ESCUELA:

PONENTE:

BIMESTRE:

ÁLGEBRA

CICLO:

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

II BIMESTRE

Ing. Julio González

ABRIL – AGOSTO 2007

CAPITULO 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.

6.1 Ángulos.6.2 Funciones trigonométricas de ángulos.6.3 Valores de las funciones trigonométricas.6.4 Identidades trigonométricas fundamentales.6.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo.6.6 Funciones trigonométricas de números reales.6.7 Funciones trigonométricas de ángulos negativos.6.8 Valores de las funciones trigonométricas.6.9 Gráficas trigonométricas.

ANGULOS.

En trigonometría se interpretan los ángulos como rotaciones de rayos. Un rayo que permanece fijo que se llama lado inicial y el otro que adopta otra posición luego de haber rotado, el lado terminal. Debido a este concepto y de acuerdo al sentido de giro del lado generatriz, en trigonometría se definen ángulos positivos y ángulos negativos

Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es su posición estándar (llamada también posición normal). Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas. El lado terminal del ángulo colocado en esta posición indicará el cuadrante al que

A Vértice

rayo

rayo

pertenece dicho ángulo.

Se dice que dos o más ángulos son coterminales, cuando colocados en posición estándar sus lados terminales coinciden; son de diferente magnitud pudiendo ser positivos y/o negativos. Una propiedad muy importante es que las funciones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales.

Medir un ángulo significa compararlo con otro que se toma como referencia. El ángulo que se selecciona como referencia constituye la unidad de medida y que, en forma general, puede ser cualquiera de los siguientes más conocidos:

a. El grado sexagesimal. Es aquel ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es el vértice de dicho ángulo. Se representa por el símbolo (°). El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos.

b. El radián. El radian es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un círculo, subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de dicho círculo. Simbólicamente se representa por (rad).

Para transformar de grados a radianes se usa la relación:

Nro. Rad x = n°

Para transformar de radianes a grados se usa la relación:

No x = Nro. rad.

CLASES DE ÁNGULOS.

Nulos, agudos, rectos, obtusos, complementarios, suplementarios, de cualquier magnitud, de una vuelta.

_180

π

π

_180

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.

Como se conoce que una razón es el cociente entre dos cantidades, cuando éstas pertenecen a un triángulo rectángulo, surgen unos cocientes trascendentes y cada uno toma un nombre especial, como se muestra enseguida:

Aquí, con relación a cada ángulo: A es cateto opuesto al ángulo a, B al ángulo b; B es cateto adyacente al ángulo a, A es cateto adyacente al ángulo B; C es la hipotenusa (lado mayor). Además:

A

B

C

b

a c

El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo:

• El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama Coseno del ángulo:

• El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama Tangente del ángulo:

• El cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama Cotangente del ángulo:

C

AaSen =

C

BaCos =

B

AaTan =

A

BaCot =

El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del ángulo:

• El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se llama Cosecante del ángulo;

Si se analizan las funciones del ángulo b se llegan a las siguientes conclusiones:

y

B

CaSec =

A

CaCsc =

bCosaSen = bCtgaTan =

bCscaSec =

A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si existe en alguna aplicación por ejemplo, esto es igual a ( x es el complemento). Con números;

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos:

°=° 3357 CotTan

)90( xSen −° xCos

Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su vez altura y mediatriz del lado opuesto. Separando un triángulo tenemos:

Como se puede observar ha quedado definido un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.

60°

60° 60° 2

2 2

2 30°

60° 1

3

Ahora podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60. Ejemplo:

Para las funciones de 45 usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45) veamos:

Ejemplos:

2

45°

1

1

2

45°

.,360;

2

160;

2

130 etcTanCosSen =°=°=°

1

1

145;

2

145;

2

145 ==°=°=° TanCosSen

Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo:

Halle el valor de la siguiente expresión:

Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con los valores de estas funciones así:

ooo 305603452 CscCtgCos −+

( ) 10

33

22

2531

321

2 −+=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

6

6102332 −+=

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.

