ÜÜRETRETİİM M

TEORTEORİİSSİİwww.KpssAnaliz.com

22

Bir girişimde bulunulan işin maliyeti, o işi yapmak için

vazgeçilen diğer işlerin getirisiyle ölçülür. Buna ffıırsat maliyetirsat maliyeti

diyoruz. Örneğin bir girişimci meyve toplama işinin 1

saatinden 7.60 $ kazanabileceğini varsayalım. Dolayısıyla bu

kişi reçel yapımıyla uğraşırsa, her bir saat için meyve toplama

işinin fırsat maliyeti 7.60 $ olacaktır. Eğer bu kişi her hafta

pazartesi sabahı 5 saat reçel üretirse, toplam fırsat maliyeti

38 $ olur. Girişimci birey haftanın geri kalan günlerinde reçel

yapımında kullanılmak üzere meyve toplayabilir. Bu durum

yatyatıırrıımmın özünü oluşturur.www.KpssAnaliz.com

Diğer yandan birey sermaye piyasasından bir haftalık süre için

38 $ borçlanarak, Pazartesi günü gerçekleştirdiği reçel

yapımını, haftanın diğer günleri meyve toplamaksızın finanse

edebilir. Yani meyve piyasasından 38 $ meyve satın alır.

Ancak bir hafta sonra, aldığı borcu faiziyle birlikte geri

ödemek zorundadır.

Eğer reçel üreticisi birey bir işletme kurmak isterse, meyve

toplama işinden haftada 190 $ gelir elde edebilir. Bu parayı

kazanmadıkça da, girişimi başlatmaz.

33

www.KpssAnaliz.com

44

Bu gelir, reçel yapımı, meyve ve diğer üretim giderlerini

karşılamaktadır. Bu nedenle 190 $ reçel üretim işinin toplam

fırsat maliyetidir. Biz kavrama aynı zamanda normal knormal kâârr adını

da veriyoruz. Bu gelirin üzerindeki herhangi bir kâr, aaşışırrıı kkâârr

olarak tanımlanmaktadır.

Örnek girişimcinin 45 cm3 kavanoz ve 6 meyve toplayıcısıyla

haftada ortalama 4 kilo reçel ürettiğini varsayalım. Ayrıca

üretimdeki bu girdileri iki katına çıkarttığında, üretim

miktarının da (çıktı) iki kat arttığını kabul edelim. Bu üretim

süreci Şekil 3.1’de gösterilmiştir.www.KpssAnaliz.com

55ŞŞekil 3.1. ekil 3.1. ÜÜretim Tekniretim Tekniğğii

A(4)

B(8)

1

Sermaye(Kavanoz)

2

0 6 12 İşgücü(Meyve

Toplayanlar)

www.KpssAnaliz.com

Birinci durumda 1 birim sermaye-6 birim işgücü kullanılarak, 4

birim reçel üretilmiştir. Aynı şekilde ikinci durumda 2 birim

sermaye-12 birim işgücü kullanılarak, 8 birim reçel

üretilmiştir. Her iki üretim sürecinde kullanılan sermaye-

işgücü oranı 1/6 ‘dır. Her iki üretim sürecinde sermaye-işgücü

oranı sabit kaldığından, biz bu üretim sürecini dodoğğrusalrusal olarak

tanımlıyoruz.

Bundan sonra sermayeyi K, işgücünü de L harfleriyle

gösterelim.

66

www.KpssAnaliz.com

Reçel üreticisi için 2 farklı üretim tekniğini kullanabilme

olanağının bulunduğunu varsayalım. Ayrıca Şekil 3.2’de 3 ve 4

süreçleri de gösterilmiştir. Ancak bu süreçler yapılabilir

değildir. Kavanoz olmaksızın yalnızca meyveyle ve meyve

olmaksızın yalnızca kavanozla reçel üretilemez. Dolayısıyla

hem işgücü hem de sermayeye birlikte ihtiyaç vardır. Şekilde

S2 iişşggüüccüü yoyoğğunun, S1 de sermaye yosermaye yoğğunun üretim süreçlerini

göstermektedir.

77

www.KpssAnaliz.com

88ŞŞekil 3.2. ekil 3.2. ÜÜretim Tekniretim Tekniğği Sei Seççeneklerienekleri

A

B

1

L0

K

6

2

3

Süreç 1 (S1)

Süreç 3 (S3)

Süreç 4 (S4)

Süreç 2 (S2)

q(Üretim Kümesi)Z

W

1 (1,6,4)Aq =

2 (2,3,4)Bq =

www.KpssAnaliz.com

99

ÜÜretim Tekniretim Tekniğğii, belirli bir ürünün üretilebilmesine olanak

sağlayan tüm üretim süreçlerini kapsar. Olanaklı tüm üretim

süreçleri, üüretim kretim küümesimesi olarak adlandırılmaktadır. Yukarıdaki

şekilde kırmızı doğularla gösterilen iki üretim sürecinin

(vektörünün) arasında çok sayıda yapılabilir teknoloji vardır.

