MK1 - Predavanje 6

Metalne konstrukcije 1 P6-1


Definicija dužine izvijanja

Definicija u matematičkom smislu:• Dužina izviajnja je dužina između susedni, realnih

ili fiktivnih prevojnih tačaka izvijenog oblikaštapa;

Definicija u fizičko-mehaničko smislu:• Dužina izvijanja je dužina zamenjujućeg,

obostrano zglobno oslonjenog štapa, opterećenogkoncentrisanim sila pritiska na svojim krajevima, koji ima istu kritičnu silu kao i razmatrani štap;


Proračun dužine izvijanja premaJUS U.E7.086 - 1986

li dužina izvijanja,l sistemna dužina elementa (štapa),β koeficijent dužine izvijanja.

Ovim standardom data su pravila za dužine izvijanja:• stubova (samostalnih štapova),• štapova rešetkastih nosača,• ugaonih štapova rešetkastih stubova i• monosimetričnih poprečnih preseka.

ll ⋅= βi

Opšti izraz za određivanje dužine izvijanja


Određivanje dužine izvijanja stubovaStubovi sa konstantnim momentom inercije i

konstantnom normalnom siloma b c d

β = 2 β = 1 β = 0,7 β = 0,5

e f g h

2< β < ∞ β = 2 1< β <2 β = 1


Uticaj krutosti grede na dužinu izvijanja stuba


Štapovi konstantnogpoprečnog preseka

sa kontinualnopromenljivom

normalnom silom

Dijagram normalnih sila Uslovi oslanjanja i opterećenje štapa

Koeficijent dužine izvijanjaβ

18,3/18,21 10 NN⋅+

=β

72,7/93,01 10 NN⋅+

=β

09,2/09,11 10 NN⋅+

=β

40,5

/35,01 10 NN⋅+=β

88,1/88,01 10 NN⋅+

=β

72,7

/93,01 10 NN⋅+=β

09,3/51,01 10 NN⋅+

=β

42,5/65,11 10 NN⋅+

=β

120 10 ≤≤− ,, /, cc NN

Ograničenjeprimene:


Štapovi konstantnog poprečnog preseka saskokovito promenljivom normalnom silom

Uslovi oslanjanja i opterećenja

Linija Dijagram αi

a

b

c

d

i

n

iicredc NN α∑

=

⋅=1

,,

Redukovana sila:

dop

n

iic AN σσ ≤= ∑

=/

1,

Kontrola stabilnosti:redcN , ll ⋅= βi

Kontrola napona:


Štapovi sa promenljivimmomentom inercije i

konstantnom normalnom silom

Kontura štapa Oblik preseka

A

1

B

2

C

3

D

4

Kontura štapa A B C D

I0/I1 ϕ - 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8 - β

0,01 1 2 3 4

1,11 1,25 1,38 1,46

1,30 1,89 1,97 2,14

1,18 1,44 1,64 1,78

1,08 1,22 1,35 1,43

1,02 1,07 1,11 1,14

1,00 1,01 1,01 1,02

8,03

6,04

4,06

2,09

1,61 2,40 2,86 3,16

0,1

1 2 3 4

1,09 1,14 1,16 1,18

1,23 1,36 1,41 1,44

1,14 1,22 1,25 1,27

1,07 1,11 1,12 1,13

1,02 1,03 1,04 1,04

1,00

2,69

2,02

1,48

1,07

1,45 1,66 1,75 1,78

0,2

1 2 3 4

1,07 1,09 1,10 1,11

1,18 1,24 1,26 1,27

1,10 1,14 1,16 1,17

1,05 1,07 1,07 1,08

1,02

1,00

1,88

1,53

1,24

1,03

1,35 1,44 1,48 1,49

0,4

1 2 3 4

1,05 1,06 1,06 1,06

1,12 1,14 1,15 1,15

1,07 1,08 1,09 1,09

1,04

1,01

1,00

1,39

1,22

1,08

1,01

1,21 1,24 1,25 1,26

0,6

1 2 3 4

1,03

1,07 1,08 1,08 1,08

1,04

1,02

1,01

1,00

1,19

1,10

1,03

1,00

1,13 1,13 1,14 1,14

0,8

1 2 3 4

1,01

1,03

1,02

1,01

1,01

1,00

1,07

1,03

1,01

1,00

1,06

ii ll ⋅=′ β

Koeficijent dužine izvijanja β zavisi od:

• načina promene momenta inercije,

• odnosa I0/I1 i

• oblika poprečnog preseka.

