Analiticka geometrijaˇ - personal.pmf.uns.ac.rs · predstavljanje tacke u polarnim koordinatamaˇ nije jedinstveno pravougli koordinatni sistem !polarni koordinatni sistem x = r

Analiticka geometrija

Predavanje 6

Polarne koordinate

Novi Sad, 2019.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 1 / 11

Polarne koordinate

P 7−→ par polarnih koordinata (r , θ), gde jer = d(O,P) udaljenost tacke P od pola Oθ je ugao od pocetnog kraka dopoluprave p(OP) suprotno od smerakazaljke na satu (pozitivan smer )primetimo, r ≥ 0 i θ ∈ R

Napomena: Ponekad se dozvoljava i da jer < 0; na primer (r , θ) = (−2,

π

3)

Ako nije drugacije naglašeno, mi cemo uvekpretpostavljati da je r ≥ 0


Osobine polarnih koordinataPol O nema dobro definisane polarne koordinate; O(0, θ), θ ∈ RSvaka tacka u ravni P ima beskonacno mnogo prezentacija

P(r , θ) = P(r , θ + 2kπ), k ∈ Zpredstavljanje tacke u polarnim koordinatamanije jedinstveno

pravougli koordinatni sistem←→ polarni koordinatni sistem

x = r cos θy = r sin θ

r =√

x2 + y2

θ = arctgyx

Primer 6.1 Odrediti jednacinu kružnice x2 + (y − 3)2 = 9 u polarnimkoordinatama


Osobine polarnih koordinata

Primer 6.2 Odrediti sledece geometrijske figure i napisati njihove jednacine upravouglim koordinatama

r cos θ = −4, r2 = 4r cos θ, r =4

2 cos θ − sin θ

Primer 6.3 i Napomena: ponekad je jednostavnije koristiti polarne a ponekadpravougle koordinate. Na primer, odrediti:

polarne koordinate pravougle koordinater cos θ = 2 x = 2r = 1− cos θ x4 + y4 + 2x2y2 + 2x3 + 2xy2 − y2 = 0

Primer 6.4 Nacrtati sledece geometrijske objekte:

r = 1; θ = θ0; 1 ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ π/2;

r ∈ [0,2] ∧ θ = π/4; 2π/3 ≤ θ ≤ 5π/6


Osobine polarnih koordinataPolarne i pravougle koordinate i simetrije u ravni

simetrija u odnosu na x−osujednacinu krive moraju zadovoljiti:pravougle koordinate: (x , y) i (x ,−y)polarne koordinate: (r , θ) i (r ,−θ)

simetrija u odnosu na y−osujednacinu krive moraju zadovoljiti:pravougle koordinate: (x , y) i (−x , y)polarne koordinate: (r , θ) i (r , π − θ)

simetrija u odnosu na (0,0)jednacinu krive moraju zadovoljiti:pravougle koordinate: (x , y) i (−x ,−y)polarne koordinate: (r , θ) i (r , π + θ)

Napomena: Postojanje dve simetrije implicira postojanje trece


Osobine polarnih koordinataPrimer 6.5 (Kardioid) Nacrtati krivu r = 1− cos θ, θ ∈ [0,2π)

Primer 6.6 Nacrtati krivu r2 = 4 cos θ, θ ∈ [0,2π), koristiti da je r ∈ R


Osobine polarnih koordinata

Zbog nejedinstvenosti prezentacije u polanim koordinatama, ponekadnije jednostavno odrediti tacke preseka geometrijskih objekata datihjednacinama u polarnim koordinatama

Primer 6.7 Odrediti tacke preseka krivih r = 1− cos θ i r2 = 4 cos θ, gde jeθ ∈ [0,2π), r ∈ R

Iz datog sistema jednacina sledi:

r = 1− r2

4⇔ r2 + 4r − 4 = 0⇔ r = −2± 2

√2

S obzirom na kardioid, za tacku u preseku važir ≥ 0⇒ θ = arccos(3− 2

√2) = ±80◦

Dakle, dobijamo tacke P1,2(−2 + 2√

2,±80◦)

Šta je sa tackama P3 i P4?

U primeru 6.5. P3(0,0), dok u 6.6. P3(0,π

2)!

U primeru 6.5. P4(2, π), dok u 6.6. P4(−2,0)!


Jednacina prave u polarnim koordinatama

r0

r= cos(θ0 − θ)

r cos(θ0 − θ) = r0, θ ∈[θ0 −

π

2, θ0 +

π

2

]

Primer 6.8 Odrediti pravougle koordinate prave r cos(θ − π/3) = 2


Jednacina kružnice u polarnim koordinatama

Posmatramo kružnicu sa centrom u C(r0, θ0) poluprecnika a

Iz Kosinusne teoreme dobijamo

a2 = r20 + r2 − 2r0r cos(θ − θ0)

na kraju, iz jednacine odredujemo opseg(interval) kojem pripada ugao θ

Primer 6.8 Odrediti jednacinu kružnice u polarnim koordinatama sa centrom uC(2, π) poluprecnika a = 2; i nacrtati je


Jednacine konusnih preseka u polarnim koordinatama

Neka je fokus F postavljen u koordinatni pocetak a odgovarajuca direktrisaoblika x = k , k > 0. Tada znamo da za proizvoljnu tacku P sa konusnogpreseka važi d(P,F ) = e · d(P,D), gde je D projekcija tacke P na direktrisu

Dakle, za tacku P(r , θ) važi

d(P,F ) = r id(P,D) = k + d(F ,B) = k − r cos θ,

te je jednacina konusnog preseka

r = e · (k − r cos θ)⇒ r(1 + e cos θ) = ek

r =ek

1 + e cos θ, k > 0

Napomena: Za e ∈ (0,1) dobijamo elipsu, za e = 1 parabolu, a za e > 1hiperbolu


Jednacine konusnih preseka u polarnim koordinatama

Primer 6.9 Odrediti jednacine konusnih preseka kojima je fokus ukoordinatnom pocetku, a direktrisa je oblika x = k , k < 0

r =ek

e cos θ − 1, k < 0

Primer 6.10 Odrediti jednacine konusnih preseka kojima je fokus ukoordinatnom pocetku, a direktrisa je oblika y = k , k > 0

r =ek

1 + e sin θ, k > 0

Primer 6.11 Pokazati da je sa r =a(1− e2)

1 + e cos θdata jednacina elipse sa

fokusom u koordinatnom pocetku i direktrisom oblika x = k , k > 0; zatimprimetiti da kada e→ 0 dobijamo jednacinu kružnice


Documents

Analiticka geometrijaˇ - personal.pmf.uns.ac.rs · predstavljanje tacke u polarnim koordinatamaˇ nije jedinstveno pravougli koordinatni sistem !polarni koordinatni sistem x = r