Örneğin ve . W ve Z yapılabilmesi

olanaklı olmayan durumları göstermektedir.

1 (1,6,4)Aq = 2 (2, 3,4)Bq =

www.KpssAnaliz.com

Bir olanaklı üretim kümesinin tanımlanabilmesi için,

teknolojiyle ilgili şu varsayımların yapılması gereklidir.

1. q üretim kümesinde, yK >0, yL >0 ve b >0 ‘dır. Yani girdi

kullanmazsak, çıktı elde edemeyiz:

2. Üretim süreci tersine çevrilemez. Yani 1 birim sermaye, 6

birim işgücü kullanarak 4 kilo reçel üretiyorsak, 4 kilo

reçeli 1 birim işgücü , 6 birim sermaye biçimine

dönüştüremeyiz.

( , , )K Lq q q b=

1010

www.KpssAnaliz.com

1111

3. q1 ve q2 üretim yöntemlerini yapılabilir ise, q1+q2=q3

yöntemi de yapılabilir. Buna toplanabilirliktoplanabilirlik özelliği diyoruz.

Şekil 3.3 bunu göstermektedir.

4. Belirli bir girdi miktarıyla, belirli bir miktar ürün elde

edebiliyorsak, girdileri l oranında kullandığımızda, l

oranında üretim elde edebiliriz. Buna bbööllüünebilirliknebilirlik adını

veriyoruz.

www.KpssAnaliz.com

1212ŞŞekil 3.3. ekil 3.3. ÜÜretim Tekniklerinde retim Tekniklerinde

ToplanabilirlikToplanabilirlik

2

1

6 L0

K

3

Süreç 1 (S1)

Süreç 2 (S2)2 (4,6,8)q =

1 (1,6,4)q =

212

q4 1 21 12 2

q q q= +

3 1 2 (5,12,12)q q q= + =

112

q

12

45

www.KpssAnaliz.com

1313

5. q1 ve q2 yöntemleri tam çalışma halinde yapılabilir ise,

çalışma sürecinin belirli bölümünde q1, geri kalan

bölümünde q2 yapılabilir yöntemlerdir. Buna konvekslik konvekslik

(d(dışışbbüükeylik)keylik) özelliği diyoruz. Örneğin yukarıdaki şekilde

q4 yöntemi, tam çalışmanın yarısında q1, diğer yarısında da

q2 yöntemi ile edilmektedir.

www.KpssAnaliz.com

1414

Şekil 3.4’de S1 ve S2 üretim yöntemleri, üretim kümemizin

sınırlarını çizmektedir. Şimdi orijin noktasından başlayarak S1

üzerinde 4 birim ürün düzeyine kadar (q1) ilerleyelim. Aynı

işlemi S2 üzerinde de yapalım (q2). q1, S1 üretim yöntemi

kullanıldığında 4 birim ürün elde etmenin teknolojik olarak en

etkin yoludur. q1’in altında 4 birimden az, üstünde de fazla

ürün elde ederiz. Dolayısıyla etkin etkin üüretimretim, veri üretim düzeyini

en az girdiyle elde etmektir.

www.KpssAnaliz.com

1515ŞŞekil 3.4. Etkin ekil 3.4. Etkin ÜÜretim Teknikleriretim Teknikleri

6

2

1

L0

K

3

S2

S4

S1

S3S3

X

q2

q’3

q3

q1

ω

Z

www.KpssAnaliz.com

1616

Benzer şekilde her üretim yönteminde 4 birim ürün noktasını

işaretleriz. Bu noktaların birleştirilmesiyle oluşan eğriye,

eeşşüürrüün en eğğrisirisi adını veriyoruz. Eşürün eğrisinin q2 noktasından

sonra tam dik olduğuna dikkat edelim. Yani işgücü girdisini 3

birimde sabit tutarsak, üretime katılan her ek işgücü 4

birimden daha fazla üretim yapılmasını sağlamaz. Benzer

durumu q1 noktasının sağ tarafı içinde söyleyebiliriz.

www.KpssAnaliz.com

Bir önceki şekilde yer alan olanaklı üretim yöntemleri sayısını

giderek artıralım. Yeni üretim yöntemleri, sermaye ve işgücü

arasında yeni ikame olanaklarının ortaya çıkmasını sağlar. Çok

sayıdaki üretim yönteminin her birinde 4 birimlik üretim

düzeyini aynı şekilde işaretler ve birleştirirsek, eşürün

eğrisindeki dirsek sayısının giderek arttığını ve hatta yöntem

sayısını sonsuza götürdüğümüzde, eşürün eğrisinin düzgün

bükülen bir konveks eğriye dönüştüğünü görebiliriz.

