Distribusi Sampling

Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki

karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti (bahan penelitian). Objek

atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat berupa orang,

perusahaan, hasil produksi, rumah tangga, dan tanah pertanian.

Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga

memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang dianggap bisa mewakili

populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel disebut unit sampel. Unit

sampel mungkin sama dengan unit analisis, tetapi mungkin juga tidak.

Populasi dapat dibagi berdasarkan keadaan (kompleksitasnya) dan berdasarkan ukurannya.

1. Populasi berdasarkan keadaannya, terdiri dari:

a) Populasi homogen. Populasi dikatakan homogen apabila unsur-unsur dari populasi yang ditelitimemiliki sifat-sifat yang relatif seragam satu sama lainnya. Contohnya, apabila kita inginmengetahui manis tidaknya secangkir kopi, cukup dengan mencoba setetes cairan kopi tersebut.Setetes cairan kopi sudah bisa mewakili kadar gula dari secangkir kopi tersebut. Contoh objeklain yang bersifat homogen ialah: darah dalam tubuh seseorang, dan kadar garam air laut.

b) Populasi heterogen. Populasi dikatakan heterogen apabila unsur-unsur dari populasi yang ditelitimemiliki sifat-sifat yang relatif berbeda satu sama lainnya. Karakteristik seperti ini banyakditemukan dalam penelitian sosial dan perilaku, yang objeknya manusia atau gejala-gejaladalam kehidupan manusia yang bersifat unik dan kompleks. Misalnya, apabila kita inginmengetahui rata-rata IQ mahasiswa IKIP Gunungsitoli angkatan tahun 2010. Jelas, rata-rata IQmahasiswa antar Fakultas kemungkinan besar bervariasi.

2. Populasi berdasarkan ukurannya, terdiri dari:

a) Populasi berhingga, yaitu populasi yang anggota populasinya dapat diperkirakan atau diketahuisecara pasti jumlahnya, dengan kata lain, jelas batas-batasnya secara kuantitatif, misalnya:

- Banyaknya mahasiswa FPMIPA IKGS angkatan tahun 2010

- Tinggi penduduk yang ada dikota Gunungsitoli

- Berat Badan seluruh siswa/i SMA Negeri 1 Gunungsitoli

b) Populasi tak berhingga, yaitu populasi yang anggota populasinya tidak dapat diperkirakan atautidak dapat diketahui jumlahnya, dengan kata lain, batas-batasnya tidak dapat ditentukan secarakuantitatif, misalnya:

- Banyaknya air dilautan

- Banyaknya pasir yang ada disepanjang pantai Pulau Nias

Untuk menerangkan karakteristik dari populasi dan sampel, digunakan istilah parameter dan statistik.Parameter dan statistik adalah besaran yang berupa data ringkasan atau angka ringkasan yangmenunjukkan suatu ciri dari populasi dan sampel. Parameter dan statistik merupakan hasil hitungan nilaidari semua unit di dalam populasi dan sampel bersangkutan.

Berikut ini tabel lambang yang digunakan untuk parameter dan statistik.

Besaran Lambang Parameter

(Populasi)

Lambang Statistik

(Sampel)

Rata-rata

Varians

Simpangan Baku

Jumlah Observasi

Proporsi

𝜇

𝜎2

𝜎

𝑁

𝑃

𝑋

𝑆2

𝑆

𝑛

𝑝

Metode sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian

elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Cara pengumpulan data

yang lain adalah sensus. Sensus adalah cara pengumpulan data yang mengambil

setiap elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.

Untuk sesuatu hal maka sensus dilaksanakan, tetapi karena sesuatu hal pula mungkin

sensus tidak dapat dilaksanakan dan kemudian dipilih sampling. Alasan-alasan

dipilihnya sampling antara lain sebagai berikut.

a. Objek penelitian yang homogen

Dalam menghadapi objek penelitian homogen atau 100% sama, sensus tidak perlu

dilaksanakan, cukup hanya dengan melakukan sampling untuk memperoleh data

yang diperlukan.

b. Objek penelitian yang mudah rusak

Dalam menghadapi objek penelitian yang mudah rusak, sensus tidak mungkin dilakukan sebab akanmerusak objek yang diteliti.

Contoh:

Penelitian mengenai rasa jeruk tidak mungkin dilakukan dengan mencicipi satu per satu jeruk satukebun.

c. Penghematan biaya dan waktu

Biaya yang dikeluarkan untuk melakukan sensus jauh lebih besar dibandingkan dengan sampling,sehingga penggunaan sensus banyak menimbulkan pemborosan, sedangkan penggunaan samplinglebih efisien. Hal itu disebabkan pada sensus objek yang diteliti jauh lebih banyak dibandingkan objekyang akan diteliti pada sampling. Demikian pula halnya dengan waktu. Waktu yang digunakan untukmelaksanakan sensus lebih lama jika dibandingkan dengan waktu yang digunakan untuk melakukansampling.

