Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011
VCCA-2011
Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái có bộ quan sát Luenberger cho
hệ thống vòng bi từ chủ động rotor cứng 4 bậc tự do
Design a state feedback controller with Luenberger observer for 4 degree of
freedom - rigid rotor active magnetic bearing system
Trần Lục Quâna, Trần Xuân Minh
b
Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp Thái nguyên
e-mail: [email protected],
Tóm tắt Bài báo trình bày những phân tích chi tiết để xây dựng
một mô hình toán học hoàn chỉnh cho hệ thống vòng
bi từ chủ động, rotor cứng, 4 bậc tự do (phương
chuyển động), dựa trên các nguyên lý cơ bản về điện –
cơ – từ. Ảnh hưởng hồi chuyển (gyroscopic effect),
một trong những nguyên nhân chính làm xấu đi chất
lượng làm việc của hệ thống vòng bi từ chủ động cũng
được đề cập đến và được giải quyết triệt để bằng một
phương pháp điều khiển hữu hiệu. Ngoài ra, nghiên
cứu này thiết kế một bộ quan sát trạng thái
(Luenberger) để khắc phục cho những biến trạng thái
không thể đo được trong giải pháp điều khiển phản hồi
trạng thái đề xuất. Đồng thời nó cũng cho phép đánh
giá động học hệ thống. Với phương pháp thiết kế tách
biệt cho bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ quan
sát Luenberger, các kết quả mô phỏng cho thấy các
đáp ứng của hệ thống nhiều đầu vào – nhiều đầu ra
(MIMO) có khả năng ổn định hóa nhanh, chất lượng
động đảm bảo tốt.
Abstract: Based on mechanical – electrical –
magnetic principles, the paper presents detailed
analyses to build a completed mathematical model for
4 degree of freedom - rigid rotor active magnetic
bearing (AMB) system. Gyroscopic effect, one of
significant reasons affecting to performances of
system is mentioned in this research. It then is
eliminated completely by an effective control
algorithm. Furthermore, within the framework of
proposed state feedback design, a full-order
(Luenberger) observer is designed to achieve all
estimating state variables which cannot be gained
totally by measuring in reality. Besides, the observer
allows to evaluate dynamics of system. The proposed
method can design controller and observer separately.
As a result, MIMO system’s responses achieve quick
stabilization and good performances.
Ký hiệu Ký hiệu Đơn vị Ý nghĩa
A, B, C, D các ma trận của hệ thống
Mf, G, D, Bf các ma trận hệ số của phương
trình vi phân ma trận
Wa năng lượng tích trữ tại khe hở
không khí
Ba Tesla mật độ từ thông tại khe hở
không khí
Aa cm2 tiết diện mặt cắt khe hở không
khí
liron, lfe cm chiều dài đường đi của từ thông
trong lõi thép và trong mạch từ
Φ Wb từ thông trong mạch từ
μ0, μiron, μfe H/m độ từ thẩm trong không khí, lõi
thép và trong mạch từ
F(x, i) N lực điện từ
i0 A dòng điện phân cực
g0 khe hở không khí danh định
G(s); H(s)
hàm truyền đạt
lrt m chiều dài từ tâm hệ đến AMB
Ji, Jj, Jk kg.m2 momen quán tính trên các trục i,
j, k.
rm rad/s vận tốc góc rotor
Ki
Ks
hệ số lực điện từ - dòng điện
hệ số lực điện từ - độ chuyển
dịch
ga m/s2 gia tốc trọng trường
q vector độ chuyển dịch của AMB
M, R các ma trận điều khiển
Ke ma trận hệ số của bộ quan sát
Chữ viết tắt AMB Ổ đỡ từ tính tích cực
DOF Bậc tự do
MIMO nhiều đầu vào – nhiều đầu ra
MHTT Mô hình không gian trạng thái
1. Phần mở đầu Một hệ thống vòng bi từ chủ động (AMB) thường
gồm một nhóm các cơ cấu điện từ được dùng để treo
một vật trong không gian và sử dụng điều khiển phản
hồi để ổn định hóa cho hệ. Do sử dụng các lực từ để
hỗ trợ cho chuyển động của máy mà không cần có tiếp
xúc cơ học nên công nghệ vòng bi mới này tạo ra một
số các ưu điểm nổi bật so với các loại vòng bi thông
thường. Bộ điều khiển có thể thay đổi các thuộc tính
tắt dần và độ cứng của AMB[1, 2], [7]. Giải pháp điều
khiển đóng vai trò quan trọng trong thiết kế hệ thống
AMB.Tuy nhiên, trong rất nhiều ứng dụng, chất lượng
làm việc của bộ điều khiển lại phụ thuộc rất lớn vào
ảnh hưởng xen kênh không mong muốn của hệ thống.
