APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓNAPROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN
4.1. INTRODUCCIÓNMuchos experimentos en el área de la Ingeniería dan como resultado funciones
tabulares de la variable independiente, frente a la variable dependiente. Durante
la aplicación en ciertos fenómenos físicos se relacionan los valores de las
variables dependientes e independientes resultando valores discretos que se
tabulan en diferentes relaciones, cantidad de reactante consumido con respecto
al alimentado en una reacción, concentración de un componente puro con
respecto a la mezcla en una destilación, los mismo que se pueden expresar con
respecto ciertos intervalos en el tiempo. Como no siempre se pueden registrar lo
que sucede a cada instante, en el fenómeno que se está estudiando, se pueden
usar los datos registrados para obtener los faltantes, es decir valores
aproximados en aquellos puntos donde no se han registrado o experimentado.
En otros casos con fines computacionales se requiere construir una función
explícita de toda la tabla obtenida por métodos experimentales señalados
anteriormente, por lo cual se hace importante el conocimiento de técnicas de
interpolación polinómica sea con pasos equidistantes, no equidistantes o
técnicas de interpolación iterada.
4.2. CAPACIDADES:
Al finalizar esta unidad, a partir de un conjunto de datos experimentales de
laboratorio, el estudiante estará en la capacidad de determinar un polinomio de
interpolación, extrapolación y elaborar el programa de interpolación en Excel y
MatLab y realizar el ajuste curvas.
Contenidos Conceptuales
Contenidos Procedimentales
Contenidos Actitudinales
Aproximación Simple Interpolación de
Lagrange Diferencias divididas Aproximación Polinomial
de Newton Polinomios de Newton en
diferencias finitas.
Analiza los datos de laboratorio y determinar el polinomio de interpolación.
Usa el MatLab para la programación del algoritmo de interpolación.
Manifiesta creatividad e inventiva en el análisis y la programación de los métodos.
1
Aproximación con mínimos cuadrados.
Realizar el ajuste curvas.
4.3. 4.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓNA. POLINOMIOS DE LAGRANGE
Sea una función dada en forma tabular:
Tabla 9: Información tabular
Puntos 0 1 2 n
Se pueden obtener un polinomio que relacione todos estos puntos:
…(4.1)
Obsérvese que si se va a relacionar con un polinomio de grado n se
necesita n+1 puntos para el método. Los polinomios de Lagrange
en forma matemática se representan como:
…(4.2)
Tenemos algunos ejemplos de los primeros polinomios de Lagrange:
Entonces la ecuación (4.1) queda expresada de la siguiente forma:
…(4.3)
Ejemplo de Aplicación 4.1
Dada la siguiente información, encontrar el valor de la función para :Puntos 0 1 2 3
x 0,5 0,7 0,9 1,0
f(x) 0,9385 0,8812 0,8072 0,7652
Solución:
2
Se tiene 4 puntos, esto nos permite hacer un ajuste hasta un polinomio de grado
3:
Ajuste – Polinomio de Primer grado
Aplicando la expresión (4.3) para y utilizaremos sólo 2 puntos en donde se
encuentre el valor que se quiere interpolar (puntos 1 y 2), reformulando estos
puntos:
Puntos 0 1
x 0,7 0,9
f(x) 0,8812 0,8072
…(1)
Reemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro y reordenando
se tiene:
…(2)
Reemplazando el valor en (2):
Ajuste – Polinomio de Segundo grado
Aplicando la expresión (4.3) para y utilizaremos 3 puntos en donde se
encuentre el valor que se quiere interpolar (puntos 1, 2 y 3), reformulando estos
puntos:
Puntos 0 1 2
x 0,7 0,9 1,0
f(x) 0,8812 0,8072 0,7652
…(3)
Reemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro y reordenando
se tiene:
3
…(4)
Reemplazando el valor en (4):
Ajuste – Polinomio de Tercer grado
