Embed Size (px)
Citation preview
• L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS
• ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ
A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES
DE LES FUNCIONS.
• ESTUDI EXHAUSTIU DE LES
FUNCIONS POLINÒMIQUESAutora: Mònica Orpí i Mañé
MATEMÀTIQUES
https://twitter.com/PorquesNatura/status/821065866146185216?s=03
Què entem per funció ? Definició : Definim funció o aplicació qualsevol terna (A,B, f ) formada per dos conjunts no buits A i B i una correspondència f entre ells que assigna a cada element x ∈ A un únic element y = f (x) ∈ B.
A f B
El conjunt A s’anomena domini de la funció i s’escriu A=Domf . B és el conjunt d’arribada de la funció i s’anomena Recorregut de f o Rang de f
Si (A,B, f ) és una funció, direm que f és una funció de A en B i s’escriu
f
f : A →B o bé A → B.
a
b
c
c
d g
e f
Una aplicació curiosa de les funcions
Civilització India: (300 a.C)Apareix ja un ús que encara és molt actual de les funcions :
L’Encriptació de codis o del llenguatge
Apareix en el llibre del Kama Sutra. En aquest llibre es recomana a les dones que han d'aprendre 64 arts com el de cuinar, saber vestir-se, etc.
"mlecchitavikalpa“ o l'art de l'escriptura secreta, era en definitiva una funció.
Aquesta funció ajudava a les dones a ocultar els detalls de les seves relacions amoroses. Tot i que era una senzilla substitució, que consistia en intercanviar l'abecedari, va ser la base per a consolidar altres
mètodes posteriors d’encriptacions més sofisticats, que van ser molt útils posteriorment per a la correspondència en temps de guerres,
amb l’objectiu de despistar l’enemic
Una manera d’encriptar que practicarem
després …
Màquinaenigma
Per tant....
Per això i per milions de raons més..
És terriblement útil “MATEMATITZAR” el
llenguatge de les funcions
Domini i recorregut d’una funció
El conjunt dels valors reals de la variable independent que tenen per imatge un
nombre real constitueixen el domini de la funció (Df ).
El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la
funció.
Exemples:
o
Exemple pràctic de funcions
29'46'19 th
29'46'19)( ttf
09'46'19 2 t
Gràfica de h(t) :
2,020 tRtD f
6'19,0)( ff DtRtfR
Repàs de les sessions anteriors
Tipus de funcions i les seves corresponents gràfiques :
1. Les funcions polinòmiques
- La funció constant f(x)=k ( Gràfica b)
- La funció lineal f(x)=ax
- La funció afí f(x)=ax+b (Gràfica a)
- La funció quadràtica f(x)=a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Gràfica c)
- Les funcions polinòmiques en general (Gràfica d)
- d)
Tipus de funcions :
Funcions polinòmiques
Les funcions polinòmiques són del tipus f(x) = P(x), on P(x) és un polinomi.
En són exemples la funció lineal, la funció afí i la funció quadràtica.
cbxaxxf 2)(
),( RD f
Gràfica general d’una funció polinòmica
𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥g 𝑥 = −(𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥)
Val la pena observar la relació entre la factorització del polinomi i la
gràfica
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 2(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html
Exemple 9 (signe positiu) Exemple 10 (signe positiu)
Com talla l’eix d’abscisses en funció de la multiplicitat ?
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/PoliFacto/PoliFacto42pag.html
Què passa si tant sols canviem el
signe del polinomi ?
Exemple 9 (signe positiu)
Exemple 9 (signe negatiu)
Exemple 10 (signe positiu)
Exemple 10 (signe negatiu)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/Multiplicitat/Multiplicitatpag.html
Sabries fer-ne la gràfica, tant sols amb la
seva expressió algèbrica ?
Exemple 12Exemple 11
Exemple 11
Exemple 12
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/PoliGenral/PoliGeneralpag.html
Exemple 13
Sabries ara deduir l’expressió de la funciópolinòmica ???
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/Graform/GraForm40pag.html
Exemple 14
Solució Exemple 13
Solució Exemple 14
Exemple 15
Solució ?????