Ảnh hưởng này chủ yếu do yếu tố hồi chuyển gây nên
khi vật chuyển động quay ở tốc độ cao. Nếu bỏ qua
yếu tố này, chất lượng làm việc của toàn hệ sẽ không
được tốt như mong muốn. Rất nhiều các phương pháp
371
Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011
VCCA-2011
điều khiển đã được áp dụng thành công cho các hệ
thống AMB khi có kể đến và không kể đến ảnh hưởng
hồi chuyển [4-9]. Từ các giải pháp điều khiển phi tập
trung như PD, PID cho đến các phương pháp điều
khiển phi tuyến như tuyến tính hóa phản hồi,
backstepping…[4, 5], [7]. Xu hướng cho các giải pháp
điều khiển hiện đại cũng đang được quan tâm nhiều đó
là: LQR, LQG, H∞, tổng hợp μ…[7-9]. Xu hướng này
ngày càng phát triển mạnh mẽ là do công nghệ cảm
biến tiên tiến hiện nay cho phép thực hiện nhiều phép
đo các đại lượng vật lý khác nhau để phục vụ cho mục
đích phản hồi đại lượng điều khiển. Ngoài ra, giải
pháp điều khiển toàn hệ thống được tập trung về một
mối, đây chính là điểm khác biệt lớn so với giải pháp
điều khiển phi tập trung. Bộ quan sát trạng thái là một
ứng dụng hữu ích trong việc đánh giá động học hệ
thống thông qua các tín hiệu đầu ra của hệ. Ngoài ra,
nó có thể khắc phục cho một số biến trạng thái không
thể đo được của hệ thống. Dựa trên nguyên lý tách, bộ
quan sát và bộ điều khiển được thiết kế độc lập với
nhau [11].
Nghiên cứu này sẽ tập trung chủ yếu vào xây dựng
một mô hình toán học chặt chẽ cho AMB 4 DOF có kể
đến ảnh hưởng hồi chuyển trong động lực học hệ
thống. Sau đó, yếu tố xen kênh trong hệ thống sẽ được
loại bỏ triệt để bằng một luật điều khiển hữu hiệu. Sau
cùng, bài báo xây dựng một bộ điều khiển phản hồi
trạng thái có sử dụng bộ quan sát Luenberger nhằm
cải thiện chất lượng động của hệ thống.
2. Mô hình hóa hệ thống AMB Đối tượng nghiên cứu là một hệ thống gồm hai bộ
AMB, được bố trí tại hai đầu của rotor, để điều khiển
chuyển vị phương đứng và phương ngang của rotor
theo 4 bậc tự do (bốn phương). Bộ AMB1 tạo ra các
lực treo hướng kính theo các trục xA và yA, Bộ AMB2
tạo ra các lực treo hướng kính theo các trục xB và yB,
Đáng lưu ý rằng, khi ta xem xét đến cả các góc
nghiêng trong chuyển động của trục rotor thì hiệu ứng
hồi chuyển gây nên sự xen kênh không mong muốn
giữa các trục xA, yA, xB và yB.
Các phương trình chuyển động của rotor và các
phương trình điện từ phi tuyến là tập các phương trình
mô tả đặc tính động học của hệ thống.
