4

VIŠE

I. KOORDINATNI SUSTAV ................................................................................................................. 6

Koordinatni sustav na pravcu i pravokutni koordinatni sustav u ravnini .................................................6Provjera .............................................................................................................................................................................8

II. PROPORCIONALNOST I OBRNUTA PROPORCIONALNOST ..................................................... 10

Omjer .............................................................................................................................................................................. 10Razmjer ili proporcija ................................................................................................................................................ 12Omjer i razmjer ............................................................................................................................................................ 14Proporcionalne veličine ........................................................................................................................................... 16Obrnuto proporcionalne veličine ......................................................................................................................... 22Postoci. Računanje s postocima ............................................................................................................................ 26Provjera 1 ........................................................................................................................................................................ 30Provjera 2 ....................................................................................................................................................................... 32Provjera 3 ....................................................................................................................................................................... 34

III. SLIČNOST TROKUTA ................................................................................................................. 36

Dijeljenje dužine na jednake dijelove i u zadanom omjeru ........................................................................ 36Sličnost trokut i primjena ........................................................................................................................................ 38Provjera .......................................................................................................................................................................... 40

IV. MNOGOKUTI .............................................................................................................................. 42

Dijagonale mnogokuta ............................................................................................................................................ 42Kutovi mnogokuta ..................................................................................................................................................... 44Opseg i površina mnogokuta ................................................................................................................................ 46Provjera .......................................................................................................................................................................... 48

V. KRUŽNICA I KRUG ...................................................................................................................... 50

Dvije kružnice .............................................................................................................................................................. 50Kružnica i pravac ..........................................................................................................................................................51Središnji kut .................................................................................................................................................................. 53Opseg kruga i kružnog luka .................................................................................................................................... 54Površina kruga i kružnog isječka ........................................................................................................................... 56Opseg i površina pobojanih likova ...................................................................................................................... 58Provjera 1 ........................................................................................................................................................................ 60Provjera 2 ....................................................................................................................................................................... 62

VI. LINEARNA FUNKCIJA ................................................................................................................ 64

Linearna funkcija ........................................................................................................................................................ 64Graf linearne funkcije ................................................................................................................................................ 66Jednadžba pravca ....................................................................................................................................................... 68

KAZALO

5

VIŠE

Sjecište pravca s koordinatnim osima i sjecište dvaju pravaca .................................................................. 70Provjera .......................................................................................................................................................................... 72

RJEŠENJA ........................................................................................................................................ 74

6

VIŠE

I. KOORDINATNI SUSTAV

Koordinatni sustav na pravcu i pravokutni koordinatni sustav u ravnini

PRIMJER 1: Kako na brojevnom pravcu prikazati skup točaka koji odgovara uvjetu x > 0 i x ≤ –2? a) Skup točaka na brojevnom pravcu, čija je koordinata x veća od 0 prikazuje se polupravcem.

Na tom polupravcu leže sve točke koje su desno od slike broja 0.

10

b) Skup točaka na brojevnom pravcu, čija je koordinata x manja ili jednaka –2 prikazuje se polupravcem. Na tom polupravcu leži točka –2 i sve točke koje su lijevo od slike broja –2.

−1−2 0 1

PRIMJER 2: Prikaži u koordinatnoj ravnini točke A(2, 3) i B(–4, –1).

Točka A(2, 3) ucrta se tako da se na apscisnoj osi potraži točka koja leži dvije jedinične dužine desno od ishodišta i kroz nju se povuče paralela s ordinatnom osi. Zatim se na ordinatnoj osi potraži točka koja leži tri jedinične dužine iznad ishodišta i kroz nju se povuče paralela s apscisnom osi. Sjecište nastalih pravaca je uređeni par, koji ima x = 2 i y = 3, što se piše A(2, 3).

0 1

x

y

1

A

B

Jednako se određuje točka B(–4, –1). Obje su koordinate točke A pozitivne, zato ona leži u prvom kvadrantu. Koordinate točke B su negativne, zato ona leži u trećem kvadrantu.

VJEŽBA 1: Prikaži na brojevnom pravcu točke T1(2), T2(3), T3(–1), T4(–2.5), T5(–4).