d. Masalah ketelitian

Pada sensus objek yang harus diteliti, lebih banyak dibandingkan dengan pada sampling, sehinggakeakuratan hasil penelitiannya juga lebih kecil daripada sampling. Pengalaman mengatakan bahwasemakin banyak objek yang diteliti, semakin kurang pula ketelitian yang dihasilkan.

e. Ukuran populasi

Seperti diketahui bahwa berdasarkan ukurannya populasi dapat berupa populasi berhingga danpopulasi tak berhingga. Untuk populasi tak berhingga, yaitu populasi yang memiliki banyak objektidak berhinggga banyaknya, sensus tidak mungkin dilakukan. Untuk populasi berhingga, tetapimemiliki objek yang sedemikian besarnya, sensus juga sulit untuk dilaksanakan. Untuk keadaanseperti itu, sampling lebih cocok untuk digunakan.

f. Faktor ekonomis

Faktor ekonomis diartikan apakah kegunaan dari hasil penelitian sepadan dengan biaya, waktu, dantenaga yang telah dikeluarkan untuk penelitian tersebut. Jika tidak, mengapa harus dilakukan sensusyang memakan biaya, waktu, dan tenaga yang banyak dan sebagai alternatifnya dilakukan sampling

Sampling Random

Sampling Nonrandom

Metode Sampling :

Sampling Random (Sampling Acak)

Sampling random atau sampling probabilitas adalah cara pengambilan sampel dengan semua objek atauelemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Hasil dari samplingrandom memiliki sifat yang objektif.

Yang termasuk sampling random, antara lain:

a. Sampling random sederhana

Sampling random sederhana adalah bentuk sampling random yang sifatnya sederhana, tiap sampelyang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi. Sampling randomsederhana dilakukan apabila:

1) elemen-elemen populasi yang bersangkutan homogen;

2) hanya diketahui identitas-identitas dari satuan-satuan individu (elemen) dalam populasi,sedangkan keterangan lain mengenai populasi, seperti derajat keseragaman, pembagian dalamgolongan-golongan tidak diketahui, dan sebagainya.

Sampling random sederhana dapat dilakukan dengan menggunakan dua metode, yaitu:

1) Metode undian

Metode undian adalah prosesnya dilakukan dengan menggunakan pola pengundian. Prosespengerjaannya ialah sebagai berikut.

a) Memberi kode nomor urut pada semua elemen populasi pada lembar kertas-kertas kecil.

b) Menggulung lembar kertas-kertas kecil kemudian memasukkannya ke dalam kotak,mengocoknya dengan rata, dan mengambilnya satu per satu.

c) Hasil undian itu merupakan sampel yang dipilih. Metode undian hanya cocok untuk jumlahpopulasi yang kecil.

2) Metode tabel random

Metode tabel random adalah metode yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan tabelbilangan random. Tabel bilangan random adalah tabel yang dibentuk dari bilangan biasa yangdiperoleh secara berturut-turut dengan sebuah proses random serta disusun ke dalam suatutabel.

Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut.

a) Memberi nomor urut (mulai dari 1) pada semua elemen populasi, sebanyak elemen tersebut.

b) Secara acak, memilih salah satu halaman tabel bilangan random, demikian pula denganpemilihan kolom dan barisnya.

c) Nomor-nomor yang terpilih dari tabel tersebut merupakan nomor-nomor dari sampel. Apabilanomor sampel sudah terpilih atau muncul, kemudian muncul lagi, maka nomor itu dilewati.

Contoh soal:

PT TERBANG BERSAMA memiliki 100 orang karyawan. Jika akan dipilih 15 orang sampel penelitian,tentukan nomor-nomor karyawan tersebut sebagai sampel dengan menggunakan tabel bilanganrandom!

Penyelesaian:

(1) Ke -100 orang karyawan diberi nomor 01, 02, 03, 04, 05, . . ., 100.

(2) Dari pengacakan, misalkan tabel bilangan random seribu angka kedua, kolom 1-4, baris ke-6.

(3) Dari tabel bilangan random, diperoleh nomor-nomor karyawan sebagai sampel, yaitu: 86, 04, 50,62, 59, 01, 75, 80, 58, 65, 50, 76, 92, 95, 03.

b. Sampling berlapis (sampling stratified)

Sampling berlapis adalah bentuk sampling random yang populasi atau elemen populasinya dibagidalam kelompok-kelompok yang disebut strata. Sampling stratified dilakukan apabila:

1) elemen-elemen populasi heterogen;

2) ada kriteria yang akan dipergunakan sebagai dasar untuk menstratifikasi populasi ke dalamstratum-stratum, misalnya variabel yang akan diteliti;

3) ada data pendahuluan dari populasi mengenai kriteria yang akan digunakan untuk stratifikasi;

4) dapat diketahui dengan tepat jumlah satuan-satuan individu dari setiap stratum dalam populasi.


1) Membagi populasi menjadi beberapa stratum.

2) Mengambil sebuah sampel random dari tiap stratum. Banyaknya unsur yang dipilih dari tiapstratum boleh sebanding atau tidak sebanding dengan jumlah stratum dalam populasinya. Jikapengambilan banyaknya unsur tiap stratum sebanding dengan ukuran-ukuran tiap stratum danpengambilannya dilakukan secara random, dinamakan proportional random sampling.

