http://love-su-gaku.com/ Manabu Sato(C)2011
関数の極限 タイプ別 早見チャート
対数関数を含む不定形の極限は
指数関数を含む不定形の極限は
三角関数を含む不定形の極限のときに考える。
の公式が使えるように変形することがポイント!
の公式を用いて解くことを考える。
∞1 の不定形の極限は の公式を用いて解くことを考える。
の公式を用いて解くことを考える。
xxlim
x → 0=
log ( )1 1+
limx → 0
11 =−x
ex
ⅰ.因数分解・約分タイプⅰ.因数分解・約分タイプ ……
ⅲ.有理化タイプⅲ.有理化タイプ …… 有理化することによって,不定形を解消して解くタイプ。
ⅱ.1番強い項でくくるタイプⅱ.1番強い項でくくるタイプ …
Ⅲ.はさみうちの原理タイプ
Ⅳ.微分係数の定義タイプ
Ⅵ.平均値の定理タイプ
Ⅶ.区分求積法タイプ
Ⅴ.e に関する極限公式タイプ
Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ
Ⅰ.式変形タイプ
xx
x1
sinlim
0→=
21
=cos1
2
−x
xlimx → 0
★ → 0 のとき,極限値は 1 !準公式として の公式も覚えるとよい。
使い方のイメージ使い方のイメージ
★sin
★ ★sin★
の形を作って
「x → ∞で『(減少関数)×(周期関数)』」 例: xe xsin−x
xsin,
1番強い項(次数が高い)でくくる(分数の場合は,分母の1番強い項で,分母・分子を割ると考えても同じ)ことによって解くタイプ。
分数の形で,分母・分子(またはどちらか)を因数分解して約分することによって,不定形を解消して,代入して解くタイプ。
の不定形は,「約分」→「不定形解消」に,∞ − ∞ の不定形は,「ⅱ.1番強い項でくくるタイプ」になることが多い。
はさみうちの原理 limx → ∞
f (x) =α limx → ∞
h (x) =α limx → ∞
g (x) =αならばかつ
( )11
x x+limx → 0
= e1
1
+ x
x
limx → ∞
limx → ∞
limx → ∞
e=
関数の極限を求める問題の解法には,主に下記7つのタイプがある。
x → a の極限で, の不定形になる場合に考える。「因数分解」→「約分」→「代入」とイメージ!
x → ∞ の極限で, の不定形になる場合に考える。∞∞
0 0
や∞ − ∞
無理式が入っている不定形の場合に考える。
『数列の極限』等,直接極限を求めることができないときに使う。ガウス記号を含むときや
Ⅲ.はさみうちの原理タイプ …… はさみうちの原理を用いて解くタイプ。
Ⅳ.微分係数の定義タイプ …… 微分係数の定義を用いて解くタイプ
Ⅵ.平均値の定理タイプ …… 平均値の定理を用いて解くタイプ。
Ⅶ.区分求積法タイプ …… 区分求積法を用いて解くタイプ。
Ⅴ.e に関する極限公式タイプ …… e に関する極限公式を用いて解くタイプ。
Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ …… 三角関数の極限公式を用いて解くタイプ。
Ⅰ.式変形タイプ……簡単な式変形によって解くタイプ。主に下記3つのタイプがある。
=x
01lim
x → ±∞k
x → ±∞のときは ( k は自然数) を使うことがポイント!
※関数の極限では省略。
※関数の極限では省略。
0 0
f (x) ≦ g (x) ≦ h (x) のとき,
微分係数の定義 )( )()(′ ==−+af
h
afhafhlimlim
0→x a→にあてはまるときに使う。( )
ax
xf ( )af
−−
のときに考える。
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関数の極限の基本とポイント
x → a の極限で,x を aより大きい値から限りなく a に近づけるとき,右方極限といい,「x → a + 0 」と表し,a より小さい値から限りなく a に近づけるとき,左方極限といい,「x → a − 0」と表す。
x → a の極限を求める場合は,左方,右方両方の極限を考える。特に,分数でx → aで分母が0 になるとき,ガウス記号,絶対値を含むときには注意する!
