PEMODELAN PERISTIWA UNPREDICTABLE UNKNOWN
MENGGUNAKAN PROSES POISSON DENGAN
INTENSITAS FUNGSI ACAK
VIONAMITA SHARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2017
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK
CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan
Peristiwa Unpredictable Unknown Menggunakan Proses Poisson dengan
Intensitas Fungsi Acak adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2017
Vionamita Shara
NIM G54130014
ABSTRAK
VIONAMITA SHARA. Pemodelan Peristiwa Unpredictable Unknown
Menggunakan Proses Poisson dengan Intensitas Fungsi Acak. Dibimbing oleh I
WAYAN MANGKU dan WINDIANI ERLIANA.
Stabilitas keuangan biasanya berkaitan dengan pertumbuhan ekonomi yang
stabil, inflasi yang wajar, dan rendahnya tingkat pengangguran. Jatuhnya harga
saham akan memberikan dampak buruk pada stabilitas keuangan. Pada karya ilmiah
ini dibahas mengenai penyebab jatuhnya harga saham yang disebabkan oleh suatu
peristiwa yang langka dan tidak terduga atau unpredictable unknown (UU).
Peristiwa tersebut dapat dimodelkan dengan proses Poisson yang fungsi
intensitasnya acak. Selain itu, dilakukan simulasi untuk mendeteksi kemungkinan
terjadinya peristiwa UU pada indeks saham DJIA dan Nikkei 225 untuk seratus hari
ke depan. Indeks saham DJIA akan mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-
66 dengan peluang sebesar 0.036, sedangkan indeks saham Nikkei 225 akan
mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-68 dengan peluang sebesar 0.0175.
Kata kunci: proses Poisson, fungsi intensitas acak, peristiwa unpreditable unknown.
ABSTRACT
VIONAMITA SHARA. A Poisson Process with Random Intensity Function for
Modeling Unpredictable Unknown Events. Supervised by I WAYAN MANGKU
and WINDIANI ERLIANA.
Financial stability is usually associated with a stable economic growth,
moderate inflation, and low unemployment rates. The stock market’s crashes may
danger the financial stability.This paper discusses the cause of stock prices crash
that caused by rare and unpredictable events which are known unpredictable
unknown (UU). The events concidered as UU can be modelled by a Poisson
process with random intensity function. Two stock indices, namely Dow Jones
Industrial Average (DJIA) and Nikkei 225 are analyzed. Simulation was conducted
to detect the possibility of UU on the DJIA and Nikkei 225 stock indices for the
next hundred days. DJIA index will experience an UU on the 66th day with
probability of 0.036, while Nikkei 225 index will experience an UU on the 68th day
with probability of 0.0175.
Key words: Poisson process, random intensity function, unpredictable unknown
event.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PEMODELAN PERISTIWA UNPREDICTABLE UNKNOWN
MENGGUNAKAN PROSES POISSON DENGAN
INTENSITAS FUNGSI ACAK
VIONAMITA SHARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2017
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah yang berjudul Pemodelan Peristiwa Unpredictable Unknown
Menggunakan Proses Poisson dengan Intensitas Fungsi Acak dapat diselesaikan.
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena
itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Ayah Taufik, Ibu Rusmiyati, Kak Hagy Leondra dan Viona Mita Shaly yang
selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang yang tiada henti.
2. Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku dosen Pembimbing I dan Ibu
Windiani Erliana, MSi selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan
ilmu, bimbingan motivasi, dan saran selama penulisan skripsi ini, serta Bapak
Ruhiyat, MSi selaku dosen penguji.
3. Alfien Ardyan Chandra dan Refha Dwi Margana selaku sahabat yang selalu
memberikan doa, semangat dan menjadi teman belajar selama penulisan karya
ilmiah ini, serta teman berbagi keluh kesah selama kuliah.
4. Firdaus Saleh, Jihan Nadia, dan Rhea Savista selaku sahabat yang senantiasa
membantu dan teman berbagi keluh kesah selama kuliah.
5. Teman-teman Matematika Angkatan 50 yang selalu memberikan keceriaan,
doa, semangat dan dukungannya.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian berikutnya.
Bogor, Oktober 2017
Vionamita Shara
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
LANDASAN TEORI 2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 2
Nilai Harapan dan Ragam 3
Proses Stokastik 3
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Identifikasi Krisis Keuangan Indeks Saham DJIA dan Nikkei 225 6
Indeks Saham DJIA 6
Indeks Saham Nikkei 225 7
Model Unpredictable Unknown 8
Prediksi Peristiwa Unpredictable Unknown 10
Simulasi 11
Simulasi Indeks Saham DJIA 11
Simulasi Indeks Saham Nikkei 225 12
SIMPULAN 13
DAFTAR PUSTAKA 13
LAMPIRAN 15
RIWAYAT HIDUP 18
DAFTAR GAMBAR
1 Pergerakan Harga Indeks Saham DJIA 7
2 Pergerakan Harga Indeks Saham Nikkei 225 8
3 Kemungkinan UU pada indeks saham DJIA 12
4 Kemungkinan UU pada indeks saham Nikkei 225 13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU
pada DJIA 16
2 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU
pada Nikkei 225 17
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting di berbagai bidang
kehidupan sehari-hari. Proses stokastik dapat digunakan untuk memodelkan suatu
masalah atau fenomena yang mengandung unsur ketidakpastian. Banyak
permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses
stokastik, seperti memprediksi kedatangan pelanggan ke pusat servis (misalnya
bank, kantor pos, dan supermarket) dan memprediksi harga saham. Proses stokastik
terbagi menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses
stokastik dengan waktu kontinu. Pembahasan pada karya ilmiah ini difokuskan
pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yaitu
proses Poisson.
