TEORIJA ODLUČIVANJA
1. ODLUČIVANJE U USLOVIMA IZVIJESNOSTI – KVANTITATIVNI MODELI I METODE U FUNKCIJI POSLOVNOG ODLUČIVANJA
Riješavanje problema primjenom modela linearnog programiranja prolazi kroz sledeće
faze:
- Izbor problema. Najprije se mora odabrati problem za rješavanje. Pri tome je neophodno da se
posebno ispitaju karakteristike svih pojava koje ga formiraju, da se ustanove međusobni
odnosi, međusobna zavisnost ovih pojava. Najvažnije je da se provjeri, da li problem ima
karakteristike koje su potrebne da bi se mogao riješiti metodama linearnog programiranja.
- Izbor metode. U zavisnosti od izabranog problema i njegovih karakteristika vrši se izbor
adekvatne metode linearnog programiranja.
- Prikupljanje podataka. Važna, zahtjevna i obimna faza rada je prikupljanje podataka. Tačnost
i valjanost optimalnog rješenja zavisi od tačnosti i istinitosti polaznih pretpostavki, među
kojima posebno mjesto pripada odgovarajućem dokumentacionom materijalu. Metode
linearnog programiranja ne mogu poboljšati kvalitet optimalnog rješenja iznad kvaliteta
podataka koji sačinjavaju model. Metode omogućavaju i olakšavaju pronalaženje
optimalnog između većeg broja mogućih rješenja, koje zadovoljava postavljeni kriterij
optimalnosti. Zaključujemo da se ovoj fazi mora posvetiti najviše pažnje.
- Formiranje modela. Problem se može uspješno riješiti samo ako se predstavi u obliku
podesnog matematičkog modela. Podesan matematički model je onaj koji najvjernije
predstavlja posmatrani problem. Model treba da bude takav da reaguje na sve promjene
njegovih parametara, kako bi reagovao stvarni problem pod uticajem promjene
ograničavajućih faktora. Odabir ograničavajućih faktora i njihovo kvantitativno izražavanje
traži angažovanje i timski rad različitih stručnjaka, kako bi se obezbjedilo da se stvarni
problem rješava kroz njegov teoretski matematički model.
- Rješavanje problema. Formirani model se rješava primjenom neke od metoda linearnog
programiranja. U današnje vrijeme problemi iz domena linearnog programiranja se
rješavaju primjenom računara.
- Analiza optimalnog rješenja. U ovoj fazi se vrši prevođenje dobijenog optimalnog rješenja sa
jezika elektronske mašine i vrši se sistematska analiza tog rješenja. U ovoj fazi treba da se
ispita i da li je optimalno rješenje primjenjivo, odnosno koliko je ono stabilno u odnosu na
očekivane promjene.1
1.1. Donošenje odluka u uslovima izvjesnosti
Proizvodni problem predstavlja svaki onaj upravljački zadatak koji podrazumijeva da
se ustanovi optimalan obim proizvodnje proizvoda koji su predmet poslovne aktivnosti
konkretnog poslovnog sistema, uz postojanje određenog broja ograničavajućih faktora ali uz
ostvarivanje unaprijed postavljenih ciljeva. Ograničavajući faktori se odnose na operativne
resurse koji pretežno obuhvataju:
- Radnu snagu,
- Predmete rada,
- Sredstva za rad,
- Tržišne faktore u pogledu mogućeg plasmana,
- Mogućnosti transporta,
- Mogućnosti skladištenja i sl.
U kontekstu ograničavajućih faktora važno je napomenuti da je neophodno obuhvatiti
sa jedne strane raspoložive količine pojedinih resursa, sa druge strane iskorištenje pojedinih
resursa, a među njima odgovarajući relacijski znak.
ZAHTIJEV U POGLEDU KORIŠTENJA RESURSA RELACIJSKI ZNAK
SVE „=“
MINIMALNO „“
MAKSIMALNO „“
TABELA 1. Postupak usklađivanja zahtijeva u pogledu upotrebe resursa i relacijskog znaka u ograničenjima matematičkog modela
U kontekstu postavljenih ciljeva najčešći slučajevi su:
- Maksimalan prihod od prodaje,
- Maksimalan profit,
1 Stanojević, R.(1966.) Linearno programiranje, Beograd: Institut za ekonomiku industrije, str. 15
- Minimalni troškovi,
- Ostvarivanje ciljanog obima proizvodnje i sl.
