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Um guia passo a passo para quem não quer reprovar em Estatística, aprendendo como resolver as questões de prova Apostila 1 Média, Moda, Mediana, Desvio padrão, variância, Coeficiente de Variação e conceitos importantes. Série: Como não reprovar em Estatística. Isaias Lira – Como não passar em Estatíscia www.usaforbrazil.wix.com/consultoria

Apostila estatística

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Um guia passo a passo para quem não

quer reprovar em Estatística, aprendendo

como resolver as questões de prova

Apostila 1 Média, Moda, Mediana,

Desvio padrão, variância,

Coeficiente de Variação e

conceitos importantes.

Série: Como não reprovar

em Estatística.

Isaias Lira – Como não passar em Estatíscia www.usaforbrazil.wix.com/consultoria

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 1

INTRODUÇÃ O

Sobre mim

Olá meu nome é Isaías Mechillemoth, sou Bacharel em Estatística pela UFPE,

trabalhei com iniciação científica durante 3 anos

desenvolvendo novas técnicas estatísticas para análise

de imagens digitais, trabalhei também analisando dados

socioeconômicos na Prefeitura do Recife e também

atuei analisando dados de acidentes de trânsito na

CTTU (Companhia de Trânsito e Transporte Urbano)

ocorridos nas vias desta cidade.

Além disto, tenho uma Consultoria em

estatística (www.estatistica.k6.com.br), aonde venho

realizando inúmeras consultorias de analise de dados

para dissertações de mestrado, teses de doutorado,

artigos e demais publicações, além de alguns trabalhos

encomendados pela prefeitura do Recife.

Paralelamente venho capacitando profissionais e professores universitários para

desenvolverem suas próprias análises estatísticas tão necessárias nos seus artigos.

O QUE TE OFEREÇO

Toda esta experiência trabalhando com Estatística me fez desenvolver um

método próprio que chamo de “Método de resolução passo a passo”, que é uma forma

simples de resolver os exercícios de estatística, que a meu ver, é o que um aluno

realmente precisa: saber resolver exercícios, pois a prova é baseada nos exercícios.

Algumas características deste método:

- Não precisa de nenhum conhecimento prévio. Vou te ensinar Estatística do

ZERO, mesmo que você já saiba alguma coisa.

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- Não é usado por professores, porque numa sala de aula é humanamente

impossível que o professor esclareça todas as dúvidas de cada um dos alunos.

- Conteúdos separados por temas. Serão disponibilizadas várias apostilas com

temas separados para que sua mente consiga assimilar cada coisa em separado. Você

vai aprender uma coisa de cada vez.

- Não está em nenhum livro, pois os livros já acreditam que você já sabem de

alguma coisa. Além disto, os exercícios que são resolvidos no livro são os mais fáceis e

os exercícios mais complicados (que caem na prova) não estão resolvidos no livro e

neste caso como você vai conseguir resolver se você não sabe nem o básico?

Realmente é complicado.

- Não está disponível na internet, pois na internet é tudo muito solto, jogado e

você precisa de algo completamente organizado para que as coisas possam fazer

algum sentido.

- Linguagem direta. As apostilas de nossa série estão numa linguagem clara e

bastante acessível, excluindo os termos complicados que dificultam o aprendizado.

Você sentirá como se estivesse ao meu lado numa aula particular.

- Funciona de verdade, pois é fruto de várias experiências em aulas para alunos

de diferentes áreas do conhecimento. Este meu próprio método de ensino aprovado e

com 100% de resultado positivo que se traduz em pegar na sua mão e te mostrar tudo

passo a passo, na certeza de que você aprenderá o que está sendo dito.

Se você não dá valor ao seu tempo e se você vier a reprovar não fará diferença

para você, então toda esta série de conteúdos não é para você. Mas se você

não suporta a ideia de atrasar sua vida na faculdade reprovando esta disciplina

e por isso deseja fazer de tudo para ter no mínimo u bom para se dar bem nas

provas de Estatística, então seja bom desempenho e aproveitamento na

disciplina.

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QUAIS SÃO OS SEUS PROBLEMAS EM ESTATÍSTICA?

Estou escrevendo este guia prático, pois provavelmente você está fazendo a

disciplina de Estatística ou talvez ainda irá iniciar, mas deve estar enfrentando os

seguintes problemas:

Não consegue entender os livros de Estatística? Muito provavelmente você

gastou seu precioso

dinheiro comprando livros

de Estatística na esperança

de resolver seus

problemas. Além disto,

investiu seu valiosíssimo

tempo lendo estes livros e

começou lendo o primeiro

capítulo, mas talvez, já nas

primeiras páginas percebeu que já não estava entendendo mais nada e a cada

nova página surgiam novas dúvidas, ficando assim impossível de compreender

o que estava escrito e muito menos aplicar na vida real (que é o principal

objetivo que quero te passar, ou seja, como o conhecimento estatístico pode te

ajudar na sua vida e carreira).