3) Menggabungkan hasil dari pengambilan sampel tiap stratum, menjadi satu sampel yangdiperlukan

Contoh soal:

Sebuah populasi terdiri atas 500 pedagang kaki lima, dengan komposisi 200 pedagang makanan, 150pedagang barang mainan, 100 pedagang kerajinan, dan 50 pedagang rokok. Jika 20 pedagang kakilima itu hendak dijadikan sampel, tentukan banyaknya sampel tiap stratum (gunakan metodesebanding) dan nomor-nomor sampel yang terpilih (gunakan tabel bilangan random) pada tiapstratum.

Penyelesaian:

(a) Pengelompokkan sampel menjadi beberapa stratum diperlihatkan pada tabel berikut ini.

Stratum Jenis Usaha Jumlah

I

II

III

IV

Makanan

Barang Mainan

Kerajinan

Rokok

200

150

100

50

Jumlah 500

(b) Pengambilan sampel dari masing-masing stratum adalah sebagai berikut.

Stratum I =200

500× 20 = 8 pedagang

Stratum II =150


Stratum III =100


Stratum IV =50


Jumlah sampel seluruhnya = 20 pedagang

(c) Pemilihan sampel pada tiap stratum dilakukan dengan menggunakan tabel bilangan random.Silahkan cari sendiri!

c. Sampling sistematis

Sampling sistematis adalah bentuk sampling random yang mengambil elemen-elemen yang akandiselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang telah disusun secara teratur. Samplingsistematis dilakukan apabila:

(1) identifikasi atau nama dari elemen-elemen dalam populasi itu terdapat dalam suatu daftar,sehingga elemen-elemen tersebut dapat diberi nomor urut;

(2) populasi memiliki pola beraturan, seperti blok-blok dalam kota atau rumah-rumah pada suaturuas jalan.


(1) Jumlah elemen dalam populasi dibagi dengan jumlah unsur yang diinginkan dalam sampel,sehingga terdapat subpopulasi-subpopulasi yang memiliki jumlah elemen yang sama (memilikiinterval yang sama).

(2) Dari subpopulasi pertama dipilih sebuah anggota dari sampel yang dikehendaki, biasanyadengan menggunakan tabel bilangan random.

(3) Anggota dari subsampel pertama yang terpilih digunakan sebagai titik acuan (awal) untukmemilih sampel berikutnya, pada setiap jarak interval tertentu.

Contoh soal:

Sebuah populasi yang memiliki elemen 800, hendak diambil 20 sampel sebagai bahan penelitian.Tentukan nomor sampel yang terpilih!

Penyelesaian:

(a) Ke-800 elemen diberi nomor urut 001, 002, ...,800. Ke-800 elemen dibagi menjadi 20subpopulasi,dimana setiap subpopulasi terdiri atas 40 elemen (800 : 20 = 40).

(b) Dengan menggunakan tabel bilangan random, diperoleh sebuah sampel dari subsampel pertamasebagai titik acuan, misalkan bernomor 007.

(c) Karena sampel pertama jatuh pada nomor 007, maka nomor untuk sampel-sampel berikutnyaadalah 047, 087, 127, 167, 207, 247, 287, 327, 367, 407, 447, 487, 527, 567, 607, 647, 687, 727,767.

d. Sampling kelompok (sampling cluster)

Sampling kelompok adalah bentuk sampling random yang populasinya dibagi menjadi beberapakelompok (cluster) dengan menggunakan aturan-aturan tertentu, seperti batas-batas alam danwilayah administrasi pemerintahan.


(1) Membagi populasi ke dalam beberapa subkelompok.

(2) Memilih satu atau sejumlah kelompok dari kelompok-kelompok tersebut. Pemilihan kelompok-kelompok itu dilakukan secara random.

(3) Menentukan sampel dari satu atau sejumlah kelompok yang terpilih, secara random.

Antara sampling cluster dan sampling stratified terdapat perbedaan dari cara pengambilansampelnya. Pada sampling cluster sampelnya diambil dari cluster yang terpilih, sedangkan padasampling stratified sampelnya diambil dari seluruh stratum.

Contoh soal:

Sebuah desa yang memiliki 1.500 KK, akan diteliti mengenai respon penggunaan bumbu masakmerek ASSOI. Untuk keperluan tersebut dipilih sampel sebanyak 50 KK. Dari 1.500 KK tersebut kitabagi menjadi 150 kelompok dengan anggota 10 KK tiap kelompok yang berdekatan. Dari 150kelompok itu, dipilih sebuah sampel random yang terdiri atas 5 kelompok. Dengan demikian, dari 5kelompok pilihan itu, diperoleh 5 x 10 = 50 KK sebagai sampel.

Sampling Nonrandom (Sampling Tidak Acak)

Sampling nonrandom atau sampling nonprobabilitas adalah cara pengambilan sampel yang semua objekatau elemen populasinya tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel.

Hasil dari sampling nonrandom memiliki sifat subjektif atau kurang objektif. Hal itu disebabkan padawaktu sampel diambil dari populasi, probabilitas tidak diikutsertakan, tetapi berdasarkan aspek pribadiseseorang.

