1. JOHDANTOA
1
Makroskooppinen aine koostuu atomeista ja molekyyleistä.
Atomit koostuvat ytimestä ja elektroneista.
Kokeellisen tutkimuksen kannalta
osa-alueet ovat hyvin erilaisia, koska
niissä esiintyvien perusilmiöiden
energiat ovat eri suuruusluokkaa:
Kiinteä aine 0.001 eV – 1 eV
Molekyylit 0.1 eV – 100 eV
Atomit 1 eV – 100 keV
Ytimet 10 keV – 100 MeV
Hiukkaset 100 MeV – 500 GeV
1 eV = elektronivoltti
= energian yksikkö atomi-
fysiikassa
= 1.6021773·10-19 joulea.
Vastaa energiaa, jonka elektroni saa
kulkiessaan yhden voltin suuruisen
potentiaalieron läpi
Atomifysiikka
käsittelee atomin
elektroniverhon fysiikka
Ydinfysiikka
käsittelee ytimen rakennetta ja
ydinreaktioita
Hiukkasfysiikka
käsittelee alkeishiukkasten
ominaisuuksia ja niiden välisiä
vuorovaikutuksia
Molekyylifysiikka
käsittelee molekyylien rakenteita
Kiinteän aineen fysiikka
käsittelee kiinteän aineen
rakenteita
Kvanttikemia
käsittelee kemiallisia reaktiota
2
Atomifysiikan soveltamisalueita
kemia
biologia (molekyylibiologia, mikrobiologia)
lääketiede
(kristallografia)
tekniikka (elektroniikka, puolijohdetekniikka, valaistustekniikka,
nanoteknologia)
Tutkimus vaatii yhteistyötä teoreettisen sekä kokeellisen tutkimuksen
välillä:
3
Vertailu
Teoria
Koe
Luodaan teoria,
testataan kokeellisesti Parannetaan teoriaa
kokeen pohjalta
MUUTAMIA TULOKSIA
SUHTEELLISUUSTEORIASTA
Atomifysiikan kurssilla tarvitsemme mm. seuraavia
suhteellisuusteorian tuloksia:
E = 𝐸𝑜 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑜𝑐2+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑐2 = 𝛾𝑚0𝑐2
𝛾 =1
1−v2 𝑐2 (Lorentz kerroin)
m0= kappaleen massa levossa
Valon nopeus on vakio.
Kappaleen ”massa” (liikettä vastustava ominaisuus, hitaus)
riippuu kappaleen nopeudesta – kun nopeus kasvaa, kappale
vastustaa liikkeen muutosta enemmän ja enemmän
→ kappale ei voi koskaan saavuttaa valonnopeutta
4
ESIMERKKI 1.1
Laske nopeus, massa ja liikemäärä elektronille, jonka kineettinen
energia on 100 keV.
5
2. SÄHKÖMAGNEETTISTEN AALTOJEN
HIUKKASOMINAISUUDET Jokapäiväisessä makroskooppisessa maailmassa ei ole mitään
kummallista aalto- ja hiukkaskäsitteissä
Klassisessa fysiikassa hiukkasten liikettä kuvataan
mekaniikan ja aaltojen optiikan avulla
Mikromaailmassa ei tunneta hiukkasia tai aaltoja:
elektroni käyttäytyy hiukkasen tai aallon tavoin
sähkömagneettinen säteily aallon tai hiukkassuihkun tavoin
6
2.1. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Vuonna 1864 James Clerk Maxwell:
Kiihdytetyt varatut hiukkaset aiheuttavat sähkömagneettisia
häiriöitä, jotka etenevät avaruudessa.
Sähkö- ja magneettikentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan sekä
kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan
7
Faraday: muuttuva magneettikenttä indusoi sähkövirtaa.
Maxwell: muuttuvaan sähkökenttään liittyy magneettikenttä (hankala
mitata, perustui symmetriaan)
James Clerk Maxwell (1831 – 1879)
Syntyi Skotlannissa
Opiskeli fysiikkaa ja matematiikkaa Cambridgen yliopistossa
Tuli kuuluisaksi, kun osoitti, että Saturnuksen renkaat eivät voi
olla kiinteitä tai nestemäisiä vaan koostuvat pienistä hiukkasista
Maxwell kuoli vatsasyöpään 48-vuotiaana 1879
– samana vuonna kuin Albert Einstein syntyi
Maxwellin yhtälöt:
Maxwellin yhtälöt kuvaavat sähkömagneettisen kentän
käyttäytymistä sekä sen vuorovaikutusta aineen kanssa
Maxwell osoitti, että sähkömagneettiset aallot etenevät
nopeudella:
Vuonna 1865 Maxwell kirjoitti:
Tämä nopeus on niin liki valonnopeutta, että on hyvä syy
ajatella, että valo itse (sisältäen lämpösäteilyn ja muut
säteilyt) on sähkömagneettista häiriötä, joka etenee
aaltoina läpi sähkömagneettisen kentän sähkömag-
neettisten lakien mukaan.
smc /10998.21 8
00
8
Vasta Maxwellin kuoleman jälkeen Heinrich Hertz osoitti kokeellisesti
sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon.
Koejärjestely:
Jännite kahden metallipallon väliin – kipinä
Vastaanottimena johdin silmukka, jossa pieni väli.
Sähkömagneettiset aallot aiheuttavat kipinöitä vastaanottimeen
9
10
Sähkömagneettisen säteilyn spektri
Näkyvä valo 4.3x1014 – 7.5x1014 Hz
Sähkömagneettisten aaltojen ja aineen vuorovaikutus riippuu
aaltojen taajuudesta.
Sähkömagneettisille aalloille pätee samat säännöt kuin mekaanisille
aalloille.
Superpositioperiaate:
Kun kaksi tai useampia aaltoja on samassa pisteessä samaan aikaan,
summa-aallon amplitudi on yksittäisten aaltojen amplitudien summa
11
Aallot kumoutuvat tai
vahvistuvat osittain tai
kokonaan
Jos aalloilla eri taajuudet ja/tai eri vaihe, interferenssi on
monimutkaisempi.
Thomas Young osoitti valoaaltojen interferenssin.
12
Konstruktiivinen interferenssi = kirkkaat juovat
aaltojen kulkema matka on sama tai eroaa kokonaisilla
aallonpituuksilla λ, 2 λ, 3 λ, …
Destruktiivinen interferenssi = tummat juovat
aaltojen kulkemat matkat eroavat parittomien aallonpituuden
puolikkaiden verran λ/2, 3 λ/2, 5 λ/2, ….
Youngin koe osoitti, että valo on aaltoliikettä;
Maxwellin teoria selitti, että valo on sähkömagneettisia aaltoja
2.2. MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY
13
Kaikki kappaleet säteilevät, mutta huoneen lämpötilassa
infrapunasäteilyn alueella, jolloin silmä ei sitä pysty havaitsemaan.
Kappaleen säteily liittyy läheisesti kappaleen kykyyn absorboida
energiaa. Kun kappale on termisessä tasapainossa ympäristön
kanssa, se emittoi (eli lähettää) ja absorboi (eli imee itseensä)
saman määrän säteilyä.
Mustaksi kappaleeksi kutsutaan kappaletta, joka absorboi kaiken
siihen kohdistuvan säteilyn.
Hertzin kokeiden jälkeen vaikutti selvältä, että valo on sähkömagneettisia
aaltoja, jotka noudattavat Maxwellin yhtälöitä.
Teoria ei kuitenkaan selittänyt täysin kappaleiden säteilyä.
Metalli hehkuu punaisesta keltaisen kautta
valkoiseen kun sitä kuumennetaan (se säteilee
myös muita aallonpituuksia, joita silmä ei pysty
havaitsemaan)
Mustaa kappaletta voidaan mallintaa ontolla kappaleella, jossa on hyvin
pieni reikä.
Musta kappale absorboi:
sisään menevä säteily heijastuu seinistä
kunnes se on kokonaan absorboitunut.
ja emittoi:
Kun kappaletta lämmitetään, sen seinät emittoivat säteilyä, joka tulee
ulos aukosta.
14
Kun mustaa kappaletta
lämmitetään, se
• säteilee enemmän kun se on
kuuma (säteilyn intensiteetti
kasvaa)
• säteilyspektrin maksimi siirtyy
korkeammille taajuuksille
lämpötilan kasvaessa
Auringon lämpötilassa (5700 K) suurin osa sen säteilystä on näkyvän
valon alueella - ihmisen silmä on kehittynyt herkemmäksi auringon
säteilyn maksimitaajuuksille.
Sovelluksia:
Valaistus – kuumat filamentit säteilevät valkoista valoa
Auringon lämpösäteily – aurinkokennot, lämmitys
Lämpökamerat (eksyneiden etsintä, lämpövuodot rakennuksista)
Astrofysiikka (alkuräjähdyksestä jäljellä taustasäteily)
15
λ = L/2
λ = 2L/3
λ = L
λ= 2L
Kappaleen leveys = L Seisovien aaltojen lukumäärä taajuus-
välillä f - df tilavuusyksikössä (johdetaan
kirjan kappaleessa 9, ei käydä tässä läpi):
Lukumäärä on riippumaton kappaleen
muodosta.
Mitä suurempi taajuus, sitä lyhyempi λ ja
enemmän mahdollisia seisovia aaltoja.
3
28)(
c
dffdffG
MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILYSPEKTRI
Säteilyä onton kappaleen sisällä voidaan kuvata seisovilla sähkö-
magneettisilla aalloilla, joiden solmupisteet ovat onkalon seinillä
(riippumatta suunnasta)
16
Määritetään jokaisen aallon keskimääräinen energia:
Jokainen seisova aalto kappaleen sisällä liittyy oskilloivaan
sähkövaraukseen kappaleen seinässä.
Yksidimensioisella harmonisella oskillaattorilla on kaksi
vapausastetta, toinen vastaa sen kineettistä energiaa ja toinen
potentiaalienergiaa.
Ekvipartitioteoreeman mukaan, termisessä tasapainossa, jokaisen
systeemin kappaleen keskimääräinen energia jokaista vapausastetta kohti lämpötilassa T on ½ kT
(k = Boltzmannin vakio = 1.381 x 10-23 J/K)
Jokaisella aallolla kappaleen sisällä on siis keskimääräinen energia kT ja
Säteilyn kokonaisenergia= aallon keskimääräinen energia x
aaltojen lukumäärä
dfkTc
fdffGdffu
3
28)()(
Rayleigh-Jeansin yhtälö
= kaikki mitä klassinen
fysiikka pystyy kertomaan
mustan kappaleen säteilystä
17
Yhtälön mukaan:
Kun taajuus kasvaa, säteilyn
kokonaisenergia kasvaa suhteessa
taajuuden neliöön
Ts. kun taajuus kasvaa äärettömän
suureksi, myös energia tulisi
kasvaa äärettömän suureksi.
dfkTc
fdffGdffu
3
28)()(
Kuitenkin säteilyn energiatiheys lähestyy nollaa, kun
taajuus kasvaa:
Ultraviolettikatastrofi
18
1
8)(
/
3
3
kThfe
dff
c
hdffu
Joka saadaan kun korvataan aallon keskimääräinen energia kT
energian lausekkeella
1/ kThfe
hf
Suurilla taajuuksilla hf >> kT, jolloin
Pienillä taajuuksilla hf << kT ja hf/kT << 1
kThfe /
0)( dffu
hf
kT
kT
hfe kThf
11
1
1
1/
...!3!2
132
xx
xexYleisesti:
Vuonna 1900 Max Planck esitti ”hyvänä arvauksena” säteilylain mustan
kappaleen säteilylle:
h= Planckin vakio = 6.626x10-34Js
19
dffc
kTdf
hf
kTf
c
hdffu 2
3
3
3
88)(
Eli pienillä taajuuksilla säteilylaki ”palautuu” Rayleigh-Jeansin yhtälöksi:
Yhtälö näytti selittävän kokeelliset mittaukset, mutta miksi? Mikä on
fysiikka sen takana?
Planck esitti hypoteesin, että kappaleen seinässä olevan värähtelijän
energia ei ole jatkuva vaan kvantittunut. Ts. värähtelijä luovuttaa ja
vastaanottaa energiaa kvanteissa:
,...3,2,1, nnhfen
Kun oskillaattori ottaa vastaan energiaa hf:n verran, se hyppää
energiatasolta toiselle. Energia”määrää” kutsutaan kvantiksi.
Jokaiselle seisovalle aallolle saadaan siten keskimääräiseksi
energiaksi:
,1/
kThfe
hf
joka johtaa Planckin säteilylakiin.
20
Planckin ajatus oli, että vaikka energia siirtyy kvantteina
oskillaattoriin ja sähkömagneettisten aaltojen välillä,
sähkömagneettiset aallot käyttäytyvät klassisesti (jatkuva energia).
Äänirautaa voidaan pitää harmonisena oskillaattorina. Ääniraudan
värähtelytaajuus on 660 Hz ja värähtelyenergia on 0.04 J. Vertaa
ääniraudan energiankvantin suuruutta oranssin valon energiakvantin
suuruuteen. Oranssin valon taajuus on 5.00 x 1014 Hz.
21
ESIMERKKI 2.1
22
Max Planck
1858 Planck syntyi Saksassa akateemiseen sukuun
1874 Opiskeli Münchenin ja Berliinin yliopistoissa pääosin
matematiikkaa (fysiikan opettaja Philipp von Jolly:
”Fysiikka on käytännössä valmis ja jäljellä on vain
muutamia täytettäviä aukkoja”)
1879 Väitteli tohtoriksi 21-vuotiaana termodynamiikan
toisesta pääsäännöstä
1885 Professorina Kielin ja Berliinin yliopistoissa
1900 Esitteli oman mallinsa energian diskreettisyydestä (eli
epäjatkuvuudesta), josta sai Nobelin fysiikan palkinnon 1918
1913 Kutsui Albert Einsteinin Berliiniin hänelle räätälöityyn professuuriin
1930 -1937 Saksan tutkimusseuran johtaja
Pyrki estämään politiikan ja tieteen sekoittumisen Saksassa.
Natsit kuitenkin saneerasivat tutkimuslaitoksen – Planck ei
halunnut jäädä johtajaksi vaan erosi tehtävästä.
1939-1945 Toisen maailmansodan aikana Planck jäi Saksaan, koska katsoi
sen olevan Saksan tieteen kannalta parempi vaihtoehto. Yritti
taivutella Hitleriä säästämään juutalaisten tiedemiesten hengen
ja pyrki estämään juutalaisten professoreiden ja oppineiden
erottamisia – tuloksetta.
Max Planckin esikoispoika Erwin
Planck osallistui Adolf Hitlerin
salamurha-yritykseen heinäkuussa
1944. Yritys epäonnistui ja Gestapo
teloitti Erwinin tammikuussa 1945.
23
1945-1946 Sodan päätyttyä 87-vuotias
Planck jatkoi tiedemiehenä ja hänet
valittiin kolmannen kerran Berliinin
yliopiston teoreettisen fysiikan laitoksen
johtoon
1947 Planck kuoli 89-vuotiaana.
24
Koejärjestely:
Tyhjiöputken sisällä kaksi elektrodia,
joiden välillä on muutettavissa oleva
jännite.
Kun elektrodia valaistaan, siitä irtoaa
elektroneja. Elektronit havaitaan anodin
ja katodin välisenä sähkövirtana.
Irronneita elektroneja kutsutaan foto-
elektroneiksi ja ilmiötä valosähköiseksi
ilmiöksi.
Jos elektrodien väliin kytketään kuvan suuntainen jännite, virta
lakkaa tietyllä jännitteen arvolla V0 (pysäytysjännite), joka vastaa
fotoelektronien kineettisen energian maksimia.
2.3. VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ
Valosähköinen ilmiö voidaan periaatteessa ymmärtää klassisesti:
Valoaaltojen kuljettama energia absorboituu metalliin, josta irtoaa
elektroneja.
Klassisen fysiikan aiheuttamia ongelmia:
1) Ei aikaviivettä saapuvan valon ja irtoavan elektronin välillä
Klassisesti: tulisi olla aikaviive, jolloin elektroni kerää aallolta
tarpeeksi energiaa irrotakseen.
2) Kirkas valo tuottaa enemmän fotoelektroneja kuin himmeä (samalla
valon taajuudella), mutta elektronien kineettinen energia pysyy samana
Klassisesti: sähkövektorin amplitudi kasvaa kun intensiteetti
kasvaa → elektronien kineettisen energian tulisi kasvaa
3) Mitä suurempi valon taajuus on, sitä enemmän fotoelektroneilla on
kineettistä energiaa ja on olemassa minimitaajuus, jonka alapuolella
elektroneja ei irtoa.
Klassisesti: ilmiö voi tapahtua millä tahansa taajuuden arvolla
kunhan valo on tarpeeksi intensiivistä 25
26
Einsteinin valon kvanttiteoria selitti valosähköisen ilmiön:
Sähkömagneettisen säteilyn energia on lokalisoitunut fotoneiksi,
joiden energia on hf.
1) Ei aikaviivettä saapuvan valon ja irtoavan elektronin välillä
-sähkömagneettisen säteilyn energia on keskittynyt
”paketteihin”, fotoneihin
2) Kirkas valo tuottaa enemmän fotoelektroneja kuin himmeä (samalla
taajuudella), mutta elektronien kineettinen energia pysyy samana
- jokaisella fotonilla, joilla on sama taajuus, on sama energia,
valon intensiteetin kasvaessa fotoelektronien lukumäärä kasvaa
(ei niiden energia)
3) Mitä suurempi valon taajuus on, sitä enemmän fotoelektroneilla on
kineettistä energiaa ja on olemassa minimitaajuus, jonka alapuolella
elektroneja ei irtoa.
- mitä korkeampi taajuus, sitä enemmän fotonilla on energiaa
luovuttaa fotoelektronille
- täytyy olla minimienergia, jolla fotoelektroni irtoaa (mutta
elektronille ei jää kineettistä energiaa)
Esimerkkejä metallien irrotustöistä:
Metalli Irrotustyö
Cesium 1.9 eV
Kalium 2.2 eV
Natrium 2.3 eV
Litium 2.5 eV
Kalsium 3.2 eV
Kupari 4.7 eV
Hopea 4.7 eV
Platina 6.4 eV
Vapaille atomeille ionisaatioenergiat
ovat noin kaksinkertaisia verrattuna
vastaavan alkuaineen kiinteän
olomuodon irroitustöille.
Näkyvän valon alue 4.3-7.5 x 1014 Hz
vastaa energioita 1.7 – 3.3 eV, joten
valosähköinen ilmiö metalleilla
tapahtuu näkyvän ja ultraviolettivalon
alueella.
