Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Introdução
O método dos momentos é uma técnica numérica, analiticamentesimples e versátil, usada para solucionar equações integrais lineares.A idéia básica associada ao MOM é reduzir uma equação integral emuma equação matricial.
Suas soluções nos casos práticos são aproximadas, porém com elevadaprecisão para os propósitos da engenharia.
O MOM requer grande esforço computacional, levando-o a terlimitações que são a velocidade de simulação e a capacidade dearmazenamento de dados no computador. Assim a utilização dessatécnica numérica é “limitada” para geometrias complexas.
MOMSeja a equação:
Onde:• L é um operador qualquer (conhecido)• g é a fonte ou excitação (conhecida) • f é o campo ou resposta (função desconhecida).
L f g
A função desconhecida f é expandida em uma combinação linear deN funções, no domínio do operador L:
1 1 2 2
1
...N
n n n n
n
f f f f f
Onde• n são constantes desconhecidas• fn é conhecida como função de base (ou de expansão).
MOM
Substituindo a última equação na penúltima tem-se:
Onde, f e g são funções complexas.
1 1
N N
n n n n
n n
L f g L f g
MOM
Assumindo um produto escalar ajustável <f, g> a solução do problemaindicado pode ser determinada. Para isso definem-se funções de peso(ou de teste) da forma w1,w2,…,wm, no domínio de L, e faz-se oproduto escalar da última equação para cada wm, tem-se:
Tal equação transportada para a forma matricial gera:
1
, , 1,2,3,...,N
n m n m
n
w L f w g m N
mn n mI g
1 1 1
1
, ,
, ,
n
mn
m m n
w L f w L f
I
w L f w L f
1,
,
m
m
w g
g
w g
1
n
n
MOM
Se a matriz [Imn ] é não singular então [Imn]-1 existe, assim n é dadopor:
com o valor de n encontrado determina-se o valor de f.
A solução para f pode ser mais ou menos aproximada dependendo dasescolhas do tipo das funções de base e de peso, fn e wm,respectivamente.
Por um lado, para se ter soluções mais exatas pode-se assumir umnúmero maior de funções de base e de peso.
1
n mn mI g
1
n n n mn mf f f I g
MOM
• Uma das principais tarefas na solução pelo MOM é a escolha de fn ewm apropriadas.
• Um caso particular, conhecido como Método de Galerkin, é quandofn=wm.
• A função fn deve ser linearmente independente e escolhida de modoa aproximar a função de f relativamente bem quando for superposta.
• A função wm também deve ser linearmente independente e escolhidade maneira tal que os produtos escalar <wm, g> sejam relativamenteindependentes das propriedades de g.
• É vantajoso escolher funções de base e de peso que minimizem osesforços computacionais para o cálculo da integral e do produtoescalar respectivamente.
MOM
Outros fatores a serem considerados:
• Precisão da solução desejada
• Facilidade de avaliação dos elementos da matriz.
• Tamanho da matriz a ser invertida .
• Obtenção de uma matriz [Imn ] bem comportada.
MOM
De acordo com a equação:
têm-se N2 termos para avaliar. Cada termo exige duas ou maisintegrações, uma para o calculo de L(f) e uma no produto escalar.
Quando se utiliza a integração numérica uma grande capacidadecomputacional é requerida, ou seja, é exigido um grande tempo desimulação.
1 1 1
1
, ,
, ,
n
mn
m m n
w L f w L f
I
w L f w L f
MOM
Para diminuir o esforço computacional é possível utilizar um grupo defunções de peso que reduzem o número de integrais a seremresolvidas. Essas wm são conhecidas como funções de teste Delta deDirac e são definidas como:
Onde p é a posição de referência e pm é a posição onde a condição decontorno é forçada.