x=
∞→ xx
0log
limx
0=+−
∞→ exx
x
12lim
2
=∞→ x
en
x
xlim ∞
速い遅い
ex の方が より速く∞にいくので
+− xx 122x の方が log xより速く∞にいくので ex の方が xn より速く∞にいくので
y
x1−1
1
−2 2O
x → 1+ 0 のとき,
limx → 1
[ x ] ( )x−
x<0 のとき, xx −=
x>0 のとき, xx =
xlim x= =limx → + 0
0x → + 0
xlim = )( x− =limx → − 0x → − 0
0
xlimx → 0
y
xO
xlimx → 0
= 0よって,
ガウス記号分数 絶対値
[ x ]→ 1
x → 1− 0 のとき,
[ x ]→ 0
よって,極限値は存在しない。
xy = のグラフ[ x ] xy −= のグラフ
■ 関数の極限と数列の極限
■ 右方極限と左方極限
■ 関数の発散速度
■ 極限公式の覚え方
数列の極限では, n が(1,2,…と飛び飛びに)限りなく大きくなるときの第 n 項 a n の値を考えたが,関数の極限では,x が実数となり, x → ∞の極限だけでなく, x → a の極限も考える。考え方は数列の極限とほぼ変わらない。
x → a + 0f( x ) limlim
x → a − 0f( x ) lim
x → a f( x )と が存在し,一致するとき が存在する。
x → 1+ 0 のとき,( x − 1)2 → + 0
x → 1− 0 のとき,( x − 1)2 → + 0 より
( )∞=
−xx
12
limx → 1よって,
( )−x
x
12lim
x → 1において
0[ x ] ( )x− =limx → 1 + 0
1[ x ] ( )x− =limx → 1 − 0
( )∞=
−xx
12
limx → 1 + 0 ( )
∞=−xx
12
limx → 1 − 0,
対数関数は亀みたいにノロノロと進み,指数関数はロケットみたいに速く進む!対数関数は亀みたいにノロノロと進み,指数関数はロケットみたいに速く進む!
発散速度とは,関数 y = f( x )において,わかりやすくいうと「 x の値を大きくすると, y の値がどれだけ大きくなるか」ということで,対数関数<<整関数<<指数関数の順で発散速度が大きい。
実際の計算は,不等式を利用して,はさみうちの原理等から求めるが,グラフを描く際に,x → ±∞,x → ±0 のとき,どんな値になるかを調べる際には,下記のように証明なしに用いてよい。
一致しない!一致しない!
例例 例例 例例
例1例1 例2例2 例3例3
xy alog= ( a> 1)
x
y
1O
x
yグラフは n によるこの場合はn=3
xy n= ( n> 1)
O x
y
1
O
ay x= ey x=( a> 1),
1−ex 1= −exy
=y
=y
=y
( )1log +x( )1log +x
x
( )1
1log=
+x
xlimx → 0
11 =−x
ex
limx → 0
xsinx → 0 x
x1
sinlim =
sin x ,log( 1 + x ) , e x −1 を,それぞれ f( x )とおくと f '( 0 )= 1となり,原点で y = x と接している。つまり,原点付近では y = x のグラフとほぼ同じとみなすことができ,極限が1となる!公式を忘れたら,右記グラフを考えれば,うまく式をつくることができる!
xxsin ≒ ( )1log + xx ≒ x≒1−e x
y
O
一致する!一致する!