Proračun stabilnosti se sprovodi samaksimalnim vrednostima geometrijskihkarakteristika (A1 i I1)!

Ovim koeficijentom nisu obuhvaćeniuslovi oslanjanja!

Prvo treba odediti dužinu izvijanja u zavisnosti od uslova oslanjanja!


Štapovi sa skokovito promenljivim momentominercije i dijagramom normalnih sila

β1 β2 Uslovi oslanjanja štapa 0,05≤l2/l1<0,1 0,1≤l2/l1<0,3

1

3,0

2,5

3,0

2

2,0

2,0

3,0

3

2,0

1,6

2,5

4

1,5

1,2

2,0

222 ll ⋅= βi

111 ll ⋅= βi

6,0/ 12 ≤ll 3/ 2,1, ≥cc NN 3,0/05,0 12 ≤≤ II

Štap 1

2,1, ccc NNN +=

Štap 2

2,cc NN =Oblast primene:


Dužine izvijanja štapova rešetkastih nosača

Obuhvaćeni su:

• pojasni štapovi,

• štapovi ispune (dijagonale i vertikale)

• dužine izvijanja u ravni rešetkastog nosača,

• dužine izvijanja izvan ravni rešetkastog nosača.


Dužine izvijanja pojasnih štapova

Dužina izvijanja pojasnog štapa u ravni jednaka je njegovojsistemnoj dužini (β=1)!

Dužina izvijanja pojasnog štapa izvan ravni jednaka je rastojanjutačaka bočnog pridržavanja!


Dužina izvijanja pritisnutog štapa naelastičnim osloncima

Tipičan primer za gornji pojas kod otvorenih rešetkastih mostova!

Krutost elastičnih oslonaca - “opruga” zavisi od deformabilnostiokvirnih ukrućenja.


Dužine izvijanja štapova ispune1. Kada je sprečeno pomeranje krajnjih tačaka štapa ispune, onda

se može smatrati da je njegova dužina izvijanja izvan ravnirešetkastog nosača jednaka njegovoj sistemnoj dužini;

2. Koeficijent dužine izvijanja β štapova ispune u ravni nosača se kreće u granicama od 0,8 do 1,0

3. Ako osa minimalnog poluprečnika inercije štapa ne leži u ravninosača koeficijent dužine izvijanja određuje se kao poluzbirkoeficijenata izvijanja u ravni i izvan ravni nosača:

( )2121 βββ +=


Dužine izvijanja štapova ispune od L profila

ll ⋅= 9,0i ll ⋅= 9,0i

ηii =min ξii =min

ηλ i/9,0 l⋅= ξλ i/9,0 l⋅=


Koeficijent dužineizvijanja kod ukrštenih

štapova ispune

3

1

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=l

l

IIk

12

21

l

l

⋅⋅

=NNm

Način vezivanja i Koeficijent dužine izvijanja β opterećenje štapova za štap 1 za štap 2

- k

m+

⋅−=

175,01β

km

/11/11

++

=β km

++

=11

β

- m⋅−= 75,01β

- 5,0=β

5,0=β m⋅+= 82,01β

Ako su štapovi na mestuukrštanja povezani tako daveza može da prenese bar 25% sile pritiska, može se smatrati da je tačka ukrštanjanepokretna u ravni nosača!

Vrednost koeficijenta β zaizvijanje van ravni zavisi od:

- načina ukrštanja štapova,

- odnosa dužina i krutosti nasavijanje izvan ravni,

-odnosa sila u štapovima;β ≥ 0,5



Osobenosti višedelnih štapova

• Poprečni presek se sastoji od više samostalnihelemenata koji su mestimično povezani;

• Razmicanjem samostalnih elemenata povećavajuse geometrijske karakteristike poprečnog preseka;

• Racionalnost u pogledu utrošenog materijala;• Više rada za izradu višedelnog štapa;• Jedna od glavnih osa inercije je nematerijalna!• Drugačije ponašanje u odnosu na jednodelne

štapove;


Definicije glavnih osa• Materijalna osa je glavna osa inercije poprečnog preseka

koja preseca bar jedan samostalni element;• Nematerijalna osa je glavna osa inercije koja ne preseca

ni jedan samostalni element;• Višedelni štap uvek ima bar jednu nematerijalnu osu

inercije;