Aplicando la expresión (4.3) para y utilizaremos 4 puntos (utilizaremos el
cuadro del problema en el mismo orden de los puntos)
…(5)
Reemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro y reordenando
se tiene:
…(6)
Reemplazando el valor en (6):
Si nos basamos en el concepto del mejor ajuste que pasa por la mayor cantidad
de puntos, diremos que el ajuste de tercer grado es la mejor aproximación como
se puede ver en la siguiente interfaz gráfica:
Figura 37: Interfaz Gráfica del método de Interpolación de Polinomios de
Lagrange en el MatLab
4
B. DIFERENCIAS DIVIDIDASPara utilizar este concepto, es necesario recordar la definición de la
derivada de una función , es decir:
…(4.4)
Cuando esta función se encuentra en forma tabular (tabla 9), estas
diferencias deberán obtenerse numéricamente forma aproximada, luego la
derivada se calcula como:
…(4.5)
El lado derecho de esta expresión se conoce como la primera diferencia
dividida y normalmente se denota mediante:
…(4.6)
En la siguiente tabla, se presenta un resumen de la notación de estas
diferencias divididas:
Tabla 10: Tabulación general de diferencias divididas
Ejemplo de Aplicación 4.2
Dada la siguiente información, elabore una tabla de diferencias divididas:
Pun
tos0 1 2 3
4 5
x -3 -2 0 2 5 6
f(x) - - 1 5 8 15
5
5
0
1
9
6 7
Solución:Con esta información podemos encontrar las diferencias divididas haciendo uso
de la tabla anterior:
Primeras diferencias:
; ;
;
Segundas diferencias
;
;
Terceras diferencias:
; ;
Resumiendo se obtienen la siguiente tabla de diferencias divididas:
Tabla 11: Tabulación de las diferencias divididas del ejemplo 4.2
i x f(x)Diferencias Divididas
Primera Segunda Tercera Cuarta
652023
Observamos que las diferencias de tercer orden tienen el mismo valor, y las
diferencias de cuarto orden son cero lo que concuerda con la tercera y cuarta
derivada de un polinomio de tercer grado.
C. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Esta se expresa en forma matemática de la siguiente forma:
6
…(4.7)
Donde los coeficientes están dados por:
…(4.8)
Ejemplo de Aplicación 4.3Dada la siguiente información, con el polinomio de Newton en diferencias
divididas de segundo grado, aproxime el valor de la función cuando :Puntos 0 1 2 3 4 5 6
x 40 60 80 100 120 140 160
f(x) 0,63 1,36 2,18 3,00 3,93 6,22 8,59
Solución:Si ; entonces la expresión (4.7) para este caso es:
Se necesitará solo tres puntos para la determinación de este polinomio, entonces procedemos a formular la respectiva tabla de diferencias divididas:
i x f(x)Diferencias Divididas
Primera Segunda
Como sólo se necesita 3 puntos, elegimos de la siguiente manera:
Entonces nuestro polinomio ahora está dado de la siguiente manera:
7
Reemplazando en este polinomio, y se puede ver la distribución de los
puntos:
Figura 37: Interfaz Gráfica del método de Interpolación Polinomial de Newton en
Diferencias Divididas
D. DIFERENCIAS FINITAS
D.1 Diferencia Progresiva
Si es denominado como operador lineal hacia delante y definido sobre
como:
…(4.9)
Donde: .Las diferencias de orden superior se generan como
sigue:
…(4.10)
D.2 Diferencia Regresiva
Si es denominado como operador lineal hacia atrás y definido sobre
como:
…(4.11)
8
Donde: .Las diferencias de orden superior se expresan en
términos generales como:
…(4.12)
E. POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
E.1 Polinomio de Newton en Diferencias hacia adelante
Si se denota ; se obtiene el polinomio el siguiente polinomio
en diferencias hacia delante:
.
..(4.13)
E.2 Polinomio de Newton en Diferencias hacia atrás
Si se denota ; se obtiene el polinomio el siguiente polinomio
en diferencias hacia delante:
...(4.14)
Se denomina a como punto base o punto pivote.