1 2, ,...m mw p p p p p p
1
, , 1,2,3,...,N
m n m n
n
p p g p p L f m N
,f g f g ds
1
1,2,3,...,N
m n m n
n
p p g ds p p L f ds m N
1
1,2,3,...,m m
N
n np p p pn
g L f m N
MOM
Deste modo observa-se que a única integral a ser calculada é L(fn).Tal simplificação possibilita algumas soluções que são impraticáveiscom o uso de outras funções de teste. Fisicamente o uso das funçõesdelta de Dirac são tidas como a relaxação das condições decontorno, que fazem com que sejam forçados pontos discretos nasuperfície da estrutura analisada.
MOM
Funções de Base
As funções de base que são utilizadas, na prática, nos problemasdeterminísticos numéricos dividem-se em duas classes. A primeiraclasse são as funções de subdomínio que são não nulas apenas sobre auma parte da superfície da estrutura analisada. A segunda classe sãoas funções de domínio-inteiro que existem ao longo de todo o domínioda função desconhecida.
MOM
Funções de Subdomínio
São as mais comuns entre as funções de expansão. Sua vantagemreside no fato de sua utilização ser possível sem o conhecimentoprévio da natureza das funções que devem representar. Ao contráriodas funções de domínio-inteiro.
A abordagem dessa classe envolve a subdivisão da estrutura em Nsegmentos não coincidentes. Para tornar mais claro o entendimento,os segmentos são colineares e de igual comprimento, embora essacondição não seja necessária.
As funções fn são definidas em conjunto com os limites de um oumais segmentos.
MOM
A função de base mais comum dessa classe e conceitualmente maissimples é ao pulso, definido como:
Uma vez que os coeficientes n associados a fn são determinados,então está função produz uma representação em escada da funçãodesconhecida.
11
0
n n
n
x x xf x
caso contrário
nf x
1 1f x 2 2f x 3 3f x
n n
n
f x
MOM
Outra função comum nesse grupo são as triangulares, definidas como:
O aumento das funções desubdomínio para além da funçãotriangular não se justifica, poisa melhora da precisão nãocompensa, tendo em vista oaumento da complexidadecomputacional. Contudo outrasfunções podem ser usadas emcasos específicos.
nf x
11
1
11
1
0
nn n
n n
nn n n
n n
x xx x x
x x
x xf x x x x
x x
caso contrário
MOM
Outra função comum nesse grupo são as Senoidais, definidas como:
1
1
1
1
1
1
sin
sin
sin
sin
0
n
n n
n n
n
n n n
n n
x xx x x
x x
x xf x x x x
x x
caso contrário
nf x
1 1f x 2 2f x
3 3f x
MOM
Também podem ser definidas funções truncadas:
1
1cos2
0
n nn n
n
x xx x x x
f x
caso contrário
nf x
1 1f x 2 2f x 3 3f x
MOM
Funções de Domínio-inteiro
São definidas não nulas ao longo de toda a estrutura considerada.Segmentações não são utilizadas nessa classe. Uma função comumdessa classe é a senoidal representada por:
A principal vantagem dessas funções está associada à problemas onde afunção desconhecida tem inicialmente um padrão.
A representação de uma função cosseno e/ou seno de domínio-inteiro ésemelhante à expansão da série de Fourier para funções arbitrárias.
Por meio dessas funções é difícil modelar funções desconhecidascomplicadas ou arbitrárias.
22
12cos
lx
l
l
xnxfn
MOM
Método do Ponto de Observação (Point Matching)
A transformação da integral na matriz é geralmente difícil emproblemas práticos. Assim desenvolveu-se uma maneira simples parase obter soluções aproximadas.
A função fn é escolhida para cada L(fn), onde seu valor possa serconvenientemente especificado, em forma fechada preferencialmenteou numericamente.
Têm-se uma equação com N partes desconhecidas, mas somente issonão é suficiente para que seja calculado o valor da constantedesconhecida n. Para se encontrar a resposta desse último problemaé necessário se obter N equações lineares independentes, o que podeser feito por avaliação em N pontos discretos e distintos. Esseprocedimento é denominado método dos pontos de observação (pointmatching method).