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式の変形タイプ
=+⋅
+=
51241
−+−+
xx
xx
52 343
2
2
limx → 1
( ) ( )
( ) ( )+−+−xx
xx
52141lim=
x → 1因数分解
++
=x
x
524lim
x → 1 約分
limx → ∞ 1
12
22
++
−+=
xx
xx
limx → ∞ 1
11
2
22=
++
++⋅−+
xx
xxxx
limx → ∞
12 −+ xx
∞−∞タイプ
=23
1limx → ∞
=12 ++ xx
= 0
−−−−
xx
xx
62823
2
2
limx → ∞
−−
−−=
xx
xx
612
823
2
2
limx → ∞
0
0
0
0
分母・分子を最高次の項 x2
で割った
−−−−
xx
xx
62823
2
2
limx → 2
( ) ( )
( ) ( )+−+−
=xx
xx
322432lim
x → 2 因数分解
++
=x
x
3243lim
x → 2 約分
=+⋅+⋅
=7
1075
322423
=∞
+−x 533 x x2limx → ∞
( )
0
+−
xxx
531
23lim
x → ∞=
0
∞
タイプ∞∞
424 =+=
2
4
−−
x
xlimx → 4
4−=
x24 +− xx ( )( )lim
x → 4
= 2+x( )limx → 4
( )( ) 22
24
+−+−
=xx
xx ( )( )limx → 4
有理化 有理化
約分
約分
代入
例1例1 例2例2
例例 例例
例例
x → ∞とすると より1∞
ⅰ.因数分解・約分タイプⅰ.因数分解・約分タイプ ……
ⅲ.有理化タイプⅲ.有理化タイプ …… 有理化することによって,不定形を解消して解くタイプ。
ⅱ.1番強い項でくくるタイプⅱ.1番強い項でくくるタイプ ……
Ⅰ.式変形タイプ
1番強い項でくくる(分数の場合は,分母の1番強い項で,分母・分子を割ると考えても同じ)ことによって解くタイプ。
分数の形で,分母・分子(またはどちらか)を因数分解して約分することによって,不定形を解消して,代入して解くタイプ。
00 の不定形は,「約分」→「不定形解消」に,
∞ − ∞ の不定形は,「ⅱ.1番強い項でくくるタイプ」になることが多い。
x → a の極限で, の不定形になる場合に考える。「因数分解」→「約分」→「代入」とイメージ! 0 0
無理式が入っている不定形の場合に考える。
Ⅰ.式変形タイプ……簡単な式変形によって解くタイプ。主に下記3つのタイプがある。
を用いて解く!
62
8232
2
−−−−
xx
xxlimx → ∞
xx82
2
−xx61
2
分母・分子を最高次の項 x2
でくくった2
3
2
2
−
− −
=x
xlimx → ∞
xx61
2
00
xx82
2
0 0
2
3=
2
3
−
−
−
−= lim
x → ∞
1番強い項でくくる解法1番強い項で分母・分子で割る解法
∞ − ∞ の不定形は,1番強い項(最高次の項)でくくり, ∞∞ の不定形は,1番強い項でくくるか,
=x
01lim
x → ±∞k
x → ±∞のとき ( k は自然数)1番強い項で分母・分子で割って,
∞1 01
100…00
ImageImage
代入代入
1⋅ =∞
の不定形 0 0
の不定形 ∞ ∞
の不定形 ∞ ∞
の不定形 0 0
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三角関数の極限公式
<
<
<
<
<
<
三角関数を含んだ式で,不定形になる形は,まずこのタイプを考えるとよい。
21
111
12 =+
⋅=
cos12
−x
xlimx → 0 cos1
cos1cos12 +
+⋅−=
x
x
x
xlimx → 0
( )cos1
sin2
2
+=
xx
xlimx → 0
cos11sin
2
+⋅
=
xx
x( )
limx → 0
1cossin 22 =+ xx
cos1cos1
++
xxを掛けた
1
θθ
1
1θ
sin
2
θ tan
2
θ
tan2
1θ
2
θ
12
1θ⋅⋅
2
1sinθ12⋅
※ θ→ − 0 のときは,θ= − t と置きかえて,t = + 0 の形にして証明する。
θ→ + 0 のとき,cosθ→ 1,となるので,はさみうちの原理より
左図,△OAB,扇形△OAB,直角三角形OBCに着目して,面積の大きさを比べると下記の関係が成り立つ。
1sin
cos <θ
θθ<
sin
cos1
sin
1
θ
θ>
θ>
θ
右下例のような複雑な式の極限を求める場合には,この公式を用いてよいとされている。
θ
θθ
1sin
lim0→
=
θ → + 0 のとき, のときで考える。2
0π
θ< <
21
=cos1
2
−x
xlimx → 0
の証明
辺々にsinθを掛ける
辺々に2を掛けて逆数をとると(符号は逆になる)
xx
x1
sinlim
0→= の簡略証明
0→∞→x tのとき
とおく。xt 1=
1sin xxlim
x→ ∞
x→ ∞であることに注意!
