Upload
aan-widiyono
View
3.159
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
UKURAN TENDENSI SENTRAL
A MEAN = RATA-RATA
1 Rata-rata hitung biasa (mean arithmatik)
= 119935120783+119935120784+119935120785+ hellip+119935119951
119951 atau
sum 119935119946
119951
Contoh
Lima orang mahasiswa mendapatkan nilai statistika sbb 70 69 45 80 dan 56
Maka dapat ditulis dgn simbul X1 = 70 X2 = 69 X3 = 45 X4 = 80 dan X5 = 56
Dalam hal ini n = 5 maka nilai rata-rata hitung dapat dihitung sbb
= 1198831+1198832+1198833+ 1198834+1198835
119899 =
70+69+45+80+56
5 =
320
5 = 64
2 Rata-rata yang Ditimbang (Dibobot)
Contoh
Jika ada lima mahasiswa yg mendapat nilai 70 enam mhs mendapat nilai 69 tiga
mhs mendapat nilai 45 dan satu mhs mendapat nilai 80 dan satu mhs mendapat
nilai 56 Maka nilai rata-rata akan lebih mudah jika dihitung sbb
= sum119891119894119883119894
sum119891119894 dengan bantuan Tabel perhitungan berikut
Xi fi fi Xi Dari tabel tsb diperoleh
sum119891119894 = 16
sum119891119894 119883119894 = 1035
= sum119891119894119883119894
sum119891119894 =
1035
16 = 646
Jadi nilai rata-rata dari enam belas mahasiswa
adalah 646
70
69
45
80
56
5
6
3
1
1
350
414
135
80
56
Jumlah 16 1035
3 Rata-rata Gabungan
Contoh
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10 6 dan 8 dengan nilai rata-rata
masing-masing adalah 145 118 dan 162
Maka rata-rata gabungan dari tiga sub sampel tsb dapat dihitung sbb
= sum119951119946119883119894
sum119951119946 =
(1198991) 1198831 + (1198992) 1198832 +(1198993) 1198833
1198991+1198992+1198993 =
(10) (145) + (6)(118) + (8)(162)
10 + 6 +8 =
3454
24 = 14392
4 Rata-rata dari Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Rumus 1 = sum119943119946119935119946
sum119943119946 Xi = tanda kelas interval (titik tengah = mid point)
Nilai Ujian fi Xi fi Xi
31 ndash 40 1 355 355
41 ndash 50 2 455 910
51 ndash 60 5 555 2775
61 ndash 70 15 655 9815
71 ndash 80 25 755 18875
81 ndash 90 20 855 17100
91 ndash 100 12 955 11460
sum 80 -- 61300
Jadi nilai rata-rata dapat dihitung sbb = sum119891119894119883119894
sum119891119894 =
6130
80 = 76625
Rumus 2 Cara Koding = Xo + p (sum119943119946 119940119946
sum119943119946) atau AM = Assummed Mean
Keterangan
Xo = nilai tengah (tanda kelas) pada kelas Ci = 0
p = lebarpanjang kelas
ci = nilai Coding di mana untuk nilai ci = 0 ke ldquoatasrdquo diberi tanda + dan ci = 0
ke ldquobawahrdquo diberi tanda ndash
Nilai Ujian fi Xi ci fi ci
31 ndash 40 1 355 -3 - 3
41 ndash 50 2 455 -2 - 4
51 ndash 60 5 555 -1 - 5
61 ndash 70 15 655 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 25
81 ndash 90 20 855 + 2 40
91 ndash 100 12 955 + 3 36
sum 80 -- + 89
Dengan cara Koding nilai rata-rata dpt dihitung sbb = Xo + p (sum119891119894 119888119894
sum119891119894)
= Xo + p (sum119891119894 119888119894
sum119891119894) = 655 + (10) (
89
80) = 76625
Contoh lain
Nilai Ujian fi Xi ci fi ci
31 ndash 40 1 355 -5 - 5
41 ndash 50 2 455 -4 - 8
52 ndash 60 5 555 -3 - 15
61 ndash 70 15 655 -2 - 30
71 ndash 80 25 755 -1 - 25
81 ndash 90 20 855 0 0
91 ndash 100 12 955 + 1 + 12
sum 80 -- -71
Dengan cara yang sama dengan di atas maka nilai rata-rata dpt dihitung
= Xo + p (sum119891119894 119862119894
sum119891119894) = 855 + (10) (
minus 71
80) = 76625
Ternyata dalam cara Koding (AM) kita bebas menentukan perkiraan rentang
kelas di mana mean berada dan hasilnya akan tetap sama
5 Rata-rata Harmonik dapat dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
1198991
1199091 +
1
1198832 +
1
1198833 + hellip+
1
119883119899
Contoh
Si A bepergian pulang ndash pergi Waktu berangkat dengan kecepatan 10 kmjam
sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 kmjam Berapakah kecepatan
rata-rata pulang ndash pergi
Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = frac12 (10 + 20) kmjam =
15 kmjam adalah salah
Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb
Misal jarak tempuhnya adalah 100 km maka ketika pergi diperlukan waktu =
10010 = 10 jam sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 10020
= 5 jam Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam sedangkan jarak tempuhnya
200 km maka rata-rata kecepatan pergi ndash pulang adalah
= 200 119896119898
15 119895119886119898 = 13 3 kmjam
Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-
rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
21
10 +
1
20 =
40
3 = 133 kmjam
B MODUS = MODE = MODAL
Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul
Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34
28 14
Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan
demikian maka Modus Mo = 34
12
14
28
34
1
2
2
4
Data yang memiliki dua modus (bi-modal)
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang
masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan
demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92
75
60
92
64
35
8
7
8
7
2
Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong
Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka
Modusnya dapat dihitung dgn rumus
Mo = b + p (1198871
1198871+1198872)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya
terbanyak
p = panjang (lebar) interval kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg
nilainya di bawahnya)
b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg
nilainya di atasnya)
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima
1) b = 705
2) b1 = 25 ndash 15 = 10
3) b2 = 25 ndash 20 = 5
4) p = 10
maka Mo = 705 + (10) (10
10+5)
Mo = 7717
31 ndash 40 1 305 ndash 405
41 ndash 50 2 405 ndash 505
53 ndash 60 5 505 ndash 605
61 ndash 70 15 605 ndash 705
71 ndash 80 25 705 ndash 805
81 ndash 90 20 805 ndash 905
91 ndash 100 12 905 ndash 1005
sum 80 --
MEDIAN
Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data
bagian atas dan 50 data bagian bawah
1 Median untuk banyak data Ganjil
Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10
Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12
Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari
data tersebut adalah Me = 8
2 Median untuk banyak data Genap
Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya
dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua
data tengah
Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8
Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19
Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12
sehingga rata-ratanya adalah 11
3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong dapat dihitung dengan rumus
Me = b + p (frac12 119873minus119865
119891)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 ndash 40 1 305 ndash 405 1
41 ndash 50 2 405 ndash 505 3
51 ndash 60 5 505 ndash 605 8
61 ndash 70 15 605 ndash 705 23
71 ndash 80 25 705 ndash 805 48
81 ndash 90 20 805 ndash 905 68
91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80
sum 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan
Persentil (P) sbb
1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)
4 di mana i = 1 2 dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Ki = b + p (119894 119873
4minus119865
119891) i = 1 2 dan 3
2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)
5 di mana i = 1 2 3 dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
= sum119951119946119883119894
sum119951119946 =
(1198991) 1198831 + (1198992) 1198832 +(1198993) 1198833
1198991+1198992+1198993 =
(10) (145) + (6)(118) + (8)(162)
10 + 6 +8 =
3454
24 = 14392
4 Rata-rata dari Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Rumus 1 = sum119943119946119935119946
sum119943119946 Xi = tanda kelas interval (titik tengah = mid point)
Nilai Ujian fi Xi fi Xi
31 ndash 40 1 355 355
41 ndash 50 2 455 910
51 ndash 60 5 555 2775
61 ndash 70 15 655 9815
71 ndash 80 25 755 18875
81 ndash 90 20 855 17100
91 ndash 100 12 955 11460
sum 80 -- 61300
Jadi nilai rata-rata dapat dihitung sbb = sum119891119894119883119894
sum119891119894 =
6130
80 = 76625
Rumus 2 Cara Koding = Xo + p (sum119943119946 119940119946
sum119943119946) atau AM = Assummed Mean
Keterangan
Xo = nilai tengah (tanda kelas) pada kelas Ci = 0
p = lebarpanjang kelas
ci = nilai Coding di mana untuk nilai ci = 0 ke ldquoatasrdquo diberi tanda + dan ci = 0
ke ldquobawahrdquo diberi tanda ndash
Nilai Ujian fi Xi ci fi ci
31 ndash 40 1 355 -3 - 3
41 ndash 50 2 455 -2 - 4
51 ndash 60 5 555 -1 - 5
61 ndash 70 15 655 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 25
81 ndash 90 20 855 + 2 40
91 ndash 100 12 955 + 3 36
sum 80 -- + 89
Dengan cara Koding nilai rata-rata dpt dihitung sbb = Xo + p (sum119891119894 119888119894
sum119891119894)
= Xo + p (sum119891119894 119888119894
sum119891119894) = 655 + (10) (
89
80) = 76625
Contoh lain
Nilai Ujian fi Xi ci fi ci
31 ndash 40 1 355 -5 - 5
41 ndash 50 2 455 -4 - 8
52 ndash 60 5 555 -3 - 15
61 ndash 70 15 655 -2 - 30
71 ndash 80 25 755 -1 - 25
81 ndash 90 20 855 0 0
91 ndash 100 12 955 + 1 + 12
sum 80 -- -71
Dengan cara yang sama dengan di atas maka nilai rata-rata dpt dihitung
= Xo + p (sum119891119894 119862119894
sum119891119894) = 855 + (10) (
minus 71
80) = 76625
Ternyata dalam cara Koding (AM) kita bebas menentukan perkiraan rentang
kelas di mana mean berada dan hasilnya akan tetap sama
5 Rata-rata Harmonik dapat dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
1198991
1199091 +
1
1198832 +
1
1198833 + hellip+
1
119883119899
Contoh
Si A bepergian pulang ndash pergi Waktu berangkat dengan kecepatan 10 kmjam
sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 kmjam Berapakah kecepatan
rata-rata pulang ndash pergi
Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = frac12 (10 + 20) kmjam =
15 kmjam adalah salah
Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb
Misal jarak tempuhnya adalah 100 km maka ketika pergi diperlukan waktu =
10010 = 10 jam sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 10020
= 5 jam Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam sedangkan jarak tempuhnya
200 km maka rata-rata kecepatan pergi ndash pulang adalah
= 200 119896119898
15 119895119886119898 = 13 3 kmjam
Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-
rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
21
10 +
1
20 =
40
3 = 133 kmjam
B MODUS = MODE = MODAL
Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul
Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34
28 14
Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan
demikian maka Modus Mo = 34
12
14
28
34
1
2
2
4
Data yang memiliki dua modus (bi-modal)
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang
masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan
demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92
75
60
92
64
35
8
7
8
7
2
Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong
Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka
Modusnya dapat dihitung dgn rumus
Mo = b + p (1198871
1198871+1198872)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya
terbanyak
p = panjang (lebar) interval kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg
nilainya di bawahnya)
b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg
nilainya di atasnya)
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima
1) b = 705
2) b1 = 25 ndash 15 = 10
3) b2 = 25 ndash 20 = 5
4) p = 10
maka Mo = 705 + (10) (10
10+5)
Mo = 7717
31 ndash 40 1 305 ndash 405
41 ndash 50 2 405 ndash 505
53 ndash 60 5 505 ndash 605
61 ndash 70 15 605 ndash 705
71 ndash 80 25 705 ndash 805
81 ndash 90 20 805 ndash 905
91 ndash 100 12 905 ndash 1005
sum 80 --
MEDIAN
Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data
bagian atas dan 50 data bagian bawah
1 Median untuk banyak data Ganjil
Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10
Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12
Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari
data tersebut adalah Me = 8
2 Median untuk banyak data Genap
Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya
dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua
data tengah
Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8
Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19
Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12
sehingga rata-ratanya adalah 11
3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong dapat dihitung dengan rumus
Me = b + p (frac12 119873minus119865
119891)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 ndash 40 1 305 ndash 405 1
41 ndash 50 2 405 ndash 505 3
51 ndash 60 5 505 ndash 605 8
61 ndash 70 15 605 ndash 705 23
71 ndash 80 25 705 ndash 805 48
81 ndash 90 20 805 ndash 905 68
91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80
sum 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan
Persentil (P) sbb
1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)
4 di mana i = 1 2 dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Ki = b + p (119894 119873
4minus119865
119891) i = 1 2 dan 3
2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)
5 di mana i = 1 2 3 dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Dengan cara Koding nilai rata-rata dpt dihitung sbb = Xo + p (sum119891119894 119888119894
sum119891119894)
= Xo + p (sum119891119894 119888119894
sum119891119894) = 655 + (10) (
89
80) = 76625
Contoh lain
Nilai Ujian fi Xi ci fi ci
31 ndash 40 1 355 -5 - 5
41 ndash 50 2 455 -4 - 8
52 ndash 60 5 555 -3 - 15
61 ndash 70 15 655 -2 - 30
71 ndash 80 25 755 -1 - 25
81 ndash 90 20 855 0 0
91 ndash 100 12 955 + 1 + 12
sum 80 -- -71
Dengan cara yang sama dengan di atas maka nilai rata-rata dpt dihitung
= Xo + p (sum119891119894 119862119894
sum119891119894) = 855 + (10) (
minus 71
80) = 76625
Ternyata dalam cara Koding (AM) kita bebas menentukan perkiraan rentang
kelas di mana mean berada dan hasilnya akan tetap sama
5 Rata-rata Harmonik dapat dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
1198991
1199091 +
1
1198832 +
1
1198833 + hellip+
1
119883119899
Contoh
Si A bepergian pulang ndash pergi Waktu berangkat dengan kecepatan 10 kmjam
sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 kmjam Berapakah kecepatan
rata-rata pulang ndash pergi
Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = frac12 (10 + 20) kmjam =
15 kmjam adalah salah
Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb
Misal jarak tempuhnya adalah 100 km maka ketika pergi diperlukan waktu =
10010 = 10 jam sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 10020
= 5 jam Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam sedangkan jarak tempuhnya
200 km maka rata-rata kecepatan pergi ndash pulang adalah
= 200 119896119898
15 119895119886119898 = 13 3 kmjam
Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-
rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
21
10 +
1
20 =
40
3 = 133 kmjam
B MODUS = MODE = MODAL
Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul
Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34
28 14
Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan
demikian maka Modus Mo = 34
12
14
28
34
1
2
2
4
Data yang memiliki dua modus (bi-modal)
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang
masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan
demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92
75
60
92
64
35
8
7
8
7
2
Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong
Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka
Modusnya dapat dihitung dgn rumus
Mo = b + p (1198871
1198871+1198872)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya
terbanyak
p = panjang (lebar) interval kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg
nilainya di bawahnya)
b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg
nilainya di atasnya)
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima
1) b = 705
2) b1 = 25 ndash 15 = 10
3) b2 = 25 ndash 20 = 5
4) p = 10
maka Mo = 705 + (10) (10
10+5)
Mo = 7717
31 ndash 40 1 305 ndash 405
41 ndash 50 2 405 ndash 505
53 ndash 60 5 505 ndash 605
61 ndash 70 15 605 ndash 705
71 ndash 80 25 705 ndash 805
81 ndash 90 20 805 ndash 905
91 ndash 100 12 905 ndash 1005
sum 80 --
MEDIAN
Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data
bagian atas dan 50 data bagian bawah
1 Median untuk banyak data Ganjil
Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10
Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12
Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari
data tersebut adalah Me = 8
2 Median untuk banyak data Genap
Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya
dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua
data tengah
Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8
Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19
Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12
sehingga rata-ratanya adalah 11
3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong dapat dihitung dengan rumus
Me = b + p (frac12 119873minus119865
119891)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 ndash 40 1 305 ndash 405 1
41 ndash 50 2 405 ndash 505 3
51 ndash 60 5 505 ndash 605 8
61 ndash 70 15 605 ndash 705 23
71 ndash 80 25 705 ndash 805 48
81 ndash 90 20 805 ndash 905 68
91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80
sum 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan
Persentil (P) sbb
1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)
4 di mana i = 1 2 dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Ki = b + p (119894 119873
4minus119865
119891) i = 1 2 dan 3
2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)
5 di mana i = 1 2 3 dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
= 200 119896119898
15 119895119886119898 = 13 3 kmjam
Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-
rata harmonik Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb
H = 119899
sum(1
119883119894) =
21
10 +
1
20 =
40
3 = 133 kmjam
B MODUS = MODE = MODAL
Modus adalah fenomenanilai yang paling banyak muncul
Contoh terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb 12 34 14 34 28 34 34
28 14
Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak adalah f = 4 yang terjadi untuk nilai 34 Dengan
demikian maka Modus Mo = 34
12
14
28
34
1
2
2
4
Data yang memiliki dua modus (bi-modal)
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak ada 2 yaitu data yang bernilai 75 dan 92 yang
masing-masing frekuensinya adalah f = 8 Dengan
demikian maka Modusnya ada dua yaitu 75 dan 92
75
60
92
64
35
8
7
8
7
2
Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong
Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong maka
Modusnya dapat dihitung dgn rumus
Mo = b + p (1198871
1198871+1198872)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas modal yaitu interval kelas yang frekuensinya
terbanyak
p = panjang (lebar) interval kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg
nilainya di bawahnya)
b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg
nilainya di atasnya)
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima
1) b = 705
2) b1 = 25 ndash 15 = 10
3) b2 = 25 ndash 20 = 5
4) p = 10
maka Mo = 705 + (10) (10
10+5)
Mo = 7717
31 ndash 40 1 305 ndash 405
41 ndash 50 2 405 ndash 505
53 ndash 60 5 505 ndash 605
61 ndash 70 15 605 ndash 705
71 ndash 80 25 705 ndash 805
81 ndash 90 20 805 ndash 905
91 ndash 100 12 905 ndash 1005
sum 80 --
MEDIAN
Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data
bagian atas dan 50 data bagian bawah
1 Median untuk banyak data Ganjil
Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10
Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12
Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari
data tersebut adalah Me = 8
2 Median untuk banyak data Genap
Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya
dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua
data tengah
Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8
Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19
Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12
sehingga rata-ratanya adalah 11
3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong dapat dihitung dengan rumus
Me = b + p (frac12 119873minus119865
119891)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 ndash 40 1 305 ndash 405 1
41 ndash 50 2 405 ndash 505 3
51 ndash 60 5 505 ndash 605 8
61 ndash 70 15 605 ndash 705 23
71 ndash 80 25 705 ndash 805 48
81 ndash 90 20 805 ndash 905 68
91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80
sum 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan
Persentil (P) sbb
1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)
4 di mana i = 1 2 dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Ki = b + p (119894 119873
4minus119865
119891) i = 1 2 dan 3
2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)
5 di mana i = 1 2 3 dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
p = panjang (lebar) interval kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg
nilainya di bawahnya)
b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg
nilainya di atasnya)
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima
1) b = 705
2) b1 = 25 ndash 15 = 10
3) b2 = 25 ndash 20 = 5
4) p = 10
maka Mo = 705 + (10) (10
10+5)
Mo = 7717
31 ndash 40 1 305 ndash 405
41 ndash 50 2 405 ndash 505
53 ndash 60 5 505 ndash 605
61 ndash 70 15 605 ndash 705
71 ndash 80 25 705 ndash 805
81 ndash 90 20 805 ndash 905
91 ndash 100 12 905 ndash 1005
sum 80 --
MEDIAN
Median adalah nilai tengah yaitu nilai yang membatasi antara 50 data
bagian atas dan 50 data bagian bawah
1 Median untuk banyak data Ganjil
Misal Sampel dengan data 4 12 5 7 8 10 10
Setelah diurutkan menjadi 4 5 7 8 10 10 12
Dalam hal ini nilai tengahnya adalah data ke-4 yaitu 8 Jadi median dari
data tersebut adalah Me = 8
2 Median untuk banyak data Genap
Untuk sampel yg berukuran genap maka setelah data diurutkan nilainya
dari yg terkecil ke terbesar Median dapat dihitung dengan merata-rata dua
data tengah
Misal sampel dgn data 12 7 8 14 16 19 10 8
Setelah diurutkan nilainya menjadi 7 8 8 10 12 14 16 19
Dalam hal ini data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12
sehingga rata-ratanya adalah 11
3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong dapat dihitung dengan rumus
Me = b + p (frac12 119873minus119865
119891)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 ndash 40 1 305 ndash 405 1
41 ndash 50 2 405 ndash 505 3
51 ndash 60 5 505 ndash 605 8
61 ndash 70 15 605 ndash 705 23
71 ndash 80 25 705 ndash 805 48
81 ndash 90 20 805 ndash 905 68
91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80
sum 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan
Persentil (P) sbb
1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)
4 di mana i = 1 2 dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Ki = b + p (119894 119873
4minus119865
119891) i = 1 2 dan 3
2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)
5 di mana i = 1 2 3 dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
3 Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong dapat dihitung dengan rumus
Me = b + p (frac12 119873minus119865
119891)
Keterangan
b = batas bawah nyata kelas Median yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 ndash 40 1 305 ndash 405 1
41 ndash 50 2 405 ndash 505 3
51 ndash 60 5 505 ndash 605 8
61 ndash 70 15 605 ndash 705 23
71 ndash 80 25 705 ndash 805 48
81 ndash 90 20 805 ndash 905 68
91 ndash 100 12 905 ndash 1005 80
sum 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai Kuartil (K) Desil (D) Quantil (Q) dan
Persentil (P) sbb
1 Kuartil ke-i Ki adalah data yg ke 119894(119873)
4 di mana i = 1 2 dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Ki = b + p (119894 119873
4minus119865
119891) i = 1 2 dan 3
2 Quantil ke-i Qi adalah data yg ke 119894(119873)
5 di mana i = 1 2 3 dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Qi = b + p (119894 119873