27
Minimienergia:
jossa f0 on säteilyn minimitaajuus
Minimienergiaa kutsutaan metalleilla irrotustyöksi ja atomeilla
sidosenergiaksi.
,0hf
28
Jos säteilyn fotonin energia on suurempi kuin irrotustyö/atomin
ionisaatioenergia, loput fotonin energiasta siirtyy fotoelektronin
kineettiseksi energiaksi:
Tästä voidaan laskea fotoelektronin kineettinen energia:
)( 00 ffhhfhfhfEKin
KinEhf
Tulevan
fotonin
energia
Irrotustyö Fotoelektronin
kineettinen energia
Valosähköisen ilmiön sovelluksia:
Valoilmaisimet (myös silmä) perustuvat fotonien
absorboitumiseen ja elektronien emissioon
Fotoelektronispektroskopia
Irrotustyöt/ionisaatioenergia on aineelle ominainen suure.
Aineen kemiallinen ympäristö vaikuttaa irrotustyön/
ionisaatioenergian suuruuteen → kemiallinen analyysi
Valosähköisen ilmiön sovelluksia:
Valoilmaisimet (myös silmä) perustuvat fotonien
absorboitumiseen ja elektronien emissioon
Fotoelektronispektroskopia
Irrotustyöt/ionisaatioenergia on aineelle ominainen suure. Aineen
kemiallinen ympäristö vaikuttaa irrotustyön/ionisaatioenergian
suuruuteen -> kemiallinen analyysi
29
Alumiinipintaa valaistaan valolla, jonka aallonpituus on 2000 Å
(1Å=1x10-10m). Irrotustyö alumiinille on 4.2 eV. Mikä on
a) nopeimman
b) hitaimman emittoituneen fotoelektronin kineettinen energia?
c) Mikä on pysäytysjännitteen suuruus?
d) Jos levyyn osuvan valon intensiteetti on 2.0 W/m2, mikä on pinnalle
aikayksilössä pinta-alayksikköä kohti osuvien fotonien keskimääräinen
lukumäärä?
30
ESIMERKKI 2.2
Maxwell esitti, että valo on sähkömagneettisia aaltoja. Einsteinin mukaan
valo koostuu kvanteista.
Onko valo siis:
Aaltoja vai hiukkasia?
31
Aaltoteoria:
Jatkuva energiajakauma
-ei selitä valosähköistä ilmiötä
Hiukkasteoria:
Yksittäiset fotonit
-ei selitä valon taipumista ja
interferenssiä
(mutta säteilyn taajuus tarvitaan
energian laskemiseksi)
2.4. VALO? AALTOJA?
32
Ensimmäisen kerran tarvitaan kaksi teoriaa selittämään yksi ilmiö.
Valo käyttäytyy aallon tavoin liikkeessä ja hiukkasen tavoin
vuorovaikutuksessa aineen kanssa.
Aalto- ja kvanttiteoria täydentävät toisiaan.
33
1895 Wilhelm Röntgen löysi röntgensäteet
• syntyvät kun elektronit törmäävät materiaaliin
• hyvin läpitunkevia säteitä
• kulkevat suoraan eivätkä ne vuorovaikuta sähkö- tai
magneettikentän kanssa
• valottavat valokuvauslevyt
Röntgensäteilyn aallonpituus noin 0.01 – 10 nm
Röntgensäteily on käänteinen ilmiö valosähköiselle ilmiölle:
elektronit luovuttavat energiansa hidastuessaan
Kuumennetulta katodilta irtoaa
elektroneja.
Elektronit kiihdytetään tuhansien volttien
jännitteellä.
Elektronit törmäävät anodiin ja syntyy
säteilyä.
2.5. RÖNTGENSÄTEILY
34
Klassisen sähkömagnetismin teorian
mukaan kiihtyvässä liikkeessä olevat
varatut hiukkaset lähettävät
sähkömagneettista säteilyä.
Klassinen teoria ei kuitenkaan pysty
selittämään kokonaan röntgenspektrin
rakennetta:
Spektreissä näkyy jatkuvan spektrin
lisäksi teräviä intensiteettipiikkejä,
joiden energia riippuu röntgenputken
anodimateriaalista.
Tyypillinen röntgenspektri:
Jatkuva spektri syntyy hidastuvien elektronien lähettämästä
säteilystä.
Terävät intensiteetti piikit syntyvät anodiatomien elektronien
uudelleen järjestäytymisestä (tästä lisää myöhemmin).
35
Elektronien energiasta (eli kiihdytyspotentiaalista) riippuen saadaan
säteilylle erilainen intensiteettijakauma aallonpituuden funktiona.
Jokaista elektronin energiaa vastaa aallonpituuden minimi λmin, joka
riippuu vain jännitteestä – ei anodimateriaalista.
Duane ja Hunt löysivät kokeellisesti
mVVkiihd
.
6
min
1024.1
Anodiin törmätessään elektronit
luovuttavat energiansa yhdessä tai
useissa törmäyksissä anodin atomien
kanssa.
Jatkuva spektri syntyy, koska
yksittäinen elektroni voi luovuttaa
törmäyksessä energiaa eri määriä eli
syntyy fotoneita useilla energioilla.
Lyhin aallon pituus tulee silloin, kun törmäävä elektroni luovuttaa koko
kineettisen energian yhdessä törmäyksessä.
Anodi kuumenee:
anodimateriaalilla tulee olla korkea sulamispiste
anodilla yleensä jäähdytys (pyörivä anodi, vesijäähdytys)
Sovelluksia:
Läpivalaisu:
lääketiede
tekniikka – valmistus ja kulumaviat, murtumat
turvatarkastukset
Tutkimus – fotonilähde
36
VmVVe
hchcVeE
kiihd
e
.
6
min
min
10240.1
Wilhelm Röntgen
1845 Wilhelm syntyi Lennepissä, Saksassa, räätälin pojaksi,
kasvoi Alankomaissa.
1862 Aloitti Utrechtin tekniseen kouluun, josta hänet erotettiin
opettajasta tehdyn pilapiirroksen takia
1865 Pääsi aloittamaan opinnot Zürichin teknillisessä
korkeakoulussa puuttuvasta todistuksesta huolimatta
1868 Valmistui insinööriksi ja 1869 tohtoriksi
1875-1888 Professorina Hohenheimin maatalousakatemiassa,
Strassbourgissa, Giessenissä, Würzburgissa
1895 Löysi röntgen säteet, joista 1901 fysiikan ensimmäinen Nobel palkinto
1900 Professoriksi Münchenin yliopistoon, jossa toimi eläkkeelle jäämiseen saakka
1923 Kuoli suolistosyöpään, mutta ilmeisesti ei röntgensäteilyn seurauksena –
käytti lyijysuojia kokeissaan. Testamentissaan hän toivoi kaiken
kirjeenvaihdon ja tieteellisten papereidensa tuhoamista ja näin tehtiin.
37
38
Ensimmäinen kone rakennettiin noin
1924
Käyttöä alettiin rajoittamaan 50-luvulla
– käytössä kuitenkin 1970 luvulle
Vaikka säteilyannokset olivat
suhteellisen suuria – yhtään
kenkäkauppiaiden asiakkaiden
raportoimaa vahinkoa ei tunneta (tosin
yhden kenkämallin jalka piti amputoida
ja yksi kenkäkauppias sai iho-oireita)
Säteilysuojausta… tai sitten ei.
Mikä on röntgensäteilyn lyhin aallonpituus, kun elektronien
kiihdytyspotentiaali on 50 000 V?
39
ESIMERKKI 2.3
40
Kun säteily kohtaa atomin, osa tulevista
aalloista siroaa ts. atomi absorboi tulevat
aallot ja emittoi saman taajuuden
palloaaltoja.
Kiteessä atomit ovat
järjestäytyneet säännöllisen
välimatkan päähän toisistaan
– syntyy kidetasoja
Kun säteily kohtaa kiteen, se
siroaa joka suuntaan kiteen
sisällä.
2.6. RÖNTGENSÄTEILYN DIFFRAKTIO
Vakiosähkökentässä atomi polarisoituu – siitä syntyy sähködipoli
Muuttuvassa sähkökentässä atomi alkaa värähdellä kentän
taajuudella ja lähettää säteilyä samalla taajuudella
- tapa määrittää röntgensäteiden aallonpituus
Säde 1
Säde 2
Säde 1 siroaa atomista A ja säde 2
atomista B.
Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu
kun säteet ovat samansuuntaiset ja
niiden kulkema matkaero on
aallonpituuden kokonainen monikerta λ,
2λ, 3λ, …
Säteiden kulkema matkaero (kuvasta)
on 2d sinθ, joten saadaan Braggin laki:
(konstruktiivinen = vahvistava)
Atomi A
Atomi B
...,3,2,1sin2 ndn
41
Kiteessä tiettyihin suuntiin sironneet aallot interferoivat konstruktiivisesti,
osassa suuntaa destruktiivisesti.
42
Röntgenspektrometri
Säteily ohjataan raon kautta kiteelle
kulmassa θ, samaan kulmaan asetetaan
detektori.
Kun kulmaa θ muutetaan, detektorin
havaitsema säteily noudattaa Braggin
lakia.
Kun kidetasojen välimatka d tunnetaan,
voidaan säteilyn aallonpituus λ
määrittää (tai päinvastoin).
43
ESIMERKKI 2.4
Monokromaattista valoa, jonka aallonpituus on 5.4Å, suunnataan
kiteeseen. Ensimmäisen kertaluvun diffraktiomaksimi havaitaan
120 asteen kulmalla tulevaan säteilyyn nähden. Mikä on
kidetasojen välinen etäisyys?
44
Kalsiitti-kiteen (CaCO3) atomitasojen välinen etäisyys on 0.300 nm.
Mikä on pienin kulma, joka toteuttaa Braggin ehdon, kun kiteeseen
kohdistetaan röntgensäteilyä, jonka aallonpituus on 0.030 nm?
ESIMERKKI 2.5
45
Kvanttiteorian mukaan fotonit käyttäytyvät kuten hiukkaset, paitsi niillä ei
ole lepomassaa.
kinEhfhf '
Kun fotoni törmää levossa
olevaan elektroniin, osa sen
energiasta siirtyy elektronin
kineettiseksi energiaksi
(fotoni siroaa elektronista).
Energia säilyy:
Myös liikemäärän tulee säilyä:
Alussa
Massattoman hiukkasen liikemäärä
(tästä enemmän kirjan kappaleessa 1)
Elektronin liikemäärä on alussa 0.
(Kun fotonin energia muuttuu, sen
taajuus muuttuu.)
c
hf
c
Ep
Lopussa
Liikemäärä fotonin tulosuunnassa:
ja kohtisuorassa
coscos'
pc
hf
sinsin'
pc
hf
2.7. COMPTON ILMIÖ
Laskuharjoitus 2, tehtävä 3, tuloksena saadaan:
46
Joten liikemäärän säilymislaista saadaan:
sinsin'
0
coscos'
0
pc
hf
pc
hf
c
hf
(x-akselin suunta)
(y-akselin suunta)
Comptonin sironta:
cos1'0
cm
h
Comptonin sironnassa säteilyn aallonpituuden muutos riippuu vain
säteilyn sirontakulmasta – ei säteilyn alkuperäisestä aallonpituudesta
cm
hC
0
Hiukkasille voidaan laskea ns. Comptonin aallonpituus:
47
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4
cos1' c
Δλ vaihtelee välillä
0 - 2λc
Δλ
Kulma (rad)
Röntgensäteet menettävät energiansa pääosin Compton sironnan
avulla, mutta ilmiötä ei juuri tapahdu näkyvän valon aallon-
pituuksilla.
Comptonin sironta eri kulmilla:
Compton sironnan kokeellinen todistus:
48
Mitataan sironneen säteilyn
aallonpituuksia eri kulmilla.
Havaitaan myös aallonpituudeltaan muuttumattomia fotoneja, jotka
aiheutuvat törmäyksistä atomin sidottujen elektronien kanssa.
Atomin massa on suuri, aallonpituuden muutos on hyvin pieni ja
sitä ei havaita.
Röntgensäteet, joiden aallonpituus on 20.0 pm törmäävät elektroniin.
a) Mikä on 45° kulmaan sironneiden säteiden aallonpituus?
b) Mikä on sironneiden säteiden maksimiaallonpituus?
c) Mikä on sironneiden elektronien maksimi kineettinen energia?
49
ESIMERKKI 2.6
2.8. PARINMUODOSTUS
Fotoni voi luovuttaa elektronille kaiken energiansa (valosähköinen ilmiö) tai
osan siitä (Compton sironta).
50
Varaus säilyy: elektroni -e ja positroni +e
Energia säilyy: fotonin energia = elektronin lepomassa + positronin
lepomassa (+ 2Ekin)
Liikemäärä säilyy: atomin ydin ottaa vastaan osan liikemäärästä (ja
mitättömän osuuden energiasta, koska sen massa on hyvin suuri verrattuna
elektronin massaan)
Parinmuodostusta ei voi tapahtua vapaassa tilassa.
Fotonin energia voi myös muuttua
elektroniksi ja positroniksi kun fotoni
vuorovaikuttaa atomiytimen kanssa =
parinmuodostus
51
Osoita, että parinmuodostusta ei voi tapahtua vapaassa tilassa.
ESIMERKKI 2.7
52
Elektronin ja positronin lepomassa m0c 2= 0.51 MeV, joten
parinmuodostus vaatii energiaa vähintään 1.02 MeV
Tämä vastaa fotonin aallonpituutta 1.2 pm, joka on gammasäteilyä.
Voi esiintyä kosmisessa säteilyssä sekä radioaktiivisessa säteilyssä.
Jos energiaa on enemmän, se siirtyy elektronin ja positronin
kineettiseksi energiaksi.
Fotoni, jonka aallonpituus on 0.0010 nm, aineellistuu elektroni-
positronipariksi. Kuinka suuri on syntyneen parin liike-energia
yhteensä?
53
ESIMERKKI 2.8
Pariannihilaatio:
Pariannihilaatio on vastakkainen ilmiö parinmuodostuksen kanssa:
positroni ja elektroni yhtyvät ja vapautuu kaksi gammakvanttia:
e+ + e- = γ + γ
yhden gammakvantin energia = 0.51 MeV ja puolet kineettisestä
energiasta, joka oli hiukkasten massakeskipisteellä
Gammakvanttien suunnat ovat siten, että sekä energia että
liikemäärä säilyvät
– pariannihilaatio voi siis tapahtua vapaassa tilassa.
54
55
Valosähköinen ilmiö:
Comptonin sironta:
Parinmuodostus: hf ≥ 1.02 MeV
kinEhf Fotoelektroni
cos1'0
cm
h
Matalilla fotonienergioilla valosähköinen ilmiö on
hallitseva, fotonin energian kasvaessa Comptonin
sironnan osuus kasvaa.
Kun Z kasvaa, valosähköinen ilmiö hallitsee
pidemmälle (elektroniverho kasvaa)
Suurilla energioilla parinmuodostus, alkaa
aikaisemmin Z:n kasvaessa, koska rekyyliin
liittyvä termi (m/M) pienenee.
M
mcmhf 12 2
0
2.9. FOTONIN ABSORPTIO - KOOSTE
Fotonisuihkun absorboituessa suihkun intensiteetti pienenee:
56
dxI
dI
μ = lineaarinen absorptiokerroin
Lineaarinen absorptiokerroin riippuu säteilyn energiasta ja absorboivan
materiaalin ominaisuuksista.
Integroimalla saadaan säteilyn intensiteetille
)/ln( 0
0
IIx
eII x
Säteilyn intensiteetti pienenee eksponentiaalisesti
x = absorboivan kerroksen paksuus
Esimerkki:
Lyijyn absorptiokerroin
eri fotonienergioilla.
Sovelluksia:
Säteilysuojaus – syynä säteilyn biologiset vaikutukset
Röntgenlaitteiden suojaus lääketieteessä
Reaktoreiden suojaus ydintekniikassa
Aurinkovoiteet auringon UV-säteille
Ilmakehän suojaus - otsonikerros
57
Lineaarinen absorptiokerroin vedelle on 4.9 m-1 kun fotonien energia on
2.0 MeV.
a) Mikä on säteilyn suhteellinen intensiteetti sen kuljettua vedessä 10
cm matkan?
b) Kuinka pitkän matkan säteily kulkee vedessä ennen kuin sen
intensiteetti on pienennyt prosenttiin alkuperäisestä intensiteetistä?
58
ESIMERKKI 2.9
59
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet
1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi
Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen tavoin.
Fotonin liikemäärä:
ja aallonpituus:
De Broglien hypoteesin mukaan λ=h/p pätee sekä hiukkasille että
aalloille.
Hiukkasten liikkeeseen liittyy siis aaltoliike, jonka aallonpituus
h
c
hfp
p
h
vm
h
p
h
m on hiukkasen relativistinen massa 22
0
/v1 c
mm
3.1. DE BROGLIE AALLOT
60
Kuten sähkömagneettisten aaltojenkin tapauksessa, hiukkasten aalto-
ja hiukkasominaisuuksia ei havaita yhtä aikaa vaan ne esiintyvät eri
tilanteissa. Aaltoluonteen havaitseminen riippuu mittalaitteen
dimensioista.
De Broglie päätyi aineaaltoihin Bohrin atomimallista (käsitellään
myöhemmin), jossa vain kvantittuneet energiatilat ovat mahdollisia.
Aineaallot havaittiin elektronien diffraktiossa kiteestä (käsitellään
myöhemmin).
61
ESIMERKKI 3.1 Laske de Broglie aallonpituudet
a) 46 g painavalle golf pallolle, jonka nopeus on 30 m/s
b) elektronille, jonka nopeus on 107m/s
62
ESIMERKKI 3.2
Mikä on protonin kineettinen energia, jos de Broglie aallonpituus on
1.000x10-15 m (noin protonin halkaisija)?
63
3.2. AALLON KUVAAMINEN
Koska aina hiukkasen nopeus v < c, de Broglie aallon vaihenopeus > c
de Broglie aallot kulkevat valoa nopeammin – voidaanko siis havaita valoa
nopeampia aaltoja?
Miten nopeasti hiukkaseen liittyvät aallot liikkuvat? Onko liikkuvaa
hiukkasta kuvaavan de Broglie aallon nopeus sama kuin hiukkasen nopeus?
De Broglie aallon nopeus voidaan määrittää.
v𝑝 = 𝑓𝜆 =𝑚𝑐2
ℎ
ℎ
𝑚v=𝑐2
v
Koska 𝜆 =ℎ
𝑚v= de Broglie aallonpituus
ja
E = ℎ𝑓 = 𝑚𝑐2 → 𝑓 =𝑚𝑐2
ℎ
64
Hieman aaltoliikeoppia tähän väliin:
Tarkastellaan yksinkertaista aaltoa, jonka maksimi arvo y-akselilla on +A
(= aallon amplitudi) ja se saavuttaa sen paikassa x = 0 ajanhetkellä t = 0.