1sin
==t
tlimt → 0
与式
321 ⋅=
32sinx
xlimx → 0
32
22sin
⋅=x
xlimx → 0 2
2を掛けた
例1例1
例2例2
例例
6=
11142
131 33 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
limx→ 0 cos
1
sin)2(
)2(
)2cos1(3
3
3sin 33
32
2= ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ x
xx
xx
x
xx
x
x
limx→ 0 sin
cos2
2
)2cos1(3
3
3sin3
32
2= ⋅⋅−⋅⋅
x
xx
x
xx
x
x
limx→ 0 tan
)2cos1(3sin3
−x
xx
1=sinxxlim
x → 0
1=sinxxlim
x → 0
1=sinxxlim
x → 0
21
=cos1
2
−x
xlimx → 0
1
1θ
O
C
A
BO
A A
B O B 1
θ
O
C
B
tanθ
よって
Point !
三角関数を含む不定形の極限のときに考える。
の公式が使えるように変形することがポイント!
Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ
xx
x1
sinlim
0→=
21
=cos1
2
−x
xlimx → 0
★ → 0 のとき,極限値は 1 !
準公式として の公式も覚えるとよい。
使い方のイメージ使い方のイメージ
★sin
★ ★sin★
の形を作って
Ⅱ.三角関数の極限公式タイプ …… 三角関数の極限公式を用いて解くタイプ。
扇形の面積
弧
半径
半径×弧の長さ×21
※右下扇形の面積参照
評価できた!
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はさみうちの原理・微分係数の定義
Point ! Point !
f (x) ≦ g (x) ≦ h (x) のとき,
はさみうちの原理 はさみうちの原理の使い方のイメージ
limx → ∞
h (x) =α
limx → ∞
f (x) =α limx → ∞
h (x) =α
ならば
かつ
x →∞より,x>0と考えてよいので,①全体をxで割って
1sin1……②
−xx
xx
≦≦
−1≦sin x≦1 ……①
sinx
xlimx → ∞
0sin =x
xはさみうちの原理からはさみうちの原理から lim
x → ∞
01
01
==−xx
limx → ∞
limx → ∞
より,
1=[ ]xx
limx → ∞
[ ]xx
limx → ∞
− [ ]1
1xx
xx
≦<∴
x →∞より,x>0
と考えてよいので,※全体をxで割って
x1−x ≦< [ x ] ……※
より,1==x
limx → ∞
− 1xx
limx → ∞
11
+
0
ガウス記号とは?
[ x ]は, x を超えない最大の整数のこと。例えば [3.6] だったら 3, [−2.4] だったら −3 に( −2 ではない)なる。
ガウス記号タイプ (減少関数)×(周期関数)タイプ
例例例例
例1例1 例2例2
3 3x log)(′f =x となり
e x e x− −)( =xf とおくと
e x e x+ −)(′f =x となり
xe x e x− −
xlim
0→
e 0 0e− −)( = =0f 0
2e 0 0e+ −= = = =与式 )(′fxlim
0→
( )0
0x
xf ( )0f
−−
x→ ∞であることに注意!x→ 0だったら,公式から1!
ほとんどの場合,他の方法でも解けるが,この方法を使うと.早く解けることがある。
=与式 x = =)(′flim0→
( )0
0x
xf ( )0f
−−
3log
x 0→
13lim −x
x
とおくと3)( =xfx
)( = =0f 130
limx → ∞
が求められないとき,★
★より小さくて極限が求められる●と,★より大きくて極限が求められる▲で評価(不等式ではさむ)する。
が求められる。( の値)limx → ∞
★あとは,はさみうちの原理から,
limx → ∞
● limx → ∞
▲ただし, =
limx → ∞
● limx → ∞
▲=
Ⅲ.はさみうちの原理タイプ
微分係数の定義 )( )()(′ ==−+af
h
afhafhlim
0→にあてはまるときに使う。
Ⅲ.はさみうちの原理タイプ …… はさみうちの原理を用いて解くタイプ。
Ⅳ.微分係数の定義タイプⅣ.微分係数の定義タイプ …… 微分係数の定義を用いて解くタイプ
主に三角関数主に三角関数
[ ]≦< xxx 1−ガウス記号を含んだ問題のポイントは, の不等式を作ることで,関数の極限でもこの不等式を利用する。
xlim
a→
( )ax
xf ( )af
−−
x減少関数
「x → ∞で『(減少関数)×(周期関数)』」 例: xe xsin− xsin,
『数列の極限』等,直接極限を求めることができないときに使う。ガウス記号を含むときや
のときに考える。limx → ∞
limx → ∞
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eに関する極限公式
11
+
x
x
limx → ∞
e= ( x は実数)②
11
+
x
x
limx → −∞
e= ( x は実数)③
( )11
h h+limh → 0
= e④
hhlim
h → 0=
log ( )1 1+
⑤
limh → 0
11 =−h
eh
⑥
ココがポイント!