1717

www.KpssAnaliz.com

1818ŞŞekil 3.5. Olanaklekil 3.5. Olanaklıı ÜÜretim Teknikleri ve retim Teknikleri ve

EEşşüürrüünn EEğğrisirisi

L0

K

S2

S1

S3S3

S4

S7

S5

S6

www.KpssAnaliz.com

1919ŞŞekil 3.6. Olanaklekil 3.6. Olanaklıı ÜÜretim Teknikleri ve retim Teknikleri ve

EEşşüürrüünn EEğğrisirisi

L0

K

S2

S1

S3S3

S4

S5

S7

S6

48

22

www.KpssAnaliz.com

2020

Düzgün bir hareket çizen eşürün eğrisi, sürekli ve her yerde

türevi alınabilir özelliğe sahiptir. Bu şekildeki bir eşürün

eğrisinin üzerinde, aynı miktar üretim yapabilmek için sonsuz

tane sermaye-işgücü bileşimini kullanmak olanaklıdır.

Yukarıda bu özellikleri taşıyan bir grup eşürün eğrisi yer

almaktadır. Bu eşürün eğrileri, ilgili malı üretmek için

kullanılabilecek mevcut teknolojileri tanımlamakta ve veri bir

üretim düzeyini gerçekleştirebilmenin en etkin yolunu

göstermektedir.www.KpssAnaliz.com

2121

Aynı zamanda eşürün eğrileri, veri girdilerle, en yüksek ürün

miktarının elde edilebileceğini de göstermektedirler.

Bu şekildeki bir grup eşürün eğrisince belirlenen üüretim retim

fonksiyonu,fonksiyonu, veri girdilerle en yüksek ürün miktarının elde

edilebileceğini tanımlamaktadır.

1 2( , )Çıktı f Girdi Girdi=

www.KpssAnaliz.com

2222

Eşürün eğrileri bir çok noktada kayıtsızlık eğrilerine

benzemektedir. Kayıtsızlık eğrileri, bireyin tüketim

tercihlerini, eşürün eğrileri de bir üreticinin üretim tekniği

olanaklarını gösterir. Ancak kayıtsızlık eğrilerinin endeks

sayıları tercihteki sıralamayı göstermesine karşın, eşürün

eğrilerinin endeks sayıları ise gerçek çıktı miktarını gösterir.

www.KpssAnaliz.com

2323

Eşürün eğrilerinin şu özelliklerini sayabiliriz :

1. Negatif eğimlidir.

2. Orijine göre konvekstir.

3. Birbirleriyle kesişmezler.

4. Orijinden uzaklaştıkça, daha yüksek üretim düzeyini

gösterirler.

www.KpssAnaliz.com

2424

Eşürün eğrisinin eğimi, marjinal teknik ikame oranı (MRTS) ile

ölçülür. MRTS, üretim düzeyi aynı kalmak koşuluyla

girdilerden birini ∆ birim daha fazla kullanmak istediğimizde,

diğer girdiden ne ölçüde vazgeçmemiz gerektiğini tanımlar.

KLKMRTSL

∆= −

∆

www.KpssAnaliz.com

2525

Diğer bir ifadeyle, sermaye ile işgücünün birbirlerini ne ölçüde

ikame ettiklerini gösterir. Negatif eğimli bir eşürün eğrisinde

MRTS negatif değere sahiptir. Orijine göre konveks (dışbükey)

bir eşürün eğrisi üzerinde MRTS’nin mutlak değeri yukarıdan

aşağıya inildikçe azalır. Marjinal teknik ikame oranını, sermaye

ve işgücünün marjinal verimliliklerinin birbirine oranı olarak

da tanımlayabiliriz.

LKL

K

MPK q LMRTSL q K MP

∆ ∆ ∆= − = − =

∆ ∆ ∆www.KpssAnaliz.com

2626

Bir girdinin marjinal verimliliğini şöyle tanımlayabiliriz:

Girdilerden biri sabitken, diğerinin ∆ birim artışı karşısında,

üretimde meydana gelen ∆ birimlik değişmedir. Sermayenin

ve işgücünün marjinal verimliliklerini şöyle yazabiliriz:

,K Lq qMP MPK L∆ ∆

= =∆ ∆

www.KpssAnaliz.com

2727

Sermayenin marjinal verimliliğini ∆q/∆K olarak yazdık.