Matematički model kojim možemo riješiti opisani problem u opštem slučaju možemo
efikasno riješiti opisani problem u opštem obliku glasi:
( max ) ; z=C⃗⋅X⃗+ C0
A⋅X⃗≤ A⃗0
X⃗ ≥0⃗Gdje su:
Z – funkcija cilja, odnosno funkcionalni izraz ukupno ostvarenog profita
C – kriterijumski vektor, čije koordinate su jedinični profit po osnovu realizacije pojedinih
proizvoda;
C0 – fiksni profit;
X – vektor aktivnosti, čije koordinate su količina pojedinih proizvoda u proizvodnom
asortimanu;
A – matrica ograničenja, čiji elementi označavaju utrošak operativih resursa u odnosu na
komponenete aktivnosti;
A0 – vektor kapaciteta, čije koordinate označavaju kapacitet pojedinih resursa;
Optimalno riješenje modela omogućava realizaciju poslovne aktivnosti uz racionalnu
upotrebu ograničenih operativnih resursa, uz ostvarivanje maksimalno mogućeg profita, pod
postojećim uslovima.
1.2. Opis problema
Preduzeće proizvodi dva proizvoda A I B. Proizvodnja ovih proizvoda odvija se pod
sledećim uslovima:
- U procesu proizvodnje angažuju se radnici struke R, čije angažovanje ne smije biti iznad
70 sati u planskom periodu. Proizvodi A I B zahtijevaju po 2, odnosno 1 sat angažovanja
ovih radnika, respektivno;
- U procesu proizvodnje koristi se I sirovina S, tako da za jednu jedinicu proizvoda A i B
treba po 3, odnosno 4 jedinice sirovine S respektivno. Sirovine S može se nabaviti
najviše 180 jedinica;
- U procesu proizvodnje angažuju se i sredstva za rad (mašine M) čiji radni kapacitet u
planskom periodu iznosi 150 radnih sati. Za jedan sat rada proizvodnih postrojenja
proizvede se 1 jedinica proizvoda A, i 0,25 jedinica proizvoda B;
- Prema ugovoru sa potencijalnim kupcima, kupci su spremni da kupe najviše 60 proizvoda
ukupno bez obzira na vrstu;
- Profit po jedinici proizvoda A I B iznosi 20 I 23 KM respektivno.
Potrebo je odrediti optimalan program izrade proizvoda A I B ako je cilj maksimalan ukupni
profit!
1.3. Prevođenje opisanog problema u adekvatan matematički model
Naprijed opisana upravljački problem uspješno se riješava primjenom modela I metoda
linearnog programiranja. Tako da opisanom problemu odgovara sledeći model linearnog
programiranja:
a) Funkcija cilja
(max ); z=20 x1+23 x2
b) Sistem ograničavajućih faktora
(1) 2 x1+x2≤ 70
(2) 3 x1+4 x2≤ 180
(3) x1+4 x2≤ 150
(4) x1+ x2 ≤60
(5) x1 , x2 ϵ Z+¿ ¿
Gdje su:
X1 – broj proizvedenih proizvoda A izraženo u komadima;
X2 – broj proizvedenih proizvoda B izraženo u komadima;
Pojedine relacije u modelu imaju sledeća značenja:
Funkcija cilja predstavlja funkcionalni izraz ukupno ostvarenog profita po osnovu realizacije
proizvedenih količina proizvoda A I B;
Relacijom (1) izražavamo mogućnost iskorištenja radne snage u procesu proizvodnje, u pogledu
radnika sruke R;
Relacijom (2) izražavamo mogućnost iskorištenja sirovine S u procesu proizvodnje;
Relacijom (3) izražavamo mogućnost iskorištenja kapaciteta proizvodnih kapaciteta mašine M u
procesu proizvodnje;
Relacijom (4) izražavamo mogućnost plasmana ostvarenog obima proizvodnje;
Relacija (5) izražava cjelobrojnosti za relizovani proizvodni asortiman.
1.4. Riješavanje formiranog matematičkog modela – instalacija i upotreba „Solvera“
Riješavanje formiranog matematičkog modela zahtijeva primjenu adekvatnih metoda ili
gotovih softverskih paketa, najenjenih efikasnom riješavanju formiranog matematičkog modela,
a time I informacionu podlogu generisanju upravljačke platform u procesu formulisanja
efikasnih poslovnih strategija.
Postupak instalacije „Solver“ – a:
- Korak 1. Office Button – Excel Options
- Korak 2. Add – Ins; Excel Add – Ins izbor opcije “GO”
- Korak 3. “Add – Ins Available” označiti opciju “Solver Add – Ins” I “kliknuti” OK
- Korak 4. Instalacija je završena I “Solver se nalazi na meniju u opciji “Data”.