Hay muchas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas. Las básicas se denominan identidades fundamentales y vale la pena memorizarlas. De la definición de funciones trigonométricas se derivan las siguientes identidades básicas llamadas identidades pitagóricas.

Además se tiene que:

xCtgxTan

xSecxCos

xCscxSen

1;

1;

1===

xCtgxCsc

xTanxSec

xSenxCos

22

22

22

1

1

1

Llamadas identidades recíprocas.

Llamadas identidades de cociente.

La aplicación de estas identidades trigonométricas fundamentales se la hace principalmente en la demostración de otras identidades, necesitándose para esto del dominio de la operatoria algebraica, así como el dominio total de estas relaciones.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO

Muchas de las aplicaciones en trigonometría implican ángulos que no sean agudos. Como consecuencia, es necesario extender la definición de las seis funciones trigonométricas para ángulos generales.

xSen

xCosxCtg

xCos

xSenxTan == ;

Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otros autores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P de coordenadas (x,y) en el lado terminal del ángulo como se indica en la figura y si tomamos la distancia de O a P, d (OP)

Entonces y opuesto, x adyacente r hipotenusa, entonces tenemos que:

Observando el grafico tenemos:

22 yxr +=

P (x,y)

θ

y r

x O

Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo θ en posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:

x

yTan

r

xCos

r

ySen === θθθ ;;

|

P (x,y)

θ

y r

x

•

r y

P (x,y) P (x,y)

θ θ

x x

• •

y r

Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo θ en posición estándar, si

es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones trigonométricas de θ se definen:

Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente del valor de θ, independientemente donde se escoja el punto P de coordenadas.

22 yxr +=

0;0;0

0

≠=≠=≠=

≠===

yyx

Ctgxxr

Secyyr

Csc

xxy

Tanrx

Cosry

Sen

θθθ

θθθ

Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a ser positiva.

Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmente los signos de las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes a saber:

Señorita (Todas)

Cos

Sin

Ta

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.

En el cálculo y en otros cursos más avanzados, es necesario considerar las funciones trigonométricas con dominio en los números reales que en los ángulos.

Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.

Por ejemplo, el seno del número real π6, es simplemente, el seno del ángulo de π6 radianes (que como usted sabe, es Sen 30= ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo al evaluar la función trigonométrica de un número real.

La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales.

Como veremos mas adelante, de este resultado podemos obtener algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en este análisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces a las funciones circulares.

Ya que (x, y) está situado en la circunferencia unitaria, se deduce que:

1 x 1 y 1 y 1

De lo anterior podemos deducir que:

Dominio y Rango.

Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen t pueden ser cualquier número real del intervalo 1, 1. Así obtenemos las funciones seno y coseno.

y

Ambas con dominio en los números reales y como rango, el intervalo 1, 1.

Recuerde: para hallar el valor de las funciones de números reales, utilizamos la calculadora en el modo radianes.

11 ≤≤ tSenytCos

tSentf =)( tCostf =)(

Periodicidad.

En la sección correspondiente a ángulos, habíamos revisado el concepto de ángulos coterminales; para cualquier número real t, los ángulos de t radianes y ±2π radianes son coterminales. Por lo tanto determinan el mismo punto (x, y) en la circunferencia unitaria, por lo tanto tenemos:

En general podemos decir que, las funciones seno y coseno repiten sus valores cada 2π unidades; se deduce que para cualquier número entero n:

En general se dice que una función no constante es periódica si hay un número positivo p tal que:

para cada t en el dominio de . Si p es el número mas pequeño para lo cual f (t )=f (t+p)) es verdadera, entonces p se llama período de la función .

)2( π±= tCostCos y )2( π±= tSentSen

)2( πntCostCos ±= y )2( πntSentSen ±=

)()( ptftf +=

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS.

