Desigualdades e Inecuaciones

DESIGUALDADES E INECUACIONESDESIGUALDADPara hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual.

El término "DISTINTO" (signo ≠), no tiene apenas importancia en matemáticas y en la vida real. Ejemplos: 4 ≠ 5, que se lee 4 distinto de 5 (ó 5 distinto de 4)

El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se

forma con cualquiera de esos cuatro símbolos

≤≥

<>

)( que" igual omenor ")( que" igual omayor "

)( que"menor ")( que"mayor "

.

Ejemplos de desigualdades:

a) 5 < 11 b) –2 > –7 c) 0 ≤ 1 4 ≥ –3

Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferente de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Practica con los ejemplos anteriores.

Con estos símbolos se construye la relación de orden, ya que dados dos números cualesquiera a y b, siempre se da una de estas condiciones: a es menor que b, a es igual a b, ó a es mayor que b.

(a < b) (a = b) (a > b)si unimos si unimos

a ≤ b a ≥ bPara evaluar una desigualdad, sólo podemos decir si es verdadera (V) o falsa (F.

Ej. Completa con V (verdadero) o F (falso) las siguientes desigualdades:5 < 3 ___ 25 ≤ ___

–2 < –5 ___ b ≥ b ___

0,25 < 0,205 ___ a+3 ≤ a+8 ___

153 ≤ ___ a < a ___

169

85 ≥ ___ a+b > a ___

4510

92 −>−

___ 2a–1 > 2a+5 ___

7194 −> ___ 14,3≥π ___

Ej Completa con el símbolo correcto las siguientes desigualdades:

3 ___ –5, –8 ___ –8, –4 ___ –20, 6 ___ 35722 ___ π

Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad; ejemplo: 3>5 es falsa si cambiamos de sentido 3<5, es verdadera; cambiar de sentido una desigualdad es cambiar el signo que tiene por el contrario.

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PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADESDe la suma:

Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7 < 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido.Dada la desigualdad 3 < 8, si restamos 4 a los dos miembros se obtiene –1 < 4, otra del mismo sentido.Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos x y restamos 1 se obtiene 2+x < 7+x, otra del mismo sentido.

Del producto

Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene 15 < 40, otra del mismo sentidoDada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario.Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por 2 se obtiene

423 < , otra del mismo sentido.

Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por –1, se obtiene –3 > –8, otra de sentido contrario.

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de una desigualdad.

Son inecuaciones: 2 + 3x < 5 x2 – 5x + 3 ≥ 0 3x – y > 5y + 4x – 14

Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene.

Veamos un problema: Encuentra los números que verifican: que el doble menos uno sea mayor que si al número le sumamos 4. Este problema tendría una transcripción algebraica así.

2 x – 1 > x + 4 Vemos que hay muchos números que cumplen esta condición.

Los números 9, 11, 90 y 6 vemos que la hacen cierta así como otros muchos números.

Sin embargo, los números 3, –4 no la hacen cierta, estos números no cumplen la condición, también hay otros.Luego nos damos cuenta que la respuesta a una inecuación no es única, existen varias soluciones.

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Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número

*Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido *Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.

Nº Doble menos 1 Nº + 4 cierto9 17 13 SI11 21 15 SI90 179 94 SI6 11 10 SI3 5 7 NO–4 –9 0 NO

En general una inecuación tiene infinitas soluciones.Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las desigualdades)

Sumamos 1 a los dos miembros 2x > x + 4 + 1Restamos x a los dos miembros 2x – x > 4 + 1Reducimos miembros x > 5

Por tanto, la solución de esta inecuación es: x > 5

Inecuación: 2 x – 1 > x + 4 si sustituimos la x por 92·9 – 1 > 9 + 4 17 > 13 que es una desigualdad cierta, y, por tanto, el valor 9 será una solución2·3 – 1 > 3 + 45 > 7 no es cierta la desigualdad, por tanto, el valor 3 no es solución.

* Para resolver una inecuación se transforma en otras más sencillas que sean equivalentes.

* Dos inecuaciones son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones.

Las propiedades que permiten transformar inecuaciones en otras más sencillas son las mismas que las propiedades de las desigualdades, simplemente cambiando la palabra desigualdad por inecuación.