Upotreba “Solver” – a zahtijeva:
- Definisanje promjenljivih u modelu. U odabranom polju upišu se nazivi promjenljivih u
modelu, najbolje jedna ispod druge. U konkretnom slučaju promjenljive u modelu su X1 I
X2 upisane u polja A1, odnosno A2 tabele u Excel – u;
- Prije riješavanja modela promjenljivim se dodijeljuje vrijednost 0 u polju nasuprot naziva
tabele, u konkretnom prmjeru polja B1, odnosno B2;
- Radi veće preglednosti I mogućnosti primjene u promjenjenim okolnostima u polja tabele
unijete su koordinate kriterijumskog vektora, kao I matrice tehničkih koeficijenata, te
njima odgovarajuće vrijednosti. Koordinate kriterijumskog vektora u poljima B4, B5 I
B6, a njihove vrijednosti u polja C4,C5 I C6, dok su koordinate matrice A smještene u
poljima C4, C5, C6; E4, E5, E6; G4, G5, G6; I4, I5 I I6, dok su njihove vrijednosti
smještene u polja D4, D5, D6; F4, F5, F6; H4, H5, H6; J4, J5 I J6;
- Definisanje vrijednosti funkcije cilja uključuje mogućnost maksimalne, minimalne ili
odgovarajuće ciljane vrijednosti cilja kome teži poslovni sistem. U konktetnom slučaju
funkcija cilja je maksimalna vrijednost ostvarenog profita, što je zapisano u polju B9, a
izračunava se po obrascu =B1*B4+B2*B5+B6, korespodentno postavljenom modelu;
- Ograničavajući faktori, kao što je naprijed napomenuto, uključuju: naziv resursa, obim
iskorištenosti, relacijski znak, raspoloživost resursa, ali I mogućnost utvrđivanja
neiskorištenog dijela raspoloživog resursa. Naziv resursa uneseni su u polja B11, B12,
B13 I B14, pojednostavljeno R1 – odnosi se na radnu snagu struke R, R2 – odnosi se na
sirovinu S, R3 – odnosi se na kapacitet proizvodnih kapaciteta mašine M, R4 – odnosi se
na tržišni potencijal – mogućnost plasmana. Iskorištenost resursa izračunavamo na
sledeći način:
Naziv resursa Izračunavanje obima iskorištenja
R1 =B1*D4+B2*D5
R2 =B1*F4+B2*F5
R3 =B1*H4+B2*H5
R4 =B1*J4+B2*J5TABELA 2. Oderđivanje stepena iskorištenja pojedinih resursa
Relacijski znak u svim ograničenjima je „“, što je uneseno u polja C11, C12, C13 I C14,
dok je raspoloživost pojedinih resursa unesena u polja D11, D12, D13 I D14.
- Nakon opisanih radnji spremni smo riješavati model matematičkog programiranja
pomoću “Solver” – a, pri čemu otvaramo solver I izvršavamo sledeće radnje
- “Set target cell”, zahtijeva da kliknemo na polje u kome je unseen obrazac za
izračunavanje vrijednosti funkcije cilja – polje B9;
- “Equal to”, zahtijeva da se odabere maksimalna, minimalna ili ciljana vrijednost
funkcije cilja u modelu. U konkretnom slučaju to je (max), kao što je I označeno;
- „Gesses“ – unošenje promjenljivih, odnosno polja u kojima su vrijednosti
promjenljivih u modelu. U konkretnom slučaju to su polja B1 i B2;
- „Subject to the Constraints“, podrazumijeva unos ograničavajućih faktora
izborom opcije “Add”, ponuđene opcije “Change” I “Delete”, omogućavaju
promjenu ili brisanje u slučaju greške. Izborom opcije „Add“ iskorištenje resursa
unosimo u polje „Cell References“. U srednje polje u kome se inicijalno nalazi
znak “≤“ biramo relacijski znak, pri čemu ponuđene opcije podrazumijevaju još
„“, „=“, „int“ i „bin“. Relacijski znak dodijeljuje se ograničenju u skladu sa
formiranim modelom, dok se ostale opcije dodijeljuju promjenljivim u modelu u
skladu sa postavljenim zahtijevima da promjenljiva riješenjem modela ima
binarnu (vrijednost 0 ili 1) ili cijelobrojnu vrijednost (kod nedijeljivih proizvoda).
Raspoloživost resursa unosimo u polje „Constraints“. Sve klikom na polje tabele
u kome se nalaze navedene vrijednosti (izuzev relacijskog zanaka). Sledeće
ograničenje unosimo izborom opcije „Add“, „Cancel““ otkazujemo unos, a
opcijom „OK“ završavamo unos.
- „Options“, biramo brzinu, tačnost, uslove rješavanja, kao i vrstu modela. U
modelu promjenljive moraju biti nenegativne što omogućava aktiviranje opcije
“Assume Non - Negative”, potvrdu da je riječ o linearnom modelu aktiviramo
opcijom “Assume Linear Model”. Navedeno je potrebno za efikasno riješavanje
postavljenog modela;
- Opcijom “Solve” riješavamo model, postepeno ili odjednom. Kada se pojavi
opcija “solver found solution” model je riješen. Optimalno riješenje modela
možemo prikazati sledećom tabelom:
(MAX);Z 1090
RESURSISKORIŠTENOST
RELACIJSKI ZNAK
RASPOLOŽIVOST NEISKORIŠTENOST
R1 70 <= 70 0R2 180 <= 180 0R3 140 <= 150 10R4 50 <= 60 10
X1 20x2 30
TABELA 3. Riješenje modela matematičkog programiranja dobijeno solverom
1.5. Donošenje upravljačkih odluka na bazi modeliranih rezultata
Optimalna identifikacija obima I strukture proizvodnog asortimana podrazumijeva da se
preduzetnik opredjeli za proizvodni asortiman koji mu omogućava maksimalan ukupni profit.