Tipovi višedelnih štapova• Samostalni elementi su povezani međusobno na određenom

rastojanju (a);• U zavisnosti od oblika veznih elemenata razlikuju se dva tipa

višedelnih štapova: ramovski i rešetkasti;

Ramovski tip

Rešetkasti tip


Kritična sila izvijanja oko nematerijalne ose

• Ne postoji element poprečnog preseka (rebro) kojiprihvata dominantan deo smičućih napona;

• Uticaj smičućih sila na deformaciju štapa ne možese zanemariti;

• U diferencijalnu jednačinu izvijanja treba uvrstiti i deo deformacije usled smičućih napona;

VM vvv +=

vM ugib usled momenta savijanja,

vV ugib usled transvirzalne (smičuće) sile,


Diferencijalna jednačina izvijanja okonematerijalne ose

Ncr kritična Ojlerova sila za jednodelan štap,f0 strela početne geometrijske imperfekcije,l dužina štapa,V smičuća sila.

xf

VN

VN

NNv

VNN

Nvc

cr

cr

c

ccr

c

lll

πγ

πγ

π sin⋅⋅−

⋅+⋅⋅−=⋅

⋅−⋅⋅+′′ 02

2

2

2

1

1

1

1γ


Rešenje diferencijalne jednačine

Ncr,V kritična sila za izvijanje oko nematerijalne ose,Ncr kritična Ojlerova sila.

VNVN

NN

crcr

crVcr γγ

+=

⋅+= 1

1

1,

( ) xffxvl

πsin)( ⋅−= 0

Pretpostavljen oblik rešenja

Iz uslova da strela f teži beskonačnosti dobija se kritična sila!


Kritična sila Ncr,V

Kod jednodelnih štapova Sy teži beskonačnosti, pa prethodniizrazi dobijaju poznati oblik za jednodelne štapove!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

y

crV S

N122 ll22

2

2

1 V

y

crVcr

EI

SN

EINl

l

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅= ππ,

ycr

cr

ycrVcr SN

NSN

N///, +

=+

=111

1

γ/VSy = krutost veznih elemenata na smicanje

Modifikovana dužina štapa


Proračun pritisnutih štapova konstantnogvišedelnog preseka prema JUS U.E7.091

U opšte slučaju proračun se sastoji iz sledećih koraka:• Provera stabilnosti na izvijanje oko materijalne ose

(ako postoji);• Provera stabilnosti na izvijanje oko nematrijalne ose;• Provera samostalnog elementa u sredini raspona;• Provera samostalnog elementa na kraju štapa;• Proračun veznih elemenata;

Ako je rastojanje veznih limova manje od 15imin višedelništap se u proračunu može tretirati kao jednodelan!


Četiri grupe višedelnih štapovaTip Opis Oblik preseka

1

Višedelni štapovi koji imaju bar jednu materijalnu osu

2 Višedelni štapovi koji imaju jednu materijalnu osu i kod kojih je čisto rastojanje između samostalnih elemenata jednako debljini čvornog lima

3

Dvodelni štapovi od ukrštenih ugaonika

4

Višedelni štapovi koji nemaju materijalnu osu


Proračun stabilnosti na izvijanje okomaterijalne ose

• Sprovodi se uvek ako postoji materijalna osa (štapovivišedelnog poprečnog preseka iz grupe 1 i 2);

• Proračun se sprovodi u svemu prema standardu zaproračun stabilnosti centrično pritisnutih štapovakonstantnog jednodelnog preseka - JUS U.E7.081;

• Za višedelne štapove iz grupe 3 (dva unakrsnopostavljena L profila) proračun se, takođe, možesprovesti kao za jednodelne štapove, ako je rastojanjeveznih elemenata manje od 70 imin


Proračun stabilnosti na izvijanje okonematerijalne ose

Proračun se sastoji iz nekoliko koraka:1. Proračun krutosti na smicanje u zavisnosti od

tipa veznih limova Sy;2. Proračun kritične sile Ncr,V;3. Proračun ekvivalentne relativne vitkosti;4. Sa ovako sračunatom relativnom vitkošću

proračun stabilnosti se sprovodi isto kao i kodjednodelnih poprečnih preseka (JUS. U.E7.081)!


