Metalne konstrukcije 1 P6-1
Metalne konstrukcije 1 P6-2
Definicija dužine izvijanja
Definicija u matematičkom smislu:• Dužina izviajnja je dužina između susedni, realnih
ili fiktivnih prevojnih tačaka izvijenog oblikaštapa;
Definicija u fizičko-mehaničko smislu:• Dužina izvijanja je dužina zamenjujućeg,
obostrano zglobno oslonjenog štapa, opterećenogkoncentrisanim sila pritiska na svojim krajevima, koji ima istu kritičnu silu kao i razmatrani štap;
Metalne konstrukcije 1 P6-3
Proračun dužine izvijanja premaJUS U.E7.086 - 1986
li dužina izvijanja,l sistemna dužina elementa (štapa),β koeficijent dužine izvijanja.
Ovim standardom data su pravila za dužine izvijanja:• stubova (samostalnih štapova),• štapova rešetkastih nosača,• ugaonih štapova rešetkastih stubova i• monosimetričnih poprečnih preseka.
ll ⋅= βi
Opšti izraz za određivanje dužine izvijanja
Metalne konstrukcije 1 P6-4
Određivanje dužine izvijanja stubovaStubovi sa konstantnim momentom inercije i
konstantnom normalnom siloma b c d
β = 2 β = 1 β = 0,7 β = 0,5
e f g h
2< β < ∞ β = 2 1< β <2 β = 1
Metalne konstrukcije 1 P6-5
Uticaj krutosti grede na dužinu izvijanja stuba
Metalne konstrukcije 1 P6-6
Štapovi konstantnogpoprečnog preseka
sa kontinualnopromenljivom
normalnom silom
Dijagram normalnih sila Uslovi oslanjanja i opterećenje štapa
Koeficijent dužine izvijanjaβ
18,3/18,21 10 NN⋅+
=β
72,7/93,01 10 NN⋅+
=β
09,2/09,11 10 NN⋅+
=β
40,5
/35,01 10 NN⋅+=β
88,1/88,01 10 NN⋅+
=β
72,7
/93,01 10 NN⋅+=β
09,3/51,01 10 NN⋅+
=β
42,5/65,11 10 NN⋅+
=β
120 10 ≤≤− ,, /, cc NN
Ograničenjeprimene:
Metalne konstrukcije 1 P6-7
Štapovi konstantnog poprečnog preseka saskokovito promenljivom normalnom silom
Uslovi oslanjanja i opterećenja
Linija Dijagram αi
a
b
c
d
i
n
iicredc NN α∑
=
⋅=1
,,
Redukovana sila:
dop
n
iic AN σσ ≤= ∑
=/
1,
Kontrola stabilnosti:redcN , ll ⋅= βi
Kontrola napona:
Metalne konstrukcije 1 P6-8
Štapovi sa promenljivimmomentom inercije i
konstantnom normalnom silom
Kontura štapa Oblik preseka
A
1
B
2
C
3
D
4
Kontura štapa A B C D
I0/I1 ϕ - 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8 - β
0,01 1 2 3 4
1,11 1,25 1,38 1,46
1,30 1,89 1,97 2,14
1,18 1,44 1,64 1,78
1,08 1,22 1,35 1,43
1,02 1,07 1,11 1,14
1,00 1,01 1,01 1,02
8,03
6,04
4,06
2,09
1,61 2,40 2,86 3,16
0,1
1 2 3 4
1,09 1,14 1,16 1,18
1,23 1,36 1,41 1,44
1,14 1,22 1,25 1,27
1,07 1,11 1,12 1,13
1,02 1,03 1,04 1,04
1,00
2,69
2,02
1,48
1,07
1,45 1,66 1,75 1,78
0,2
1 2 3 4
1,07 1,09 1,10 1,11
1,18 1,24 1,26 1,27
1,10 1,14 1,16 1,17
1,05 1,07 1,07 1,08
1,02
1,00
1,88
1,53
1,24
1,03
1,35 1,44 1,48 1,49
0,4
1 2 3 4
1,05 1,06 1,06 1,06
1,12 1,14 1,15 1,15
1,07 1,08 1,09 1,09
1,04
1,01
1,00
1,39
1,22
1,08
1,01
1,21 1,24 1,25 1,26
0,6
1 2 3 4
1,03
1,07 1,08 1,08 1,08
1,04
1,02
1,01
1,00
1,19
1,10
1,03
1,00
1,13 1,13 1,14 1,14
0,8
1 2 3 4
1,01
1,03
1,02
1,01
1,01
1,00
1,07
1,03
1,01
1,00
1,06
ii ll ⋅=′ β
Koeficijent dužine izvijanja β zavisi od:
• načina promene momenta inercije,
• odnosa I0/I1 i
• oblika poprečnog preseka.