※ この6つは特に指示がなければ証明なしに用いてよい。
11
+
n
n
limn → ∞
e= ( n は自然数)① ( =2.71818 )
x → ∞から x → −∞に拡張
自然数を実数に拡張
両辺に底をeとする対数をとると
とおくと=h tlog (1+
1x
h= とおくと
②と③において
lim★→ 0
11 =−★
e★
となることより
とおくと=h tlog ( )1+t より= eh1+ t= eh 1−
limt → 0
1=t1−e tよって
※証明は大学でやる。
★
★lim★→ 0
=log ( )1 1
+
使い方のイメージ使い方のイメージ
証明例題
証明例題
証明例題
証明例題
これが e の定義で出発点
( )3
81 x x+limx → 0
8
83
x= ( )81 x+×
limx → 0
24e=
( ){ }24
81
81 x x+= limx → 0
88を掛ける
22を掛けた
33を掛ける
ココがポイント!
44
4
11 x
x
+= lim
x → ∞
4= t
x とおくと,x → ∞ のとき,t → ∞
4
11 x
x
+lim
x → ∞
4
11
+
t
t
limt → ∞
与式 =
4e =
44を掛けた
ココがポイント!
limx → 0
limx → 0
221 =×=
331 =×=
=
limx → 0
22
)21log(= ×+
x
x
limx → 0
)21log( +x
x
33
1
1
3
3
×−
−
x
ex
e
x
x
両辺に底をeとする対数をとると
( )11
h h+limh → 0
= elog log
limh → 0
( )1 hh
+log= 1⇔
②と③から④が導ける!②と③から④が導ける!
Point !
1x
h= とおくと
x → ±∞のとき,h → ±0 となるので
( )11
h h+limh → 0
= e
11
−
t
−t
limt → ∞
=1
−
tt
−t
limt → ∞
=1
−t
t
t
limt → ∞
=1
1 1
−+
t
t
limt → ∞
⋅=1
1 1
−+
t
t −1
11 1
−+
tlimt → ∞
1⋅= e = e
x = − t とおくと,x → −∞のとき,t → ∞ より
xを自然数ではさんで(n ≦x≦n + 1)はさみうちの原理から示す。 ①~④の使い方のイメージ
11 =
+ ex
x
limx → ∞
11 =
+ ex
x
limx → ∞
( )11
=+ ex xlimx → 0
( )11
=+ ex xlimx → 0
limx → 0
11 =−x
ex
limx → 0
11 =−x
ex
xxlim
x → 0=
log ( )1 1+
xxlim
x → 0=
log ( )1 1+
使い方のイメージ使い方のイメージ
)
→ 0 → ∞
と が逆数の関係になっていて
つまり,1∞ ⇒ e,
1
+lim
x → ∞1
+lim
x → ∞= e= e
①~④の使い方のイメージ
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ロピタルの定理の使い方
'
'=
さらに, f ( a )= 0, g ( a )= 0 のとき,
が成り立つ。
が成り立つ。
において, f ( a )= 0, g( a )= 0 のとき,f ( x )
g( x )
f ( x )
g( x )
f ( x )
g( x )
f ( x )
'f ( x )
g ( x )
'g ( x )
00
0012
0
020
− 1−−−→→ x
x
x
e
x
xe
例1
例2
例3
例えば のとき, なので,
00
なので,2 ×0
10
0
−→x
e20→
x
x
e21
22212
02
0==−=−−
→→
xx
x
x
x
x = 0 を代入すると
ex
ex
xe
00
x=0 を代入すると 00 やっと代入できる!まだ
ロピタルの定理ロピタルの定理
( ) 21
111
1cos11sin
cos1
sincos1cos1cos1cos1 2
2
02
2
022 limlimlimlim
lim lim lim
=+
⋅=+
⋅
=
+=
++
⋅−
=−
→→ xx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xx ( )
cos1cos1
++
xx
21
20cos
2cos
2sincos1
2====
− x
x
x
x
x
微分微分
微分微分
代入
551510
12
1 1010
0limlim
lim lim
=⋅=⋅−=−→ x
ex