Yang termasuk sampling nonrandom, antara lain:

a. Sampling kuota

Sampling kuota adalah bentuk sampling nonrandom yang merincikan lebih dahulu segala sesuatuyang berhubungan dengan pengambilan sampel. Dengan demikian, petugas hanya mengumpulkandata mengenai sesuatu yang telah dirinci. Akan tetapi, pengambilan unit samplingnya ditentukan olehsi petugas.

Contoh:

Sebuah kawasan dihuni oleh 1.000 KK. Dalam rangka penelitian, diperlukan 50 KK dalam kategoriumur dan pendapatan tertentu. Dalam penentuan sampel sebanyak 50 KK itu, petugas melakukannyaatas keinginan sendiri.

b. Sampling pertimbangan

Sampling pertimbangan adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya ditentukanoleh peneliti berdasarkan pertimbangan atau kebijaksanaannya. Cara sampling pertimbangan cocokuntuk studi kasus.

Contoh:

Dari penyebaran 100 kuesioner, ternyata yang kembali hanya 30 (30%). Berdasarkan pertimbangantertentu dari peneliti atau ahli, diputuskan untuk menggunakan 30 kuesioner tersebut sebagai datasampel.

c. Sampling seadanya

Sampling seadanya adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya dilakukanseadanya atau berdasarkan kemudahannya mendapatkan data yang diperlukan. Pada samplingseadanya, tingkat kerepresentatifan sampel tidak terlalu diperhatikan.

Contoh:

Pengambilan sampel mengenai ramalan tentang partai yang akan menjadi pemenang pada pemiluyang akan datang. Pengambilan sampelnya dilakukan dengan mengumpulkan opini masyarakat,dalam hal ini adalah orang-orang yang lewat pada suatu jalan. Orang-orang yang lewat tersebut tidakmerupakan bagian representatif dari keseluruhan masyarakat yang berhak memilih.

Untuk menentukan banyaknya sampel yang dapat diambil dari suatu populasi yang

berukuran tertentu digunakan perhitungan sebagai berikut.

1. Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian

Pengambilan sampel disebut dengan pengambilan jika anggota yang telah diambil

untuk dijadikan sampel disatukan kembali dengan anggota populasi lainnya

sehingga masih ada kesempatan untuk dipilih kembali. Jika dari populasi

berukuran N diambil sampel berukuran n dengan pengembalian maka banyaknya

sampel yang mungkin diambil adalah:

𝑁𝑛

Contoh:

Untuk populasi berukuran 4 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, dan sampel yang diambilberukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah 42 = 16 buah, yaitu:

sampel 1 : AA sampel 9 : CA

sampel 2 : AB sampel 10 : CB

sampel 3 : AC sampel 11 : CC

sampel 4 : AD sampel 12 : CD

sampel 5 : BA sampel 13 : DA

sampel 6 : BB sampel 14 : DB

sampel 7 : BC sampel 15 : DC

sampel 8 : BD sampel 16 : DD

Secara teoretis, populasi berhingga yang dikenali sampling dengan cara pengembalian dapatdianggap sebagai populasi tak berhingga. Hal itu disebabkan berapapun banyaknya sampel yangdiambil, populasi tidak akan pernah habis.

2. Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian

Pengambilan sampel disebut tanpa pengembalian jika anggota populasi yang telah diambiluntuk dijadikan sampel tidak disatukan dengan anggota populasi lainnya. Jika dari populasiberukuran N diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian maka banyaknya sampelyang mungkin dapat diambil adalah

𝐶𝑛𝑁 =

𝑁!

𝑛! 𝑁 − 𝑛 !

Contoh:

Untuk populasi berukuran 5 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, E, dan sampel yang diambilberukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah

𝐶𝑛𝑁 =

𝑁!

𝑛! 𝑁 − 𝑛 !

𝐶25 =

5!

2! 5 − 2 !

𝐶25 = 10 buah sampel

Ke-10 buah sampel itu adalah

sampel 1 : AB sampel 6 : BD

sampel 2 : AC sampel 7 : BE

sampel 3 : AD sampel 8 : CD

sampel 4 : AE sampel 9 : CE

sampel 5 : BC sampel 10 : DE

PENGERTIAN DISTRIBUSI SAMPLING

Distribusi sampling adalah distribusi dari besaran-besaran statistik, seperti rata-rata,simpangan baku, proporsi (persentase) yang mungkin muncul dari sampel-sampel.Distribusi dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel, distribusi dari proporsi sampel disebut distribusi sampling proporsi ataudistribusi proporsi sampel, dan sebagainya.

Contoh:

Jika besar populasi adalah 3 (N = 3), misalkan A, B, C, kemudian diambil sampelberukuran 2 (n = 2) maka akan diperoleh 3 sampel, yaitu AB, BC, AC (sampelnya tanpapengembalian).

