NOMBRES:
Julio Siguencia, Mauricio Tipan, Juan Diego Placencia
CARRERA: Ingeniería Electrónica
DOCENTE: Ing. Diego Chacon
FECHA:
01/04/2013
CICLO:
4º
Realizar los ejercicios de la unida 5 desde el 5.1 hasta el 5.15 los pares.
5.2 Determine las raíces reales de ( ) – –
a) Gráficamente b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use
los valores iniciales xl = 0 y xu = 1 iterando hasta que el error estimado se encuentre debajo de = 10%.
Graficamos y determinamos el cruce con x que es la raíz solución de la
función para este caso solo raíces reales:
Posición x= 0.417725 y=0
Para el literal b utilizamos el método de la bisección:
Condiciones iniciales xl = 0 y xu = 1
Entonces realizamos la primera iteración utilizando la siguiente formula:
^
Para calcular el error aproximado utilizamos la siguiente formula:
|
|
|
|
Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que
subintervalo está la raíz:
Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo izquierdo.
Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo derecho.
Si ( ) ( ) entonces termina el cálculo.
f(0)*f(0.5)= -2*0.375= - 0.75
Segunda iteración:
|
|
f(0)*f(0.25)= -2*-0.73= +1.5
Tercera iteración:
|
|
f(0.25)*f(0.375)= -0.73*-0.18= +0.1314
Cuarta iteración:
|
|
f(0.375)*f( )= -0.18*+0.086= -0.015
Quinta iteración:
|
|
La respuesta es x = 0.406 ya que
Tabla comparativa.
Iteración Xi Xu Xr Ea(%)
1 0 1 0.5 100
2 0 0.5 0.25 100
3 0.25 0.5 0.375 33.3333333
4 0.375 0.5 0.4375 14.2857143
5 0.375 0.4375 0.40625 7.69230769
5.4 Calcule las raíces reales de ( ) : a) Gráficamente. b) Empleando el método de la falsa posición con un valor de Es correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más pequeña.
f(xl)=(-1, 29.75) f(xu)=(0, -12) Usando el método de la falsa posición que trata de unir f(xl) y f(xu) con una línea recta. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
Primera Iteración
( )
( )
Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo.
Segunda iteración ( ) ( )
( )
( )
| ( )
|
( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Tercera Iteración ( ) ( )
( )
( )
| ( )
|
Cuarta Iteración ( ) ( )
( )
( )
| ( )
|
Quinta Iteración ( ) ( )
( )
( )
| ( )
|
Sexta Iteración ( ) ( )
( )
( )
| ( )
|
Séptima Iteración ( ) ( ) 0.0108
( )
( )
| ( )
|
Por lo tanto:
Iteración Xl Xu Xr Ea(%)
1 -1 0 -0.2873 2 -1 -0.2873 -0.3794 24.27%
3 -1 -0.3794 -0.4052 6.36% 4 -1 -0.4052 -0.4121 1.67%
5 -1 -0.4121 -0.4139 0.43% 6 -1 -0.4139 -0.4144 0.12%
7 -1 -0.4144 -0.4146 0.04%
5.6 Determine la raíz real de ln = 0.7:
a) Gráficamente
X ≈ 1,4
b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales xl = 0.5 y xu = 2.
( ) ( ) si >0 sustituye a
Iteración 1 Y
( ) ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2
Iteración 2 Y
( ) ( ) ( ) ( ) <0 reemplazo por en iteración 3
Iteración 3 Y
c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición, con los mismos valores iniciales de b).
( )( )
( ) ( )
Iteración 1
Y ( ) ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2
Iteración 2
Y ( ) ( )
( ) ( ) <0 reemplazo por en iteración 3
Iteración 3
Y ( ) ( )
true
5.8 Calcule la raíz cuadrada positiva de 18 usando el método de la falsa posición
con = 0.5%. Emplee como valores iniciales xi = 4 y xu = 5.
Primero calculamos la raíz cuadrada positiva de 18 que es igual a 4.243
Método de la falsa posición:
( )
( )( )
( ) ( )
Valores iniciales
Condición hasta
Primera iteración
( ) , ( )
( )( )
( ) ( ) 4.47
|
|
( )( )
( ) ( ) 4.22
|
|
( )( )
( ) ( ) 4.34
|
|
( )( )
( ) ( ) 4.27
|
|
( )( )
( ) ( ) 4.24492
|
|
( )( )
( ) ( ) 4.235
|
|
La respuesta es x = 4.235 ya que
5.10 Encuentre la raíz positiva de ( ) ,
utilizando el método de la falsa posición. Tome como valores iniciales a xl=4.5 y
xu=6, y ejecute cinco iteraciones. Calcule los errores tanto aproximado como
verdadero, con base en el hecho de que la raíz es 5.60979. Emplee una gráfica
para explicar sus resultados y hacer el cálculo dentro de un Es=1.0%
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
Primera Iteración
( )
Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo
está la raíz:
Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo izquierdo.
Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo derecho.
( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo derecho.
Segunda iteración ( ) ( )
( )
| )
|
( ) ( ) ( )( )
Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo derecho.
Tercera iteración ( ) ( )
( )
| )
|
( ) ( ) ( )( )
Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo derecho.
Cuarta iteración ( ) ( )
( )
| )
|
( ) ( ) ( )( )
Por lo tanto:
Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del
subintervalo derecho.
Quinta iteración ( ) ( )
( )
| )
|
Iteración Xl Xu Xr Ea(%) Et(%)
1 4.5 6 5.0175 10.55% 2 5.0175 6 5.1404 2.39% 8.36%
3 5.1404 6 5.2539 0.021% 6.34%
4 5.2539 6 5.3569 0.019% 4.50% 5 5.3569 6 5.4425 0.015% 2.98%
Después de cinco iteraciones, el error verdadero sólo se ha reducido al 2.9%.
Además observamos que Ea<Et. Por lo que el error aproximado es engañoso. Se
obtiene mayor claridad examinando la gráfica.
5.12 Dada
f(x) = Use el método de la bisección para determinar el máximo de esta función. Haga elecciones iniciales de xl = 0 y xu = 1, y realice iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea menor que 5%.
|
|
Iteración 1
Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2
|
|
Iteración 2
Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 3
|
|
Iteración 3
Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 4
|
|
Iteración 4
Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 5
|
|
Iteración 5
Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 6
|
|
En la iteración número 6 se logró el máximo ya que se llegó a un
porcentaje menor a 5%.
(%)
5.14 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura P5.14. Emplee el
método de bisección para resolver la posición dentro de la viga donde no hay
momento.
Encontrando las reacciones en los apoyos:
∑ M1 = 100 (3) +100 (6) -R2 (100) + 100 (12) = 0
R2 = 285 LBS
∑ M2 = -100 (8) -000 (5.5 ) +R1 (10) + 100 (2) = 0
R1 = 265 LBS
R1=100 lbs. R2= 100 lbs.
La ecuación de momento es:
0 < x < 3 La ordenada en el punto x sera igual a (100/3)x , por
consiguiente:
La carga en el intervalo x sera igual a (100/3)x * x /2 ubicada a 2/3 de
x
por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x, tenemos que:
∑ Mx = M + (100/6)x^2 (x/3) - 265 x = 0
∑ Mx = M + (100/18)x^3 - 265 x = 0
3 < x < 6 La ordenada en el punto x sera igual a 100 lb , por
consiguiente:
La carga en el intervalo x sera igual a 100(x-3) ubicada a (x-3)/2
por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x, tenemos que:
∑ Mx = M + 100 (x-3) (x-3) (1/2) + 150 (x-2) - 265 x= 0
∑ Mx = M + 50 (x^2-6 x + 9 + 150 x -300 - 265 x = 0
∑ Mx = M + 50 x^2 -300 x +450 + 150 x -300 - 265 x = 0
∑ Mx = M + 50 x^2 - 415 x + 100 = 0
6.2 Determine la raíz real más grande de
f(x) =
a) En forma gráfica.
La raíz real más grande es x ≈ 3.5
b) Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones, x0 = 3). Nota: asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz.
c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x0 = 3,
d = 0.001).
( )
( )
( )
( )
Iteración 1 ( ) ( )
Iteración 2 ( ) ( )
Iteración 3 ( ) ( )
d) Con el método de la secante (tres iteraciones x–1 = 3, x0 = 4).
( )
( )( )
( ) ( )
Iteración 1 ( ) ( )
Iteración 2 ( ) ( )
Iteración 3 ( ) ( )
e) Con el método de la secante modificado (tres iteraciones, x0 = 3, d = 0.01). Calcule el porcentaje aproximado de errores relativos para sus soluciones.
( )
( )
( ) ( )
Iteración 1 ( ) ( )
Iteración 2 ( ) ( )
Iteración 3 ( ) ( )
( )
%
%
6.4 Localice la primera raíz positiva de f(x) = sen x + cos(1 + x2) – 1
donde x está en radianes. Para localizar la raíz, use cuatro iteraciones
del método de la secante con valores iniciales de
a) xi–1 = 1.0 y xi = 3.0;
b) xi – 1 = 1.5 y xi = 2.5,
c) xi–1 = 1.5 y xi = 2.25.