Os livros são fortes fontes de conhecimento, porém com relação a Estatística os

autores não tem muito a preocupação de saber se você o está entendendo ou não, ou

seja, a linguagem dos livros são bastante teóricas e não estão “traduzidas” de uma

forma que qualquer pessoa possa entender, enfim, os livros de Estatística assumem

que você já sabe alguma coisa.

Não consegue aprender com tudo o que tem na Internet? Muito

provavelmente você foi ao Google ou Youtube procurando algo sobre

Estatística e apesar do grande volume de informações encontradas, você

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 4

começa a perceber que a maioria daquilo não faz sentido, pois é muita

informação e você não consegue juntar as coisas.

Na internet você encontra

uma avalanche de informações

sobre Estatística, porém tudo

está fragmentado, não tem

uma ordem lógica e sistemática

e neste caso a sua mente não

consegue juntar uma coisa com

outra para que tudo faça

sentido. Além disto, como na

internet qualquer pessoa escreve o que quer, estas informações que você deve estar

consumindo podem ser falsas.

Não consegue entender as aulas da disciplina de Estatística? Possivelmente

você deve ter passado pela

experiência de fazer uma

disciplina de Estatística e logo

percebeu, desde as primeiras

aulas, que aquilo era muito

complicado, totalmente

estranho e ainda por cima seu

professor(a) não te explicava

passo a passo as coisas, mas

sim continuava enchendo a

turma de mais e mais assuntos.

Por conta disto, provavelmente

você não consegue resolver as listas de exercícios e assim tem tido as piores

notas da sua vida ou até mesmo já está a caminho de ser reprovado, atrasando

ainda mais o seu curso e sua vida profissional.

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Quase todos os cursos obrigam o aluno a fazer ao menos uma disciplina de

Estatística, seja você do curso de Engenharia ou de Psicologia. A razão para isto é que

em tudo precisamos de Estatística, em tudo! Você pode até não entender para que

serve saber Estatística, mas em algum momento da sua carreira você vai precisar

analisar dados e ai este conhecimento pode te trazer uma posição melhor no seu

trabalho ou na sua carreira.

Não consegue bons Professores particulares? Talvez você tenha tentado ter

aulas particulares

com professores

de Estatística e

percebeu

imediatamente

que é muito caro

ter UMA hora

com eles e para o

que você precisa

aprender você

deveria investir no mínimo umas 10 horas. Você também deve ter percebido

que estes professores são bem raros e não tinham tempo disponível na hora

que você precisava (a noite, finais de semana, etc.), pois você não tem tempo e

gostaria ter aulas no seu tempo livre. Além disto, provavelmente o(a)

professor(a) particular também não conseguiu tirar todas as suas dúvidas sobre

os temas e ainda sim você percebeu insegurança nele(a).

Professor particular de Estatística é uma boa opção, mas não é fácil encontrá-los

assim como não é fácil pagar o valor exigido por eles. Além disto, eles estão sempre

muito ocupados, dificultando assim os encontros. Ainda por cima, nem todos possuem

o domínio do que você precisa saber.

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O QUE REALMENTE VOCÊ DESEJA?

Sei que apesar de estar enfrentando

estes problemas, você:

Provavelmente você deve

desejar entender a linguagem da

Estatística para assim poder ler os

livros e artigos e entender os

resultados apresentados.

Provavelmente você deve ter um

forte interesse em saber como

juntar de uma forma lógica as

informações que você acha na

internet e saber julgá-las se são

verdadeiras ou falsas.

Muito possivelmente você está interessado(a) em saber o que o professor está

falando nas aulas de Estatística, para assim poder argumentar, questionar e

trocar ideias com ele sobre o que você tem aprendido, aplicado e desenvolvido.

Quando não se sabe de nada, nem dúvidas se têm, já percebeu? Você deve

desejar resolver todas as listas de exercícios que tiver pela frente, bem como

ter as melhores notas para poder passar por média e se livrar de Estatística.

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Provavelmente você quer saber o necessário de Estatística para não precisar

gastar fortunas com professores particulares.

Também acredito que muito provavelmente você tem uma grande vontade de

saber como aplicar a Estatística na sua carreira Profissional, ampliando sua área

de atuação e se destacando de todos os seus concorrentes até chegar um

momento em que tenha que escolher o salário que deseja receber e trabalhar

na empresa que desejar, por conta da disputa das empresas por você, pois você

terá o que eles precisam.

CASOS REAIS

Com o dia a dia de mais de 6 anos ajudando alunos e professores, posso citar

vários e vários casos, como o do Alisson, estudante de Psicologia da UFPE que

enfrentava o problema de não conseguir entender as aulas da disciplina de Estatística.