Por definición un ángulo negativo se genera por la rotación de un rayo alrededor del origen en sentido de las manecillas de un reloj, por lo tanto, considerándolo agudo, éste se ubica en el cuarto cuadrante, en el cual, de lo anterior, tenemos que solo las funciones coseno y secante son positivas, las demás negativas, entonces se tiene que cada función de un ángulo negativo es la misma función, pero con el signo que le corresponde en dicho cuadrante, veamos:

tTantTan

tCostCos

tSentSen

−=−=−−=−

)()()(

El hecho de que y , sea válido para cualquier número real t, implican que la función coseno sea par, y la función seno sea impar.

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Para encontrar el valor de una función trigonométrica de cualquier ángulo necesitamos conocer el ángulo de referencia.

Si θ es un ángulo en posición estándar no cuadrantal. El ángulo de referencia para θ es el ángulo agudo θR que el lado terminal de θ forma con el eje x.En el primer cuadrante θR= θEn el segundo cuadrante θR= 180 - θEn el tercer cuadrante θR= θ -180 En el cuarto cuadrante θR= 360 - θ

tSentSen −=−)(

tCostCos =−)(

TEOREMA:

Si θ es un ángulo no cuadrantal en posición estándar, entonces, para hallar el valor de una función trigonométrica en θ, se determina su valor para el ángulo de referencia θR y se antepone el signo apropiado

Ejemplo:

GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS.

Teniendo presente los conceptos de amplitud, dominio y periodicidad, podemos bosquejar las gráficas de las funciones trigonométricas. TEOREMA:

Si

Para números reales a y b diferentes de 0, la gráfica tiene amplitud y período

Si

Para números reales a y b diferentes de 0 la gráfica tiene amplitud y período

xCosayobxSenay ==

a

π2 a

)()( cbxCosayocbxSenay +=+=

a

b

π2

CAPITULO 7TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Una ecuación trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas; si esta igualdad se verifica para todos los valores del ángulo en su dominio, ésta se denomina identidad trigonométrica

Hay muchas identidades que tiene que ver con las funciones trigonométricas. Las más importantes son las identidades fundamentales citadas anteriormente. La variable puede representar en cada identidad un número real o la medida en grados o radianes de un ángulo.

A continuación enumeramos algunas técnicas para verificar identidades que pueden resultar útiles.

1.- Simplifique el lado mas complicado de la ecuación.2.- Encuentre el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones.3.- Si las dos técnicas anteriores fallan, exprese todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trate de simplificar.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es aquella igualdad en la cual la incógnita está afectada por funciones trigonométricas y cuyo valor es necesario encontrar mediante procedimientos específicos que para este fin existen, mismos que se pueden aplicar directamente, cuando la ecuación está compuesta por términos afectados por la misma función y que se acopla a la forma concreta de una expresión algebraica conocida (un trinomio cuadrado, una suma de cubos, etc.), facilitándose directamente la aplicación inmediata de las reglas correspondientes.

Sin embargo hay ocasiones en las cuales, previamente, antes de que la relación dada adopte una forma adecuada para su solución, requiere de transformarla a una forma más simple, mediante la sustitución de equivalentes que hagan posible esta actividad y concluir con el trabajo. Es importante destacar que no necesariamente la solución es única, puede haber muchas o infinito número de soluciones.

FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA.

Las fórmulas que veremos a continuación nos permitirán expresar cierto tipo de expresiones trigonométricas en formas más simples y útiles. Estas fórmulas son muy importantes en el cálculo y en las ciencias físicas. Aunque las deducciones utilizan ángulos, las aplicaciones a otros campos tienen que ver en general con las funciones trigonométricas de los números reales.

Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes de dos ángulos.

Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas.

FÓRMULAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES.

ucosvsenvcosusenv)Sen(u ±=±

vsenusenvcosucosv)Cos(u _=±

vtanutan1

vtanutanv)tan(u

_±

=±

Fórmulas del ángulo doble.

Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulos que tiene la misma relación.

