Psikometri Bab a20

Bab 20

Karakteristik Butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------

Bab 20

KARAKTERISTIK BUTIR MODEL LOGISTIK

A. Distribusi Probabilitas Logistik

1. Pendahuluan

• Frederic M. Lord memperkenalkan model ojaif normal

• Model ojaif normal cukup sulit untuk perhitungan

• Allan Birnbaum memperkenalkan model logistik yang mirip dengan model ojaif normal dan lebih mudah untuk perhitungan


------------------------------------------------------------------------------

2. Model Ojaif Normal dan Model Logistik

• Karakteristik butir model logistik didasarkan kepada kumulasi distribusi probabilitas logistik

• Karena model logistik ini menyerupai model ojaif normal maka model ojaif normal dapat diganti dengan model logistik

• Kedekatan ini dapat dipertinggi melalui penggunaan konstanta tertentu

• Pada saat ini, dalam banyak penggunaan, model yang sering digunakan adalah model logistik

• Dalam hal karakteritik butir, yang banyak digunakan adalah karakteritik butir model logistik

• Ada tiga model logistik yakni model 1 parameter, model 2 parameter, dan model 3 parameter


------------------------------------------------------------------------------

3. Fungsi Logistik

• Fungsi densitas logistik umum

• Untuk k = 1 dan u = 0, bentuk ini menjadi

kkuX

h

ek

eXf

k

uX

k

uX

42

sec

1

)(

2

2

−

=

+

=−

−

( )21)(

X

X

e

eXf

+=


------------------------------------------------------------------------------

• Grafik fungsi logistik

• Fungsi distribusi (ojaif) umum

f (X)

X−3 −2 −10 1 2 3

0,1

0,2

k

uX

k

uX

X

k

uX

k

uX

e

e

dX

ek

eX

−

−

∞−−

−

+=

+

= ∫

1

1

)( 2ψ


------------------------------------------------------------------------------

• Fungsi distribusi (ojaif) untuk k = 1 dan X = 0

Bentuk grafik adalah

Bentuk umum digunakan pada karakteristik butir model logistik dengan beberapa penyesuaian

X

X

e

eX

+=1

)(ψ

f (X)

X

−3 −2 −1 0 1 2 3

0,2

0,5

0,8

1,0


------------------------------------------------------------------------------

4. Model Rasch dan Model Logistik

• Ada dua model karakteritik butir yang pada dasarnya menggunakan fungsi logistik

Model Rasch

Model Logistik

• Model Rasch hanya menggunakan satu parameter yakni parameter b

• Model logistik terdiri atas tiga macam yakni model satu parameter, model dua parameter, dan model tiga parameter

• Model Rasch sangat mirip dengan model logistik satu parameter

• Karena itu ada kalanya model logistik satu parameter dinamakan model Rasch


------------------------------------------------------------------------------

B. Karakteristik Butir Model Rasch

1. Pendahuluan

• Responden ke-g menjawab butir ke-i dan misalkan

Kemampuan responden Bg

Taraf sukar butir D i

Probabilitas sukses Pi(Bg)

Probabilias gagal 1 – Pi(Bg)

• Probabilitas sukses berbanding dengan kemampuan yakni makin tinggi kemampuan makin tinggi probabilitas sukses

• Probabilitas gagal berbanding dengan taraf sukar butir yakni makin sukar butir makin tinggi probabilitas gagal


------------------------------------------------------------------------------

2. Kesempatan (Odds) Sukses

Kesempatan sukses, dalam hal ini, adalah

sehingga probabilitas sukses menjadi

Selanjutnya untuk menentukan karakteristik butir, dianggap bahwa kemampuan dan taraf sukar butir berbentuk eksponensial