Sermayenin değişimini sonsuz küçüklükte yaparsak, marjinal

verimliliği yeniden şu biçimde tanımlamamız gerekir.

0 0lim , limK LK L

q q q qMP MPK K L L∆ → ∆ →

∆ ∂ ∆ ∂= = = =

∆ ∂ ∆ ∂

Buna göre MRTSKL ’yi de yeniden tanımlayalım.

LKL

K

MP q LMRTSMP q K

∂ ∂= =

∂ ∂www.KpssAnaliz.com

2828ŞŞekil 3.7. Marjinal Teknik ekil 3.7. Marjinal Teknik İİkame Orankame Oranıı

L0

K

q1

a

9 11

2

3

∆K

∆L

b

2 3 111 9 2KL

KMRTSL

∆ −= − = = −

∆ −

www.KpssAnaliz.com

2929ŞŞekil 3.8. Marjinal Verimlilikekil 3.8. Marjinal Verimlilik

L0

K

4

7

a

c

9 11

2

3

7 4 33 2K

qMPK∆ −

= = =∆ −

7 4 311 9 2L

qMPL

∆ −= = =∆ −

L’yi sabit tutuyoruz.

K’yi sabit tutuyoruz.

b

www.KpssAnaliz.com

3030ŞŞekil 3.9. ekil 3.9. ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu

TPL (q)

0

e1

LL1

e2

L2

www.KpssAnaliz.com

3131ŞŞekil 3.10. ekil 3.10. ÜÜretim Fonksiyonu ve Marjinal retim Fonksiyonu ve Marjinal

ve Ortalama Verimliliklerin Belirlenmesive Ortalama Verimliliklerin Belirlenmesi

TPL (q)

0

e1

LL1

e2

L2

www.KpssAnaliz.com

3232ŞŞekil 3.11. Marjinal Verimlilik Eekil 3.11. Marjinal Verimlilik Eğğrisirisi

MPL

0 L3

e2

L2 L

0limL L

q qMPL L∆ →

∆ ∂= =

∆ ∂

MPL

2

2

( )LMP q L qL L L

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

MPL’deki değişim:e1

L1

e3

www.KpssAnaliz.com

3333ŞŞekil 3.12. Ortalama Verimlilik Eekil 3.12. Ortalama Verimlilik Eğğrisirisi

APL’deki değişim:APL

L3

e2

L2L

LqAPL

=

( )LAP q LL L

∂ ∂=

∂ ∂

e1

L1

e3

0www.KpssAnaliz.com

34ŞŞekil 3.13. ekil 3.13. ÜÜretim Fonksiyonu ve Kayretim Fonksiyonu ve Kayııtstsıızlzlıık k EEğğrileri

34

rileri

4

21 3

6

0

LK

q

q2q1

www.KpssAnaliz.com

3535ŞŞekil 3.14a. ekil 3.14a. ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu

( ) ( )3 2 3 2( , ) 6 2 6 2q q K L K K K L L L= = − + − − + −

0

1

2

3

4

5 0

1

2

3

4

5

0

200

400

0

1

2

3

4

5www.KpssAnaliz.com

3636ŞŞekil 3.14b. ekil 3.14b. ÜÜretim Fonksiyonu (Sermaye Sabit)retim Fonksiyonu (Sermaye Sabit)

3 2( , ) 6 2q q K L L L L= = − + −

1 2 3 4 5

5

10

15

20

L

q

0

www.KpssAnaliz.com

3737ŞŞekil 3.14c. Marjinal Verimlilik Eekil 3.14c. Marjinal Verimlilik Eğğrisirisi

2( , ) 3 12 2L LMP MP K L L L= = − + −

1 2 3 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

MPL

www.KpssAnaliz.com

3838ŞŞekil 3.14d. Ortalama Verimlilik Eekil 3.14d. Ortalama Verimlilik Eğğrisirisi

2( , ) 6 2L LAP AP K L L L= = − + −

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

APL

0www.KpssAnaliz.com

3939

Bir girişimci, çok sayıda farklı girdi bileşimi kullanarak, farklı

üretim miktarları elde edebilir. Üretim fonksiyonu etkin girdi-

çıktı bileşimlerini gösterse de, hangi bileşimin girişimcinin

kârını maksimize edeceğini söylemez. Bunu görebilmek için,

girişimcinin kullanabileceği teknolojileri incelemek gerekir.

