Practica de laboratorio n 01 fisica ii 2014

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II FUERZAS DE FRICCIÓN EN FLUIDOS Optaciano Vásquez G. 2015

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UNI VERS I DAD NACI ONAL

“ S ANTI AG O ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

SECCIÓN DE FÍSICA

MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II

PRACTICA N° 01 “ MÓDULO DE RI G I DEZ DE UN MATERI AL”

M.Sc. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

https://www.thesciencesource.com/store/image_upload/32450 - HOOKE'S LAW.jpg


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2015 UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

SECCIÓN DE FÍSICA

CURSO: FÍSICA II

PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 01.

PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 3.

I. OBJETIVO(S):

1.1. Objetivo General

Estudiar experimentalmente el comportamiento de los resorte

Estudiar la dependencia del período de oscilación del resorte con la masa.

1.2. Objetivos específicos

Calcular la constante elástica de un resorte helicoidal por el método dinámico

Verificar la existencia de fuerzas recuperadoras

Calcular el módulo de rigidez del alambre del cual está hecho el resorte helicoidal

II. MATERIALES A UTILIZAR:

- Un resorte helicoidal

- Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez.

- Una regla graduada en milímetros.

- Un vernier cuya sensibilidad es 0.05 mm.

- Un micrómetro cuya sensibilidad es 0.01 mm.

- Un juego de pesas ranuradas y porta pesas.

- Una balanza.

- Un cronometro.

- Un nivel de burbujas.

- Una prensa

III. MARCO TEORICO Y CONCEPTUAL:

3.1. Vibraciones libres de partículas

Uno de los método que nos permite determinar la constante elástica k de un resorte es el método dinámico el que

comprende a un movimiento armónico simple. Para mostrar esto, consideremos una partícula de masa sujeta a un

resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura 1.1a. Si el movimiento descrito por m es vertical, la

APELLIDO S Y NO MBRES................................................................................................ ……. CÓDIGO.......................... FECHA..................

FACULTAD................................................... ESCUELAPRO FESIO NAL............................................. ... GRUPO .......................

AÑO LECTIVO : ................................... SEMESTRE ACADEMICO ................................. .NO TA............................... .

DOCENTE............................................................................................................ FIRMA.....................................


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vibración es de un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella

son el peso, W = mg y la fuerza elástica ste kF . Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene

0 xF 0 stkmg (1.1)

Figura 1.1. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en movimiento

Si se desplaza el cuerpo una distancia xm a partir de la posición de equilibrio estático y luego se le suelta sin

velocidad inicial, el cuerpo se moverá hacia arriba y hacia abajo realizando un movimiento armónico simple de

amplitud xm. Para determinar el periodo de oscilación del cuerpo m, se aplica la segunda ley de newton en una

posición arbitraria x, esto es:

y yF ma

2

2( )st

d xmg k g m

dt (1.2)

Reemplazando la ecuación (1,1 en (1.2), resulta:

2

20

d y ky

dt m (1.3)

El movimiento definido por la ecuación (3)* se conoce como movimiento armónico simple y se caracteriza por que

la aceleración es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento. También se puede escribir en la forma

22

020

d yw y

dt (1.4.)

En donde ωn se denomina frecuencia natural circular o pulsación natural, y se expresa,


4

m

kn (1.5)

La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes dada por la ecuación

(1.4) es de la forma

tBtAsenx nn cos (1.6)

Donde A y B son constantes que se determinan de las condiciones iníciales.

A veces es más conveniente escribir la ecuación (2.6) en una forma alternativa dada por

tsenxx nm (1.7)

La velocidad y la aceleración están dadas por

txxv nnm cos (1.8)

tsenxxa nnm2

(1.9)

La gráfica de la posición x en función del tiempo t muestra que la masa m oscila alrededor de su posición de

equilibrio. La cantidad xm se le denomina amplitud de la vibración, y el ángulo φ se denomina ángulo de fase.

Como se muestra en la figura 2.3, τ es el período de la vibración, es decir el tiempo que tarda un ciclo.

2

2n

mT

k

(1.10)

Si se considera la masa efectiva del resorte (mref ), la ecuación se escribe de la forma:

2rfm m

Tk

(1.11)

Si se traza una gráfica el cuadrado del periodo (T2) en función de la masa m de la partícula se obtiene una línea

recta la misma que no pasa por el origen de coordenadas debido a la existencia de la masa efectiva del resorte

(mref),. Por tanto, la ecuación (1.11) establece un medio cómo hallar el valor de la constante elástica de un resorte

por el método dinámico.