Ejemplo de Aplicación 4.4En base a la función tabula que se muestra, aproxime el valor de la función
cuando :Puntos 0 1 2 3 4 5
x 0 1 2 3 4 5
f(x) -5 1 9 25 55 105
Solución:Desarrollando las primeras diferencias finitas hacia adelante:
; ;
;
Segundas diferencias finitas:
;
;
9
Terceras diferencias finitas:
; ;
Resumiendo se obtienen la siguiente tabla de diferencias finitas:
Tabla 12: Tabulación de las diferencias finitas del ejemplo 4.4
i x f(x)Diferencias Finitas
201482
Observamos que las diferencias de tercer orden tienen el mismo valor, esto se
interpreta que esta función tabular probablemente es un polinomio de tercer
grado. Formulando una interpolación con diferencias hacia adelante para un
polinomio de tercer grado y un valor pivote de :
;
El ajuste de tercer grado es la mejor aproximación como se puede ver en la
siguiente interfaz gráfica:
Figura 38: Interfaz Gráfica del método de Interpolación Polinomial de Newton en
Diferencias Finitas
10
F. APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON MÍNIMOS CUADRADOS
Los métodos vistos anteriormente se han enfocado en encontrar un
polinomio de aproximación que pase por estos puntos, sin embargo cuando se
realiza un procedimiento experimental, en muchos casos se busca correlacionar
dos o más variables entre sí. El objetivo en este caso es encontrar la mejor curva
de ajuste que tenga una forma polinomial, ya que el manejo de polinomios
resulta sencillo en cualquier aplicación. Supongamos que se mide el valor de y
para de x, se representan los datos en una gráfica de y vs. x, y trazamos una
recta que pase por dichos puntos.
Figura 39: Gráfica de la aproximación lineal que pasa entre los puntos
No obstante, esto crea algunos problemas, ya que se puede pasar un
número infinito de curvas entre los puntos. Para la determinación de la mejor
curva se establece que la suma de las distancias al cuadrado calculadas entre el
valor de la función que aproxima y el valor de sea mínima, es decir:
…(4.15)
Si es la aproximación a un polinomio de
grado n; la expresión (4.15) se presenta como:
…(4.16)
Se pasa a minimizar la expresión (4.16), lo cual se obtiene derivándola
parcialmente con respecto a cada coeficiente aj, e igualando a cero cada una de
estas derivadas con esto se llega al siguiente sistema:
…(4.17)
11
Donde m es el número de puntos (x,y) en la información tabular. Se han
omitido los subíndices i, de x e y, así como los límites de sus sumatorias que van
desde 1 hasta m para simplificar su escritura.
Ejemplo de Aplicación 4.5En base a los datos observados, encontrar la ecuación de ajuste a un polinomio
de segundo grado y estime el valor correspondiente cuando :Puntos x y Puntos X y
1 0,05 0,956 7 0,70 0,378
2 0,11 0,890 8 0,74 0,370
3 0,15 0,832 9 0,82 0,306
4 0,31 0,717 10 0,98 0,242
5 0,46 0,571 11 1,17 0,104
6 0,52 0,539
Solución:
Para y se tiene 11 puntos la expresión (4.17) toma la forma de:
…(1)
Para el cálculo de los coeficientes a0, a1 y a2 formulamos la siguiente tabla:
Puntos
(i)
1 0,05 0,956 0,0025 1,250×10-4 6,250×10-6 0,0478 2,390×10-3
2 0,11 0,890 0,0121 1,331×10-3 1,464×10-4 0,0979 0,010769
3 0,15 0,832 0,0225 3,375×10-3 5,063×10-4 0,1248 0,018720
4 0,31 0,717 0,0961 0,029791 9,235×10-3 0,2223 0,068904
5 0,46 0,571 0,2116 0,097336 0,0447746 0,2627 0,120824
6 0,52 0,539 0,2704 0,140608 0,0731162 0,2803 0,145746
7 0,70 0,378 0,4900 0,343000 0,2401000 0,2646 0,185220
8 0,74 0,370 0,5476 0,405224 0,2998658 0,2738 0,202612
9 0,82 0,306 0,6724 0,551368 0,4521218 0,2509 0,205754
10 0,98 0,242 0,9604 0,941192 0,9223682 0,2372 0,232417
11 1,17 0,104 1,3689 1,601613 1,8738872 0,1217 0,142366
∑ Totales 6,01 5,905 4,6545 4,114963 3,9161277 2,1839 1,335721
12
Reemplazando estos resultados en (1), se tiene:
…(2)
Resolviendo (2) con el método de la eliminación de Gauss:
Entonces la ecuación buscada es:
El valor estimado para es:
Una forma de saber qué tipo de polinomio es el adecuado para el ajuste, viene
relacionado con el factor de correlación r que tiene una variedad de fórmulas
(para cada grado del polinomio) en los textos de estadística, mientras se acerque
éste valor a la unidad será el mejor polinomio de ajuste.