Genel olarak teknolojiyi nitelendiren iki olgu vardır :

1. Kullanılan teknolojinin ölçeğe göre getirisi.

2. İkame esnekliği.

www.KpssAnaliz.com

4040

Ölçeğe göre getiri, girdilerin tümü aynı oranda artırıldığında,

üretim miktarının ne oranda değiştiği konusunda bilgi verir.

Örneğin sermaye ve işgücünü iki katına çıkarırsak, üretim

miktarı iki kattan daha fazla mı, daha az mı, yoksa aynı ölçüde

mi artar? Bu sorunun yanıtı, kullanılan teknolojinin ölçeğe

göre getirisine bağlıdır.

www.KpssAnaliz.com

4141

Eğer girdileri iki kat artırdığımızda;

1. Üretim miktarı iki kattan fazla artıyorsa ölçeğe göre artan

getiri

2. Üretim miktarı iki kattan az artıyorsa ölçeğe göre azalan

getiri

3. Üretim miktarı iki kat artıyorsa ölçeğe göre sabit getiri

vardır.

www.KpssAnaliz.com

4242ŞŞekil 3.15a. ekil 3.15a. ÖÖllççeeğğe Ge Gööre Sabit Getirire Sabit Getiri

S1

B

A

3 60

2

4

1

S2

4

8

D

C

L

K

www.KpssAnaliz.com

4343ŞŞekil 3.15b. ekil 3.15b. ÖÖllççeeğğe Ge Gööre Artan Getirire Artan Getiri

S1

B

A

6 120

2

14

10

L

K

www.KpssAnaliz.com

4444ŞŞekil 3.15c. ekil 3.15c. ÖÖllççeeğğe Ge Gööre Azalan Getirire Azalan Getiri

S1

B

A

6 120

2

14

6

L

K

www.KpssAnaliz.com

Yukarıda verilen ölçeğe göre getiri şekillerinin (Şekil

3.15a,b,c) her birinde sermaye (K) ve işgücünü (L) iki katına

çıkarıyoruz.

Ölçeğe göre getirinin sabit olduğu şekilde üretim 4’den 8’e

çıkmakta (yani iki kat artmakta); getirinin artan olduğu

durumda 4’den 10’a çıkmakta (yani iki buçuk kat artmakta);

azalan olduğu durumda da 4’den 6’ya çıkmaktadır (yani bir

buçuk kat artmakta).

4545

www.KpssAnaliz.com

ÖÖllççeeğğe ge gööre artan getirinin re artan getirinin ççeeşşitli nedenleri varditli nedenleri vardıırr.

1. Firma büyüdükçe, işçilerin uzmanlaşması artar, dolayısıyla

verimliliği yükselir.

2. Bazı sermaye malları büyük ölçekli firmalarda

kullanıldığında önemli tasarruflar sağlayabilir. Örneğin

modern bir biçer-döver aracının 100 dönümlük bir

işletmede kullanılması ile, 100000 dönümlük işletmede

kullanılması gibi.

3. Fiziksel koşullarda bazı değişikliklerin yapılması. Örneğin

boru hattıyla petrol taşımacığı yapan bir firma, boru çapını

iki katına çıkardığında, taşınan petrol miktarı iki katından

fazla artar.

4646

www.KpssAnaliz.com

4747

Teknolojiyi niteleyen diğer önemli konu ikame esnekliğidir.

İİkame esneklikame esnekliğğii, veri bir üretim düzeyinde girdilerin birbirini

ne kolaylıkta ikame ettiğini gösterir.

İkame esnekliği, göreli faktör fiyatlarındaki yüzde

değişmenin, faktör yoğunluğunda yol açtığı yüzde değişme ile

ölçülür.

( )( )( )( )

K LK Lw r

w r

∆

σ =∆

Faktör yoğunluğundaki (K/L)

yüzde değişme

Göreli Faktör fiyatlarındaki (w/r)yüzde değişme

www.KpssAnaliz.com

Üretim teorisi içinde şu ana kadar, girişimcinin optimal bir

girdi bileşimini nasıl ayarlayabileceği ile ilgili konuları ele

aldık. Ancak analizi zamandan soyutlayarak yaptık.

Girişimcinin, üretmeyi planladığı çıktı miktarını en az

harcamayla üretebilmesi için gereken optimal girdi karmasını

ne kadar bir zamanda oluşturabileceğini de bilmesi gereklidir.

4848

www.KpssAnaliz.com

4949

Örneğin reçel üreticisinin elinde 1 adet kavanoz olduğunu ve 6

meyve toplayıcısıyla da anlaşma yapmış olduğunu varsayalım.