Ele até que tentou bastante ler livros, mas não entendia pois a linguagem era muito

pesada para ele. A cada página que lia se sentia cada vez mais incapaz por não saber

nada de nada. Para entender a pesada teoria dos livros recorria à busca por

informações na internet, que também não davam resultado, pois um falava que

deveria fazer uma coisa outro dizia que o correto era fazer uma outra coisa e assim ele

ficava cada vez mais perdido sem saber como juntar tanta informação e sem saber

julgar qual informação era a correta e qual era a falsa, ficando ainda mais com dúvidas.

Alisson também tentava até participar das aulas da disciplina, mas como o professor

não dava atenção às dúvidas de cada aluno, a aula corria e ele continuava acumulando

suas dúvidas que o deixavam ainda mais deprimido, por tanta coisa estava sendo dita

em sala e nada era captado. Ele tentou ainda buscar professores particulares e depois

de tanto procurar encontrou alguns que não tinha tempo para ele e nem dominavam

exatamente o que ele precisava aprender.

Foi então que ele nos procurou e com toda a paciência trabalhamos no conteúdo que

ele precisava e de uma forma muito simples, ensinamos a ele o nosso Método de

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Resolução passo a passo, onde ele foi capaz de resolver os exercícios de todas as

provas da disciplina. O resultado foi a tão desejada aprovação.

Poderia ficar aqui contando os casos reais das pessoas que me procuram com

os mesmos problemas e que tenho ajudado a todos a superarem estes problemas e

ainda passarem a ter amor pela Estatística.

O MÉTODO DE RESOLUÇÃO PASSO A PASSO

Este tal método que falo é a minha maneira particular de organizar os

conteúdos e a forma que tento conduzir sua mente para um aprendizado sistemático

através da organização das etapas em alguns passos principais, como uma receita de

bolo, onde qualquer pessoa poderá seguir os passos e ter sucesso nas provas da

disciplina. Você não encontrará este método em nenhum livro de Estatística, pois é

algo que desenvolvi com vários anos de estudo e aplicações em minhas consultorias.

O QUE VOCÊ VAI APRENDER NESTA SÉRIE DE APOSTILAS

Nesta série, você vai aprender como resolver as questões mais fáceis até as

mais difíceis que são possíveis questões de provas nos principais assuntos que

possivelmente você irá estudar.

Hoje iniciaremos com uma introdução, onde abordaremos:

Capitulo 1 – Para que preciso aprender isto. Neste capítulo vou te explicar como a

Estatística pode te ajudar a resolver aqueles seus problemas.

Capítulo 2 – O que a Estatística faz. Neste capítulo falaremos uma forma diferente

para você aprender de vez o que é Variável Quantitativa, Qualitativa, População,

Parâmetro, Amostra, Estimador e Estimativa.

Capítulo 3 – Medidas de Centralidade. Neste capítulo te dou detalhes de como você

entender o que significa Média, Moda e Mediana.

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Capítulo 4 – Medidas de Dispersão. Neste capítulo vou te ensinar passo a passo como

calcular e interpretar as medidas: amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de

variação.

Em resumo, nosso objetivo é tirar você do Ponto A (onde você tem o problema

de não saber nada de Estatística) ao Ponto B (satisfação em saber como responder

questões de provas)

No final quero te fazer UM PEDIDO pessoal!

Ponto A

Nossa Série

Ponto B

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1. “PÃRÃ QUE PRECISO ÃPRENDER ISTO?”

Motivo emergencial: Eu irei me dirigirei a você sabendo que primeiro de tudo você qer

ser aprovado em Estatística e para isto você não precisa saber detalhes da teoria, mas

sim saber como resolver as questões da prova.

Um pouco mais além: ao mesmo tempo, Estatística é uma ferramenta, ela serve para

resolver problemas. Porém, a solução que ela fornece nenhuma outra ciência pode

dar. Dominar nem que seja o mínimo é se destacar no mercado. Com toda a certeza, o

profissional ou qualquer pessoa de um modo geral que nos dias atuais souber analisar

dados de forma estatística terá um futuro brilhante pela frente, pois tudo hoje tende

ao Big Date, ou seja, as empresas investem bastante recurso para registrar uma

imensidão de dados de operações de vendas ou administrativas para entender o

comportamento dos clientes, por exemplo. Você não precisa se formar em Estatística

para poder fazer uso desta ferramenta a seu favor. Você pode ganhar bastante

dinheiro na sua área de atuação, apenas se estiver alfabetizado nas principais técnicas

estatísticas. Este treinamento tem o objetivo de fazer com que você inicie do zero na

análise estatística de dados, fazendo uso do SPSS.

O aluno ou profissional que sabe fazer análises estatísticas é muito mais

disputado pelas melhores empresas e é apresentado aos melhores salários. O

professor ou pesquisar que conhece as principais técnicas estatísticas é certamente

mais ágil e pioneiro nas suas publicações e artigos.

Olhe ao seu redor, a concorrência é gigantesca, todos querendo serem

melhores do que os outros, e você vai ser apagado? Se destacar é uma questão de

SOBREVIVÊNCIA no mercado! Se destaque com o que as empresas precisam mais, se

destaque aprendendo tudo o que vamos te ensinar gratuitamente a partir de agora.