Ajan kuluessa seuraavat y-akselin arvot saadaan yhtälöstä:
A
Yhtälö kertoo aallon yksittäisen pisteen paikan ajan funktiona y-akselin
suunnassa. Tahdomme kuitenkin yhtälön, joka kertoo y:n arvon
jokaisessa pisteessä x eri ajanhetkinä.
t=0
t2cosAy f
t
64
65
Ravistetaan köyttä:
Aalto lähtee etenemään köydessä
+x suuntaan nopeudella vp.
Nopeus riippuu köyden ominaisuuksista.
Aalto liikkuu ajan t kuluessa matkan
x = vpt
ts. aikavälin x/vp jälkeen aalto kohdassa x
p
xtf
v2cosAy
65
y:n arvo pisteessä x ajanhetkellä t
= y:n poikkeama pisteessä x=0 ajanhetkellä t = - x/vp.
Sijoitetaan y:n yhtälöön t:n paikalle (t - x/vp)
66
x
tf2cosAy
Aaltoyhtälö saadaan muotoon:
joka antaa y:n arvon eri x ja t arvoilla.
Määritetään: Kulmataajuus 𝜔 = 2𝜋𝑓
Aaltoluku 𝑘 =2𝜋
𝜆=
𝜔
v𝑝
ja saadaan aaltoyhtälö muotoon pp
p
p
fk
ff
vv
2
vv
kxt cosAy
66
xtf
f
fxtf
fxtf
xtf
pp
2cosA2cosAv
2cosAv
2cosAy
Muokataan vähän yhtälöä:
Sij. vp=fλ
67
3.3. TODENNÄKÖISYYSKÄSITE
de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää siihen
liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä.
Liikkuvaan hiukkaseen liittyy aaltofunktio ψ, jolla ei ole
fysikaalista vastinetta vaan aaltofunktio on abstrakti käsite.
(tätä tullaan käsittelemään paljon myöhemmin)
Aaltofunktio liittyy todennäköisyyteen löytää liikkuva hiukkanen
x,y,z-avaruuden tietystä pisteestä hetkellä t.
Kuitenkin aaltofunktion amplitudi voi saada sekä positiivisia että
negatiivisia arvoja, joten sellaisenaan se ei toimi
todennäköisyytenä vaan todennäköisyys löytää hiukkanen, jota
kuvaa aaltofunktio ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on
verrannollinen aaltofunktion neliöön | ψ|2
Jos | ψ|2 on suuri – todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on suuri
Jos | ψ|2 on pieni – todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on pieni
Jos | ψ|2 ≠ 0 on todennäköisyys hiukkasen löytymiselle
Jos | ψ|2 = 0 hiukkanen ei voi olla pisteessä (x,y,z) ajanhetkellä t
68
Vaikka sanotaan, että aaltofunktio kuvaa hiukkasen levinneisyyttä
avaruudessa, se ei tarkoita, että hiukkanen itsessään olisi hajonnut
avaruuteen.
Mitatessa elektroneja, saadaan aina mitattua kokonainen elektroni tietyssä
paikassa tietyllä hetkellä (esim. 20% todennäköisyys havaita koko
elektroni, ei havaita 20% elektronista)
Jos suurella hiukkasjoukolla on sama aaltofunktio ψ, hiukkastiheys on
verrannollinen aaltofunktion neliöön |ψ|2 .
69
de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen
tietystä paikasta tietyllä hetkellä.
Kuitenkin yleinen aaltoyhtälö
kuvaa päättymätöntä sarjaa aaltoja, joilla on sama amplitudi. Sillä ei voi
kuvata hiukkasen de Broglie aaltoa.
Sen sijaan ajatellaan, että liikkuvaa hiukkasta vastaa aaltopaketti tai
aaltoryhmä:
kxt cosAy
Matemaattisesti aaltoryhmä on
yksittäisten interferoivien aaltojen summa.
Ryhmänopeus = aaltoryhmien nopeus
69
3.4. AALLON VAIHE- JA RYHMÄNOPEUS
70
Aallon ryhmänopeus vg voidaan johtaa tarkastelemalla kahden aallon
𝑦1 = A cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑦2 = A cos 𝜔 + Δ𝜔 𝑡 − 𝑘 + Δ𝑘 𝑥
summa-aaltoa.
Aalloilla on sama amplitudi A ja niiden kulmataajuuksien ero on Δω ja
aaltolukujen ero on Δk.
Summa-aalto saadaan sievennyksien jälkeen muotoon:
𝑦 = 2A cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 cos 12 Δ𝜔𝑡 − Δ𝑘𝑥
Summa-aallon ensimmäinen osa on saman muotoinen kuin alkuperäiset
aallot ja jälkimmäinen osa on moduloiva osa, joka aiheuttaa ryhmät
70
Vaihenopeus v𝑝 =𝜔
𝑘
Ryhmänopeus v𝑔 =Δ𝜔
Δ𝑘
Kun ω ja k ovat jatkuvia, ryhmänopeus: dk
dg
v
Riippuen vaihenopeuden ja aaltoluvun erosta, ryhmänopeus voi olla
pienempi tai suurempi kuin osa-aaltojen vaihenopeus.
Jos vaihenopeus on sama kaikille aallonpituuksille (kuten valolla
tyhjiössä), ryhmä- ja vaihenopeus ovat samat.
71
71
ESIMERKKI 3.3
Määritä ryhmä- ja vaihenopeus de Broglie aalloille.
72
Yhteenveto:
Hiukkasen liikettä kuvaa aaltoryhmän liike.
Ryhmä muodostuu äärettömästä määrästä yksittäisiä aaltoja.
Yksittäisen aallon nopeus voi olla suurempi kuin valonnopeus.
Yksittäisen aallon nopeutta ei voida havaita.
Voidaan havaita paikallisen ”häiriön”, aaltoryhmän nopeus,
joka on vg < c
73
Elektronin de Broglie aallonpituus on 2.00 pm. Mikä on sen kineettinen
energia? Laske myös de Broglie aallon vaihe- ja ryhmänopeudet?
73
ESIMERKKI 3.4
74
Osoita, että jos liikkuvan hiukkasen kokonaisenergia on selvästi
suurempi kuin sen lepoenergia, sen de Broglie aallonpituus on lähes
sama kuin fotonilla, jolla on sama kokonaisenergia.
74
ESIMERKKI 3.5
75
75 75
3.5. HIUKKASTEN DIFFRAKTIO
De Broglie aaltojen olemassa olo eli
materialististen hiukkasten aaltoluonne
todistettiin Davisson-Germerin kokeella 1927.
Klassisen fysiikan mukaan elektronit voivat sirota kaikkiin suuntiin.
Davisson ja Germer havaitsivat (vahingossa) kuitenkin kuumennetulta
puhtaalta nikkelipinnalta voimakkaan sironnan tiettyyn kulmaan.
Kulma riippui elektronien energiasta.
75
Elektronisuihku kiihdytetään ja sillä
pommitetaan kidettä. Elektronit siroavat kiteestä
detektorille, jolla havaitaan sironneet elektronit
eri kulmilla.
76
Davisson-Germerin koe todistaa de Broglien hypoteesin liikkuvien
hiukkasten aaltoluonteesta!
Kuumennus aiheuttaa nikkelin rakenteen muuttumisen useampiin
yksittäiskiteisiin, joista elektronit siroavat (kuten rtg-säteet kiteestä).
Braggin laista voidaan laskea elektronin ”aallonpituus”, joka vastaa
hyvin de Broglien aallonpituutta:
77
ESIMERKKI 3.6
Kidettä, jonka kidetasojen välinen etäisyys on 1.1Å, pommitetaan
neutroneilla, joiden kineettinen energia on 2 eV. Missä kertaluvuissa
heijastuksia havaitaan?
78
Sovellus: Elektronioptiikka
Mikroskoopin erotuskyky on aallonpituuden suuruusluokkaa ~1 nm
Elektronimikroskoopilla päästään parempaan erotuskykyyn, koska
hiukkasten aallonpituutta voidaan helposti muuttaa kiihdytysjännitettä
muuttamalla
– erotuskyky paranee aallonpituuden pienentyessä.
Sovellukset:
solubiologia, lääketiede, metallurgia
Elektronien varaus mahdollistaa
magneettiset linssien rakentamisen.
Oulun yliopistossa toimii
Mikroskopian ja nanoteknologian keskus
Tarjoaa puhdastila-, tutkimus- ja analyysipalveluja
yliopiston laitoksille ja elinkeinoelämälle.
Keskuksella on käytössään
useita pyyhkäisyelektronimikroskooppeja (SEM) ja
läpäisyelektronimikroskooppi 78
79
Elektronimikroskooppikuvia
Kuvaaja: Raija Peura, alkuperäiset kuvat mustavalkoisia, väritys Raija
Peura)
Sääsken silmä
Vaaksiaisen ihoa
80
3.6. HIUKKANEN LAATIKOSSA
80
Rajoitetaan liikkuvan hiukkanen laatikkoon, jonka leveys on L.
Liikkuvan hiukkasen aaltoluonne vaikuttaa hiukkasen
liikkeeseen.
Tarkastellaan hiukkasen liikettä:
Oletetaan, että hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään seiniin.
Oletetaan, että hiukkasen nopeus on niin pieni, ettei relativistisuutta
tarvitse huomioida.
Käsitellään tapausta tarkemmin myöhemmin, tehdään nyt vain karkea
analyysi:
Aaltoluonteen näkökulmasta hiukkanen on kuin seisova aalto, jonka
solmukohdat ovat laatikon seinillä.
Seinillä aaltofunktio ψ =0, koska aalto pysähtyy niissä.
Hiukkasen mahdolliset de Broglie aallonpituudet riippuvat siis
laatikon leveydestä L.
81 81
,...3,2,12
nn
Ln
2
222
21
22m
)v(v
m
hmmEE Kin
81
Pisin aallonpituus λ=2L, seuraavat λ=L, λ=2L/3, jne.
Sallitut aallonpituudet:
Tässä mallissa hiukkasella ei ole potentiaalienergiaa, joten hiukkasen
kokonaisenergia on:
Koska mv = h/λ
Sijoitetaan tähän sallitut aallonpituudet ja saadaan hiukkasen
energiaksi:
Hiukkasen energia voi siis saada vain tiettyjä arvoja eli energia on
kvantittunut
En= energiataso
n=kvanttiluku
,...3,2,18 2
22
nmL
hnEn
82
Yhtälöstä voidaan tehdä kolme johtopäätöstä, jotka pätevät kaikille
tiettyyn tilaan rajatuille hiukkasille (myös atomin elektroneille):
1) Hiukkasen energia ei voi saada mitä tahansa arvoja. Mahdolliset
energiat riippuvat hiukkasen massasta ja rajatun avaruuden koosta.
2) Hiukkasen energia ei voi olla nolla.
3) Energian kvantittuminen on merkittävää vain kun m ja L ovat pieniä.
82
83
a) Laske sallitut energiat 10g marmorikuulalle, joka on 10 cm laatikossa.
b) Laske sallitut energiat elektronille, joka on 0.10 nm laatikossa (atomin
suuruusluokkaa).
83
ESIMERKKI 3.7
84
3.7. VIELÄ TODENNÄKÖISYYSKÄSITTEESTÄ
Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä
tahansa ryhmän sisällä.
de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä
löytää siihen liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä
hetkellä.
Todennäköisyys löytää hiukkanen, jota kuvaa aaltofunktio
ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on verrannollinen
aaltofunktion neliöön | ψ|2
| ψ|2 on suurimmillaan keskellä ryhmää, jossa siis
hiukkanen todennäköisimmin on.
Se voi kuitenkin sijata missä tahansa, missä | ψ|2≠0.
85
Elektroni on yksiulotteisessa potentiaalilaatikossa, joka rajoittaa sen
liikkeen x-akselin välille [0,a]. Mikä on todennäköisyys sille, että
alimmalla energiatilalla oleva elektroni on välillä [0, a/3]?
Perustilaa kuvaava aaltofunktio on muotoa
𝜑 𝑥 =2
𝑎
1/2
sin𝜋𝑥
𝑎
ESIMERKKI 3.8
86
3.8. HEISENBERGIN EPÄTARKKUUSPERIAATE
Aaltoryhmän kuvaaman hiukkasen paikan ja liikemäärän
mittaus ei ole tarkkaa.
Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä tahansa
ryhmän sisällä (vain todennäköisyys voidaan määrittää, kts.
esim. 3.8)
Mitä kapeampi aaltoryhmä, sen tarkempi hiukkasen
paikka. Silloin kuitenkin aallonpituus tulee
epätarkaksi, koska ei ole tarpeeksi aaltoja tarkkaan
mittaukseen.
Koska aallonpituutta ei saada mitattua tarkasti,
myöskään liikemäärä ei ole tarkka.
Mitä laajempi aaltoryhmä, sen tarkemmin saadaan
määritettyä hiukkasen aallonpituus ja liikemäärä,
mutta paikan määritys epätarkka.
86
87
Heisenbergin epätarkkuusperiaate:
On mahdotonta tietää tarkasti samaan aikaan hiukkasen paikkaa ja
liikemäärää.
(Werner Heisenberg 1927)
Optimitilanteessa, jossa aaltoryhmä on Gaussin funktion muotoinen,
voidaan johtaa (kts. kirjan kappale 3.7) aaltoryhmän paikan x ja
aaltoluvun k epätarkkuuksille
Koska de Broglie aallonpituus hiukkaselle on 𝜆 =ℎ
𝑝 ja aaltoluku 𝑘 =
2𝜋
𝜆
saadaan 𝑘 =2𝜋𝑝
ℎ⟷ p =
ℎ𝑘
2𝜋
Δ𝑝 =ℎΔ𝑘
2𝜋
Sijoittamalla edelliseen Δ𝑘 ≥1
2Δ𝑥 , saadaan
87
87
87 87
Δ𝑥Δ𝑘 ≥ 12
Δ𝑥Δ𝑝 ≥ℎ
4𝜋=ℏ
2
Määritetään ℏ =ℎ
2𝜋
(usein käytössä modernissa
fysiikassa)
88
Epätarkkuusperiaate saadaan myös hiukkaskuvasta:
Jos halutaan mitata kappaleen paikka ja liikemäärä tietyllä hetkellä,
mittausmenetelmä vaikuttaa kohteeseen. Vuorovaikutuksesta aiheutuu
epätarkkuutta, joka johtaa samaan epätarkkuusperiaatteeseen kuin edellä,
vaikka aineen aalto-ominaisuutta ei oteta huomioon.
Esim. elektronin näkemiseksi sitä täytyy
valaista.
Nähdään fotoni, joka siroaa elektronista.
Fotoni muuttaa elektronin liikemäärää,
tarkkaa muutosta vaikea määrittää,
mutta liikemäärän muutos on samaa
luokkaa kuin tulevan fotonin liikemäärä
Mitä suurempi λ, sitä pienempi Δp
hp
Hiukkasen paikkaa ei pystytä mittaamaan tarkemmin kuin fotonin
aallonpituus: Δx≥λ
Joten
hxp
Epätarkkuus liittyy liikkuvaan
hiukkaseen, ei mittaustapaan!
89
Protonin paikka voidaan mitata tarkkuudella ±1.00 x 10-11m. Mikä on
protonin paikan epätarkkuus 1.00 s jälkeen. Oletetaan, että protonin
nopeus on paljon pienempi kuin valonnopeus.
89
ESIMERKKI 3.9
90
3.9. EPÄTARKKUUSPERIAATTEEN SOVELTAMINEN
Koska h on hyvin pieni, epätarkkuusperiaate koskee vain mikromaailmaa.
Epätarkkuusperiaate ei ole vain negatiivista, vaan sen avulla voidaan
ymmärtää monta atomitason ilmiötä.
Epätarkkuusperiaate koskee myös energiaa ja aikaa.
Jos atomaarisessa prosessissa vapautuu sähkömagneettista säteilyä
(energiaa) ajan Δt kuluessa, taajuuden määrityksen epätarkkuus
jolloin energian epätarkkuus on
Tarkempi käsittely antaa epätarkkuusperiaatteeksi energialle ja ajalle:
tf
1
htEt
hE
fhE
tai
2
tE
90
91
ESIMERKKI 3.10
Tyypillinen atomin ytimen säde on n. 5x10-15m. Käytä
epätarkkuusperiaatetta määrittämään alaraja energialle, joka täytyy
elektronilla olla, jos se on osa atomiydintä.
92
Vetyatomin säde on 5.3x10-11m. Käytä epätarkkuusperiaatetta ja arvioi
mikä on pienin energia, jonka elektroni voi saada tässä atomissa.
92
ESIMERKKI 3.11
93
Viritetty atomi voi emittoida säteilyä tietyllä taajuudella (käsitellään
myöhemmin). Keskimääräinen aika virityksen ja viritystilan
purkautumisen välillä on 1.0x10-8s. Mikä on emittoituvan fotonin
taajuuden epätarkkuus?
93
ESIMERKKI 3.12
94
4. ATOMI
4.1 ATOMIN RAKENNE – YDIN
1800 luvun lopulla useimmat tutkijat jo uskoivat, että materiaalit
koostuvat atomeista – pienistä jakamattomista osista
1898 J.J. Thomson löysi elektronit ja esitti atomista ns. rusinakakkumallin,
jossa elektronien ajateltiin olevan hajallaan positiivisesti varautuneessa
aineessa
1911 Hans Geiger ja Ernest Marsden toteuttivat kokeen,
jota Rutherford oli ehdottanut (ns. Rutherfordin koe):
Radioaktiivisesta aineesta tulevilla alfa-
hiukkasilla pommitettiin kultakalvoa.
(Alfahiukkaset ovat helium-atomeita,
joista puuttuu elektronit)
Mitataan kalvon läpi menneet (ja
sironneet) alfa-hiukkaset.
95
95
Thomsonin mallin mukaisesta atomista alfa-hiukkasten
olisi tullut mennä suoraan läpi, koska niihin vaikuttaa vain
heikot sähköiset voimat (varaus ajateltiin olevan tasaisesti
jakautuneena koko atomiin)
Havaittiin kuitenkin, että osa hiukkasista siroaa
kultakalvosta hyvin suuriin kulmiin, osa jopa takaisin päin.
Koska alfa-hiukkaset ovat painavia (noin 8000 x elektronin massa) ja niiden
nopeus kokeessa on suuri, vaaditaan hyvin suuria voimia aiheuttamaan
hiukkasten sironnan.
