0
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Matematika SMA Kelas XII Semester 1 Kurikulum 2013
Topik : Induksi Matematika
Disusun oleh:
Nur Ayu Istiqomah
Mahasiswa PPP 2015
Pendidikan Matematika
Universitas Negeri Surabaya
DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
SMA NEGERI 7 SURABAYA
2015
1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XII/I
Materi Pokok : Induksi Matematika
Alokasi Waktu : 12 JP (6 Pertemuan)
I. Kompetensi Inti
KI 1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya
KI 2 Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong
royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan
sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara
efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai
cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
KI 3 Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual,
konseptual, procedural dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian,
serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri secara efektif
dan kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
II. Kompetensi Dasar
1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2.1 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat dalam bekerja
menyelesaikan masalah kontekstual.
3.5 Mendekripsikan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam membuktikan
rumus jumlah deret persegi dan kubik.
4.5 Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menyelesaikan masalah induksi
matematika dalam membuktikan rumus jumlah deret persegi dan kubik.
III. Indikator
1.1.1 Menjawab salam sebelum dan sesudah pembelajaran dimulai.
2.1.1 Menunjukkan perilaku kritis dalam mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan
pendapat selama proses pembelajaran.
2
2.1.2 Menunjukkan perilaku disiplin selama proses pembelajaran.
3.5.1 Mengamati dan menemukan pola induksi matematis.
3.5.2 Menyebutkan dan menggunakan prinsip induksi matematis dengan tepat
3.5.3 Menyebutkan dan menggunakan prinsip induksi matematis kuat dengan tepat
4.5.1 Membuktikan suatu pernyataan menggunakan induksi matematis.
IV. Materi Ajar
Induksi Matematika
V. Pembelajaran
Pendekatan : Saintifik (Scientific Approach)
Model : Pembelajaran Kooperatif
VI. Sumber Pembelajaran
Buku Siswa Matematika SMA/MA Kelas XII Semester 1 Kurikulum 2013 (2015)
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
VII. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan ke-1
Pembelajaran Kooperatif Tipe TPS (Think Pair Share)
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan
1. Guru memberikan salam kepada siswa.
2. Guru mengecek kehadiran siswa.
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan
dapat dicapai siswa.
4. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya
mempelajari induksi matematika.
Ilustrasi :
Penalaran induktif dan deduktif adalah dua cara mengambil
kesimpulan. Jika penalaran deduktif berangkatnya dari
sesuatu yang berlaku secara umum ke sesuatu yang khusus,
penalaran induktif justru sebaliknya. Penalaran induktif
diperoleh dari menyimpulkan kasus-kasus. Penalaran
5 menit
3
induktif biasanya digunakan untuk mengembangkan
pengetahuan yang bersifat empiris, dan penalaran deduktif
biasanya digunakan untuk mengembangkan pengetahuan
yang bersifat abstrak. Namun demikian, dua cara ini perlu
dimiliki siswa yang sedang belajar, termasuk belajar
matematika. Dengan penalaran induktif, siswa akan sampai
pada suatu pernyataan yang dikenal dengan istilah
konjektur (dalam bahasa Inggris disebut conjecture) yang
belum tentu benar secara mutlak. Dengan penalaran
deduktif, kebenaran yang diperoleh merupakan kebenaran
mutlak. Bagaimana dengan induksi matematis, apakah ini
termasuk penalaran induktif atau deduktif? Mari kita
perhatikan contoh-contoh berikut.
Kegiatan
Inti
Fase 2. Menyajikan Informasi
5. Siswa diajak untuk mengamati Contoh 3.1, Contoh 3.2,
Contoh 3.3, dan Contoh 3.4 pada buku siswa. (Mengamati)
6. Siswa diminta untuk mencatat hal-hal penting dalam
masing-masing contoh khususnya terkait dengan penalaran
induktif. Siswa juga diajak untuk mengenali induksi
matematis sebagai salah satu penalaran deduktif.
7. Dari hasil pengamatan siswa diminta untuk membuat
beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan induksi
matematis. (Think)
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompok-
kelompok Belajar
8. Siswa diminta berpasangan dengan teman sebangkunya.
(Pair)
9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan
yang telah mereka buat.