Proračun stabilnosti se sprovodi samaksimalnim vrednostima geometrijskihkarakteristika (A1 i I1)!
Ovim koeficijentom nisu obuhvaćeniuslovi oslanjanja!
Prvo treba odediti dužinu izvijanja u zavisnosti od uslova oslanjanja!
Metalne konstrukcije 1 P6-9
Štapovi sa skokovito promenljivim momentominercije i dijagramom normalnih sila
β1 β2 Uslovi oslanjanja štapa 0,05≤l2/l1<0,1 0,1≤l2/l1<0,3
1
3,0
2,5
3,0
2
2,0
2,0
3,0
3
2,0
1,6
2,5
4
1,5
1,2
2,0
222 ll ⋅= βi
111 ll ⋅= βi
6,0/ 12 ≤ll 3/ 2,1, ≥cc NN 3,0/05,0 12 ≤≤ II
Štap 1
2,1, ccc NNN +=
Štap 2
2,cc NN =Oblast primene:
Metalne konstrukcije 1 P6-10
Dužine izvijanja štapova rešetkastih nosača
Obuhvaćeni su:
• pojasni štapovi,
• štapovi ispune (dijagonale i vertikale)
• dužine izvijanja u ravni rešetkastog nosača,
• dužine izvijanja izvan ravni rešetkastog nosača.
Metalne konstrukcije 1 P6-11
Dužine izvijanja pojasnih štapova
Dužina izvijanja pojasnog štapa u ravni jednaka je njegovojsistemnoj dužini (β=1)!
Dužina izvijanja pojasnog štapa izvan ravni jednaka je rastojanjutačaka bočnog pridržavanja!
Metalne konstrukcije 1 P6-12
Dužina izvijanja pritisnutog štapa naelastičnim osloncima
Tipičan primer za gornji pojas kod otvorenih rešetkastih mostova!
Krutost elastičnih oslonaca - “opruga” zavisi od deformabilnostiokvirnih ukrućenja.
Metalne konstrukcije 1 P6-13
Dužine izvijanja štapova ispune1. Kada je sprečeno pomeranje krajnjih tačaka štapa ispune, onda
se može smatrati da je njegova dužina izvijanja izvan ravnirešetkastog nosača jednaka njegovoj sistemnoj dužini;
2. Koeficijent dužine izvijanja β štapova ispune u ravni nosača se kreće u granicama od 0,8 do 1,0
3. Ako osa minimalnog poluprečnika inercije štapa ne leži u ravninosača koeficijent dužine izvijanja određuje se kao poluzbirkoeficijenata izvijanja u ravni i izvan ravni nosača:
( )2121 βββ +=
Metalne konstrukcije 1 P6-14
Dužine izvijanja štapova ispune od L profila
ll ⋅= 9,0i ll ⋅= 9,0i
ηii =min ξii =min
ηλ i/9,0 l⋅= ξλ i/9,0 l⋅=
Metalne konstrukcije 1 P6-15
Koeficijent dužineizvijanja kod ukrštenih
štapova ispune
3
1
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=l
l
IIk
12
21
l
l
⋅⋅
=NNm
Način vezivanja i Koeficijent dužine izvijanja β opterećenje štapova za štap 1 za štap 2
- k
m+
⋅−=
175,01β
km
/11/11
++
=β km
++
=11
β
- m⋅−= 75,01β
- 5,0=β
5,0=β m⋅+= 82,01β
Ako su štapovi na mestuukrštanja povezani tako daveza može da prenese bar 25% sile pritiska, može se smatrati da je tačka ukrštanjanepokretna u ravni nosača!