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2. O QUE Ã ESTÃTI STICÃ FÃZ?

Basicamente a estatística estuda a variabilidade das coisas. Se tudo permanecer

igual, nada temos de interessante para estudar, pois já se sabe como será o futuro.

Porém, quando ocorre uma variabilidade (que sempre ocorre) ai sim, a Estatística

entra.

Um primeiro passo é saber o seu objetivo.

Objetivo

Tudo se começa com um objetivo. Antes mesmo de pesquisar os dados você

deve se perguntar “para que eu vou iniciar este negócio? O que que eu quero

mostrar?”. Imagine que você tem um interesse, digamos: “quero saber quanto ganha

em média um morador de Recife”. Pronto. Este é o seu objetivo. Para poder atingir

este objetivo você precisa definir seu universo:

Universo

De quem você quer saber a renda média? Renda familiar ou renda do chefe do

domicílio? De todos, inclusive homens e mulheres? Jovens, adultos, idosos? De que

faixa etária? Enfim, você deve ir buscando o seu “público alvo” da pesquisa, ou seja,

aqueles indivíduos (ou objetos) de maior interesse.

Digamos que você esteja interessado em saber a renda média dos chefes de

família residentes em Recife com idade entre 18 e 49 anos e de ambos os sexos. Este

é o seu universo.

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Amostra

Normalmente não se tem tempo disponível e nem recursos suficientes para

pesquisarmos todos os indivíduos (ou objetos) da população, ou seja, você teria tempo

e dinheiro suficiente para entrevistar todos os residentes em Recife com idade entre

18 e 49 anos e de ambos os sexos e perguntar sobre suas rendas? Provavelmente não.

Então o que é que se faz? Escolhe-se (através de um processo de amostragem) uma

amostra (subconjunto) desta população, onde seja possível fazer a coleta de dados.

Digamos que por um processo de amostragem, foram sorteados alguns 3

bairros do Recife e neles algumas ruas foram sorteadas e nelas vamos em todas as

residências.

Variáveis e tipos

A variável é a informação que você vai coletar dos indivíduos na sua amostra.

Digamos que nas residências selecionadas na amostra, devemos perguntar quanto é a

renda do chefe da família. Por falar em variáveis, existem diferentes tipos:

Variáveis Qualitativas: são aquelas que expressão qualidades, atributos. Por

exemplo, Sexo é uma variável com dois atributos: masculino ou feminino.

Outro exemplo é a variável Estado Civil que possui atributos como “casado”,

“solteiro”, “divorciado”, e etc. As variáveis qualitativas se dividem em duas:

o Variáveis qualitativas nominais: aquelas onde seus atributos não

possuem ordem, pois são apenas classificações nominais, ou seja, Sexo

“masculino” ou “feminino”, Estado Civil “solteiro”, “casado” ou

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“divorciado”. Perceba que os atributos destas duas variáveis não

possuem ordem.

o Variáveis qualitativas Ordinais: são aquelas onde seus atributos estão

em uma determinada ordem lógica, por exemplo, Grau de Instrução:

nível fundamental incompleto, Nível fundamental completo, Nível

médio incompleto, Nível médio completo, Nível superior e etc. Perceba

que estes atributos estão em ordem.

Variáveis quantitativas: são aquelas que expressão quantidade numérica,

exemplo, idade (34, 35, 60 anos), peso, altura e etc.

Parâmetros

É aquela medida que se tem interesse numa população, ou seja, como nosso

interesse é estudar a renda média dos chefes de família residentes no Recife, então

este parâmetro é esta renda média. Como é a renda média da população então ela é

desconhecida, pois você não vai entrevistar todos os indivíduos da sua população.

Estimadores

Como você não conhece o parâmetro populacional (a média, por exemplo), você

tenta aproximar pela média amostral (ou seja, somando tudo e dividindo pela

quantidade).Este cálculo foi para se aproximar do verdadeiro valor do parâmetro

procurado. Em outras palavras, todo o cálculo feito na amostra, com o objetivo de

chegar a uma aproximação do verdadeiro valor do parâmetro desconhecido,

chamamos de parâmetro.

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Estimativas

Ela é um particular valor do estimador. Por exemplo, se procuramos saber a

renda média, e tentamos achar uma aproximação para ela por meio da média amostral

(somar todos os salários da amostra e depois dividir pelo tamanho da amostra) e se

obtivemos, por exemplo, que esta média amostral foi de R$ 980,00 então esta é uma

estimativa para a verdadeira renda média populacional. Consegue compreender?

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3. Medidas de Centralidade

Conversamos que você deve ter uma amostra e com base nela você tem vários valores

da sua variável de interesse. Ex: uma amostra de 200 indivíduos onde cada um informa

a sua renda mensal. A partir disto, podemos como os dados se concentram, ou seja, os

dados se concentram em torno de qual valor?