Stabilitas keuangan biasanya berkaitan dengan pertumbuhan ekonomi yang
stabil, inflasi yang wajar, dan rendahnya tingkat pengangguran. Jika keuangan
berada pada kondisi tidak stabil, maka akan berdampak pada fluktuasi harga aset
yang tinggi. Hal ini mengakibatkan bank dan lembaga keuangan untuk bertindak
dengan cara yang lebih bijaksana. Jatuhnya harga saham akan memberikan dampak
buruk pada stabilitas keuangan. Salah satu contoh dari peristiwa ini adalah jatuhnya
indeks saham Nikkei 225 dan Dow Jones Industrial Average (DJIA).
Menurut Ilalan (2015), sejak tahun 1914 hingga 1989, Nikkei 225
merupakan indeks saham yang paling stabil. Namun, pada Desember 1989, suatu
peristiwa yang tidak diprediksi terjadi dan menyebabkan jatuhnya harga indeks
saham secara drastis. Hingga saat ini harga indeks saham Nikkei 225 belum
kembali pulih seperti sebelumnya. Sama halnya seperti harga indeks saham Nikkei
225, harga indeks saham DJIA memiliki tren naik terhitung dari tahun 1986 sampai
2015. Namun, peristiwa tak terduga seperti Black Monday tahun 1987
menyebabkan jatuhnya harga indeks saham DJIA dan masa pemulihan harga indeks
saham DJIA memakan waktu yang cukup lama. Peristiwa jatuhnya harga indeks
saham DJIA dan Nikkei 225 dapat disebut sebagai peristiwa langka atau
Unpredictable Unknown. Peristiwa tersebut dapat dimodelkan dengan proses
Poisson yang fungsi intensitasnya acak. Pada Ilalan (2015), suatu peristiwa
dikatakan Unpredictable Unknown (UU) jika terjadinya peristiwa tersebut tidak
terprediksi sehingga menyebabkan jatuhnya harga saham dan periode pemulihan
harga saham ke tingkat harga sebelum krisis terlalu panjang. Karya ilmiah ini
ditulis berdasarkan artikel yang berjudul a Poisson Process with Random Intensity
for Modeling Financial Stability yang ditulis oleh Ilalan (2015).
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini ialah
1. mengidentifikasi jatuhnya harga indeks saham Nikkei 225 dan DJIA,
2. menentukan pemodelan Unpredictable Unknown pada indeks saham Nikkei 225
dan DJIA, serta
2
3. memprediksi peristiwa Unpredictable Unknown pada indeks saham Nikkei 225
dan DJIA.
LANDASAN TEORI
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 1 (Peubah acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi 𝑋 yang
terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu
bilangan real 𝑋(ω) disebut peubah acak. Ruang dari 𝑋 adalah himpunan bagian
bilangan real 𝓐 = {𝑥; 𝑥 = 𝑋(ω), ω ∈ Ω} (Hogg et al. 2014).
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, Z, sedangkan
nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Definisi 2 (Fungsi sebaran)
Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan ruang 𝓐. Misalkan kejadian 𝐴 =(−∞, 𝑥] ⊂ 𝓐, maka peluang dari kejadian A adalah P(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐹𝑋(𝑥). Fungsi 𝐹𝑋
disebut fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋 (Hogg et al. 2014).
Definisi 3 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah
acak tersebut merupakan himpunan tercacah (Hogg et al. 2014).
Definisi 4 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑝: ℝ →[0,1] yang diberikan oleh : 𝑝𝑋(𝑥) = 𝐏(𝑋 = 𝑥) (Hogg et al. 2014).
Definisi 5 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika semua himpunan nilai dari peubah
acak tersebut merupakan sebuah interval pada garis bilangan real (Hogg et al. 2014).
Definisi 6 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak 𝑋 disebut peubah acak Poisson dengan parameter 𝜆,
𝜆 > 0 jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh: 𝑝𝑋(𝑘) = 𝑒−𝜆 𝜆𝑘
𝑘!, untuk 𝑘 =
0, 1, … (Ross 2010).
Definisi 7 (Peubah acak eksponensial)
Suatu peubah acak 𝑋 disebut menyebar eksponensial dengan parameter 𝜆,
jika 𝑋 memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
𝑓𝑋(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥, 0 < 𝑥 < ∞
0, selainnya
(Hogg et al. 2014).
3
Nilai Harapan dan Ragam
Definisi 8 (Nilai harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋, maka nilai
harapan dari X didefinisikan sebagai
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖𝑝𝑋(𝑥𝑖)
𝑖
jika jumlah tersebut konvergen mutlak. Jika jumlah tersebut divergen, maka
nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋, maka
nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
jika integral tersebut konvergen mutlak. Jika integral tersebut divergen, maka
nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).
Definisi 9 (Ragam)
Jika X adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai
Var(𝑋) = 𝐸 ((𝑋 − 𝐸(𝑋))2
)
(Ghahramani 2005).
Proses Stokastik
Definisi 10 (Proses stokastik)
Proses stokastik 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S (Ross 2010).