2.1 Các phương trình điện từ
Năng lượng tích trữ tại khe hở không khí Wa, và từ
thông khe hở không khí Φa được tính toán theo các
công thức [4]:
22
a
0
1W 2
2 2
fea irona a a
iron fe
lB lB dV s A
m m m m (1a)
Trong đó:
Va = 2sAa; Aa được giả thiết là vùng chiếu của bề mặt
cực; Giả thiết không có từ thông dò: Φ = Φa = Φfe
0 0 0
0
2 1
2
feiron
iron fe a
a
feiron
iron fe
Ni
llg
A
A Ni
llg
m m m m m
m
m m
(1b)
Trường hợp từ trường tại khe hở không khí là đồng
nhất, ta sẽ tính toán được: B = Ba= Φ/Aa;
Nếu vật thể bị dịch chuyển đi một lượng δs thì một lực
điện từ F sinh ra [1, 2], [4]: 2 2
a 0
2
WF
2
a
feiron
iron fe
A N i
s lls
m
m m
(2)
Mối quan hệ giữa lực điện từ và dòng điện trong biểu
thức (2) ở dạng bình phương cho thấy đây là mối quan
hệ phi tuyến. Thông thường các hàm phi tuyến được
xấp xỉ bằng phương pháp tuyến tính hóa tại điểm làm
việc. Lực điện từ có thể được viết dưới dạng tuyến
tính hóa như sau [1, 2]:
F( , ) i x sx i K i K x mx (3)
Với 2
0
1
4aK N Am ; 0
i 2
0
2i
K Kg
; 2
0s 3
0
2i
K Kg
và
feiron
iron fe
ll
m mđược bỏ qua khi không kể đến ảnh
hưởng của độ từ hóa của vật liệu sắt từ.
2.2 Các phương trình động lực học
Dựa trên nguyên lý động lực học vật thể quay và các
nghiên cứu trong [1], [3-6] các phương trình mô tả cho
chuyển động quay của rotor cứng trong hệ thống
AMB 4 DOF được biểu diễn bằng các phương trình
chuyển động tịnh tiến và chuyển động nghiêng.
Các phương trình động học đối với chuyển động tịnh
tiến phải được xem xét trên thực tế là lực hướng kính
được sinh ra bởi cả hai bộ AMB. Do vậy ta có:
2
2
p xp s p
p yp s p
mx F K x
my F K y (4)
Trong đó: ;xp ypF F là các lực tịnh tiến theo phương x
và y tương ứng;
Đối với chuyển động nghiêng, các phương trình động
học được xây dựng phức tạp hơn. Nếu trục rotor
nghiêng đi một góc bằng /r rty l thì nó sẽ có một gia
tốc góc bằng /r rty l . Momen bên ngoài là tổng của các
thành phần momen sinh ra từ dòng điện điều khiển và
độ chuyển dịch, yr rtF l và (2 )s r rtK y l .
H.1 Hệ thống AMB trục ngang 4 bậc tự do[6]
372
Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011
VCCA-2011
2 2
2 2
2
2
i rm k r s rt r rt yr
i rm k r s rt r rt xr
J y J x K l y l F
J x J y K l x l F
w
w (5)
Trong đó: ωrm là tốc độ quay của rotor; lrt là chiều dài
giữa AMB đến tâm khối của hệ; Ji, Jj và Jk là các quán
tính tương ứng quanh các trục x, y và z. (Ji = Jj do cấu
trúc đối xứng của trục rotor); ;xr yrF F là các lực
nghiêng theo phương x và y tương ứng;
Thành phần thứ nhất ở vế phải của hai phương trình
trên là các momen sinh ra do ảnh hưởng hồi chuyển
(gyroscopic effects). Các thành phần này có ảnh
hưởng lớn khi AMB làm việc tại tốc độ quay cao.