i

g

gi

gi

D

B

BP

BP=

− )(1

)(

ig

ggi DB

BBP

+=)(


------------------------------------------------------------------------------

3. Karakteritik Butir Model Rasch

• Kemampuan dan taraf sukar butir berentuk eksponensial

• Probabilitas sukses (jawaban betul) menjadi

)()( gigi

bi

g

PBP

eD

eB

i

g

θ

θ

==

=

)(

)(

1

)(

ig

ig

i

i

i

g

i

g

ig

g

b

b

b

b

b

b

bgi

e

e

e

e

e

ee

e

ee

eP

−

−

+=

+=

+=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

• Dengan demikian, karakteristik butir model Rasch untuk

Responden ke-g dengan kemampuan θ Butir ke-i dengan taraf sukar bi

berbentuk

Bentuk ini adalah bentuk fungsi distribusi probabilitas logistik

Akan kita lihat bahwa bentuk ini mirip dengan model logistik satu parameter

)(

)(

1)(

i

i

b

b

i e

eP −

−

+= θ

θ

θ

------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------

C. Karakteristik Butir Model Logistik

1. Model Logistik yang Digunakan

Dari model umum

disusun karakteristik butir model logistik melalui penyesuaian

θ = X

bi = u

Pi(θ) = ψ(X)

D = 1 / k untuk 1 parameter

Dai = 1 / k untuk 2 dan 3 parameter

)(1

)(1

1

)(uX

k

uXk

e

eX

−

−

+=ψ


------------------------------------------------------------------------------

2. Model Logistik Satu Parameter

• Di sini model ini disingkat menjadi model L1P

• Probabilitas sukses (jawaban betul) untuk butir ke-i

• Mereka adalah sama sehingga dapat digunakan salah satu di antara mereka

• Agar dapat dekat ke model ojaif normal sampai 0,01, maka diambil

D = 1,7

)(

)(

)(

1

1)(

1)(

i

i

i

bDi

bD

bD

i

eP

ataue

eP

−−

−

−

+=

+=

θ

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

• Probabilitas gagal (jawaban salah) untuk butir ke-i

Qi(θ) = 1 – Pi(θ)

atau dalam bentuk probabilitas

Agar dekat ke model ojaif normal sampai 0,01 maka digunakan

D = 1,7

)(

)(

)(

1

11

1)(

i

i

i

bD

bD

bD

i

e

e

eQ

−

−

−

+=

+−=

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

• Model L1P dan model Rasch

Terdapat kemiripan di antara model L1P dengan model Rasch

Perbedaan mereka terletak pada nilai D

Pada L1P nilai D = 1,7 sedangkan pada model Rasch nilai D = 1

Model Rasch

Model L1P

)(

)(

1)(

i

i

b

b

i e

eP −

−

+= θ

θ

θ

)(7,1

)(7,1

)(

)(

11)(

i

i

i

i

b

b

bD

bD

i e

e

e

eP −

−

−

−

+=

+= θ

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

3. Model Logistik Dua Parameter



• Mereka adalah sama sehingga dapat digunakan salah satu di antara mereka


D = 1,7

)(

)(

)(

1

1)(

1)(

ii

ii

ii

bDai

bDa

bDa

i

eP

ataue

eP

−−

−

−

+=

+=

θ

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------


Qi(θ) = 1 – Pi(θ)



D = 1,7

)(

)(

)(

1

11

1)(

ii

ii

ii

bDa

bDa

bDa

i

e

e

eQ

−

−

−

+=

+−=

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

4. Model Logistik Tiga Parameter




D = 1,7

)(

)(

)(

)()()(

)(

)()(

)(

)(

)(][)(

)()(

ii

ii

ii

iiiiii

ii

iiii

ii

ii

bDa

bDai

bDa

bDai

bDabDaii

bDa

bDai

bDai

i

bDa

bDa

iii

e

ec

e

eceecc

e

ececP

ataue

eccP

−

−

−

−−−

−

−−

−

−

++=

+−++=

+−++=

+−+=

θ

θ

θ

θθθ

θ

θθ

θ

θ

θ

θ

1

1

1

11

11


------------------------------------------------------------------------------


Qi(θ) = 1 – Pi(θ)



D = 1,7

)(

)(

)()(

)(

)(

1

11

1

11)(

ii

ii

iiii

ii

ii

bDai

bDa

bDai

bDa

bDa

bDai

i

e

ce

ece

e

ecQ

−

−

−−

−

−

+−=

+−−+=

++−=

θ

θ

θθ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

5. Nilai Konstanta D

• Ada kalanya demi kesederhanaan, nilai D ditetapkan sebesar

D = 1

• Untuk mendekatkan model logistik ke model ojaif normal

Dalam hal ini nilai D ditetapkan sebesar

D = 1,7

01,012

11

11 2

7,1

7,12

1

<+

−∫∞−

−

z

zzz

e

edze

π


------------------------------------------------------------------------------

D. Lengkungan Karakteristik Butir Model Logistik

1. Pendahuluan

• Lengkungan karakteristik butir ini dilakukan untuk setiap butir atau butir demi butir