Definisi 11 (Proses stokastik waktu kontinu)
Suatu proses stokastik 𝑋 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
𝑇 adalah suatu interval (Ross 2010).
Definisi 12 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut
memiliki inkremen bebas jika untuk semua 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛, peubah acak
𝑋(𝑡1) − 𝑋(𝑡0), 𝑋(𝑡2) − 𝑋(𝑡1), … , 𝑋(𝑡𝑛) − 𝑋(𝑡𝑛−1) adalah bebas (Ross 2010).
Definisi 13 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut
memiliki inkremen stasioner jika 𝑋(𝑡 + 𝑠) − 𝑋(𝑡) memiliki sebaran yang sama
untuk semua nilai 𝑡 (Ross 2010).
Definisi 14 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses pencacahan jika
𝑁(𝑡) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡.
4
Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan 𝑁(𝑡) harus memenuhi
syarat–syarat berikut:
(i) 𝑁(𝑡) ≥ 0 untuk semua 𝑡 ∈ [0, ∞),
(ii) nilai 𝑁(𝑡) adalah integer,
(iii) jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁(𝑠) ≤ 𝑁(𝑡), 𝑠, 𝑡 ∈ [0, ∞),
(iv) untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑠) , sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada selang (𝑠, 𝑡] (Ross 2010).
Definisi 15 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 } disebut proses Poisson dengan laju
𝜆, 𝜆 > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
(i) 𝑁(0) = 0.
(ii) proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang 𝑡, memiliki
sebaran Poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡.
Jadi, untuk semua 𝑡, 𝑠 > 0 , 𝐏(𝑁(𝑠 + 𝑡) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =𝑒−λt(λt)𝑘
𝑘!, 𝑘 = 0, 1, …
(Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen
stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: 𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝜆𝑡.
Definisi 16 (Proses Poisson homogen)
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju 𝜆 yang
merupakan konstanta untuk setiap waktu 𝑡 (Ross 2010).
Definisi 17 (Proses Poisson takhomogen)
Suatu proses Poisson {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses Poisson takhomogen jika
laju 𝜆 pada sebarang waktu 𝑡 merupakan fungsi takkonstan dari 𝑡 yaitu 𝜆(𝑡) (Ross
2010).
Definisi 18 (Gerak Brown)
Suatu proses stokastik {𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0} dikatakan sebagai proses Gerak Brown
jika
(i) 𝑋(0) = 0
(ii) {𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0} memiliki inkremen bebas dan stasioner
(iii) Untuk setiap 𝑡 > 0, 𝑋(𝑡)~𝑁(0, 𝜎2𝑡).
Untuk 𝜎 = 1, disebut sebagai gerak Brown baku (Ross 2010).
Definisi 19 (Metode Euler-Maruyama)
Metode Euler-Maruyama (EM) merupakan metode yang digunakan pada
simulasi solusi dari persamaan diferensial stokastik. Diberikan
𝑑𝑋(𝑡) = 𝐺(𝑋(𝑡))𝑑𝑡 + 𝐻(𝑋(𝑡))𝑑𝑊(𝑡), dengan 𝑋(𝑡0) = 𝑋0 dan step size 𝑑𝑡, dapat dilakukan pendekatan dengan
𝑋𝑗 = 𝑋𝑗−1 + 𝐺(𝑋𝑗−1)𝑑𝑡 + 𝐻(𝑋𝑗−1) (𝑊(𝑡𝑗−1 + 𝑑𝑡) − 𝑊(𝑡𝑗−1))
(Dunbar 2016).
5
Definisi 20 (Autoregresi (AR) orde 1)
Misalkan {𝑋𝑡} adalah proses stokastik pada waktu t. Proses {𝑋𝑡} dikatakan
mengikuti model AR(1) jika memenuhi persamaan berikut:
𝑋𝑡 = 𝑐 + 𝑎𝑋𝑡−1 + 𝑏𝜀𝑡
(Montgomery et al. 2008).
Definisi 21 (Proses Ornstein-Uhlenbeck)
Proses Ornstein-Uhlenbeck (OU) dapat dianggap sebagai modifikasi dari
jalan acak (random walk) pada waktu kontinu. Selain itu, proses Ornstein-
Uhlenbeck dapat juga dianggap sebagai waktu kontinu yang bertautan dengan
waktu diskret proses AR(1). Pada persamaan diferensial stokastik, proses Ornstein-
Uhlenbeck memenuhi
𝑑𝑋𝑡 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡, dengan
𝑋𝑡 : posisi partikel pada waktu 𝑡,
𝜃 : tingkat peluruhan taknegatif,
𝜇 : nilai rata-rata 𝑋, 𝜎 : besar pasturbasi stokastik,
𝑊𝑡 : gerak Brown baku.
Dalam matematika keuangan, proses Ornstein-Uhlenbeck digunakan untuk
memodelkan tingkat suku bunga, kurs nilai tukar, dan harga komoditas stokastik
(Pinsky dan Karlin 2012).
Definisi 22 (Unpredictable unknown)
Suatu peristiwa dikatakan Unpredictable Unknown (UU) jika peristiwa
tersebut tidak dapat diprediksi sehingga menyebabkan jatuhnya harga saham dan
periode pemulihannya ke tingkat sebelum krisis terlalu panjang. Selain itu, jika
pasar saham tutup setelah terjadinya peristiwa tertentu, tanpa mempertimbangkan
masa pemulihan, hal ini juga dianggap sebagai UU (Ilalan 2015).