Các phương trình chuyển động của hệ thống AMB
rotor trục cứng 4 DOF khi có kể đến ảnh hưởng hồi
chuyển: 2 2
2 2
2
2
2
2
i r rm k r x rt r rt yr
p xp x p
i r rm k r x rt r rt xr
p yp x p
J y J x k l y l F
mx F k x
J x J y k l x l F
my F k y
w
w (6)
2.3 Phép biểu diễn không gian trạng thái
Hệ phương trình (6) có thể được biểu diễn dưới dạng
phương trình vi phân như sau:
f fM q Gq Dq B F (7)
Trong đó:
Mf: ma trận trọng khối; G:ma trận hồi chuyển;
D: ma trận độ cứng; Bf: ma trận hệ số của F ;
F: vector lực (đầu vào); q: vector vị trí của rotor;
Ts: ma trận chuyển vị
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
i
f
i
J
mM
J
m
;
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
k rm
k rm
J
GJ
w
w
2
2
2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
s rt
s
s rt
s
K l
KD
K l
K
;
r
p
r
p
y
xq
x
y
2
2
0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
rt
f
rt
l
Bl
;
1 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
c
d
s
c
d
l
lT
l
l
T
yr xp xr ypF F F F F
Trong đó:
1 2
1 2
1 2
1 2
xp x x
yp y y
xr x x
yr y y
F F F
F F F
F F F
F F F
(8)
Từ (3) và (8) mối quan hệ vector lực điện từ biểu diễn
cho 2 bộ AMB sẽ là:
s b iF K q K i (9)
0 0
0 0;
0 0
0 0
sA sB bA
sA sB bB
s b
sA sB bA
sA sB bB
K K x
K K xK q
K K y
K K y
0 0
0 0;
0 0
0 0
xAiA iB
xBiA iB
i
yAiA iB
yBiA iB
iK K
iK KK i
iK K
iK K
qb: là vector chuyển dịch vị trí của rotor tại các AMB.
i: là vector dòng điện điều khiển cho các AMB
Với b sY q T q
Thay (9) vào (7) ta có: 1 1 1( )f s s f iq M Gq M D B K T q M B K i (10)
Ta đặt: ; ;
T
bA bB bA bB
X q q U i
Y x y y x
MHTT của toàn hệ thống AMB 4 DOF sẽ là:
4 4 4 4
1 1
4 4
1 4 4 4 4 4 4
0;
( )
0; 0 ; 0
f s s
f i
IX AX+BUA
M D B K T M GY CX DU
B C I DM B K
(11)
3. Thiết kế bộ điều khiển 3.1 Tách kênh phản hồi trạng thái bằng phương
pháp Falb-Wolovich
MHTT (10) của hệ thống AMB 4 DOF biểu diễn dưới
dạng tổng quát là:
x Ax+Bu
y Cx (12)
với ; , ; ; ;n m n n n m m nx R u y R A R B R C R
Để giải quyết bài toán tách kênh phản hồi trạng thái ta
áp dụng luật điều khiển u Rx Mr , hệ (11) khi
đó sẽ có dạng như sau:
x A BR x+BMr
y Cx (13)
và ma trận hàm truyền có dạng: 1( ) ( )H s C sI A BR BM (14)
Do vậy, giải pháp điều khiển tách kênh phản hồi trạng
thái yêu cầu phải tìm được các ma trận điều khiển R
và M để H(s) có dạng ma trận đường chéo và khả
nghịch. Lời giải cho các ma trận R, M được trình bày
cụ thể tại [10, 11].
3.2 Bộ quan sát Luenberger
Ý tưởng cơ bản của bộ quan sát Luenberger là sự phối
hợp nối tiếp giữa hai hệ thống tuyến tính thời gian bất
biến với nhau. Các tín hiệu u(t) và y(t) phải được cấp
đến bộ quan sát Luenberger để nhằm tạo ra đầu ra của
của bộ quan sát giá trị đánh giá ˆ( )x t của giá trị trạng
thái thực ( )x t . Với cấu trúc như vậy, x̂ sẽ dần hội tụ
373
Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011
VCCA-2011
đến x [8]. Hay nói cách khác, ta đưa ra khái niệm sai
lệch quan sát ( )e t :
ˆ( ) ( ) ( ) 0e t x t x t khi t . Khi đó ˆ( )x t được
kết luận là quan sát tốt.
Xét MHTT (11) được biểu diễn như trong H.2. Khi
đó, bộ quan sát Luenberger được mô tả bằng phương
trình vi phân trạng thái:
ˆ ˆ ˆ( )ex Ax Bu K y Cx (15)
trong đó, Ke là ma trận hệ số của bộ quan sát. Vector
sai lệch: ˆe x x . Lấy phương trình thứ nhất trong
(11) trừ cho (15), ta có:
( )ee A K C e (16)
Từ (15), ta sẽ có phương trình cho bộ quan sát:
ˆ ˆ( )e ex A K C x Bu K y (17)
Từ (16) cho biết đáp ứng động của vector sai lệch phụ
thuộc vào các giá trị riêng của ( )eA K C . Nếu các
giá trị riêng của ( )eA K C nằm tại vùng phía trái của
trục ảo trên mặt phẳng phức, ( ) 0e t khi t ,
giá trị ˆ( )x t sẽ có xu hướng tiến đến giá trị thực ( )x t .