Fórmulas de ángulo mitad.

ucosusen22usen = 1u2cosusen21usenucos2uCos 2222 −=−=−=

utan1

utan22uTan

2−=

2

ucos1

2

uSen

−±=

FUNCIONES INVERSAS

No existe inversa para ninguna de las funciones trigonométricas en la integridad de su extensión debido a que ninguna es uno a uno o biyectiva; sin embargo, para determinar la inversa hay que restringirlas de tal manera que sean uno a uno o biyectivas, así, para cada una de las funciones conocidas.

2

ucos1

2

uCos

+±=

ucos1

usen

usen

ucos1

ucos1

ucos1

2

utan

+=

−=

+−

±=

Las siguientes son las propiedades para las funciones trigonométricas inversas:

la recíproca es

la recíproca es

Etc.

Cuando en nuestra calculadora hallamos el valor de un ángulo, estamos aplicando las funciones trigonométricas inversas; cuando resolvemos una ecuación trigonométrica aplicamos las funciones inversas. Note la diferencia de una función y su inversa.

xSenxfy == )( xSenArcxSenxf == −− 11 )(

xCosxfy == )( xCosArcxCosxf == −− 11 )(

CAPITULO 8

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS COSENOS

bSen

B

aSen

A

cSen

C==

bCosACCAB 2222 −+=

CAPITULO 9SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es una pareja ordenada de números reales que hace ambas ecuaciones sean verdaderas.

Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas.

Generalmente se usan llaves para indicar que el sistema debe tratarse en forma simultánea. Ejemplo:

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES .Una ecuación de la forma decimos que es una ecuación lineal en dos variables x y y

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de sistemas equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones son sistemas equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MAS DE DOS VARIABLES.

La solución por el método de eliminación de un sistema de ecuaciones lineales con más de dos variables lleva a la técnica de matrices para la solución de estos sistemas.

⎩⎨⎧

−=−=1242

xyxy

cbyax =+

Si consideramos el sistema

Podemos obtener un arreglo con los coeficientes de las variables y los términos independientes de la siguiente manera: (Es de notar que las variables están ordenadas en cada una de las ecuaciones y los términos independientes estén a la derecha del igual)

Un ordenamiento de este tipo se llama matriz.

La matriz anteriormente obtenida del sistema se denomina matriz del sistema o matriz aumentada. Si borramos la última columna, la matriz restante se denomina matriz de coeficientes.

La Regla de Cramer nos proporciona un método re solución de sistemas de ecuaciones con el uso de matrices y determinantes.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=+−−=−+

1212333

zyxzyx

zyx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

111212133131

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se Llama matriz a un arreglo rectangular de números o letras dispuestos en filas y columnas.

Los renglones o filas son los números o letras que aparecen uno a continuación de otro en sentido horizontal (a, d, g en la primera matriz).

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical (a, b, c, en la primera matriz)

mxnmnmm

n

n

x aaa

aaa

aaa

B

ifc

heb

gda

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

...............

...

...

21

22221

11211

33

En la segunda matriz se muestra la notación general con m filas y n columnas.

El nombre de la matriz se escribe con mayúscula y el de los elementos con minúscula, en la forma en donde i, j representan la posición que ocupa el elemento en fila (i) y columna (j), por ejemplo si se plantea hallar . Significa que hay que considerar el elemento de la matriz ubicado en la fila 3 y columna 2

Con las filas de una matriz se pueden hacer operaciones de transformación, utilizando el teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. (675)

Se puede utilizar matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. (675).

La relación mxn se denomina orden o tamaño de la matriz. Cuando se cumple que m n, es decir el número de filas igual al número de

columnas, la matriz se dice que es cuadrada de orden n. La primera expuesta anteriormente es un ejemplo de matriz cuadrada.

En una matriz cuadrada, al considerar el cuadrado que la comprende, la diagonal que tiene como inclinación un ángulo obtuso se llama principal y aquella que forma ángulo agudo se llama secundaria. Por ejemplo, en la matriz A de referencia, los elementos a, e, i corresponden a la diagonal principal y los elementos c, e, g, corresponden a la diagonal secundaria.