10

VJEŽBA 2: Odredi koordinatu točaka T1 i T2 koje su na brojevnom pravcu: a) od točke M(12) udaljene devet jediničnih dužina T1( ) i T2( )

b) od točke N(3) udaljene tri jedinične dužine T1( ) i T2( )

c) od točke P(–1) udaljene šest jediničnih dužina T1( ) i T2( )

d) od točke R(–20) udaljene 13 jediničnih dužina T1( ) i T2( )

e) od ishodišta 0 udaljene četiri jedinične dužine T1( ) i T2( )

apscisa

A(2, 3)koordinate točke A

ordinata

0 1

x

y

1

2. kvadrant 1. kvadrant

3. kvadrant 4. kvadrant

7

VIŠE

VJEŽBA 3: Zadane su točke na brojevnom pravcu.

10

C DBA

a) Odredi koordinate točaka A, B, C i D.b) Odredi duljine svih mogućih dužina koje određuju točke A, B, C i D.c) Odredi koordinatu točke S1 koja je polovište dužine AC i koordinatu točke S2 koja je polovište dužine BD.

VJEŽBA 4: Naznači na brojevnom pravcu točke:

a) A(− 12), B( 14 ), C(−23

4), D(112

).

b) A(16), B(− 23), C(− 76), D(5

3)

c) A(−0.25), B(1.5), C(−1 34), D(2 14 )

VJEŽBA 5: Odredi duljinu dužina sa zadanim krajnjim točkama.

A(0), B(6) A(–9), B(–20) A(–4), B(3) A(–8), B(0)

7 jediničnih dužina

11 jediničnih dužina

8 jediničnih dužina

1 jedinična dužina

6 jediničnih dužina

VJEŽBA 6: Zadane su točke E, F, G i H. U kojem kvadrantu leže zadane točke?E(–5, –6) F(5, –6)

G(5, 6) H(–5, 6)

VJEŽBA 7: Ucrtaj u koordinatni sustav sve točke za koje vrijedi da su koordinate točke cijeli brojevi, a umnožak im je –4.

0 1

x

y

1

VJEŽBA 8: Odredi vrijednost nepoznanica a i b tako da točka:a) T(4a – 3, –a + 2) leži na osi apscisa b) T(2b + 3, b – 0.5) leži na osi ordinata

8

VIŠE

Provjera

I. KOORDINATNI SUSTAV

1. Naznači na brojevnom pravcu točke s koordinatama:

a)A( 13

), B(− 34

), C(56), D(− 1

2)

0 1

b)A(0.8), B(−1.7), C(2.3), D(−0.4)

0 1

c)A(−134

), B(2.5), C(−0.5), D(12

)

0 1

d)A(0.25), B(− 34

), C(1.5), D(−1.25)

0 1

2. Očitaj koordinate točaka naznačenih na brojevnom pravcu.

a)

0 1

B A D C

b)

0 1

D B A C

3. Na brojevnom pravcu naznači točku kojoj je koordinata rješenje jednadžbe:

a) 8 - 5x = −2x + 14 b) 6x + 14

6x + 66

2x − 32

− =

0 1 0 1

4. U pravokutnom koordinatnom sustavu naznači točke: A(−2,3), B(0,−2), C(−3,−4), D(4,0), F(1,2)

0 1

1

x

y

8bodova

8bodova

9bodova

5bodova

9

VIŠE

Provjera

5. Očitaj koordinate točaka naznačenih u pravokutnom koordinatnom sustavu:

0 1

1

R

S

L

M

x

K N

T

y

6. U pravokutnom koordinatnom sustavu nacrtaj točku M(−2,3). Odredi koordinate točke:

a) koja je osno simetrična zadanoj točki s obzirom na apscisu

b) koja je osno simetrična zadanoj točki s obzirom na ordinatu

0 1

1

x

y

7. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut ∆OPR ako je:O(−2,3), P(0,−4), R(3,1)

0 1

1

x

y

7bodova

4boda

4boda

a) ______

b) ______

L ______ K ______

R ______ T ______

S ______ M ______

N ______