Modelirani rezultati trebaju biti uključeni u procesu donošenja strategijskih poslovnih
odluka, a modelirane upravljačke informacije ukazuju na sledeće:
- Maksimalno moguć ukupni profit preduzeća pod navedenim uslovima je 1.090 KM ;
- Ostvareni obim poslovne aktivnosti indirektno proizilazi iz programiranog obima odnosi
se na 20 jedinica proizvoda A I 30 jedinica proizvoda B;
- Radna snaga I osnovna sirovina potpuno su iskorišteni programiranim režimom, dok su
neiskorišteni radni kapacitet proizvodnih kapaciteta mašine M, te obim nezadovoljene
tražnje iznost 10 sati rada mašine I 10 jedinica proizvoda.
Uspostavljanje optimalnog proizvodnog programa sa ciljem maksimalne visine
ostvarenog profita omogućava povoljnu konkurentsku poziciju preduzeća.
Promjena proizvodnih mogućnosti revidira obim proizvodne aktivnosti tako da se nove
promjenljive, konstante ili parametri uvrste u model I “Solver” – om pronađe novo optimalno
rješenje. U prilogu je prikazana upotreba softverskog alata “Solver” u dokumentu pod
nazivom SOLVER.
2. ODLUČIVANJE U USLOVIMA NEIZVJESNOSTI – IGRE PROTIV PRIRODE
Veliki broj upravljačkih zadataka odnosi se na upravljačke situacije u kojima se ne
raspolaže sa potpunim informacijama u postupku donošenja odluke. Riješavanje takvih
zadataka je skopčano sa rizikom i spada u domen matričnih igara i statističkog odlučivanja.
Teorija igara predstavlja matematičku teoriju konfliktnih situacija. Osnovni elementi u
teoriji igara su:2
- igra , predstavlja skup pravila, dogovora ili konvencija kojih se moraju pridržavati
učesnici u konfliktnoj situaciji,
- strategija , je plan razvoja igre, neka od akcija za koju će se odlučiti jedan od igrača u
konfliktnoj situaciji. Drugim riječima, strategija predstavlja skup informacija koji je
kompletan u smislu da jednom igraču otkriva na koji način se treba ponašati u datom
trenutku,
- potez , je izbor jedne od strategija. Igra se realizuje tako što suprostavljeni igrači biraju
neku od raspoloživih strategija tako da njihov protivnik ne zna za koju se strategiju u
datom trenutku igrač odlučuje. Tajnost izbora strategije je bitan element konfliktnih
situacija.
2 Mikić, Đ. (2007.) Teorija I strategija odlučivanja – kriterijumski izbor upravljačkih opcija, Banja Luka: Panevropski Univerzitet Apeiron, str.
Samo upravljanje konfliktnim situacijama, tj.biranje vrijednosti onih „argumenata“ koji
su pod kontrolom jednog od igrača zavisiće od procjene igre, verziranosti samog igrača, od
njegove logike rezonovanja i sl. Ako se igra može matematički modelirati, strategija se može
računati, odnosno rigorozno određivati i tako svaka nelogičnost u upravljanju konfliktnom
situacijom isključiti3. Postupci za analizu konfliktnih situacija matematičkim putem zasnivaju
se na matričnim i diferencijalnim igrama i Lanchester – ovom modelu. Optimalno riješenje
modela kojeg karakteriše konfliktna situacija je izbor strategije kojom se riješava konfliktna
situacija i da igrači pri tome ostvare maksimalnu dobit, odnosno minimalan gubitak
nezavisno od toga koju strategiju zauzme njegov protivnik u konfliktnoj situaciji.
Učesnici u konfliknih situacija mogu biti razboriti, odnosno mogu težiti da zauzmu onu
strategiju koja je za njih najpovoljnija. Pored toga, učesnici u konfliktnih situacija mogu biti
čovjek i priroda, takve igre karakteriše uslovna nerazboritost prirode kao protivnika u
konfliktnoj situaciji, čovjek kao učesnik u igri protiv prirode ne može računati da će priroda
zauzet za čovjeka najnepovoljniju strategiju. Ovakve igre karakteriše odlučivanje u uslovima
neizvjesnosti.