3.3 Thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái có khâu
quan sát
Hình H.2 thể hiện hệ thống (11) và bộ quan sát
Luenberger (17). Khi áp dụng luật điều khiển phản hồi
trạng thái vào ta sẽ có:
ˆu Kx Mr (18)
Tuy nhiên, sự ổn định của một hệ thống điều khiển là
một thuộc tính nội tại và không phụ thuộc vào các đại
lượng bên ngoài đặt vào. Do vậy, ta có thể cho 0r
để thuận tiện cho nghiên cứu. Vậy nên, (18) sẽ trở
thành: ˆu Kx (19)
Với ˆ( ) ( ) ( )x t x t e t (20)
Kết hợp (11), (19) và (20) sẽ cho ra phương trình hệ
kín như sau:
( ) ( )x Ax BK x e A BK x BKe (21)
Kết hợp (16) và (21) ta có:
0
0
e
A BK BKx x
A K Ce e
xy C
e
(22)
Phương trình (21) mô tả động học vòng kín của hệ
thống điều khiển phản hồi trạng thái có sử dụng bộ
quan sát và phương trình đặc tính sẽ là:
( ) ( ) 0esI A BK sI A K C (23)
Phương trình (23) cho thấy rằng các điểm cực vòng
kín mong muốn của hệ thống điều khiển không hề
thay đổi khi có mặt bộ quan sát trạng thái. Do đó mà
ta có thể thiết kế tách rời.
Sử dụng các vector trạng thái x và x̂ , ta có các
phương trình trạng thái của hệ thống vòng kín là:
ˆˆ e e
x A BK x
K C A K C BK xx (24)
4. Tính toán và mô phỏng Bảng 1: Các thông số mô phỏng của AMB 4 DOF[8]:
Trọng lượng rotor (kg) m=12.4
Khoảng cách từ tâm hệ đến các
AMB (m)
lrt= la= lb
= lc = ld = 0.21
Momen quán tính trên trục k (kg.m2) Jk=6.88x10
-3
Momen quán tính trên trục i và j
(kg.m2)
Ji = Jj
= 2.22x10-1
Tốc độ của rotor (RPM) 10000
Tỷ số lực điện từ-dòng điện (N/A) Ki = 102.325
Tỷ số lực điện từ-chuyển vị (N/m) Ks = -4.65x105
Gia tốc trọng trường (kg.m/s2) g=9.81
Từ H.3 cho thấy rằng 2 trong số 8 điểm cực của hệ hở
nằm ở phía bên phải của trục thực, 2 điểm cực khác
nằm tại vị trí biên giới ổn định (zero) trên mặt phẳng
phức. Điều này cho thấy hệ có bản chất mất ổn định
cố hữu.
Ngoài ra, ảnh hưởng hồi chuyển thể hiện sự có mặt rất
rõ ràng khi trong hệ hở H(s) tồn tại các thành phần
ngoài đường chéo chính. Sự tồn tại của các thành phần
này trong hệ hở chính là ảnh hưởng chéo giữa các đầu
vào với các đầu ra.