Solució Exemple 15
Exemple 16
…
Si 𝑥1 i 𝑥2 són les solucions d’una equació de 2n grau 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 aleshores es compleix
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐= -b/a𝒙𝟏 · 𝒙𝟐= c/a
Pot servir per comprovar les solucions (arrels) però també per trobar-les, si ho plantegem som un sistema d’incògnites 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
Això també passa per polinomis de qualsevol grau:
= −𝟏 𝒏𝑳
𝑨
N=3 A=-1 B=-2 C=1 D=L=2
Si sumo totes les arrels m’ha de donar –B/A= –(-2)/-1=-2 1+(-1)+(-2)=-2
Si multiplico les arrels de dos en 2 m’ha de donar C/A : 1(-1)+1(-2)+ (-1)(-2)=1/(-1)=-1
Si multiplico les arrels de 3 en 3, i en aquest cas acabo perquè n=3 m’ha de donar (-1)^3L/A
1(-1)(-2)=(-1)2/(-1)=2
= −𝟏 𝒏𝑳
𝑨= −𝟏 𝒏𝑳
𝑨
Pensa que aquest mètode també pot ser
útil per trobar les arrels quan Ruffini no
funciona, plantejant un sistema de 3
equacions i 3 incògnites. Quin sistema
plantejaries ??
N=3 A=-1 B=-2 C=1 D=L=2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2
𝑥1 · 𝑥2 + 𝑥1 · 𝑥3 + 𝑥2 · 𝑥3 = −1𝑥1 · 𝑥2 · 𝑥3 = 2
En aquesta sessió i la següent, aprofundirem
de les funcions utilitzant el concepte del límit,
però abans, parlarem de l’infinit :
https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn
• És un concepte,
• Una cosa que no acaba
• Signe que indica que no hi ha fi
• Quelcom que no es pot assolir / Quelcom incalculable ?
• Pot haver infinits més grans que altres ? 0,1 0,2 𝑠ó𝑛 ∞ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑠 ?
• Que no té principi ni fi / Sempre té el mateix valor ??
• …
CONCLUSIÓ : Quelcom que s’escapa de la imaginació, motius
pel qual és el protagonista de famoses paradoxes
L’HOTEL DE HILBERT
L’Hotel de Hilbert és un hotel especial, amb el sentit que té infinites
habitacions. A més, té un cartell eslògan que hi posa “ Sempre tenim
habitació per tothom”. Cadascuna de les habitacions estan numerades
amb els nombres naturals : 1, 2, 3,4 …
Imaginat per un moment que està tot ple i que en cadascuna de les
habitacions numerades hi ha una persona i que aquesta té la clau amb el
número de l’habitació que està ocupant.
Situació 1 : Imaginat que ve una persona, com ho fa el per tal d’encabir-la ??
Condicions :
1. No podem fer fora a ningú
2. Tots els hostes han de tenir clar quin serà el número d’habitació que li
correspon
3. No poden compartir habitació
Solució Situació 1 :
Habitació n va a l’habitació n+1
Mentre es pugui fer una bijecció 1 a 1 són
del mateix tamany0,1
0, 2
Situació 2 : Imaginat que ve un
grup de k persones, com ho farà el
recepcionista per tal d’encabir-les?Condicions :
1. No podem fer fora a ningú
2. Tots els hostes han de tenir clar quin
serà el número d’habitació que li
correspon
3. No poden compartir habitació
Situació 3 : Imaginat que ve un grup d’infinites persones
numerades, com ho farà ara el recepcionista per tal
d’encabir-les?
Solució Situació 2:
Habitació n va a l’habitació n+k
Li diem als antics hostes que vagin al número d’habitació que resulti de
multiplicar per 2 l’habitació que ocupaven:
Així :
* L’hoste que ocupava l’habitació 0 es queda al mateix lloc
* L’hoste que ocupava l’habitació 1 se’n va a la 2
* L’hoste que ocupava l’habitació 2 se’n va a la 4
….
D’aquesta manera queden buides totes les senars que n’hi ha infinites i els
podem posar a tots !!!