Dada una matriz cuadrada, si todos los elementos son cero, excepto los de la diagonal principal, y si éstos son 1, la matriz se denomina matriz identidad. La matriz identidad se representa por I. Veamos el siguiente ejemplo de matriz identidad:

Matriz escalonada.- Se llama así a la matriz en la cual el número de ceros iniciales de una fila es menor al número de ceros iniciales de la siguiente.

Matriz escalonada reducida.- Es una matriz escalonada en la cual el único elemento diferente de cero en cada fila y columna es 1.

33100

010

001

x

I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3322

33000

200

152

00

42

1200

230

321

Xx

x

CBA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

3322

33100

010

001

00

10

000

100

001

Xx

x

CBA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Igualdad de matrices.- Dos o más matrices son iguales cuando tienen iguales los correspondientes elementos.

ÁLGEBRA DE MATRICES

Con las matrices se pueden desarrollar las siguientes operaciones:

Suma.- Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden. Ej.

Cuando todos los elementos de una matriz son 0, la matriz se denomina nula y constituye el elemento neutro en la suma de matrices.

Propiedades de la suma de matrices.- La adición de matrices cumple con las siguientes propiedades:

1. Clausurativa.- La suma de dos matrices de igual orden da como resultado otra matriz de igual orden: A + B = C.

2. Asociativa.- Al sumar matrices de igual orden se obtiene el mismo resultado, cualquiera sea el orden en que la matrices se agrupen: (A + B) + C = A + (B + C).

3. Del elemento neutro.- Cualquier matriz de orden mxn sumada con la matriz nula de orden mxn, no altera, es decir se obtiene la misma matriz: A+0 = A = 0+A.4. Del inverso aditivo.- Para cada matriz A de orden mxn, existe una matriz de igual orden tal que, sumadas mutuamente dan como resultado el elemento neutro o la matriz nula de orden mxn: 5. Conmutativa.- La suma de dos matrices en un orden determinado no altera si se altera el orden en que se consideren las matrices para ejecutar la suma respectiva.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Al multiplicar un escalar por una matriz se obtiene otra matriz cuyos elementos, cada uno, es igual al producto del escalar por los elementos correspondientes de la matriz de referencia.

El producto de A por k se representa y ejecuta así:

PRODUCTO DE MATRICES.

Para saber si con dos matrices de referencia es posible hallar el producto, en primera instancia hay que verificar que el número de filas de la matriz que constituye el primer factor sea igual al número de columnas de aquellas que representa el

segundo factor, luego se multiplica cada elemento de cada fila de la primera matriz correspondientemente por el elemento de la columna de la segunda matriz y luego se suman estos resultados, obteniéndose la matriz resultante.

MATRIZ TRANSPUESTA.

Para poder evaluar este tipo de matriz, hay que tener otra de referencia, por ejemplo A, de orden mxn, entonces la transpuesta de la matriz A se representa por AT y es una matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas en la matriz A dada. Ejemplo:

INVERSA DE UNA MATRIZ.

La inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y, para una de referencia A, se representa por

dándose que:

Recuerde que no todas las matrices cuadradas tienen inversa.

DETERMINANTES.

Dada una matriz cuadrada de referencia, el determinante respectivo se representa por ó ó y, considerando los elementos de la matriz se estructura de las formas que seguidamente se indica, según el orden.

Determinante de segundo orden: El determinante correspondiente se define como:

Para el determinante de tercer orden. Se utiliza una regla muy común conocida como regla de Sarrus, que consiste en añadir las dos primeras columnas a la derecha de la última columna del determinante dado

o las dos primeras filas debajo de las tres primeras, luego se emplea los productos que se indican en cada caso veamos:

Añadiendo las dos primeras columnas:

(Tenga cuidado, ya que este procedimiento no funciona con determinantes de orden superior).