2.1. Donošenje odluka u uslovima neizvjesnosti
U problemima istraživanja tržišta nekog novog proizvoda, su ključni problemi u
poslovanju novih preduzeća ili preduzeća u fazi osnivanja. Preduzeće će odrediti različite
varijante ulaganja u taj proces u zavisnosti od toga kakva stanja očekuje na tržištu tog
proizvoda, sa jedne strane, kao i mogućnosti finansiranja poslovnog procesa, sa druge strane.
Kod ove vrste igara ne može se apriori primjeniti kriterij max – min, koji se primjenjuju u
slučajevima konfliktnih situacija između dva razborita protivnika, jer čovjek ko učesnik u
sukobu ne može biti siguran da će priroda zauzeti za njega najnepovoljniju strategiju.
Optimalna strategija za čovjeka određuje se korištenjem nekih od kriterija, koji se
prilagođavaju problemu igre protiv prirode. Ti kriteriji su:
1. Hurwicz – ov
2. Wald – ov
3 Petrić, J.J. (1973.) Operaciona istraživanja II, Beograd: Fakultet organizacionih nauka, str. 39.
3. Laplace – ov
4. Savage – ov
5. Bayes – ov
Postoji mogućnost da se na isti problem primjeni više kriterija istovremeno i da se na
osnovu dobijenih rezultata donese odluka o izboru optimalne strategije za preduzeće. Pri
tome, je poželjno korištenje neparnog broja kriterija da se ne bi desilo da dvije ili više
strategija nađu u situaciji da su najpovoljnije za čovjeka.
Prilikom rješavanja konfliktne situacije polazi se od matrice plaćanja, odnosno matrice
cijena. Matrica cijena (M) predstavlja matricu u kojoj su elementi u redovima vezuju se za
strategiju igrača A (čovjeka), a elementi u kolonama se vezuju za strategiju igrača B
(prirode). Elementi matrice M predstavljaju dobitke za igrača A, odnosno gubitke za igrača B
ukoliko su elementi matrice uij > 0, ili gubitke za igrača A, odnosno gubitke za igrača A
ukoliko je uij < 0. Ukoliko se pojavi element matrice M čija vrijednost u ij = 0, odnosi se na
slučaj da igrača nema dobitak niti gubitak, odnosno da je dobitak po osnovu poslovanja
jednak troškovima poslovanja. Matrica plaćanja u opštem slučaju izgleda ovako:
M=
0 S1 ⋯ Sm
A1
⋮An
[ u11 ⋯ um1
⋮ ⋱ ⋮u1n ⋯ umn
]nxm
Pri čemu su A1, ... , An – strategije čovjeka, a S1, ... , Sm – stanja prirode.
U narednim izlaganjima ukratko načine i efekte upotrebe navedenih kriterija u
riješavanju konfliktnih situacija.
2.1.1. Hurwicz – ov kriterij kao
Korištenje ovog kriterija zahtijeva da se odredi koeficijent optimizma αi, koji mora
ispunjavati uslov 0 ≤ α ≤ 1. Koeficijent optimizma određuje se empirijski. Nakon toga se u
matrici plaćanja za svaku strategiju odrede vrijednosti:
M i=maxj
{u ij}
mi=minj
{uij }0
Dalje se problem riješava u zavisnosti od prirode vrijednosti elemenata matrice plaćanja.
Ukoliko su elementi matrice plaćanja uij dobici za čovjeka tada će optimalna biti ona
strategija koja ima maksimalnu vrijednost linearne kombinacije, odnosno:
maxi
{αM i−(1−α ) mi }
Ako su elementi matrice plaćanja gubici za čovjeka, optimalna strategija minimizira
vrijednost izraza:
mini
{αM i−(1−α ) mi }
Kada je α = 0, Hurwicz – eo kriterij svodi se na kriterij
maxi
minj
{uij }
Navedena situacija opisuje čovjeka kao krajnjeg pesimistu.
Ukoliko je α = 1, imamo slučaj ekstremnog optimizma, i ovaj kriterij se svodi na kriterij
mini
maxj
{uij }
Navedena situacija opisuje čovjeka kao krajnjeg pesimistu.
2.1.2. Wald – ov kriteri
Je kriterij krajnjeg pesimizma. To znači ako je cilj ostvarivanje maksimalne dobiti za
čovjeka ovaj kriterij se svodi na:
maxi
minj
{uij }
Ako su elementi matrice plaćanja gubici za čovjeka ovaj kriterij glasi:
mini
maxj
{uij }
Na bazi vrijednosti naprijed navedeni izraza čovjek bira optimalnu strategiju.
2.1.3. Laplace – ov kriterij
Ovaj kriterij naziva se i kriterij racionalnosti, jer polazi od pretpostavke da nije moguće
izračunati vjerovatnoću nastupanja pojedinih stanja, odnosno strategija prirode. Sledeća
pretpostavka je da su sva stanja prirode jednako moguća. Tako da, ukoliko imamo matricu
plaćanja čiji su elementi uij dobici za čovjeka, tražimo:
maxi {∑i=1
m u ij
m }; gdje je m−broj stanja prirode
Ukoliko su elementi matrice plaćanja gubici za čovjeka, potrebno je odrediti vrijednost:
mini {∑i=1
m u ij
m }; gdje je m−broj stanja prirode
Na bazi vrijednosti naprijed navedeni izraza čovjek bira optimalnu strategiju.