Solució Situació 3:
L’hoste antic de l’habitació n va a l’habitació 2n
L’hoste nou numerat amb k va a la 2k+1
En la situació 3 hem pogut allotjar una
còpia dels nombres naturals
Però, podríem allotjar infinites
còpies dels nombres naturals ???
NATURAL NUMBERS
Situació 4 : Imaginat que ve un nombre infinit d’autobusos amb infinites
persones cada autobús, com ho farà ara el recepcionista per tal d’encabir-les?
Nota : Cada autobús està numerat i cada persona dins l’autobús també
Condició : Cada persona de cada bus sap en quin número de bus viatja i
aquest li ha de quedar molt clar el número d’habitació que li pertanyerà
D’aquesta manera aconseguiríem numerar amb nombresnaturals tots els nous hostes.
Un cop numerats, el que té el nombre k el posaríem en l’habitació que correspon al 2k+1 ja que hauríem buidat les senars, perquè els hostes antics haurien anat a les habitacions parells.
A cada bus li associem un número primer, excepte el 2
Bus 3 i numerem les persones en potències de 3 : 31, 32, 33…
Bus 5 i numerem les persones51, 52, 53…
Bus 7 i numerem les persones71, 72, 73…
Els hostes antics els direm que vagin a les habitacions parells, és a dir, el de
l’habitació n que vagi a la 2n, deixant així lliures les senars, que seran
ocupades pels nous.
Als nous els direm que ocupin l’habitació 𝑝𝑘
Observacions :
𝑝𝑘 mai serà parell
D’aquesta manera mai coincidiran en habitacions iguals 𝑝𝑘 ≠ 𝑝´𝑘´(35 ≠ 36 i
35 ≠ 75...
http://www.wi-phi.com/video/sizes-
infinity-part-1-hilberts-hotel
Segons la llegenda, Aquil·les, heroi de la Guerra de Troia, era invencible, degut a que la seva mare, per fer-lo així, el va portar a la llacuna Estigia, morada de Medusa, i el va submergir en les seves
aigües subjectat pel taló. Com que aquest va ser l’únic que no es va mullar, aquest era el seu únic punt dèbil, el Taló de Aquil·les.
Famós per les seves grans qualitats físiques, Aquil·les fou escollit per Zenó de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) com a protagonista de la famosa Paradoxa :
Brat Pitt va ser Aquil·les en la pel·lícula Troia
Aquil·les, l’atleta més ràpid, capaç de córrer els 100 metres en 10 segons, no podrà agafar a una lenta tortuga, deu cops menys ràpida que ell. Ambdós disputen una
carrera, concedint Aquil·les una avantatge de 100 metres a la tortuga.
Quan Aquil·les ha cobert aquests 100 metres, la tortuga s’ha desplaçat 10 metres. Al cobrir Aquil·les aquests 10 m., la tortuga s’ha desplaçat 1 m. Mentre cobreix
aquest metre que el separa de la tortuga, aquesta ha recorregut 0'1 m. I així indefinidament.
D’aquesta manera, Aquil·les ha de recórrer infinits trajectes per aconseguir atrapar a la tortuga. Per tant, haurà de recórrer una distància infinita, i per tant, necessitarà un temps infinit. De tal manera que el “desgraciat”
d’ Aquil·les mai podrà atrapar a la tortuga !!!
Una altra suma infinita :
S= 1+2+3+4+5+….= 𝑖=1∞ 𝑖 ?
La paradoxa d’Aquil·les i la tortuga : Solució
Posició d’Aquil·les (m)
Posició de la tortuga(metres)
Avantatgede la
tortuga
Temps fet servir
Sortida
1ª. Etapa
2ª. Etapa
3ª. Etapa
4ª Etapa
Límits
Solució a la 1ª suma infinita :
Solució a la 1a suma infinita :
Si encara us costa admetre que la suma d’infinits números pot ser un número finit, pensa en una fulla depaper (1). Li prenem la meitat (1/2). A la vegada, a la meitat restant li prenem la seva meitat (1/4). Altros que queda (1/4), també li prenem la seva meitat (1/8). I així successivament, de forma indefinida.Com sempre queda una mica de paper, sempre es pot continuar tallant.Pensa ara en la suma dels infinits trossos de paper que anem traient:
1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...