Rutherfordin selitys kokeelle:
Atomin massa on keskittynyt hyvin pieneen, positiivisesti varattuun
pisteeseen atomissa = atomiydin
Kokeessa siroavat alfa-hiukkaset käyvät lähellä ydintä, josta ne
voivat siroata suuriinkin kulmiin
Suurin osa atomista on tyhjää - elektronit ympäröivät atomia
kaukana ytimestä.
(Jos elektronit tiivistyisivät ytimeen, meistä tulisi juuri ja juuri
mikroskoopilla havaittavia pisteitä.)
96
Rutherford johti kaavan eri kulmiin sironneiden alfa-hiukkasten
lukumäärälle (atomimallinsa mukaan):
)2/(sin)8()(
4222
0
42
K
i
Er
entZNN
Ni = detektorille tulevien elektronien kokonaismäärä
n = kalvossa olevien atomien lukumäärä tilavuusyksikössä
Z = atomin järjestysluku
r = näytekalvon etäisyys detektorista
EK = alfa-hiukkasten kineettinen energia
t = näytekalvon paksuus
Koska N(θ) on kääntäen verrannollinen sin4(θ/2), N(θ):n
kulmariippuvuus on huomattavaa.
Vain 0.14% hiukkasista siroaa suurempaan kuin 10 kulmaan.
96
Rutherfordin sironnan avulla voidaan määrittää ytimen koko
Lähimmäksi ydintä pääsevät ne alfa-hiukkaset, joilla on eniten
kineettistä energiaa, tulevat kohti ydintä ja siroavat 180o.
Etäisyydellä, jossa alfa-hiukkasen suunta muuttuu, hiukkasen
kineettinen energia on yhtä suuri kuin ytimen repulsioenergia
Eli lähin etäisyys ytimestä, johon alfa-hiukkanen voi päästä on
joka on siis arvio ytimen koolle.
97
R
ZeEE PK
2
0
2
4
1
Alfa-hiukkasen varaus 2e ja
ytimen Ze
KE
ZeR
0
2
4
2
97
98
ESIMERKKI 4.1
Nopeimpien radioaktiivista lähteistä saatavien alfa-hiukkasten
kineettinen energia on 7.7 MeV. Laske kullan (Z=79) ytimen koko, kun
Rutherfordin kokeessa käytetään näitä alfa-hiukkasia.
Atomissa on siis pieni, painava ydin, mutta miten sitten ne elektronit?
Planeettamallissa positiivista ydintä kiertää negatiiviset elektronit.
Elektronien liikkeestä aiheutuva keskipakoisvoima kumoaa ytimen
vetovoiman, jotta elektronit pysyvät radallaan.
Keskipakoisvoima = ytimen vetovoima
eli elektronin nopeus riippuu sen radan säteestä:
Elektronin energia on summa sen kineettisestä ja potentiaalienergiasta:
99
4.2. ELEKTRONIRADAT - PLANEETTAMALLI
2
2
0
2
4
1v
r
e
r
m
mr
e
04v
r
e
r
e
r
e
r
emE
0
2
0
2
0
2
0
22
84842
v
EKin EP
Tämä on
itseasiassa koko
vetyatomin
kokonaisenergia
(jutellaan tästä
myöhemmin lisää)
100
Kokeellisesti voidaan osoittaa, että tarvitaan 13.6 eV energiaa
erottamaan vetyatomin elektroni ja protoni toisistaan. Mikä on
elektronin nopeus ja radan säde vetyatomissa?
100
ESIMERKKI 4.2
101
Klassinen fysiikka:
Kiihtyvässä liikkeessä olevat varatut hiukkaset säteilevät
→ elektronien tulisi lähettää säteilyä ja menettää energiaansa
→ elektronien tulisi kulkea spiraalirataa kohti ydintä, jolloin
säteilyn tulisi olla jatkuvaa ja elektronien tulisi törmätä ytimeen
Kuitenkaan atomit eivät painu kasaan?!?
Klassisen fysiikan käyttökelpoisuus murenee kun lähestytään mikromaailmaa.
Rutherfordin malli on klassinen ja soveltuu melko hyvin koska alfa-hiukkasen ja raskaan ytimen vuorovaikutukselle pätee klassinen tarkastelu. Jos pienet partikkelit kohtaavat, Rutherfordin malli ei enää päde.
Bohrin atomimalli kombinoi klassista ja modernia fysiikkaa ja pääsee yli edellä olevista ongelmista.
101
102
4.3. BOHRIN ATOMIMALLI
Tarkastellaan Bohrin atomimallia lähtien de Broglie aalloista.
Kuvataan vety-ytimen ympärillä kiertävän elektronin aaltoluonnetta de
Broglie aallolla
m
r
e
h
e
mr
m
h
m
h 00 44
v
mr
e
04v
Jos lasketaan em. yhtälöstä aallonpituus vedyn (jonka säteen arvo
laskettiin jo aiemmin) elektronille, saadaan λ= 33 x 10-11m, joka on sama
kuin elektronin radan pituus.
Eli vedyllä elektronin radan pituus
vastaa yhtä täyttä de Broglie aaltoa.
Kun radan pituus = aallonpituuden
kokonaismonikerta, syntyy seisova
värähtely
102
103
Jos aallonpituus on osa
kehänpituudesta, eri vaiheessa
olevat aallot interferoivat
konstruktiivisesti ja värähtely
sammuu.
Sammunut aalto = ei
todennäköisyyttä
löytää elektronia
Bohrin mallin mukaan elektroni voi olla atomissa
vain radalla, jonka pituus vastaa de Broglien
aallonpituuden kokonaista monikertaa.
Tämä kuva atomista yhdistää elektronin nopeuden
sekä aaltoluonteen, mutta ei ole viimeinen kuva
atomista.
Elektronien sallitut radat:
n = kvanttiluku
Sijoitetaan tähän aallonpituus
...,3,2,12 nrn n
m
r
e
h 04
103
104
josta voidaan laskea elektronien sallittujen ratojen säteet
Kun n=1, saadaan ns. Bohrin säde a0 = r1=5.292x10-11m
Muut mahdolliset säteet voidaan laskea Bohrin säteen avulla
,...3,2,12
0
22
nme
hnrn
,...3,2,10
2 nanrn
104
...,3,2,124 0 nr
m
r
e
nhn
n
Elektronien sallitut radat:
105
ESIMERKKI 4.3
Laske elektronien radan säteet neljälle alimmalle vetyatomin energia
tilalle.
106
J. J. Thomson sai Nobelin fysiikan palkinnon
elektronin hiukkasluonteen löytämisestä 1906
J.J. Thomsonin poika George Paget Thomson sai
Nobelin fysiikan palkinnon elektronin
aaltoluonteen löytämisestä.
Kaiken kaikkiaan seitsemän J.J. Thomsonin tutkimusapulaista saivat
uransa aikana Nobelin palkinnon:
Charles Glover Barkla 1917 röntgenspektroskopiasta
Charles Thomson Rees Wilson 1927 sumukammiokeksintö (jolla
saadaan varattujen hiukkasten radat näkyviin
Ernest Rutherford 1908 kemian nobel aineiden
radioaktiivisuustutkimuksista
Francis William Aston 1922 kemian nobel massaspektroskopiasta
Owen Willans Richardson 1928 termisen emission tutkimus
William Henry Bragg 1915 kidetutkimuksesta
Max Born 1954 kvanttimekaniikan statistisesta käsittelystä 106
Pala historiaa:
107
Kappaleessa 4.2 määritettiin energia vedyn elektronille, joka kulkee r-
säteistä rataa pitkin
Jos sijoitetaan tähän kappaleessa 4.3 saatu radan lauseke, systeemin
kokonaisenergiaksi saadaan:
Energiat ovat negatiivisia kun elektroni on sidottuna atomiin. Energiat
antavat atomin ns. energiatasot eri kvanttiluvuilla n.
Elektroni voi olla vain jollakin näistä energiatasoista
– elektronilla ei voi olla mitään muita energioita silloin kun se on
sidottu vetyatomiin.
4.4. VETYATOMIN ENERGIATASOT
r
eE
0
2
8
...,3,2,1
...,3,2,1888
2
1
2
0
22
4
0
22
2
0
2
0
2
nn
EE
nhn
me
hn
mee
r
eE
n
n
n
107
108
Laske vetyatomin neljän alimman energiatason energiat.
ESIMERKKI 4.4
109
Perustila
Viritystilat
Vapaa elektroni
(ionisaatioraja)
Kaikkien atomien energiatasot ovat kvantittuneet – samaa
kvantittumista on kaikkialla mikromaailmassa. Makromaailmassa
energia on jatkuvaa.
110
Frankin ja Hertzin koe osoittaa, että atomilla on vain tiettyjä energiatiloja
Bohrin mallin mukaisesti.
Koejärjestely:
Elektroneja irtoaa termisesti
vastuslangasta.
Elektronit kiihdytetään
vastuslangan ja hilan välisellä
jännitteellä V.
Osa elektroneista läpäisee hilan ja
pääsevät sen takana olevalle
levylle, jos elektronien kineettinen
energia riittää vastakentän V0
voittamiseen.
Kun jännite V kasvaa, useammat elektronit pääsevät levylle ja myös
virta kasvaa.
Näytekaasua
110
4.5. FRANKIN JA HERTZIN KOE
111
Tietyllä jännitteen arvolla, virta yhtäkkiä
laskee rajusti.
Tämä jännite vastaa tilannetta, että
elektronin kineettinen energia riittää
virittämään näyteaineen atomin.
Seuraava pudotus virrassa tapahtuu, kun sama elektroni virittää jonkun
toisen näyteaineen atomin.
Saadaan kuvan mukainen jännite-virta-käyrä, josta voidaan määrittää
atomin viritysenergia.
Edellä on ajateltu, että ytimen massa on paljon suurempi kuin elektronin
massa. Kuitenkin ytimellä on äärellinen massa, joka aiheuttaa korjauksen
elektronin rataan.
Ydin ja elektroni liikkuvat massakeskipisteen ympäri, joka sijaitsee lähellä
raskaampaa ydintä.
Määritetään elektronin redusoitu massa:
112
Mm
mMm
'
Käytetään energian laskemisessa elektronin massan tilalta
redusoitua massaa:
2
1
2
0
22
4 '
8
'
n
E
m
m
hn
emEn
112
4.6. YTIMEN LIIKE
113
Vedylle mikä tarkoittaa, että vedyn energiatilat
ovat noin 0.055 % vähemmän negatiivisia.
Rydbergin vakion arvo 1.0973731 x 107 m-1 korjaantuu arvoksi
1.0967758 x 107 m-1
Deuterium (ytimessä protoni + neutroni) löydettiin, koska sen Hα viivan
aallonpituus on 656.1nm, kun se vedylle on 656.3nm.
99945.0'
mM
M
m
m
114
Positronium on systeemi, joka koostuu positronista ja elektronista, jotka
kiertävät toisiaan. Mitkä ovat positroniumin mahdolliset energiat? Mikä
on Rydbergin vakion arvo positroniumille? Entä mikä on positroniumin
ionisaatioenergia?
114
ESIMERKKI 4.5
Spektri: Spektri saadaan mittaamalla aineen emittoiman tai absorboiman
säteilyn intensiteetti aallonpituuden (tai taajuuden tai energian) funktiona.
Mustan kappaleen säteily on jatkuvaa, koska se on lähtöisin monista
atomeista (kollektiivinen käyttäytyminen). Kaasussa atomin säteilemä
energia on karakteristista eli ominaista atomilajille – tätä klassinen
fysiikka ei pystynyt selittämään.
Emissiospektri:
Johdetaan elektronivirta atomaarisen näytekaasun läpi. Törmäyksissä
atomit virittyvät korkeampiin energiatiloihin. Palatessaan takaisin
alempiin energiatiloihin, ne emittoivat sähkömagneettista säteilyä, jonka
energia on näyteaineelle ominainen.
115
4.7. ATOMIEN SPEKTRIT
Prisma hajottaa valosta eri
taajuudet/aallonpituudet
115
116
Kun elektroni atomissa putoaa ylemmältä viritetyltä tilalta alempaan
energiatilaan, energiatasojen välinen energiaero vapautuu fotonina.
Vetyatomille energiatasojen välinen energiaero:
Ei
Ef
fi EEhf
221
221
111
11
if
fi
fi
nnE
nnEEEhf
λ= c/f
1/ λ=f/c
116
117
Absorptiospektri:
Valkoinen valo kulkee näytekaasun läpi. Läpi tulleesta valosta puuttuu joitain aallonpituuksia. Nämä aallonpituudet pystyvät virittämään näyteatomin ja ne absorboituvat. Aallonpituudet ovat näyteaineelle ominaisia.
Spektrisarjat
Viime vuosisadan lopulla löydettiin kokeellisesti ensimmäiset spektrisarjat.
Kokeellisessa spektrissä huomattiin, että havaittavien viivojen väli lyhenee
ja intensiteetti pienenee kun energia kasvaa (eli aallonpituus pienenee).
Hα=656.3nm Hβ=486.3 nm Hγ
λ kasvaa → 117
118
Vetyatomin spektrisarjat:
Absorptio:
Perustilasta n=1 viritetään n=2,
3, 4, …
Emissio:
Palataan viritetystä tilasta
takaisin perustilaan tai mihin
tahansa tilaan n=2, 3, 4, …
118
119
Lymanin sarja:
Aallonpituudet ultraviolettialueella
R = Rydbergin vakio , vedylle 1.097·107 m-1
Balmerin sarja:
Aallonpituudet näkyvän valon alueella
n= 3 vastaa Hα, n=4 vastaa Hβ jne.
Paschenin sarja:
Aallonpituudet infrapuna-alueella
Brackettin sarja:
Aallonpituudet infrapuna-alueella
Pfundin sarja:
Aallonpituudet infrapuna-alueella
...,5,4,31
2
1122
n
nR
...,4,3,21
1
1122
n
nR
...,6,5,41
3
1122
n
nR
...,7,6,51
4
1122
n
nR
...,8,7,61
5
1122
n
nR
119
120
Mikä on vedyn Balmer-sarjan pisin aallonpituus (vastaa Hα viivaa)?
120
ESIMERKKI 4.6
121
Vetyatomissa elektronin radan säde on 0.0100 mm. Mikä on tilan
kvanttiluku? Mikä on silloin vetyatomin energia?
121
ESIMERKKI 4.7
122
Mitä suurempi kvanttiluku, sitä lähempänä kvanttifysiikka on
klassista fysiikkaa.
Tarkastellaan, miten vastaavuusperiaate toimii Bohrin atomimallin
tapauksessa.
Sähkömagneettisen teorian mukaan ympyrän muotoisella radalla
oleva elektroni säteilee sähkömagneettista säteilyä, jonka taajuus on
elektronin kiertotaajuus.
Lasketaan elektronin kiertotaajuus:
3
00 4242
1
2
v
taympärysmitradan
nopeusuuskiertotaaj
mr
e
mr
e
rr
Radan säde r on riippuvainen kvanttiluvusta n
,...3,2,12
0
22
nme
hnrn
122
4.8. VASTAAVUUSPERIAATE
Milloin sitten Bohrin atomi käyttäytyy klassisen fysiikan mukaisesti?
Bohrin mallin mukaan atomin kahden energiatason välinen ero on
Joten emittoituvan fotonin taajuus on:
Tarkastellaan, mitä tapahtuu kun n on hyvin suuri?
123
3
1
2
0
33
4
622
4
0
66
633
3
0
66
0
3
2
0
22
0
2
442
4242
fnh
E
hn
me
em
hn
e
em
hmn
e
me
hnm
en
Sijoitetaan taajuuden lausekkeeseen ja sievennetään:
=elektronin kiertotaajuus atomissa
123
22
1 11f
if nnh
E
123
221
11
fi
finn
EEEhf
124
Joka on täysin sama kuin klassinen kiertotaajuus kun p=1.
Pienillä n:n arvoilla taajuudet eroavat paljon, mutta suurilla n:n arvoilla
yhtälöt vastaavat toisiaan.
Kun n >> p 2np – p2≈ 2np ja (n-p)2 ≈ n2
22
2
1
22
1
)(
21
)(
1f
pnn
pnp
h
E
npnh
E
Merkitään ni=n ja nf= n-p, p=1, 2, 3, …
3
1
22
1 22f
n
p
h
E
nn
np
h
E
125
a) Mikä on kiertotaajuus elektroneille Bohrin radoilla n=1 ja n=2?
b) Mikä on fotonin taajuus, kun se emittoituu atomista elektronin
pudotessa n=2 radalta n=1 radalle?
c) Elektroni pysyy viritetyssä tilassa noin 10-8s ennen kuin se putoaa
takaisin alemmalle tilalle. Montako kierrosta elektroni kiertää ytimen
ympäri tässä ajassa?
125
ESIMERKKI 4.8
126
Atomien energiatasojen välisiä virityksiä voi tapahtua kolmella eri
tavalla:
1) Hiukkastörmäys Viritys tapahtuu kun toinen hiukkanen törmää atomiin ja
törmäävän hiukkasen kineettinen energia siirtyy virittyvään
atomiin.
Viritystila purkautuu fotonin emissiolla.
Esimerkkejä:
Mainosvalot
Elektronivirta johdetaan elektrodien
väliin, elektronit virittävät kaasu-
atomit, jotka purkautuessaan vapaut-
tavat säteilyä.
Neon: punainen
Elohopea: sinertävä
126
4.9. ATOMIEN VIRITYKSET - ESIMERKKEJÄ
127
© Jouni Jussila 2003
Revontulet:
Auringosta tulevat hiukkaset
virittävät ylempien ilmakerrosten
atomeja. Hiukkaset ohjautuvat
maapallon napa-alueille
magneettikentän vuoksi.
Viritystilojen purkautuessa syntyy
revontulet.
Vihreä väri: happi
Punainen väri: happi ja typpi
128
2) Fotoniviritys
Fotonivirityksessä atomi absorboi fotonin.
Fotonin koko energian pitää kulua viritykseen: siksi atomi absorboi
valkoisesta valosta (joka sisältää kaikkia aallonpituuksia) vain tietyt
aallonpituudet, jotka vastaavat täsmälleen kahden energiatason
erotusta
Atomi emittoi absorboituneen
energian fotoneina, jotka lähtevät
atomista eri suuntiin.
Esimerkkejä:
Atomi-, molekyyli- ja materiaalitutkimus
Laser (palataan tarkemmin kappaleessa 4.9)
129
3) Virittyminen lämpöenergian avulla
Lämmitettäessä atomeja/molekyylejä, lämpöenergia voi virittää ne
ylemmille energiatasoille.