5minus119865
119891) i = 1 2 3 dan 4
3 Desil ke-i Di adalah data yg ke 119894(119873)
10 di mana i = 1 2 3 4 5 6 7 8 dan 9
Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus
Di = b + p (119894119873
10minus119865
119891) i = 1 2 3 hellip9
4 Persentil ke-i Pi adalah data yg ke 119894(119873)
100 di mana i = 1 2 3 4 hellip 99
Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan
rumus
Pi = b + p (119894119873
100minus119865
119891) i = 1 2 3 4 hellip 99
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI
Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi
1 Rentang (range)
2 Rentang antar kuartil
3 Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)
5 Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians
1 Rentang (Range) = skor terbesar ndash skor terkecil
2 Rentang antar kuartil RAK = K3 ndash K1
3 Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil)
SK = frac12 (K3 ndash K1)
4 Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) RS = sum|119883119894minus |
119899
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb
Xi Xi - |119883119894 minus |
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
RS = sum|119883119894minus |
119899 =
10
5 = 20
8 -2 2
7 -3 3
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 4
sum X = 50 0 10
5 Simpangan Baku = Standar Deviasi
Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang
paling banyak digunakan Misalkan suatu sampel berukuran n dengan data X1
X2 X3 hellip Xn Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut
dapat dihitung sbb
a Estimasi yg sifatnya bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899 = radic
sum1199091198942
119899
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
b Estimasi yg tidak bias s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
sum1199091198942
119899minus1
Keterangan
s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku
populasi)
n ndash 1 = derajat kebebasan
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb
Xi Xi - (119883119894 minus 119883) 2
Nilai rata-rata = sum 119883
119899 =
50
5 = 10
s = radicsum(119883119894minus )2
119899minus1 = radic
30
5minus1 = radic75 = 274
8 -2 4
7 -3 9
10 0 0
11 + 1 1
14 + 4 16
sum X = 50 0 30
Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata () terlebih
dahulu sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi
6 Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar
Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau
rumus varians dapat dihitung sbb
1199042 = 119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
Contoh Suatu sampel berukuran n = 5 dengan data 8 7 10 11 14
Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus
angka kasar (rumus varians) sbb
Xi 1198831198942 1199042 =
119899 sum1198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1) s = radic
1198991198831198942minus (sum119883119894)2
119899 (119899minus1)
s = radic(5)(530)minus (50)2
5 (5minus1) = radic
150
20 = 274
8 64
7 49
10 100
11 121
14 196
sum Xi = 50 sum1198831198942= 530
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
7 Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
a Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians)
1199042 = 119899sum1198911198941198831198942minus (sum119891119894119883119894)2
119899 (119899minus1)
Keterangan Xi = tanda kelas (mid-point)
fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai
n = sumfi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi 1198831198942 fi Xi 119891119894 1198831198942
31 ndash 40 1 355 126025 355 126025
41 ndash 50 2 455 207025 910 414050
51 ndash 60 5 555 308025 2775 1540125
61 ndash 70 15 655 429025 9825 6435375
71 ndash 80 25 755 570025 18875 14250625
81 ndash 90 20 855 7310 25 17100 1462050
91 ndash 100 12 955 9120 25 11460 1094430
JUMLAH 80 -- -- 61300 4833100
Maka 1199042 = (80) (483310) minus (6130)2
80 (80minus1) = 1721 s = radic1721 = 1312
b Dengan Rumus Deviasi
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi Xi - (119883119894 minus )2 119891119894 (119883119894 minus )2
31 ndash 40 1 355 -411 168921 168921
41 ndash 50 2 455 -311 96721 183442
51 ndash 60 5 555 -211 44521 222605
61 ndash 70 15 655 -111 12321 184815
71 ndash 80 25 755 -11 121 3025
81 ndash 90 20 855 +89 7921 158420
91 ndash 100 12 955 +189 35721 428652
JUMLAH 80 -- -- 1349880
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Nilai rata-rata = 76625 infin 766
1199042= sum119891119894 (119883119894minus )2
119899minus1 =
1349880
80minus1 = 1709 s = radic1709 = 1307
c Dengan Rumus Koding
Contoh Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel
Distribusi Frekuensi Bergolong sbb
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -3 9 -3 9
41 ndash 50 2 455 -2 4 -4 8
51 ndash 60 5 555 -1 1 -5 5
61 ndash 70 15 655 0 0 0 0
71 ndash 80 25 755 + 1 1 + 25 25
81 ndash 90 20 855 +2 4 + 40 80
91 ndash 100 12 955 +3 9 + 36 108
JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (235) ndash (89)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini kita juga bebas menentu-
kan letak ci = 0 hellip
Contoh
Nilai fi Xi ci 1198881198942 fi ci 119891119894 1198881198942
31 ndash 40 1 355 -4 16 -4 16
41 ndash 50 2 455 -3 9 -6 18
51 ndash 60 5 555 -2 4 -10 20
61 ndash 70 15 655 -1 1 -15 15
71 ndash 80 25 755 0 0 0 0
81 ndash 90 20 855 +1 1 + 20 20
91 ndash 100 12 955 +2 4 + 24 48
JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Rumus 1199042= 1199012 [119899sum1198911198941198881198942 ndash (sum119891119894119888119894)2
119899 (119899minus1)] = (10)2 [
(80) (137) ndash (9)2
80 (80minus1)] = 1721
S = radic1721 = 1312
8 Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel
Misal
Sub-sample 1 berukuran n1 dgn simpangan baku s1
Sub-sample 2 berukuran n2 dgn simpangan baku s2
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Sub-sample k berukuran nk dgn simpangan baku sk
Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + hellip+ nk
dapat dihitung dengan rumus
1199042= sum(119899119894minus1)11990412
sum119899119894minus119896 atau 1199042=
(1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422 + hellip +(119899119896minus1) 1199041198962
1198991+1198992+⋯+119899119896minus119896
119810ontoh
Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek
menghasilkan s1 = 275 sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua
terhadap 23 objek diperoleh s2 = 308 Maka simpangan baku gabungan
dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung
1199042 = (1198991minus1)11990412 +(1198992minus1)11990422
1198991+1198992minus119896 =
(14minus1)(275)2 +(23minus1)(308)2
14+ 23minus2
1199042 = 8772 s = radic8772 = 296
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Uji ndash t
1 t-test dengan satu sampel
Contoh Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata-
rata sekitar 800 jam Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu
tersebut telah berubah Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50
buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan Setelah diselidiki ternyata rata-rata
masa pakai lampu merk A hanya 792 jam Dari pengujian tersebut diketahui bahwa
simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam Dengan = 005 ujilah dugaan
bahwa kualitas lampu merk A telah berubah
Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut
Ho = o Ho = 800 jam
Ha ne o Ha ne 800 jam
Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(1)
Dalam hal ini = nilai rerata dari sampel
120583119874 = rerata populasi
119904 = standar deviasi dari sampel
119899 = ukuranjumlah sampel
Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1 Dan untuk menguji
hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor)
Kriteria Terima Ho jika harga thitung adalah sebagai berikut
-t1-2 lt thit lt t1-2
Dalam hal lainnya Ho ditolak
Untuk contoh di atas diperoleh =792 jam 120583119874 = 800 jam n = 50 dan standar
deviasi s = 60 jam maka
119905 = minus 120583119900
119904radic119899=
792 minus 800
60radic50= minus0942
Dengan = 005 maka t1-2 n ndash 1 = t0875 49 = 201
Dalam hal ini |thit| lt t0975 49 Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Kesimpulan bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam
atau kualitas lampu merk A belum berubah
2 t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel)
Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua
populasi Misalkan membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar dua cara
produksi daya sembuh dua macam obat dan sebagainya
Uji ndash t DUA EKOR
Misal Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka
waktu tertentu Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal
ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut Untuk itu diambil sampel
sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan
jenis B setelah jangka waktu tertentu ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam
ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut
Makanan
A
31 30 33 29 26 30 36 27 38 40 34
Makanan
B
27 29 34 32 33 29 30 30 26 37
Dengan = 005 ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya
terhadap penambahan berat ayam atau tidak
Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai
berikut
Ho 1 = 2 Ho 1 - 2 = 0 non directional (dua ekor)
Ha 1 ne 2 Ha 1 - 2 ne 0
Dalam hal ini ada dua populasi (saling independent) Dari populasi I diambil secara
acak sampel berukuran n1 sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2 Dari
kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga 1 s1 2 dan s2 Untuk menguji Ho digunakan
statistik t dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Dimana 1 = nilai rerata sampel pertama
2 = nilai rerata sampel kedua
119904 = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphellip(2)
Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 ndash 2)
Kriteria terima Ho jika ndasht1-2 lt thit lt t1-2 dengan dk=(n1 + n2 ndash 2) Dalam hal lainnya Ho
ditolak
Berdasarkan contoh di atas diperoleh harga 119860 = 322 ons 119861 = 307 ons 1198781198602 = 01996
1198781198612 = 01112
nA = 11 dan nB = 10 Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai
berikut
1199042 =(119899119860 minus 1) ∙ 1199042119860 + (119899119861 minus 1) ∙ 1199042119861
119899119860 + 119899119861 minus 2
=(11 minus 1)(01996) + (10 minus 1)(01112)
11 + 10 minus 2
1199042 =29968
19= 01577 rarr 119904 = radic01577 = 0397
Selanjutnya dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =119860 minus 119861
119904radic1
119899119860+
1119899119861
=322 minus 307
0397radic 111 +
110
= 0862
Harga t tabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) = t0975 19 = 209
Ternyata bahwa thit lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
3 Uji ndash t SATU EKOR (DIRECTIONAL)
Contoh Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan
yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang Untuk menyelidiki hal
ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda
yang tidak suka berenang Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata
pemuda yang suka berenang adalah 1672 cm sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda
yang tidak suka berenang adalah 1603 cm Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang
suka berenang adalah 67 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 71 cm
dengan = 005 Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut
Berdasarkan contoh di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu
ekor) sebagai berikut
Ho 1gt2 atau Ho 1-2gt0
Ha 1le2 atau Ha 1-2le0
Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut
1= 1672 cm 1199041= 67 cm 1198991= 15
2= 1603 cm 1199042= 71 cm 1198992= 20
Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok
tersebut yaitu
1199042 =(1198991 minus 1) ∙ 1199041
2 + (1198992 minus 1) ∙ 11990422
1198991 + 1198992 minus 2=
(15 minus 1)(67)2 + (20 minus 1)(71)2
15 + 20 minus 2