Quina és la seva suma? Evidentment tota la fulla, és a dir 1!
1+ 1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1+1=2També ens ho podem mirar amb expressions decimals :
1+0’5+0’25+0’125+….=1’9999….=2 1+
Per trobar el valor de l’altra suma infinita : S= 1+2+3+4+5+….= 𝑖=1
∞ 𝑖 ho farem en 3 parts
S1 sembla que pugui pendre dos valors : 0 o 1, però si sumem S1 amb S1 desplaçantun dels termes
S1= 1 - 1 + 1 – 1 + 1 – 1S1= 1 – 1 + 1 - 1 per tant ….
S2 sembla que sigui -1 un nombre infinit de vegades i que per tant valgui –infnit, però, però si sumem S2 amb S2 i desplacem un dels termes
S2= 1 - 2 + 3 – 4 + 5 – 6…..S2= 1 – 2 + 3 - 4 -5 ….S1= 1 - 1 + 1 - 1 …. per tant …. 2S2=S1 així S2=1/4
S= 1+2+3+4+5+….=
S2=1-2+3-4+5…..=1/4
=1+2+3+4+….-(1-2+3-4+5…)= 4+8+12+16… Només sobreviuen els parells, però…
4S = 4(1+2+3+4+…)=4+8+12+16… per tant S- S2=4S = S-1/4 3S= -1/4
Ambdós casos són exemples concrets de la Suma de tots els termes d’ una progressió geomètrica de raó r ( | r | < 1).
Donada una progressió geomètrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn-1
La suma dels n primers termes :
𝑆𝑛+1 = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn-1
S’expressa mitjançant la fórmula: 𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛
1−𝑟
Quan | r | < 1 , la potència rn resulta ser un infinitèsim; és dir, molt molt petit, tant que el seu límit val 0 quan n és molt gran .
lim rn=0 quan n va cap a ∞
En conseqüència, es pot calcular la suma infinita
Conclusió :
• En la paradoxa de Zenó a = 100 , r = 1/10
Si comptabilitzem l’avantatge de la tortuga en l temps, obtenim una progressió geomètrica següent :
𝒂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 , 𝒂𝟐 = 𝟏𝟎 , 𝒂𝟑 = 𝟏 , 𝒂𝟒 = 𝟎′𝟏,… ,
El que ha fer Aquil.les per tal d’atrapar la tortuga és recórrer totes d’aquestes distàncies, és a dir, ha de recórrer: 𝑆∞ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m
• En la fulla de paper: a = ½ , r = ½,
𝒂𝟏 = 𝟏 𝟐, 𝒂𝟐 = 1 4 , 𝒂𝟑 = 𝟏 𝟖 , 𝒂𝟒 = 1 16… ,
Tots els trossos sumen: 𝑺∞ = ½ / (1 – ½ ) = 1
𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛
1−𝑟si 𝑟 < 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑛 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞
𝑆∞ =𝑎
1−𝑟𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞:
https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn
El lloc geomètric és el conjunt de punts que comparteixen una propietat comuna. El lloc
geomètric acostuma a formar una figura o figures contínues: per exemple, una recta és el
lloc geomètric dels punts del pla tals que equidisten de dos punts fixos.
Les corbes còniques poden ser descrites mitjançant els seus llocs geomètrics:
•Una circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al centre és
un valor fixat, que s’anomena radi
•Una el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de les distàncies dels
punts fins als focus és un valor fix.
•La paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla tals que les distàncies dels punts al focus
i a la directriu són iguals.
•La hipèrbola és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la diferència de les distàncies
entre els focus és un valor constant.
• La lemniscata de Bernouilli, que és el nom de la corba que dóna lloc a l’infinit és el lloc
geomètric dels punts P tal que el producte de les distàncies a dos focus, que distin k, sigui
(k/2)².