PROPIEDADES DE LAS INECUACIONESDe la suma:

Del producto

En la práctica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a veces hay que cambiarla de sentido.

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Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que al sustituirlos en la inecuación la conviertan en una desigualdad cierta,

Si a los dos miembros de una INECUACIÓN se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido.

Si los dos miembros de una INECUACIÓN se multiplican o dividen por un número

*mayor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido *menor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente a la dada pero de

sentido contrario.

Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando:

* Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1) * Cuando sea negativo y utilicemos: "el que está multiplicando pasa al otro miembro

dividiendo" * A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común

es negativo

EJEMPLOS:

sentido. decambiar que tenidohemos no inecuaciónesta en

53

15 resolvemos

153 reducimos31225 strasponemo

=>

>+>−

+>−

x

xxx

122x35x

sentido el cambiado hemos SI inecuación estaen

43

12 resolvemos

123 reducimos 85174 onemos trasp17584 paréntesis quitamos

−=−

>

<−++−<−−<−−

−<−−

x

xxx

xx17x52)4(x

11919

19191541229

124215926)2(2)53(3

sentido decambiar quehay no 6,por miembros dos los

ndomultiplica resdenominado quitamos

=≤

≤+≤+−

−+≤−⋅−+≤−

−+≤−

x

xxxx

xxxxxx

2x3

2x2

53x

negativo es 29

porquecambiar que tenidohemos 2926

262932631820126318322012

)2(318)85(412cambiar quehay no 12,por miembros dos los

ndomultiplica resdenominado quitamos

−≤

≥−+−≥−−−−+≥−−−+≥+−

−+≥+−

x

xxxxx

xxxxxxxx

42x

23x

385xx

FORMAS DE DAR LA SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓNa) Según se obtiene en la resolución. 3 ejemplos anteriores: x > 5; x > – 4; 1≤x

b) En forma de intervalos: los mismos anteriores son: (5 , +∞); (–4 , +∞); ( ]1,∞−

c) De forma gráfica, utilizando la recta real

Siempre que resolvamos una inecuación en un sentido, también estamos resolviendo otra inecuación de sentido contrario. Ejem. Si tenemos la inecuación "algo < otro algo" cuya solución es x < 7; la solución de la inecuación "algo> otro algo" es x > 7

Resolver las siguientes inecuaciones:

1) 11253 +≥− xx 2) )11(2)75(4 +<+− xxx

3) 213

4 +<−− xx4) 2

314)53(4 +≤−−+ xxx

5)355

2)6(2 +−<++ xxx 6) )118(6

274

5)34(3 +−≥−−+ xxx

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INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Ejemplos de este tipo son: x + y ≤ 0 2x + y > 5 4x – 7y < 11

Para este tipo de inecuación no se puede dar una solución de forma algebraica, sólo se puede dar una solución de forma gráfica, para ello se requiere la representación gráfica de funciones.

Es obvio decir que para su resolución la inecuación debe estar simplificada.

La solución es, siempre, un semiplano de los que la gráfica (siempre una línea recta) divide al plano, basta probar con un punto cualquiera de un semiplano para determinar cuál es.

Ejemplo: Resolver la inecuación 2x + y > 5Para ello representamos sobre unos ejes

cartesianos la función 2x + y = 5 ó mejor la función equivalente y = 5 – 2x, obtenida de la inecuación. Los puntos dibujados en la recta corresponde a la igualdad (2x + y = 5 ); la desigualdad > o < esta en uno de los dos semiplanos en que la recta divide al plano .Para determinar cuál de los dos semiplanos es la repuesta cogemos un punto cualquiera; el mejor es el origen ( 0, 0 ) y probamos con él: 2 · 0 + 0 > 5; como no es cierto, el semiplano que contiene al origen no es la solución, por lo tanto es el otro que aparece sombreado.

Todos los puntos (x,y) situados en el plano sombreado forman parte de la solución de la inecuación, cojamos uno cualquiera: el (3,1) y lo sustituimos en la inecuación: 2 · 3 + 1 > 5 y vemos que es cierto; podemos probar con el punto ( 3’26 , – 0’34 ) Si la inecuación esta construida con el símbolo ≥ o ≤ la solución sería un semiplano y además los puntos de la recta dibujada.

