Cálculo de Perímetros, Superficies y Volúmenes

EUCLIDES (325 a.C.- 265 a.C.)

Definió los 3 elementos fundamentales de la

geometría:

EL PUNTOLA RECTAEL PLANO

Son entes ideales.No son objetos físicos.No existen en la naturaleza

EL PUNTO

Constituye la mínima expresión

Es un elemento geométrico “adimensional”

(es decir, que no tiene dimensiones tales como longitud, superficie o volumen).

LA RECTA

Es una sucesión consecutivade infinitos puntos que se desarrolla en una

dirección.

Posee una sola dimensión (longitud).

EL PLANO

* Es una superficie plana sin espesor.

* Posee dos dimensiones.

* Contiene infinitos puntos y rectas.

* Surge de multiplicar entre sí ambas

dimensiones.

EL VOLUMEN

Surge de incorporar a un plano

la tercera dimensión.

EL VOLUMEN

EN EL MUNDO REAL:

• Existen los CUERPOS; que tienen CARAS y ARISTAS.

• Los CUERPOS son tridimensionales y se miden en

unidades cúbicas (p.ej.: m3).

• Las CARAS están constituidas por superficies que -según su

forma- denominamos FIGURAS y se miden en unidades

cuadráticas (p. ej.: m2).

• Las ARISTAS delimitan las CARAS y se miden en unidades

lineales (p.ej.: m).

Las FIGURAS son SUPERFICIES y se encuentran

delimitadas por LADOS.

Se miden en UNIDADES CUADRÁTICAS

(Km2, m2, cm2, etc.).

TRIANGULO CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO

OCTÓGONO DECÁGONO CÍRCULODODECÁGONO

3 L 4 L 6 L5 L 7 L

8 L 10 L 12 LCIRCUNFERENCIA

FIGURAS REGULARES: LADOS Y ÁNGULOS IGUALES

FIGURAS IRREGULARES: LADOS Y/O ÁNGULOS

DESIGUALES.

FIGURA REGULAR FIGURA IRREGULAR

Perímetro = lado1+ lado2 …+ ladon

L1

L5

L4

L2

L3

L6

PERÍMETRO: SUMATORIA DE TODO EL CONTORNO

DE LA FIGURA

Se mide en UNIDADES LINEALES (m, cm, mm).

¿Que es una superficie ?

Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.

Euclides

La superficie es “bidimensional” (posee dos dimensiones).

También se la denomina como área

La superficie surge de la MULTIPLICACIÓNde una de estas dimensiones con la otra.

Su unidad es cuadrática por ejemplo: m2

TRIÁNGULOS

Perímetro (Regulares)= Lado x 3

Perímetro (Irregulares)= L1 + L2 + L3

Superficie = b x h / 2

hh h

b b b

L L

L

L2

L3

L1

CUADRILATEROS

CUADRADO: Perímetro = Lado x 4

Superficie = Lado 2

L

L

CUADRILATEROS

RECTÁNGULO: Perímetro = 2 x LM + 2 x Lm

Superficie = LM x Lm

LM

Lm

CUADRILATEROS

PARALELOGRAMO: Perímetro = 2 x L1 + 2 x L2

L1

L2

Superficie = b x h

b

h

CUADRILATEROS

TRAPECIO: Perímetro = LM + Lm + L1 + L2

Superficie = (LM + Lm ) h/2

LM

h

Lm

L1

L2

POLÍGONOS EN GENERAL

Perímetro POLÍGONO regular: = L x nº Lados

Superficie POLÍGONO: Perímetro x Apotema / 2

hL

L

Ap L

L

LL

La circunferencia es una línea curva.

Para calcular su perímetro debemos

auxiliarnos con la intervención

del número PI

π = 3,14159265

CIRCUNFERENCIA

Per. = π X 2 radios = π X 2 r

ó Per. = π X Diámetro = π X D

siempre la unidad de cualquier perímetro es linealpor ejemplo: m.

CIRCUNFERENCIA

Sup = x r2

r = radio

d= diámetro

= 3,14159

CIRCULO

r Sup = x d2

/ 4

EL VOLUMEN

surge de la incorporación de la 3º dimensión a las superficies.

los volúmenes son también considerados sólidos y su unidad de medida es cúbica, por ejemplo m3

PRISMAS

CUBO: 6 CARAS CUADRADAS (IGUALES)

Volumen = Lado3

L

L

L

Escuela - cubo de Zollverein . ESSEN - Alemania

V= (L2 ) x h = m3CUBO

cabeza cubo

V= (L2 ) x h = m3 CUBO

PRISMAS:

Volumen = (SupBASE ) x H

Según figura de la base:

Cuadrada = (L2) x H

Rectangular = (LM x Lm) x H

Triangular = (b x h / 2) x H

Sup

H

V = (L2) x H = M3

PRISMA BASECUADRADA

V = (LM x Lm) x H = M3

PRISMA BASE RECTANGULAR

V = (L2) x H = M3

PRISMA BASE CUADRADA

CILINDRO

Volumen = (SupBASE ) x H

Volumen = ( x r2) x H

H

Sup

Diskus 2 - por Jerry HellströmCILINDRO

V= ( x r2) x H = M3

CILINDRO

V= ( x r2) x H = M3

V= ( x r2) x H

CILINDRO

PIRÁMIDE

Según figura de la base:

Cuadrada = 1/3 (L2) x H

Rectangular = 1/3 (LM x Lm) x H

Triangular = 1/3 (b x h / 2) x H

CONO

Volumen = 1/3 (SupBASE ) x H

Volumen = 1/3 ( x r2) x H

Pirámides Keops, Kefrén y Micerino - Egipto

V = 1/3 ( L2 ) x H = m3

PIRÁMIDE CUADRADA

V = 1/3 (LM x Lm) x H = m3

PIRÁMIDE RECTANGULAR

V = 1/3 (b x h / 2) x H = m3

PIRÁMIDE TRIANGULAR

PIRÁMIDE CUADRADA

V = 1/3 ( L2 ) x H = m3

Museo Louvre- París

Esfera de Caracas - Venezuela - Jesús Soto

4 x π x r3

3V= = m3

ESFERA