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/eurBtNzA
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/XCTChHhu
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/EVn3y7as
a
https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/k88HSxS8
Per exemple, si col·loquem els dos focus a 24 cm de
distància, els punts P que pertanyen a la lemniscata són
aquells tals que d(P,F1)·d(P,F2)=144=(24/2)^2
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1aWQDlJDRNsf-OgCCD9Pf63UL6yN96McmLJXIXOnC9co/edit#gid=0
https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn
El full excel conté parelles de nombres que multiplicats
donen 144. D’aquesta manera podem aproximar el
problema de dibuixar els punts des d'un enfoc aritmètic.
d(C,A)·d(C,B)=2·2=4=(d(A,B)/2)^2
Intersectant les circumferències amb centre en un dels focus i radi un dels dos nombres de l'excel,
es van trobant punts. No cal ni que facin circumferències, i amb dues regles, van trobant els punts.
D(C,A)·d(C,B)=5’41·0’74=4=(d(A,B)/2)^2
Intersectant les circumferències amb centre en un dels focus i radi un dels dos nombres de l'excel,
es van trobant punts. No cal ni que facin circumferències, i amb dues regles, van trobant els punts.
Un altre exemple de límits
I ara…una successió màgica …!!!
La successió de les àrees dels polígons regulars inscrits en una circumferència de radi 1 unitat, on an és l’àrea del polígon de n costats, en el límit tendeix a l’àrea de la circumferència de radi
1, i per tant, tendeix al nombre 𝜋
https://www.geogebra.org/m/uhzvBGBJ
= 1+ 5
2= 1’618...
El número més bell,
el nombre d’or
SUCCESSIÓ
1123581321345589144233377610987
PROPORCIONS ENTRENOMBRES CONSECUTIUS
121’5
1’66...1’6
1’6251’615384...1’619047...1’617647...1’6188...
1’617977...1’618055...1’618025...1’618037...1’618032...
n
n
f
flím 1
RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT
En aquesta sessió i la següent,
aprofundirem en l’estudi d’aquestes
funcions :
- Les funcions racionals
- Les funcions irracionals
- Les funcions exponencials
- Les funcions logarítmiques
- Les funcions trigonomètriques
- Les funcions definides a trossos
𝑓 𝑥 =1
𝑥2−1
𝐷𝑓 = −∞,−1 ∪ −1,1 ∪ 1,+∞ =ℝ- −1,1
Funcions irracionals
Exemples:
Nota : Fixa’t que quan x es fa gran, la funció creix, però ho
fa més lentament 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒙 − 𝟏 = +∞
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
La funció exponencial f(x)=𝑎𝑥 a>0
x molt gran +∞ 𝟐+∞ = +∞ 𝟏
𝟐
+∞
=𝟏
+∞= 𝟎+
x molt petita -∞2−∞ =
1
2
+∞
=1
+∞= 0+
𝟏
𝟐
−∞
= 𝟐+∞ = +∞
Les dues gràfiques de l’exponencial i els seus límits
lim𝑥→−∞
𝑎𝑥 =0+ lim𝑥→+∞
𝑎𝑥 = +∞
lim𝑥→−∞
𝑎𝑥 = +∞
lim𝑥→+∞
𝑎𝑥 = 0+
La típica exponencial, la que té per base el nombre e
e≈ 2’71828… 𝑒−1 =1
𝑒≈ 0′3678…
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 =1
𝑒𝑥=
1
𝑒
𝑥
El nombre e anomenat de vegades constant d'Euler, en
honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de
Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que
va introduir els logaritmes
Aplicacions pràctiques de l’exponencial
La funció exponencial apareix en aquells fenòmens en les que hi ha
una tassa de creixement o de decreixement constant, com ara :
- La desintegració radioactiva : N(t)=𝑁0 · 𝑒−λ𝑡
Essent N0 la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instant
inicial, N(t) és la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instantt, λ és la constant de desintegració (és sempre positiu i depènde cada element radioactiu ) i t és el temps transcorregut
- Evolució d’una població : P(t)=P0 · (1 ± c)t
Essent P0 és la població inicial la població en un instant determinat
i c és la tassa de creixement en tant
per 1 i i t el temps, normalment en anys
El cas de la funció f(x)=log𝑎 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑎 > 1
Si la base és e, log𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥, es llegeix logaritme neperià en honor al matemàtic escocès
John Napier
John Napier (1550 - 1617) L’Escocès Napier es va dedicar a les matemàtiques per afecció, de fet, era teòleg.