MÉDIA

A média é a medida mais procurada pelos pesquisadores. Não tem segredos, de posse

dos números 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 , pode-se calcular facilmente a média comando todos e

dividindo pela quantidade deles, ou seja:

�̅� = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

Questão de prova 1. Em um determinado mês, o relatório administrativo de uma

empresa mostrou que os funcionários do departamento financeiro apresentavam as

idades de 21, 24, 20 e 35 anos. Um novo funcionário de 45 anos de idade será

contratado no mês seguinte e será alocado para o mesmo departamento. De quanto

será o aumento percentual na idade média dos funcionários do departamento

financeiro da empresa?

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Resolução:

Passo 1: primeiro calcule a média do grupo inicial (antes da admissão do outro

funcionário):

�̅�𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛=

21 + 24 + 20 + 35

4=

100

4= 25

Passo 2: agora calcule a média do novo grupo, ou seja, com o acréscimo do outro

funcionário:

�̅�𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛=

21 + 24 + 20 + 35 + 45

5=

145

5= 29

Passo 3: verifique que a média no inicio era �̅�𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 25 𝑎𝑛𝑜𝑠, passando a ser

�̅�𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 29 𝑎𝑛𝑜𝑠 , ou seja, a entrada do outro funcionário provocou um aumento de 4

anos na média. Este aumento (4 anos) representa quando (%) em relação ao 25?

4

25 𝑥100 = 16%

Portanto, a entrada deste funcionário causou um aumento de 16% na média das

idades do grupo.

Questão de prova 2. Com o objetivo de analisar o nível de glicose no sangue de um

grupo de 90 pacientes hipertensos, um exame de glicose foi realizado tendo então os

resultados postos numa tabela (abaixo). Existe um protocolo no hospital de que caso o

grupo de pacientes apresente nível médio de glicose acima de 110 mg/dL cada um dos

indivíduos deste grupo é imediatamente submetido a um exame mais rigoroso. Com

base nas medidas mostradas na tabela a seguir, você diria que todos passarão por este

novo exame mais detalhado?

Nível de glicose (mg/dL) Frequência

132 12

130 11

120 1

111 23

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 17

180 40

156 3

Total 90

Resolução

Passo 1: Entender a tabela. Como você percebe, existem 12 (frequência) pessoas com

nível de glicose de 132 mg/dL, 11 pessoas com nível de glicose de 130 mg/dL, uma

pessoa (frequência) com nível de glicose de 120 mg/dL e assim por diante. Então, é

como se você tivesse os seguintes dados:

132 132 132 132 132 .... 132 (12 vezes)

130 130 130 130 130 130 ... 130 (11 vezes)

120

111 111 111 111 ... 111 (23 vezes) ...

etc

A tabela foi uma forma de resumir estes dados.

Passo 2: foi dito que de acordo com o protocolo existente no hospital “um grupo de

pacientes que apresente nível médio de glicose acima de 110 mg/dL o grupo passará

por um exame mais aprofundado. Ou seja, precisamos calcular a média deste grupo e

ver se é maior do que este valor.

�̅� = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

= (132 + 132 + ⋯ + 132) + (130 + 130 + ⋯ + 130) + ⋯ + (156 + ⋯ + 156)

90

=(132 𝑥 12) + (130 𝑥 11) + 120 + (111 𝑥 23) + ⋯ + (156 𝑥 3)

90=

13355

90

= 148,4

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 18

Então, em média, estes pacientes possuem um nível de glicose de 148,4 mg/dL e como

é superior a média permitida, este grupo será sim encaminhado a um novo exame

mais detalhado.

MODA

É também uma importante medida de tendência central, onde o objetivo é identificar

o número que mais aparece.

Questão de Prova 3. Com base na tabela abaixo (a mesma da questão anterior)

encontre a moda.

Nível de glicose (mg/dL) Frequência

132 12

130 11

120 1

111 23

180 40

156 3

Total 90

Resolução

Passo 1: Como foi dito, você deve encontrar o número que mais se repete, e como a

tabela acima significa que por exemplo o número 132 aparece 12 vezes, o número 120

uma única vez e 156 aparece 3 vezes, etc. Desta forma temos que a moda é o número

180, pois é o que aparece mais (40 vezes).

Questão de Prova 4. Com base nos dados a seguir calcule a moda.

a) 5 7 7 7 9 12 14

A moda é 7, pois é o que mais se repete.

b) 5 7 7 7 9 9 9 12 14

Page 20: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 19

A modas são 7 e 9 pois sãos os valores que mais se repetem.

c) 5 7 9 12 14 18 23

Não percebemos nenhuma repetição, logo não temos moda.

MÉDIANA

Esta é uma importante medida e tem duas situações: i) quanto a quantidade de

números é ímpar e ii) quando a quantidade de números é par.