Para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden mayor a 3, se emplean los conceptos de menores y cofactores.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Cuando las matrices son de orden superior a 3 y si aplicamos el procedimiento explicado en el inciso anterior, las operaciones se hacen muy largas, por eso para hallar estos determinantes se aplican las propiedades de los determinantes, explicadas en su texto y que se amplían a continuación:

Los determinantes verifican las siguientes propiedades:

1. Al intercambiar las filas con las columnas, el determinante no altera.

2. Al intercambiar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.

3. Si en un determinante dos filas o columnas son iguales, su valor es cero.

4. Si a todos los elementos de la fila o columna de un

determinante se los multiplica por un mismo número real, el determinante queda multiplicado por dicho número.

• Si los elementos de una fila o columna de un determinante son múltiplos de los correspondientes de otra fila o columna, el determinante es nulo.

6. Si en un determinante una fila o columna los elementos son cero, dicho determinante es nulo.

7. Al multiplicar los elementos de una fila o columna de un determinante por un mismo número y sumar los productos a los elementos correspondientes de otra fila o columna, el determinante no altera.

CAPITULO 10SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD

SUCESIONES INFINITAS Y NOTACIÓN DE SUMATORIA.

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos consecutivos, de tal manera que al número que le corresponda el número 1 es el primer elemento, al que le corresponda el número 2 es el segundo elemento y así sucesivamente. En síntesis la característica fundamental de una sucesión es que al estar ordenados sus elementos, existe un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, etc. A demás hay que anotar que los elementos de una sucesión pueden ser de cualquier naturaleza, pero a nosotros nos interesan particularmente las secesiones numéricas, es decir aquellas en las que sus elementos son números reales.

Una sucesión se representa mediante una letra cualquiera afectada de subíndices, así por ejemplo:

Una sucesión puede ser infinita cuando tiene un número ilimitado de elementos; una sucesión es finita cuando tiene un número limitado de elementos.

Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión y puede ser: finita o infinita según la sucesión sea respectivamente finita o infinita.

Con frecuencia el número de sumandos de una serie puede ser grande, por lo tanto puede ser engorrosa su escritura, por esta razón es necesario disponer de una notación que nos permita simplificar al máximo la representación de una serie, y, ésta es la notación sumatoria o notación sigma así:

............,,, 321 naaaa

nn aaaaS ++++= ......321

que se lee: suma de las ai desde i = 1 hasta n. Por lo tanto:

Es necesario indicar que una suma no necesariamente debe empezar desde n=1 y terminar en n, además el índice de la sumatoria (i ) , no necesariamente debe ser i, sino cualquier otra letra a su elección, aunque en la practica las más usadas son; i, j, k.

SUCESIONES ARITMÉTICAS.

Cuando cada elemento de estas sucesiones, a partir del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante conocida como diferencia.

∑=

n

iia

1

n

n

ii aaaaa ++++=∑

=

......3211

En este tipo de progresión, se manejan las siguientes fórmulas básicas de interrelación entre sus elementos:

Para el cálculo del último término , se tiene

en la cual u es el último término, a el primero, n el término que se desea obtener y d la diferencia o constante que se añade consecutivamente dentro de la progresión para conocer los elementos que la forman hasta donde se estime conveniente o necesario.

Para la Suma de los términos de una progresión aritmética se tiene:

SUCESIONES GEOMÉTRICAS.

Una sucesión es geométrica cuando cada elemento de la sucesión, a partir del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante conocida como razón (r).

( )dnau 1−+=

n

uaS ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

2

En este tipo de progresión, son importantes las siguientes fórmulas básicas de interrelación entre los elementos de estas progresiones:

La obtención del último término u , se logra empleando la ecuación:

en la cual u es el último término, a el primero, n el término que se desea obtener y r la razón o factor constante, por el cual se multiplican consecutivamente los elementos de la progresión para consolidarla integralmente.