• Lengkungan karakteristik butir dihitung dan digrafikkan untuk sejumlah nilai θ, biasanya, di sekitar

− 4 ≤ θ ≤ + 4

dalam lompatan 0,5 atau menurut keperluan

• Ada kalanya, beberapa butir digrafikkan dalam satu grafik sehingga karakeristik mereka dapat dibandingkan satu terhadap lainnya


------------------------------------------------------------------------------

2. Lengkungan Karakteristik Butir L1P

Untuk butir ke-i, model L1P hanya memiliki satu parameter butir yakni bi

Contoh 1

Lengkungan karakteristik butir L1P pada butir dengan bi = 1,0 dan dihitung pada θ dari − 3 sampai + 3 dengan lompatan 1,0

Karakteritik butir ini berbentuk

dan dalam bentuk tabel diperoleh nilai probabilitas sukses (jawaban betul)

)0,1(7,11

1)( −−+

= θθe

Pi

------------------------------------------------------------------------------Karateriktik Butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------

θ −1,7(θ-1,0) Pi(θ)

− 3 6,8 0,001

− 2 5,1 0,006

− 1 3,4 0,032

0 1,7 0,154

1 0,0 0,500

2 − 1,7 0,846

3 − 3,4 0,968

−3 −2 −1 0 1 2 3θ

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Ada 4 butir pada model L1P masing-masing dengan taraf sukar sebagai berikut

Butir 1 2 3 4

Taraf sukar − 1 0 1 2

Karakteristik butir dengan menggunakan D = 1,7 adalah

Perhitungan untuk setiap butir adalah seperti pada contoh 1

Hasil perhitungan dapat disusun dalam bentuk tabel

)(7,11

1)(

ibi eP −−+

= θθ


------------------------------------------------------------------------------

Butir bi Pi(θ) untuk θ =

i − 3 − 2 − 1 0 1 2 3

1 −1 0,03 0,15 0,50 0,85 0,97 0,99 0,99

2 0 0,03 0,15 0,50 0,85 0,97 0,99

3 1 0,03 0,15 0,50 0,85 0,97

4 2 0,03 0,15 0,50 0,85

Pi(θ)

θ−3 −2 −1 0 1 2 3

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4


------------------------------------------------------------------------------

Tampak pada grafik bahwa lengkungan untuk bi yang makin tinggi terletak lebih ke kanan daripada lengkungan untuk bi yang lebih rendah

Makin sukar butir makin ke kanan letak lengkungannya sehingga butir 1 termudah dan butir 4 tersukar

Makin sukar butir makin diperlukan θ yang lebih tinggi untuk dapat menjawabnya dengan betul

Contoh 3


Butir 1 2 3 Taraf sukar − 0,5 0,5 1,5

Hitung dan lukis karakteristik butir ini dengan D = 1,7 untuk θ dari − 3 sampai + 3 pada lompatan 1.0


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 4


Butir 1 2 3 Taraf sukar − 0,8 0,8 1,8


Contoh 5


Butir 1 2 3 4 Taraf sukar − 1,2 − 0,2 0,2 1,2



------------------------------------------------------------------------------


Untuk butir ke-i, model L2P memiliki dua parameter butir yakni bi dan ai

Contoh 6

Lengkungan karakteristik butir L2P pada butir dengan bi = 1,0 dan ai = 0,5 dihitung pada θ dari − 3 sampai + 3 dengan lompatan 1,0


dan dalam bentuk tabel diperoleh nilai probabilitas sukses (jawaban betul)

)0,1(85,0)0,1)(5,0)(7,1( 1

1

1

1)( −−−− +

=+

= θθθee

Pi


------------------------------------------------------------------------------

θ −0,85(θ-1,0) Pi(θ)