Definisi 23 (Hukum kejadian langka)
Peristiwa kehidupan sehari-hari yang menyebar Poisson dapat dijelaskan
dengan Hukum Kejadian Langka. Misalkan 𝑁 adalah sebuah bilangan yang sangat
besar dan besar yang menyebar Bernoulli. Dilakukan 𝑁 kali percobaan dengan
peluang sukses 𝑝 pada setiap percobaan adalah kecil dan konstan pada setiap
percobaan. Misal 𝑋𝑁,𝑝 menyatakan total sukses pada 𝑁 kali percobaan, di mana
𝑋𝑁,𝑝 menyebar binomial, yaitu
𝐏(𝑋𝑁,𝑝 = 𝑘) =𝑁!
𝑘! (𝑁 − 𝑘)!𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑁−𝑘, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑁. (1)
Dengan menggunakan limit di mana 𝑁 → ∞ dan 𝑝 → 0, diperoleh 𝑁𝑝 = 𝜇 > 0
dan 𝜇 konstan. Jika dilimitkan, sebaran 𝑋𝑁,𝑝 menjadi sebaran Poisson
𝐏(𝑋𝜇 = 𝑘) =𝑒−𝜇𝜇𝑘
𝑘!, 𝑘 = 0, 1, ….
(2)
Ini merupakan bentuk dari hukum kejadian langka atau disebut juga pendekatan
sebaran Poisson pada sebaran binomial. Jika 𝑁 besar dan 𝑝 kecil, peluang binomial
(1) dapat didekati dengan mengevaluasi peluang Poisson (2) dengan 𝜇 = 𝑁𝑝.
6
Jika peluang sukses pada setiap percobaan berubah-ubah, persamaan (2)
tidak dapat digunakan. Untuk menyelesaikannya, ambil peubah acak bebas
𝜖1, 𝜖2, … yang menyebar Bernoulli di mana
𝐏(𝜖𝑖 = 1) = 𝑝𝑖 dan 𝐏(𝜖𝑖 = 0) = 1 − 𝑝𝑖 ,
dan 𝑆𝑛 = 𝜖1 + ⋯ + 𝜖𝑛. Ketika 𝑝1 = 𝑝2 = ⋯ = 𝑝, maka 𝑆𝑛 menyebar Binomial
dan peluang 𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) dapat dihitung dengan mudah. Namun jika peluang 𝑝
tidak sama, peluangnya akan sulit untuk dihitung. Dengan menggunakan
persamaan binomial yang diperumum, maka
𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) = Σ(𝑘) ∏ 𝑝𝑖𝑥𝑖(1 − 𝑝𝑖)
1−𝑥𝑖 ,
𝑛
𝑖=1
(3)
di mana Σ(𝑘) menyatakan seluruh jumlah 0,1 dari 𝑥𝑖 sehingga 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑘
(Pinsky dan Karlin 2012). Teorema 1
Misalkan 𝜖1, 𝜖2, … peubah acak bebas Bernoulli di mana
𝐏(𝜖𝑖 = 1) = 𝑝𝑖 dan 𝐏(𝜖𝑖 = 0) = 1 − 𝑝𝑖 , dan 𝑆𝑛 = 𝜖1 + ⋯ + 𝜖𝑛. Peluang yang sebenarnya dari 𝑆𝑛, yang diperoleh dari
persamaan (3) dan peluang Poisson dengan 𝜇 = 𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑛 berbeda sebesar
|𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) −𝑒−𝜇𝜇𝑘
𝑘!| ≤ ∑ 𝑝𝑖
2
𝑛
𝑖=1
(4)
(Pinsky dan Karlin 2012).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Identifikasi Krisis Keuangan Indeks Saham DJIA dan Nikkei 225
Berikut dijelaskan krisis keuangan yang terjadi pada indeks saham DJIA
dan Nikkei 225 di mana data harga indeks saham tersebut diperoleh dari
finance.yahoo.com (Lampiran 1).
Dow Jones Industrial Average (DJIA)
Sejak tahun 1986-2015, harga indeks saham DJIA memiliki tren naik
kecuali terdapat tiga peristiwa yang menunjukan harga indeks saham DJIA jatuh
(Gambar 1). Hal ini disebabkan oleh peristiwa UU. Pertama disebabkan oleh Black
Monday, 19 September 1987. Harga indeks saham DJIA turun sebesar 22.6% dan
merupakan percentage loss harian terbesar. Hal ini memicu kekacauan pada pasar
saham dunia. Penyebab dari peristiwa ini masih belum diketahui dan dibutuhkan
waktu dua tahun sampai saham kembali normal. Setelah serangan teroris pada 11
September 2001, bursa saham Amerika tutup sampai 17 September 2001. Indeks
saham DJIA mengalami loss 7.1% pada hari pertama pembukaan kembali bursa
saham. Pada akhir minggu, indeks saham DJIA turun 1369.7 poin (14.6%).
7
Peristiwa UU ini membahayakan stabilitas keuangan DJIA di mana proses
pemulihan harga indeks saham DJIA membutuhkan waktu lebih dari tiga tahun
untuk dapat kembali seperti semula.