3.2. Ley de Hooke

Esta ley establece que si se aplica una carga externa axial a un cuerpo, el esfuerzo es directamente proporcional a

la deformación unitaria, siendo la constante de proporcionalidad el “MODULO ELASTICO”, siempre y cuando

no se sobrepase el límite de proporcionalidad, esto es:

n E (1.12)

Donde, σn es el esfuerzo normal, E es el módulo de la elasticidad y ε es la deformación unitaria axial.


5

Si la fuerza aplicada al cuerpo es tangencial, ésta producirá deformaciones angulares, en estas condiciones la Ley

de Hooke establece:

G (1.13)

Donde, τ es el esfuerzo constante, G es el módulo de rigidez y γ es la deformación unitaria por cortante

3.3. Torsión mecánica

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de

un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión

predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas , una de ellas se muestra enla figura 1.2 .

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida

en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen esfuerzos tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo

vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.

2. Cuando los esfuerzos anteriores no están distribuidos adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que

la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de los esfuerzos y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda

descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-

Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general

Figura 1.2. Elemento estructural en forma de cilindro sometido a un momento externo M.

Para deducir las ecuaciones de torsión deben establecer las siguientes hipótesis:

Hipótesis I. Las secciones del árbol cilíndrico perpendiculares al eje longitudinal se conservan como

superficies planas después de la torsión del árbol.

Hipótesis II. Todos los diámetros de la sección transversal se conservan como líneas rectas diametrales

después de la torsión del árbol.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Eje_longitudinal

http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integral_de_un_campo_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Alabeo_seccional

//commons.wikimedia.org/wiki/File:Angle_torsion_cylindre.svg


6

3.4. Deformación angular en un eje circular

Considere un árbol circular unido a un soporte fijo en un extremo como se muestra en la figura 1.2a. Si se aplica

un momento M en el otro extremo el cilindro se encuentra sometido a torsión y si extremo libre rota un ángulo ϕ,

ángulo que es proporcional a M y a L llamado ángulo de torsión 8figura 1.2b. Debe observa además que se cumple

la hipótesis I es decir las secciones se mantienen constantes antes y después de la aplicación del par M como lo

muestra la figura 1.3c y 1.3d.

Figura 1.3. Elemento estructural en forma de cilindro sometido a un momento externo M mostrando el ángulo ϕ

en uno de los extremos

Ahora se procede a determinar la distribución de deformaciones cortantes del elemento cilíndrico de longitud L y

radio c (figura 1.3a).

Extrayendo del elemento un cilindro de radio ρ considere el elemento cuadrado formado por dos círculos

adyacente y dos rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro antes de aplicar cualquier carga (figura

1.3f). Al aplicar la carga M este cuadrado se convierte en un rombo (figura 1.3g). Entonces la deformación angular

es igual al ángulo formado por las líneas AB y A’B. Si los ángulos son pequeños entonces el ángulo de cizalla

puede expresarse como

L

(1.14)

3.5. Deformación angular en el rango elástico

En esta sección se deducirá una relación entre el ángulo de torsión ϕ y el par M aplicado a un árbol circular de

radio c y longitud L como se muestra en la figura 1.2e. En este caso el ángulo de torsión ϕ y la máxima

deformación angular se encuentran relacionados por la ecuación

max

c

L

(1.15)


7

Si el elemento trabaja en el rango elástico se cumple la ley de Hooke 𝜏 = 𝐺𝛾𝑚𝑎𝑥. Entonces la deformación angular

se escribe en la forma

max

P

cM

G GI

(1.16)

Comparando las ecuaciones (1.15) y (1.16) se obtiene

P P

c cM LM

L GI GI

(1.17)

Donde IP es el momento de inercia polar de la sección transversal circular con respecto a un eje que pasa por un

centro, 𝜙 es el ángulo de giro, L la longitud de la barra y G el módulo de rigidez.

3.6. Resortes helicoidales

La Figura 1.4a, representa un resorte helicoidal de espiras cerradas comprimidas por la acción de una fuerza axial

F. El resorte está formado por un alambre de radio d, enrollado en forma de hélice de diámetro D. La pendiente de

esta hélice es pequeña de tal manera que podemos considerar con bastante aproximación que cada espira está

situada en un plano perpendicular al eje del resorte.