1199042 = 4807 rArr 119904 = radic4807 = 6933
Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut
119905 =1 minus 2
119878radic11198991
+1
1198992
=1672 minus 1603
6933radic 115
+1
20
= 2913
Sementara itu harga ttabel = t1-2 (n1+n2 ndash 2) uji ndasht satu ekor t095 33 = 170 Ternyata
bahwa thit lt ttabel Ho ditolak
Kesimpulan dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih
tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti
(dapat diterima)
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample)
Uji ndash t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji ndash
t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan karena fungsinya adalah untuk mengetahui
perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang
Pertumbuhanperkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya
perlakuan tertentu
Contoh
Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan
maksud untuk meningkatkan prestasinya Untuk itu sebelum diberikan latihan kepada
masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya
Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test) Hasil
dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut
Berdasarkan data tersebut maka dengan = 005
ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa
pemberian latihan telah dapat meningkatkan
Penyelesaian
Dari masing-masing pasangan data observasi
tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 ndash X2
Untuk sampel yang berpasangan hipotesis null-
nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan
mean (rerata) dalam populasi
Tabel perhitungan
Ho d = 0
Ha d ne 0
=sum 119889
119873=
minus11
10= minus110
1199041198892 = sum 1198892 minus(sum 119889)2
119899
1199041198892 = 19 minus(minus11)2
10
1199041198892 = 69
119904119889 = radic69 = 2627
Siswa Nilai pretest
X1
Nilai post test
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
No X1 X2 X1 ndash X2
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
7
6
3
5
6
2
7
7
5
5
7
7
5
6
7
5
7
8
6
- 1
0
- 1
- 2
- 1
- 1
- 3
0
- 1
- 1
1
0
1
4
1
1
9
0
1
1
52 63 - 11 19
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Untuk menguji Ho d = 0 digunakan uji ndasht dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Dari perhitungan di atas diperoleh harga t
119905 =
119904119889radic119899=
minus110
2267radic10= minus1534
Sementara harga ttabel = t1-2 (n ndash 1) = t0975 9 = 226
Dalam hal ini |thit| lt ttabel Ho diterima (gagal ditolak)
Kesimpulan bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
KORELASI
Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara
dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya
tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y
Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y dan turunnya
nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y maka hubungan yang seperti
itu disebut hubungan yang positif Akan tetapi sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X
selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh
kenaikan nilai variabel Y maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan
yang negatif
Disamping itu dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan
sama sekali yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan
nilai variabel lainnya dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya
KOEFISIEN HUBUNGAN
Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan Bilangan yang
menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien
korelasi Koefisien korelasi itu berkisar antara 000 dan +100 (korelasi positif) dan atau diantara
000 sampai -100 (korelasi negatif) tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif
Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif dan koefisien
yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif Sedangkan koefisien yang
bernilai 000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y
Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +100 maka berarti bahwa
dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna Sebaliknya bilamana dua
variabel mempunyai koefisien korelasi -100 maka berarti dua variabel tersebut memiliki
korelasi negatif yang sempurna Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali
dijumpai dalam praktik penyelidikanpenelitian Korelasi antara dua variabel pada umumnya
akan berkisar antara +100 sampai dengan -100
ILUSTRASI
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Korelasi
Positif
Y
X
Korelasi
Negatif
Y
X
Korelasi
tidak ada
Y
X
Lingkaran
KORELASI PRODUCT MOMENT
Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing
mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang
dikembangkan oleh Karl Pearson
Rumus korelasi product momen ini ada dua macam yaitu
1 Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
2 Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar
Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi)
119903ϰ119910 = sumϰ119910
radic(sumϰ2)(sum1199102)
Dalam hal ini
119903ϰ119910 = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y
ϰ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X
119910 = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y
sumϰ 119910 = jumlah perkalian antara nilai X dan Y
ϰ2 = Kuadrat dari nilai ϰ
1199102 = Kuadrat dari nilai y
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Contoh Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh
siswa
No Resp Mat
X
Fisika
Y
X -
120542
Y -
y 120542120784 119858120784 120542 y
1 65 63 00 -01 000 001 000
2 70 68 +05 +04 025 016 +020
3 75 72 +10 +08 100 064 +080
4 70 68 +05 +04 025 016 +020
5 60 70 -05 +06 025 036 -030
6 60 62 -05 -02 025 004 +010
7 55 51 -10 -13 100 169 +130
8 65 60 00 04 000 016 000
9 70 65 +05 +01 025 001 +005
10 60 59 -05 -06 025 036 +030
Jumlah 650 638 - - 350 359 265
= sum119909
119873=
650
10= 650 =
sum119910
119873=
638
10= 638 ∽ 640
x = X - y = Y -
Rumus
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
Contoh
No Resp X Y 119831120784 119936120784 X Y
1 65 63 4225 3969 4095
2 70 68 4900 4624 4760
3 75 72 5625 5184 5700
4 70 68 4900 4624 4760
5 60 70 3600 4900 4200
6 60 62 3600 3844 3720
7 55 51 3025 2601 2805
8 65 60 4225 3600 3900
9 70 65 4900 4225 4550
10 60 59 3600 3481 3540
Jumlah 650 638 42600 41052 41730
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Jadi
119903ϰ119910 = 119873sumx119910minus(sum119883)(sum119884)
radic[119873sum1198832minus(sum119883)2] [119873sum1198842minus(sum119884)2]
119903ϰ119910 = 10(41730)minus(650 119909 638)
radic[10(426)minus (650)2] [10(41052)minus(638)2]=
26
radic12166
119903ϰ119910 = 0745
Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas
butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap
mempunyai skala pengukuran interval
KORELASI POINT-SERIAL
Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel
yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval Misalnya Korelasi antara jenis
kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu teknik korelasi ini pada umumnya
juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang
diskor dikotomi (betul=1 salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran
interval
Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi maka sering
disebut korelasi point-biserial (rp-bis) Rumusnya adalah sebagai berikut
119903119901 minus 119887119894119904 = 1198721minus1198722
119878119905 radic119901 119902 atau 119903119901 minus 119887119894119904 =
1198721minus119872119905
119878119905 radic119901 119902
Dalam hal ini
rp-bis = koefisien korelasi point-biserial
M1 = mean gejala interval kelompok 1
M2 = mean gejala interval kelompok 2
St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2)
P = Proporsi dari kelompok 1
Q =1-p
Contoh
Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala
interval)
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Tabel Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2)
No Klp Pria
Xp
Klp Wanita
Xw 119831119849120784 119831119856120784
1 86 85 7396 7225
2 84 81 7056 6561
3 78 75 6084 5625
4 72 68 5184 4624
5 69 66 4761 4356
6 67 65 4489 4225
7 66 60 4356 3600
8 65 60 4225 3600
9 64 60 4096 3600
10 62 56 3844 3136
11 60 54 3600 2916
12 58 50 3364 2500
Jumlah 831 78 58455 51968
Mean 6925 650 - -
P 050 050 - -
sumx = sumxp + sumxw = (831 + 78) = 1611
sum1199092= sum1199091199012 + sum1199091199082 = (58455 + 51968) = 110423
SDtot = radicsum1199092
119873minus (
sumx
119873)
2
= radic110423
24minus (
1611
24)
2
= radic4601 minus 4505 = 098
119875 =119899119901
119873=
12
24= 050 pq = (05) (05) = 025
rp-bis = 1198721minus1198722
119878119905radic119901 119902 =
692minus650
098radic025 = 0217
Korelasi serial
Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang
satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval Gejala ordinal
adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya tanpa mengukur jarak antara
titik yang satu dengan titik yang berikutnya Misalnya kemampuan ekonomi (kaya menengah
miskin) Kerajinan (rajin sedang malas) dan sebagainya
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Rumus 119903119904119890119903 =sum(119900119903minus119900119905)119872
119878119863119905119900119905sum(119900119903minus119900119905)2
119901
Dalam hal ini
or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal
ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal
M = Mean (pada masing-masing kelompok)
119878119863119905119900119905 = Standar seviasi total
Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara
keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu
Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan
validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala
pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval)
Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang
diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut
korelasi bi-serial atau r-bis
Contoh
Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan
AKTIF SEDANG PASIF
80 65 60
85 68 56
78 62 54
72 75 52
84 63 50
65 60
64
62
60
70
60
61
Jumlah skor 464 77 272 -
Jumlah Individu 6 12 5 23
Proporsi 0261 0522 0217 100
Mean 773 642 544 -
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif) dan yang
memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal
(menggunakan dua buah tabel yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana
1986)
Untuk P= 0261 q= 1 ndash p = 0739 |119901minus119902|
2=
0478
2= 0239
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0239 rarr diperoleh harga Z = 064 (2389)
Lihat tabel E untuk Z = 064 rarr ordinat o = 03251 atau Y
Untuk P=0261 + 0522 = 0783 q = 1- p = 0217
|119901 minus 119902|
2=
0566
2= 0283
Lihat tabel F untuk daerah seluas 0283rarr2823 rarrZ = 078 diperoleh Z =078 rarr(untuk
02823)
Lihat tabel E untuk Z = 078 rarr ordinat o = 02943 (Y)
Untuk P=100 q = 000 frac12 |119901 minus 119902|= 050 rarr ordinat o (daftar F)
Untuk daerah seluas 0500 rarr Z = 399 rarr ordinat = 00 atau 00001
Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0 berarti ordinatnya juga = 0
119878119863119905119900119905dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh
119878119863119905119900119905=0948
Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut
TABEL PERHITUNGAN
Golongan N P Ordinat o Or-ot (119926119955 minus 119926119957)120784
119927
(Or-Ot)
M
Aktif 6 0261 0 +03251 04049 +2513
Sedang 12 0522 03251 -0031 000184 -0199
Pasif 5 0217 02941 -02941 03986 -1600
Total 23 100 - - 080534 +0714
119903119904119890119903 =+0714
(0948)(080534)=
0714
07635= 0935
INTRERPRETASI HARGA r
Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford
(1956) sebagai berikut
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Koefisien korelasi r Interpretasi
080 ndash 100 Sangat tinggi
060 ndash 080 Tinggi
040 ndash 060 Cukup
020 ndash 040 Rendah
000 ndash 020 Sangat rendah
Disamping itu untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat
dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r)
Dalam hal ini ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5 (yang biasa
digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya
responden Contoh pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0745
Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5 dan N=10 adalah r tab=0632 Berarti
harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0745gt rtab= 0632 Hal ini menunjukkan bahwa
korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan) Jika r hitung ternyata ltr tabel maka
dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan) Jadi
meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti
KORELASI RANK ORDER
Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran
yang berjenjang (data ordinal) maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari
person Untuk itu digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank
Correlation) Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah
119903119904 = (119903ℎ0)= 1- 6Σ1198631198942
119873 (1198732minus1)
Dalam hal ini
119903119904 = Koefisien korelasi spearman
Σ1198631198942 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi
N = Banyaknya subjek (kasus)
Dalam hal ini ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y yang
berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi Karena itulah termasuk dalam
statistika bebas distribusi
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Contoh Penilaian 2 orang juri
Peserta Juri I Juri II
A 70 80
B 85 75
C 65 55
D 50 60
E 90 85
F 80 70
G 75 90
H 60 65
Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri
terhadap delapan orang peserta perlombaan Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan akan
Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E rangking 2 untuk B dan seterusnya
Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G rangking 2 untuk E dan seterusnya
Dalam hal ini kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua
orang juri terhadap masing-masing peserta Untuk masalah ini kita hanya berkepentingan
dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta
Oleh karena itu perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau
korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II Untuk itu maka digunakan rumus
korelasi rank yang diberikan oleh spearman yang perhitungannya sebagai berikut
Perhitungan
Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) 119915119946120784
A 5 3 2 4
B 2 4 -2 4
C 6 8 -2 4
D 8 7 1 1
E 1 2 -1 1
F 3 5 -2 4
G 4 1 3 9
H 7 6 1 1
Jumlah - - - 28
Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(28)
8 (82minus1)= 119903119904 = 119903ℎ0 = 120782 120788120788120789
Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama
Dalam hal ini maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Contoh perhitungan
Peserta Xi Yi Rank
Juri I
Rank Juri
II Beda (Di) 119915119946120784
1 96 150 1 1 0 0
2 82 95 65 6 05 025
3 63 75 9 95 -05 025
4 57 75 10 95 05 025
5 82 110 65 3 35 1225
6 90 100 3 45 -15 225
7 90 140 3 2 1 1
8 74 83 8 8 0 0
9 87 100 5 45 05 025
10 90 92 3 7 -4 16
Jumlah - - - - - 3250
Dengan Σ1198631198942 = 3250 dan N=10 maka diperoleh
119903119904 = 119903ℎ0 = 1- 6(3250)
10 (102minus1)= 120782 120790120782120785
UJI SIGNIFIKANSI r
Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat
dilakukan sebagai berikut
1 Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956)
2 Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan
(α=005) atau α=001 dan db=N-2
3 Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh yakni
dengan rumus sebagai berikut
a) 119905 = 119903radic119873minus2
radic1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Product Moment
b) 119905 = 119903119904 radic119873minus2
1minus1199032 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Spearman
c) 119905 = 119903119901 minus 119887119894119904radic119873minus2
1minus119903119901minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi Point Biserial
d) 119905 = 119903 minus 119887119894119904 radic119873minus2
1minus119903minus1198871198941199042 helliphelliphelliphellipuntuk korelasi sesial
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan
taraf signifikansi tertentu (missal α=005 atau α=001) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2
Bila t hit gt t tabel rarr maka tolak H0 dan berarti menerima Ha Sedangkan bila thit lt t
tabel maka tidak menolak H0 yang berarti menolak Ha
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
ANALISIS REGRESI GANDA
Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk hellip (1)
Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1 X2 hellip Xk (k ge 2)
Konstanta a b1 b2 hellip bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1 X2 hellip Xk
dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan)
Contoh
Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor
tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2)
Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 hellip (2)
Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut
sumY = na + b1sumX1 + b2sumX2
sumX1Y = a sumX1 + b1 sumX12 + b2 sumX1X2 hellip(3)
sumX2Y = a sumX2 + b1 sumX1X2 + b2 sumX22
Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut
Tabel data untuk regresi Ŷ = a + b1X1 + b2X2
No X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X12 X2
2 Y2
1
2
3
30
70
71
72
98
41
43
46
60
10
11
12
25
2870
3053
5880
700
481
2450
410
473
1500
4900
5041
9604
1681
1849
3600
100
121
625
sum 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Bedasarkan tabel perhitungan di atas diperoleh harga ndash harga sebagai berikut
sumX1 = 2473
sumX2 = 1433
sumY = 494
sumX1X2 = 118758
sumX1Y = 41430
sumX2Y = 23989
Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30 maka akan diperoleh
sistem persamaan sebagai berikut
494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 hellip(4)
41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 hellip(5)
23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 hellip (6)
Untuk mendapatkan harga a b1 dan b2 dari sistem persamaan di atas mak perlu kita
selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a
yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30
kemudian dikurangkan sehingga diperoleh
1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2
1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 ndash
-12238 = - 47021b1 - 18930b2 hellip(7)
Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30 kemudian
dikurangkan sehingga diperoleh
707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2
719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 -
-11768 = - 18931b1 - 19540b2 hellip(8)
Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan
persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021) lalu dikurangkan
sehingga diperoleh
402056578 = 890154551b1 + 358382760b2
553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 -
-151286550 = -560454600b2
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Maka b2 = 02699 ~ 0270
Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 02699 maka akan diperoleh
-11768 = -18931b1 - (19541)(02699) ⟹ b1 = 0343
Dan akhirnya dari persamaan (4) setelah dimasukkan harga b1 = 0343 dan harga b2 = 02699
maka diperoleh
494 = 30a + 2473(0343) + 1433(02699)
Maka diperoleh a = -247002 ~ a = - 2470
Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270 X2
Dalam perhitungan koefisien-koefisien a b1 dan b2 di atas ternyata tidak sederhana karena
harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus Demikian pula jika regresi kita melibatkan
tiga prediktor X1 X2 dan X3 maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan
empat arus Dan begitu seterusnya makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin
banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan
Kesulitan ndash kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian
yang lebih praktis diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks dengan bantuan
program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar
X dan Y dalam skor deviasi (x y)
Dengan skor kasar penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu
tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya
melibatkan dua bilangan anu Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan
dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan yaitu
dan
Dengan skor deviasi ini maka persamaan garis regresinya menjadi
Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1 b2 dan rerata
dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
hellip(10)
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Sebelum menghitung koefisien a b1 dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargandash
harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut
Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut
Berdasarkan tabel perhitungan di muka diperoleh
= 8243 = 4777 dan = 1647
Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh
hellip (11)
hellip(12)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh
a = - b1 - b2 = 1647 ndash (0343)(8243) ndash (0270)(4777)
a = - 2470
sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA
Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan maka
terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah
regresinya
Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah
regresinya saja sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing ndash masing
prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam
regresi linier sederhana
Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu
untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum
dapat dihitung menggunakan rumus
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
JK reg = b1sumx1y + b2sumx2y + hellip + bksumxky hellip (13)
JK res = sum(Y-Ŷ)2 hellip (14)
Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus
JK res = JK tot ndash JK reg ⟹ JK res = sumy2 ndash JK reg hellip (15)
sumy2 merupakan jumlah kuadrat total yang besarnya
Masing ndashmasing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing ndash masing
adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res sehingga harga F dapat dihitung dengan
rumus
Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber variasi Dk JK RJK F
Regresi
Residu
k
n ndash k ndash 1
JK reg
JK tot ndash JK reg
JK reg k
JK res (n ndash k ndash 1)
RJK reg
RJK res
Total N ndash 1 sumy2 - -
Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k
ndash 1) Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis
(Ho) bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa
koefisien regresi berarti
Kriteria
Tolak Ho jika Fh ge F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dengan menggunakan rumus ndash rumus di atas maka marilah kita periksa apakah garis reresi
yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak
Dengan mendasarkan pada hasil ndash hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas maka
diperoleh
JK tot = sumy2 = 40347
hellip (16)
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh
Jk reg = b1 (sumx1y) + b2 (sumx2y)
= (0343) (70793) + (0270) (39327) ⟹JK reg = 34873
JK res = JK tot ndash JK reg = 40347 ndash 34873 ⟹ JK res = 5474
Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30 maka
Atau jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh
Sumber Variasi dk JK RJK F
Regresi
Residu
2
27
34873
5474
174365
2027
8600
-
Total 29 40347 - -
Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2
dan dk penyebut = n ndash k ndash 1 = 27 atau
F hit gtgtgt F (1 ndash α) (k n ndash k ndash 1 ) ⟹ Ho ditolak
Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi
Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan
sangat berarti) sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan
pertautan antara Y denan X1 dan X2
Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama ndash sama) tersebut adalah