La Suma de los términos de una progresión geométrica se halla usando la relación:

1−= naru

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−11

rr

an

EL TEOREMA DEL BINOMIO

EXPONENTES

Cuando se extiende para un entero

Positivo arbitrario n, los exponentes de a y b siguen un patrón definido. Por ejemplo, de:

Vemos que los exponentes de a disminuyen en 1, comenzando con el primer término, mientras que los exponentes de b aumentan en 1, comenzando con el segundo término.

nba )( +

222 2)( bababa ++=+

32233 33)( babbaaba +++=+

4322344 464)( babbabaaba ++++=+

COEFICIENTES

Los coeficientes de también siguen un patrón.

Para ilustrarlo, disponemos de los coeficientes en los desarrollos de

en forma triangular: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Observe que cada número del interior de este esquema es la suma de de los números que se hallan directamente encima de el. Así, el siguiente renglón esquema se puede obtener como sigue:

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

nba )( +

43210 )()()()()( baybabababa +++++

Como se espera, estos números son los coeficientes de a y b en el desarrollo de

que es,

El esquema que se tiene continuando de esta manera se conoce como el triángulo de Pascal.

NOTACIÓN FACTORIAL

El símbolo r se define para cualquier entero positivo como el producto

y se lee “r factorial”. Por ejemplo 4 4.3.2.1= 24

El teorema del binomio tiene como esquema simbólico la siguiente expresión:

5)( ba +

( )( ) 01......21! ⟩−−= rrrrr

De esta expresión, la relación:

Sirve para calcular un término cualesquiera (término n-ésimo) del desarrollo.

En la descrita fórmula, n representa el exponente al que se eleva un binomio y r es el término que se desea encontrar.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PERMUTACIONES

Dado un conjunto A de referencia, se llama permutación a la lista de todas las diferentes maneras de ordenar los elementos de dicho conjunto. Suponiendo que el conjunto dispone de n elementos, la permutación se dice de n elementos.

( ) nrrnnnnn bbar

rnnnba

nnba

naba ++

+−−++

−++=+ −−− ...

!)1)....(1(

...!2

)1(!1

221

11

)!1(

)2)....(2)(1( −+−

−+−−− rrn ba

rrnnnn

Una permutación es la forma de organizar los elementos, o parte de ellos, de un conjunto, teniendo en cuenta el orden y que no haya repeticiones. Ejemplo:

Si en un conjunto hay tres elementos distintos, a, b, c, el número de cambios es 6, pues se tiene abe, acb, cab, cba, bca, bac.

•Si son 4, se tiene 24 permutaciones.•Si son 5, se tiene 120 permutaciones y así sucesivamente.

Si se tiene n elementos, hay Permutaciones.

Cuando ciertos elementos se repiten, el número de permutaciones disminuye, así:

Si de tres elementos, 2 se repiten, entonces hay 3 cambios.Si de 4 elementos, se repiten 3, se tiene 4 permutaciones.Si de 4 elementos, se repiten 2, se tiene 12 permutaciones, etc.

!n

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS TOMADOS r A LA VEZ.

Este caso se da cuando si se tienen n elementos, se requiere arreglar un número de ellos inferior al que se tiene. Por ejemplo si se tiene un grupo de 10 asientos en una sala y se desea que se sienten 10 de 14 personas, entonces el número de maneras cómo lo pueden hacer es:

Una definición alternativa de es:

( ) 20071552914!4

!4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14)!1014(

!1410,14 ==

−=P

( )rnP ,

( ))!(

!,

rnnrnP−

=

PERMUTACIONES DISTINGUIBLES

Son aquellas que se dan cuando trabajamos con elementos de similar naturaleza, por ejemplo solo letras, de las cuales dos o más de ellas tienen la misma apariencia por que se repiten.

Para encontrar el número de permutaciones distinguibles, utilizamos el teorema:

Si en un conjunto de n objetos r de ellos son iguales y si los objetos restantes son distintos entre sí y de los r objetos, la cantidad de permutaciones distinguibles de n objetos es:

De otra forma, el número de formas cómo se las puede disponer es:

!