Primera iteración
Xi-1=3 f(x-1)=-1.6979
Xi=1 f(Xi)=-0.5746
Xi+1= ( )
-0.023
Segunda iteración
Xi-1=3 f(x-1)= -1.6979
Xi=-0.023 f(Xi)=-0.4822
Xi+1= ( )
-1.2218
Tercera iteración
Xi-1=-0.023 f(x-1)=-0.4822
Xi=-1.2218 f(Xi)=-0.964
Xi+1= ( )
Iteración Xi-1 Xi Xi+1
1 1 3 -0.023
2 3 -0.023 -1.2218
3 -0.023 -1.2218 1.176
Primera iteración
Xi-1=1.5 f(x-1)=-0.9966
Xi=2.5 f(Xi)=0.1993
Xi+1= ( )
2.3565
Segunda iteración
Xi-1=2.5 f(x-1)= 0.1663
Xi=2.3565 f(Xi)=-0.6706
Xi+1= ( )
Tercera iteración
Xi-1=2.54 f(x-1)=-0.0845
Xi=2.3565 f(Xi)=0.1663
Xi+1= ( )
Iteración Xi-1 Xi Xi+1
1 1.5 2.5 2.3565
2 2.5 2.3565 2.54
3 2.3565 2.54 2.611
Primera iteración
Xi-1=1.5 f(x-1)=-0.9966
Xi=2.25 f(Xi)=0.7538
Xi+1= ( )
Segunda iteración
Xi-1=2.25 f(x-1)= 0.7538
Xi=1.927 f(Xi)=-0.618
Xi+1=1.927 ( )
Tercera iteración
Xi-1=1.927 f(x-1)=-0.0618
Xi=1.9514 f(Xi)=0.0238
Xi+1= ( )
Iteración Xi-1 Xi Xi+1
1 1.5 2.25 1.927
2 2.25 1.927 1.9574
3 1.927 1.9574 1.9449
6.6 Determine la raíz real más pequeña de f( ) – – –
a) En forma gráfica.
b) Con el empleo del método de la secante para un valor de que
corresponda a tres cifras significativas.
Graficamos y determinamos la raíz real más pequeña:
Posición x= 2.050633 y=0
Método de la secante
Valores iniciales
La raíz es 2.05
Primera iteración
( )
( )
( )
=2.01
|
|
Segunda iteración:
( )
( )
( )
=2.05
|
|
La solución es 2.05
6.8 Determine la raíz real de , con el método de la secante modificado dentro de Ea = 0.1%, con el uso de una elección inicial de Xo= 3.5 y d = 0.01.
( ) Función
Formula del método de la secante modificada
( )
( ) ( )
Iteración 1 ( ) ( )
Iteración 2
( ) ( )
( )
%
6.10 Determine la menor raíz positiva de ( ) ( )
a) En forma gráfica.
b) Con el uso del método de Newton-Raphson(tres iteraciones, xi=0.3).
c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi-1=0.5 y xi=0.3).
La menor raíz positiva es: 0.14501
( ) ( ) ( )
Primera Iteración
( ) ( )
( )
( )
Segunda Iteración
( ) ( )
Tercera Iteración
( ) ( )
Iteracion X1 f(x1) f´(x1) Xi+1 1 0.3 -0.9689 5.8954 0.4643
2 0.4643 -0.9592 4.9876 0.6566 3 0.6566 -0.9524 4.1010 0.8888
c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi-1=0.5 y xi=0.3).
Primera Iteración
( )
( )=
( )( )
( ) ( )
( )
Segunda Iteración
( ) 17.4415
( )
( )( )
( ) ( )
( )
6.18 Desarrolle un programa amigable para el usuario para el Método de la secante, con base en la figura 6.4 y la sección 6.3.2. Pruébelo con la repetición de los cálculos del ejemplo 6.6.
Option explicit
Sub Secmod()
Dim imax As Integer, iter As Integer
Dim x As Single, es As Single, ea As Single
x=1
es=0.01
imax=20
Msgbox “raiz: ” & ModSecant(x, es, imax`, iter, ea )
MsgBox “iteraciones: ” & iter
MsgBox “error estimado: ” & ea
End Sub
Function f(x)
f=Exp(-x)-x
End Function
Function ModSecant(x, es, imax, iter, ea )
Dim xr As Single, xrold As Single, fr As Single
Const del As Single=0.01
xr=x
iter=0
Do
xrold=xr
fr = f(xr)
xr=xr – fr * del * xr / (f(xr+del*xr)-fr)
iter= iter + 1
If(xr<> 0) Then
ea= Abs((xr-xrold)/xr)*100
End If
If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do
Loop
ModSecant = xr
End Function
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