Određivanje krutosti na smicanje Sy Ramovski štap Rešetkasti štap

Sy 2

2

2a

EI f⋅π 3

2

dha

EAn yr

⋅⋅⋅

λf fia

2

3

yr had

AnA

⋅⋅

⋅π

Ar Ad Ad 2Ad 0,5Ad n - broj paralelnih ravni u kojima su postavljeni spojni limovi ili štapovi ispune d - sistemna dužina dijagonale


Proračun kritične sile Ncr,V

ycr

cr

ycrVcr SN

NSN

N///, +

=+

=111

1

Ncr Ojlerova kritična sila za jednodelan štap,Sy krutost veznih limova na smicanje


Ekvivalentna relativna vitkost višedelnog štapa

Npl plastična nosivost poprečnog preseka (Npl = fy A),Ncr,V kritična sila izvijanja oko nematerijalne ose,λz vitkost štapa oko z-z (nematerijalne) ose,m broj samostalnih elemenata (upravno na osu izvijanja),λf vitkost samostalnog elementa (λf = a/if),λ1 vitkost na granici razvlačenja.

Vcrpleqz NN ,, /=λ

1

22

2 λλ

λλλλ eqzeqzfzeqz

m ,,, =⇒+=

ili


Određivanje vitkosti štapa oko z-z(nematerijalne) ose - λz

Af,i površina i-tog samostalnog elementa,If,i moment inercije i-tog samostalnog elementa oko ose 1-1,yf,i rastojanje od težišta i-tog samostalnog elementa do težišta

višedelnog preseka,

zziz i/,l=λ

∑=

⋅+=r

iifififz yAII

1

2,,,

AIi zz /=

∑=

=r

iifAA

1,


Proračun samostalnog elementa u sredini štapa

ν koeficijent sigurnosti.

fz

zcf A

WM

rNN +=

hMNN zc

f +=2

2

00

11 eqzpl

c

c

Vcr

c

cz

NNfN

NNfNM

,,

λνν⋅

⋅−

⋅=

⋅−

⋅=

Opšti slučaj Dvodelni štap

Moment savijanja

500/0 l=f

Wz otporni moment u odnosu natežišnu osu najudaljenijegsamostalnog elementa,

r broj samostalnih elemenata;

Sa ovako sračunatom silom Nfproverava se stabilnot samostalnogelementa (JUS.U.E7.081)!


Proračun samostalnog elementa na kraju štapa

xfNdxxdMxV c

ll

ππ cos)()( ⋅⋅⋅==

Vcr

c

cc

NNfNfNV

,

0max

1 ν

ππ

−

⋅⋅=⋅⋅=

ll 2a

rVMf ⋅= max

xfNxM cl

πsin)( ⋅⋅=

dopf

f

f

c

WM

ArN σσ ≤+=

/max

Af površina poprečnog preseka samostalnog elementa,

Wf otporni moment samostalnog elementa oko ose 1-1.


Proračun veznih limova

• Proračun se razlikuje za štapove ramovskog i rešetkastogtipa;

• Kod rešetkastog tipa vezni limovi su aksijalno opterećeni, a kod ramovskog tipa su opterećeni na savijanje

• Vezni limovi se uvek postavljaju na krajevima štapa;• Postavljaju se uvek na istom rastojanju;• Vezni limovi se postavljaju minimum u trećinama raspona;• Kod višedelnih štapova kod kojih je razmak samostalnih

elemenata jednak debljini čvornog (veznog) lima postavljaju se vezice; Kod ovakvih štapova proverava se samo da li veza može da prenese odgovarajuću silu T;


Proračun sila u veznim limovima kod ramovskihvišedelnih štapova

Opis r=2 r=3 r=4

1

Presek višedelnog štapa

2

Uticaji u jediničn-om polju štapa

3

Presečna sila T u spojnim limovima

yhaVT ⋅

=

yhaVT

2⋅

= yhaVT ⋅

= 4,0'

yhaVT ⋅

= 3,0''

4

Momentni dijagram u

spojnim limovima


Proračun sile u dijagonali rešetkaste ispunekod rešetkastih višedelnih štapova

n broj paralelih ravni u kojima se nalazi rešetkasa ispuna,d dužina dijagonale,hy rastojanje težišta pojasnih štapova (za dvodelni štap).

ydc h

dnVN ⋅= max

,max

Documents

MK1 - Predavanje 6