− 3 3,40 0,032

− 2 2,55 0,072

− 1 1,70 0,154

0 0,85 0,300

1 0,00 0,500

2 − 0,85 0,701

3 − 1,70 0,846

−3 −2 −1 0 1 2 3θ

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

Ada 4 butir pada model L2P masing-masing dengan daya beda dan taraf sukar sebagai berikut

Butir 1 2 3 4

Daya beda 0,5 1,2 0,5 1,0

Taraf sukar − 1 0 1 2




)(,)(

ii bai eP −−+

= θθ711

1


------------------------------------------------------------------------------

Butir ai bi Pi(θ) untuk θ =

i −3 −2 −1 0 1 2 3

1 0,5 −1,0 0,154 0,300 0,500 0,700 0,846 0,928 0,968

2 1,2 0,0 0,002 0,017 0,115 0,500 0,885 0,983 0,998

3 0,5 1,0 0,032 0,072 0,154 0,300 0,500 0,701 0,846

4 1,0 1,0 0,001 0,006 0,032 0,154 0,500 0,846 0,968

θ

Pi(θ)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

12

3

4


------------------------------------------------------------------------------

• Tampak pada grafik bahwa makin besar taraf sukar butir b makin ke kanan letak grafik

Butir 1 dengan b paling kecil terletak paling kiri sedangkan butir 3 dan 4 dengan b paling besar terletak paling kanan

• Tampak juga pada grafik bahwa makin besar daya beda butir a makin curam grafiknya

Butir 1 dan 3 dengan a kecil makin landai (tidak curam) grafiknya sedangkan butir 2 dan 4 dengan a lebih besar makin curam grafiknya

• Kombinasi di antara daya beda butir dan taraf sukar butir menghasilkan grafik seperti di depan


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 8


Butir 1 2 3 4 Daya beda 0,3 1,2 1,6 1,8

Taraf sukar −1,0 −0,5 0,0 1,5


Contoh 9


Butir 1 2 3 4 Daya beda 0,8 1,3 1,7 1,8

Taraf sukar −1,5 1,0 0,5 −1,5



------------------------------------------------------------------------------


Untuk butir ke-i, model L3P memiliki tiga parameter butir yakni bi, ai, dan ci

Contoh 10

Lengkungan karakteristik butir L3P pada butir dengan bi = 1,0, ai = 1,0, dan ci = 0,15 dihitung pada θ dari − 3 sampai + 3 dengan lompatan 1,0


)0,1)(7,1(

)0,1)(7,1(

)0,1)(0,1)(7,1(

)0,1)(0,1)(7,1(

)(

)(

1

15,0

1

15,0

1)(

−

−

−

−

−

−

++=

++=

++=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

e

e

e

e

e

ecP

ii

ii

bDa

bDai

i


------------------------------------------------------------------------------

θ 1,7(θ-1,0) Pi(θ)

− 3 −6,8 0,151

− 2 −5,1 0,155

− 1 −3,4 0,177

0 −1,7 0,281

1 0,0 0,575

2 1,7 0,869

3 3,4 0,973

−3 −2 −1 0 1 2 3θ

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Ada 4 butir pada model L3P masing-masing dengan daya beda, taraf sukar, dan kebetulan betul sebagai berikut

Butir 1 2 3 4 Daya beda 0,2 0,5 1,0 2,0

Taraf sukar −1,0 0,0 1,0 2,0 Kebetulan 0,00 0,10 0,15 0,20




)(7,1

)(7,1

)(

)(

11)(

i

i

ii

ii

b

bi

bDa

bDai

i e

ec

e

ecP −

−

−

−

++=

++= θ

θ

θ

θ

θ


------------------------------------------------------------------------------

Butir ai bi ci Pi(θ) untuk θ =

i −3 −2 −1 0 1 2 3

1 0,2 −1,0 0,00 0,336 0,416 0,500 0,584 0,664 0,735 0,796

2 0,5 0,0 0,10 0,165 0,239 0,369 0,550 0,731 0,861 0,935

3 1,0 1,0 0,15 0,151 0,155 0,177 0,281 0,575 0,869 0,973

4 2,0 2,0 0,20 0,201 0,226 0,600 0,974

θ

Pi(θ)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

12 3

4


------------------------------------------------------------------------------

• Tampak pada grafik bahwa makin besar taraf sukar butir b makin ke kanan letak grafik