Esimerkki: Ilotulitteet (ja liekkikokeet)
Väri Yhdiste
punainen litiumkarbonaatti Li2CO3
kirkkaan
punainen strontiumkarbonaatti SrCO3
oranssi kalsiumkloridi ja -sulfaatti CaCl2, CaSO4· nH2O, n = 0, 2,
3 tai 5
kulta rauta Fe (yhdessä hiilen kanssa)
keltainen natriumnitraatti NaNO3, kryoliitti, Na3AlF6
valkoinen
hehku
metallinen magnesium ja alumiini Mg, Al, bariumoksidi
BaO
vihreä bariumin suolat ja kloori, yhdessä kloorin vapauttajan
kanssa
siniset
sävyt
kupariasetoarseniitti Cu3As2O3 · Cu(C2H3O2)2 yhdessä
muiden kuparisuolojen ja kloorin vapauttajan kanssa
turkoosi kupari(I)kloridi, CuCl
hopeavälke Al, Ti, tai Mg jauheena tai hiutaleina
Purppura-
sävyt strontium- ja kupariyhdisteiden seos
Ilotulitteissa käytetään
metallisuoloja antamaan valoa
ja väriä sekä luomaan
kipinöintiä.
130
Laser tuottaa valoa, jolla on useita merkittäviä ominaisuuksia:
Valo on monokromaattista
Valo on koherenttia
Valo ei divergoi (eli valokimppu ei hajoa juuri ollenkaan pitkilläkään matkoilla)
Valo on hyvin intensiivistä
4.10. LASER
”Tavallinen” valo sisältää useita aallonpituuksia, jotka ovat
eri vaiheissa.
Monokromaattinen valo sisältää vain yhtä aallonpituutta,
mutta aallot voivat olla eri vaiheessa.
Monokromaattinen ja koherentti valo sisältää vain yhtä
aallonpituutta ja aallot ovat samassa vaiheessa.
131
Yleensä viritystilojen elinaika on
~ 10-8 s.
Metastabiileille tiloille elinaika on
~ 10-3 s.
Atomeissa voi tapahtua kahden energiatason välillä kolmenlaisia
siirtymiä, joissa on mukana fotoni.
1) Stimuloitu absorptio
Atomi siirtyy tilasta E0 tilaan E1 absorboidessaan fotonin
2) Spontaani emissio
Atomi siirtyy spontaanisti tilasta E1 tilaan E0 ja emittoi fotonin
3) Stimuloitu emissio
Toinen fotoni aiheuttaa atomin siirtymisen tilasta E1 tilaan E0 ja
saadaan kaksi saman aallonpituista ja samassa vaiheessa olevaa
fotonia. Jotta stimuloitu emissio on
mahdollinen, täytyy ylemmällä
energiatasolla olla suurempi
miehitys kuin alemmalla
energiatasolla = miehitysinversio
Atomeissa on viritystiloja, joilla on hyvin erilainen elinaika.
132
Kolmitasoinen laser
Tarvitaan atomi tai molekyyli, jossa on perustilan yläpuolella metastabiili
tila ja sen yläpuolella jokin toinen viritystila.
1) Pumpataan ulkoisella valolähteellä atomeja perustilasta korkeampaan
viritystilaan
2) Viritystila purkautuu metastabiiliin tilaan, johon saadaan
miehitysinversio (eli atomeista suuriosa on tässä perustilaa korkeammassa
energiatilassa)
3) Ulkoinen fotoni laukaisee stimuloidun emission
Jos tasoja olisi vain kaksi, optinen pumppaus aiheuttaisi myös
metastabiilin tilan purkautumista ja koskaan ei päästäisi tilanteeseen,
jossa suurin osa atomeista on ylemmällä energiatilalla.
132
133
Nelitasoinen laser
Nelitasoisessa systeemissä on –nimensä
mukaisesti - neljä energiatilaa.
Atomeja viritetään perustilalta tilalle E3, joka
purkautuu metastabiiliin tilaan E2.
Laser siirtymä tapahtuu metastabiilin tilan
sekä välitilan E1 välillä.
Koska välitila on lyhytikäinen (eli purkautuu
nopeasti takaisin perustilaan), on helppoa
saada metastabiilin tilan miehitys
suuremmaksi kuin välitilan, jolloin laserin
toiminta on mahdollinen.
133
134
Erilaisia lasereita
Rubiini-laser
Perustuu synteettisessä rubiinissa (Al2O3+ 0.05% Cr2O3 ) olevien Cr3+
ionien energiatiloihin
Optinen pumppaus tapahtuu Xe-purkauslampusta, jonka jälkeen
tapahtuu säteilemätön siirtymä metastabiiliin tilaan (energia menee
kidehilaan ja nostaa sen lämpötilaa)
Laser siirtymän aallonpituus on punaisen valon alueella 694.3 nm
134
135
He-Ne laser
Nelitasoinen laser
Perustuu helium- ja neon-kaasujen seokseen ”purkauslampussa”, johon
energia tuodaan sähköpurkauksen avulla.
He-atomit virittyvät törmäyksissä elektronien kanssa - neon atomit
törmäyksessään helium atomien kanssa.
Laservalon aallonpituus punaisen valon alueella 632.8 nm
135
136
5. KVANTTIMEKANIIKKAA
Bohrin atomimallista saimme jonkinlaisen kuvan atomin rakenteesta.
Kuitenkaan Bohrin atomimalli ei pysty selittämään kaikkia kokeellisia
havaintoja spektreistä:
Miksi osa spektrien viivoista on toisia voimakkaampia (miksi toiset
siirtymät ovat todennäköisempiä kuin toiset?)
Miksi monielektronisella atomilla on spektriviivoja, jotka
poikkeavat energiassa vain vähän toisistaan?
Miksi atomit voivat muodostaa sidoksia toisten atomien kanssa?
Tarve kehittää atomimallia synnytti kokonaan uuden tavan kuvata
fysiikkaa:
Syntyi kvanttimekaniikka
Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac, Eugene
Wigner
Albert Einstein
Max Planck Marie Curie
W.L. Bragg H.A. Lorentz
Paul Dirac
A.H. Compton
L.V. de Broglie Max Born
Niels Bohr
W. Heisenberg
W. Pauli
E. Schrödinger
1927 Solvay Conference on Quantum Mechanics
17/29 osallistujista oli saanut tai sai myöhemmin Nobelin palkinnon (Marie Curie 2 kertaa)
137
138
5.1. KVANTTIMEKANIIKKA
Klassisen fysiikan mukaan kappaleen tulevaisuus saadaan laskettua, kun
tiedetään sen paikka, liikemäärä ja siihen vaikuttavat voimat, jotka
kaikki voidaan määrittää.
Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta johtuen kvanttimekaniikassa ei ole
varmuutta tulevaisuudesta, koska alkutilaakaan ei voida määrittää
tarkasti.
Kvanttimekaniikka ennustaakin todennäköisyyksiä:
Esimerkiksi Bohrin atomimallin mukaista elektronin radan tarkkaa
sädettä ei voida määrittää kvanttimekaniikan avulla. Sen sijaan
saadaan määritettyä paikka, josta elektroni todennäköisimmin löytyy.
Klassinen mekaniikka on kvanttimekaniikan likiarvo.
Albert Einstein: "God does not play dice“
Niels Bohr: "Einstein, stop telling God what to do"
de Broglie aallon yhteydessä tutustuimme jo käsitteeseen aaltofunktio.
Palataanpa siihen vielä.
Kvanttimekaniikkaan liittyy aaltofunktion Ψ käsite. Aaltofunktio on
abstrakti – sillä ei ole fysikaalista vastinetta.
Aaltofunktion neliö |Ψ|2 kertoo todennäköisyyden hiukkasen paikalle
tiettynä ajanhetkenä.
Aaltofunktiosta voidaan määrittää myös hiukkasen liikemäärä,
kulmaliikemäärä ja energia.
Ongelmana on vain ratkaista hiukkasen aaltofunktio yhtälöstä, joka sisältää
tiedot hiukkaseen vaikuttavista voimista.
139
5.2. AALTOFUNKTIO
140
Aaltofunktiot ovat yleensä kompleksisia, sisältävät siis reaali- ja
imaginääriosat
Ψ=A + i B
Hiukkasen todennäköisyystiheys on verrannollinen aaltofunktion
neliöön Ψ*Ψ, jossa Ψ* on Ψ:n kompleksikonjugaatti:
Ψ*=A - i B
ja Ψ* Ψ =A2+B2
Eli todennäköisyystiheys on aina reaalinen ja positiivinen. Sen lisäksi
se on äärellinen (eli hiukkasen täytyy olla jossain).
1i
Jos
hiukkasta ei ole olemassa.
Jos hiukkanen on olemassa, todennäköisyys sen löytymiselle jostain = 1
02dV
12dV
Yleensä on järkevää merkitä todennäköisyystiheys P=Ψ*Ψ, josta seuraa,
että funktion Ψ on oltava normittuva eli täyttää normitusehto:
Fysikaalisesti hyvätapaisesti käyttäytyvä aaltofunktio (eli joka antaa
fysikaalisesti mielekkäitä ratkaisuja) on oltava:
Yksikäsitteinen
Jatkuva
Äärellinen
Derivoituva
Myös funktion derivaatan tulee olla yksikäsitteinen, jatkuva ja
äärellinen
1PdV
141
Normitetun todennäköisyystiheysfunktion avulla voidaan laskea
todennäköisyys hiukkasen löytymiselle väliltä [x1,x2] :
2
1
21
2x
x
xxdxP
Mitkä seuraavista aaltofunktioista ovat fysikaalisesti järkeviä?
142
ESIMERKKI 5.1
Normita aaltofunktio : 2
21
Ax
xe
143
ESIMERKKI 5.2
144
Aaltofunktio Ψ(x) saa x-akselilla seuraavat arvot:
Ψ(x)=Ae-ax x>0
Ψ(x)=Ae+ax x≤0
a) Normita aaltofunktio.
b) Laske todennäköisyys sille, että hiukkanen on välillä (1/a, 2/a)
ESIMERKKI 5.3
Schrödingerin yhtälö on aaltoyhtälö, jonka ratkaisu antaa aaltofunktion Ψ.
Tarkastellaan ensin yleistä aaltoyhtälöä, joka kuvaa y:n muuttumista
aallossa, joka etenee x-akselin suuntaan nopeudella v :
Värähtelevässä köydessä y on poikkeama x-akselista, ääniaallossa y on
paine-ero, valoaallossa y on sähkö- tai magneettikentän funktio.
Aaltoyhtälöllä on erilaisia ratkaisuja, mutta kaikki ratkaisut ovat muotoa
joista y=F(t-x/v) kuvaa +x-akselin suuntaan etenevää aaltoa ja y=F(t+x/v)
kuvaa –x-akselin suuntaan etenevää aaltoa.
145
2
2
22
2
v
1
t
y
x
y
v
xtFy
5.3. AALTOYHTÄLÖ
146
Tarkastellaan vapaata hiukkasta, joka etenee vakionopeudella
x-akselin suuntaan.
Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta mitään voimia.
Hiukkasta voidaan kuvata aaltoyhtälön yleisellä ratkaisulla:
sincos ie i
)(sinA)(cosAAvv
v/ xxxti titey
Osoita, että edellä oleva aaltofunktio
on aaltoyhtälön ratkaisu.
)(sinA)(cosAAvv
v/ xxxti titey
2
2
22
2
v
1
t
y
x
y
147
ESIMERKKI 5.4
Kvanttimekaaninen aaltofunktio Ψ vastaa aaltoyhtälössä muuttujaa y.
Aaltofunktio ei ole itsessään mitattavissa oleva suure ja voi siten olla
myös kompleksinen.
Vapaalla hiukkasella tarkoitetaan hiukkasta, johon ei vaikuta mitään
ulkopuolisia voimia.
Kun hiukkanen etenee +x-akselin suuntaan nopeudella v, sillä on
liikemäärä p ja energia E.
Hiukkasen aaltofunktio voidaan kirjoittaa muotoon:
Yleensä hiukkaseen kuitenkin vaikuttaa ulkopuolisia voimia ts. sen liike
on rajattu johonkin tilaan. Esimerkiksi atomin ydin sitoo elektronin
atomiin.
pxEtixti eey )/(v/ AA
pp
hfhfEff
2 ja 2 sekä vja 2 Koska
148
5.4. AJASTA RIIPPUVA SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖ
149
On löydettävä differentiaaliyhtälö aaltofunktiolle Ψ, joka sisältää
hiukkasen liikettä rajoittavat ehdot. Tämä yhtälö on Schrödingerin yhtälö
(jonka ratkaisuna siis aaltofunktio Ψ saadaan).
Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen mekaniikan tuloksista,
mutta se voidaan johdatella vapaan hiukkasen aaltofunktiosta.
Johdatellaan ja tarkastellaan sitten tulosta.
Muodostetaan vapaan hiukkasen aaltofunktiosta osittaisderivaatat.
Ensin toinen osittaisderivaatta x:n suhteen:
Sitten ensimmäinen derivaatta ajan suhteen:
2
222
)/(
2
2)/()/(
2
2
2
2
AAA
xp
ep
eip
xe
xx
pxEtipxEtipxEti
ti
EeiE
t
pxEti
)/(A
Jos hiukkasen nopeus on pieni suhteessa valon nopeuteen, sen
kokonaisenergia voidaan kirjoittaa muotoon:
Jossa ensimmäinen termi on hiukkasen liike-energia ja toinen termi
kuvaa, millaisessa potentiaalissa hiukkanen liikkuu.
Kerrotaan kokonaisenergia lauseke puolittain aaltofunktiolla Ψ
ja sijoitetaan lasketut osittaisderivaatat em. Yhtälöön ja saadaan ajasta
riippuva Schrödingerin yhtälö:
),(2
2
txUm
pE
),(2
2
txUm
pE
150
),(
2 2
22
txUxmt
i
),,,(
2 2
2
2
2
2
22
tzyxUzyxmt
i
(1-dim.)
(3-dim)
Kun tunnetaan hiukkasen liikettä rajoittava ulkoinen voima U, voidaan
Schrödingerin yhtälön ratkaisuna saada hiukkasta kuvaava aaltofunktio Ψ.
Kun tunnetaan hiukkasen aaltofunktio Ψ, voidaan myös hiukkasen paikan
todennäköisyyttä kuvaava | Ψ|2 määrittää.
Edellä oleva sijoittaminen ei ole perusteltua, se on vain tehty.
Schrödingerin yhtälö ei ole johdettavissa, vaan se postuloidaan.
Ehtona on, että teorian ennustamat tulokset ovat yhtäpitäviä kokeellisten
tulosten kanssa. On huomattu, että Schrödingerin yhtälö kuvaa hyvin
tarkasti fysikaalisissa kokeissa saatuja tuloksia.
Edellä oleva yhtälö on käyttökelpoinen vain kun hiukkasen nopeus on pieni
ts. epärelativistiseen tilanteeseen.
151
Erwin Schrödinger 12.8.1887-4.1.1961
•Syntyi Itävallassa kasvitieteilijän ja kemian professorin
tyttären ainoaksi lapseksi.
•Alkeisopetus kotona ja 1898 wieniläiseen kouluun.
•Kerrotaan, että Erwin pystyi omaksumaan kaiken
fysiikan ja matematiikan suoraan tunneilla – ilman
läksyjä tai kertausta.
•Opiskeli fysiikkaa Wienissä, väitteli tohtoriksi 1910
sähkönjohtavuutta käsitelleellä väitöstutkimuksella.
•Osallistui ensimmäiseen maailmansotaan, jonka aikanakin teki tutkimusta
•Tutkimusaiheita ennen 1920-lukua olivat mm. värinäöstä,
radioaktiivisuudesta, hilarakenteen dynamiikasta ja kiinteän aineen
fysiikasta.
•Professorina eri puolilla Saksaa, julkaisi yhtälönsä 1926
•Siirtyi Albert Einsteinin kollegaksi Berliinin yliopistoon 1927 ja pois
Saksasta Oxfordiin v. 1933 kansallissosialistien noustua valtaan
•Ihmissuhteet sellaisia, että ”Kauniit ja rohkeat”-kin jää varjoon
• Sai Nobelin fysiikan palkinnon 1933 Schrödingerin yhtälöstä
•Useiden Euroopan maiden jälkeen sijoittui Dubliniin 1939, jossa toimi
eläkkeelle jäämiseen saakka
•Kuoli tuberkuloosiin vuonna 1961 152
Schrödingerin yhtälö on lineaarinen Ψ:n suhteen:
Jos Ψ1 ja Ψ2 ovat yhtälön ratkaisuja, myös niiden lineaarikombinaatio
Ψ= a Ψ1+b Ψ2
on ratkaisu, kun a ja b ovat vakioita.
Eli myös aaltofunktiot voivat interferoida (kuten ääniaallot, valo,
sähkömagneettiset aallot).
153
5.5. LINEAARISUUS JA SUPERPOSITIO
154
Osoita, että
Ψ=a1Ψ1(x,t) +a2Ψ2(x,t)
on Schrödingerin yhtälön ratkaisu, jos Ψ1(x,t) ja Ψ2(x,t) ovat
sen ratkaisuja.
ESIMERKKI 5.5
Kun hiukkaseen liittyvä aaltofunktio tunnetaan, hiukkaseen liittyvät
suureet voidaan laskea odotusarvoina.
Tarkastellaan hiukkasen paikan odotusarvoa. Odotusarvo saadaan
laskemalla keskiarvo hiukkasten, joilla on sama aaltofunktio, paikasta.
Hiukkasista N1 kappaletta on pisteessä x1, N2 kappaletta on pisteessä
x2, N3 kappaletta on pisteessä x3, jne
Hiukkasen keskimääräinen paikka on jakauman massakeskipiste
Yhden hiukkasen tapauksessa Ni korvataan todennäköisyystiheydellä Pi että
hiukkanen löytyy väliltä dx.
Sijoitetaan tämä edellä olevaan yhtälöön ja muutetaan summaukset
integraaliksi saadaan hiukkasen paikan odotusarvoksi
i
ii
N
xN
NNN
xNxNxNx
...
...
321
332211
dxP ii
2
155
5.6. ODOTUSARVOT
156
dxx
dx
dxx
x2
2
2
Yhtälö kertoo, että paikan odotusarvo <x> löytyy |Ψ|2:n
massakeskipisteestä.
saadaan hiukkasen paikan odotusarvoksi
Hiukkasta kuvaa aaltofunktio Ψ=ax välillä 0 ≤ x ≤ 1. Aaltofunktio Ψ=0
alueen ulkopuolella.
a) Mikä on todennäköisyys, että hiukkanen löytyy väliltä 0.45 ≤ x ≤ 0.55?
b) Mikä on hiukkasen paikan odotusarvo?
