Embed Size (px)
Citation preview
Evolución Histórica
de la Matemática
Evolución Histórica del concepto
En el siglo IV a.C. Entre otros, surge Menecmo como el primer geómetra
que trabajo con secciones cónicas
También Euclides escribió cuatro libros sobre secciones cónicas pero
se perdió completamente
Arquímedes también las estudio y hallo
La relación que hay entre el área de un círculo y la de la elipse
El área del segmento parabólico (arriba) es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito (abajo)
Sin embargo, nadie llego a trabajarlas tanto como Apolonio de Pergamo
Conocido como
“El Gran Geómetra”
Escribió ocho libros de secciones cónicas
¿ Cómo las halla ?
A él se deben las siguientes definiciones
Superficie Cónica
Generatriz
Vértice y eje
Cono (Recto y Oblicuo)
Parábola
Hipérbola
Elipse
Circunferencia
En el siglo IV d.C. Pappus demostró que la excentricidad de cualquier cónica
Pappus de Alejandría
La razón entre las distancias de cualquier punto de una cónica a una recta fija (directriz) y a un punto fijo (foco) es constante
Clasificación de las cónicas segúnsu excentricidad
Si e < 1 Se trata de una Elipse
Si e = 1 Se trata de una Parábola
Si e > 1 Se trata de una Hipérbola
Hasta el siglo XVII no hubo mayores aportes, ya que es en él precisamente que
surge la llamada Geometría Analítica
René Descartes Pierre Fermat
La Teoría de basa en dos conceptos:
Ubicación de puntos en ejes cartesianos
Unir álgebra y geometría
Descartes examino la clase de curvas del plano que están representadas por ecuaciones de segundo grado con dos variables; cuya expresión general es:
Llegando las siguientes conclusiones
Una Elipse si
Una Parábola si
Una Hipérbola si
Estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del
planeta Marte
Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol descubriendo trayectorias elípticas y de
modo tal que el Sol, se encuentra ubicado precisamente en uno de sus focos
En 1809 Gauss Publico su segunda obra maestra
“Teoría del movimiento de los cuerpos celestres que giran
alrededor del sol en secciones cónicas”
Analicemos sus propiedades
ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante
Como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su
nombre se atribuye a Apolonio de Perge.
El foco y la directriz de la elipse fueron estudiadas por Pappus
Construcción por Papiroflexia Tomar un papel y dibuja en él una circunferencia lo más
grande posible (utilizar papel de calcar)
Pintar un punto dentro de la circunferencia (lejos de sucentro)
Plegar el papel de manera que, mirando atrasluz, coincida un punto de la circunferencia con elpunto pintado dentro de ella
Elementos que la componen
Excentricidad
PARÁBOLA
Es un lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo, llamado foco es
igual a la distancia a una recta fija,llamada directriz
El primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, donde se desarrolla
el estudio de las tangentes a secciones cónicas.También fue estudiada por Arquímedes, en la
búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el
libro Sobre la cuadratura de la parábola
Construcción por Papiroflexia
Pintar una recta (cerca de borde corto del papel y paralela al mismo)
Pinta un punto no demasiado lejos de la recta en el lado que tienes más espacio y lejos de los bordes
Pliega el papel haciendo que al trasluz coincida un punto de la recta con el que has pintado. Marca bien el pliegue
Elementos que la componen
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Su longitud es siempre 4 veces la distancia focal
Semejanza
Dado que la parábola es una seccióncónica, puede describirse como la única quetiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere aque todas las parábolas son semejantes, esdecir, tienen la misma forma, salvo su escala.Un argumento geométrico informal es que al serla directriz una recta infinita, al tomar cualquierpunto y efectuar la construcción, se obtienesiempre la misma curva, salvo su escala, quedepende de la distancia del punto a la directriz
HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos es constante
Aplicaciones en óptica
El sistema de navegación Loran
Trayectoria de los cometas
El reloj solar
Construcción por Papiroflexia
Se procede de la misma manera que con la elipse pero pintando el punto fuera de la circunferencia en lugar de dentro
Los focos de la hipérbola resultante también son el punto dibujado y el centro de la circunferencia.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola , C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular al eje transversal son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro
Características importantes
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y las ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo dirigido a uno de los focos de ella se refleja en el otro
El hombre preocupado por establecer siempre un equilibrio en la dualidad estética y funcionalidad a optado por recurrir a formas cada
vez más sofisticadas y uno de los recursos que cuenta para definir
patrones en los campos de arquitectura, ingeniería, diseños de
mueble son las secciones cónicas
Aplicaciones en general
Astronomía
Orbita de los cometas
Medicina
Cd
Numeración de las armas
Circunferencia en el transporte
Tradicionalmente, el estudio de las cónicas es de tipo analítico, destinado a
obtener ecuaciones o graficas
Un enfoque práctico, permite visualizar la belleza que esconden estas curvas al estudiar sus propiedades por métodos geométricos
"LA CIENCIA ES UNA DE LAS GRANDES AVENTURAS DE LA RAZA HUMANA, TAN FANTASTICA Y EXIGENTE COMO LOS CUENTOS DE HÉROES Y DIOSES, NACIONES Y ESTADOS, ESCRITORES Y POETAS... ESA ES MI CONVICCIÓN Y PIENSO QUE LA CIENCIA PODRÍA Y
DEBERÍA SER ENSEÑADA DE MANERA TAL QUE SE TRANSMITA UNA
SOSPECHA DE ESE ESPÍRITU A LA MENTE DEL ESTUDIANTE"
(MAX BORN)