H.3: Đồ thị các điểm cực của hệ hở trên mặt phẳng
phức
H.2: Hệ thống điều khiển vòng kín phản hồi trạng
thái sử dụng bộ quan sát Luenberger
374
Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011
VCCA-2011
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
H s H s H s H s
H s H s H s H sH s
H s H s H s H s
H s H s H s H s
0 1 2 3
5 8 11
1 2 3
1 2 3 4 5 6
15 5 7
1 2 3
10
4 5 6
6299 7.89 10 9.45 10 1.18 10
1 7.105 10 5.406 10 1.203 10
6.907 10 0.006836 2.44
3 21111 11
0
6 5 4 3 2
0
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s -b s +b s-b
A(s)
b = ;b = ;b = ;b =
A(s)=a s - a s +a s -a s +a s +a s+a
a = ;a = ;a = ;a =
a = ;a = ;a = 158 10
0 1 2 3 4
12 6
1 2
8 11
3 4
8.252 1.759 10 3.842 10
1.985 10 2.942 10
4 3 21212 12
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s -b s +b s -b s+b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
b = ;b =
0 1 2 3 4
13 6
1 2
8 11
3 4
20.33 2.278 10 6.806 10
7.433 10 5.635 10
4 3 21313 13
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s -b s +b s -b s+b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
b = ;b =
014H (s)=
0 1 2 3
5 7 5
1 2 36299 7.9 10 5.926 10 2.57 10
3 22121 21
0
B (s)H (s)= ;B (s)=-b s +b s -b s+b
A(s)
b = ;b = ;b = ;b =
0 1 2 3 4
13 6
1 2
7 11
3 4
8.252 7.66 10 3.842 10
2.9 10 2.693 10
4 3 22222 22
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s -b s +b s -b s+b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
b = ;b =
0 1 2 3 4
12 6
1 2
8 6
3 4
20.33 1.854 10 3.756 10
5.74 10 4.447 10
4 3 22323 23
0
B (s)H (s)= ;B (s)=-b s -b s -b s +b s-b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
b = ;b =
024H (s)=
0 1 2 3 4
13 6
1 2
7 11
3 4
20.33 2.184 10 5.28 10
1.107 10 2.818 10
4 3 23131 31
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s +b s +b s +b s+b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
b = ;b =
0 1 2
5 8 10
1 23.202 10 5.11 10 5.917 10
23232 32
0
B (s)H (s)= ;B (s)=-b s +b s-b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
0 1 2 3
10 8 10
1 2 36299 5.4 10 4.73 10 5.9 10
3 23333 33
0
B (s)H (s)= ;B (s)= b s +b s -b s-b
A(s)
b = ;b = ;b = ;b =
2
8.25234H (s)=
s
0 1 2 3 4
13 6
1 2
8 11
3 4
20.33 5.093 10 5.28 10
1.835 10 2.818 10
4 3 24141 41
0
B (s)H (s)= ;B (s)=-b s -b s -b s +b s-b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
b = ;b =
0 1 2
5 8 10
1 23.202 10 1.02 10 5.917 10
24242 42
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s +b s-b
A(s)
b = ;b = ;b = ;
0 1 2 3
10 8 11
1 2 36299 5.37 10 4.73 10 5.917 10
3 24343 43
0
B (s)H (s)= ;B (s)=b s +b s +b s+b
A(s)
b = ;b = ;b = ;b =
2
8.25244H (s)=
s
Phương pháp tách kênh Falb – Wolovich trình bày tại
mục 3.1 được áp dụng thành công để thu được ma trận
hàm truyền của hệ hở có dạng:
2
2
2
2
10 0 0
10 0 0
( )1
0 0 0
10 0 0
s
sH s
s
s
Tất cả các phần tử khác ngoài đường chéo chính đều
bằng zero.
Cùng với các hệ số M, R có giá trị như sau:
13954.52 9 10 4545.3 0 0.33618 0 0 0
954.52 9090.6 4545.3 0 0.33618 0 0 0
4545.3 0 954.52 0 0 0 7.6232 0
4545.3 0 954.52 0 0 0 7.6232 0
M
0 1.374 0.0010848 0
0 1.374 0.0010848 0
0.024598 0 0 0.060591
0.024598 0 0 0.060591
R
Với 8 điểm cực được chọn như sau:
-3+3i -3-3i -6-5.85i -6+5.85ip
-9 -12 -15-16.5i -15+16.5i
Khi đó ma trận hệ số K của bộ điều khiển phản hồi
trạng thái sẽ tính toán độc lập thông qua phương trình
đặc tính của hệ kín.