Resolver las siguientes inecuaciones:

1) 63 ≤− yx 2) 13 ≥+ yx

3) 052 >+ yx 4) 543 −<− yx

5) xyx 532

≥−+6) 12

3524 −<+− xyx

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SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Ya que la solución de una inecuación es un conjunto numérico ( x > 3 ). Se pueden resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita simplemente buscando las soluciones comunes a todas las inecuaciones.

Ejemplo:

><

49

xx

, vemos que las dos inecuaciones tienen en común el conjunto o

intervalo abierto (4 , 9); o sea "todos los números comprendidos entre 4 y 9".

Puedes utilizar las representaciones gráficas de cada inecuación para buscar las soluciones comunes.

La forma de resolver estos sistemas es la siguiente: “Se resuelve cada inecuación individualmente y luego se busca la solución común”Ejemplo.

Resolver.

<−>+

(b) 19(a) 512

xx Resolvemos cada

inecuación individualmente

<>

10 :Sol (b)2 :Sol (a)

xx

Que si pensamos un poco vemos que lo que tienen en común son los números mayores que 2 y menores que 10, o sea, el intervalo (2,10).

Podemos buscar la solución común mediante la representación gráfica sobre la Recta Real, pudiendo hacerse de dos formas I) Marcando los que son (utilizando colores)

II) Borrando los que no son.Con el ejemplo anterior:

De la forma I) La Sol de (a) en azul, y la Sol de (b) en rojo

Los comunes son los números marcados con ambos colores; el intervalo (2 , 10)

De la forma II) tachando

vemos el intervalo (2 , 10)

La forma más elegante es representar las soluciones en forma de intervalos y buscar la solución común hallando la intersección de ambos.

∞≡<+ ∞≡>,10)(- 10 :Sol (b)

)(2, 2 :Sol (a)xx

la solución común sería: (2,10),10)(- )(2, =∞∩+ ∞

Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

1)

>+>−31

573xx

2)

>−≥−

13217

xx

3)

><−

>

xx

x

72

534)

<−>

−∈

232

)10,6(

xx

x

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SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Igual que en las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas sólo se puede dar una solución gráfica, en los sistemas ocurre lo mismo. Será la intersección de los semiplanos de cada inecuación.

Ejemplo: Resolver el sistema:

<+>−

7302

yxyx

Para ello representamos las funciones y = 2x en (verde) y la función y = 7 – 3x (en rojo).Buscamos los semiplanos de cada inecuación.La solución del sistema es la intersección de los dos semiplanos, en este caso la región del plano sombreado.Si el sistema está construido con el símbolo ≥ o ≤ en alguna o en las dos inecuaciones, la solución sería la región sombreada y además los puntos de la recta dibujada bien una o las dos rectas.

Ejemplo: Sistema de inecuaciones:

>+≥−

25332

yxyx

En azul la solución del sistema.

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SISTEMAS DE MÁS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Sólo existe solución gráfica como en las anteriores.

Ejemplo: Sistema de inecuaciones:

<−≥

≤

yxyy

12

Ejemplo: Resolver el sistema:

≤+≤+

∈≥≥

(2) 6032(1) 363

, ; 0 ; 9

yxyx

Nyxyx

Representamos todas las inecuaciones en

unos mismos ejes cartesianos y buscamos lo común.

En general es un recinto que puede ser abierto o cerrado.

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INECUACIÓN DE 2º GRADO

* Debes tener en cuenta que decir “ mayor que cero” y decir “positivo” es lo mismo, y decir “menor que cero” y decir “negativo” es lo mismo.

* Las inecuaciones de 2º grado se resuelven igual ya sea con el símbolo > 0, < 0, ≥ 0 ó ≤ 0

* Hay cuatro formas de resolver la inecuación. Las veremos con un ejemplo.

Resolver la siguiente inecuación: 0 452

≤≥<>

+− xx . Punto de partida para todas.

1ª forma y la más recomendada.Hallamos los valores para la x que dan el valor cero, esto es, resolvemos la ecuación:

0 452 =+− xx ; obtenemos dos valores x1 = 1 y x2 = 4. Para estos valores la expresión 452 +− xx toma el valor cero, eso quiere decir que en los demás valores no da cero, esto es, dan positivo ( > 0) o negativo ( < 0); es lo mismo que: “analizar los signos que toma la expresión 452 +− xx ”. Los buscamos de una manera gráfica sobre la recta Real representado los valores que dan cero.