e xx
x
0→x 0→x
0→x 0→x
0→x
0→x
0→x
0→x
1
55 を掛ける
微分
代入微分
52
102
102
102
1 01010
==⋅
=⋅
=− eex
e xx
( ) ( )
( ) ( )=
+⋅+⋅
=++
=+−+−
=−−−−
2→2→→ x
x
xx
xx
xx
xxxxx 7
10322423
3243
322432
62823
limlimlim
lim lim
2
2
2
因数分解 約分 代入
710
1426
62823
22
2
2=
−−
=−−−−
→→ x
x
xx
xxxx
微分
微分
代入ロピタルの定理を使うと
微分 微分
1
ax→limax→
lim
lim
21
0
−→
x
x x
elim lim lim lim
0→xlim
211
020
−=
−−→→
x
x
x
x x
exxe
'g ( x ) 'g ( x )
''
'
f ( x ) '
'
'f ( x )
lim lim
ax→lim
''
' ' '
' =
=
が成り立つ。f ( x )
g ( x )
f ( x )
g ( x )ax→lim
ax→lim
lim
lim
を掛ける
10cos =
※一般にロピタルの定理は「高校の範囲外」 ということで、入試では使ってはいけない と言われている。しかし、穴埋め問題や 検算に使うと非常に便利である。
f ( 0 )= 0
f ( 0 )= 0
g( 0 )= 0
g ( 0 )= 0
' '
つまりつまり
一般的な解法一般的な解法
一般的な解法一般的な解法
一般的な解法一般的な解法
ロピタルの定理を使うと
ロピタルの定理を使うとロピタルの定理を使うと
ロピタルの定理を使うとロピタルの定理を使うと
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関数の極限 例題 一覧表
例題25例題25
例題29例題29
例題28例題28例題26例題26 例題27例題27
例題30例題30
x
ax 1−xlim
0→ limx → 0
22
211
1
−−
xx
x
21
x
x
−lim
x →∞limx → 0
− −
x
ee xx
limx → ∞
3232 22 +−−++ xxxxlimx → 0 1 2− e
xx
例題21例題21
例題19例題19
例題23例題23例題22例題22
例題20例題20
例題24例題24
2
coslim2 −→ x
x
x ππ
limx → 0
)2sin (sinx
x limx → ∞ + xx
x
32
4
2
xxlim
x → 0limx → ∞
3
12
2
x
xx
−
2
2
sinx
xθlimx → ∞
例題17例題17
例題16例題16例題15例題15例題10例題10例題13例題13 例題14例題14
例題18例題18
cosx
xlimx → ∞ 5
3sinx
xlimx → 0
( ){ }xxx log1log −+limx → ∞
1sin xxlim
x→ ∞
( )2
61 x x+limx → 0
−−−
x
xx
9152
2
2
limx → ∞
例題7例題7 例題8例題8
例題11例題11例題9例題9 例題10例題10 例題12例題12
tanx
xlimx → 0
1tanx
xlimx → ∞
xe xsin−limx → ∞
21
2
+ x
x
limx → ∞
limx → 0
15 −x
e x
−−−
x
xx
9152
2
2
limx → 3
例題3例題3例題1例題1 例題2例題2 例題4例題4
例題5例題5 例題6例題6
limx → 1 1
323
−−++
x
xxx
43
442 +++
+xxx
xlimx → ∞
( ){ }xx log1log −+limx → ∞
( )
231log +
xxlim
x → 0
sin xxlim
x → 0
cos12
−θ
3θlimθ → 0
※次の関数の極限値を求めよ。
)(
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関数の極限 練習問題①
例題3例題3
例題1例題1 例題2例題2
例題4例題4
例題5例題5 例題6例題6
6=
= limx → 1 1
)32)(1( 2
−++−
x
xxx
limx → 1 1
323
−−++
x
xxx
224
11
4==
+=
43
442 +++
+xxx
xlimx → ∞
431
44
2 +++
+=
xx
xx
xlimx → ∞
0
0 0
= 0
1log=
xx 1
log
+= lim
x → ∞