Pada krisis tahun 2008, telah diketahui ada tanda yang signifikan mengenai
overvaluation pada hipotek perumahan tetapi tidak ditanggapi dengan serius oleh
para investor. Alhasil, investment banker sekelas Lehman Brothers harus menutup
usahanya. Peristiwa UU pada 15 September 2008 ini menyebabkan indeks saham
DJIA mengalami kerugian harian sebesar 7.87% dan diikuti dengan kerugian besar
lainnya. Proses pemulihan harga indeks saham DJIA mencapai waktu tiga tahun.
Gambar 1 Pergerakan Harga Indeks Saham DJIA (1985-2015)
Nikkei 225
Selama 77 tahun (1914-1989) indeks saham Nikkei 225 menunjukkan
kondisi yang stabil. Bahkan Black Monday 1987 tidak menimbulkan krisis. Oleh
karena itu, indeks saham Nikkei 225 dianggap sebagai indeks saham paling stabil
di dunia. Namun pada 29 Desember 1989, sebuah peristiwa yang tidak diprediksi
terjadi yang menyebabkan harga indeks saham turun secara drastis (Gambar 2).
Penurunan sebesar 65% terus terjadi sampai 18 Agustus 1992. Hampir 25 tahun,
pemulihan harga indeks saham belum tercapai.
0
5.000.000.000
10.000.000.000
15.000.000.000
20.000.000.000
25.000.000.0003
0/1
2/1
985
30/1
2/1
987
30/1
2/1
989
30/1
2/1
991
30/1
2/1
993
30/1
2/1
995
30/1
2/1
997
30/1
2/1
999
30/1
2/2
001
30/1
2/2
003
30/1
2/2
005
30/1
2/2
007
30/1
2/2
009
30/1
2/2
011
30/1
2/2
013
30/1
2/2
015
Har
ga
(mil
yar
rup
iah)
Waktu
25
20
15
10
5
0
Har
ga
(mil
yar
rup
iah)
8
Gambar 2 Pergerakan Harga Indeks Saham Nikkei 225 (1987-2015)
Model Unpredictable Unknown
Peristiwa UU dapat dianggap sebagai suatu peristiwa langka. Misalkan
𝑁((𝑎, 𝑏]) menyatakan banyaknya kejadian peristiwa UU yang terjadi pada interval
waktu (𝑎, 𝑏]. Jika 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3 < ⋯ menyatakan waktu terjadinya suatu peristiwa,
maka 𝑁((𝑎, 𝑏]) adalah banyaknya peristiwa pada setiap 𝑡𝑖, 𝑎 < 𝑡𝑖 ≤ 𝑏. Ada beberapa dalil:
1. Banyak peristiwa yang terjadi pada interval yang terpisah/berbeda merupakan
peubah acak bebas. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑚 = 2, 3,… dan jika 𝑡0 = 0 <𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑚, maka peubah acak
𝑁((𝑡0, 𝑡1]), 𝑁((𝑡1, 𝑡2]), … , 𝑁((𝑡𝑚−1, 𝑡𝑚])
merupakan peubah acak yang saling bebas.
2. Untuk sebarang waktu 𝑡 dan bilangan positif ℎ, sebaran peluang 𝑁((𝑡, 𝑡 + ℎ]), banyak peristiwa yang terjadi pada interval (𝑡, 𝑡 + ℎ], hanya bergantung pada
interval ℎ dan tidak terhadap waktu 𝑡. 3. Terdapat konstanta positif 𝜆 untuk setiap peluang paling tidak terjadinya satu
peristiwa pada interval ℎ ialah
𝐏(𝑁((𝑡, 𝑡 + ℎ]) ≥ 1) = 𝜆ℎ + 𝑜(ℎ), ℎ ↓ 0.
4. Peluang terjadinya dua atau lebih suatu peristiwa pada interval ℎ ialah
𝐏(𝑁((𝑡, 𝑡 + ℎ]) ≥ 2) = 𝑜(ℎ), ℎ ↓ 0. Dalil 3 dan 4 merupakan rumusan dari peristiwa langka. Pada dalil 1
disebutkan bahwa selang waktu yang berbeda saling bebas dan dalil 2 menyatakan
bahwa sebaran dari 𝑁((𝑠, 𝑡]) sama dengan sebaran 𝑁((0, 𝑡 − 𝑠]). Untuk
menentukan hukum peluang dari sistem, terlebih dahulu tentukan sebaran peluang
dari 𝑁((0, 𝑡]) untuk sebarang nilai 𝑡, misalkan
𝐏𝑁(0,𝑡])(𝑘) = 𝐏(𝑁((0, 𝑡]) = 𝑘).
0
5.000.000.000
10.000.000.000
15.000.000.000
20.000.000.000
25.000.000.000
30.000.000.000
35.000.000.000
40.000.000.000
45.000.000.000
30/1
2/1
987
30/1
2/1
989
30/1
2/1
991
30/1
2/1
993
30/1
2/1
995
30/1
2/1
997
30/1
2/1
999
30/1
2/2
001
30/1
2/2
003
30/1
2/2
005
30/1
2/2
007
30/1
2/2
009
30/1
2/2
011
30/1
2/2
013
30/1
2/2
015
Har
ga
(mil
yar
rup
iah)
Waktu
45
40
35
30
15
10
5
25
20
0
Har
ga
(mil
yar
rup
iah)
9
Berdasarkan Dalil 1 sampai 4 di atas, akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑁((0,𝑡])(𝑘) adalah
fungsi massa peluang dari sebaran Poisson, yaitu
𝐏𝑁((0,𝑡])(𝑘) =𝑒−λt(λt)𝑘
𝑘!, 𝑘 = 0, 1, ….