1) n ímpar

Questão de prova 5. Em uma vistoria de qualidade numa fábrica de garrafas, o gestor

coletou uma amostra de 7 peças produzidas. Em cada uma das garrafas foi registrado o

diâmetro como mostra a tabela abaixo:

Garrafa Diâmetro(cm)

1 12,3

2 12,9

3 13,1

4 12,1

5 11,9

6 11,8

7 12,7

Calcule a mediana e interprete o seu valor.

Resolução

Passo 1: ordenar os dados. (Para a mediana, você precisa primeiro ordenar os dados).

11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1

Passo 2: verificar a quantidade dos números e ver se é par ou ímpar. Como n=7 é

ímpar, devemos seguir o seguinte processo:

Page 21: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 20

Calcule n+1 n+1 = 7 + 1 = 8

Divida por 2 8/2 = 4

A mediana será o 4o número, ou seja:

1o 2o 3o 4o

11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1

Por isso que você precisa ordenar primeiro. Perceba que quando n é ímpar a mediana

é exatamente a posição central.

A interpretação para este valor é que 50% das garrafas possuem diâmetro abaixo de

12,3 cm

2) n par

Questão de prova 6. Imagina que o mesmo gestor de qualidade decide vistoriar mais 3

peças além das 7 primeiras:

Garrafa Diâmetro(cm)

1 12,3

2 12,9

3 13,1

4 12,1

5 11,9

6 11,8

7 12,7

8 14,5

9 16,9

10 13,7

Calcule a mediana e interprete o seu valor.

Resolução

Passo 1: ordenar os dados. (Para a mediana, você precisa primeiro ordenar os dados).

11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 21

Passo 2: verificar a quantidade dos números e ver se é par ou ímpar. Como n=10 é par,

devemos seguir o seguinte processo:

Calcule 𝑛

2=

10

2= 5

A mediana será a média entre o 5o número e o próximo (6o), ou seja:

1o 2o 3o 4o 5o 6 o 7o 8o 9o 10 o

11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9

Md =(𝟏𝟐.𝟕 + 𝟏𝟐.𝟗)

2=

25.6

2= 12.8 cm

Perceba que quando n é par a mediana é a média das duas posições centrais. Você

pode interpretar este valor da seguinte forma: 50% das garrafas possuem diâmetro

abaixo de 12,8 cm.

Page 23: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 22

4. Medidas de Dispersa o

Além das medidas de centralidade, podemos entender os dados a partir de forma

como eles estão dispostos. Em outras palavras, essas medidas de dispersão vão nos

dizer se os números estão muito próximos ou muito distantes um dos outros.

AMPLITUDE

A amplitude é o campo de variação dos dados, ou seja:

A = Máximo – Mínimo.

Questão de prova 7. Ache a amplitude dos dados da tabela abaixo:

Garrafa Diâmetro(cm)

1 12,3

2 12,9

3 13,1

4 12,1

5 11,9

6 11,8

7 12,7

8 14,5

9 16,9

10 13,7

Resolução:

Colocando em ordem estes dados temos:

11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9

Então:

Amplitude = Max – Min = 16.9 – 11.8= 5.1

Page 24: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 23

Logo a amplitude (ou campo de variação) é de 5,1 cm.

VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO

A Variância amostral (s2) está mais relacionada à variabilidade geral dos dados e pode

ser calculada usando a expressão a seguir:

𝑉(𝑋) = 𝑠2 = ∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

OU seja:

𝑉(𝑋) = 𝑠2 = ∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1=

(𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛 − 1

Que nada mais é do que você pegar o primeiro número e diminuir ele da média, ou

seja, 𝑥1 − �̅� , depois eleva o resultado ao quadrado, ou seja (𝑥1 − �̅�)2.

Agora devemos fazer o mesmo para o segundo número, ou seja, o segundo número

menos a média 𝑥2 − �̅� , esse resultado eleva ao quadrado (𝑥2 − �̅�)2.

Fazer isto com todos os números. Depois soma todos esses resultados:

(𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ (𝑥𝑛 − �̅�)2

E depois divide toda esta soma por n-1:

(𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛 − 1

Este é o valor da variância.

𝑠2 = (𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛 − 1

Obs: alguns professores chamam a variância de s2, outros chamam de Var(x) e outros

chamam 𝜎2 (“sigma 2”).

Page 25: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 24

O desvio-padrão (s) é a raiz quadrada da variância:

𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛 − 1

Sabe o que significa o desvio padrão?

Imagine que você quer estudar a renda média de dois bairros: Boa Viagem e Casa

Forte. O bairro de boa viagem tem a área da orla da praia onde os salários são muito

altos e também no mesmo bairro existe uma comunidade carente onde existem

muitos salários bastante baixos. Ou seja, se você pegar uma amostra de pessoas deste

bairro você vai ter pessoas dizendo que ganham R$ 12.000, R$ 7.600 (orla) e também

pessoas dizendo que ganham R$450,00 ou R$ 890, (comunidade carente), por

exemplo. Em outras palavras, dentro deste bairro os valores estão bastantes distantes

um dos outros, ou seja, existe um desequilíbrio de valores, os valores estão bastante

heterogêneos.