Para un bosquejo rápido usted puede deducir un polinomio de ajuste con el
diagrama de dispersión de los puntos; obsérvese la interfaz gráfica con el
ejemplo anterior:
Figura 40: Interfaz Gráfica del método de Aproximación Polinomial por Mínimos
Cuadrados
F. APROXIMACIÓN MULTILINEAL CON MÍNIMOS CUADRADOS
13
Con frecuencia se tienen funciones con más de una variable, esto es
. Si se sospecha una funcionalidad lineal en las distintas variables; es
decir, si se piensa que la función:
…(4.18)
Se puede aplicar el método de mínimos cuadrados para determinar los
coeficientes ; lo cual se obtiene derivándola parcialmente con
respecto a cada coeficiente aj, e igualando a cero cada una de estas derivadas
con esto se llega al siguiente sistema:
…(4.19)
Donde m es el número de puntos en la información tabular.
4.3 Aproximación Funcional e Interpolación en Ingeniería Química
La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya
que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular, es
frecuente no encontrar el valor buscado como un punto en la tabla. Si se realizó
un experimento y se quiere conseguir un modelo matemático, el ajuste de curva
de estos puntos hace posible conseguirlo.
Problema de Aplicación 4.3.1Cátedras: Química general
(Problema Propuesto 5.1 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.
Nieves)
La densidad del carbonato neutro de potasio en solución acuosa varía con la
temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla siguiente:
a) Calcule la densidad a 40 ºC y 15% de concentración.
b) Calcule la densidad a 50 ºC y 28% de concentración.
c) Calcule la densidad a 90 ºC y 25% de concentración.
14
d) Calcule la concentración que tiene una solución de densidad 1,129 a una
temperatura de 60 ºC.
Utilice interpolaciones cuadráticas en todos los incisos.
Solución:
Utilizaremos la interpolación con los polinomios de Lagrange para un polinomio
de segundo grado. Para el inciso a) se toma la concentración como argumento
(x) y a la densidad como el valor de la función f(x). Para una interpolación
cuadrática necesitamos 3 puntos:
Reemplazando y reordenando estos datos en (4.3) tenemos:
Para el inciso b) se toma la temperatura como argumento (x) y a la densidad
como el valor de la función f(x):
Reemplazando y reordenando estos datos en (4.3) tenemos:
Para el inciso c) la densidad se aproxima utilizando las interpolaciones previas a
90 ºC de las filas 12%, 20% y 28%; después a partir de estos valores se
interpola a 25%:
Aproximación de la densidad a 12% y 90 ºC.
Aproximación de la densidad a 20% y 90 ºC.
15
Aproximación de la densidad a 28% y 90 ºC.
Ahora interpolamos a una concentración de 25%:
Para el inciso d) es necesario interpolar los valores de densidad a 60 ºC a
diferentes concentraciones, después se interpola la concentración que
corresponda la densidad de 1,129.
Aproximación de la densidad a 4% y 60 ºC.
Aproximación de la densidad a 12% y 60 ºC.
Aproximación de la densidad a 20% y 60 ºC.
16
Ahora interpolamos a una densidad de 1,129:
Nótese que los resultados se redondearon a 4 dígitos decimales, las
concentraciones y las temperaturas se presentan sólo en números enteros.