La recta Real queda divida en tres intervalos:

I1 = ( –∞ , 1); I2 = ( 1 , 4 ) I3 = ( 4 , +∞ )

Pues bien, la expresión 452 +− xx siempre toma el mismo signo ( + , – ) en cada uno de los intervalos; basta probar con un valor cualquiera del intervalo para saber el sigo que toma en todo el intervalo,

En el intervalo I1 probamos con x = 0 la expresión toma el valor 4 que es > 0

En el intervalo I2 probamos con x = 2 la expresión toma el valor –2 que es < 0

En el intervalo I3 probamos con x = 5 la expresión toma el valor 19 que es > 0

Que se representa así:

Si estamos resolviendo la inecuación: 0 452 >+− xx , la solución sería: ( –∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )

Si estamos resolviendo la inecuación: 0 452 <+− xx , la solución sería: ( 1 , 4 )

Si estamos resolviendo la inecuación: 0 452 ≥+− xx , la solución sería: ( –∞ , 1 ] ∪ [ 4 , +∞ )

Si estamos resolviendo la inecuación: 0 452 ≤+− xx , la solución sería: [ 1 , 4 ]

NOTA.– A la hora de probar con un valor del intervalo conviene probar con valores exagerados cuando se pueda.

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2ª forma. Es transformarla en un sistema de dos ecuaciones con una incógnita.

Se descompone en factores la expresión 452 +− xx , pues utilizar Ruffini o la ecuación de 2º grado452 +− xx = )4()1( −⋅− xx

* Si la inecuación es 0 452 >+− xx , descompuesta en factores queda: 0)4()1( >−⋅− xx y “decimos”: “el producto de dos factores es positivo si ambos son positivos ó ambos negativos” y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes:

Los dos positivos

>−>−

0401

xx

De solución x > 4

Los dos negativos

<−<−

0401

xx

De solución x < 1

Luego la solución final sería: x < 1 ó x > 4 equivalente a ( –∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )

* Si la inecuación es 0 452 <+− xx , descompuesta en factores queda: 0)4()1( <−⋅− xx y “decimos”: “el producto de dos factores es negativo si uno es positivo y el otro negativo, y viceversa” y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes:

positivo-negativo

<−>−

0401

xx

De solución: ( 1 , 4 )

negativo-positivo

>−<−

0401

xx

De solución Incompatible

Luego la solución final sería: ( 1 , 4 )

Se resuelve de forma análoga si es ≥ 0 ó ≤ 0

3ª forma, recomendada para otros tipos de inecuaciones.Se descompone en factores la expresión 452 +− xx , puedes utilizar Ruffini o la ecuación de 2º

grado 452 +− xx = )4()1( −⋅− xx

Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analiza el producto.

Signo de ( x – 1 )

Signo de ( x – 4)

Signo de ( x – 1 ) · ( x – 4)

Si estamos resolviendo la inecuación: 0 452 >+− xx , la solución sería: ( –∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )

Si estamos resolviendo la inecuación: 0 452 <+− xx , la solución sería: ( 1 , 4 )


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4ª forma, utilizar la representación gráfica de funciones.Representamos la función yxx =+− 452 . Podemos utilizar DERIVE

Si queremos resolver la inecuación: 0452 >+− xx , tenemos que ver ¿qué valores “x” tienen la “y” positiva.

Si queremos resolver la inecuación: 0452 <+− xx , tenemos que ver ¿qué valores “x” tienen la “y” negativa.


Como vemos en la gráfica los valores x < 1 tienen la y positiva ( > 0 ) y también los valores x > 4.