10. Beberapa kelompok diminta untuk menyampaikan
pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka diskusikan.
11. Pertanyaan-pertanyaan yang dibuat siswa ditulis di papan
tulis kemudian pertanyaan-pertanyaan tersebut diarahkan ke
pertanyaan-pertanyaan berikut
Apa sebenarnya induksi matematis itu?
Apa bedanya induksi matematis dengan penalaran induktif
yang biasa kita kenal itu?
Ada berapa macam prinsip induksi matematis?
Untuk hal yang bagaimana induksi matematis itu
digunakan?
75
menit
4
Mengapa induksi matematis bisa diterima sebagai prinsip
pembuktian yang valid dalam matematika (penalaran
deduktif)?
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
12. Setiap pasangan diminta untuk berdiskusi dalam menjawab
pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka buat, khususnya
dalam menjawab apa itu induksi matematis dengan
membaca buku siswa halaman 135-136. (Mengeksplorasi)
13. Siswa dibimbing dalam memahami bahwa cara kerja
induksi matematis secara intuisi sesungguhnya bekerja pada
semua bilangan asli n.
14. Setelah mendapatkan informasi cara kerja induksi
matematis, siswa diminta untuk berdiskusi dengan
pasangannya mengenai pertanyaan pada kegiatan Ayo
Menalar pada buku siswa. (Mengasosiasi)
15. Guru meminta siswa menuliskan hasil diskusinya pada
selembar kertas dan mengumpulkannya setelah selesai
mengerjakannya.
Fase 5. Evaluasi
16. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan
kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain
dipersilahkan untuk menanggapinya.
(Mengkomunikasikan) (Share)
17. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga
diperoleh kesimpulan yang seragam.
18. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru
melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap.
Fase 6. Memberikan Penghargaan
19. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa
tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan
hasil diskusinya.
Penutup
20. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah
dipelajari.
21. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan
selanjutnya yaitu tentang “Prinsip Induksi Matematika”
10
menit
Pertemuan ke-2
5
Pembelajaran Kooperatif
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan
1. Guru memberikan salam kepada siswa.
2. Guru mengecek kehadiran siswa.
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan
dapat dicapai siswa.
4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah
dipelajari di pertemuan sebelumnya.
5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya
mempelajari prinsip induksi matematika.
5 menit
Kegiatan
Inti
Fase 2. Menyajikan Informasi
6. Siswa diajak untuk mengamati dan memahami Contoh 3.5,
Contoh 3.6 dan Contoh 3.7 pada buku siswa. (Mengamati)
7. Dari hasil pengamatan siswa diminta untuk membuat
beberapa pertanyaan yang berkaitan pembuktian pernyataan
yang menggunakan prinsip induksi matematis. Salah satu
pertanyaan yang diharapkan muncul dari siswa adalah
“bagaimana langkah – langkah pembuktian dalam induksi
matematis?” (Menanya)
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompok-
kelompok Belajar
8. Siswa diminta untuk membentuk kelompok-kelompok
dengan anggota masing-masing kelompok 3-4 orang.
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan
yang telah mereka buat.
10. Siswa diajak untuk memahami prinsip induksi matematis,
maupun prinsip induksi matematis yang diperluas
berdasarkan contoh yang diberikan sebelumnya.
(Mengeksplorasi)
11. Untuk lebih memperjelaskan tentang prinsip induksi
matematis, siswa diajak untuk mencermati ilustrasi prinsip
induksi matematis melalui gambar kartu remi pada buku
siswa halaman 145. (Mengeksplorasi)
12. Setiap kelompok diminta untuk mendiskusikan pertanyaan:
(Mengasosiasi)
a. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan
75
menit
6
menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu
pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n?
b. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan
menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas
bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan
asli n m, untuk suatu bilangan asli m?
13. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam
diskusi kelompok.
Fase 5. Evaluasi
14. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan
kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain
dipersilahkan untuk menanggapinya.
(Mengkomunikasikan)
15. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga
diperoleh kesimpulan yang seragam.
16. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru
melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap.
