محاسبه انتگرال به کمک شبیه سازی مونت کارلو

:مدرس

آرمان ری بددانشجویی دکتری آمار

دانشگاه بیرجند

1

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

روش های محاسبه انتگرال

روش تحلیلی•براساس قواعد انتگرال گیری–

روش هندسی•براساس تقریب سطح زیر منحنی–

روش ذوزنقه ای•روش نیوتون راپسون••...

روش شبیه سازی•مونت کارلو–زنجیره مارکوف مونت کارلو ––...

2

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

a b

روش تحلیلی

(قواعد انتگرال)محاسبه انتگرال معین با توجه به مفهوم حد جمع •

3

n

abx,dx)x(fx)x(f

b

a

n

i

i

nlim

1

f(xi)

x

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

روش هندسی

میانینقطهروش•

4

121021

1

n,...,,,k,/]x)k(a,xka[c

,n

abx,dx)x(fx)c(f

i

n

i

i

a b

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

شبیه سازی

.می شودمشخصاحتمالبراساسمقادیرشکهمتغیری:تصادفیمتغیر•

.می افتنداتفاقمثبتاحتمالباکهتصادفیمتغیرمقادیرمجموعه:تصادفیمتغیرگاهتکیه•

.می کندمشخصرااحتمالتصادفیمتغیرمقدارهربرایکهاحتمالیتابع:تصادفیمتغیرتوزیع•

تصادفیمتغیرتوزیعبراساساعدادتولید:خاصتوزیعیکبراساستصادفیاعدادسازیشبیه•

5

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

شبیه سازی مونت کارلو

عادیسازیشبیهباکارلومونتسازیشبیهتفاوت•

توزیعازاعدادیتولید:سکهیکبرایخطیاشیرسازیشبیه:دلخواهتوزیعبراساستصادفیاعدادتولید:سازیشبیه–

.می گیریمنظردرخطاینصورتغیردروشیرراپرتابنتیجهباشد،0.5ازبیشمقداراگر.U(0,1)یکنواخت

ویرهاشتعدادشمارش.است½بابرابرهاپرتابکلبهشیرهانسبتاست؟اریبنابحثموردسکهآیا:کارلومونتروش–

سازیشبیهتوسطتولیدیهایخط

مقادیرازیبعضردو(شیرهاتعداد)مقادیرازبعضیقبول-تصادفیاعدادتولید(کارلومونتروشبهسازیشبیه)ترکیب–

سکهنارایبیتعیین.شدهتولیداعدادکلبهشیرهاتعدادنسبتمحاسبه.(هاخط)

6

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

روش شبیه سازی

Monte-کارلومونت• Carlo

پیعددمحاسبه–

rتا0بیندرتصادفیاعدادایجاد–

(مساحت)دایرهقطاعدروناعدادیتعداد–

(مربعمساحت)نقاطکلبهقطاعدروننقاطتعدادنسبت–

7

2

2

44 r

A,

rA

r

A

r2

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

روش مونت کارلو

rتا0فاصلهدرتصادفیاعدادایجاد•

شدهایجاداعدادردوقبول•

نظرموردمحاسبهانجام•

8

222 ryx

dotstotal

circleindots

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

شبیه سازی

Rزبانبهسازیشبیهبرنامه•

odds <- function(n) {

x <- runif(n,0,1)

return(sum(x < 0.5)/n)

}

> odds(1000)

[1] 0.48

9

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

Piشبیه سازی و محاسبه عدد

محاسباتیکد•

10

MCPI <- function(N,r) {

x <- runif(N,0,r)

y <- runif(N,0,r)

d2<- (x^2 + y^2)

return(4*sum(d2 < r^2) / N)

}

> MCPI(10000,2)

[1] 3.1628

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبه•

انتگرالحلهدف–

تابعبازنویسی–

W(x) = h(x).(b-a) f(x) = 1/(b-a) f ~U(a,b)

11

b

a

dx)x(hI

))X(w(Edx)x(f)x(wdx)x(hI f

b

a

b

a

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

بزرگاعدادقانون•

میانگیناهآنگباشند،ثابتومتناهیواریانسومیانگینباتوزیعهممستقلتصادفیمتغیرهایازمتناهیدنباله ایاگر–

.می کندمیلتوزیعمیانگینبهدنبالهآنمقادیر

بزرگاعدادقانونانیمیشن•

12

I))X(w(E)x(wN

IpN

i

i

^

1

1

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبه•

w(x) =x3(1-0)

f(x)= 1/(1-0) =1

U(0,1)یکنواختتوزیعازتصادفیاعدادتولید•

هاw(x)میانگینمحاسبهکمکبهانتگرالبرآورد•

13

1

0

3dxx

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبهبرنامه

integral<-function(n,a,b)

{

random=runif(n,a,b)

wx=random^3*(b-a)

return(mean(wx))

}

integral(10000,0,1)

[1] 0.2460764

14

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبه•

U(0,1)توزیعازتصادفیاعدادتولید•

)یکوصفربینهایxبرای)هاW(x)میانگینمحاسبهکمکبهانتگرالبرآورد•

15

1

0

dxe x

1

)x(f

e)x(w x

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبهبرنامه•

expintegral<-function(n)

{

random=runif(n,0,1)

wx=exp(random)

return(mean(wx))

}

expintegral(1000)

[1] 1.733461

16

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبه•

N(0,1)توزیعازتصادفیاعدادتولید•

)1ازکمترهایxبرای)هاW(x)میانگینمحاسبهکمکبهانتگرالبرآورد•

17

1

2

1 2

2

1dxe

x

2

2

1

2

11

x

e)x(f)x(w

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

کارلومونتروشبهانتگرالمحاسبهبرنامه•

nintegral<-function(n)

{

random=rnorm(n,0,1)

return(mean(random<1))

}

nintegral(1000)

[1] 0.856

18

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

اهمیت نمونه گیری-محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

استانداردنرمالتوزیعازتصادفینمونهیکانتخاب:اولروش•

19

3

2

1 2

2

1dxe

x

2

2

1

2

11

x

e)x(f)x(w

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

اهمیت نمونه گیری-محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

انتگرالمحاسبهبهمربوطبرنامه•

normintegral<-function(n)

{

random=rnorm(n)

return(mean(random>3))

}

normintegral(1000)

[1] 0.002

20

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

اهمیت نمونه گیری-محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

•Importance sampling

.شودسریع ترمحاسبهباعثکهتصادفیداده هایانتخاب•

1واریانسو3میانگینبانرمالتوزیعازتصادفینمونهیکانتخاب:دومروش•

21

3

2

1 2

2

1dxe

x

2

2

2

32

1

32

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)x(

)x(

x

e)x(f

e

e

)x(w

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

3

اهمیت نمونه گیری-محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

22

.انتخاب به روش دوم باعث انتخاب داده های مناسب تر می شود•

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

اهمیت نمونه گیری-محاسبه انتگرال به روش مونت کارلو

انتگرالمحاسبهبهمربوطبرنامه•

importance<-function(n)

{

x=rnorm(n,3,1)

wx=dnorm(x)*(x>3)/dnorm(x,3,1)

mean(wx)

}

> importance(1000)

[1] 0.001359719

23

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org

24

این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« آموزش محاسبه انتگرال به کمک شبیه سازی مونت کارلو»

.تهیه شده است

برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه .نمایید

faradars.org/fvst9407

محاسبه انتگرال به کمک کارلوشبیه سازی مونت

faradars.org/fvst9407

فرادرس

FaraDars.org