Dari ke-3 sampel tersebut dihitung rata-ratanya, maka didapatkan 3 rata-rata sampel.Tiga rata-rata sampel tersebut membentuk suatu distribusi, disebut distribusi samplingrata-rata atau distribusi rata-rata sampel. Demikian pula dengan perhitungan simpanganbaku, varians, proporsi sampel akan membentuk distribusi simpangan baku, distribusivarians, dan distribusi proporsi.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI SAMPLING

Berdasarkan besaran statistik yang digunakan, dikenal beberapa jenis distribusi

sampling, yaitu distribusi sampling rata-rata, proporsi, beda dua rata-rata, dan

beda dua proporsi.

1. Distribusi sampling rata-rata

Distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel adalah distribusi

dari besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel.

Contoh soal:

Sebuah populasi berukuran 6 yang anggotanya adalah 2, 3, 5, 6, 8, 9 dan

sampelnya berukuran 2. Buatlah distribusi sampling rata-ratanya jika

pengambilan sampelnya dilakukan tanpa pengembalian!

Penyelesaian:

Sampel berukuran 2 (n = 2) dengan rata-ratanya yang dapat dibentuk dari populasi berukuran 6 (N =6) dengan anggota 2, 3, 5, 6, 8, 9 adalah

sampel 1 : 2;3 dengan rata-rata = 2,5


sampel 3 : 2;6 dengan rata-rata = 4













𝑿 𝒇 Probabilitas

2,5

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8,5

1

1

2

1

1

3

1

1

2

1

1

0,07

0,07

0,13

0,07

0,07

0,20

0,07

0,07

0,13

0,07

0,07

Jumlah 15 1,00

Distribusi sampling rata-ratanya diperlihatkan dalam tabel

berikut ini.

Pada distribusi sampling rata-rata berlaku hal-hal berikut ini.

a. Pemilihan sampel dari populasi terbatas

Bila populasi terbatas yang berukuran N dan berdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan simpanganbaku 𝜎, rata-rata sampel 𝑋 yang didasarkan pada sampel random berukuran n dan dipilih daripopulasi di atas, akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku seperti ini.

1) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau𝑛

𝑁> 5%:

𝜇 𝑥 = 𝜇

𝜎 𝑥 =𝜎

𝑛

𝑁−𝑛

𝑁−1

2) Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau𝑛

𝑁< 5%:

𝜇 𝑥 = 𝜇

𝜎 𝑥 =𝜎

𝑛

Contoh soal:

Toko UNDUR-UNDUR memiliki 5 karyawan, yaitu A, B, C, D, E dengan upah per jam (ribuan rupiah): 2, 3,3, 4, 5. Jika upah yang diperoleh itu dianggap sebagai populasi, tentukan:

a) rata-rata sampel dari 2 unsur (upah dari dua karyawan),

b) rata-rata dari rata-rata sampel,

c) simpangan baku dari rata-rata sampel!

Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

Penyelesaian:

Banyak sampel yang mungkin adalah

𝐶25 =

5!

2! 5 − 2 !

𝐶25 = 10 buah sampel

Ke-10 buah sampel itu ialah:

1. 2;3 6. 3;4

2. 2;3 7. 3;5

3. 2;4 8. 3;4

4. 2;5 9. 3;5

5. 3;3 10 4;5

a. Rata-rata sampelnya ialah:

sampel 1 = 2,5 sampel 6 = 3,5

sampel 2 = 2,5 sampel 7 = 4

sampel 3 = 3 sampel 8 = 3,5

sampel 4 = 3,5 sampel 9 = 4

sampel 5 = 3 sampel 10 = 4,5

b. Rata-rata dari rata-rata sampel adalah:

𝜇 =2 + 3 + 3 + 4 + 5

5

𝜇 = 3,4

𝜇 𝑥 = 𝜇 = 3,4

c. Simpangan baku dari rata-rata sampel:

𝜎 = 𝑋 − 𝜇 2

𝑛

𝜎 =2 − 3,4 2 + 3 − 3,4 2 + 3 − 3,4 2 + 4 − 3,4 2 + 5 − 3,4 2

5

𝜎 = 1,02

𝜎 𝑥 =𝜎

𝑛

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

𝜎 𝑥 =1,02

2

5 − 2

5 − 1

𝜎 𝑥 = 0,62

b. Untuk pemilihan sampel dari populasi yang tidak terbatas

Bila populasi memiliki ukuran yang tidak berhingga dan didistribusikan secara normal dengan rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎, maka rata-rata sampel 𝑋 yang didasarkan pada sampel random yangberukuran n dan yang dipilih dengan pengembalian atau tanpa pengembalian dari populasi tersebutakan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku:

𝜇 𝑥 = 𝜇

𝜎 𝑥 =𝜎

𝑛

c. Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata

Penggunaan daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata, dapat digunakan rumus:

𝑍 = 𝑋 − 𝜇

𝜎 𝑋

1) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau𝑛

𝑁> 5%, berlaku:

𝑍 = 𝑋 − 𝜇

𝜎 𝑋

atau

𝑍 = 𝑋 − 𝜇

𝜎𝑛

𝑁 − 𝑛𝑁 − 1

2) Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau𝑛

𝑁< 5%, berlaku:

𝑍 = 𝑋 − 𝜇

𝜎 𝑋

atau

𝑍 = 𝑋 − 𝜇𝜎𝑛

Pada umumnya, normalitas dari distribusi sampling rata-rata disebut teori limit sentral dan dinyatakansebagai berikut.