Butir 1 dengan b terkecil terletak paling kiri sedangkan butir 4 dengan b terbedar terletak paling kanan

• Tampak pada grafik bahwa makin besar daya beda butir a makin curam grafiknya

Butir 1 dengan a terkecil paling landai (tidak curam) grafiknya sedangkan butir 4 dengan a terbesar paling curam grafiknya

• Tampak juga bahwa kebetulan jawab betul c merupakan batas bawah dari grafik

Butir 1 dengan c terkecil masih dapat lebih rendah lagi batas bawahnya sedangkan butir 4 memiliki batas bawah paling tinggi


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 12


Butir 1 2 3 4 5 6 Daya beda 1,8 0,8 1,8 1,8 1,2 0,4

Taraf sukar 1,0 1,0 1,0 −1,5 −0,5 0,5 Kebetulan 0,00 0,00 0,25 0,00 0,10 0,15


Contoh 13


Butir 1 2 3 4 5 Daya beda 1,27 1,34 1,14 1,00 0,67

Taraf sukar 1,19 0,59 0,15 −0,59 −2,00 Kebetulan 0,10 0,15 0,15 0,20 0,01



------------------------------------------------------------------------------

5. Perbandingan karakteristik Butir Model Logistik

Kita membandingkan model L1P, model L2P, dan model L3P

• Bentuk yang paling banyak mengandung parameter adalah model L3P dengan ai, bi, dan ci bernilai

ai ≠ 0 ci ≠ 0

• Bentuk L2P mengandung dua parameter butir ai dan bi yang dapat dianggap sebagai model L3P dengan nilai parameter

ai ≠ 0 ci = 0

• Bentuk L1P hanya mengandung satu parameter butir bi yang dapat dianggap sebagai model L3P dengan nilai parameter

ai = 1 c i = 0


------------------------------------------------------------------------------

• Secara praktis, sebenarnya kita cukup menggunakan satu rumus saja yakni rumus untuk model L3P

serta semua perhitungan yang mengikutinya

• Ketika berlaku sebagai model L3P semua parameter digunakan

• Ketika berlaku sebagai model L2P, parameter ci kita masukkan nilai ci = 0 sehingga yang digunakan hanya parameter butir ai dan bi

• Ketika berlaku sebagai model L1P, parameter ai dan ci kita masukkan nilai ai = 1 dan ci = 0 sehingga yang digunakan hanya parameter butir bi

)(

)(

)()(ii

ii

bDa

bDa

iii e

eccP −

−

+−+= θ

θ

θ1

1


------------------------------------------------------------------------------

E. Batas Nilai pada Model Logistik

1. Kemampuan Responden

• Kemampuan responden memiliki rentangan yang luas

• Secara teoretik rentangan ini terletak di antara – ∞ sampai + ∞

• Secara praktis rentangan ini cukup terletak di sekitar

– 4 ≤ θ ≤ + 4

• Ada kalanya lebih dan ada kalanya kurang bergantung hasil perhitungan apakah sudah terlalu kecil atau sudah terlalu besar


------------------------------------------------------------------------------

2. Probabilitas Sukses dan Gagal

• Probabilitas sukses adalah probabilitas untuk dapat menjawab dengan betul

Sebagai probabilitas, rentangan nilainya terletak di antara 0 dan 1

0 ≤ P(θ) ≤ 1

• Probabilitas gagal adalah probabilitas untuk tidak dapat menjawab dengan betul (menjawab salah)

Sebagai probabilitas, rentang nilainya juga terletak di antara 0 dan 1

0 ≤ Q(θ) ≤ 1

• Terdapat hubungan di antara P(θ) dan Q(θ) berupa

P(θ) + Q(θ) = 1


------------------------------------------------------------------------------

3. Daya Beda Butir

• Daya beda butir membedakan kemampuan berbeda dalam hal probabilitas sukses atau gagal

• Karena kemampuan tinggi diasumsikan memiliki probabiltas lebih besar untuk sukses (atau paling sedikit sama) daripada kemampuan rendah maka daya beda a tidak boleh negatif

a ≥ 0

• Dalam praktek biasanya daya beda a memiliki nilai tidak lebih dari sekitar 2 sehingga secara praktis rentangan nilai daya beda adalah