O outro bairro (Casa Forte) é um bairro nobre no Recife, onde as pessoas recebem

mais ou menos a mesma coisa, ou seja, os valores de renda estão bastantes próximos

um dos outros e neste caso dizemos que estão pouco dispersos, mais homogêneos.

Esta forma como os dados estão distribuídos é chamada de dispersão dos dados que é

calculada pelo desvio padrão. Quando este desvio padrão é alto dizemos que os

números estão bastante dispersos um dos outros (como é o caso do bairro de Boa

Viagem) e quando o desvio padrão é baixo dizemos que os dados estão mais

concentrados, menos dispersos, mais homogêneos, mais próximos um dos outros.

Mas, o que é o desvio padrão baixo ou alto?

Quando o desvio padrão estiver próximo da média dizemos que ele é alto e

consequentemente está acontecendo alta variabilidade dos dados.

Quando o desvio padrão estiver muito abaixo da média dizemos que ele é

baixo e consequentemente os dados estão mais concentrados.

Page 26: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 25

Mas, o que quer dizer “próximo” ou “longe” da média? Veremos no coeficiente de

variação...

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

O coeficiente de variação vai te dizer o quanto (em percentual %) o desvio padrão se

aproxima da média. Se o coeficiente de variação for próximo de zero dizemos que o

desvio padrão é baixo e neste caso está acontecendo baixa variabilidade. Mas se o

coeficiente de variação for próximo de 100% significa que o desvio padrão é alto e

neste caso está acontecendo alta variabilidade dos dados. Outras classificações

também são apropriadas:

Se o coeficiente de variação estiver entre 0% e 15% então dizemos que ocorre

uma variabilidade muito baixa;

Se o coeficiente de variação estiver entre 15% e 30% então dizemos que ocorre

uma variabilidade baixa;

Se o coeficiente de variação estiver entre 30% e 60% então dizemos que ocorre

uma variabilidade moderada;

Se o coeficiente de variação estiver entre 60% e 80% então dizemos que ocorre

variabilidade alta;

Se o coeficiente de variação estiver entre 80% e 100% então dizemos que

ocorre a variabilidade alta;

Você pode calcular o Coeficiente de Variação dividindo o desvio padrão pela média,

depois multiplica o resultado por 100. Ou seja:

𝐶𝑉 =𝑠

�̅� .100

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 26

Questão de prova 8. Uma empresa de construção civil fabrica tijolos de acordo com a

exigência estabelecida de que estes tijolos devem suportar no mínimo uma força de

compressão média de 15 kg/cm2 e que o desvio padrão não deve ser superior a 10% da

média. Em um ensaio realizado em um lote de tijolos pelo Engenheiro da Qualidade do

cliente, foram registrados os seguintes dados de uma amostra de 5 tijolos, para sua

resistência à compressão em kg/cm2:

12 11 10 9 8,5 11,5

a) Nestas condições, o Engenheiro da Qualidade aprovará ou reprovará o lote de

tijolos?

Passo 1. A exigência diz que a média deve ser de no mínimo 15 kg/cm2, então devemos

calcular a média destes números:

�̅� = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛=

62

6= 10,3

Como você pode ver, a média é menor do que 15, logo este lote de tijolos será

rejeitado.

b) O que você tem a dizer sobre a dispersão das resistências?

Como vimos, a dispersão dos valores são explicadas pelo desvio padrão e pelo

coeficiente de variação.

Passo 1. Calcular o desvio padrão:

𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛 − 1

= √ (12 − 10,3)2 + (11 − 10,3)2 + (10 − 10,3)2 + (9 − 10,3)2 + (8,5 − 10,3)2 + (11,5 − 10,3)2

6 − 1

= √9,83

5= √1,967 = 1,4

Page 28: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 27

Como você pode perceber o desvio padrão (1,4) é bem abaixo da média (10,3),

sugerindo então que possivelmente ocorre pouca variabilidade nas resistências.

Passo 2. Calcular o Coeficiente de variação:

𝐶𝑉 =𝑠

�̅� .100 =

1,4

10,3 .100 = 0,1359223 𝑥 100 = 13,6%

Como o CV é 13,6% dizemos que realmente os tijolos estão sendo produzidos com

uma resistência de dispersão baixa, ou seja, os tijolos produzidos possuem resistências

próximas.

Questão de prova 9. João deseja verificar o seu próprio desempenho nas provas de

Inglês e Português. As notas das suas provas recentes estão a seguir:

Inglês

1ª prova 3,5

2ª prova 7,8

3ª prova 9,3

4ª prova 5,1

Português

1ª prova 8,8

2ª prova 9,3

3ª prova 8,5

4ª prova 2,2

a) Em qual matéria ele em média saiu melhor?