1) Jika populasi cukup besar dan berdistribusi secara normal maka distribusi sampling rata-ratanyaakan normal

2) Jika distribusi populasi tidak normal maka distribusi sampling rata-ratanya akan mendekati normal,apabila jumlah sampel cukup besar, biasanya 30 atau lebih (n ≥ 30).

3) Distribusi normal dari rata-rata sampel memiliki rata-rata yang sama dengan rata-rata harapan 𝐸( 𝑋)dan simpangan baku 𝜎 𝑋. Nilai-nilai itu dapat dihitung dari rata-rata populasi (𝜇) dan simpangan bakupopulasi (𝜎).

Contoh soal:

Upah per jam para pekerja PT GEBYAR memiliki tingkat upah rata-rata Rp500,00 per jam dan simpanganbaku Rp60,00. Berapa probabilitas bahwa upah rata-rata 50 orang pekerja yang merupakan sampelrandom akan berada di antara Rp510,00 dan Rp520,00?

Penyelesaian:

Jika ukuran populasi tidak diketahui maka dianggap sebagai populasi tidak terbatas.

𝜇 = 500; 𝜎 = Rp60; n = 50; 𝑋 = 510 dan 520

Dengan demikian:

𝜎 𝑥 =𝜎

𝑛

=60

50

= 8,485

𝑍 = 𝑋−𝜇

𝜎 𝑋Untuk 𝑋 = 510 maka 𝑍 =

510−500

8,485= 1,18

Untuk 𝑋 = 520 maka 𝑍 =520−500

8,485= 2,36

Didapat: P(1,18 < Z < 2,36)

P(1,18 < Z < 2,36) = P(0 < Z < 2,36) – P(0 < Z < 1,18)

= 0,4909 – 0,3810

= 0,1099

Jadi, probabilitas bahwa upah rata-rata dari sampel berada di antara Rp510,00 dan Rp520,00 adalah0,1099 atau 10,99% atau 11%.

2. Distribusi sampling proporsi

Proporsi dari populasi dinyatakan dengan 𝑃 =𝑋

𝑁dan proporsi untuk sampel dinyatakan dengan 𝑝 =

𝑋

𝑛.

Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dari proporsi (persentase) yang diperoleh dari semuasampel sama besar yang mungkin dari satu populasi.

Distribusi sampling proporsi juga memiliki arti yang penting seperti halnya distribusi sampling rata-rata.Distribusi sampling proporsi dapat digunakan untuk mengetahui persentase atau perbandingan antaradua hal yang berkomplemen (peristiwa binomial), seperti persentase perokok dan bukan perokok,persentase pemilih dan bukan pemilih di suatu pemilu, dan perbandingan antara pemakai dan bukanpemakai hasil produksi tertentu.

Contoh:

Sebuah populasi yang beranggotakan 6 orang, 3 di antaranya perokok dan yang lainnya bukan perokok.Apabila diambil sampel yang beranggotakan 3 orang, proporsi atau banyaknya sampel untuk ke-3anggota sampel perokok, 2 perokok dan 1 bukan perokok, 1 perokok dan 2 bukan perokok dan ke-3 nyabukan perokok dapat diketahui (pemilihan sampel tanpa pengembalian), misalnya, anggota populasiadalah A, B, C untuk perokok dan K, L, M untuk bukan perokok.

Banyaknya sampel yang dapat diambil adalah

𝐶36 =

6!

3! 6 − 3 != 20 buah


1. ABC 6. ACL 11. BCK 16. BLM

2. ABK 7. ACM 12. BCL 17. CKL

3. ABL 8. AKL 13. BCM 18. CKM

4. ABM 9. AKM 14. BKL 19. CLM

5. ACK 10 ALM 15. BKM 20. KLM

Distribusi sampling proporsinya (X = perokok, n = 3) adalah

Catatan:

- p = perokok dan bp = bukan perokok

- 3(p), 0(bp) = ABC

2(p), 1(bp) = ABK, ABL, ABM, ACK, ACL, ACM, BCK, BCL, BCM

1(p), 2(bp) = AKL, AKM, ALM, BKL, BKM, BLM, CKL, CKM, CLM

0(p), 3(bp) = KLM

Sampel yang Mungkin (𝑿) Proporsi Sampel 𝑿

𝒏𝒇 Prob.

𝑋 = 3 (3(p), 0(bp))

𝑋 = 2 (2(p), 1(bp))

𝑋 = 1 (1(p), 2(bp))

𝑋 = 0 (0(p), 3(bp))

1

0,67

0,33

0

1

9

9

1

0,05

0,45

0,45

0,05

Jumlah 20 1,00

Pada distribusi sampling proporsi, berlaku hal-hal sebagai berikut.

1) Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau jika ukuran populasi besar dibandingkan

dengan ukuran sampel, yaitu𝑛

𝑁≤ 5%, memiliki rata-rata dan simpangan baku:

𝜇𝑝 = 𝑃

𝜎𝑝 =𝑃(1−𝑃)

𝑛=

𝑃𝑄

𝑛

Keterangan:

P = proporsi kejadian sukses

Q = proporsi kejadian gagal (1 – P)

2) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau jika ukuran populasi kecil dibandingkan

dengan ukuran sampel, yaitu𝑛

𝑁> 5%, memiliki rata-rata dan simpangan baku:

𝜇𝑝 = 𝑃


𝑛

𝑁−𝑛

𝑁−1

𝜎𝑝 =𝑃𝑄

𝑛

𝑁−𝑛

𝑁−1

Contoh soal:

Sebuah toko memiliki 6 karyawan, misalkan A, B, C untuk yang senang membaca dan X, Y, Z untuk yangtidak senang membaca, jika dari 6 karyawan tersebut diambil sampel yang beranggotakan 4 karyawan(pengambilan sampel tanpa pengembalian), tentukan:

a. Banyaknya sampel yang mungkin diambil,

b. Distribusi sampling proporsinya,

c. Rata-rata dan simpangan baku sampling proporsinya!

Penyelesaian:

a. Banyaknya sampel yang mungkin adalah:

𝐶46 =

6!

4! 6 − 4 != 15 buah sampel


1) 1 senang membaca dan 3 tidak:

𝐶13 × 𝐶3

3 = 3 × 1 = 3, yaitu AXYZ, BXYZ, CXYZ


𝐶23 × 𝐶2

3 = 3 × 3 = 9, yaitu ABXY, ABXZ, ABYZ, ACXY, ACXZ, ACYZ, BCXY, BCXZ, BCYZ


𝐶33 × 𝐶1

3 = 1 × 3 = 3, yaitu ABCX, ABCY, ABCZ

b. Jika X = senang membaca dan n = jumlah sampel maka distribusi sampling proporsinya adalah

c. Proporsi populasi untuk peristiwa sukses (senang membaca) adalah 𝑃 =1

2= 0,5

Jadi: 𝜇𝑝 = 𝑃

= 0,5


𝑛

𝑁−𝑛

𝑁−1

=0,5 (1−0,5)

4

6−4

6−1= 0,158

Sampel yang

Mungkin

(𝑿)

Proporsi Sampel 𝑿

𝒏

Banyaknya

Sampel

𝒇Prob.

1

2

3

0,25

0,50

0,25

3

9

3

0,2

0,6

0,2

Jumlah 15 1,00

3) Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling proporsi dapat ditentukan sebagai berikut.

a) Jika n besar maka nilai Z adalah

𝑍 =𝑝 − 𝑃

𝜎𝑝

b) Jika n sangat kecil maka nilai Z adalah

𝑍 =𝑝 ±

12𝑛

− 𝑃

𝜎𝑝

Keterangan:1

2𝑛= faktor koreksi kontinuitas

Contoh soal:

Toko mainan anak BONEKA bermaksud mengadakan pertunjukkan sulap secara tetap seminggu sekaliatau sebulan sekali. Pimpinan toko memperkirakan bahwa pengunjung akan mencapai 40% dari seluruhpengunjung toko dalam interval waktu yang sama. Jika dari hasil sampel, diketahui probabilitas proporsiyang mengikuti acara sulap itu hanya 15% atau lebih di bawah rata-rata populasi maka acara itudiadakan sebulan sekali. Untuk itu, setiap pengunjung diberi kuesioner dan dari jawabannya diambil 500sebagai sampel. Hasil sampel menunjukkan 175 pengunjung mengikuti acara tersebut. Menurut pendapatanda, sebaiknya acara sulap itu diadakan seminggu sekali atau sebulan sekali?

Penyelesaian:

P = 40% = 0,4

n = 500

p =175500

= 0,35

karena sampel kecil, maka digunakan faktor koreksi.

𝑍 =0,35 −

11.000

− 0,4

0,4 0,6600

𝑍 = −2,55

Didapatkan: P(-2,55 < Z < 0)

P(-2,55 < Z < 0) = P(0 < Z < 2,55)

= 0,4946

Jadi, probabilitas proporsi sampel yang mengikuti acara tersebut adalah 0,4946 atau 49,46% yang berartilebih dari 15% di bawah rata-rata sampel. Dengan demikian, acara pertunjukkan sulap tersebut diadakansebulan sekali.

3. Distribusi sampling yang lain

a. Distribusi sampling beda dua rata-rata

Distribusi sampling beda dua rata-rata adalah distribusi dari perbedaan dua besaran rata-rata yangmuncul dari sampel-sampel dua populasi.

Misalkan, dua populasi normal 𝑁1 dan 𝑁2 memiliki rata-rata 𝜇1 dan 𝜇2 dan simpangan bakumasing-masing 𝜎1 dan 𝜎2. Dari kedua populasi 𝑁1 dan 𝑁2 tersebut, diambil sampel random, yaitu𝑛1 dan 𝑛2 dengan rata-rata masing-masing 𝑋1 dan 𝑋2, lalu dari kedua rata-rata itu dihitung semuabedanya. Dari semua beda rata-rata yang diperoleh akan membentuk suatu distribusi, yaitu distribusisampling beda rata-rata.