Y los valores x comprendidos entre 1 y 4 tienen la y negativa. ( < 0 )

Observa que los valores para la x = 1 y x = 4, la función toma el valor CERO, que son donde la gráfica corta el eje X, y estaríamos resolviendo la ecuación 0452 =+− xx

Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 012163 2 ≤−− xx

Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 012163 2 =−− xx , cuyas soluciones son x1 = –2/3 y x2 = 6. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo

Luego la solución de la inecuación es: [ – 2/3 , 6 ]

Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 0276 2 >+− xx

Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 0276 2 >+− xx , cuyas soluciones son x1 = 1/2 y x2 = 2/3. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo

Luego la solución de la inecuación es: ( –∞ , ½ ) ∪ ( 2/3 , +∞ )

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Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 025102 >+− xx

Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 025102 =+− xx , cuyas soluciones son x1 = 5 doble. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo

Sólo tenemos dos intervalos, que probando con – 1000 y con + 1000, los dos dan positivo

Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales menos x = 5 que da el valor CERO. Escrito en matemáticas: { }5−ℜ

Si hubiese sido la inecuación: 025102 ≥+− xx

La solución hubiese sido: “Todos los números Reales”

Si hubiese sido la inecuación: 025102 <+− xx

La solución hubiese sido: “No tendría solución”. Incompatible

Si hubiese sido la inecuación: 025102 ≤+− xx

La solución hubiese sido: x = 5. Solución única

Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 026102 >+− xx

Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 026102 =+− xx , que al resolverla no tiene raíces reales; por lo tanto en la recta Real no podemos representar ningún valor, esto es sólo tenemos un intervalo. Probamos con cualquier número de la recta (el cero) y analizamos el signo que toma; en este caso 26 que es >0 (+)

Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales Escrito en matemáticas: ℜ .


La solución hubiese sido: “Todos los números Reales”, ℜ





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INECUACIÓN RACIONAL O DE GRADO SUPERIORPara este tipo de ejercicios es mejor la 3ª forma.

Las inecuaciones racionales hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operaciones hasta dejarlas como una única fracción algebraica.

Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente. Para el caso 0 ,0 ≥≤ ten en cuenta que el denominador no puede ser cero.

Las inecuaciones de grado superior hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operaciones hasta dejarlas como una única expresión algebraica. Después se descompone en factores; se analizan los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del producto.

Ejercicio de racional: Resolver la siguiente inecuación: 042

5 >+

−xx

Por la 3ª forma: Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente.

Signo de (x – 5)

Signo de (2x + 4)

Signo de 42

5+

−xx

Al estar resolviendo la inecuación: 042

5 >+

−xx

, la solución es: (– ∞ , – 2) ∪ (5 , + ∞)

Si hubiese sido la inecuación: 042

5 ≥+

−xx

La solución hubiese sido: (– ∞ , – 2) ∪ [5 , + ∞)


5 <+

−xx

La solución hubiese sido: (– 2 , 5)


5 ≤+

−xx

La solución hubiese sido: (– 2 , 5]

Ejercicio de racional: Resolver la siguiente inecuación: 126 <

+−

xx

Sol: 02

8 02

26 0126 1

26 <

+−⇒<

+−−−⇒<−

+−⇒<

+−

xxxx

xx

xx

,

cuya solución es: x > – 2

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Ejercicio de grado TRES: Resolver la siguiente inecuación: 012133 >+− xx

Por la 3ª forma: Descomponemos la expresión en factores, (utilizamos Ruffini) y queda: )4)(3)(1(12133 +−−=+− xxxxx , cuyas raíces (soluciones de la ecuación) son: x1 = – 4, x2 = 1 y x3 = 3.

Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analiza los signos del producto.

Signo de (x + 4)

Signo de (x – 1)

Signo de (x – 3)

Signo de (x + 4) (x – 1) (x – 3)

Al estar resolviendo la inecuación 012133 >+− xx , la solución es: (– 4 , 1) ∪ (3 , + ∞).


La solución hubiese sido: [– 4 , 1] ∪ [3 , + ∞)


La solución hubiese sido: (– ∞ , – 4) ∪ (1 , 3)


La solución hubiese sido: (– ∞ , – 4] ∪ [1 , 3]

Ejercicio mezcla: Resolver la siguiente inecuación: 013

2 >−

−xx

Por la 3ª forma: Descomponemos en factores y analizamos signos del numerador y denominador.

Signo de (x – 3)

Signo de (x – 1) (x + 1)

Signo de 13

2 −−

xx

Al estar resolviendo la inecuación: 013

2 >−

−xx

, la solución es: (–1, 1) ∪ (3 , + ∞)

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