Eğer üretim zamanında reçel talebi düşecek olursa,

girişimcinin girdi sözleşmelerini önceden yaparak bağlanmış

olması nedeniyle, bu durum karşısında yapabileceği hiçbir şey

yoktur. Bu zaman dilimine, piyasa dpiyasa dööneminemi ya da ççok kok kıısa sa

ddöönemnem diyoruz.

www.KpssAnaliz.com

5050

Zaman boyutunu biraz daha artırdığımızda, girişimci sermaye

girdisinde bir değişiklik yapamasa da, işgücü girdisini,

sözleşmeleri iptal ederek azaltabilir, dolayısıyla üretimi

kısabilir. Bu zaman dilimine kkıısa dsa döönemnem diyoruz. Dikkat

edilmesi gereken nokta, girdilerden biri sabitken, diğeri

değişkendir.

www.KpssAnaliz.com

Girişimcinin tüm girdileri değiştirebileceği zaman dilimi de

uzun duzun döönemnem olarak ifade edilmektedir. Böyle bir dönemdeki

üretim fonksiyonunu da uzun duzun döönem nem üüretim fonksiyonuretim fonksiyonu olarak

adlandırıyoruz. Dolayısıyla kısa dönem üretim fonksiyonunda

girişimci yalnızca işgücü kullanımını değiştirebiliyor. Sermaye

sabit girdidir.

5151

www.KpssAnaliz.com

5252

Şekil 3.16’daki üretim eğrisi üzerindeki işgücü marjinal

verimliliklerini ve değişimlerini kısa dönem için şöyle

yazabiliriz:

2

20 , 0q qL L∂ ∂

> >∂ ∂

L1’de :

2

20 , 0q qL L∂ ∂

> =∂ ∂

L2’de :

2

20 , 0q qL L∂ ∂

= <∂ ∂

L3’de :

2

20 , 0q qL L∂ ∂

< <∂ ∂

L4’de :

www.KpssAnaliz.com

5353ŞŞekil 3.16. Kekil 3.16. Kıısa Dsa Döönemde nemde İşİşggüüccüünnüün Marjinal n Marjinal

VerimliliVerimliliğği i

TPL

(q)

0

e2

LL2

e3

L3

e1

e4

L4L1

www.KpssAnaliz.com

CobbCobb--Douglas Douglas ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu

İktisat biliminde hem teorik hem de uygulamalı çalışmalarda

çok sık kullanılan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun genel

biçimi şöyledir :

5454

, 0, 0, 0Q AK L Aα β= > α > β >

Cobb-Douglas üretim fonksiyonunu kullanarak, üretime ilişkin

olguları inceleyelim. Aşağıda sırasıyla ölçeğe göre getiri,

marjinal teknik ikame oranı, ikame esnekliği, sermayenin ve

işgücünün marjinal ve ortalama verimlilikleri konuları ele

alınmıştır.www.KpssAnaliz.com

5555

1.1. ÖÖllççeeğğe Ge Gööre Getirire Getiri

Bir üretim fonksiyonunun ölçeğe göre getirisi, fonksiyondaki

tüm girdiler aynı oranda artırıldığında, üretime ne olacağını

gösterir. Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda ölçeğe göre

getiri derecesi, α+β ’ya eşittir. Bunu görebilmek için şu

işlemleri yapalım :

*

* *

( ) ( )Q A K L

Q AK L Q Q

α β

α+β α β α+β

= λ λ =

= λ → = λwww.KpssAnaliz.com

5656

*Q Qα+β= λ

1α + β = *Q Q= Ölçeğe göre sabit getiri

1α + β > *Q Q> Ölçeğe göre artan getiri

1α + β < *Q Q< Ölçeğe göre azalan getiri

www.KpssAnaliz.com

5757

2.2. Marjinal Teknik Marjinal Teknik İİkame Orankame Oranıı

Marjinal teknik ikame oranı (MRTSKL), aynı üretim düzeyini

sürdürebilecek şekilde, girdilerden birinden vazgeçilen

miktarın, diğer girdideki artışa oranıdır. Aynı zamanda eşürün

eğrisinin eğimiyle belirlenir. MRTSKL ’yi bulabilmek için, üretim

fonksiyonunun toplam diferansiyelini buluruz, sıfıra eşitleriz.

www.KpssAnaliz.com

5858

1 1

1 1 1

1 1 1

0 KL

KL

KL

Q Q dK Q LdQ dK dL MRTSK L dL Q K

Q QAK L AK LK L

dK AK L L AK L L QMRTSdL AK L K AK L K Q

KMRTSL

α− β α β−

α β− − α β −

α− β − α β −

∂ ∂ ∂ ∂= + = → = − =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= α → = β