L’obra de la que estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: "Un descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan. Aquest llibre contenia un
important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700.
Les taules logarítmiques, van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els astrònoms del seu temps.
Té en el seu honor, a banda del nom dels logaritmes, un cràter a la Lluna que porta el seu nom, de més de 140km d’amplada !!
Les dues gràfiques de la logarítmica
lim𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = +∞
lim𝑥→+∞
log𝑎 𝑥 = −∞
lim𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = −∞
lim𝑥→+∞
log𝑎 𝑥 = +∞
Les funcions trigonomètriques :Són les funcions obtingudes a partir de les raons trigonomètriques d’un angle. En
general, l’angle s’expressa en radians
Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al
radi de la circumferència, així 180º = π radiants i 1 rad= 57’295..º
Les tres funcions trigonomètriques més importants són f(x)= sin(x), f(x)=cos(x) i f(x)=tg(x)
La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu sinus és la funció sinus: f(x) = sin x.
La funció sinus
∄ lim𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu cosinus és la funció cosinus: f(x) = cos x.
La funció cosinus
∄ lim𝑥→+∞
𝑐𝑜𝑠 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
La funció de variable real que a cada angle, expressat en radiants, li fa correspondre el
valor de la seva tangent és la funció tangent: f(x) = tg x.
La funció tangent
∄ lim𝑥→+∞
𝑡𝑔 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
Funcions definides a trossos
Quan una funció es defineix utilitzant més d’una expressió algèbrica, es diu
que és una funció definida a trossos.
Aquest tipus de funció, per poder-les dibuixar, hem de tenir molt clar quin és el domini de
definició de cadascuna de les funcions que la componen.
Dibuixem per separat cada funció i després esborrem la part que no ens interesa
𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = −𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = 𝟏
Els límits són especialment pràctics per les funcions definides a trossos per saber com es comporta la funció en cadascun dels extrems de trencament
+-
S’enganxaran en x=1??
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥)= −12 + 4 = 3
lim𝑥→1+
𝑓(𝑥)= 12 + 2 = 3
Gràfic INCORRECTE !!!
La Funció serà contínua !!!
Un exemple clàssic de funció a
trossos: La funció valor absolut
La funció valor absolut es defineix com la funció :
Operacions amb funcions
Funció suma
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Funció producte
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
Funció quocient
f
g
æ
èç
ö
ø÷(x) =
f (x)
g(x)
Propietats de la suma de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Propietats del producte de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Distributiva de la multiplicació respecte de
la suma:
Funció composta
Donades les funcions f i g, es defineix la funció composta:
g f (f composta amb g) com (g f) (x) = g [f(x)].
f g (g composta amb f) com (f g) (x) = f [g(x)].
Propietats
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
No compleix la commutativa !!!!
(f º g)(x) no és el mateix que (g º f )(x)
Alguns exemples de composició de
funcions
f º g (x) g º f (x)
La composició de funcions
Podem imaginar-nos la composició de dues funcions com una cadena
de dues maquines diferents, on introduïm el mateix objecte i el resultat
final no és el mateix si modifiquem l’ordre de les funcions (màquines)
x
f(x)g(x)
g ° 𝑓 (𝑥)
𝑓°𝑔(x)
Funció inversa
En la funció inversa la variable independent de f passa a ser la
variable dependent de f -1, i viceversa.
Càlcul de la funció inversa
① Expressar la variable y = f(x) en funció de la
variable x.
② Aïllar la variable x de la igualtat anterior per tal
de trobar l’expressió de x en funció de y.
③ Intercanviar les dues variables.
④ Fer-ne la comprovació.