Fase 6. Memberikan Penghargaan
17. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa
tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan
hasil diskusinya.
Penutup
18. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah
dipelajari.
19. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan
selanjutnya yaitu tentang “Penerapan Induksi Matematis”
10
menit
Pertemuan ke-3
Pembelajaran kooperatif TPS (Think Pair Share)
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan
1. Guru memberikan salam kepada siswa.
2. Guru mengecek kehadiran siswa.
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan
dapat dicapai siswa.
4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah
dipelajari di pertemuan sebelumnya.
5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya
5 menit
7
mempelajari penerapan induksi matematis.
Kegiatan
Inti
Fase 2. Menyajikan Informasi
6. Siswa diajak mengamati langkah-langkah pembuktian
dengan prinsip induksi matematis pada Contoh 3.8, 3.9, dan
3.10 pada buku siswa. (Mengamati)
7. Siswa dipandu membuat pertanyaan yang berkenaan dengan
langkah-langkah pembuktian dalam penerapan induksi
matematis dalam pembutian. (Menanya) (Think)
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompok-
kelompok Belajar
8. Siswa diminta untuk berpasangan dengan teman
sebangkunya. (Pair)
9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan –
pertanyaan yang telah mereka buat.
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
10. Siswa dipandu dalam mengumpulkan informasi dengan
memberikan soal dan buktinya. (Mengeksplorasi)
(Lampiran 5)
11. Siswa diminta untuk mengerjakan kegiatan “Ayo Menalar”
di buku siswa. (Mengasosiasi)
12. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam
diskusi kelompok.
Fase 5. Evaluasi
13. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan
kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain
dipersilahkan untuk menanggapinya.
(Mengkomunikasikan) (Share)
14. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga
diperoleh kesimpulan yang seragam.
15. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru
melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap.
16. Guru memberikan tes tulis individu kepada siswa.
Fase 6. Memberikan Penghargaan
17. Setelah pengerjaan tes tulis selesai, guru mengumumkan
hasil diskusi kelompok terbaik.
18. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa
tepuk tangan kepada kelompok terbaik.
75
menit
8
Penutup
19. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah
dipelajari.
20. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan
selanjutnya yaitu tentang “Prinsip Induksi Matematis Kuat”
10
menit
Pertemuan ke-4
Pembelajaran Kooperatif TPS (Think Pair Share)
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan
1. Guru memberikan salam kepada siswa.
2. Guru mengecek kehadiran siswa.
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan
dapat dicapai siswa.
4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah
dipelajari di pertemuan sebelumnya.
5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya
mempelajari induksi matematika.
Ilustrasi :
Prinsip induksi matematis kuat ini perlu dikembangkan
karena ternyata, dengan prinsip induksi matematis yang ada
tersebut, terdapat beberapa pernyataan benar yang tidak
bisa dibuktikan.
5 menit
Kegiatan
Inti
Fase 2. Menyajikan Informasi
6. Siswa diminta untuk mengamati tentang prinsip induksi
matematis kuat pada contoh 3.11 di buku siswa.
(Mengamati)
7. Siswa dipandu membuat pertanyaan yang berkenaan dengan
induksi matematis kuat. (Menanya) (Think)
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompok-
kelompok Belajar
8. Siswa diminta untuk berpasangan dengan teman
sebangkunya. (Pair)
9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan –
pertanyaan yang telah mereka buat.
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
10. Siswa diminta untuk membaca informasi tentang prinsip
induksi matematis kuat dan induksi matematis kuat yang
75
menit
9
diperluas. Selanjutnya juga diminta untuk membaca
langkah-langkah dimana ditunjukkan secara induktif bahwa
induksi matematis kuat ekuivalen dengan induksi matematis,
yaitu diperoleh kesimpulan yang sama bahwa P(n) benar
untuk semua bilangan asli n. (Mengeksplorasi)
11. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan
pada kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa.
(Mengasosiasi) 12. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam
diskusi kelompok.
Fase 5. Evaluasi
13. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan
kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain
dipersilahkan untuk menanggapinya.
(Mengkomunikasikan)(Share)
14. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga
diperoleh kesimpulan yang seragam.
15. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru
melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap.
Fase 6. Memberikan Penghargaan
16. Guru meminta siswa untuk memberikan apresiasi berupa
tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan
hasil diskusinya.
Penutup
17. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah
dipelajari.
18. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan
selanjutnya yaitu tentang “Penerapan Prinsip Induksi
Matematis Kuat”
10
menit
Pertemuan ke-5
Pembelajaran Kooperatif
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan
1. Guru memberikan salam kepada siswa.
2. Guru mengecek kehadiran siswa.
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan
dapat dicapai siswa.
4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah
dipelajari di pertemuan sebelumnya.
5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya
5 menit
10
mempelajari penerpan prinsip induksi matematis kuat.
Kegiatan
Inti
Fase 2. Menyajikan Informasi
6. Siswa diajak mengamati penerapan induksi matematis kuat
pada Kegiatan 3.2.1 dan 3.2.2. Siswa diminta mengamati
langkah-langkah perbuktian yang dilakukan, dan
membandingkan dengan langkah-langkah pada induksi
matematis. (Mengamati)
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompok-
kelompok Belajar
7. Siswa diminta untuk membentuk kelompok yang masing-
masing terdiri dari 3-4 siswa.
8. Setiap kelompok diminta untuk membuat pertanyaan yang
berhubungan dengan induksi matematis dan induksi
matematis kuat. (Menanya)
9. Pertanyaan yang telah dibuat siswa ditulis di papan tulis dan
diarahkan agar pertanyaan berhubungan tentang perbedaan
prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis
kuat..
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
10. Siswa diajak untuk membandingkan prinsip induksi
matematis dan prinsip induksi matematis kuat. Khususnya
pembuktian pada langkah induksi. (Mengeksplorasi)
11. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam
membandingkan kedua prinsip induksi tersebut.
12. Selanjutnyadengan membandingkan kedua prinsip induksi
tersebut dan dengan melihat penggunaan prinsip induksi
tersebut dalam menyelesaikan soal, siswa diajak untuk
memperoleh informasi kapan prinsip induksi kuat digunakan
dalam pembuktian suatu pernyataan. (Mengeksplorasi)
13. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan
pada kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa.
(Mengasosiasi) 14. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam
diskusi kelompok.
Fase 5. Evaluasi
15. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan
kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain
dipersilahkan untuk menanggapinya.
(Mengkomunikasikan) 16. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga
diperoleh kesimpulan yang seragam.
75
menit
11
17. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru
melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap.
18. Guru memberikan tes tulis kepada siswa.
Fase 6. Memberikan Penghargaan
19. Guru meminta siswa untuk memberikan apresiasi berupa
tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan
hasil diskusinya.
Penutup
20. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah
dipelajari.
21. Guru meminta siswa untuk mempersiapkan ulangan harian
di pertemuan selanjutnya.
10
menit
Pertemuan ke-6
Ulangan harian
A. Penilaian
1. Teknik penilaian
Lembar Pengamatan Penilaian Sikap, Tes Tertulis.
2. Prosedur penilaian
Nmr. Aspek yang dinilai Teknik penilaian Waktu
penilaian
1 Spiritual:
Menjawab Salam Pengamatan
Sebelum dan
sesudah
pelajaran
2
Sikap :
Kritis dan Disiplin
Pengamatan
Kegiatan inti
3 Pengetahuan matematika Lembar Kerja Siswa Kegiatan inti
4 Keterampilan matematka Tes Tertulis Kegiatan inti
3. Instrumen penilaian
a. Instrumen Penilaian Spiritual
Lembar Pengamatan (Lampiran 1)
b. Instrumen Penilaian Sikap
Lembar Pengamatan Penilaian Sikap (Lampiran 2)
c. Instrumen penilaian pengetahuan matematika
Pertemuan ke-1 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 3)
12
Pertemuan ke-2 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 4)
Pertemuan ke-3 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 6)
Pertemuan ke-4 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 8)
Pertemuan ke-5 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 9)
d. Instrumen penilaian keterampilan matematika
Pertemuan ke-3 : tes tulis (lampiran 7)
Pertemuan ke-5 : tes tulis (lampiran 10)
Surabaya,……………….2015
Mengetahui, Kepala SMAN 7 Surabaya
(Drs. R. Achmad Djunaidi, M.Pd.)