157
ESIMERKKI 5.6
Yleisesti paikasta x riippuvan funktion G(x) odotusarvo voidaan laskea
yhtälöstä
Liikemäärän p odotusarvoa ei voida laskea tällä tavalla johtuen
epätarkkuusperiaatteesta. Sama ongelma on energian odotusarvon kanssa.
dxxGxG2
)()(
158
Liikemäärän ja energian operaattorit
Aiemmin esitettiin miten odotusarvot saadaan x:lle ja siitä riippuvalle
funktiolle.
Liikemäärän ja energian odotusarvoja ei voi laskea samalla tavalla, koska
integroinnin suorittamiseksi p ja E pitäisi ilmoittaa x:n ja t:n funktioina.
Epätarkkuusperiaatteesta johtuen
Koska liikemäärää ja energiaa ei voida määrittää tarkasti, niiden
ilmoittaminen x:n ja t:n avulla ei ole mahdollista.
Täytyy löytää jokin muu keino.
dxxx2
dxxGxG2
)()(
22
tExp
159
5.7. OPERAATTORIT JA ODOTUSARVOT
Kun vapaan hiukkasen aaltofunktio derivoitiin paikan ja ajan suhteen,
saatiin (kts. Esimerkki 5.4)
Eli tietyllä tapaa liikemäärää p vastaa differentiaalinen operaattori
ja energiaa
Operaattorit kertovat, mitä tulee tehdä funktiolle, joka seuraa operaattoria.
Dynaamisia muuttujia p ja E vastaavat operaattorit pätevät yleisesti.
Tarkastellaan kokonaisenergian lauseketta E=EKin+U. Korvataan lauseke
operaattoriesityksellä:
.
tiEE
i
t
xipp
i
x
tiE
ˆ
xip
ˆ
160 UEE Kinˆˆˆ
161
Koska
Saadaan kokonaisenergian lauseke muotoon:
Aiemmin tässä kappaleessa määritettiin joten yhdistämällä
energiaoperaattorin lausekkeet saadaan:
Kertomalla puolittain aaltofunktiolla Ψ (tai paremminkin operoimalla
puolittain aaltofunktioon Ψ) saadaan Schrödingerin yhtälö:
2
2222
22
1
2
ˆˆxmximm
pEKin
Uxm
E
2
22
2ˆ
,ˆt
iE
Uxmt
i
2
22
2
tiU
xm
2
22
2
Toisin sanoen postuloimalla liikemäärän ja energian operaattorit, tullaan
samalla postuloineeksi Schrödingerin yhtälö.
Operaattorit ja odotusarvot
Koska p ja E voidaan korvata vastaavilla operaattoreilla, niiden
odotusarvot voidaan laskea käyttäen operaattoriesityksiä:
dxt
idxt
idxEE
dxxi
dxxi
dxpp
***
***
ˆ
ˆ
Huom!
Laskujärjestys
tärkeä!
162
Jokainen fysikaalisesti havaittavissa oleva suure voidaan korvata
vastaavalla kvanttimekaanisella operaattorilla. Suureen odotusarvo
saadaan laskemalla:
Eli kun tunnetaan hiukkasen aaltofunktio, kaikki hiukkaseen
liittyvät suureet voidaan laskea.
dxGxpG ˆ),( *
Laske hiukkasen kineettisen energian odotusarvo tilassa, jota esittää
aaltofunktio: 2/2
)( xCex
163
ESIMERKKI 5.7
Osoita, että i
xppx
164
ESIMERKKI 5.8
165
5.8. OPERAATTORIN OMINAISFUNKTIO JA OMINAISARVO
Muuttujan G kvantittuneet arvot saadaan ratkaisemalla niin sanottu
ominaisarvoyhtälö
Siis jos muuttuja G korvataan sitä vastaavalla operaattorilla,
niin mittausten sille antamat arvot ovat ominaisarvoyhtälön
ratkaisut Gn.
nnn GG ˆ
166
ESIMERKKI 5.9
Operaattorin d2/dx2 ominaisfunktio on
Mikä on vastaava ominaisarvo?
xex 2)(
Mikäli potentiaalienergia ei riipu ajasta (eli se on vain paikasta riippuva),
aaltofunktio voidaan kirjoittaa tulona
Sijoitetaan tulofunktio ajasta riippuvaan Schrödingerin yhtälöön ja saadaan
jaetaan eksponenttifunktiot pois ja saadaan ajasta riippumaton
Schrödingerin yhtälö
tiExiptiEpxEti eeee )/(/)/()/( AA
Ajasta
riippuva osa
Paikasta
riippuva osa
0)()(2)(
22
2
xUE
m
x
x
tiEtiEtiE eUx
em
eE )/(
2
2)/(
2)/(
2
0)()(2)()()(
22
2
2
2
2
2
xUE
m
z
z
y
y
x
x
(1-dim.)
(3-dim.) 167
5.9. SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖN AIKARIIPPUVUUDEN
EROTTAMINEN
Hiukkasen kokonaisenergiaa vastaavaa operaattoria
sanotaan Hamiltonin operaattoriksi.
Hamiltonin operaattori vastaa klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiota,
joka on kokonaisenergian lauseke paikkakoordinaattien ja liikemäärän
avulla.
Operoimalla Hamiltonin operaattorilla Ψ:hin, saadaan Schrödingerin yhtälö
Hiukkasen sallitut energia-arvot ovat Hamiltonin operaattorin
ominaisyhtälön ominaisarvoja.
Uxm
H
2
22
2ˆ
nnn EH ˆ
168
Eli jokaista hiukkaselle mahdollista energiaa vastaa oma aaltofunktio, joka on
Schrödingerin yhtälön ratkaisu.
Jos hiukkasen liikettä rajoitetaan rajaamalla se tiettyyn tilaan, hiukkasen
energia on kvantittunut.
Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktiot ovat Hamiltonin operaattorin
ominaisfunktioita ja energia-arvot ovat näiden funktioiden ominaisarvot.
Hiukkaseen liittyvä muuttuja voi olla myös kvantittumaton. Mittaus antaa
tällöin jakauman arvoja, joiden keskiarvo on odotusarvo:
Esimerkiksi vedyllä energia sekä kokonaiskulmaliikemäärä ovat
kvantittuneita suureita, mutta elektronin paikka ei.
dxGG2
169
eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin
Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin
työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista taustaa. Kuitenkin
yksinkertaisiin tilanteisiin riittää vähempi matematiikka.
Hiukkanen potentiaalikuopassa on yksi helpoista esimerkeistä.
L 0
KU
Oletuksia:
Kuopassa on äärettömän vahvat seinät.
Hiukkanen voi liikkua välillä 0 < x < L
Hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään
laatikon seiniin
Hiukkasen potentiaalienergia on vakio
laatikon sisällä, helppouden vuoksi voidaan
valita se nollaksi.
Koska hiukkasella ei voi olla ääretöntä energiaa, se ei voi olla laatikon
ulkopuolella. Toisin sanoen
L xja 0kun x 0
170
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
171
Tarkoitus on nyt määrittää hiukkasen aaltofunktio kuopan sisällä eli kun
Lx 0
Ääretön reunaiseen potentiaalikuoppaan rajatun hiukkasen Schrödingerin
yhtälö saadaan sijoittamalla Schrödingerin yhtälöön
0)()(2)(
22
2
xUE
m
x
x
potentiaali U=0. Differentiaaliyhtälön
ratkaisut ovat muotoa
0)(2)(
22
2
xE
m
x
x
xmE
BxmE
A
2cos
2sin
(voidaan todistaa sijoittamalla aaltofunktio Schrödingerin yhtälöön).
A ja B ovat vakioita, jotka voidaan määrittää reunaehdoista.
Reunaehdoista Ψ(0)=0 seuraa, että B=0, koska cos 0=1 (eli yhtälön
toinen osa ei voi kuvata hiukkasta)
Reunaehdosta Ψ(L)=0 saadaan
Ehto johtaa siis energian kvantittumiseen eli energia voi saada vain
tiettyjä arvoja.
Ratkaisemalla edellä olevasta E, saadaan
Sijoittamalla energia sekä B=0 aaltofunktion lausekkeeseen, saadaan
sallitut ratkaisut hiukkasen aaltofunktiolle:
Funktio täyttää aaltofunktiolle asetetut ehdot eli se on jatkuva,
derivoituva, äärellinen, yksikäsitteinen, samoin kuin sen derivaatat.
... 3,2,1,n ,2
02
sin nLmE
LmE
A
... 3, 2, 1,n ,0sin n
172
,...3,2,1,2 2
222
nmL
nEn
...,3,2,1sin2
sinA nL
xnAx
mEn
n
Aaltofunktio Ψn on siis ominaisfunktio, jota vastaa ominaisarvo En.
Määritetään vielä funktion normitusvakio A eli haetaan A:lle sellainen
arvo, että
12dxn
173
174
ESIMERKKI 5.10
Normita äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan hiukkasen
aaltofunktio.
Eli normitusehdosta saadaan normitusvakioksi
joten hiukkasen normitetut aaltofunktiot saavat muodon
(sijoitetaan A aiempaan yhtälöön):
LA
2
,...3,2,1,sinL
2 n
L
xnn
Aaltofunktio voi saada sekä negatiivisia että positiivisia
arvoja.
Aaltofunktion neliö kuvaa todennäköisyystiheyttä ja saa
vain positiivisia arvoja.
Aaltofunktiot saavat arvon 0 rajoilla x=0 ja x=L.
Todennäköisyystiheydet hyvin erilaisia aaltofunktiosta
riippuen:
L/2 kohdassa minimi
L/2 kohdassa maksimi
2
2
2
1
Hiukkanen, jolla vähiten energiaa
sijaitsee todennäköisimmin laatikon
keskellä, kun taas hiukkanen, joka on
toiseksi alimmassa energiatilassa ei
ole koskaan siinä.
175
Hiukkanen on äärettömän syvässä potentiaalikuopassa, jonka leveys on L.
Mikä on todennäköisyys löytää hiukkanen väliltä 0.45L<x<0.55L hiukkasen
ollessa perustilassa? Entä jos hiukkanen on ensimmäisellä viritystilalla?
176
ESIMERKKI 5.11
a) Osoita, että , missä A ja B ovat vakioita, on Schrödingerin
yhtälön ratkaisu äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan
hiukkasen energiatasolle E=0.
b) Osoita, että todennäköisyys löytää hiukkanen, jolla on tämä
aaltofunktio, on nolla.
BA x
177
ESIMERKKI 5.12
Mikä on hiukkasen paikan x odotusarvo hiukkaselle äärettömän syvässä
potentiaalikuopassa?
178
ESIMERKKI 5.13
Todellisuudessa ei ole olemassa äärettömän kova- ja korkeareunaisia
potentiaalikuoppia kuten kappaleen 5.10. tarkastelussa.
Klassisesti hiukkanen ei pääse alueille I ja III, koska sen energia ei riitä
ylittämään potentiaalivallia.
Kvanttimekaanisesti hiukkasella on todennäköisyys tunkeutua klassisesti
kielletyille alueille x<0 ja x>L.
Määritetään hiukkasen Schrödingerin yhtälöt alueissa I – III.
Alueilla I ja III:
Sen sijaan on kyllä äärellisiä
potentiaalikuoppia.
Hiukkasen energia E < vallin korkeus U.
Energy U
I III E
+x -x L 0
0)()(2)(
22
2
xUE
m
x
x
179
5.11. ÄÄRELLINEN POTENTIAALIKUOPPA
Merkitään
ja saadaan Schrödingerin yhtälö muotoon:
Jonka ratkaisut ovat muotoa:
Määritetään vakioiden A, B, C ja D arvot reunaehdoista.
Aaltofunktioiden ΨI ja ΨIII on oltava äärellisiä, joten
ΨI:ssä B=0, koska muuten funktio
ei lähesty nollaa kun
Vastaavasti ΨIII:ssä C=0, koska muuten funktio
ei lähesty nollaa kun 180
axax
III
axax
I
DeCex
BeAex
)(
)(A, B, C ja D ovat vakioita.
,0)()( 2
2
2
xa
x
x
)(2 EUma
axax
I BeAex )(
x
axax
III DeCex )(
x
Sallittuja ovat vain rajoilla eksponentiaalisesti vaimenevat funktiot:
Alueella II hiukkasen Schrödingerin yhtälö on sama kuin aiemmin
(hiukkanen äärettömän syvässä potentiaalikuopassa-probleema) ja sen
ratkaisut ovat
Rajapinnoissa x=0 ja x=L aaltofunktioiden tulee saada sama arvo ts.
ja sekä sini- että kosini-osat aaltofunktiosta ovat mahdollisia.
Myös aaltofunktioiden derivaattojen tulee olla jatkuvat rajakohdissa.
Näistä rajoituksista seuraa energian kvantittuminen.
Emme ratkaise aaltofunktiota tässä tämän tarkemmin. Tarkastellaan
kuitenkin ratkaisufunktioiden kuvaajia.
ax
III
ax
I
Dex
Aex
)(
)(
xmE
FxmE
II
2cos
2sinE
)()( ja )0()0( LL IIIIIIII
181
Kuvat esittävät aaltofunktiot (yläkuva) sekä
todennäköisyystiheydet (alakuva).
182
Verrattuna äärettömän
syvään potentiaali-
kuoppaan, huomataan,
että aallonpituus kasvaa
eli energiatilojen väli
pienenee.
Ts. hiukkasen
energiatasot siirtyvät
alemmaksi ja
tiheämmiksi.
Hiukkanen liikkuu pitkin x-akselia potentiaalissa
Määritä a ja b siten, että aaltofunktio
missä N on normitustekijä, on Schrödingerin yhtälön ratkaisu.
Määritä myös hiukkasen energia.
0kun x ,x
bxa0 ,
)(2
xxU
,0 x,
0 ,0)(
2
xeNx
xx
183
ESIMERKKI 5.14
184
185
ESIMERKKI 5.15
Hiukkanen, jonka energia E> 0 liikkuu x-akselilla positiiviseen suuntaan.
Hiukkanen törmää kohdassa x=0 potentiaalivalliin, jonka korkeus on V0.
Määritä heijastumiskerroin (eli kuinka suuri osa aineaallon
intensiteetistä heijastuu vallin reunasta takaisin päin).
Jos hiukkanen törmää potentiaali-
valliin, sillä on tietty todennäköisyys
läpäistä se tunneloitumalla, vaikka
sen energia E ei riitä vallin U
ylittämiseen.
Mitä korkeampi ja leveämpi valli, sitä
pienempi todennäköisyys
luonnollisesti on.
Edellä tarkastellussa tilanteessa hiukkanen oli äärellisen syvässä
kuopassa, jonka seinämät olivat äärettömän paksuja, jolloin hiukkasen
aaltofunktio sammuu.
Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa potentiaalivalli onkin
äärellisen korkeuden lisäksi myös äärellisen leveä.
186
5.12. TUNNELI-ILMIÖ
Tarkastellaan hiukkassuihkua, jonka energia on E.
Vallin korkeus on U ja leveys L.
Vallin kummallakaan puolella hiukkaseen ei vaikuta voimia ts.
alueilla I ja III U=0.
0)(2)(
:III Alue
0)()(2)(
:II Alue
0)(2)(
:I Alue
22
2
22
2
22
2
xEm
x
x
xUEm
x
x
xEm
x
x
IIIIII
IIII
II
ΨI+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin
suuntaan.
ΨI- kuvaa hiukkasta, joka heijastuu
potentiaalivallista.
ΨII kuvaa hiukkasta vallin sisällä.
ΨIII+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin
suuntaan ja on tullut vallista läpi.
187
Hiukkasen Schrödingerin yhtälöt eri
alueilla ovat muotoa:
188
Kirjan kappaleen 5 liitteessä on johdettu tunneloitumisen
todennäköisyys hiukkaselle (ei käydä sitä tässä läpi) ja se on noin
missä
LkeT 22
)(22
EUmk
Elektronit, joiden energiat ovat 1.0 eV ja 2.0 eV, törmäävät
potentiaalivalliin, jonka korkeus on 10.0 eV ja leveys 0.50 nm.
a) Mikä on elektronien todennäköisyys tunneloitua vallin läpi?
b) Miten todennäköisyyden käy, jos vallin leveys on kaksinkertainen?
189
ESIMERKKI 5.16
190
Luonnossa tunneli-ilmiötä havaitaan esim. alfa-
hajoamisessa, jossa alfahiukkanen, jonka
kineettinen energia on vain muutamia MeV:tä
pystyy irrottautumaan ytimestä, jonka
muodostama potentiaali on n. 25 MeV:n luokkaa.
Tunnelointimikroskooppi (scanning tunneling microscope)
Näytepinnan yli liikutetaan teräväkärkistä wolfram-neulaa.
Tunneli-ilmiö aiheuttaa virran, kun neulan ja näytteen välillä
on pieni jännite.
Virta pienenee, jos neula etääntyy pinnasta, koska potentiaali-
vallin leveys kasvaa.
Pitämällä tunneloitumisvirta vakiona on neulan seurattava
pintaa, eli saadaan kuvattua pinnan muoto.
Rauta-atomeja
kupari pinnalla.
Mustan aukon purkautuminen (Stephen Hawking)
191
Mustat aukot säteilevät hiukkasia, jotka
tunneloituvat gravitaatiosta aiheutuvan
potentiaalivallin läpi.
Vallin leveys on verrannollinen mustan
aukon kokoon – tunneloitumis-
todennäköisyys on pieni, mutta se
kasvaa kun musta aukko emittoi
hiukkasia:
Musta aukko emittoi itsensä
olemattomaksi
Auringon massaisen mustan aukon
häviäminen tunneloitumalla kestää noin
1066 vuotta.
192
(= Harmoninen värähtelijä)
Harmoninen oskillaattori on systeemi, joka värähtelee tasapainoasemansa
ympärillä.
Harmonisessa oskillaattorissa hiukkaseen vaikuttaa voima, joka pyrkii
palauttamaan sen tasapainoasemaan, jos se on siitä poikennut.
Kun hiukkanen ylittää tasapainoaseman, voima alkaa vetää sitä
toiseen suuntaan → hiukkanen värähtelee tasapainoaseman yli
edestakaisin (jos energiaa ei kulu).
Makromaailman esimerkki: jousen päässä oleva paino
Mikromaailman esimerkki: atomit molekyylissä, atomit kidehilassa
Yksinkertaisessa harmonisessa värähtelijässä, hiukkaseen vaikuttava
voima on lineaarinen ja sen suuruus riippuu etäisyydestä
tasapainoasemaan:
F = - kx
k= värähtelijän jäykkyysparametri (esim. jousivakio)
Voiman suunta on aina kohti tasapainoasemaa
5.13. HARMONINEN OSKILLAATTORI
193
02
2
2
2
xm
k
dt
xd
dt
xdmkx
Newtonin II laki F=ma , josta saadaan harmonisen oskillaatorin
liikeyhtälö:
Edellä olevan liikeyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa
missä x=hiukkasen poikkeama tasapainoasemasta
A=värähtelyn amplitudi
φ= on värähtelyn vaihe, joka riippuu siitä, missä
kohtaa x on ajanhetkellä t=0
),2cos(A ftx
m
k
2
1 taajuusvärähtelynf
Kaikkia värähdysilmiötä, joissa värähtelyn amplitudi on suhteellisen
pieni, voidaan ensimmäisessä approksimaatiossa kuvata hyvin
harmonisen oskillaattorin avulla.