(5)
Untuk membuktikan persamaan (5), bagi interval (0, 𝑡] menjadi 𝑛 subinterval yang
sama, yaitu ℎ =𝑡
𝑛, dan
𝜖𝑖 = {1, paling tidak terjadi satu peristiwa pada interval (
(𝑖 − 1)𝑡
𝑛,𝑖𝑡
𝑛]
0, selainnya.
Kemudian misalkan 𝑆𝑛 = 𝜖1 + ⋯ + 𝜖𝑛, maka berdasarkan Dalil 3
𝑝𝑖 = 𝐏(𝜖𝑖 = 1) = 𝜆𝑡/𝑛 + 𝑜(𝑡/𝑛).
Berdasarkan Teorema 1, diperoleh
|𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) −𝑒−𝜇𝜇𝑘
𝑘!| ≤ ∑ 𝑝𝑖
2
𝑛
𝑖=1
= 𝑛 [
𝜆𝑡
𝑛+ 𝑜 (
𝑡
𝑛)]
2
=
(𝜆𝑡)2
𝑛+ 2𝜆𝑡𝑜 (
𝑡
𝑛) + 𝑛𝑜 (
𝑡
𝑛)
2
(6)
di mana
𝜇 = ∑ 𝑝𝑖 =
𝑛
𝑖=1
𝜆𝑡 + 𝑜(𝑡/𝑛).
Karena 𝑜(ℎ) = 𝑜 (𝑡
𝑛) adalah periode yang lebih kecil dari ℎ =
𝑡
𝑛, dan 𝑛 sangat
besar, kita peroleh
𝑛𝑜 (𝑡
𝑛) = 𝑡
𝑜(𝑡/𝑛)
𝑡/𝑛= 𝑡
𝑜(ℎ)
ℎ.
Jika 𝑛 → ∞, maka ruas kanan pertidaksamaan (6) menuju nol dan
𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) =𝑒−𝜇𝜇𝑘
𝑘!
dengan 𝜇 = 𝜆𝑡.
Selanjutnya, perlu dibuktikan bahwa
lim𝑛→∞
𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘) = 𝐏( 𝑁((0, 𝑡]) = 𝑘) = 𝑃𝑁((0,𝑡])(𝑘).
Nilai 𝑆𝑛 tidak sama dengan 𝑁((0, 𝑡]) jika dan hanya jika terdapat paling tidak satu
subinterval yang mengandung dua atau lebih kejadian. Berdasarkan dalil 4, hal
tersebut tidak mungkin terjadi karena
|𝑃𝑁((𝑜,𝑡])(𝑘) − 𝐏(𝑆𝑛 = 𝑘)| ≤ 𝐏(𝑁((0, 𝑡]) ≠ 𝑆𝑛)
= ∑ 𝐏(𝑁((𝑖 − 1)𝑡/𝑛, 𝑖𝑡/𝑛] ≥ 2)
𝑛
𝑖=1
10
= 𝑛𝑜 (
𝑡
𝑛) (7)
Ruas kanan pada pertidaksamaan (7) akan menuju nol saat 𝑛 → ∞. Dengan membuat 𝑛 sangat besar atau membagi interval (0, 𝑡] menjadi
subinterval sangat kecil, maka dapat diperoleh
𝐏( 𝑁((0, 𝑡]) = 𝑘) =𝑒−λt(λt)𝑘
𝑘!, 𝑘 = 0, 1, …
Dengan demikian, berdasarkan dalil 1 sampai 4, peristiwa UU dapat dimodelkan
dengan proses Poisson.
Proses Poisson menjelaskan peristiwa dengan parameter 𝜆 yang tetap.
Peluang proses Poisson ialah
P(𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 𝑘) =𝑒−𝜆𝜏(𝜆𝜏)𝑘
𝑘!, 𝑘 = 0, 1, … (8)
di mana 𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 𝑘 adalah banyaknya kejadian pada selang waktu
[𝑡, 𝑡 + 𝜏], 𝜆 adalah banyaknya jump yang terjadi per satuan waktu. Nilai harapan
dan ragam dari proses Poisson pada persamaan (8) ialah
𝐸 (𝑁((0, 𝑡])) = Var (𝑁((0, 𝑡])) = 𝜆𝜏, 0 < 𝜆 < 1.
Pada karya ilmiah ini dibahas mengenai pemodelan peristiwa UU
menggunakan proses Poisson dengan fungsi intensitas acak. Hal ini cukup berbeda
dengan proses Poisson nonhomogen dengan parameter 𝜆(𝑡) yang diasumsikan
bergantung terhadap waktu. Fungsi intensitas yang digunakan tidak tetap ataupun
tidak bergantung terhadap waktu. Intensitas dari peristiwa ini haruslah sangat
rendah. Oleh karena itu, parameter dapat diperoleh dari sebaran eksponensial
dengan nilai parameter 𝜆 yang mendekati nol. Nilai 𝜆 yang sangat kecil digunakan
untuk memodelkan UU yang tidak diprediksi. Jika nilai 𝜆 tetap atau mengikuti pola
tertentu, maka akan terjadi kontradiksi dengan definisi UU. Berdasarkan fungsi
massa peluang dari sebaran Poisson, walaupun nilai 𝜆 dan 𝜏 (panjang interval)
sangat kecil, untuk 𝑘 = 0 (tidak ada UU) kita peroleh
P(𝑁(𝑠 + 𝑡) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =𝑒−𝜆𝑡(λ𝑡)𝑘
𝑘!=
𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)0
0!= 𝑒−𝜆𝑡 ≠ 1. (9)
Prediksi Peristiwa Unpredictable Unknown
Fluktuasi harga saham sangat berpengaruh pada stabilitas keuangan.