0 ≤ a ≤ 2

------------------------------------------------------------------------------Karateristik Butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------

4. Kebetulan Betul

• Dalam hal butir berbentuk jawaban pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa jawaban betul atau sukses diperoleh melalui terkaan

• Ada probabilitas tertentu untuk sukses dalam terkaan yakni bergantung kepada banyaknya pilihan

• Untuk n pilihan probabilitas sukses melalui terkaan adalah P(θ) = 1 / n sehingga

c = 1 / n

• Karena pilihan tersedikit adalah 2 pada pilihan betul-salah maka dalam praktek n terkecal adalah 2 sehingga dalam praktek

0 ≤ c ≤ 0,5


------------------------------------------------------------------------------

5. Taraf sukar Butir

• Taraf sukar butir memiliki skala yang sama dengan skala kemampuan responden sehingga secara teoretik rentangan nilainya adalah

– ∞ ≤ b ≤ + ∞

• Nilai taraf sukar butir diperoleh pada saat probabilitas sukses adalah 0,5 di antara probabilitas minimum dan maksimum yakni

pada L1P dan L2P ketika P(θ) = 0,5

pada L3P ketika P(θ) = 0,5 (1 + c)

• Dalam praktek, rentangan nilai b terletak di antara nilai –2 dan + 2 yakni

– 2 ≤ b ≤ + 2


------------------------------------------------------------------------------

6. Karakteristik Butir dan Responden

• Karakteristik butir

Satu butir ke-i dijawab oleh banyak responden maka hasilnya dinamakan karakteristik butir dari butir ke-i

Probabilitas sukses berbentuk Pi(θ) untuk butir ke-i

• Karakteristik responden

Satu responden ke-g menjawab banyak butir maka hasilnya dinamakan karakteristik responden dari responden ke-g

Probabilitas sukses berbentuk Pg(θ) untuk responden ke-g


------------------------------------------------------------------------------

F. Beberapa Ciri Model Logistik

1. Variansi

• Pada data dikotomi, variansi adalah

Var = Pi(θ).Qi(θ)