2.1.4. Savage – ov kriterij
Korištenje ovog kriterija zahtijeva da se formira nova matrica plaćanja, koja se naziva
matrica žaljenja ili matrica propuštenih šansi. Svaki element te matrice pokazuje koliki je
propušteni dobitak čovjeka, zato što nije znao za koju će se strategiju odlučiti. Elementi
matrice žaljenja rij računaju se pomoću obrasca:
r ij=uij−maxk
{uik }
Kada se formira matrica žaljenja koristi se neki od navedenih kriterija da se odredi
optimalno riješenje polazeći od matrice žaljenja.
Kada se pobrojani kriteriji primjene na konfliktnu situaciju u kojoj su učesnici konflikta
čovjek i priroda, sumiraju se rezultati i pronalazi optimalne strategije za čovjeka učesnika u
sukobu. To je takva strategija koja mu obezbjeđuje maksimalno moguću dobit ili minimalan
gubitak, zavisno od polaznih pretpostavki.
2.1.5. Bajsov kriterij
Upotreba ovog kriterija zahtijeva da se odrede vjerovatnoće nastanka pojedinih stanja prirode.
Označimo li ta stanja sa P(Sj) – vjerovatnoća nastanka j – tog stanja prirode.
Pri čemu je
∑j=1
n
P(Sj) = 1 , 0 ≤ P(Sj) ≤ 1
Ako su uij dobici za čovjeka optimalna je ona strategija koja maksimizira linearnu kombinaciju:
max{ ∑J =1
n
uij P(Sj) }
Ukoliko su uij gubici za čovjeka optimalna je ona strategija koja minimizira linearnu kombinaciju:
min{ ∑J =1
n
uij P(Sj) }
2.2. Opis problema odlučivanja
Trgovačko preduzeće planira nabavku novogodišnjih jelki povodom novogodišnjih praznika. Moguća
tražnja za novogodišnjim jelkama je:
Pesimistična; 500 komada
Umjerena; 1000 komada i
Optimistična; 1500 komada.
Jelke se nabavljaju po cijeni od 80 KM po komadu, prodju po cijeni 100 KM/kom, nabavljeni višak
se može prodati u ogrijev po cijeni od 30 KM/kom. Troškovi nabavke (bez obzira na nabavljenu
količinu) iznose 1000 KM. Potrebno je odrediti optimalnu nabavaku jelki korištenjem:
A. Hurvičevog kriterija α=0,2;
B. Valdovog kriterija;
C. Laplasovog kriterija;
D. Sevidževog kriterija, tako da se na sevidževu matricu primjeni Laplasov;
E. Sva četri prethodna zajedno;
F. Bajsovog kriterija, ako se umjerena i optimistična tražnja očekuju sa vjerovatnoćom od po
40%.
2.3. RIJEŠAVANJE PROBLEMA
Za potrebe riješavanja problema neophodno je riješavanja problema neophodno je formirati
matricu plaćanja. U kontekstu navedenog polazimo od definisanja strategija čovjeka, koje su u
konkretnom primjeru:
A1 – NABAVITI 500 KOMADA JELKI
A2 – NABAVITI 1000 KOMADA JELKI
A3 – NABAVITI 15000 KOMADA JELKI
Čovjek, kao donosilac odluke se suprostavlja prirodi, odnosno za njega je važno da prepozna
i obuhvati moguća stanja prirode, koja su u konkretnom problemu:
S1 – TRAŽNJA (MOGUĆNOST PRODAJE) IZNOSI 500 KOMADA JELKI
S2 – TRAŽNJA IZNOSI 1000 KOMADA JELKI
S3 – TRAŽNJA IZNOSI 1500 KOMADA JELKI
Elementi matrice plaćanja treba da pokažu vrijednost ishoda svake pojedine kombinacije
stanja prirode i strategije čovjeka, a u posmatranom primjeru to se odnosi na:
U11 = - 1000 + 500*(100-80) = 9000
U12 = -1000 + 500*(100-80) – 500*(100-80) = -1000
U13 = -1000 + 500*(100-80) – 1000*(100-80) = - 11000
U21 = -1000 + 500*(100-80) + 500*(30-80) = - 16000
U22 = - 1000 + 1000*(100-80) = 19000
U23 = - 1000 + 1000*(100-80) – 500*(100-80) = -6000
U31 = -1000 + 500*(100-80) – 1000*(30-80) = -41000
U32 = -1000 + 1000*(100-80) – 500*(30-80) = -6000
U33 = -1000+ 1500*(100-80) = 29000
Matrica plaćanja obuhvata:
- Troškove nabavke od 1000 KM;
- Profit po osnovu realizacije nabavljene količine koji se izračunava kao proizvod između
prodane količine Qp=(MIN(Qn;Qt)) razlike između prodajne i nabavne cijene;
- Troškova propuštene dobiti;
- Profita po osnovu realizacije prometnih viškova Qpz*(Pc – Nc); gdje je Qpz = Qn – Qp;
Qpz > 0.