El algoritmo del problema anterior para las interpolaciones es presentado en un
archivo m. en el MatLab y como ejemplo la interfaz gráfica del inciso b):
clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.1 ') disp(' -------------------------- ') c=0;N=2;X=[0 40 80];F=[1.2846 1.2652 1.2418]; x=50;FX=0;I=1; while I<=N+1; L=1; J=1; while J<=N+1; if I~=J L=L*(x-X(J))/(X(I)-X(J)); end J=J+1; end FX=FX+L*F(I); I=I+1; end disp(' Solución: ') fprintf(' El valor interpolando es: %f\n',FX)
17
Figura 40: Interfaz Gráfica para el inciso b) del problema 4.1
Problema de Aplicación 4.3.2Cátedras: Química General
Las presiones de vapor de la benzofenona, a distintas temperaturas, figuran en la tabla contigua:
T(ºC) 108,2 141,7 157,6 175,8 195,7 208,2 224,4
p (mmHg) 1 5 10 20 40 60 100
Calcule la temperatura a una presión de 80 mmHg y la presión de vapor a una
temperatura de 150 ºC utilizando polinomios de Newton en diferencias divididas:
Solución:
Para el cálculo de la temperatura a una presión de 80 mmHg, tomaremos los 4 últimos puntos y utilizaremos un polinomio de tercer grado, su respectiva tabla de diferencias divididas es:
i x f(x)Diferencias Divididas
Primera Segunda Tercera
0,00006979
Reemplazando estos datos en (4.7) y se obtiene el siguiente polinomio:
18
Para el cálculo de la presión de vapor a 150 ºC, tomaremos los 4 primeros
puntos y utilizaremos un polinomio de tercer grado, la tabla de diferencias
divididas es:
i x f(x)Diferencias Divididas
Primera Segunda Tercera
0,000043527
Reemplazando estos datos en (4.7) y se obtiene el siguiente polinomio:
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el MatLab
y como ejemplo la interfaz gráfica para el cálculo de la presión de vapor a 150
ºC:
clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.2 ') disp(' -------------------------- ') c=0;N=3;X=[108.2 141.7 157.6 175.8];F=[1 5 10 20]; x=150;I=1; while I<=N T(I,1)=(F(I+1)-F(I))/(X(I+1)-X(I));I=I+1; end J=2; while J<=N I=J; while I<=N T(I,J)=(T(I,J-1)-T(I-1,J-1))/(X(I+1)-X(I+1-J)); I=I+1; end J=J+1; end in=F(1);I=1; while I<=N P=1;J=1; while J<=I P=P*(x-X(J));J=J+1; end in=in+T(I,I)*P;I=I+1; end disp(' Solución: ') fprintf(' El valor interpolando es: %f\n',in)
19
Figura 41: Interfaz Gráfica para la presión de vapor a 150 ºC del problema 4.2
Problema de Aplicación 4.3.3Cátedras: Química General, Fisicoquímica
(Problema Propuesto 5.19 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.
Nieves)
En una reacción química, la concentración del producto CB cambia con el tiempo
como se indica en la tabla de abajo. Calcule la concentración CB cuando t = 0,82; usando un polinomio de Newton en diferencias finitas.
CB 0,00 0,30 0,55 0,80 1,10 1,15
t 0,00 0,10 0,40 0,60 0,80 1,00
Solución:
Se utilizará un polinomio de tercer grado con los 4 últimos puntos (pasos equidistantes), la respectiva tabla de diferencias finitas hacia adelante:
i x f(x)Diferencias Finitas
01806040
,,,,
-0,3
Reemplazando en la expresión (4.13) y reordenando se obtiene el polinomio:
20
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el MatLab
y la interfaz gráfica para la interpolación:
clc,clear,disp(' Problema de Aplicación 4.3 ') disp(' -------------------------- ') n=3;X=[0.40 0.60 0.80 1.00];FX=[0.55 0.80 1.10 1.15]; s=0.82;F=FX; for l=0:length(X)-2;F=diff(F);T(1:length(X)-(l+1),l+1)=F; end disp([T]);d=1;xo=0.4;h=X(2)-X(1);s=(s-xo)/h;so=s; for I=1:length(X); if X(I)==xo;break,end end p=FX(I)+s*T(I,1); if n~=1; for l=1:n-1; s=s*(so-l);p=p+s*T(I,1+l)/prod(1:l+1); end end disp(' Solución: ') fprintf(' El valor interpolando es: %f\n',p)
Figura 42: Interfaz Graficadle del resultado del problema 4.3
Problema de Aplicación 4.3.4Cátedras: Fenómenos de Transporte, Fundamentos de Ingeniería Química
La velocidad a la cual una sustancia pasa a través de una membrana
semipermeable se determina mediante la difusividad D (cm2/s), D varía con la
temperatura de la membrana T (K) según la ley de Arrhenius:
D = D0
Donde: D0: Factor pre exponencial
E: Energía de activación
R: 1,987 cal / molgK
21
Se miden las difusividades de SO2 (g) en un tubo de goma fluorosiliconado, a varias temperaturas, obteniéndose los siguientes resultados:
T (K) D (cm2/s) x 106
347,0 1,34
374,2 2,50
396,2 4,55
420,7 8,52
447,7 14,07
471,2 19,99
Calcule los valores de D0 y E utilizando el método de los mínimos cuadrados.