NIP. 196412111989031014
Guru Mapel Matematika
( …………………………… )
NIP.
13
Lampiran 1
LEMBAR PENGAMATAN SPIRITUAL
Spiritual (Menjawab salam Sebelum dan Sesudah Proses Pembelajaran)
Indikator sikap spiritual adalah sebagai berikut
SB = Menjawab salam secara lengkap sebelum dan sesudah pembelajaran
B = Menjawab salam sebelum dan sesudah pembelajaran
C = Menjawab salam sebelum atau sesudah pembelajaran saja
KB = Tidak menjawab salam sama sekali
Bubuhkan tanda cek (√) pada kolom berikut
Nmr. Nama Siswa SB B C KB
Keterangan
Sangat Baik = (SB)
Baik = (B)
Cukup = (C)
Kurang = (K)
14
Lampiran 2
LEMBAR PENGAMATAN SIKAP
Sikap yang dikembangkan dalam proses pembelajaran adalah kritis dan disiplin.
Indikator penilaian terhadap sikap kritis.
Skor 4 jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat lebih dari 2 kali
Skor 3 jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat 2 kali
Skor 2 jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat 1 kali
Skor 1 jika tidak pernah mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat sama
sekali.
Indikator penilaian terhadap sikap disiplin.
Skor 4 jika datang ke kelas tepat waktu dan mengumpulkan tugas tepat waktu
Skor 3 jika datang ke kelas tepat waktu atau mengumpulkan tugas tepat waktu
Skor 2 jika datang ke kelas tidak tepat waktu dan mengumpulka tugas tidak tepat waktu
Skor 1 jika tidak hadir dan tidak mengumpulkan tugas.
Berilah tanda cek (√) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan
Nmr. Nama Siswa Kritis Disiplin
4 3 2 1 4 3 2 1
Keterangan:
Sangat Baik (SB) : Skor 4 Baik (B) : Skor 3
Cukup (C) : Skor 2 Kurang (K) : Skor 1
15
Lampiran 3
Pertemuan ke-1
Pedoman Penskoran dan Alternatif Jawaban
Pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n, apabila pernyataan P(n) yang berkenaan
dengan semua bilangan asli n, dan memenuhi dua sifat: (Skor 1)
a. P(1) benar (Skor 1)
b. Untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. (Skor 2)
16
Lampiran 4
Pertemuan ke-2
Diskusikan jawaban dari pertanyaan berikut dengan kelompokmu!
a. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi
matematis bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n?
b. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi
matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan
asli n m, untuk suatu bilangan asli m?
Alternatif jawaban dan pedoman penskoran :
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa
suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:
1. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 2)
2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka
P(k+1) juga benar. (Skor 2)
3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 2)
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang
diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah
sebagai berikut:
1. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 2)
2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka
P(k+1) juga benar. (Skor 2)
3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m. (Skor 2)
Nilai =
17
Lampiran 5
Pertemuan ke-3
Contoh soal dibuktikan bersama siswa
18
Lampiran 6
Pertemuan Ke-3
Alternatif jawaban
Terdapat 3 langkah yang digunakan dalam pembuktian itu, yaitu
1. Langkah Dasar, 2.angkah Induksi, dan 3. Kesimpulan
a. Langkah Pertama (Dasar), membuktikan bahwa P(1) benar untuk induksi matematis
atau P(m) benar untuk induksi matematis yang diperluas. (Skor 3)
b. Langkah Kedua (Induksi)
Untuk induksi matematis, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila
P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. Untuk induksi matematis yang diperluas,
membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka P(k +
1) juga benar. (Skor 3)
c. Kesimpulan
Untuk induksi matematis, menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli
n Untuk induksi matematis yang diperluas, menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk
semua bilangan asli n m untuk suatu bilangan asli m. (Skor 3)
Nilai =
19
Lampiran 7
Pertemuan ke-3
Tes tulis
20
ALTERNATIF JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN TES TULIS
PERTEMUAN KE-3
Nmr. Jawaban Skor
1. Generalisasi
a. Banyak persegi
- Banyak persegi terbesar (4×4) =1
- Banyak persegi (3 × 3) = 4
- Banyak persegi (2×2) = 9
- Banyak persegi (1×1) = 16
Jadi banyak pesergi yang ditemukan = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
20
b. Banyak persegi panjang
- Banyak persegi panjang (4×4) =1
- Banyak persegi panjang (4×3 atau 3×4) = 4
- Banyak persegi panjang (4×2 atau 2×4) = 6
- Banyak persegi panjang (4×1 atau 1×4) = 8
- Banyak persegi panjang (3×3) = 4
- Banyak persegi panjang (3×2 atau 2×3) = 12
- Banyak persegi panjang (3×1 atau 1×3) = 16
- Banyak persegi panjang (2×2) = 9
- Banyak persegi panjang (2×1 atau 1×2) = 24
- Banyak persegi panjang (1×1) = 16
Jadi banyak persegi panjang = 1 + 4 + 6+ 8 + 4 + 12 + 16 + 9 + 24 + 16
= 70.