Figura 1.4 (a) Resorte helicoidal sometido a carga axial, (b) Diagrama de sólido libre de la parte superior.

Para determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por una sección m-m, y se

determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de una de las porciones separadas por esta sección.

Después se analiza la distribución de esfuerzos. La Figura 1.4b muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte

superior del resorte. Para que el resorte esté en equilibrio, en la sección m-m, deberá actuar una fuerza de corte Fr y

un momento 𝑀 =𝐹𝐷

2

El esfuerzo constante máximo se produce en la parte interna del resorte y viene expresado por:

max 1 2t t

p

F M r

A I (1.18)

Sabiendo que 𝑀 =𝐹𝐷

2 y r = d/2, la ecuación 1.18 se escribe


8

2 4 3

( / 2)( / 2) 81

/ 4 / 32 2

t t tF F D d F D d

d d d D

(1.19)

En aquellos resortes en los que el valor de d es pequeño comparado con el valor de D, la razón 𝑑

2𝐷→ 0 , entonces:

3

8 tF D

d

(1.20)

3.7 Elongación de un resorte

La elongación del resorte de espiras cerradas según su eje puede determinarse con suficiente precisión, empleando

la teoría de la torsión. La Figura 1.5, representa un elemento infinitamente pequeño del alambre del resorte aislado

como un “cuerpo libre “de longitud “dL”

dL Rd (1.21)

Donde R es el radio medio del resorte, representado por OS en la figura y 𝑑𝛼 es el ángulo central en S de dL.

(a) (b)

Figura 1.5 (a) Resorte helicoidal, (b) Deformación de un resorte helicoidal

Bajo la acción del momento de torsión, M, el radio Oa de la sección transversal del alambre girará hata ocupar Ob.

El punto O de aplicación de la fuerza cortante Ft (punto c) descenderá verticalmente la distancia ce dada por

cosce cd (1.22)

Como el ángulo 𝑑𝛽 es pequeño el arco cd puede considerarse como una recta perpendicular a OC, con lo que la ec.

(14) se escribe

cosce cd (1.23)

De la gráfica se observa que:𝑐𝑑 ≅ 𝑜𝑐 𝑑𝛽 y que 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑜𝑠𝑜𝑐⁄ = 𝑅/𝑜𝑐 , entonces la ecuación 1.23 se escribe en la

forma


9

( )( / )ce oc d R oc (1.24)

El desplazamiento vertical del punto c será

d ce Rd (1.25)

Donde 𝑑𝛽 es el ángulo de torsión correspondiente al elemento 𝑑𝐿

Teniendo en cuenta la ecuación (1.17), el ´ángulo de torsión en función del momento torsor aplicado puede

escribirse

P

MdLd

GI (1.26)

Remplazando la ecuación (1.26) en la ecuación (1.25) resulta

( )( )t t

p p

M dL F R dLR R

G I GI

2

t

p

F R dLd

GI (1.27)

La distancia vertical 𝑐𝑒 = 𝑑𝛿 es la aportación del elemento de longitud dL al desplazamiento vertical, la

elongación total se obtiene integrando la ecuación (1.27).

2 2

t t

p p

F R F RdL dL

GI GI (1,28)

2

ttotal

p

F RL

GI (1.29)

Teniendo en cuenta que la longitud total del resorte es 𝐿 = 2𝜋𝑅𝑁 , donde N es el número de espiras del resorte, la

ecuación (1.29 se escribe en la forma

2 32

2t t

P P

F R F R NRN

GI GI

(1.30)

Si el alambre es de sección circular de radio r, el momento polar de inercia es Ip = ( π r4 )/2 entonces la elongación

se escribe:

3 3

44

2 4

2

t tF R N F R N

GrrG

(1.31)

Teniendo en cuenta que R = D/2 y que r = d/2 se procede a despejar el módulo de rigidez


10

3 3

4 4

4 4 ( / 2)

( / 2)

tNF R Nk DG

r d

3

4

8kD NG

d (1.32)*

La ecuación 1.32 nos permite determinar experimentalmente el módulo de rigidez G de un resorte siempre que se

conozca: N = número de espiras, k = constante del resorte, D = diámetro medio y d = diámetro del alambre del

cual está hecho el alambre.