Vrednost koeficijenta β zaizvijanje van ravni zavisi od:
- načina ukrštanja štapova,
- odnosa dužina i krutosti nasavijanje izvan ravni,
-odnosa sila u štapovima;β ≥ 0,5
Metalne konstrukcije 1 P6-16
Metalne konstrukcije 1 P6-17
Osobenosti višedelnih štapova
• Poprečni presek se sastoji od više samostalnihelemenata koji su mestimično povezani;
• Razmicanjem samostalnih elemenata povećavajuse geometrijske karakteristike poprečnog preseka;
• Racionalnost u pogledu utrošenog materijala;• Više rada za izradu višedelnog štapa;• Jedna od glavnih osa inercije je nematerijalna!• Drugačije ponašanje u odnosu na jednodelne
štapove;
Metalne konstrukcije 1 P6-18
Definicije glavnih osa• Materijalna osa je glavna osa inercije poprečnog preseka
koja preseca bar jedan samostalni element;• Nematerijalna osa je glavna osa inercije koja ne preseca
ni jedan samostalni element;• Višedelni štap uvek ima bar jednu nematerijalnu osu
inercije;
Metalne konstrukcije 1 P6-19
Tipovi višedelnih štapova• Samostalni elementi su povezani međusobno na određenom
rastojanju (a);• U zavisnosti od oblika veznih elemenata razlikuju se dva tipa
višedelnih štapova: ramovski i rešetkasti;
Ramovski tip
Rešetkasti tip
Metalne konstrukcije 1 P6-20
Kritična sila izvijanja oko nematerijalne ose
• Ne postoji element poprečnog preseka (rebro) kojiprihvata dominantan deo smičućih napona;
• Uticaj smičućih sila na deformaciju štapa ne možese zanemariti;
• U diferencijalnu jednačinu izvijanja treba uvrstiti i deo deformacije usled smičućih napona;
VM vvv +=
vM ugib usled momenta savijanja,
vV ugib usled transvirzalne (smičuće) sile,
Metalne konstrukcije 1 P6-21
Diferencijalna jednačina izvijanja okonematerijalne ose
Ncr kritična Ojlerova sila za jednodelan štap,f0 strela početne geometrijske imperfekcije,l dužina štapa,V smičuća sila.
xf
VN
VN
NNv
VNN
Nvc
cr
cr
c
ccr
c
lll
πγ
πγ
π sin⋅⋅−
⋅+⋅⋅−=⋅
⋅−⋅⋅+′′ 02
2
2
2
1
1
1
1γ
Metalne konstrukcije 1 P6-22
Rešenje diferencijalne jednačine
Ncr,V kritična sila za izvijanje oko nematerijalne ose,Ncr kritična Ojlerova sila.
VNVN
NN
crcr
crVcr γγ
+=
⋅+= 1
1
1,
( ) xffxvl
πsin)( ⋅−= 0
Pretpostavljen oblik rešenja
Iz uslova da strela f teži beskonačnosti dobija se kritična sila!
Metalne konstrukcije 1 P6-23
Kritična sila Ncr,V
Kod jednodelnih štapova Sy teži beskonačnosti, pa prethodniizrazi dobijaju poznati oblik za jednodelne štapove!
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
y
crV S
N122 ll22
2
2
1 V
y
crVcr
EI
SN
EINl
l
⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅= ππ,
ycr
cr
ycrVcr SN
NSN
N///, +
=+
=111
1
γ/VSy = krutost veznih elemenata na smicanje
Modifikovana dužina štapa
Metalne konstrukcije 1 P6-24
Proračun pritisnutih štapova konstantnogvišedelnog preseka prema JUS U.E7.091
U opšte slučaju proračun se sastoji iz sledećih koraka:• Provera stabilnosti na izvijanje oko materijalne ose
(ako postoji);• Provera stabilnosti na izvijanje oko nematrijalne ose;• Provera samostalnog elementa u sredini raspona;• Provera samostalnog elementa na kraju štapa;• Proračun veznih elemenata;
Ako je rastojanje veznih limova manje od 15imin višedelništap se u proračunu može tretirati kao jednodelan!
Metalne konstrukcije 1 P6-25
Četiri grupe višedelnih štapovaTip Opis Oblik preseka
1
Višedelni štapovi koji imaju bar jednu materijalnu osu
2 Višedelni štapovi koji imaju jednu materijalnu osu i kod kojih je čisto rastojanje između samostalnih elemenata jednako debljini čvornog lima
3
Dvodelni štapovi od ukrštenih ugaonika
4
Višedelni štapovi koji nemaju materijalnu osu
Metalne konstrukcije 1 P6-26
Proračun stabilnosti na izvijanje okomaterijalne ose
• Sprovodi se uvek ako postoji materijalna osa (štapovivišedelnog poprečnog preseka iz grupe 1 i 2);
• Proračun se sprovodi u svemu prema standardu zaproračun stabilnosti centrično pritisnutih štapovakonstantnog jednodelnog preseka - JUS U.E7.081;
• Za višedelne štapove iz grupe 3 (dva unakrsnopostavljena L profila) proračun se, takođe, možesprovesti kao za jednodelne štapove, ako je rastojanjeveznih elemenata manje od 70 imin
Metalne konstrukcije 1 P6-27
Proračun stabilnosti na izvijanje okonematerijalne ose
Proračun se sastoji iz nekoliko koraka:1. Proračun krutosti na smicanje u zavisnosti od
tipa veznih limova Sy;2. Proračun kritične sile Ncr,V;3. Proračun ekvivalentne relativne vitkosti;4. Sa ovako sračunatom relativnom vitkošću
proračun stabilnosti se sprovodi isto kao i kodjednodelnih poprečnih preseka (JUS. U.E7.081)!