S 1 S 2 S 3
M=A 1A 2A 3 [ 9 −1 −11
−16 19 −6−41 −6 29 ]
2.3.1. PRMJENA HURVIČEVOG KRITERIJA
STRATEGIJA Mi mi αMi+(1−α ) mi
A1 9 -11 0,2*9+0,8*(-11)=-7
A2 19 -16 0,2*19+0,8*(-16)=-9
A3 29 -41 0,2*29+0,8*(-41)=-27
ODLUKA A1;A2;A3
2.3.2. PRIMJENA VALDOVOG KRITERIJA
STRATEGIJA MINUij
A1 -11
A2 -16
A3 -41
ODLUKA A1;A2;A3
2.3.3. PRIMJENA LAPLASOVOG KRITERIJA
STRATEGIJA 1N ∑
J=1
N
U IJ
A1 13
(9−1−11 )=−1
A2 13
(−16+19−6 )=−1
A3 13
(−41−6+39 )=−6
ODLUKA A1 ili A2;A2 ili A2; A3
2.3.4. PRIMJENA SEVIDŽEVOG KRITERIJA
S 1 S 2 S 3
M∗¿A 1A 2A 3 [ 0 −20 −40
−25 0 −35−50 −25 0 ]
STRATEGIJA 1N ∑
J=1
N
Rij
A1 13
(0−20−40 )=−20
A2 13
(−25+0−35 )=−20
A3 13
(−50−25+0 )=−25
ODLUKA A1 ili A2;A2 ili A2; A3
2.3.5. ODLUKA
KRITERIJ HURVIČ VALD LAPLAS SEVIDŽ ODLUKA
A1 A1 A1 ili A2 A1 ili A2 A1
A2 A2 A2 ili A1 A2 ili A1 A2
A3 A3 A3 A3 A3
OPTIMALNO JE NABAVIT 500 KOMADA
2.3.6. PRIMJENA BAJSOVOG KRITERIJA
Primjene bajsovog kriterija podrazumijeva da se odrede vjerovatnoće nastanka svih pojedinih
stanja prirode, konkretno to je:
P(S1) + P(S2) + P(S3) =1
P(S1)+0,4+0,4 = 1 P(S1) = 1 - 0,8 = 0,2
STRATEGIJA 0,2*Ui1+0,4*Ui2+0,4*Ui3
A1 0,2*9+0,4*(-1)+0,4*(-11)=-3
A2 0,2*(-16)+0,4*(19)+0,4*(-6)=2
A3 0,2*(-41)+0,4*(-6)+0,4*(29)=1
ODLUKA A2;A3;A1
OPTIMALNO JE NABAVITI 1000 KOMADA JELKI.
3. ODLUČIVANJE U USLOVIMA RIZIKA
Model simulacije mora biti konstruisan namjenski za svaku situaciju odlučivanja, po svojoj
proirodi zahtijeva specifikaciju promjenljivih i parametara u modelu, a uslovi pod kojima se
sistem posmatra moraju biti prilagođeni konvencionalnim pravilima odlučivanja, kako bi se
utvrdila vjerovatnoća odgovarajućih sistemskih kategorija upotrebom slučajnog izbora.
3.1. Monte – Carlo metoda modela simulacije
Tehnika se sastoji u simulaciji eksperimenta, gdje se donosilac odluke igra sa sistemom
izgrađenim po mjeri čovjeka, istražujući efekte izabrane alternative u skadu sa odabranim
opcijama u odgovarajućem vremenskom intervalu, sa zadatkom da se analiza ponašanja sistema
uskladi sa formulisanim ciljevima, te da se sagledaju implikacije prije ili u toku izvršenja.