Pergerakan harga yang cenderung turun dapat menyebabkan memburuknya
keuangan suatu negara atau bisa juga disebut krisis keuangan. Pada proses stokastik,
krisis keuangan biasa disebut sebagai jumps. Di bidang keuangan, mean
reversion adalah asumsi bahwa harga saham akan cenderung bergerak ke harga
rata-rata dari waktu ke waktu. Proses mean reverting dianggap hal yang penting di
mana standar untuk model ini adalah proses Ornstein-Uhlenbeck (OU), yaitu
𝑑𝑋𝑡 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡. (10)
Dengan membagi interval [0, 𝑇] menjadi 𝑁 subinterval yang sama, dengan lebar
∆𝑡 > 0, maka diperoleh
11
𝑋𝑡+1 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)∆𝑡 + 𝜎∆𝑊𝑡 (11)
dengan
∆𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖,
∆𝑊𝑡 = 𝑊𝑡𝑖+1− 𝑊𝑡𝑖
= 𝜀𝑡√𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
di mana 𝜀𝑡 menyebar normal dan persamaan (11) merupakan diskretisasi Euler-
Maryuama dari proses OU pada saat 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖, 𝑖 ∊ ℝ.
Misal
𝑐 = 𝜃𝜇∆𝑡, 𝑎 = −𝜃∆𝑡,
𝑏 = 𝜎√∆𝑡, maka berdasarkan Definisi 19, di peroleh persamaan AR(1) sebagai berikut
𝑋𝑡+1 = 𝜃(𝜇 − 𝑋𝑡)(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) + 𝜎𝜀𝑡√𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 . (12)
Persamaan (12) dapat digunakan untuk memprediksi peristiwa UU.
Simulasi
Pada karya ilmiah ini, dilakukan simulasi untuk mendeteksi kemungkinan
terjadinya peristiwa UU pada indeks saham DJIA dan Nikkei 225 untuk seratus hari
ke depan. Simulasi ini menggunakan program yang terdapat pada Lampiran 1 dan
Lampiran 2. Nilai awal indeks saham untuk indeks saham DJIA dan Nikkei 225
diasumsikan bernilai 100 000 000 000.
Simulasi harga indeks saham DJIA
Berdasarkan hasil identifikasi terhadap indeks saham DJIA ditemukan tiga
peristiwa UU dalam jangka waktu 8000 hari. Akan diprediksi peristiwa UU untuk
100 hari ke depan, maka
𝜆 =3×100
8000= 0.0375.
Peluang terjadinya sebuah UU (k = 1) dalam periode ini ialah
P(𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 1) =𝑒− 0.0375(0.0375)1
1!= 0.036.
Pengaruh UU dapat dilihat dari sebaran eksponensial dengan parameter 𝜆 =0.0375. Dengan peluang 0.036 dapat dilihat penurunan yang tajam sebesar 12.7%
pada hari ke-66 dari 92.77 ke 80.97 (Gambar 3).
12
Gambar 3 Kemungkinan UU pada indeks saham DJIA
Simulasi harga indeks saham Nikkei 225
Berdasarkan hasil identifikasi terhadap indeks saham Nikkei 225,
ditemukan satu UU dalam jangka waktu 8000 hari. Akan diprediksi peristiwa UU
untuk 100 hari kedepan, maka
𝜆 =1×100
8000= 0.0125.
Peluang terjadinya sebuah UU (k = 1) dalam periode ini ialah
P(𝑁(𝑡 + 𝜏) − 𝑁(𝑡) = 1) =𝑒− 0.0125(0.0125)1
1!= 0.012.
Pengaruh UU dapat dilihat dari sebaran eksponensial dengan parameter 𝜆 =0.0175. Dengan peluang 0.012 dapat dilihat penurunan yang tajam sebesar 29.7%
pada hari ke-68 dari 96.78 ke 68.24 (Gambar 4).
75
80
85
90
95
100
105
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
Har
ga
(mil
yar
rup
iah)
Waktu
13
Gambar 4 Kemungkinan UU pada indeks saham Nikkei 225
SIMPULAN
Setelah melakukan identifikasi terhadap pergerakan harga indeks saham
DJIA dan indeks saham Nikkei 225 diperoleh informasi bahwa indeks saham DJIA
mengalami peristiwa UU sebanyak tiga kali, yaitu Black Monday tahun 1987,
serangan teroris tahun 2001, dan peristiwa pada tahun 2008, sedangkan pada indeks
saham Nikkei 225 mengalami peristiwa UU sebanyak satu kali, yaitu peristiwa pada
tahun 1989. Peristiwa UU dapat dimodelkan menggunakan proses Poisson dengan
intensitas fungsi acak. Untuk melakukan peramalan peristiwa UU dapat digunakan
proses AR(1). Berdasarkan hasil simulasi dapat dilihat bahwa dalam 100 hari ke
depan, indeks saham DJIA akan mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-66
dengan peluang sebesar 0.036, sedangkan indeks saham Nikkei 225 akan
mengalami sebuah peristiwa UU pada hari ke-68 dengan peluang sebesar 0.0175.