( ){ }xx log1log −+limx → ∞
x1
1log
+= lim
x → ∞
0
23
231 =⋅=
( )
231log +
xxlim
x → 0
23
3⋅=
x( )31log + xlim
x → 0
= limx → 1
322 ++ xx )(
分母・分子を最高次の項 x で 割った
( )1
1log=
+x
xlimx → 0
( )1
1log=
+x
xlimx → 0
33を掛けた
ba
ba logloglog =−
因数分解
約分
代入1
11
==
sin xxlim
x → 0
sin=
xx
xx
limx → 0
分母分子を x で割った
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin x
xlimx → 0公式として としていいが
ここではきちんと示した。
21
9 =⋅29=
cos12
−θ
3θlimθ → 0
cos12
− 3θ3θ
limθ → 0= ( )
9⋅ 99を掛ける
21
=cos12
−θ
θlimθ → 0
ココでは準公式を用いる方法を使った。ココでは準公式を用いる方法を使った。
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関数の極限 練習問題②例題7例題7 例題8例題8
例題11例題11
例題9例題9 例題10例題10
例題12例題12
0cos1
1 ⋅=
tanx
xlimx → 0
cos1sin
⋅=
xxxlim
x → 0
cossin1
⋅=
x
x
xlimx → 0
111
1 =⋅= 10cos =
1=
xt とおくと x → ∞ のとき,t → 0
1tanx
xlimx → ∞
tan tt
limt → 0
与式 =
1
11 1⋅= =
xe xsin−limx → ∞
はさみうちの原理から
xe xsin−limx → ∞
0=
e x−limx → ∞
0= より
−( )e x−limx → ∞
0=
−1≦ sin x ≦1 より
−e−x≦ e−xsin x ≦e−x
t → 0lim
cos
1sin ⋅
tt
t= x
xx cossintan =
10cos =
両辺にe−x を掛けた
グラフから考える!
グラフから考える!
xxx cos
sintan =
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
(減少関数)×(周期関数)
はさみうちを使うため評価した
21
2
+ x
x
limx → ∞
2 ∞= よりxlimx → ∞
02
1=
xlimx → ∞
121
1
+x
limx → ∞
=
11
10 +∴ =与式 =
分母・分子を最高次の項 2 x で 割った
551 == ×
limx → 0
= 55
15
×−x
e x
limx → 0
15 −x
e x
limx → 0
11 =−x
ex
limx → 0
11 =−x
ex
−−−
x
xx
9152
2
2
limx → 3
( ) ( )
( ) ( )+−+−
=xx
xx
33523lim
x → 3
++
=xx
352lim
x → 3
=++⋅
=6
1133532
因数分解
約分
代入
55を掛けた
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関数の極限 練習問題③
例題17例題17
例題16例題16例題15例題15
例題10例題10例題13例題13 例題14例題14
例題18例題18
x →∞より,x>0と考えてよいので,①全体をxで割って
1cos1−xx
xx
≦≦
−1≦cos x≦1 ……①
cosx
xlimx → ∞
0cos =x
xはさみうちの原理から limx →∞
01
01
==−xx
limx → ∞
limx → ∞
より,
531 ⋅=
53sinx
xlimx → 0
53
33sin
⋅=x
xlimx → 0 3
3を掛けた
elog= 1=
xx
11log
+= lim
x → ∞
( ){ }xxx log1log −+limx → ∞
x
xx
1log
+
= limx → ∞
x
x
11log
+= lim
x → ∞
ba
ba logloglog =−
log logmk mak
a=
11 =
+ ex
x
limx → ∞
11 =
+ ex
x
limx → ∞
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
x→ ∞であることに注意!x→ ∞であることに注意!