berarti namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0343 dan
0270 Atau dengan kata lain meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2
secara bersama ndash sama adalah mempunyai sumbangan kontribusi yang sangat berarti di
dalam memprediksikan kriterium Y tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah
di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar
peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri ndash sendiri terhadap fenomena kriterium Y
Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi
dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
PERHITUNGAN R GANDA DAN R2
Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1 X2 hellip Xk secara
serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol
Ry12 hellip k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh
persamaan garis regresi Ŷ = - 2470 + 0343X1 + 0270X2
Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga
JK reg = 34873 dan JK tot = sumy2 = 40347 maka R2 dapat dihitung
Sehingga
Ry12 = R = radicR2 = 093
Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 864 variasi prestasi kerja karyawan (Y)
akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes
ketrampilannya secara bersama ndash sama
UJI STATISTIK TERHADAP R2
Secara praktis (meaningfulness practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi
kriterium fenomena yan dapat diprediksikan dijelaskan oleh k ubahan predictor secara
bersama ndash sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen) Akan tetapi
harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane)
untukmengetahui apakah harga ndash harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak
Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya
sebagai berikut
k menyatakan jumlah ubahan predictor dan n = ukuran sampel
hellip(17)
hellip (18)
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n ndash k ndash 1) Adapun hipotesisnya
dapat dinyatakan bahwa sumbangan peranan ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium
secara bersama ndash sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan
sumbanagn ubahan ndash ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama ndash sama tidak
berarti
Atau Ho P op R2y 123 hellip k = 0
Ha P op R2y 123 hellip k ne 0
Criteria tolak Ho jika F hit ge F (1 ndash α)(kn ndash k ndash 1 )
Dalam hal lainnya Ho diterima
Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0864 denan k =2 dan n = 30 maka
berdasarkan persamaan (18) diperoleh
Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta α = 005 diperoleh
harga F 095227 = 335
Ternyata bahwa F hit gtgtgt F tabel ⟹ Ho ditolak
Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama ndash sama
terhadap Y tidak berarti ditolak Kesimpulannya bahwa sumbangan X1 dan X2 secara
bersama ndash sama terhadap Y adalah berarti secara statistik Hal ini menunjukkan bahwa
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap kriterium Y yakni
sebesar 864 secara statistik adalah juga berarti
UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI
Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2 dan ternyata
bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium
Y adalah berarti Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0343
(predictor X1) dan 0270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti
terhadap kriterium Y untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing ndash masing koefisien
regresi tersebut
Namun demikian sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu
dilihat ketepatan ramalan dari masing ndash masing koefisien regresi tersebut yaitu dengan cara
melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1 X2 hellip Xk yang diberi simbol sy12hellipk
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
(untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau σy12hellipk) yang dapat
dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut
Makin kecil harga sy12hellipk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1 X2hellipXk yang dibuat
melalui garis regresi
Ŷ = a + b1X1 + b2X2 + hellip + bkXk
Dari contoh di muka diperoleh persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2
dengan n = 30 dan dk res = 5474 maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai
berikut
Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 ⟹sy12 = 142 Deangan adana
simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy12hellipk ini kita akan dapat menghitung simpangan
baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi
Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan
menggunakan rumus
Di mana
adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau
jumlah varians
dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi
dengan ubahan bebas sisanya Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan
X1 X2hellipXi-1 Xi+1hellipXk
Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas
sisanya dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya adalah linier
Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan
ubahan bebas prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien
regresi berarti atau
hellip(19)
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Ho Pop bi = 0 dan Ha Pop bi ne0
Digunkan statistik uji - t dengan rumus
Criteria Tolak Ho jika l t l gt t(1-α2)n ndash k ndash 1
Dalam hal lainnya Ho diterima
Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 +
0270X2 Dalam hal ini akan diuji apakah koefisien regresi 0343 dan 0270 tersebut berarti
ataukah tidak Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan
b2 dengan menghitung harga s2y12 terlebih dahului sebgai berikut
Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut
Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh
sumx12 = 156737 sumx2
2 = 65137 dan sumy2 = 40347
Ri ada dua yaitu R1 dan R2 R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1
dengan X2 Dalam hal ini R12 = R21 = r karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang
dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment
Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh r12 = r21 = r sehingga
Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti
melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus
(21) sebagai berikut
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Harga t hit ini gt t 097527 =208 ⟹ Ho ditolak
Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti
t hit gt t tabel ⟹Ho ditolak
Kesimpulan
Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti
Dengan demikian secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis
(X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri ndash sendiri maupun secara
bersama ndash sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y)
dengan persamaan garis regresi Ŷ = -2470 + 0343X1 + 0270X2 Adapun besarnya
sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama ndash sama terhadap Y secara praktis adalah
sebesar 864 yang ternate secara statistic juga significant
Adapun besarnya prosentase peranan dari masing ndash masing prediktur terhadap kriterium Y
akan dibahas kemudian
Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b seperti yang telah disajikan
berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses
perhitungan yang panjang terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih
Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda
tersendiri untuk setiap Xi (bi) Untuk itu diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan
menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen ndash elemennya terdiri dari koefisien
korelasi sederhana antara Xi dan Xj
Jika koefisien ndash kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij yang
dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson dan matriks korelasi
tersebut dilambangkan dengan Ŗ maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1 X2hellip Xk
diperoleh matriks korelasi sebagai berikut
1 r12 hellip r1k
r21 1 hellip r2k
r31 r32 hellip r3k
Ŗ = hellip
hellip
hellip (22)
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
hellip
rk1 rk2 hellip 1
dalam hal ini r11 = r22 = r33 = hellip = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan
bawah) dan rij = rji (i ne j) matriks Ŗ ini bentuknya simetris Matriks Ŗ ini mempunai matriks
kebalikan atau invers Jika matriks invers ini dilambankan dengan Ŗ-1 dengan elemen ndash
elemen rij maka matriks kebalikan akan bebentuk
r11 r12 r13 hellip r1k
r21 r22 r23 hellip r2k
r31 r32 r33 hellip r3k
Ŗ-1 = hellip
hellip
hellip
rk1 rk2 rk3 hellip rkk
matriks kebalikan Ŗ-1 ini dapat dihitun dari matriks Ŗ baik dengan aturan matematika maupun
program computer Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen ndash elemen pada
diagonal utamanya saja ialah elemen ndash elemen eii atau elemen r11 r22 r33 hellip rkk
Berdasarkan rii ini maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan
ubahan bebas sisanya akan dapat dihitung melalui rumus
Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat
dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka Adapun contoh
perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan
matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang elibatkan tiga predictor
hellip(23)
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
ANAVA DUA JALUR
Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf
level sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang
masing-masing mempunyai beberapa taraflevel Dalam banyak situasi dapat saja
dihadapkan pada dua set perlakuan ini Misal di dunia pemasaran guna meningkatkan
jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu modeljenis
pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2) Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3
level (jenis) yaitu jenis A B dan C sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2
level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan
Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko Dengan demikian karena ada 6
kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10
toko Dari 10 toko pertama diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan 10 toko
kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya sehingga semua sel
terpenuhi Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut
Jenis pengepakan
A B C
Tanpa pengiklanan 11 11 11
Dengan pengiklanan 21 22 23
Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut
1 Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan
2 Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan
3 Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis
pengepakan
Dalam Anava dua jalur (faktor) ini kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect)
dari faktor eksperimenperlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi
Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes yakni
Xijk Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel sedangkan indeks yang ketiga
menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut Jadi (X23) dengan nomor urut data
pengamatan 1 Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
FAKTOR I
1 2 3
FAKTOR II
1 x111
x112
x113
x11n
x121
x122
x123
x12n
x131
x132
x133
x13n
100
2 x211
x212
x213
x21n
x221
x222
x223
x22n
x231
x232
x233
x23n
200
010 020 030
Jadi Xijk (Faktor I i = 12 hellip R Faktor II j = 12 hellip c dan jumlah observasi dalam
tiap sel k = 1 2 hellip k)
PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR
Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan
dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF dan dalam
hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II) Dalam
Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku
1198692
119873 119886119905119886119906
(sum sum 119909119894119895)2
sum 119899119895frasl
Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah
[sum sum sum 119909119894119895119896119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 ]
2
sum sum 119899119896119888119895=1
119877119894=1
119886119905119886119906 sum 119909119894119895119896
2
119873hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (1)
Dengan demikian maka
(1) 119869119896119905119900119905119886119897 = sum sum sum (119909119894119895119896 minus )2119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1 = sum sum sum 119909119894119895119896
2 minus 119862119865119899119896=1
119888119895=1
119877119894=1 hellip hellip (2)
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
(2) JKantar perlakuan
a) Faktor I kolom
119869119870119888 = sum 119899119877(119909119888 minus )2
119888
119895=1
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865 hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip hellip (3)
b) Factor II Baris (Row)
119869119870119877 = sum 119899119888(119909119877 minus )2
119877
119894=1
Dengan demikian
1) Faktor koreksi
119862119865 =(sum 119909119894119895119896)
2
119873=
(1904)2
60= 6042027
2) 119869119870119905119900119905119886119897 = sum sum sum 1199091198941198951198962 minus 119862119865119899
119896=1119888119895=1
119877119894=1
119869119870119905119900119905119886119897 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688) minus 6042027
119869119870119905119900119905119886119897 = 66872 minus 6042027 = 646927
3) JK antar perlakuan
a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom)
119869119870119888 =(sum 119909010)2
119899010+
(sum 119909020)2
119899020+
(sum 119909030)2
119899030minus 119862119865
119869119870119888 =(832)2
20+
(680)2
20+
(392)2
20minus 6042027 rArr 119869119870119888 = 499413
b) JK antar pengiklanan (antar baris)
119869119870119877 =(sum 119909100)2
119899100+
(sum씜200)2
119899200minus 119862119865
119869119870119877 =(944)2
30+
(960)2
30minus 6042027 rArr 119869119870119877 = 426
4) JK dalam kelompok (error)
119869119870119863 = sum 119909112 + sum 11990912
2 + ⋯ + sum 119909232 minus [
(sum 11990911)2
11989911+
(sum 11990912)2
11989912+ ⋯ +
(sum 11990923)2
11989923]
119869119870119863 = (21624 + 9230 + 3280 + 13652 + 14398 + 4688)
minus [(464)2
10+
(302)2
10+
(178)2
10+
(368)2
10+
(378)2
10+
(214)2
10]
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
119869119870119863 = 66872 minus 662288 = 64320
5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
119869119870119877119862 = 119869119870119905119900119905 minus 119869119870119877 minus 119869119870119888 minus 119869119870119863
= 646473 minus (426 + 499413 + 64320) rArr 119869119870119877119862 = 82314
6) Derajat kebebasan (dk)
dk antar jenis pengepakan (kolom) dkc = c ndash 1 = 3 ndash 1 = 2
dk antar pengiklanan (baris) dkR = R ndash 1 = 2 ndash 1 = 1
dk interaksi dkRc = (R ndash 1)(c ndash 1) = (2 ndash 1)(3 ndash 1) = 2
dk dalam kelompok error dkD = Rc (n ndash 1) = 2 x 3 x (10 ndash 1) = 54
dk Total = dkTot = nRc ndash 1 = (10 x 2 x 3) ndash 1 = 59
Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam
tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut
Sumber variasi dk JK RJK F
Antar
Kolom (pengepakan)
Baris (pengiklanan)
Interaksi RC
Dalam Error
2
1
2
54
499413
426
82314
64320
2497065
426
41157
11911
209642
0358
34553
Total 59 646973 - -
Harga-harga Fhitung
(1) F antar kolom (pengepakan) Fhit = 209642
Harga Ftabel pada =005 F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan
(2) F antar baris (pengiklanan) Fhit =0358
Harga Ftabel pada =005 F 095 (154) = 402
Fhit lt Ftabel
Kesimpulan bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap jumlah penjualan
(3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
Fhit =34553 sedangkan Ftabel = F095 (254) = 317
Fhit gt F tabel
Kesimpulan bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan
Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk
jenis pengepakan tertentu yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan
Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya
jika dilakukan pengiklanan maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai
berikut
119860 ∶ 11 =sum 11990911
11989911=
464
10= 464 21 =
sum 11990921
11989921=
368
10= 368
119861 ∶ 12 =sum 11990912
11989912=
302
10= 302 22 =
sum 11990922
11989922=
378
10= 378
119862 ∶ 13 =sum 11990913
11989913=
178
10= 178 23 =
sum 11990923
11989923=
214
10= 214
Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut
Jenis Pengepakan
A B C
Pengiklanan 11 = 464 13 = 302 13 = 178
Tanpa pengiklanan 21 = 368 22 = 378 23 = 214
Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis
pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan) Jika semua harga Fhitung baik
antar kolom (jenis pengepakan) antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah
signifikan maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan F i iii i
Atau dengan kata lain kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari
kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect) Selanjutnya untuk harga-
harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
1
Contoh Anava
Terdapat 4 waktu (pagi siang sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran
berhitung kepada anak-anak Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu
pengajaran) terhadap hasil pengajaran Kecuali waktu pengajaran faktor-faktor lain yang
diduga akan mempengaruhi hasil belajar seperti cara mengajar situasi kelas dan lain-
lain dibuat sama (dikontrol)
Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan Secara acak diambil 5 anak
untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran) Setelah percobaan selesai selanjutnya
diadakan ujian dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut
Waktu pengajaran Jumlah
Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4)
Hasil
ujian
56
55
50
61
64
60
59
62
55
56
43
39
45
46
45
41
43
45
39
42
xj 286 292 218 210 xij = 1006
nj 5 5 5 5 nj = N = 20
1198952 16478 17086 9536 8840 xij
2 = 51940
119895 572 584 436 420 = 503
Perhitungan jumlah kuadrat
119869119870119879119900119905 = sum 1199091198941198952 minus
(sum 119909119894119895)2
119873= 51940 minus
(1006)2
20= 13882
119869119870119886119899119905119886119903 =(sum 1199091)2
1198991+
(sum 1199092)2
1198992+ ⋯ +
(sum 119909119896)2
119899119896minus [
(sum 1199091 + sum 1199092 + ⋯ + sum 119909119896)2
119873]
119869119870119860 =(286)2
5+
(292)2
5+
(218)2
5+
(210)2
5minus [
(1006)2
20] rArr 119869119870119860 = 1135
JKdalam = JKD = JKtot ndash JKA = 13882 ndash 1135 JKD = 2532
Dengan k = 4 dan N = 20 maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam
tabel rangkuman Anava sebagai berikut
Tabel Rangkuman Hasil Anava
Sumber Variasi dk JK RJK F
Antar kelompok
Dalam kelompok
3
16
1135
2532
37833
15825
23907
Total 19 13882 - -
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
2
Sehingga diperoleh harga
119865ℎ119894119905119906119899119892 =119877119869119870119860
119877119869119870119863=
37833
15825= 23907
Dari daftar distribusi F dengan = 005 dk pembilang υ1 = k ndash 1 = 3 dan dk penyebut
υ2 = N ndash k = 20 ndash 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-) (υ1 υ2) = F005 (316) = 324
Ternyata bahwa Fhit gt Ftabel Ho ditolak
Kesimpulan bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan
mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd hasil pembelajaran)
UJI LANJUT ANAVA
Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau
uji rata-rata sesudah Anava Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
I KONTRAS ORTOGONAL
Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah
direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons) maka dilakukan dengan
metode kontras orthogonal Dalam hal ini jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar
kelompok yaitu k - 1
Langkah
1 Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen
dilakukan (A priori comparisons)
Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan
119895 119895 = 1 2 hellip 119896 didefiniskan sebagai
ci = ci1 + ci2 + hellip + cik
dengan syarat ci1 + ci2 + hellip + cik = 0 atau cij = 0
Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1
2 Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata) yaitu
Ha ci ne 0 melawan Ho ci = 0
3 Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal jika
119888119901 = 1198881199011 ∙ 1 + 1198881199012 ∙ 2 + ⋯ + 119888119901119896 ∙ 119896
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
3
Dengan syarat
1) Jumlah kontras sum 119888119894119895 = 0
2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras jika sum 119888119901119895 ∙ 119888119902119895 = 0119896119895=1
4 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras
5 Menghitung nilai F (ci) dengan rumus
6 Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel yaitu Fα (1 N - k)
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel dan dalam hal lainnya Ho diterima
7 Kesimpulan jika Ho ditolak maka terdapat perbedaan antar rerata yang
dikontraskan
Contoh
Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran) yaitu pagi siang sore dan malam
Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 ndash 1 = 3 Karenanya kita hanya dapat
membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah misalnya sebagai berikut
c1 = x1 - x4
c2 = x2 ndash x3
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4
c1 c2 dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci
(i = 1 2 3) masing-masing sama dengan nol Kontras c1 membandingkan antara rerata
kelompok (perlakuan) I dan IV kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok
(perlakuan) II dan III dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I
dan IV dengan rerata perlakuan II dan III
Dan untuk melihat apakah c1 c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka
perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut
Mean (Rerata)
1 2 3 4
1198881
1198882
1198883
+1
0
+1
0
+1
-1
0
-1
-1
-1
0
+1
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
4
Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1)
+(-1)(0) = 0 sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena cij = 0)
Demikian pula c1 dan c3 serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal Dengan
demikian c1 c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal
Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (3)
nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan
Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras
yang besarnya satu Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam
(error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = (nj-1)=N-k sehingga diperoleh
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (4)
Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut
Ho ci = 0
Kriteria tolak Ho ci = 0 jika F(ci) gt Ftabel atau F(1 N-k) dan dalam hal lainnya Ho
diterima
Contoh Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji
perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan) Dalam hal ini dk
antar perlakuan (kelompok) = 3 sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut
c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1
c2 = x2 ndash x3 c22 = +1 dan x23 = -1
c3 = x1 ndash x2 ndash x3 + x4 c31 = +1 c32 = -1 c33 = -1 c34 = +1
Selanjutnya rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut
(1) Ho1 c1 = 0 Ho1 1 = 4 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
pagi dan malam
(2) Ho2 c2 = 0 Ho2 2 = 3 yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran
siang dengan sore
(3) Ho3 c3 = 0 Ho3 1 + 4 = 2 + 3 yakni membandingkan antara rata-rata efek
waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
5
Dari perhitungan Anava di atas diperoleh 1 = 572 2 = 584 3 = 436
4 = 42 Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuankelompok) maka dengan
menggunakan rumus (3) diperoleh
119869119870(1198881) =(1 minus 4)2
11198991
frasl ∙ 119888112 + 1
1198994frasl ∙ 11988814
2=