Metalne konstrukcije 1 P6-28
Određivanje krutosti na smicanje Sy Ramovski štap Rešetkasti štap
Sy 2
2
2a
EI f⋅π 3
2
dha
EAn yr
⋅⋅⋅
λf fia
2
3
yr had
AnA
⋅⋅
⋅π
Ar Ad Ad 2Ad 0,5Ad n - broj paralelnih ravni u kojima su postavljeni spojni limovi ili štapovi ispune d - sistemna dužina dijagonale
Metalne konstrukcije 1 P6-29
Proračun kritične sile Ncr,V
ycr
cr
ycrVcr SN
NSN
N///, +
=+
=111
1
Ncr Ojlerova kritična sila za jednodelan štap,Sy krutost veznih limova na smicanje
Metalne konstrukcije 1 P6-30
Ekvivalentna relativna vitkost višedelnog štapa
Npl plastična nosivost poprečnog preseka (Npl = fy A),Ncr,V kritična sila izvijanja oko nematerijalne ose,λz vitkost štapa oko z-z (nematerijalne) ose,m broj samostalnih elemenata (upravno na osu izvijanja),λf vitkost samostalnog elementa (λf = a/if),λ1 vitkost na granici razvlačenja.
Vcrpleqz NN ,, /=λ
1
22
2 λλ
λλλλ eqzeqzfzeqz
m ,,, =⇒+=
ili
Metalne konstrukcije 1 P6-31
Određivanje vitkosti štapa oko z-z(nematerijalne) ose - λz
Af,i površina i-tog samostalnog elementa,If,i moment inercije i-tog samostalnog elementa oko ose 1-1,yf,i rastojanje od težišta i-tog samostalnog elementa do težišta
višedelnog preseka,
zziz i/,l=λ
∑=
⋅+=r
iifififz yAII
1
2,,,
AIi zz /=
∑=
=r
iifAA
1,
Metalne konstrukcije 1 P6-32
Proračun samostalnog elementa u sredini štapa
ν koeficijent sigurnosti.
fz
zcf A
WM
rNN +=
hMNN zc
f +=2
2
00
11 eqzpl
c
c
Vcr
c
cz
NNfN
NNfNM
,,
λνν⋅
⋅−
⋅=
⋅−
⋅=
Opšti slučaj Dvodelni štap
Moment savijanja
500/0 l=f
Wz otporni moment u odnosu natežišnu osu najudaljenijegsamostalnog elementa,
r broj samostalnih elemenata;
Sa ovako sračunatom silom Nfproverava se stabilnot samostalnogelementa (JUS.U.E7.081)!
Metalne konstrukcije 1 P6-33
Proračun samostalnog elementa na kraju štapa
xfNdxxdMxV c
ll
ππ cos)()( ⋅⋅⋅==
Vcr
c
cc
NNfNfNV
,
0max
1 ν
ππ
−
⋅⋅=⋅⋅=
ll 2a
rVMf ⋅= max
xfNxM cl
πsin)( ⋅⋅=
dopf
f
f
c
WM
ArN σσ ≤+=
/max
Af površina poprečnog preseka samostalnog elementa,
Wf otporni moment samostalnog elementa oko ose 1-1.
Metalne konstrukcije 1 P6-34
Proračun veznih limova
• Proračun se razlikuje za štapove ramovskog i rešetkastogtipa;
• Kod rešetkastog tipa vezni limovi su aksijalno opterećeni, a kod ramovskog tipa su opterećeni na savijanje
• Vezni limovi se uvek postavljaju na krajevima štapa;• Postavljaju se uvek na istom rastojanju;• Vezni limovi se postavljaju minimum u trećinama raspona;• Kod višedelnih štapova kod kojih je razmak samostalnih
elemenata jednak debljini čvornog (veznog) lima postavljaju se vezice; Kod ovakvih štapova proverava se samo da li veza može da prenese odgovarajuću silu T;
Metalne konstrukcije 1 P6-35
Proračun sila u veznim limovima kod ramovskihvišedelnih štapova
Opis r=2 r=3 r=4
1
Presek višedelnog štapa
2
Uticaji u jediničn-om polju štapa
3
Presečna sila T u spojnim limovima
yhaVT ⋅
=
yhaVT
2⋅
= yhaVT ⋅
= 4,0'
yhaVT ⋅
= 3,0''
4
Momentni dijagram u
spojnim limovima
Metalne konstrukcije 1 P6-36
Proračun sile u dijagonali rešetkaste ispunekod rešetkastih višedelnih štapova
n broj paralelih ravni u kojima se nalazi rešetkasa ispuna,d dužina dijagonale,hy rastojanje težišta pojasnih štapova (za dvodelni štap).
ydc h
dnVN ⋅= max
,max
Recommended