Si multiplico por Dx, calcula el valor en el periodo x a valor presente en el año 0
• Si divido por Dx, calcula el valor en año 0 actualizado al año x
Esquema gráfico (causante y cónyuge, sin hijos)
0 años
X añosFecha de cálculo
CNU= Nx/Dx-11/24Dx = 1
Calculado en X
Causante P=1
0 años
Y añosFecha de cálculo
CNU= Ny/Dy-11/24Dy = 1
Calculado en y
Cónyuge
P=0,6
0 añosXY años
Fecha de cálculo
CNU= Nxy/Dxy-11/24Dxy <> 1
Calculado en y
ConjuntaSe resta al cónyuge
P=0,6
Hijo No Inválido y Causante con Cónyuge con derecho a Pensión
0 años
X añosFecha de cálculo
CNU= Nx/Dx-11/24Dx = 1
Calculado en X
Causante P=1
0 años
Y añosFecha de cálculo
CNU= Nh/Dh-11/24Dh = 1
Calculado en h
Hijo
P=0,15
0 añosXY años
Fecha de cálculo
CNU= Nxh/Dxh-11/24Dxy <> 1
Calculado en y
ConjuntaSe resta al
hijoP=0,15
24 años
CNU= (N24/D24-11/24)*D24/Dh
CNU= (Nx’24/Dx´24-11/24)*Dx´24/Dxh
Hijo No Inválido y Causante con Cónyuge con derecho a Pensión
• CNU del hijo es:
0,15 *[ (Nh/Dh-11/24) - (N24/D24-11/24)*D24/Dh
- ( (Nxh/Dxh-11/24) - (Nx’24/Dx´24-11/24)*Dx´24/Dxh)]
• Reordenando
0,15 *[ {(Nh-N24) – 11/24*(Dh-D24)}/Dh- {(Nxh-Nx´24) – 11/24*(Dxh-
Dx´24)}/Dxh]
Cónyuge con Hijos No Inválidos y Causante con Cónyuge con derecho a Pensión