20
2. a. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar.
Artinya 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k = k(k + 1).
Akan ditunjukkan P(k + 1) benar.
Perhatikan bahwa
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) + (k + 2).
Jadi P(k + 1) benar.
20
b.Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar.
Artinya 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k-1
= 2k - 1.
Akan ditunjukkan P(k + 1) benar. Perhatikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + ... +
2k-1
+ 2(k-1)-1
= 2k -1 + 2k = 2.2
k -1
= 2k-1
-1
Jadi P(k + 1) benar.
20
c.Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar. 20
21
Artinya 12 + 22 + 32 + ... + k2 =
Akan ditunjukkan P(k + 1) benar.
Perhatikan bahwa
12 + 2
2 + 3
2 + ... + k
2 + (k + 1)
2 =
=
(k+2)(2k+3) =
Jadi P(k + 1) benar.
Skor total 100
Nilai =
22
Lampiran 8
Pertemuan Ke-4
Alternatif jawaban dan pedoman penskoran
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat bahwa
suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:
1. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3)
2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2), …, P(k) benar,
maka P(k+1) juga benar. (Skor 3)
3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3)
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat yang
diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah sebagai
berikut:
1. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 3)
2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabilaP(m), P(m+1), …, P(k)
benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3)
3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3)
Nilai =
23
Lampiran 9
Pertemuan Ke-5
Alternatif Jawaban dan Pedoman Penskoran
1. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa
suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:
a. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3)
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k+1)
juga benar. (Skor 3)
c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3)
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang
diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah
sebagai berikut:
a. Membuktikan bahwa P(m) benar (Skor 3)
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka
P(k+1) juga benar. (Skor 3)
c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m. (Skor 3)
2. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat
bahwa suatu pernyataanP(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:
a. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3)
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2), …,P(k) benar, maka
P(k+1) juga benar. (Skor 3)
c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3)
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat
yang diperluas, bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m
adalah sebagai berikut:
a. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 3)
24
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabila P(m), P(m+1), …, P(k)
benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3)
c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3)
3. Induksi matematis kuat digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan
P(k+1) benar tidak hanya memerlukan kebenaran P(k) tetapi juga kebenaan P(n)
untuk n sebelum k. Sedangkan induksi matematis digunakan apabila dalam langkah
pembuktian pernyataan P(k+1) benar hanya memerlukan kebenaran P(k). (Skor 4)
Nilai =
25
Lampiran 10
Pertemuan ke-5
Tes Tulis
26
Lampiran 11
Tabel Konversi Nilai
Nilai Ketuntasan Pengetahuan dan
Keterampilan
Rentang Angka Huruf
3,85 – 4,00 A
3,51 – 3,84 A-
3,18 – 3,50 B+
2,85 – 3,17 B
2,51 – 2,84 B-
2,18 – 2,50 C+
1,85 – 2,17 C
1,51 – 1,84 C-
1,18 – 1,50 D+
1,00 – 1,17 D