MOM - Aplicações
Eletrostática:
MOM - AplicaçõesConsidere um fio fino condutor de raio a e comprimento L (L>>a)localizado no espaço livre:
Estando o fio em um potencial Vo deseja-se determinar a densidadede cargas ao longo do fio e os valores do campo em qualquer ponto.
Da equação de Poisson tem-se:
L
L
R
dlV
00
04
MOM - Aplicações
Para um ponto fixo Yk no fio, tem-se:
Se y é pequeno, pode-se considerar a seguinte aproximação:
L
k
L
yy
dyyV
00
04
1
N
k
yk
yNyy
L
yf
yfyfyfdyyf
1
210
...
MOM - Aplicações
Com o fio dividido em n segmentos de comprimento , tem-se:
=L/N = y
L
k
L
yy
dyyV
00
04
1
Nk
N
kk yyyyyyV
...4
2
2
1
100
MOM - Aplicações
Sendo a densidade de carga desconhecida k e como a equaçãoanterior deve ser válida para todos os pontos sobre o fio, tem-se:
Funções de base: Pulso Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)A integral foi aproximada
NN
N
NN
N
N
N
N
yyyyyyV
yyyyyyV
yyyyyyV
...4
...4
...4
2
2
1
100
222
2
12
100
121
2
11
100
MOM - Aplicações
Ou seja:
MOM - Aplicações
Para os termos da diagonal principal, cuidado ! Singularidades !
Escrevendo de uma forma mais rigorosa,tem-se:
Para minimizar a
singulariadade uma opção é:
pontos de observação no
centro e fonte na superfície.
Proceder a avaliação da
integral de forma numérica ou
fechada.
MOM - Aplicações
Como o fio é condutor, a densidade de carga superficial aparecesomente na superfície. Pode-se considerar a seguinte solução:
>> a:
MOM - Aplicações
O campo pode ser calculador por:
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
MOM - Aplicações
Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:
MOM - Aplicações
De forma mais rigorosa tem-se:
Função de base
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
Considerando outra geometria de condutor:
MOM - Aplicações
MOM - AplicaçõesEletrostática: Determine a capacitância de um capacitor de placasparalelas. Seja a = 1m, b = 1 m, d = 1m e r = 1.
Para determinar s a placa P1 foi dividida em n subáreas S1, S2, ...,Sn e a placa P2 em n subáreas Sn+1, Sn+2, ..., S2n.
20
Q
V
QC
dsq s
MOM - Aplicações
Assumindo que a densidade de carga é uniforme:
O potencial no centro de cada subárea,Vi, é:
i
i
S ij
n
j
j
S ij
j
S
n
j
Si
R
dS
R
dS
R
dSV
2
1 0
2
1 00
4
1
4
1
4
iS ij
ij
n
j
ijji
R
dSA
AV
0
2
1
4
1
MOM - Aplicações
Funções de base: Pulso Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)
n
j
jnjn
n
j
jnjn
n
j
njjn
n
j
jj
n
j
jj
AV
AV
AV
AV
AV
2
1
,22
2
1
,11
2
1
2
1
22
2
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2,22,21,2
2,22221
2,11211
nnnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
MOM - Aplicações
Para determinar Aij as subáreas podem estar sobre a mesma placa ouplacas diferentes.
Assumindo:
Pode-se mostrar que:
222
0
)()()(
4
1 2
1
2
1
ijijijij
y
yy
x
xx ij
ij
zzyyxxR
R
dydxA
1212 yylxx
ji
R
l
R
SA
ijij
iij
0
2
0 44 ji
llAii
8814.021ln
00
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
MOM - Aplicações
N = 9 C= 26.51 pFN= 16 C=27.27 pFN=25 C=27.74 pF
Referencias Bibliográficas
SADIKU, M. N. O. Elemens of Eletromagnetics. 3rd ed. New York, USA:
Oxford University Press. 769p.
BALANIS, C. A. Advanced Engineering Electromagnetics. 1st ed. USA:
John Wiley &Sons, 981p.
HARRINGTON, R.F. Field Computation by Moment Methods. New
York: IEEE Press. 225p.