Download pdf - Titik Ekstrim - Turunan Parsial

7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial

http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 1/23

Diferensial

Parsial

Diferensial Parsial

Titik Ekstrim



Parsial Diferensial Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel

bebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f (x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx

Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki lebihdari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebihdari satu macam, tergantung jumlah variabelbebasnya



Parsial Diferensial Jika y = f(x, z)

dan disebut derivatif parsial, dandisebut diferensial parsial, sedangkan dy disebutdiferensial total

Jika p = f(q, r, s)

dz z

dydx

x

ydy

x y

z y

dx

x y

dz

z y

ds s

pdr

r

pdq

q

pdp



Parsial Derivatif y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalah

variabel yg independen satu sama lainnya, tiapvariabel dapat berubah tanpa mempengaruhivariabel lainnya (variabel lainnya konstan)

Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1 sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, makay akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosien diferensidapat ditulis:

1

3213211

1

),...,,,(),...,,,(

x

x x x x f x x x x x f

x

y nn



Parsial DerivatifDerivative y terhadap x1 sebagaimana contoh diatas

disebut sebagai derivatif parsial dan dilambangkandengan:

Fungsi turunannya (derivative) adalah:

10

1 1

lim x

y

x

y

x

1 x

y



Contoh (2): Derivative ParsialCarilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y

= f(x1, x2) = 3x12 + x1 x2 +4x2

2

dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x

1

adalah:

turunan terhadap x2:21

1

6 x x x

y

12

1

8 x x x

y



Contoh (3): Derivative ParsialCarilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y

= f(u, v) = (u+4)(3u+2v)

dengan menganggap v konstan, turunan terhadap uadalah:

turunan terhadap v:

122623143

vuvuu

u

y

4223042

uvuu

v

y



Contoh (4): Derivative ParsialCarilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y

= f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)

dengan menganggap v konstan, turunan terhadap uadalah:

turunan terhadap v:

22

2

22

2

3

943

3

22333

vu

vuvu

vu

uvuvu

u

y

2

22

2

2

3

92

3

32332

vu

uu

vu

vuvu

v

y



Derivatif dari Parsial Derivatif Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif

fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali

Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka turunanpertama y terhadap x dan z:

turunan ke-2:

22683 z xz x

x

y

812410

2

xz x z

z

y

z x x

y86

2

2

z x z x

y

128

2

x z

y1210

2

2

z x x z

y128

2

1a

1

b

2a

2

b

1 2



Derivatif dari Parsial Derivatifturunan ke-3:

63

3

x

y

82

3

z x

y

1aa

1ab

82

3

z x

y

122

3

z x

y

1b

a

1bb

03

3

z

y

122

3

x z

y

2aa

2ab

122

3

x z

y

82

3

x z

y

2b

a

2bb



Nilai Ekstrim Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya

jika (necessary condition / syarat perlu):

Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapaiadalah maksimum atau minimum, maka ( sufficient

condition / syarat cukup):

0

x

y0

z

ydan

02

2

x y 02

2

z ydan

02

2

x

y0

2

2

z

ydan

Maksimum

Minimum



Contoh (5): Titik EkstrimCarilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45

selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut

merupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: y x dan yz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16

letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

60122

x x

x

y

50102 z z z

y



Contoh (5): Titik EkstrimCarilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45


merupakan titik maksimum atau minimum!2) Jenis titik ekstrim: y xx dan yzz :

Maka titik ekstrim adalah titik maksimum denganymax = 16

022

2

x

y02

2

2

z

y



LatihanCarilah titik ekstrim dari fungsi:

p = 3q2 – 18q + r 2 – 8r + 50


merupakan titik maksimum atau minimum!



Optimalisasi BersyaratOptimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan

dioptimalkan — baik maksimum atau minimum) atassuatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1)metode substitusi dan (2) metode Lagrange

Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama darifungsi tersebut sama dengan nol (necessary

condition)

Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut

adalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dariturunan keduanya ( sufficient condition):

Jika turunan kedua < 0, maka maksimum

Jika turunan kedua > 0, maka minimum



Metode Substitusi Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)

dengan u = g(x, y) → fungsi kendala

1)

manipulasi fungsi kendala menjadi persamaansalah satu variabel

2) Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsiobjektifitasnya

3)

Cari turunan pertama dari fungsi tersebut (untukmencari nilai ekstrim)

4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari turunan kedua

sesuai dengan persyaratan



Contoh (6) Metode Substitusi π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

dengan X + Y = 12 .......... (2)

Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3)

Substitusi (3) ke (1):

= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y – 3Y2 + 100Y

= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2

) – 12Y+ Y2 – 3Y2 + 100Y= – 4Y2 + 56Y +672 ………. (4)



Contoh (6) Metode SubstitusiDerivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0

–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7

Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5

Profit (π):

π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)

= $868

Jenis titik ekstrim:

d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum



Metode Lagrange Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)

dengan u = g(x, y) → fungsi kendala

maka:L(x, y, λ ) = f(x, y) + λ (g(x, y) – u)

Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0 (necessary

condition)

Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0 danminimum jika Lxx dan Lyy > 0 ( sufficient condition)



Contoh (7) Metode Lagrange π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

s.t. X + Y = 12 .......... (2)

Fungsi Lagrangian:

L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y

+ λ(X + Y – 12)

Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi

ditemukan pada saat f’(z) = 0:

0480

Y X

X

L………. (3)



Contoh (7) Metode Lagrange

Persamaan (3) dikurangi (4):

80 – 4X – Y + λ = 0

100 – X – 6Y + λ = 0

– 20 – 3X + 5Y = 0

01006

Y X

Y

L………. (4)

012 Y X L

………. (5)

………. (6)



Contoh (7) Metode Lagrange Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):

3X + 3Y – 36 = 0

– 3X + 5Y – 20 = 0

8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7

X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868

Jenis titik ekstrim:

d2π/dX2 = -4 < 0

d2π/dY2 = -8 < 0 Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:

λ = – 5 – 42 + 100 = – 53

titik esktrim maksimum



LatihanCarilah titik ekstrim dari fungsi:

z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8

Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilai ekstrimfungsi tersebut menggunakan metode :

a. Substitusi

b. Lagrange