∂ ∂

β β β= − = = =

α α α

β=α

www.KpssAnaliz.com

5959

3.3. İİkame Esneklikame Esnekliğğii

İkame esnekliği, aynı zamanda bir eşürün eğrisinin eğrilik

derecesi konusunda da bilgi verir. Dolayısıyla, MRTSKL ’de

meydana gelen yüzde değişmenin, faktör yoğunluğunda yol

açtığı yüzde değişme olarak da tanımlanabilir.

www.KpssAnaliz.com

6060

( )( )

ln( / ) ( / ) ( / )ln( ) ( ) ( )

( / ) ( / )( / ) ( / )

ln( ) ln ln

lnln( ) 11 1ln ln( )

KL KL KL

KL KL

KL

KL

d K L d K L K Ld MRTS d MRTS MRTS

d K L K Ld dK dL dK dL

K KMRTS MRTSL L

d K Ld MRTSd K L d MRTS

σ = =

σ =

β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = → σ = =σ

www.KpssAnaliz.com

61614.4. ÜÜretim Fonksiyonu retim Fonksiyonu ÖÖllççeeğğe Ge Gööre Sabit Getiriliysere Sabit Getiriliyse

1Q AK Lα −α=

Ayrıca şu tanımlamaları da yapalım :

,Q Kq kL L

= =

Bu yeni tanımlara göre q , kişi başına çıktı; k, kişi başına

sermayedir. Üretim fonksiyonunu yeniden yazalım.

1 K QQ AK L L A L q AkL L

αα −α α⎛ ⎞= = → = =⎜ ⎟

⎝ ⎠www.KpssAnaliz.com

6262

Şimdi de sırasıyla sermayenin ve işgücünün marjinal ve

ortalama verimliliklerine bakalım.

11 1 1

1 1

111

1

(1 ) (1 ) (1 )

K

L

K

L

Q KMP A K L A AkK L

Q KMP AK L A AkL L

Q AK L KAP A AkK K L

Q AK L KAP A AkL L L

α−α− −α α−

αα −α− α

α−α −αα−

αα −αα

∂ ⎛ ⎞= = α = α = α⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞= = −α = −α = −α⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

www.KpssAnaliz.com

6363Sermaye ve işgücüne, marjinal verimlilikleri ölçüsünde ödeme

yapıldığını varsayalım. Bu durumda sermaye ve işgücünün

toplam üründen aldıkları payları sırasıyla yazalım.

1. . (1 ), 1K LK MP L MPK Ak L AkQ LAk Q LAk

α− α

α α

α − α= = α = = − α

Görüldüğü gibi, sermaye ve işgücünün üstel katsayıları,

girdilerin çıktıdan aldıkları göreli payları göstermektedir.

Ölçeğe göre sabit getirili üretim fonksiyonunda, toplam ürün

sermaye ve işgücünün marjinal verimliliği ölçüsünde

dağıtıldığında, geride dağıtılmamış ürün kalmamaktadır. www.KpssAnaliz.com

6464Bu şekildeki çıktı dağılımına EulerEuler TeoremiTeoremi adını veriyoruz.

Bunu görelim.

1 1 (1 )

(1 )

Q QQ K LK L

Q K AK L L AK L

Q Q Q

Q Q

α− −α α −α

∂ ∂= +

∂ ∂

= α + − α

= α + − α

=

Dağıtılan Ürün

=Toplam Ürün

www.KpssAnaliz.com

Yukarıda α ve β terimlerinin, sırasıyla sermaye ve işgücünün

çıktıdaki göreli payı olduğunu gördük. Bu terimler aynı

zamanda çıktı-sermaye ve çıktı-işgücü esnekliklerini de

göstermektedir.

ln ln ln ln

lnln

QK

QL

QK

Q Q Q K Q KK K K Q Q K

Q Q Q L Q LL L L Q Q L

Q AK L Q A K L

d Q Q Qd K K K

α β

∂ ∂ ∂ ∂ε = = =

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ε = = =

∂ ∂

= → = + α + β

∂= = α = ε∂

6565

www.KpssAnaliz.com

CCES ES ÜÜretim Fonksiyonuretim Fonksiyonu6666

CES (Constant Elasticity of Substitution, Sabit İkame Esnekliği)

üretim fonksiyonu şöyledir:

1

(1 ) , 0 , 0 1 , 1 0Q A K L A−−ρ −ρ ρ⎡ ⎤= δ + − δ > < δ < − < ρ ≠⎣ ⎦

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun

(ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Bunu daha sonra göreceğiz.