194
Harmonista voimaa vastaava potentiaalienergian funktio U(x) saadaan
laskemalla työ, joka tarvitaan, kun hiukkanen liikkuu x=0 pisteestä
pisteeseen x=x harmonista voimaa vastaan:
2
0002
1)()()( kxdxxkdxkxdxxFxU
xxx
Harmonisen oskillaattorin
potentiaalienergiakäyrä
Jos oskillaattorin energia on E, hiukkanen
värähtelee -A:n ja +A:n välillä ja
2A
2
1kE
195
Klassisesti kaikki oskillaattorin energiatilat ovat sallittuja.
Kvanttimekaanisesti:
1) Vain tietyt energiatilat ovat mahdollisia (diskreetit
energiatasot)
2) Alin mahdollinen energiatila E0≠0
3) Todennäköisyys sille, että hiukkanen tunkeutuu reunojen
–A ja/tai +A ulkopuolelle ≠0
Määritetään harmonisen oskillaattorin mahdolliset energiatasot:
Muodostetaan ensin Schrödingerin yhtälö:
(sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön potentiaalienergia
U= –(1/2) kx2)
Merkitään
ja
0)(2 2
21
22
2
kxE
m
x
hf
E
k
m
mfkmy
22E
x 2
x1
2/1
196
Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktioiden on täytettävä reunaehdot Ψ→0
kun y →∞, jotta funktio olisi normittuva.
Tälle yhtälölle löytyy fysikaalisesti hyväntapaisesti käyttäytyviä ratkaisuja
vain, kun
joten värähtelijän energia on kvantittunut :
...,2,1,0,122
nnf
E
0)( 2
2
2
y
y
jolloin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon:
...,2,1,0,2
1
nhfnEn
m
k
2
1f
197
Energiat sijaitsevat tasavälein ja matalin energia on
Matalinta energiaa kutsutaan nollapiste-energiaksi
hfE2
10
Jokaista energia-arvoa vastaa eri aaltofunktio Ψn.
Jokainen aaltofunktio sisältää Hermiten polynomeja, eksponenttifunktion
ja normituskertoimen:
2/2/14/1
2
)(!22 y
n
n
n eyHnmf
n Hn(y) αn En
0 1 1 (1/2)hf
1 2y 3 (3/2)hf
2 4y2-2 5 (5/2)hf
3 8y3-12y 7 (7/2)hf
4 16y4-48y2+12 9 (9/2)hf
5 32y5-160y3+120y 11 (11/2)hf
198
Harmonisen oskillaattorin viiden ensimmäisen aaltofunktion kuvat:
Kuten äärellisen potentiaalikuopan
tapauksessa, hiukkanen voi
tunkeutua klassisesti ajatellen
kielletylle alueelle (eli rajojen -A ja
+ A ulkopuolelle), jossa aaltofunktio
vaimenee eksponentiaalisesti.
199
ESIMERKKI 5.17
Määritä odotusarvot <x> kahdelle alimmalle harmonisen oskillaattorin
tilalle.
200
ESIMERKKI 5.18 Osoita, että harmonisen oskillaattorin alimman tilan aaltofunktio
toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja määritä sitä vastaava energia-arvo.
201
Verrataan vielä klassista ja
kvanttimekaniikkaa:
Kuvat esittävät klassista ja kvantti-
mekaanista todennäköisyystiheyttä
harmoniselle oskillaattorille.
Kun n=0, todennäköisyystiheydet
ovat täysin vastakkaisia
– klassisesti hiukkanen on toden-
näköisimmin käännepisteessä, missä
nopeus on pienin
-kvanttimekaanisesti hiukkanen on
todennäköisimmin pisteessä x=0
Kun n=10, todennäköisyystiheydet
lähestyvät toisiaan (aaltofunktion
rajojen –A ja +A ulkopuolella oleva
”häntä” pienenee ja reunojen
todennäköisyys kasvaa)
Vastaavuusperiaate!
202
Koottuna vielä erilaisten systeemien
potentiaalienergiakäyriä ja energioita:
Vetyatomi: energia on verrannollinen -1/n2
Hiukkanen laatikossa: energia on
verrannollinen n2
Harmoninen oskillaattori: energia on
verrannollinen n+1/2
elektronien irrottamiseen atomista tarvitaan paljon pienempiä voimia
(muutamia eV) kuin ytimen hajottamiseen (MeV luokkaa)
Vetyatomin ydin koostuu vain yhdestä protonista, varaus +e
Kaikkien muiden alkuaineiden ytimissä sekä protoneja että
neutroneja
Neutroni on sähköisesti neutraali, sen massa on vähän suurempi kuin
protonin massa
Nukleoni = yhteisnimitys protonille ja neutronille
Atomiluku = atomin järjestysluku = protonien määrä atomin ytimessä
Isotooppi = saman alkuaineen atomeja, joiden ytimissä eri määrä
neutroneja
Nuklidi = atomiydinlaji, jossa tietty määrä protoneja ja neutroneja 203
6 YDINFYSIIKKAA
Atomin elektronirakenne tunnettiin paljon ennen ytimen
rakenteen tuntemista:
6.1 YTIMEN RAKENTEESTA
204
XA
Z
X= alkuaineen kemiallinen merkki
Z= protonien lukumäärä, atomiluku
A= nukleonien lukumäärä = protonit + neutronit
vety deuterium tritium
Esimerkkejä
Vedyn isotoopit:
Cl
Cl
37
17
35
17Kloorin kaksi isotooppia (18 tai 20 neutronia).
Yleensä atomiluku jätetään merkinnästä pois, koska
kemiallinen merkki kertoo alkuaineen.
ClCl, 3735
Atomimassa = koko atomin massa, ydin + elektronit
Atomimassayksikkö = 1 u = 1/12 hiilen 12C massasta = 1.66054x10-27kg
(atomimassayksikköä vastaava energia 931.49 MeV)
Esimerkkejä atomimassoista:
Protoni 1.6726x10-27 kg = 1.007276 u
Neutroni 1.6750 x10-27 kg = 1.008665 u
Elektroni 9.1095x10-31 kg = 5.486x10-4 u
Vetyatomi 1.6736x10-27 kg = 1.007825 u
205
Atomi-
luku
Protonien
määrä
Neutronien
määrä
Massa-
luku
Suhteellinen
osuus
Vety 1 1 0 1 99.985
Deuterium 1 1 1 2 0.015
Tritium 1 1 2 3 Hyvin pieni
Kloori 17 17 18 35 75.53
Kloori 17 17 20 37 24.27
Eri isotooppeja esiintyy eri määrä luonnossa.
Keskimääräinen atomimassa lasketaan alkuaineen isotooppien
esiintyvyyden mukaan (painotettu keskiarvo).
Eri isotoopeilla lähes identtinen elektronirakenne, joten ne:
reagoivat ympäristöön samalla tavalla
sulamis- ja kiehumispisteet poikkeavat vain hieman toisistaan
Isotooppien muut fysikaaliset ominaisuudet voivat poiketa paljonkin
toisistaan (esim. radioaktiivisuus)
206
Ytimen säde Ytimen kokoa voidaan mitata pommittamalla atomeita hiukkasilla
(ensimmäinen oli Rutherfordin koe):
Elektronien avulla saadaan selville ytimen varauksen
jakautumista (sähköinen vuorovaikutus ytimen kanssa)
Neutronien avulla saadaan selville ytimen materiaalin
jakautumista (vuorovaikutus erityisten ydinvoimien välityksellä)
Molemmissa tilanteissa hiukkasen de Broglie aallon pituus tulee
olla pienempi kuin ytimen säde ts. tarvitaan hyvin nopeat
pommittavat hiukkaset
Ytimen tilavuus on suoraan verrannollinen siinä olevien
nukleonien määrään (eli massalukuun A).
207
6.2. YTIMEN OMINAISUUKSIA
208
Toisaalta tilavuus V riippuu ytimen säteestä R3, joten
R=R0A1/3, missä R0≈ 1,2x10-15m
(efektiivinen ytimen säde, ytimen varauksen ja materiaalin
jakautuminen poikkeavat hieman toisistaan)
Ytimen tiheys
Ytimen massa on noin A u ja ytimen tilavuus on noin
Joten ytimen tiheys on suurin piirtein sama kaikille alkuaineille:
3
4V
3R
3
0
3
0 4
3
A4
A3
R
u
R
u
V
m
3
A4
3
4V
3
0
3 RR
Laske 12C ytimen tiheys.
209
ESIMERKKI 6.1
210
Puisen pöytälevyn paino on 50 kg. Jos levyn atomit luhistuisivat kasaan,
mikä olisi levyn tilavuus? Vertaa tätä tilavuutta levyn todelliseen
tilavuuteen, jos puun tiheys on 0.95g/cm3.
ESIMERKKI 6.2
Ytimen magneettiset ominaisuudet
Ytimen magneettinen momentti ilmaistaan ydinmagnetonin μN avulla:
Ytimen, jonka magneettisen momentin z-komponentti on μz , ollessa
magneettikentässä B, ytimen magneettinen potentiaalienergia on
UM= -μzB
→ energitasot jakautuvat magneettikentässä spin-ylös ja spin-alas-
tiloihin
eV/T10152.3J/T10051.52
827 p
Nm
e
211
Magneettiset momentit protonille ja neutronille ovat
Ydin voi absorboida fotonin, jonka energia on energiatasojen välinen ero ja
siirtyä energiatasolta toiselle (tai päinvastoin eli emittoida fotonin)
Fotonin taajuus (Larmor taajuus)
Jos ydin on magneettikentässä, ytimet ovat yleensä spin-ylös- tilassa, koska
se on matalampi energiatila.
Jos kohdistetaan näytteeseen säteilyä Larmor-taajuudella, ytimet siirtyvät
spin-alas-tilaan = ydinmagneettinen resonanssi (NMR)
h
B
h
Ef
pz
L
2
212
Nnz
Npz
913.1
793.2
Ytimen magneettinen momentti voidaan määrittää esim. pitämällä
säteilyn taajuus vakiona ja muuttamalla magneettikenttää.
Kun energiaa absorboituu eniten (resonanssi), voidaan laskea
magneettisen momentin arvo.
Sovelluksia ydinmagneettisesta resonanssista:
Kemiallinen analyysi
Ydin haluaa palata virityksen jälkeen takaisin alempaan energiatilaan.
Tämä relaksaatioaika riippuu ytimen ympärillä olevasta elektroniverhosta.
Elektroniverho myös varjostaa ydintä ympärillä olevalta
magneettikentältä.
Resonanssitaajuudet riippuvat ytimen ympäristöstä → NMR
spektroskopiaa voidaan käyttää aineiden kemialliseen analyysiin.
NMR-kuvaus
Kuvausmenetelmä, jolla on korkeampi resoluutio kuin röntgenkuvauksella.
NMR-kuvaus ei ole niin vahingollista eläville kudoksille kuin
röngenkuvaus. Menetelmässä mitataan vety-ytimien magneettikentässä
lähettämää radiotaajuista signaalia. Siksi se soveltuu runsaasti vetyä
sisältävien kudosten (rasva- ja vesipitoiset kudokset, myös luuydin)
tutkimiseen.
213
Magneettikuvauksessa kuvattava
kohde sijoitetaan voimakkaaseen
magneettikenttään, jonka suuruus
on hieman eri paikasta riippuen.
Laitteistoon kuuluu lisäksi
radiolähetin ja -vastaanotin, jonka
avulla resonanssi synnytetään ja
havaitaan. Resonanssisignaalin
voimakkuus magneettikuvassa
riippuu paitsi magneettisten
ytimien määrästä myös niiden
vuorovaikutuksesta ympäristönsä
kanssa.
Kuvan muodostamiseksi tulokset
yhdistetään tietokoneella ja
analyysin tuloksena saadaan
kaksi- tai kolmiulotteinen
magneettikuva.
214
215
ESIMERKKI 6.3
Oulun yliopiston fysiikan ja kemian laitosten yhteisessä NMR-
laboratoriossa on käytössä kolme uutta NMR-spektrometriä. Yhdessä
näistä protonin resonanssitaajuus on 300 MHz. Kuinka suuri on
magneettivuon tiheys B spektrometrin sisällä?
Ydin ei ole stabiili kaikilla mahdollisilla neutroni-protoni-kombinaatioilla.
Nykyisin tunnetuista 2500 nuklidista vain alle 300 on pysyviä, loput
hajoavat emittoimalla hiukkasia ja sähkömagneettista säteilyä
(radioaktiivisuus).
Yleisesti kevyillä alkuaineilla on yhtä
monta neutronia ja protonia,
raskaimmilla alkuaineilla neutronien
määrä kasvaa suhteessa protonien
määrään.
Yksi selitys tälle on, että protonien
välinen sähköinen poistovoima kasvaa,
kun A kasvaa ja tarvitaan ”ylimääräisiä”
neutroneja, jotta ydin voi pysyä kasassa.
Kaikki ytimet, joilla Z > 83 tai A > 209,
ovat epästabiileja ja hajoavat toisiksi
nuklideiksi emittoiden tavallisesti alfa-
tai beeta-hiukkasia.
216
6.3. STABIILIT YTIMET
Stabiilin ytimen hajottaminen erillisiksi protoneiksi ja neutroneiksi vaatii
energiaa.
Ytimen kokonaismassa on aina pienempi kuin sen muodostamien
protonien ja neutronien yhteenlaskettu massa.
Energia, joka vaaditaan nukleonien erottamiseksi toisistaan, on sidosenergia:
Sulkujen sisältämä osuus on massakato
= neutraalin atomin massa (sis. elektronit) ja
MH= neutraalin vetyatomin massa (sis. elektronin)
Kerroin c2 voidaan esittää muodossa
2A
ZnHB M)cNm(ZME
MA
Z
MeV/u 5.9312 c
217
6.4. SIDOSENERGIA
218
Määritä deuteriumin sidosenergia.
ESIMERKKI 6.4
Sidosenergia neonin isotoopille on 160.647 MeV. Mikä on sen
atomimassa?
Ne20
10
219
ESIMERKKI 6.5
Sidososuus EB/A (sidosenergia nukleonia kohti) on mitta sille, miten tiukasti
nukleonit ovat sitoutuneet toisiinsa.
Deuteronin tapauksessa EB/A=1.112 MeV on pienin luonnossa havaituista
sidososuuksista.
Sidososuudet massaluvun funktiona: Alussa sidososuus kasvaa
massaluvun funktiona.
Sidososuus on maksimissaan
8.8 MeV.
on stabiilein ydin
Raskailla (ja hyvin kevyillä)
ytimillä nukleonit ovat
heikommin sitoutuneita toisiinsa
kuin keskiraskailla ytimillä.
Tätä ominaisuutta käytetään
hyväksi kun tuotetaan energiaa
fissiolla ja fuusiolla.
Fe56
26
220
Kuinka paljon energiaa tarvitaan poistamaan neutroni ytimestä?
Entä protonin poistamiseen? Miksi energiat eroavat toisistaan? Ca42
20
221
ESIMERKKI 6.6
Protonien keskinäisen sähköisen poistovoiman takia nukleonit eivät voi
muodostaa pysyvää rakennelmaa ilman niiden välillä vaikuttavaa vahvaa
vuorovaikutusta.
Vahva vuorovaikutus on vetovoima nukleonien välillä, joka vaikuttaa
samalla tavalla protoneihin ja neutroneihin.
Sen kantama on lyhyt – voima on hyvin vahva kun nukleonien etäisyys
<10-15m, tämän etäisyyden ulkopuolella voima on käytännössä nolla.
Voiman yksityiskohtaista matemaattista muotoa ei tunneta.
Nukleonit ovat vuorovaikutuksessa vain muutamien lähimpien
naapureidensa kanssa (osoituksena ydinten lähes vakio tiheys ja
raskaampien ydinten lähes vakio sidososuus) = kyllästymisilmiö
Voima suosii vastakkaissuuntaisen spinin omaavien protonien ja
neutronien parien muodostumista ja myös protoni-protoni sekä neutroni-
neutroni-parien muodostumista, siksi alfahiukkanen (kaksi protonia +
kaksi neutronia) on massalukuunsa nähden poikkeuksellisen stabiili 222
6.5. YDINVOIMISTA
223
ESIMERKKI 6.7
Kuinka suuri on kahden protonin välinen sähköinen poistovoima
ytimessä, kun oletetaan, että varaus on pallomaisesti jakautunut?
Protonien välinen etäisyys on 2.4 fm.
Vaikka ytimessä vaikuttavat suuret voimat, monet ytimet ovat epästabiileja
ja hajoavat spontaanisti toisiksi ytimiksi.
Lisäksi kaikki ytimet voivat hajota hiukkastörmäyksen seurauksena.
Marie ja Pierre Curie, Ernest Rutherford ja useat muut tutkijat osoittivat,
että radioaktiivisista aineista emittoituu positiivisesti ja negatiivisesti
varattuja hiukkasia sekä neutraalia säteilyä (alfa-, beeta- ja gamma-säteily).
Myöhemmin listaan on lisätty myös elektronikaappaus ja positroniemissio.
Alkuaineella voi olla sekä stabiileja että radioaktiivisia isotooppeja.
Esimerkiksi natriumilla on molempia, mutta uraanilla vain radioaktiivisia
isotooppeja.
224
6.6. RADIOAKTIIVISUUS
Radioaktiivinen hajoaminen on tilastollinen prosessi – tietyn ytimen
hajoamishetkeä on mahdoton ennustaa.
Todennäköisyys sille, että ydin hajoaa lyhyessä ajassa dt on
missä λ= ajasta riippumaton hajoamisvakio.
Ts. N kappaleesta ytimiä hajoaa ajan dt kuluessa λNdt kappaletta (kun N on
suuri).
Hajoamattomien ydinten lukumäärän muutos on siis
Hajoamisten lukumäärä aikayksikössä eli näytteen aktiivisuus on
Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on tuttu hajoamislaki
missä N0 on hajoamattomien ydinten lukumäärä ajanhetkellä t=0.
dtdP
dtNdN
Ndt
dNR
teNtN 0)(
225
Aktiivisuuden SI-yksikkö on becquerel (Bq), joka on yksi hajoaminen
sekunnissa.