Característica essencial de les funcions inverses : Són
simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant ( la
recta y=x és un mirall)
Més exemples de funcions inverses
http://www.geogebratube.org/student/m6525
I per desencriptar missatges
secrets….Si sabem la clau, és a dir, la funció que encripta el
missatge, calculant la seva inversa, …
I ….Desvetllarem el secret !!!!
Ho podem posar en pràctica !!
Els límits com una eina per a fer un esboç de la gràfica d’una
funció
Eminent matemàtic francés (1789-
1857) que va escriure més de 700
artícles. Va ser escriptot, pintor i
escalador.
El concepte de límit és el fonament del càlcul. En el segle XIX, eminents matemàtics, Augustin-Louis Cauchy i Karl Weiertrass, entre d’altres, van tractar en precisió el concepte
de límit. Ells van fer la definició rigorosa de límit, la definició 𝛆 - 𝛅, que no la inclourem aqu ja que no és fonamental per un primer apropament intuïtiu d’aquest concepte
Karl Weiertrass, matemàtic alemany (1815-1897) que va precisar la definició de
continuïtat
La Lemniscata de Bernoulli- Símbol de l’Infinit
http://desafios-matematicos.blogspot.pt/2013/1
0/lemniscata-de-bernoulli.html?m=1
Límit d’una funció en un punt
Exemple: f(x)= 4
𝑥𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠′𝑎𝑛𝑢𝑙. 𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
Mirem que passa en punts a prop de x=0. Ens podem apropar per la dreta de 0
X 0’1 0’01 0’001 0’0001 0’00001
f(x) 4/0’1=40 4/0’01=400 4/0’001=4000 4/0’0001=40000 4/0’00001=400000
x -0’1 -0’001 -0’0001 -0’00001
f(x) 4/(-’01)=-40 4/(-0’001)=-4000 4/(-0’0001)=-40000 4/(-0’00001)=-400000
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙= −∞
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙= +∞
Interpretació gràfica de límits amb la funció de proporcionalitat inversa
La Hipèrbola equilàtera
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙= −∞ 𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙= +∞ ⇒ lim
𝑥→0
4
𝑥= ∞
Els valors que anul.len el denominador apareixen en la gràfica com
assímptotes verticals ( la funciós’apropa molt a l’assímptota però no
l’arriba a toca mai )
x=0 és una AV (Assímptota vertical)
Els límits són una eina molt útil per fer gràfiques de funcions
racionals :
Veiem un altre exemple :
La funció s’anul.la en x=2 i en x=-2, per tant,
Apareixeran dues AV en x=2 i en x=-2 i per veure com s’apropa la funció,
calcularem els límits al voltant de x=2 i al voltant de x=-2
𝑓 𝑥 =3
𝑥2 − 4
2,2 RD f
Calculem els límits de 𝑓 𝑥 =3
𝑥2−4
𝐴𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎t − 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎
Que matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = −∞
Al voltant de x=2 aproximant-nos per la dreta
x 1’9 1’99 1’999 1’9999
f(x) -7’69 -75’19 -750’19 -7500’19
x 2’1 2’01 2’001 2’0001
f(x) 7’32 74’81 749’81 7499’81
Matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞
Definició :Si lim
𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = ±∞, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴símptota vertical 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
O també ∶lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − a = 0 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴𝑉 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
Observeu al voltant del 2 com actua la funció :𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−
𝒇 (𝒙) = −∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞⇒ AV en x=2
Si haguéssim fet les aproximacions en x=-2 obtindríem 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = +∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −∞⇒ AV en x=-2
I si haguéssim fet el mateix per a x molt molt grans, que hauríem obtingut ??
