PARADOJA DE LOS GEMELOSUna mirada matemática introductoria.

Primer intento de clase inagural del 2do Medio - 2015

¿MARCO DE LA PARADOJA DE LOS GEMELOS?

• La paradoja de los gemelos (o de los relojes) es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes estados de movimiento.

• Esta paradoja fue propuesta por Einstein al desarrollar lo que hoy se conoce como la relatividad especial.

• Dicha teoría postula que la medida del tiempo no es absoluta, y que, dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, en general, no coincide, sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así, en la teoría de la relatividad, la medida del tiempo (y espacio) son relativas, pues dependen del estado de movimiento del observador.

¿QUÉ DICE LA PARADOJA DE LOS GEMELOS?

EN LA FORMULACIÓN MÁS HABITUAL DE LA PARADOJA, DEBIDA A PAUL LANGEVIN, SE TOMA COMO PROTAGONISTAS A DOS GEMELOS

(DE AHÍ EL NOMBRE);

EL PRIMERO DE ELLOS HACE UN LARGO VIAJE A UNA ESTRELLA EN UNA NAVE ESPACIAL A VELOCIDADES CERCANAS A LA VELOCIDAD DE LA

LUZ; EL OTRO GEMELO SE QUEDA EN LA TIERRA.

A LA VUELTA, EL GEMELO VIAJERO ES MÁS JOVEN QUE EL GEMELO TERRESTRE.

EN IMÁGENES ….

ENCONTREMOS UNA RELACIÓN ENTRE LO QUE PASA CON EL TIEMPO PARA EL GEMELO VIAJERO Y PARA EL GEMELO EN TIERRA.

Imaginemos que dentro de la nave que viaja a velocidad “v”, establecemos un sistema de Coordenadas Cartesianas X’ ; Y’ como se muestra en la figura:

Materia: Coordenadas Cartesianas, 1ro. Medio.

IMAGINEMOS AHORA UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ESTÁTICAS, X ; Y COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA, EN LA CUAL SE

MUEVE LA NAVE CON SUS COORDENADAS INTERNAS X’ ; Y’?

¿QUÉ QUEREMOS HACER?

1) DEJAR UN GEMELO EN TIERRA.

2) MANDAR AL OTRO GEMELO EN VIAJE ESPACIAL, A UNA VELOCIDAD CERCANA A LA DE LA LUZ (ESTO ES SOLO UN EXPERIMENTO MENTAL)

3) VER LA RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO EN VIAJE Y EL TIEMPO EN TIERRA, PARA CORROBORAR QUE EL TIEMPO ES RELATIVO, PUES LA MEDICIÓN DEL MISMO ENTRE DOS EVENTOS, DEPENDERÁ DE LA VELOCIDAD RELATIVA EN LA QUE SE MUEVAN LOS DOS OBSERVADORES.

VAMOS A INTRODUCIR ARRIBA DE LA NAVE ESPACIAL, UN RELOJ LUMINOSO, EL PROTOTIPO DISEÑADO POR EL FÍSICO ESTADOUNIDENSE R.P. FEYNMAN.

LA AMPOLLETA EMITE PULSACIONES REGULARES QUE REBOTAN EN EL ESPEJO VOLVIENDO AL CONTADOR PARA PROVOCAR UN CLICK.

• Sea t’ el tiempo transcurrido entre dos clicksal interior del sistema en movimiento.

Este tiempo lo calculamos usando la fórmula de la velocidad:

𝑣 =𝑑

𝑡Desde donde despejamos:

𝑡′ =2𝐿

𝑐

El tiempo t’ es de ida y vuelta. La Luz (cuya velocidad es c) recorre dos veces la distancia “L”.

t =d

v

En nuestro caso: Materia: Despeje de fómula, 8avo.

Pero desde el Sistema de Coordenadas estático, la imagen del reloj luminoso es otra, porque el cohete ha avanzado a la velocidad “v”

t =ℎ

𝑐+ℎ

𝑐=

2ℎ

𝑐

La velocidad sigue siendo la de la luz, la distancia de ida y la de vuelta son iguales a “h” y el tiempo desde el sistema estático es “t”:

Materia: Suma Fracciones Igual Denominador, 4to. Básico

Desde el sistema de coordenadas estático, el cohete y la lámpara de medición se mueven d = v t, donde v es la velocidad del cohete y t el tiempo desde este sistema de coordenadas estático.

Respecto del Sistema de Coordenadas estático:

v : velocidad del cohete.

d: la distancia que el cohete y la lámpara de medición se mueven.

t: es el tiempo en que este movimiento sucede.

d = vt

El Teorema Particular de Pitágoras dice: En un triángulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Usando este teorema acá, tenemos que:

h2 =d

2

2

+ L2

Pero antes teníamos que: t =2h

c; despejando: h =

ct

2

d = vt ; o lo mismo:d

2=

vt

2

t′ =2L

c; despejando: L =

ct′

2

Luego nuestra ecuación es:

ct

2

2

=vt

2

2

+ct′

2

2

Despejemos t en función de t’

ct

2

2

=vt

2

2

+ct′

2

2

𝑐2𝑡2

4=

𝑣2𝑡2

4+

𝑐2𝑡′2

4; Multiplicando la ecuación por 4:

𝑐2𝑡2 = 𝑣2𝑡2 + 𝑐2𝑡′2 ; Trasponiendo términos:

𝑐2𝑡2 − 𝑣2𝑡2 = 𝑐2𝑡′2 ; 𝐟𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐭𝟐

𝑡2 𝑐2 − 𝑣2 = 𝑐2𝑡′2 ; Dividiendo por 𝑐2

𝑡2 1 −𝑣2

𝑐2= 𝑡′2 ; Despejando y Tomando Raíz:

𝑡 =𝑡′

2

1 −𝑣2

𝑐2

Maravilloso !!!! ,tenemos una ecuaciónque vincula:

el tiempo en el sistema de coordenadas móvil(en la nave que vuela)

con

el tiempo en el sistema de coordenadas estático (en la tierra)

LOS TIEMPOS SON DIFERENTES!(El tiempo es relativo, producto del movimiento)

Materia: Manejo del Lenguaje Algebraico + Potencias.

PROBLEMA:Uno de los gemelos de LEO, se lanza en un cohete a 8/10 de la velocidad de la luz respecto de la tierra. Luego de transcurridos 30 años en el cohete, ¿Cuánto tiempo transcurrió en la tierra?

t’ : Tiempo transcurrido en el cohete.V : velocidad del cohete = 8c/10

𝑡 =30 𝑎ñ𝑜𝑠

2

1 −0,8𝑐 2

𝑐2

=30 𝑎ñ𝑜𝑠

2 1 − 0,64=

𝑡 =30 𝑎ñ𝑜𝑠

0,6= 50 𝑎ñ𝑜𝑠

Mientras el LEO que viaja lo hace por 30 años, en la tierra han transcurridos 50 años. Eso muestra que entre dos sucesos: la partida y la llegada de un cohete, dos observadores han medido 2 tiempos diferentes: el tiempo es Relativo!, cuando uno de esos observadores se mueve respecto del otro a cierta velocidad, mientras el cohete se mueve con rapidez cercana de la rapidez de la LUZ.

Materia: Aplicación a un Problema Concreto.