IV. METODOLOGÍA EXPERIMENTAL

4.1. Para determinar la Constante Elástica del Resorte:

a. Armar el equipo tal como se muestra en la figura1.6a, suspendiendo el resorte del soporte horizontal.

b. Nivele con el nivel de burbujas la barra horizontal

Figura 1.6 Disposición del equipo para realizar la práctica.

c. Medir la longitud (L0) del resorte sin deformar.

d. Con la balanza determine la masa de cada una de las pesas calibradas

e. Colocar la porta pesa en el extremo libre del resorte y coloque una pesa de x gramos en dicha porta pesa

y llevarlo lentamente hasta la posición de equilibrio estático mida su longitud final Lf.

f. Llevar el sistema resorte-pesa de la posición de equilibrio hasta que el sistema experimente una

deformación menor a la estática.

g. Suelte la pesa y deje que sistema oscile libremente.

h. A continuación mida con el cronómetro la duración de unas 10 oscilaciones. Anotar sus valores en la

tabla I.

i. Calcular el periodo de oscilación.

j. Repetir todos los pasos de a hasta g para las demás pesas, y anote sus respectivos valores en la tabla I.


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TABLA I. Datos y cálculos para hallar la constante elástica k del resorte

Nº

Masa

(g)

Tiempo

Tiempo

Promedio

(t)

Periodo(T)

(s)

2T

(2s )

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

4.2. Para determinar el Módulo de Rigidez del resorte

a. Con el vernier mida 05 veces el diámetro exterior del resorte. Anotar sus valores en la tabla II.

b. Con el vernier mida 05 veces el diámetro interior del resorte. Anotar sus valores en la tabla II.

c. Con el micrómetro mida 05veces el diámetro del alambre del cual está hecho el resorte en diferentes

posiciones. Anotar sus respectivos valores en la tabla II.

d. Contar el número de espiras que posee el resorte. Anotar este valor en la tabla II.

TABLA II. Datos y cálculos para determinar el módulo de rigidez G de un resorte

n 1 2 3 4 5

Diámetro exterior del resorte (De) en

(cm)

Diámetro interior del resorte (Di) en

(cm)

Diámetro medio del resorte (D) en

(cm)

Diámetro del alambre del resorte

(mmm)

Número de espiras del resorte N

V. CUESTIONARIO:

1.1. Con los datos de la tabla I y la ecuación (1.11), trazar una gráfica colocando los cuadrados de los períodos de

oscilación (Ti2) en el eje de las ordenadas y las masas (mi) en el eje de las abscisas.

1.2. Use el análisis de regresión lineal para determinar la ecuación de la curva que mejor ajuste a sus datos

experimentales.


12

1.3. A partir de la gráfica T2 – m , ¿Cómo determinaría el valor de la constante elástica del resorte (k), así como la

masa efectiva del resorte?

1.4. Señale las razones por las cuales el método dinámico de estudio del resorte se basa en pequeñas oscilaciones.

1.5. Con los datos de la tabla II y el valor de k obtenido hallar el módulo de rigidez del resorte (G) utilizando la

ecuación (1.32)*, con su respectivo error absoluto y porcentual.

1.6. ¿Qué importancia tiene el cálculo del módulo de n rigidez de algunos materiales?

1.7. ¿Cuáles son las posibles fuentes de error en la experiencia?

1.8. ¿Para qué sirven los resorte en mecánica?

1.9. ¿Cuál es el efecto de la curvatura en un resorte helicoidal?

1.10. ¿Qué tipos de esfuerzo se presentan en un resorte helicoidal?

VI. RECOMENDACIONES

1.11. Cuidar que el estiramiento no sobrepase el límite elástico del resorte.

1.12. Conviene calcular el tiempo a partir de una posición que no sea un extremo de la trayectoria de la masa “m”.

VII. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS

6.1. CONCLUSIONES

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

6.2. SUGENRENCIA

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. GOLDEMBERG, J “Física General y experimental” Vol I. Edit. Interamericana S.A. México 1972

2. MEINERS, H., EPPENSTEIN, W., MOORE, K “Experimento de Física” Edit. Limusa. México 1970

3. CARPIO, A., CORUJO, J., ROCHI, R. “Módulo de física”. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de

Entre Ríos. Argentina, 1996.

4. SERWAY, R “Física” Tomo I. Edit. Mc Graw – Hill. México 1993.

5. TIPLER, P. “Física” Vol I. Edit. Reverte. España 1993. 6. ZEARS AND ZEMANSKY. Fisica Universitaria. Vol I. undécima edición. Ed Pearson. México 2004.

7. BEER P. F AND E. RUSELL J. Mecánica de Materiales Edit. McGraw Hill Colombia 2006

Education

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