Γ 関数と B(ベータ)関数

. – p.1/13

Γ 関数と B 関数[定義]

Γ (s) =

∫

∞

0

xs−1e−xdx (s > 0)

を Γ 関数とよぶ。

性質

特に

. – p.2/13

Γ 関数と B 関数[定義]

Γ (s) =

∫

∞

0

xs−1e−xdx (s > 0)

を Γ 関数とよぶ。[性質]

特に

. – p.2/13

Γ 関数と B 関数[定義]

Γ (s) =

∫

∞

0

xs−1e−xdx (s > 0)

を Γ 関数とよぶ。[性質]

• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =

∫

∞

0

e−xdx = 1

特に

. – p.2/13

Γ 関数と B 関数[定義]

Γ (s) =

∫

∞

0

xs−1e−xdx (s > 0)

を Γ 関数とよぶ。[性質]

• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =

∫

∞

0

e−xdx = 1

• Γ (s + 1) = sΓ (s) 特に Γ (n) = (n − 1)!

. – p.2/13

Γ 関数と B 関数[定義]

Γ (s) =

∫

∞

0

xs−1e−xdx (s > 0)

を Γ 関数とよぶ。[性質]

• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =

∫

∞

0

e−xdx = 1

• Γ (s + 1) = sΓ (s) 特に Γ (n) = (n − 1)!

∵ Γ (s + 1) =

∫

∞

0

xse−xdx

. – p.2/13

Γ 関数と B 関数[定義]

Γ (s) =

∫

∞

0

xs−1e−xdx (s > 0)

を Γ 関数とよぶ。[性質]

• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =

∫

∞

0

e−xdx = 1

• Γ (s + 1) = sΓ (s) 特に Γ (n) = (n − 1)!

∵ Γ (s + 1) =

∫

∞

0

xse−xdx

=[

−xse−x]

∞

0+ s

∫

∞

0

xs−1e−xdx = sΓ (s)

. – p.2/13

Γ 関数と B 関数[性質続き]

• Γ(

12

)

=√

π

において と置換すると

スターリングの公式

. – p.3/13

Γ 関数と B 関数[性質続き]

• Γ(

12

)

=√

π

∵ Γ

(

1

2

)

=

∫

∞

0

x−1

2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると

スターリングの公式

. – p.3/13

Γ 関数と B 関数[性質続き]

• Γ(

12

)

=√

π

∵ Γ

(

1

2

)

=

∫

∞

0

x−1

2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると

= 2

∫

∞

0

e−t2dt

スターリングの公式

. – p.3/13

Γ 関数と B 関数[性質続き]

• Γ(

12

)

=√

π

∵ Γ

(

1

2

)

=

∫

∞

0

x−1

2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると

= 2

∫

∞

0

e−t2dt

=√

π

スターリングの公式

. – p.3/13

Γ 関数と B 関数[性質続き]

• Γ(

12

)

=√

π

∵ Γ

(

1

2

)

=

∫

∞

0

x−1

2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると

= 2

∫

∞

0

e−t2dt

=√

π

[スターリングの公式]

lims→+∞

Γ (s + 1)√

2πs(s+1)/2e−s= 1

. – p.3/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。

性質　 とおく。

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

　 とおく。

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

• B(p, q) = 2

∫ π

2

0

cos2p−1θ sin2q−1θdθ 　 (x = cos2 θ とおく。)

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

• B(p, q) = 2

∫ π

2

0

cos2p−1θ sin2q−1θdθ 　 (x = cos2 θ とおく。)

• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)

Γ (p + q)

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

• B(p, q) = 2

∫ π

2

0

cos2p−1θ sin2q−1θdθ 　 (x = cos2 θ とおく。)

• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)

Γ (p + q)

∵ Γ(s)=2

∫

∞

0

e−t2t2s−1dt

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

• B(p, q) = 2

∫ π

2

0

cos2p−1θ sin2q−1θdθ 　 (x = cos2 θ とおく。)

• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)

Γ (p + q)

∵ Γ(s)=2

∫

∞

0

e−t2t2s−1dt ∴ Γ(p)Γ(q)=4

∫

∞

0

∫

∞

0

e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

• B(p, q) = 2

∫ π

2

0

cos2p−1θ sin2q−1θdθ 　 (x = cos2 θ とおく。)

• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)

Γ (p + q)

∵ Γ(s)=2

∫

∞

0

e−t2t2s−1dt ∴ Γ(p)Γ(q)=4

∫

∞

0

∫

∞

0

e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy

=

∫

∞

0

2e−r2

r2(p+q)−1dr

∫ π

2

0

2 cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[定義]

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)

を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]

• B(p, q) = 2

∫ π

2

0

cos2p−1θ sin2q−1θdθ 　 (x = cos2 θ とおく。)

• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)

Γ (p + q)

∵ Γ(s)=2

∫

∞

0

e−t2t2s−1dt ∴ Γ(p)Γ(q)=4

∫

∞

0

∫

∞

0

e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy

=

∫

∞

0

2e−r2

r2(p+q)−1dr

∫ π

2

0

2 cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ = Γ(p + q)B(p, q)

. – p.4/13

Γ 関数と B 関数[例題]

自然数 nについて、定積分

I(n) =

∫ π

2

0

sinnx dx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。

解答例

. – p.5/13

Γ 関数と B 関数[例題]

自然数 nについて、定積分

I(n) =

∫ π

2

0

sinnx dx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

I(n) =1

2B

(

1

2,n + 1

2

)

. – p.5/13

Γ 関数と B 関数[例題]

自然数 nについて、定積分

I(n) =

∫ π

2

0

sinnx dx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

I(n) =1

2B

(

1

2,n + 1

2

)

=Γ

(

12

)

Γ(

n+12

)

2Γ(

n2

+ 1) =

√π

2·

Γ(

n+12

)

Γ(

n2

+ 1)

. – p.5/13

Γ 関数と B 関数これより

I(2n) =

√π

2·Γ

(

n + 12

)

Γ (n + 1)

. – p.6/13

Γ 関数と B 関数これより

I(2n) =

√π

2·Γ

(

n + 12

)

Γ (n + 1)

=

√π

2 · n!

(

n −1

2

) (

n −3

2

)

· · ·

(

n −1

2− (n − 1)

)

Γ

(

1

2

)

. – p.6/13

Γ 関数と B 関数これより

I(2n) =

√π

2·Γ

(

n + 12

)

Γ (n + 1)

=

√π

2 · n!

(

n −1

2

) (

n −3

2

)

· · ·

(

n −1

2− (n − 1)

)

Γ

(

1

2

)

=π

2 · n!·

1

2n(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1

. – p.6/13

Γ 関数と B 関数これより

I(2n) =

√π

2·Γ

(

n + 12

)

Γ (n + 1)

=

√π

2 · n!

(

n −1

2

) (

n −3

2

)

· · ·

(

n −1

2− (n − 1)

)

Γ

(

1

2

)

=π

2 · n!·

1

2n(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1

=π

2·(2n − 1)!!

(2n)!!

. – p.6/13

Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =

√π

2·

Γ (n + 1)

Γ(

n + 1 + 12

)

. – p.7/13

Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =

√π

2·

Γ (n + 1)

Γ(

n + 1 + 12

)

=

√π

2·

n!(

n + 12

) (

n − 12

) (

n − 32

)

· · ·(

n + 12− n

)

Γ(

12

)

. – p.7/13

Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =

√π

2·

Γ (n + 1)

Γ(

n + 1 + 12

)

=

√π

2·

n!(

n + 12

) (

n − 12

) (

n − 32

)

· · ·(

n + 12− n

)

Γ(

12

)

=1

2·

2n+1n!