!

r

n

!!...!.!.

!

321 kd nnnn

nP =

COMBINACIONES

Cuando de un conjunto de n elementos, se toma un subconjunto de m elementos, dicho subconjunto se llama combinación de n elementos tomados m a la vez.

Podemos decir que una combinación es la forma de organizar los elementos, o parte de ellos, de un conjunto, sin repetición, en cualquier orden. Se calcula con:

PROBABILIDAD

Si consideramos 1 como la máxima posibilidad de ocurrencia de un evento y 0 la mínima, la opción oscila dentro de este margen o intervalo; luego, si la posibilidad de ocurrencia es p, entonces 1 - p será aquella de que no ocurra.

)!(!

!),(

mnm

nmnC

−=

El lenguaje de las probabilidades manipula un conjunto de términos de los cuales es necesario tener bien claro su significado. Estos términos son aquellos que se refieren a:Experimento.- Es una actividad a través de la cual se examina una situación determinada reiterándola un número de veces conveniente y adecuado y en circunstancias precisamente controladas para ejecutar la evaluación del acontecimiento que involucra de la mejor forma posible.

Resultado del experimento.- Es el conjunto de datos cualitativos o cuantitativos que surgen de la observación y medición paulatina de cada situación de interés dentro del experimento y que es aquello que justamente se busca.

Espacio muestral.- Se denomina al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o ensayo específico realizado con un determinado fin. Así, si de un curso de 30 alumnos se desea seleccionar a un grupo de ellos, los 30 representan el espacio muestral y cualquiera de ellos puede ser tomado en cuenta.

Evento.- Es un subconjunto del espacio muestral y que está íntimamente vinculado son el ensayo o experimento en consideración. El evento, significa una muestra.

Probabilidad.- Se llama así a aquel indicador numérico cuyo valor pone en evidencia el grado o nivel de posibilidades de que un acontecimiento suceda. Si este valor se acerca a cero, la opción de que acontezca dista mucho de que se haga efectivamente realidad, mientras que a medida que se acerca a 1 el que ocurra el acontecimiento de interés es mucho más confiable y esperanzador. La probabilidad de algo suceda se calcula con la relación:

es decir por el cociente entre el número de eventos posibles y el número elementos del espacio muestral.

)(

)()(

Sn

EnEP =

Eventos mutuamente excluyentes.- Son aquellos que estando ligados a un mismo experimento o ensayo, si uno de ellos sucede, el otro no, por ejemplo, si al lanzar dos dados se quiere que la suma sea 7 o 10, entonces si se da 7, ya no se da 10 o recíprocamente si se obtiene 10, ya no se obtiene 7. En este caso la probabilidad es igual a la suma de las probabilidades de que cada evento acontezca:

Si los sucesos no son mutuamente excluyentes, dicha probabilidad se calcula sumando las probabilidades de cada evento, restando de dicha suma la probabilidad de que los dos sucedan a la vez:

( ) ( ) ( )21 EPEPEP +=

( ) ( ) ( ) ( )2121 EEPEPEPEP _−+=

En eventos repetidos, la probabilidad se encuentra mediante el empleo de la siguiente relación:

Siendo n el número de intentos y r el número de veces que debe acontecer un hecho, por ejemplo dar en un blanco con un objeto en cierta cantidad de ensayos.

Ejemplo: Calcule la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 6 lanzamientos de una moneda normal.Solución: Esta es

( ) ( ) rnr ppCp −−= 13,6

16

5

64

20

2

1

2

1

!3!.3

!3.4.5.633

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

( ) ( ) rnr pprnCp −−= 1,

Ejemplo:

Se sacan 8 bolas de un recipiente que contiene 7 bolas rojas y 9 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 sean negras?

Sol:

)8,16(

)2,7().6,9(

C

CCp =

068.0

!8!.8

!8.9.10.11.12.13.14.15.16!2!.5

!5.6.7

!3!.6

!6.7.8.9

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