CES’deki bir çok parametre ve değişken, Cobb-Douglas’daki

gibidir. A, etkenlik parametresidir (teknoloji endeksi); δ,

üretimin girdiler arasındaki dağılımını; ρ parametresi, ikame

esnekliğinin derecesini belirler.www.KpssAnaliz.com

6767İlk olarak CES’in türdeşliğini inceleyelim:

1

1

( ) (1 )( )

(1 )

A jK jL

jA K L jQ

−−ρ −ρ ρ

−−ρ −ρ ρ

⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦

⎡ ⎤= δ + − δ =⎣ ⎦

Bu sonuca göre CES, birinci dereceden (doğrusal) türdeştir.

Yani ölçeğe göre sabit getiriye sahiptir. Ortalama ve marjinal

fizik ürünler sıfırıncı dereceden türdeştir, Euler teoremini sağlar

ve kesin içbükeyimsidir (kayıtsızlık eğrileri kesin dışbükeydir).

Bu son özelliği görelim. Bunun için aşağıda sırasıyla işgücü ve

sermaye için marjinal fizik ürünleri belirleyelim. www.KpssAnaliz.com

( )

1 1 1

1(1 )

11 1 (1 )

1

1

1 (1 ) (1 )( )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) 0

0

L

K

QQ A K L LL

A K L L

A K L LA

QA L

Q QQK A K

− −−ρ −ρ −ρ−ρ

+ρ−−ρ −ρ − +ρρ

+ρ −+ρ ρ−ρ −ρ − +ρρ

+ρ

ρ

+ρ

ρ

⎛ ⎞∂ ⎡ ⎤= = − δ + − δ − δ −ρ⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ρ⎝ ⎠

⎡ ⎤= − δ δ + − δ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − δ δ + − δ⎣ ⎦

− δ ⎛ ⎞= >⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ δ ⎛ ⎞= = >⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

6868

www.KpssAnaliz.com

6969Eşürün eğrisinin eğimi:

1

1

1

(1 )(1 ) 0L

K

QQdK KA L

dL Q LQA K

+ρ

+ρρ

+ρ

ρ

− δ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − δ ⎛ ⎞⎝ ⎠= − = = − <⎜ ⎟δ ⎝ ⎠δ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Şimdi de d2K/dL2 ’ye bakalım:

( )2 1

22 (1 )

( / ) (1 )(1 ) 0d K d dK dL K LdL dL L

+ρ ρ

+ρ

− δ + ρ= = >

δ

www.KpssAnaliz.com

7070İkame esnekliği, göreli faktör fiyatlarındaki yüzde değişimin,

sermaye ve işgücü ikamesinde yüzde olarak nasıl bir değişme

olabileceğini, bir başka ifadeyle veri faktör fiyatlarında K ve L

’nin birbirini ne ölçüde ikame ettiklerini gösterir. Bunu CES için

görelim:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

d K L d K LK L d w r

d w r K Lw r w r

σ = = Genel olarak ikame esnekliği

www.KpssAnaliz.com

7171

Optimal girdi bileşimi sağlandığında, şu denge koşulunun

geçerli olacağından hareket edelim:

1(1 )L

K

Q w KQ r L

+ρ− δ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟δ ⎝ ⎠

Buradan optimal girdi oranını yazabiliriz:

111

* 1

*

(1 )K wL r

+ρ

+ρ− δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠www.KpssAnaliz.com

7272

Her iki yanın önce logaritmasını, sonra da (w/r)’ye göre türevini

alırsak, ikame esnekliğini elde ederiz.

* * * * * *ln( ) ( ) ( ) 1ln( ) ( ) ( ) 1

d K L d K L K Ld w r d w r w r

σ = = =+ ρ

www.KpssAnaliz.com

7373Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun

(ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Aşağıdaki işlemleri yaparak, bunu

görelim:

( )

1

1

0 0

(1 )

0lim lim (1 )0

Q A K L

Q A K L

−−ρ −ρ ρ

−−ρ −ρ ρρ→ ρ→

⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤= δ + − δ =⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠

Belirsizliğini ortadan kaldırmak için, her iki yanın doğal

logaritmasını alıp, L’Hopital kuralını kullanalım.

www.KpssAnaliz.com

7474ln (1 )

lnK LQ

A

−ρ −ρ⎡ ⎤δ + − δ⎣ ⎦= −ρ

( )0 0

ln (1 )

lim ln lim

d K LQ d

dAd

−ρ −ρ

ρ→ ρ→

⎛ ⎞⎡ ⎤− δ + − δ⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟ρ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

L’Hopital kuralıuygulandı.

( )1

0 0

11

0 0

ln (1 ) lnlim ln lim ln1

lim lim (1 )

Q K L K LA

Q A K L AK L

δ −δ

ρ→ ρ→

−−ρ −ρ δ −δρρ→ ρ→

δ + − δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤= δ + − δ =⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠www.KpssAnaliz.com