0→∞→x tのとき
とおくとxt 1=
1sin xxlim
x→ ∞
1sin
==t
tlimt → 0
与式
(減少関数)×(周期関数)
はさみうちを使うため評価
66を掛けた
( )2
61 x x+limx → 0
6
62
x= ( )61 x+×
limx → 0
12e=
( ){ }12
61
61 x x+= limx → 0
( )11
=+ ex xlimx → 0
( )11
=+ ex xlimx → 0
= 2
−−−
x
xx
9152
2
2
limx → ∞
−
−−=
x
xx
91
1512
2
2
limx → ∞
0 0
0
分母・分子を最高次の項 x2
で割った
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関数の極限 練習問題④
2x − 1 2x − 1
を掛ける
例題21例題21
例題19例題19
例題23例題23
例題22例題22
例題20例題20
例題24例題24
2
coslim2 −→ x
x
x ππ
2=− tx
πとおくと = tx
2+π
lim 22
2sin2sin
)2sin (sin ⋅⋅=x
xx
x
2sin x 0→0→x tのときとおくとt=
2
π0 → →x tのとき
2cos
+
t
tπ
limt → 0
=与式
− sin t=2
cos
+t
π
sin2xsin2x
を掛ける
22を掛ける
limx → 0 2sin
)2sin (sinx
x1
sin==
ttlim
t → 0
limx → 0 2sin
)2sin (sinx
x において
limx → 0
x → 0
2sin2sin
)2sin (sin ⋅=x
xx
x与式
2211 =⋅⋅=よって, 与式
=t
limt → 0
− sin t
1= −
= ∞
limx → ∞
=
+
xx
4
3
2
1
1
limx → ∞ + xx
x
32
4
x<0 のとき, xx −=
x>0 のとき, xx =
2
xxlim
x → 0
2
xx2
xx =lim
x → + 0limx → + 0
x= =limx → + 0
0
)(2
xx
x −−lim
x → − 0
2
xx = lim
x → − 0= =lim
x → − 00
2
xxlim
x → 0= 0よって,
2
3
e=
limx → ∞
=3
12
11
x
x
−+
limx → ∞
3
12
2
x
xx
−
limx →∞
=12
312
12
11
xx
x
−+
−−
limx → ∞
=12
312
12
11
x
x
xx
−+
−−
2→x
πだと考えにくいので
置換するのがポイント!
2
2
sinx
xθlimx → ∞
2
2
sinx
xθlimx → ∞
0=
はさみうちの原理から
2 01 =x
limx → ∞
より
0≦ sin 2xθ≦1 より
1≦≦ 2x 2x
sin 2xθ0 辺々を x2 で 割った
(減少関数)×(周期関数)
はさみうちを使うため評価した
分母・分子を最高次の項 4 x で 割った
0 0
分子の次数を下げた
11 =
+ ex
x
limx → ∞
11 =
+ ex
x
limx → ∞
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
1=sin xx
limx → 0
0
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関数の極限 練習問題⑤例題25例題25
例題29例題29
例題28例題28
例題26例題26
例題27例題27
例題30例題30
0a 1)( = =0f
ax)( =xf とおくと
a ax log)(′f =x となり
x
ax 1−xlim
0→
= =a alog alog0
x= =与式 )(′flim0→
( )0
0x
xf ( )0f
−−
よって,極限値は存在しない。
limx → − 0
0
21
12
=
−−
xlimx → − 0 より2
1
∞=−
x
1−
xlimx → + 0
1
21
12
=
−−
xlimx → + 0
より02 =
limx → 0
22
211
1
−−
xx
x
limx → 0
21
12
−−
x
= 分母・分子に 21x で割った
微分係数の定義微分係数の定義
2e
1=
2e= −
21
x
x
−lim
x →∞
11 2=+=
limx → 0
limx → 0
11=
−+
− e
x
e x
limx → 0
limx → 0
11=
−−− −
x
e
x
e xx
limx → 0
11=
+− − −
x
ee xx
limx → 0
− −
x
ee xx
−x
− x
2
221
x
x
−
+=
−
−limx →∞
分子に1を足して引いた
limx → 0
11 =−x
ex
limx → 0
11 =−x
ex
− 2− 2 を掛けた
11 =
+ ex
x
limx → ∞
11 =
+ ex
x
limx → ∞
211
4=
+limx → ∞
=
321
321
4
22+−+++
limx → ∞
=
xxxx
3232
422 +−+++
limx → ∞
=xxxx
x
3232
)32()32(
)
)
(
(
22
22
+−+++
+−−++limx → ∞
=xxxx
xxxx
limx → ∞ 3232
32323232
22
2222
+−+++
+−+++⋅+−−++=xxxx
xxxxxxxx
limx → ∞
3232 22 +−−++ xxxx
0 0 0 0
分母分子を x で割った
有理化
2
11
1
11
1−=
−⋅+
=
limx → 0 1
11
1 −−⋅
+=
x
ee xx
limx → 0 )1)(1( −+=
ee
xxx
limx → 0 1 2− e
xx
分母分子を x で割って変形
因数分解
limx → 0
11 =−x
ex
limx → 0
11 =−x
ex