Yleisesti käytetään myös yksikköä curie (Ci), joka vastaa suurin piirtein
yhden radiumgramman aktiivisuutta:
1 Ci = 3.7·1010 Bq = 3.7·1010 hajoamista sekunnissa.
Puoliintumisajan T1/2 kuluttua alkuperäisen näytteen ytimistä on jäljellä
puolet:
Ratkaistaan tästä T1/2 ja saadaan:
Epästabiilin nuklidin keskimääräinen elinaika on hajoamisvakion
käänteisarvo:
226
2/1
000
2/122
)(T
eNNN
TN
2ln2/1 T
2ln
1 2/1TTmean
Kuinka kauan kestää, että radon näytteestä hajoaa 60%?
227
ESIMERKKI 6.8
Radioaktiivisen näytteen aktiivisuus oli määritelty:
Derivoimalla ajan t suhteen, saadaan määritettyä
aktiivisuus ajan funktiona
Esimerkkejä puoliintumisajoista:
Ydin Puoliintumis-
aika
Radium 222Ra 38 s
Neutroni n 14.93 min
Hiili 14C 5730 vuotta
dt
dNR
teNtN 0)(
teNR 0
228
Mikä on 1.00 mg 222Rn näytteen aktiivisuus? Mikä on saman näytteen
aktiivisuus viikon kuluttua?
229
ESIMERKKI 6.9
Alfahiukkanen on He-ydin (kaksi protonia + kaksi neutronia)
Alfa-hiukkasen emissio tapahtuu, kun ydin on liian suuri ollakseen stabiili
missä X= emoydin, Y= tytärydin
Hajoaminen on mahdollinen, jos alkuperäisen neutraalin atomin X massa on
suurempi kuin syntyneen neutraalin atomin Y ja neutraalin helium-atomin
massojen summa.
Tällaista alkuaineen muuttumista toiseksi sanotaan transmutaatioksi.
Esimerkki:
Radium hajoaa radoniksi
Hajoaminen tapahtuu spontaanisti alfa-hiukkasen tunneloituessa ydintä
ympäröivän potentiaalivallin läpi.
He YX 4
2
4-A
2-Z
A
Z
He Rn Ra 4
2
222
86
226
88
230
6.7. ALFA-HAJOAMINEN
Alfahajoamisen yhteydessä esiintyy usein myös gammasäteilyä, koska
tytärydin jää usein virittyneeseen tilaan, joka purkautuu
gammakvantilla perustilaan.
Esimerkki:
231
HeThU 4
2
234
90
238
92
Ydin voi hajota elektroniemissiolla
silloin, kun sen ytimessä on liikaa
neutroneja suhteessa protoneihin:
Beeta-hajoamista on kolmea erilaista tyyppiä:
β--hiukkanen on elektroni ja β+ -hiukkanen on positroni.
νe on elektronin neutriino, joka tarvitaan varmistamaan energian ja
liikemäärän säilyminen. Neutriino on varaukseton ja lähes massaton
hiukkanen.
Ytimen ulkopuolella oleva neutroni hajoaa β- -hajoamisella noin 15
minuutissa.
e
e
e
np
np
pn
0
0
0
e
YX A
1Z
A
Z
232
6.8. BEETA-HAJOAMINEN
Elektroniemissio
Positroniemissio
Elektronikaappaus
-14
7
14
6 eN C Esimerkki:
233
Osoita, että β- -hajoaminen voi tapahtua, jos neutraalin tytäratomin
massa on pienempi kuin neutraalin emoatomin massa.
ESIMERKKI 6.10
234
Vapaa neutroni on epästabiili (radioaktiivinen) eli se hajoaa spontaanisti
elektroniemissiolla. Miksi? Miksi protoni on stabiili?
ESIMERKKI 6.11
Ydin voi hajota
elektronikaappauksella silloin kun β+
emissio ei ole energeettisesti
mahdollinen (ja ytimessä on protoneja
liikaa suhteessa neutroneihin). Yksi
ytimen protoni muuttuu silloin
neutroniksi ja emittoituu neutriino
Esimerkki:
Ydin voi hajota positroniemissiolla silloin, kun sen ytimessä on liikaa
protoneja suhteessa neutroneihin:
Osoita, että β+ -hajoaminen voi tapahtua, jos neutraalin emoatomin massa on
vähintään kaksi elektronin massaa suurempi kuin neutraalin tytäratomin
massa.
Esimerkki:
e
YX A
1Z
A
Z
enp 0
235
eNiCu 64
28
64
29
Nie Cu 64
28
64
29
236
Osoita, että β+ -hajoaminen voi tapahtua, jos neutraalin emoatomin
massa on vähintään kaksi elektronin massaa suurempi kuin neutraalin
tytäratomin massa.
ESIMERKKI 6.12
Gammasäteily on hyvin lyhytaaltoista sähkömagneettista säteilyä, jota
syntyy ytimen viritystilojen purkautuessa. Gammasäteilyä syntyy kun
ytimessä on liikaa energiaa:
Ydinvoiman vahvuuden takia ydinten viritysenergiatkin ovat suuria, noin
1 MeV:n luokkaa.
Ydin voi virittyä esimerkiksi törmäyksessä hyvin suurienergisen
hiukkasen kanssa.
XX* A
Z
A
Z
237
6.9. GAMMA-HAJOAMINEN
Tavallisempaa on, että ydin jää
virittyneeseen tilaan jo syntyessään
radioaktiivisen hajoamisen kautta.
Esimerkki: SrSr* 87
38
87
38
Sovellus: Radioaktiivinen iänmääritys eli hiiliajoitus
Kosmisen säteilyn vaikutuksesta ilmakehässä syntyy hiilen epästabiilia
isotooppia 14C. Elävä kasvi saa hiiltä hiilidioksidista, joka sisältää isotooppia 14C samassa suhteessa kuin ilmakehä.
Kun kasvi kuolee, siihen ei tule enää hiiltä ja isotoopin 14C pitoisuus kasvissa
alkaa pienentyä 14C:n muuttuessa 14N:ksi puoliintumisajalla 5740 vuotta.
Mittaamalla kasvin jäännösten 14C-pitoisuus, voidaan selvittää koska kasvi
on kuollut.
238
239
ESIMERKKI 6.13
Palassa antiikin asumuksesta löytynyttä puuta havaitaan 14C-
aktiivisuus 13 hajoamista minuutissa 1 grammassa hiiltä. Elävän
puun 14C aktiivisuus on 16 hajoamista minuutissa. Kuinka kauan
sitten puu kuoli?
Radioaktiivisen ytimen hajoamisen tuloksena syntyvä tytärydin voi olla
itsekin radioaktiivinen. Sen hajotessa voi syntyä uusi radioaktiivinen ydin ja
niin edelleen.
Syntyy peräkkäisten hajoamisten ketju eli hajoamissarja.
Hajoamissarja alkaa pitkäikäisestä nuklidista ja päättyy peräkkäisten alfa-
ja beetahajoamisten kautta stabiiliin nuklidiin.
Luonnossa runsaimmin esiintyvä radioaktiivinen
nuklidi on uraanin isotooppi 238U, joka
hajoamisten jälkeen päätyy stabiiliksi isotoopiksi 206Pb:
14 hajoamista (8 alfa ja 6 betahajoamista)
Muut radioaktiiviset sarjat:
Thorium 232Th → 208Pb
Neptunium 237Np → 209Bi
Actinium 235U → 207Pb
240
6.10. RADIOAKTIIVISET SARJAT
Marie Curie •Syntyi 4.7.1867 Varsovassa, Puolassa
•Sai alkeisopetuksen Puolassa, mutta naisten koulutusmahdollisuudet
Puolassa olivat huonot, työskenteli kotiopettajana ja opiskeli itsekseen
•Muutti Pariisiin v. 1891 – maisterin tutkinto 1893
•Aloitti tutkimustyön ja löysi labrasta Pierre Curien
•1897 saakka Marie jatkoi magnetismitutkimuksia ja teki väitöstyötä
”uraanisäteistä”
•1898 Marie havaitsi toriumin säteilevän uraaniakin enemmän – antoi
viitteitä siitä, että radioaktiivisuus johtui todella atomitason ilmiöstä –
Pierre liittyi mukaan tutkimukseen. Uusi alkuaine poloniumin ja radium
•1903 väitöstyö valmistui – Marielle myönnettiin Nobelin palkinto
radioaktiivisuuden tutkimuksesta.
241
•1906 Pierre Curie kuoli yllättäen – Marie sai Pierren viran, ensimmäinen naisprofessori
Pariisin yliopistossa.
•1911 kemian palkinto radiumin eristämisestä + kahdesta uudesta alkuaineesta. Tähän
mennessä ainoa nainen, joka on saanut kaksi Nobelin palkintoa.
•Ensimmäisen maailmasodan aikana: 20 autoa pienellä röntgenlaitteella, Radium instituutti
koulutti naisista röntgenapulaisia, myi molemmat Nobel-palkintonsa jotta pystyi ostamaan
sidetarpeita haavoittuneille
•Curie jatkoi aktiivista tutkijan uraansa sodan jälkeen: 483 julkaisua vuosina 1919-1934,
Radium-instituutti yksi johtavista radioaktiivisuuden tutkimuskeskuksista.
•Curien terveys heikkeni äkisti vuonna 1934, kuoli heinäkuussa runsaan säteilyaltistuksen
aiheuttamaan aplastinen anemiaan (luuytimet eivät kykene tuottamaan tarpeeksi verisoluja)
• Haudattiin Sceauxin hautausmaalle Pierren viereen. Molemmat siirrettiin 1994 Pantheoniin
Jos kaksi ydintä tulevat lähelle toisiaan, voi tapahtua ydinreaktio, jonka
seurauksena syntyy uusi ydin.
Sama ydin voi syntyä useamman prosessin kautta (ja myös hajota eri
prosesseilla):
242
6.11. YDINREAKTIOITA
Jos raskas ydin hajotetaan, vapautuu yleensä paljon energiaa. Ongelma on
vain saada hajotettua ydin viemättä siihen enemmän energiaa, mitä
vapautuu ytimen hajoamisessa.
V. 1938 Lise Meitner huomasi, että uraanin isotooppi 235U hajoaa kun sitä
pommitetaan neutronilla. Neutronipommituksessa syntyy uraanin isotooppia 236U, joka on niin epästabiili, että se hajoaa nopeasti.
Myöhemmin löydettiin muitakin vastaavalla tavalla käyttäytyviä ytimiä.
Koska raskailla ytimillä on suurempi neutroni-protonisuhde, fission
lopputuotteina saadaan yleensä myös neutroneja.
Tyypillinen esimerkki fissiosta:
Fissio voi tapahtua myös sen jälkeen, kun ydintä on pommitettu
gammasäteilyllä tai protoneilla (eli neutronipommitus ei ole ainoa
mahdollinen tapa aiheuttaa ytimen hajoaminen).
nnSrXeU*nU 1
0
1
0
94
38
140
54
236
92
1
0
235
92
243
6.12. FISSIO
Fissiossa syntyvä neutroni voi aiheuttaa uuden fission ja syntyy
ketjureaktio:
Jos vain harva neutroni (vähemmän kuin yksi tapahtunutta
fissiota kohden) aiheuttaa uuden fission, ketju sammuu.
Jos keskimäärin yksi syntyvä neutroni aiheuttaa uuden fission,
energiaa vapautuu vakionopeudella (ydinreaktori)
Jos fissioiden syntynopeus kasvaa (enemmän kuin yksi neutroni
aiheuttaa uuden fission), energiaa voi vapautua niin nopeasti,
että syntyy räjähdys (atomipommi)
244
Ydinreaktori on hyvin tehokas tapa tuottaa energiaa:
1 g 235U atomin fissioreaktiossa syntyy saman verran energiaa kuin
poltettaessa 2.6 tonnia hiiltä.
26.4% Suomen sähköntuotannosta ydinvoimasta vuonna 2011.
Neljä reaktoria: 2 Loviisassa ja 2 Eurajoen Olkiluodossa
Toimintaperiaate:
Ydinreaktorin sydän muodostuu uraanipolttoaineesta ja
fissioreaktiota säätelevistä säätösauvoista.
Polttoaine, rikastettu uraani 3-5% 235U, on pieninä uraanioksidista
kuumapuristettuina nappeina ohuissa putkimaisissa suojakuorissa.
Säätösauvat ovat voimakkaasti neutroneja absorboivaa ainetta, esim.
kadmium, boori tai hafnium, joiden määrää reaktorisydämessä
voidaan säätää ja samalla voidaan säädellä reaktorin toimintaa.
245
6.13. YDINVOIMA ENERGIAN TUOTANNOSSA
Reaktorisydän on paineastian sisällä, jossa kiertävä jäähdytysvesi
kuljettaa syntyvän lämmön pois reaktorista.
Jäähdytysvesi myös hidastaa fissiossa syntyviä neutroneja, jotta ne
voivat aiheuttaa uusia fissioita.
Käytössä on myös grafiittihidasteisia sekä kaasujäähdytteisiä
reaktoreita (esim. hiilidioksidi tai helium).
Syntynyt lämpö hyödynnetään höyryturbiinissa, joka pyörittää
generaattoria.
Kiehutusvesireaktorissa kiehuvasta jäähdytysvedestä syntyvä
höyry johdetaan suoraan turbiinille (kuten Olkiluodon 1 ja 2
reaktoreissa).
Painevesireaktorissa kova paine estää veden kiehumisen n. 300
asteessa ja turbiinia pyörittävä höyry kehitetään erillisissä
lämmönvaihtimissa (kuten Loviisan ensimmäinen ja toinen
laitosyksikkö sekä Olkiluodossa rakenteilla oleva kolmas yksikkö).
246
Ydinvoiman ongelmia:
Onnettomuusriski – hyvin pieni, mutta olemassa
1986 Tsernobyl, Ukraina, historian pahin ydinvoimala
onnettomuus, jossa runsaasti radioaktiivista ainetta levisi
ympäristöön.
2011 Fukushima, Japani, maanjäristys hajotti ydinvoimalan
jäähdytysjärjestelmän ja korkeita säteilyannoksia pääsi
ydinvoimalan ympäristöön. Kuitenkin pienemmät haitat kuin
Tsernobylin onnettomuudessa.
Lisäksi paljon muita pienempiä onnettomuuksia, joissa
vähemmän henkilö/säteilyvahinkoja.
Ydinjäte – loppusijoitus?
Ydinjäte kuuluu vaarallisimpiin ihmiskunnan tuottamiin
materiaaleihin.
Suomessa syntyy 70 tonnia ydinjätettä joka vuosi – Suomessa
syntyneet ydinjätteet käsitellään, varastoidaan ja loppusijoitetaan
Suomen omalla alueella
Suomen ydinvoimalaitosten käytetyn ydinpolttoaineen loppu-
sijoitus Olkiluotoon ONKALOon (syvälle kallioperään) raskaisiin
kuparikapseleihin suljettuna v. 2020 alkaen.
247
Uraanin tuotanto
Uraanin tuotannossa syntyy paljon radioaktiivista ja kemiallisesti
myrkyllistä jätettä, joka saastuttaa vesistöjä ja maa-alueita ja altistaa
ihmisiä säteilylle ja raskasmetalleille.
Suomessa käytettävä uraani Kanadasta, Venäjältä, Australiasta ja
Nigeristä – lupa uraanin talteenottoon Talvivaarasta Sotkamosta on
myönnetty 1.3.2012
Ydinaseet
Ydinvoimalan polttoaineen tuotantoketju soveltuu sellaisenaan
ydinasemateriaalin tuotantoon.
Asialla on aina kaksi puolta:
Millä muulla tavalla voitaisiin tuottaa maailman tarvitsema energia?
248
Fuusiossa kaksi kevyttä atomiydintä yhtyy yhdeksi raskaammaksi
ytimeksi ja samalla vapautuu energiaa (sekä usein yksi tai useampi
neutroni tai protoni)
Auringon ja muiden tähtien energia on peräisin niiden sisäosissa
tapahtuvista fuusioreaktioista.
Kun kaksi kevyttä ydintä pääsee hyvin lähelle toisiaan, vahva ydinvoima
vetäisee ne yhteen.
Päästäkseen riittävän lähekkäin niiden on ensin ylitettävä
sähkömagneettisen voiman aiheuttama Coulombin valli eli tarvitaan
ytimille suuri liike-energia ja riittävä tiheys.
Coulombin valli on pienin vety-ytimille; helpoimmin fuusioituvia ytimiä
ovat vedyn raskaat isotoopit deuterium ja tritium:
MeV 3.3nHeHH
MeV 4.0HHHH
1
0
3
2
2
1
2
1
1
1
3
1
2
1
2
1
249
6.14. FUUSIO
Deuteriumin ja tritiumin seosta suunnitellaan käytettäväksi
fuusiovoimalan polttoaineena
koska tämä fuusioreaktio voi tapahtua matalammissa
lämpötiloissa.
Deuteriumia voidaan saada merivedestä 33g/kuutio, tritiumia
pommittamalla litiumia neutroneilla:
Fuusioreaktio vaatii käynnistyäkseen erittäin korkean lämpötilan
(108 kelviniä), jotta ytimillä olisi tarpeeksi liike-energiaa
ylittämään Coulombin valli (vaaditaan vetyplasma).
Ongelmia:
tarvittavan lämpötilan synnyttäminen
suuressa lämpötilassa olevan plasman koossapito (ja
pitäminen irti reaktorin seinistä)
nHeHnLi
HeHnLi
1
0
4
2
3
1
1
0
7
3
4
2
3
1
1
0
6
3
250
MeV 17.6nHeHH 1
0
4
2
2
1
3
1
251
Etuja olisi nykyiseen ydinvoimaan verrattuna:
Polttoainetta paljon enemmän ja helpommin hankittavissa
Reaktiotuotos harmitonta heliumia
Reaktio sammuu hyvin nopeasti kun laite sammutetaan
Tällä hetkellä toteutetuista fuusioreaktoreista on vain
hetkellisesti onnistuttu saamaan ulos enemmän energiaa kun
sinne on syötetty.
Fuusiota on saatu pidettyä yllä vain lyhyitä aikoja,
pisin aika reilu 6 minuuttia.
Tekniikka on osoittautunut odotettua vaikeammaksi, lisäksi
rahoitusvaikeuksia tutkimuksen hitaan etenemisen vuoksi.
ITER on kansainvälinen tokamak-koe Ranskassa, jolla
pyritään osoittamaan, että fuusioreaktorin rakentaminen on
tieteellisesti ja teknologisesti mahdollista. ITER on tarkoitus
ottaa käyttöön 2016.
Sen jälkeen suunnitteilla on DEMO, ensimmäinen
kaupallisen fuusioreaktorin prototyyppi.
Hankkeessa mukana EU, Yhdysvallat, Japani, Venäjä, Intia,
Kiina ja Etelä-Korea.
252