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
Mirem que passa per valors molt petits de x
X 10 100 1000 10000
f(x)=3
𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003
X -10 -100 -1000 -10000
f(x)=3
𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003
Definició :
Si lim𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑘 é𝑠 𝑢𝑛𝑎 A𝑠í𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
O el que és el mateix lim𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 𝑘 = 0
En el nostre cas, y=0 és una AH
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
Fixeu-vos com és la gràfica :
Té dues AV en x=2 i en x=-2 ja que la funció tendeix a infinit quant s’apropa a
aquests valors
Té una AH en y=0 ja que quan x és molt gran i molt petita s’apropa molt a
aquest valor 0
Donada la funció f(x)=−𝟑
𝒙+𝟒-Quin és el domini ?- Què val el límit quan x s’apropa a 4 per l’esquerra ? I per la dreta ? -Té AV ? Quina és ?- Què val el límit quan x és molt gran ? I quan és molt petita ? - Té AH ? Quina és ?
Fent tant sols els límits a l’±∞ i al voltant
dels punts que no són del domini, podem
fer la gràfica
Recordem que passava amb les branques de les funcions
polinòmiques: Calculant els límits en el infinit:
Si considerem la funció f(x)= 𝒙𝟑−𝟑𝒙 + 𝟏,
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥 é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛 +∞ 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑎 −∞
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥3
lim𝑥→+∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1= lim𝑥→+∞
𝑥3 = +∞
Branca dreta amunt
lim𝑥→−∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1 = lim𝑥→−∞
𝑥3 = −∞
Branca esquerra avall
Si considerem la funció
f(x)= −𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥
lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = lim𝑥→+∞
−𝑥4= −∞
Branca dreta avall
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim −𝑥→−∞
𝑥4 = −∞
Branca esquerra avall
Límit duna funció a l’infinit
Exemples:
Càlcul del límit d’una funció en un punt
El límit d’una funció en un punt es calcula substituint en l’expressió algèbrica de la funció la
variable x pel valor al qual tendeix.
Si el resultat d’aquesta substitució és una indeterminació, cal aplicar altres estratègies i arribar
al valor del límit.
Exemples:
Indeterminacions :
∞−∞ ;∞
∞;
0
0; 1∞; ∞0; 0 · ∞ ; 00
Amb les regles que hem après, se’ns presenten situacions
més complicades, en les que no podem donar una solució,
sense fer un estudi detallat de la funció. Com per exemple :
Les tècniques per resoldre
indeterminacions són
Exemple :
Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:
Observa que tots tenen la indeterminació
Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:
Observa que tots tenen la indeterminació
Exemple :
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑢𝑠∞
∞
Indeterminacions del tipus
• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x
Indeterminacions del tipus
• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x
La técnica de multiplicar pel conjugat :
Tècnica de multiplicar pel conjugat
Tècnica de multiplicar pel conjugat
Tenint en compte que : aleshores :
El límit correspon a un dels nombres més importants de la matemàtica.
Atès que el suís Leonard Euler(1707-1783) és un dels que va observar la
tendència d’aquest límit, va posar la seva inicial a aquest nombre, el
nombre e
Un parell d’exemples :
Un parell d’exemples :
Límits laterals en un punt
Exemple:
x tendeix a a per
l’esquerra
x tendeix a a per la dreta
Límits laterals en x = a
Funció contínua en un punt
Una funció f és contínua en x = a quan ;
en cas contrari, direm que és discontínua en x=a limx®a-
f (x) = limx®a+
f (x) = f (a)
Tipus de
discontinuïtats
Discontinuïtat evitable:
Discontinuïtat inevitable De salt:
Asimptòtica:
Per una primera aproximació, direm que una funció és contínua quan podem recórrer la gràfica de la
funció sense realitzar cap salt. Matemàticament això succeirà quant sigui contínua en tot el seu domini.
Discontinuïtat evitable
En x=1 la funció presenta una discontinuïtat evitable
Discontinuïtat de salt finit
En x=0 la funció presenta una discontinuïtat de salt de 2 unitats
El salt de la funció ve donat per :
Discontinuïtat de salt infinit: Discontinuïtat asimptòtica
En x=a la funció presenta una Asímptota Vertical, d’equació x=a
La funció presenta dues discontinuïtats de salt infinit en x=1 i en x=-1
En aquests punts, hi ha també dues AV que són x=-1 i x=1
Interpretació gràfica (I)
La funció presenta una discontinuïtat de salt en x=0, un salt
de dues unitats
Quin tipus de discontinuïtats presenta aquesta funció ?