Suština Monte – Carlo tehnike, sastoji se od simulacije eksperimenta kako bi se utvrdila
vjerovatnoća odgovarajućih sistemskih osobina upotrebom slučajnog izbora. Procedura analize
rizika navedenom tehnikom omogućava preciznu logičku proceduru modeliranja vjerovatnoće
kriterijumske promjenljive (y) kroz sledeće faze:
- Identifikacija kriterijumske i relevantnih nezavisnih promjenljivih;
- Kvantifikacija promjenljivih;
- Međusobni odnosi promjenljivih;
- Ocjena raspodjele vjerovatnoće za ulazne promjenljive;
- Ocjena raspodjele vjerovatnoće zavisne promjenljive (y) na bazi raspodjele nezavisnih
promjenljivih (x1, x2, ... , xn);
- Korištenje tehnike Monte – Carlo simulacije za dobijanje zadovoljavajuće raspodjele
vjerovatnoće izlazne promjenljive;
- Evaluacija projekta koristeći dio ili sve informacije sadžane u ocjenjenoj raspodjeli.4
3.2.OPIS PROBLEMA ODLUČIVANJA
Pekarska radnja planira proizvodnju hljeba. Vlasnik pekarske radnje zna da se tražnja za hljebom
kreće u intervalu od 30.000 do 70.000 komada, a poznate su mu ii apsolutne frekvencije tražnje, što je
prikazano u sledećoj tabeli:
QT(000 KOM) 30 40 50 60 70
F(QT) 20 10 40 10 20
Hljeb se proizvodi za sljedeći dan kada se primju i porudžbine i isporučuje kupcima. Troškovi
proizvodnje jednog hljeba su 0,5 KM/kom. Prodajna cijena jednog hljeba je 0,7 KM/kom.
Neprodana količina se prerađuje u prezle koje se realizuju po cijeni 0,2 KM za količinu dobijenu
od jednog hljeba.
4 Mikić, Đ. (2007.) Teorija I strategija odlučivanja – kriterijumski izbor upravljačkih opcija, Banja Luka: Panevropski Univerzitet Apeiron, str.157.
Važeće pravilo je da se proizvodi količina prodana prethodni dan, ali je vlasnik mišljenja da navedeno
treba preispitati. Potrebno je napraviti simulaciju i na bazi 7 radnih dana i odlučiti da li je bolje
nastaviti sa dosadašnjom praksom ili proizvoditi očekivanu vrijednost tražnje u analizi koristiti
slučajne brojeve: 56; 74; 92; 16; 07; 37 I 25.
Sa raspoloživom informacionom podlogom stečeni su uslovi za izvođenje simulacije u cilju
adekvatnog izbora ponuđenih upravljačkih opcija. Potrebno je naglasiti da u provedenoj
simulaciji oznake imaju sledeća značenja:
- Simulacija se bazira na uzorku od 7 slučajno odabranih vremenskih intervala koji su
navedeni u koloni R.B. (redni broj);
- SB označava slučajne brojeve;
- Predviđenom intervalu očitavanjem dodijeljujemo adekvatnu tražnju (Qt) skladno
intervalu slučajnih brojeva;
- Pravilo proizvodnje direktno korespondira sa prodajom od prethodnog dana kod
PRAVILA 1. tj. Qpi = Qpr(i – 1)
- Pravilo proizvodnje direktno korespondira sa očekivanom vrijednosti tražnje kod
PRAVILA 2., tako da proizvedena količina odgovara prethodno određenoj očekivanoj
vrijednosti tražnje tj. Qp = 50 kg (∀ i ; i=1,2,3 , …, n¿;
- Prodana količina (Qp) izračunava se respektujući sledeće uslove:
o Ako je Qt = Qp Qpr=Qt
o Ako je Qt Qp Qpr=min(Qt,Qp)
- Preostala količina (zalihe; Qz) izračunava se respektujući sledeće uslove:
o Ako je Qp > Qpr Qz = Qn – Qp
o Ako je Qp ≤ Qpr Qz = 0
- Profit (Pf) izračunava se respektujući sledeće uslove:
o Pf = QprxPc1 – QpxTp + Qzx Pc2
- Ponoviti prethodno opisan postupak za svih 7 vremenskih intervala (radnih dana) u
okviru kojih se provodi postupak simulacije.
Potrebno je odrediti očekivanu vrijednost tražnje, kao i interval slučajnih brojeva, što je
prikazano u sledećoj tabeli:
Qt F(Qt) P(Qt) Qt*P(Qt) Kum. Int.SB
30 20 0,2 6 0,2 00 – 19
40 10 0,1 4 0,3 20 – 29
50 40 0,4 20 0,7 30 – 69
60 10 0,1 6 0,8 70 – 79
70 20 0,2 14 1,0 80 – 99
Σ 100 1 50
Preglede provedenog postupka simulacije je:
PRAVILO 1.
RB SB Qt Qp Qpr Qz PF
0 50
1 56 50 50 50 0 10
2 74 60 50 50 0 10
3 92 70 50 50 0 10
4 16 30 50 30 0 6
5 07 30 30 30 0 6
6 37 50 30 30 0 6
7 25 40 30 30 0 6 330 290 290 0 54
PRAVILO 2.
RB SB Qt Qp Qpr Qz PF
0 50
1 56 50 50 50 0 10
2 74 60 50 50 0 10
3 92 70 50 50 0 10
4 16 30 50 30 20 0
5 07 30 50 30 20 0
6 37 50 50 50 0 10
7 25 40 50 40 10 5 330 350 300 50 45