Từ đây ta có thể xây dựng được 4 đáp ứng đầu ra theo
thời gian của hệ thống AMB 4 DOF điều khiển phản
hồi trạng thái khi chưa có mặt bộ quan sát. Với điều
kiện đầu của các biến trạng thái là:
0 0.5 0.01 0.1 0 0 0.05 0 0.02T
x
375
Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011
VCCA-2011
Như đã đề cập ở trên, ma trận hệ số của bộ quan sát có
thể được thiết kế tách biệt mà không làm ảnh hưởng
đến vị trí mong muốn của các điểm cực trong hệ thống
điều khiển vòng kín. Các điểm cực mong muốn của bộ
quan sát Luenberger được chọn lớn gấp 10 lần các
điểm cực của hệ vòng kín nhằm thu được các đáp ứng
nhanh hơn tại đầu ra bộ quan sát: 10obsp p
Ma trận hệ số của bộ quan sát thu được là:
5
1755.6 2.6242 4.6059 0.005253
60.008 0.55897 1.3415 3.63 10
3.1849 1996.7 322.38 0.25864
0.33994 85.536 74.341 0.00135
1.0458 120.04 2821 0.24486
1.1745 60.287 94.456 0.007286
0.0051571 0.34296 0.67112 2700
9.8
eK
510 0.006562 0.01315 105
Sử dụng cùng điều kiện đầu x0 cho bộ quan sát:
0 0.5 0.01 0.1 0 0 0.05 0 0.02T
x để có
được đáp ứng đầu ra của bộ quan sát Luenberger như
trong H.5 dưới đây:
5. Kết luận Nghiên cứu này đã trình bày trọn vẹn việc mô hình
hóa hệ thống AMB 4DOF bằng các phương trình vi
phân và dưới dạng MHTT. Ảnh hưởng hồi chuyển gây
nên sự xen kênh điều khiển cũng được loại bỏ triệt để
thông qua phương pháp tách kênh động Falb-
Wolovich. Thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái và
bộ quan sát Luenberger có thể được thực hiện riêng
biệt do các điểm cực vòng kín mong muốn của hệ
thống điều khiển không hề thay đổi khi có mặt bộ
quan sát trạng thái. Dưới tác động của bộ điều khiển
phối hợp này, hệ thống MIMO của AMB 4 DOF
nhanh chóng thu được sự ổn định hóa. Năng lượng sử
dụng để điều khiển các cuộn dây điện từ là rất nhỏ khi
hệ đi vào ổn định. Các kết quả tính toán và mô phỏng
cho thấy hệ thống đạt được chất lượng động tốt.
Tài liệu tham khảo [1] Akira Chiba, Tadashi Fukao, Osamu Ichikawa,
Masahide Oshima, Masatsugu Takemoto and
David G. Dorrell, Magnetic Bearings and
Bearingless Drives. Newnes, 2005 [2] Gerhard Schweitzer and Eric H. Maslen, Magnetic
Bearings: Theory, Design, and Application to
Rotating Machinery. Springer-Verlag, 2009
[3] John Vance, Fouad Zeidan and Brian Murphy,
Machinery Vibration and Rotordynamics, John
Wiley & Sons, 2010
[4] Russell D. Smith and William F. Weldon,
“Nonlinear control of a Rigid Rotor Magnetic
Bearing System: Modeling and Simulation with
Full-state feedback”, IEEE Transactions on
Magnetics, Vol. 31, No. 2, March 1995
[5] Marcio S. de Queiroz and Darren M. Dawson,
“Nonlinear control of Active Magnetic Bearing: A
backstepping approach”, IEEE Transactions on
Control Systems Technology, Vol. 4, No. 5, March
1996
[6] Abdul R. Husain, Mohamad N. Ahmad and Abdul
H. M. Yatim, “Deterministic models of a Active
Magnetic Bearing System”, Journal of Computers,
Vol. 2, No. 8, October 2007
[7] Kasadar, M.E.F “An overview of active magnetic
bearing technology and applications”, The Shock
and Vibration Digest, Vol.32(2), pp.91 – 99, 2000
[8] Tian Ye, Sun Yanhua, Yu Lie, “LQG Control of
Hybrid Foil-Magnetic Bearing”, 12th
International
Symposium on Magnetic Bearings, August, 2010
[9] Chunsheng Wei, Dirk Soffker, “MIMO-control of
a Flexible Rotor with Active Magnetic Bearing”,
12th
International Symposium on Magnetic
Bearings, August, 2010
[10] Qing-Guo Wang, Decoupling Control, Springer-
Verlag, 2003
[11] P. Albertos and A. Sala, Multivariable Control
Systems, Springer-Verlag, 2004
H.4: Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển phản
hồi khi chưa có bộ quan sát Luenberger
H.5: Đáp ứng đầu ra của bộ quan sát Luenberger
376