(572 minus 420)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5776
119869119870(1198882) =(2 minus 3)2
11198992
frasl ∙ 119888222 + 1
1198993frasl ∙ 11988823
2=
(584 minus 436)2
15(+1)2 + 15(minus1)2= 5476
119869119870(1198883) =1 minus 2 minus 3 + 42
11198991
frasl ∙ 119888312 + 1
1198993frasl ∙ 11988832
2 + 11198993
frasl ∙ 119888332 + 1
1198994frasl ∙ 11988834
2
119869119870(1198883) =[572 minus 584 minus 436 minus 420]2
15(+1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(+1)2= 980
Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15825 dengan
dk dalam = 16 maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut
119865(1198881) =119877119869119870(1198881)
119877119869119870119863=
౸119870(1198881)1
119869119870119863119873 minus 119896=
57761
253216= 36499
119865(1198882) =119877119869119870(1198882)
119877119869119870119863=
119869119870(1198882)1
119869119870119863119873 minus 119896=
54761
253216= 34603
119865(1198883) =119877119869119870(1198883)
119877119869119870119863=
119869119870(1198883)1
119869119870119863119873 minus 119896=
981
253216= 0619
Dengan = 005 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F()( υ1 υ2) =
F005(116) = 449 oleh karenanya
F(c1) = 36499 gt Ftabel Ho1 1 = 4 ditolak
F(c2) = 34603 gt Ftabel Ho2 2 = 3 ditolak
F(c3) = 0619 lt Ftabel Ho3 1 + 4 = 2 + 3 diterima
Kesimpulan terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi
dan malam serta antara siang dan sore Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan
malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang
berarti
II PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA
Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak
direncanakan sebelum eksperimen dilakukan maka dilakukan dengan metode yang
khusus diantaranya adalah (1) Uji Rentang Newman Keuls dan (2) Uji Scheffe
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
6
A Uji Rentang Newman-Keuls
Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara
dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli) Dalam hal ini
pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k2 (k-1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut
1 Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari
rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar
2 Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam error beserta
dk-nya
3 Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan
rumus sebagai berikut
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
4 Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana 1989) untuk tertentu
Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk υ = dk dalam kelompok (error) dan
untuk p = 2 3 hellip k harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan υ dan p
tertentu adalah sebanyak (k ndash 1) buah
5 Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk
setiap pasangan υ dan p tersebut dengan 119904119895-nya masing-masing sehingga
diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST)
6 Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST
a Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
b Selisih rerata terbesar ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k ndash 1
c Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil dengan RST untuk p = k ndash 1
d Selisih rerata terbesar kedua ndash rerata terkecil kedua dengan RST untuk p =
k ndash 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 12k (k ndash 1) buah pasangan
rerata yang dibandingkan
Kriteria Jika selisihperbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar
daripada harga RST-nya masing-masing maka dapat disimpulkan bahwa terdapat
perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang
dibandingkan tersebut
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
7
Contoh
Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu
pagi siang sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas
Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda yakni
sebagai berikut
1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar
Rerata 420 436 572 584
Perlakuan 4 3 1 2
2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15825
dengan dk = 16
3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5)
sebagai berikut
119904119895 = radic119877119869119870119863
119899119895
Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama yaitu n = 5
maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama yaitu
119904119895 = radic15825
5= 1779
1199041 = 1199042 = 1199043 = 1199044
4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E Sudjana 1989) dengan υ =16 dan
= 005 diperoleh harga-harga sebagai berikut
p = 2 3 4
Rentang = 300 365 405
5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan 119904119895 = 1779
maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut
p = 2 RST = 300 times 1779 = 5337 (untuk p = k ndash 2)
p = 3 RST = 365 times 1779 = 6493 (untuk p = k ndash 1)
p = 4 RST = 405 times 1779 = 7205 (untuk p = k)
6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan
dengan harga RST masing-masing
a Rerata terbesar ndash terkecil 2 lawan 4 =gt Ho1 2 = 4 = (584 ndash 420) = 164 gt
7205 Ho1 ditolak
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
8
b Rerata terbesar ndash terkecil kedua 2 lawan 3 =gt Ho2 2 = 3 = (584 ndash 436) =
148 gt 6493 Ho2 ditolak
c Rerata terbesar ndash terkecil ketiga 2 lawan 1 =gt Ho3 2 = 1 = (584 ndash 572) =
12 lt 5337 Ho3 diterima
d Rerata terbesar kedua ndash terkecil 1 lawan 4 =gt Ho4 1 = 4 = (572 ndash 420) =
152 gt 6493 Ho4 ditolak
e Rerata terbesar kedua ndash terkecil kedua 1 lawan 4 =gt Ho5 1 = 3 selisih =
(572 ndash 436) = 136 gt 5337 Ho5 ditolak
f Rerata terbesar ketiga ndash terkecil 3 lawan 4 =gt Ho6 3 = 4 = selisih (436
ndash 420) = 16 gt 5337 Ho1 ditolak
Dari sebanyak frac12k (k ndash 1) = frac12 4 (4 ndash 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan
yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang
dilakukan pada waktu siang dan malam siang dan sore pagi dan malam serta pagi
dan sore Sementara itu perbandingan rerata yang lain yaitu pagi dan siang serta sore
dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti
B UJI SCHEFFE
Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari
beberapa perlakuan
Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah
sebagai berikut
1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya
2) Dengan tertentu dk pembilang υ1 = k -1 dan dk penyebut υ2 = N ndash k dicari
harga Ftabel yaitu F(1 - ) (υ1 υ2)
3) Hitung besaran A yakni 119860 = radic(119896 minus 1)119865 dimana harga F yang dimaksud adalah
harga Ftabel atau F(1 - )(k ndash 1)(N ndash k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di
atas
4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan
rumus
helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (5)
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
9
5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci)
Kriteria tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan
nol atau Ho ci = 0 jika |ci| gt A x s(ci) dan dalam hal lainnya Ho diterima
Contoh misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka kita bermaksud
membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua serta membandingkan efek perlakuan
kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya Maka kontrasnya dapat
dituliskan sebagai berikut
1198881 = 1 minus 2
1198882 = 31 minus 2 minus 3 minus 4
Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena cij ne 0)
Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji
Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka diperoleh 1 = 572 2 = 584
3 = 436 dan 4 = 420 maka
1198881 = (+1)(572) + (minus1)(584) = minus12
1198882 = (+3)(572) + (minus1)(584) + (minus1)(436) + (minus1)(420) = 276
2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh v1 = 4 ndash 1 = 3 dan v2 = N ndash k =
20 ndash 4 = 16 RJK dalam = 15825
Dengan = 005 maka diperoleh harga F095 (316) = 324
3) Maka harga 119860 = radic(119896 minus 1)119865119905119886119887 = radic(4 minus 1)(324) = 312
4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah
119904(1198881) = radic119877119869119870119863 times sum 1119899119895frasl ∙ 1198881198941198952 = radic15825 times 15(+1)2 + 15(minus1)2
119904(1198881) = radic15825 times 25 = 2516
119904(1198882) = radic119877119869119870119863 times 15(3)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2 + 15(minus1)2
119904(1198882) = radic15825 times (95 + 15 + 15 + 15)
119904(1198882) = radic15825 times 125 = 6163
5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 312 x (2516) = 785
Maka |c1| lt A x s(c1) |-12| lt 785 sehingga Ho1 1 = 2 diterima (gagal
ditolak)
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda
secara berarti Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls
Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 312 x (6163) = 19229
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
10
Maka harga c2 gt A x s(c2) = 276 gt 19229
Ho2 31 = 2 + 3 + 4 ditolak
Kesimpulan bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti
dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
TUGAS I STATISTIKA
1 Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut
No Rentang Skor Frekuensi
1 61 ndash 65 4
2 66 ndash 70 9
3 71 ndash 75 11
4 76 ndash 80 2
5 81 ndash 85 4
6 86 ndash 90 7
7 91 ndash 95 3
Jumlah 40
a Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram
b Hitung nilai rata-rata median dan modus dari data tersebut
c Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya
d Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi
data tersebut
2 Diberikan data dari 4 sub sampel berikut
Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D
48
33
42
53
51
40
45
31
28
48
69
27
57
53
78
42
40
37
58
54
48
60
72
52
68
30
48
73
67
55
82
56
51
60
a Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut
b Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan
SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013
1 Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel
sebanyak 36 orang guru Dalam penelitian ini akan diuji hipotesis penelitian
yang menyatakan bahwa ldquonilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai
korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyardquo Melalui analisis data
ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0286 Dengan α = 005
bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut
2 Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK
dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP Dalam penelitian ini akan diuji
hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa ldquoprestasi belajar siswa SMP
mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke
SMKrdquo Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar ndash 0324 Jika α
= 005 simpulkan hasil penelitian tersebut
3 Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan yang
diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2)
Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yrsquo = 2357
+ 0586 X1 + 0658 X2 Disamping itu juga diperoleh data sebagai berikut
ΣX1 = 1192 ΣX12 = 69052 ΣX1X2 = 72872
ΣX2 = 1736 ΣX22 = 121568 ΣX1Y = 116514
ΣY = 2548 ΣY2 = 264480 ΣX2Y = 163627
Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa ldquokepuasan dan etos kerja
karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama
mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyardquo
Pertanyaan
a Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis
b Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
c Dengan α = 005 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja
(X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai
kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y)
d Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan
prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y
Selamat Mengerjakan