Pada distribusi sampling beda dua rata-rata, untuk 𝑁1 dan 𝑁2 cukup besar berlaku hal-hal sebagaiberikut.

1) Rata-rata:

𝜇 𝑋1− 𝑋2 = 𝜇1 − 𝜇2

2) Simpangan baku:

𝜎 𝑋1− 𝑋2 =𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2

3) Untuk 𝑛1 dan 𝑛2 dengan 𝑛1, 𝑛2 > 30, distribusi sampling beda rata-rata akan mendekatidistribusi normal, dengan variabel random standar yang rumus Z-nya:

𝑍 = 𝑋1 − 𝑋2 − 𝜇1 − 𝜇2

𝜎 𝑋1− 𝑋2

Contoh soal:

Misalkan, rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa per hari, masing-masing adalahRp50.000,00 dengan simpangan baku Rp15.000,00 dan Rp12.000,00 dengan simpangan bakuRp1.000,00. Jika diambil sampel random manajer sebanyak 40 orang dan karyawan biasa sebanyak 150orang, tentukan:

a) Beda rata-rata pendapatan sampel,

b) Simpangan baku rata-rata pendapatan sampel,

c) Probabilitas beda rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa lebih dari Rp35.000,00!

Penyelesaian:

𝜇1 = 50.000 𝜇2 = 12.000

𝜎1 = 15.000 𝜎2 = 1.000

𝑛1 = 40 𝑛2 = 150

a. Rata-rata:

𝜇 𝑋1− 𝑋2 = 𝜇1 − 𝜇2

𝜇 𝑋1− 𝑋2 = 50.000 − 12.000

𝜇 𝑋1− 𝑋2 = 38.000

b. Simpangan baku:

𝜎 𝑋1− 𝑋2 =𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2=

15.0002

40+1.000

2

150

𝜎 𝑋1− 𝑋2 = 2.373,11

c. 𝑍 = 𝑋1− 𝑋2 − 𝜇1−𝜇2

𝜎 𝑋1− 𝑋2

=35.000−38.000

2.373,11= −1,26

𝑃 𝑋1 − 𝑋2 > 35.000 = 𝑃(𝑍 > 1,26)

𝑃 𝑋1 − 𝑋2 > 35.000 = 0,5 + 0,3962

𝑃 𝑋1 − 𝑋2 > 35.000 = 0,8962 atau 89,62%

b. Distribusi sampling beda dua proporsi

Distribusi sampling beda dua proporsi adalah distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi yangmuncul dari sampel-sampel dua populasi.

Misalkan, terdapat dua populasi 𝑁1 dan 𝑁2 (2 populasi binomial), kemudian diambil sampel random,yaitu 𝑛1 dan 𝑛2 dengan 𝑃1 dan 𝑃2 maka beda antara kedua sampel proporsi (𝑝1− 𝑝2) akanmembentuk suatu distribusi, yaitu distribusi sampling beda proporsi.

Pada distribusi sampling beda dua proporsi berlaku hal-hal berikut.

1) Rata-rata:

𝜇𝑝1−𝑝2 = 𝑃1 − 𝑃2

2) Simpangan baku:

𝜎𝑝1−𝑝2 =𝑃1 1 − 𝑃1

𝑛1+𝑃2 1 − 𝑃2

𝑛2

3) Untuk 𝑛1 dan 𝑛2 (𝑛1, 𝑛2 ≥ 30) cukup besar, distribusi sampling beda proporsi akan mendekatidistribusi normal, dengan variabel random standar yang rumus Z-nya:

𝑍 =𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2

𝜎𝑝1−𝑝2

Catatan:

𝑝1 − 𝑝2 =𝑋1𝑛1

−𝑋2𝑛2

Contoh soal:

Sebanyak 35% dari pelamar kerja diterima bekerja di Bank UNGGUL. Mereka tahun sebelumnya pernahmelamar, tetapi tidak diterima. Sebanyak 30% dari pelamar kerja yang belum pernah melamar di tahunsebelumnya, tahun ini diterima di bank tersebut. Apabila diambil sampel random sebanyak 250 pelamar,baik yang belum pernah melamar maupun yang pernah melamar, berapa probabilitas bahwa bedaproporsi yang pernah melamar dan akhirnya diterima tahun ini dengan yang belum pernah melamar yangjuga diterima tahun ini adalah kurang dari 2%?

Penyelesaian:

𝑃1 = 35% = 0,35 𝑃2 = 30% = 0,3

𝑛1 = 250 𝑛2 = 250

𝑝1 − 𝑝2 = 2% = 0,02

𝑍 =𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2

𝜎𝑝1−𝑝2=

0,02−(0,35−0,3)

0,35 0,65250

+0,3 0,7250

= −0,71

𝑃 𝑍 < −0,71 = 𝑃(𝑍 < 0,71)

𝑃 𝑍 < −0,71 = 0,5 − 0,2612

𝑃 𝑍 < −0,71 = 0,2388 atau 23,88%

Education

Distribusi Sampling