Page 29: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 28

Resolução:

Inglês

Média = �̅�𝑖𝑛𝑔𝑙ê𝑠 = 𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥𝑛

𝑛=

3,5 + 7,8 + 9,3 + 5,1

4=

25,7

4= 6,42

Português

Média = �̅�𝑝𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢ê𝑠 = 𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥𝑛

𝑛=

8,8 + 9,3 + 8,5 + 2,2

4=

28,8

4= 7,2

Como percebemos, em média, o João foi melhor em Português, pois foi onde ele

obteve a maior média.

b) Em qual matéria obteve menor dispersão?

A dispersão dos dados é determinada pelo desvio padrão e pelo coeficiente de

variação. Você precisa calcular estas medidas para cada matéria:

Inglês

- Desvio padrão = 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (3.5−6.4)2+(7.8−6.4)2+(9.3−6.4)2+(5.1−6.4)2

4−1

= √20,4675

3= √6,8225 = 2,61

- CVingles= 𝑠

�̅� .100 =

2,61

6,4 .100 = 0,2527734 𝑥 100 = 𝟐𝟓, 𝟑%

Português

- Desvio padrão = 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (8,8−7,2)2+(9,3−7,2)2+(8,5−7,2)2+(2,2−7,2)2

4−1

= √33,66

3= √11,22 = 3,35

Page 30: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 29

- CVportugues= 𝑠

�̅� .100 =

3,35

7,2 .100 = 0,4652778 𝑥 100 = 𝟒𝟔, 𝟓%

Como o Coeficiente de variação das notas de inglês é menor do que o coeficiente de

variação das notas de Português, concluímos que as notas de inglês estão mais

homogêneas, mais próximas uma das outras.

Page 31: Apostila estatística

Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 30

Ãnexo

Bom pessoal, esperamos que você tenha gostado da nossa aula. Meu objetivo é

fazer com que você aprenda facilmente a Estatística, sem muitas teorias e muito mais

exercícios. Isto facilita na hora de sua prova. Os conceitos que vimos são muito

importantes, pois é comum que exercício como estes que vimos caiam na sua prova.

Algumas dificuldades podem surgir na tentativa de fazer com que você dê o

seu primeiro passo:

i) Medo. Você pode até ficar com medo de estar fazendo certo ou não. O

medo não pode te impedir de avançar para o novo, o desconhecido,

pois é no novo que estão nossas maiores descobertas.

ii) Dúvidas. Você pode no caminho ter dúvidas de como fazer, mas

lembre-se que as dúvidas são um sinal de que você estará avançando. E

à medida que você for consumindo minhas novas aulas você irá tirando

suas dúvidas e tendo dúvidas cada vez mais interessantes à medida que

avança em nível de conhecimento estatístico, tendo cada vez mais

facilidade de obter boas notas nas suas provas de Estatística.

Posso citar o caso do Astier, um aluno meu que estava fazendo um doutorado

nos Estados Unidos e como o nível exigido era muito alto, ele fez de tudo, gastou

dólares com livros e muito tempo pesquisando na internet, mas nada disto deu

resultado. Ele continuava sem conseguir fazer as atividades solicitadas pelos seus

tutores. Foi ai que ele me procurou e fiz um acompanhamento com ele durante 2

meses, onde apliquei meu método de ensino passo a passo com ele e logo o mesmo

começou a ficar cada vez mais interessado em aprender mais sobre a Estatística, foi

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Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 31

assim que fizemos um aprofundamento em teorias e aplicações mais recentes da

Estatística.

O Resultado foi que ele além de ter notas 9,8 em Estatística no doutorado

naquela universidade nos Estados Unidos, ele ainda passou a amar a Estatística. Ou

seja, uma pessoa normal fazendo um doutorado em Psicologia em uma conceituada

faculdade americana, saiu do zero em Estatística para um aprofundamento que eu

mesmo não havia ministrado para ninguém ainda. Tudo isto foi possível por ter

aprendido facilmente conosco a Estatística.

Então? Mãos à obra!.

Gostaria de agradecer a você, pois sem você nada disto teria sido feito. Nos

próximos dias novas aulas serão lançadas com o objetivo de resolver outros exercícios

de provas que você possa enfrentar, pois o que queremos é que você consiga realizar

as provas com muito mais facilidade.

UM PEDIDO

Se você acha que fiz bem em te passar esta informação gratuitamente e

acredita que ela será um bom começo para você então faz um favor para mim, preciso

saber se estou de fato ajudando as pessoas a entenderem a Estatística:

Deixa um comentário aqui... Este material te serviu em alguma coisa?

http://usaforbrazil.wix.com/consultoria#!gratis/c11sg

Que tal avançar ainda mais? Neste link acima você também terá acesso aos nossas

próximas aulas. Vamos lá?

Contatos para dúvidas:

www.usaforbrazil.wix.com/consultoria

[email protected]