(2n + 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1

. – p.7/13

Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =

√π

2·

Γ (n + 1)

Γ(

n + 1 + 12

)

=

√π

2·

n!(

n + 12

) (

n − 12

) (

n − 32

)

· · ·(

n + 12− n

)

Γ(

12

)

=1

2·

2n+1n!

(2n + 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1

=(2n)!!

(2n + 1)!!

. – p.7/13

Γ 関数と B 関数[練習問題１]

自然数 nについて、定積分∫ 1

−1

(1 − x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。

解答例と置換すると

. – p.8/13

Γ 関数と B 関数[練習問題１]

自然数 nについて、定積分∫ 1

−1

(1 − x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

t =x + 1

2と置換すると

. – p.8/13

Γ 関数と B 関数[練習問題１]

自然数 nについて、定積分∫ 1

−1

(1 − x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

t =x + 1

2と置換すると∫ 1

−1

(1 − x2)ndx = 22n+1

∫ 1

0

tn(1 − t)ndt

. – p.8/13

Γ 関数と B 関数[練習問題１]

自然数 nについて、定積分∫ 1

−1

(1 − x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

t =x + 1

2と置換すると∫ 1

−1

(1 − x2)ndx = 22n+1

∫ 1

0

tn(1 − t)ndt

= 22n+1B(n + 1, n + 1)

. – p.8/13

Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2

Γ (2n + 2)

. – p.9/13

Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2

Γ (2n + 2)

= 2 ·(2nn!)2

(2n + 1)!

. – p.9/13

Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2

Γ (2n + 2)

= 2 ·(2nn!)2

(2n + 1)!

= 2·(2n(2n − 2) · · · 2)2

(2n + 1)2n(2n − 1)(2n − 2) · · · 2 · 1

. – p.9/13

Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2

Γ (2n + 2)

= 2 ·(2nn!)2

(2n + 1)!

= 2·(2n(2n − 2) · · · 2)2

(2n + 1)2n(2n − 1)(2n − 2) · · · 2 · 1

= 2(2n)!!

(2n + 1)!!

. – p.9/13

Γ 関数と B 関数[練習問題２]

自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞

0

xm

(1 + x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。

解答例と置換すると

. – p.10/13

Γ 関数と B 関数[練習問題２]

自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞

0

xm

(1 + x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

x = tan θ と置換すると

. – p.10/13

Γ 関数と B 関数[練習問題２]

自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞

0

xm

(1 + x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

x = tan θ と置換すると∫ +∞

0

xm

(1 + x2)ndx =

∫ π

2

0

cos2n−m−2 θ sinm θdθ

. – p.10/13

Γ 関数と B 関数[練習問題２]

自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞

0

xm

(1 + x2)ndx

を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]

x = tan θ と置換すると∫ +∞

0

xm

(1 + x2)ndx =

∫ π

2

0

cos2n−m−2 θ sinm θdθ

=1

2B

(

2n − m − 1

2,m + 1

2

)

. – p.10/13

Γ 関数と B 関数m = 2m′ のとき

=π

2n·(2n − 2m′ − 3)!!(2m′ − 1)!!

(n − 1)!

のとき

. – p.11/13

Γ 関数と B 関数m = 2m′ のとき

=π

2n·(2n − 2m′ − 3)!!(2m′ − 1)!!

(n − 1)!

m = 2m′ + 1のとき

=1

2n−1·(2n − 2m′ − 4)!!(2m′)!!

(n − 1)!

. – p.11/13

誤差関数[定義]

erf(x) =2√

π

∫ x

0

e−t2dt

を誤差関数 (error function)とよぶ。

練習問題より とおく

なので

. – p.12/13

誤差関数[定義]

erf(x) =2√

π

∫ x

0

e−t2dt

を誤差関数 (error function)とよぶ。

練習問題より √π = Γ (1

2) = 2

∫

∞

0

e−t2dt ( x = t2 とおく)

なので erf(+∞) = 1

. – p.12/13

宿題

一年生の時の微分積分の教科書の該当箇所 (第５章)の練習問題。

. – p.13/13