Solución:
Haciendo los siguientes arreglos a la ley de Arrhenius:
D = D0
Ln (D) = Ln (D0) -
Los cambios de variable:
y = Ln (D) ; a0 = Ln (D0) ; ; x =
Tabulando nuevamente los datos del problema:x Y
2,8818 x 10-3 -13,5228
2,6724 x 10-3 -12,8992
2,5240 x 10-3 -12,3004
2,3770 x 10-3 -11,6731
2,2336 x 10-3 -11,1715
2,1222 x 10-3 -10,8203
Aplicando el método de mínimos cuadrados se obtiene:
Entonces:
D0 =
D0 =
22
La ecuación que representa los datos experimentales queda de la siguiente
forma:
D =
Obsérvese que las difusividades dadas en la tabla ya están multiplicadas por un
factor de 10-6 y se refiere en realidad:
D (347 K) = 1,34x10-6 (cm2/s)
Una mala interpretación de la información tabular, no fijarse en las unidades o no
tomar en cuenta las cifras significativas provocará un mal ajuste de curva.
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el MatLab
y la interfaz gráfica para el ajuste de curva:
clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.4 ') disp(' -------------------------- ') X=[2.8818 2.6724 2.5240 2.3770 2.2336 2.1222]*10^-3; F=[-13.5228 -12.8992 -12.3004 -11.6731 -11.1715 -10.8203];M=6; A=zeros(2);A(1,1)=M; for l=1:2*2; s(l)=sum((X.^l)); end for l=0:2; b(l+1)=sum(F.*(X.^l)); end A(1,2:2)=s(1:1); for l=2:2; A(l,1:2)=s(l-1:2 -1); end b=b';DET=1;I=1;x=A\b; disp(' Solución: ') for l=0:2; fprintf(' El coeficiente a(%d) es: %f\n',l,x(l+1)) end
23
Figura 43: Interfaz Gráfica para el ajuste de curva del problema 4.4
Problema de Aplicación 4.3.5Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química
Observe que los datos siguientes parecen ser ajustados por una curva
al hacer una gráfica en papel semilogarítmico y observar que los puntos parecen
caer sobre una recta (los datos son las solubilidades de n-butano en ácido
fluorhídrico anhidro a altas presiones y se usaron en el diseño de refinerías de
petróleo).
Temperatura, º F Solubilidad, %peso
77 2,4
100 3,4
185 7,0
239 11,1
285 19,6
Encuentre los valores de a y b por medio de una regresión.
Solución :
Las gráficas en el papel logarítmico representan los puntos como una recta y
para dar esta forma, hacemos las siguientes operaciones:
24
Las temperaturas serán las variables independientes y las solubilidades las
dependientes , tabulando los datos para la aplicación del método de mínimos cuadrados:
x
77 0,87547
100 1,22378
185 1,94591
239 2,40695
285 2,97553
Procediendo con el método obtenemos la ecuación de la recta:
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el MatLab
y la interfaz gráfica para el ajuste de curva:
clc,clear disp(' Problema de Aplicación 4.5 ') disp(' -------------------------- ') N=1; X=[77 100 185 239 285]; F=[0.87547 1.22378 1.94591 2.40695 2.97553];M=5; A=zeros(2);A(1,1)=M; for l=1:2*N; s(l)=sum((X.^l)); end for l=0:N; b(l+1)=sum(F.*(X.^l)); end A(1,2:N+1)=s(1:N); for l=2:N+1; A(l,1:N+1)=s(l-1:N+l-1); end b=b';x=A\b; disp(' Solución: ') for l=0:N; fprintf(' El coeficiente a(%d) es: %f\n',l,x(l+1)) end
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