Koordinatni sistem

Декартов координанти систем се користи у математици за једнозначно дефинисање положаја тачака у простору. Карактеристика овог система је да су његове координатне осе међусобно нормалне.

Декартов координатни систем је измислио француски математичар и филозоф Рене Декарт, који је, између осталих ствари, покушавао да споји алгебру и Еуклидску геометрију. Овај рад је много утицао на развој аналитичке геометрије, рачуна икартографије.

Идеја о овом систему је развијена 1637. у два Декартова дела. У другом делу свог Метода предавања, Декарт је увео нову идеју одређивања положаја тачке или предмета на површини, користећи две нормалне осе као помагало за мерење. У Геометрији, Декарт је даље објаснио горе споменути концепт.

Brennan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998).Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59787-0.

Smart, James R. (1998). Modern Geometries (5th Ed). Pacific Grove: Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.

Descartes, René (2001). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Trans. by Paul J. Oscamp (Revised ed.). Indianapolis, IN: Hackett Publishing. OCLC 488633510. ISBN 0-87220-567-3.

Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1st ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 55-79. LCCN 59-14456. OCLC 19959906.

Henry Margenau, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. LCCN 55-10911.

Moon P, Spencer DE (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9-11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.

Philip M. Morse, Herman Feshbach (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. LCCN 52-11515. ISBN 0-07-043316-X.

Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. LCCN 67-25285.

Дефиниција[уреди] Три координате (ρ, φ, θ) су дефинисане као: ρ ≥ 0 је раздаљина од нулте тачке до дате тачке P. 0 ≤ φ ≤ 180° угао који заклапа позитивни део z-осе са правом која

пролази кроз нулту тачку и P. 0 ≤ θ ≤ 360° је угао који заклапа позитивни део x-осе са правом

која пролази кроз нулту тачку и тачку P пројектовану на xy-раван. φ се назива зенитом, а θ се назива азимутом. φ и θ нису од значаја када је ρ = 0 а θ није од значаја када је sin(φ)

= 0 (у φ = 0 и φ = 180°). Како би се нацртала тачка ако су познате њене сферне

координате, потребно је прећи ρ јединица од почетка координатног почетка дуж позитивног дела z-осе, заротирати за угао φ око y-осе у правцу позитивне x-осе, и заротирати за угао θ око z-осе у правцу позитивне y-осе.

Правоугли координатни систем[уреди]Главни чланак: 

Правоугли координатни системТри сферне координате се из правоуглих

координата добијају на следећи начин:Обратно, правоугле координате се из

сферних добијају овим једначинама:

Географски координатни систем[уреди]Главни чланак: Географски координатни системГеографски координатни систем је алтернативна

верзија сферног координатног система, која се углавном користи у географији мада има примене и у математици ифизици. У географији, ρ се обично изоставља или се уместо ове вредности користи надморска висина.

Ширина  је комплемент зенита, и може се добити као:, или,мада се ширина обично представља и са φ. Ово

представља угао који почиње од xy-равни, са доменом -90° ≤ φ ≤ 90°. Дужина се мери у степенима источно или западно од 0°, па је њен домен -180° ≤ θ ≤ 180°.

Цилиндрични координатни систем[уреди]Главни чланак: 

Цилиндрични координатни системЦилиндрични координатни систем је

тродимензионо проширење поларног координатног система, h координатом која описује висину изнад или испод xy-равни. Три координате су (r, θ, h).

Сферне координате се могу претворити у цилиндричне координате једначинама:

Цилиндричне координате се могу претворити у сферне следећим једначинама:

Географски координатни систем примењује два угла сферног координатног система како би изразио локације на Земљи, називајући их географском ширином игеографском дужином. Као што је дводимензиони правоугаони координатни систем користан у равни, дводимензиони координатни систем је користан на површини сфере. У оваквом систему, сфера је узета као јединична сфера, па се њен полупречник обично може игнорисати. Ово поједностављење може бити веома корисно када се ради са објектима као што је матрица ротације.

Сферни координатни систем има нарочиту примену у сферној астрономији, где се пројекцијама небеских тела на небеску сферу додељују координате зависно од координатног система који се користи (Хоризонтски координатни систем, Екваторски координатни систем)

Сферне координате су корисне за анализирање система који су симетрични у односу на тачку; сфера која у правоуглом систему има једначниу x2 + y2 + z2 = c2 у сферним координатама има врло једноставну једначину: ρ = c. Пример је решавање тројног интеграла чији домен је сфера.

Сферне координате су природне координате за описивање и анализирање физичких ситуација где постоји сферна симетрија, као што је поље потенцијалне енергије које окружује сферу (или тачку) која има масу или наелектрисање.

Још једна примена је ергономски дизајн, где је  дужина руке мирујуће особе, а углови описују правац у коме су испружене руке.

Концепт сферних координата се може проширити у вишедимензионе просторе, и координате се тада називају хиперсферним координатама.