DAFTAR PUSTAKA
Dunbar SR. 2016. Stochastic Processes and Advanced Mathematical Finance.
Linconl (US): University of Nebraska-Lincoln Press.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-3. New York (US):
Prentice Hall.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall.
65
70
75
80
85
90
95
100
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
Har
ga
(mil
yar
rup
iah)
Waktu
14
Ilalan D. 2015. A Poisson process with random intensity for modeling financial.
Span Rev FinancEcon. 41:1-8. doi.org/10.1016/j.srfe.2015.10.001.
Montgomery DC, Jennings CL, Kulahci M. 2008. Introduction to Time Series
Analysis and Forcasting. New York (US): John Wiley & Sons.
Pinsky MA, Karlin S. 2012. An Introduction to Stochastic Modelling. Ed Ke-4.
Oxford (UK): Elsevier.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. Orlando (US):
Academic Press Inc.
15
Lampiran 1 Indeks saham DJIA dan Nikkei 225
Indeks Saham DJIA Indeks Saham Nikkei 225
Waktu Harga
Waktu Harga
29/01/1985 1 292 619 995 06/01/1986 13054
30/01/1985 1 287 880 005 07/01/1986 12991
31/01/1985 128 677 002 08/01/1986 13056
01/02/1985 1 277 719 971 09/01/1986 13034
04/02/1985 1 290 079 956 10/01/1986 12898
05/02/1985 128 522 998 13/01/1986 12977
06/02/1985 1 280 589 966 14/01/1986 12929
07/02/1985 1 290 079 956 16/01/1986 13027
08/02/1985 1 289 969 971 17/01/1986 13010
11/02/1985 1 276 060 059 20/01/1986 12952
12/02/1985 1 276 609 985 21/01/1986 12882
13/02/1985 1 297 920 044 22/01/1986 12923
14/02/1985 1 287 880 005 23/01/1986 12889
15/02/1985 128 202 002 24/01/1986 12904
19/02/1985 1 280 589 966 27/01/1986 12983
. . . .
. . . .
. . . .
17/06/2004 10 377 519 531 03/09/2001 10 409 679 688
18/06/2004 10 416 410 156 04/09/2001 10 772 589 844
21/06/2004 10 371 469 727 05/09/2001 10 598 790 039
22/06/2004 10 395 070 312 06/09/2001 10 650 330 078
23/06/2004 10 479 570 312 07/09/2001 10 516 790 039
. . . .
. . . .
. . . .
17/12/2015 17 495 839 844 16/12/2015 19 049 910 156
18/12/2015 17 128 550 781 17/12/2015 19 353 560 547
21/12/2015 17 251 619 141 18/12/2015 18 986 800 781
22/12/2015 17 417 269 531 21/12/2015 18 916 019 531
23/12/2015 17 602 609 375 22/12/2015 18 886 699 219
24/12/2015 17 552 169 922 24/12/2015 18 789 689 453
28/12/2015 17 528 269 531 25/12/2015 18 769 060 547
29/12/2015 17 720 980 469 28/12/2015 18 873 349 609
30/12/2015 17 603 869 141 29/12/2015 18 982 230 469
31/12/2015 17 425 029 297 30/12/2015 19 033 710 938
16
Lampiran 2 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU
pada DJIA
clear all; clc; T = 100; lambda=input('lambda = '); lambda=random('Exponential',0.0375) e=random('Exponential',1/lambda,T,1) Q(1) = 100; x=round(rand(1)*T); y=round(rand(1)*T); z=min(x,y) w=max(x,y) for i=1:z Q(i+1) = Q(i)+0.0375*randn; end for i=z:w if e(i)<lambda Q(i+1) = Q(i)+0.0375*randn-random('Exponential',1/lambda); else Q(i+1) = Q(i)+0.0375*randn; end Q(w)=Q(i); for i=w:T Q(i+1) = Q(i); end end
17
Lampiran 3 Program untuk menentukan kemungkinan terjadinya peristiwa UU
pada Nikkei 225
clear all; clc; T = 100; lambda=input('lambda = '); lambda=random('Exponential',0.0175) e=random('Exponential',1/lambda,T,1) Q(1) = 100; x=round(rand(1)*T); y=round(rand(1)*T); z=min(x,y) w=max(x,y) for i=1:z Q(i+1) = Q(i)+0.0175*randn; end for i=z:w if e(i)<lambda Q(i+1) = Q(i)+0.0175*randn-random('Exponential',1/lambda); else Q(i+1) = Q(i)+0.0175*randn; end Q(w)=Q(i); for i=w:T Q(i+1) = Q(i); end end
18
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Vionamita Shara lahir di Kabupaten Tanah Datar
pada tanggal 31 Maret 1995 dari Ayah Taufik dan Ibu Rusmiyati. Penulis adalah
putri kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2013 penulis lulus dari SMA Negeri 1
Batusangkar dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan
yaitu sebagai staf Infokom Gumatika IPB pada tahun 2014/2016. Penulis juga aktif
pada komunitas perkusi Gumatika, yaitu Gumakusi. Bersama Gumakusi, penulis
pernah menjuarai beberapa lomba perkusi, seperti SPIRIT FMIPA dan IAC. Selain
itu, penulis juga pernah meraih juara pada Olimpiade Mahasiswa IPB cabang catur.