• Pada model L1P, variansi adalah

[ ]21

1

1

1

1

)(

)(

)()(

)()(

i

i

ii

bD

bD

bDbD

ii

e

e

ee

QPVar

−

−

−−−

+=

++=

=

θ

θ

θθ

θθ


------------------------------------------------------------------------------



[ ]21

1

1

1

1

)(

)(

)()(

)()(

ii

ii

iiii

bDa

bDa

bDabDa

ii

e

e

ee

QPVar

−

−

−−−

+=

++=

=

θ

θ

θθ

θθ

( )[ ]21

1

1

1

1

)(

)(

)()(

)(

)(

)()(

ii

ii

iiii

ii

bDa

bDaii

bDai

bDa

bDai

ii

e

ecc

e

c

e

ec

QPVar

−

−

−−

−

+

+−=

+−

++=

=

θ

θ

θθ

θ

θθ


------------------------------------------------------------------------------

2. Kesempatan dan Logit Sukses

• Kesempatan sukses (odds of success) yang berkenaan dengan kemampuan responden

Untuk L1P dan L2P berbentuk

Untuk L3P berbentuk

)(

)(

θθ

i

iS Q

PO =

)(

)(

θθi

iiS Q

cPO

−=


------------------------------------------------------------------------------

• Logit (log odds unit) sukses yang berkenaan dengan kemampuan responden

Untuk model L1P dan L2P berbentuk

Untuk model L3P berbentuk

)(

)(lnln)(

θθ

i

iS Q

POSLogit ==

)(

)(lnln)(

θθi

iiS Q

cPOSLogit

−==


------------------------------------------------------------------------------

• Pada model L1P, kesempatan dan logit sukses adalah


)(ln)(

)(

)( )(

)(

)(

iS

bD

bD

bD

i

iS

bDOSLogit

e

e

eQ

PO i

i

i

−==

=

+

+== −

−

−−

θ

θθ θ

θ

θ

1

11

1

)(ln)(

)(

)( )(

)(

)(

iiS

bDa

bDa

bDa

i

iS

bDaOSLogit

e

e

eQ

PO ii

ii

ii

−==

=

+

+== −

−

−−

θ

θθ θ

θ

θ

1

11

1


------------------------------------------------------------------------------


)()(

)(ln)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

iii

ii

bDa

bDai

ibDa

bDa

ii

i

iiS

bDaQ

cPSLogit

e

e

c

ce

ecc

Q

cPO

ii

ii

ii

ii

−=−=

=+

−

−+

−+=

−=

−

−

−

−

θθ

θ

θθ

θ

θ

θ

θ

1

11

1


------------------------------------------------------------------------------

3. Kesempatan dan Logit Gagal

• Kesempatan gagal (odds of failure) yang berkenaan dengan taraf sukar butir

Untuk L1P dan L2P berbentuk

Untuk L3P berbentuk

)(

)(

θθ

i

iG P

QO =

ii

iG cP

QO

−=

)(

)(

θθ


------------------------------------------------------------------------------

• Logit (log odds unit) gagal yang berkenaan dengan taraf sukar butir

Untuk model L1P dan L2P berbentuk

Untuk model L3P berbentuk

)(

)(lnln)(

θθ

i

iG P

QOGLogit ==

ii

iG cP

QOGLogit

−==

)(

)(lnln)(

θθ


------------------------------------------------------------------------------

• Pada model L1P, kesempatan dan logit gagal adalah


)(ln)(

)(

)( )(

)(

)(

iG

bD

bD

bD

i

iG

bDOGLogit

e

e

eP

QO i

i

i

−−==

=

+

+== −−

−−

−

θ

θθ θ

θ

θ

1

11

1

)(ln)(

)(

)( )(

)(

)(

iiG

bDa

bDa

bDa

i

iG

bDaOGLogit

e

e

eP

QO ii

ii

ii

−−==

=

+

+== −−

−−

−

θ

θθ θ

θ

θ

1

11

1


------------------------------------------------------------------------------


)()(

)(ln)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

iiii

i

bDa

ibDa

bDa

ii

bDai

ii

iG

bDacP

QGLogit

e

ce

ecc

e

c

cP

QO

ii

ii

ii

ii

−−=−

=

=

−+

−+

+−

=

−=

−−

−

−

−

θθ

θ

θθ

θ

θ

θ

θ

11

1

1


------------------------------------------------------------------------------

4. Kecuraman Lengkungan

• Kecuraman lengkungan pada setiap titik ditentukan oleh garis singgung pada titik itu

• Garis singgung pada lengkungan ditentukan oleh hasilbagi diferensial

θ

Pi(θ)

θθ

d

dPi )(

θθ

d

dPi )(

θθ

d

dPi )(


------------------------------------------------------------------------------

• Perhitungan kecuraman (garis singgung) pada umumnya menggunakan rumus

• untuk model L1P gunakan bentuk

• untuk model L2P dan L3P gunakan bentuk

θθ

θθ

θθ

d

bdD

bdD

dP

d

dP i

i

ii )(

)(

)()( −−

=

θθ

θθ

θθ

d

bdDa

bdDa

dP

d

dP ii

ii

ii )(

)(

)()( −−

=

dx

du

du

udf

dx

udf )()( =


------------------------------------------------------------------------------

• Kecuraman pada Model L1P

• Selanjutnya bagian-bagiannnya menjadi

( ) ( ) ( )

[ ]21

11

1

i

i

i

i

i

i

i

bD

bDbD

bDbD

i

bD

bD

i

e

d

ede

d

dee

d

dP

e

eP

−

−−

−−

−

−

+

+−+=

+=

θ

θθ

θθ

θ

θ

θθθθ

θ

(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(

( ) ( ) )()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

i

ii

i

ii

bDi

i

bDbD

bDi

i

bDbD

Ded

bdD

bdD

ed

d

ed

dan

Ded

bdD

bdD

de

d

de

−−−

−−−

=−−

+=+

=−−

=

θθθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

θθ

11


------------------------------------------------------------------------------

• Setelah dimasukkan ke rumus pertama, diperoleh

• Dapat juga ditulis menjadi

• Pada titik θ = bi

( )( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

[ ]2

2

2

1

1

1

1

)(

)(

)(

)()()()()(

)(

)()()()()(

i

i

i

iiiii

i

iiii

bD

bD

bD

bDbDbDbDbD

bD

bDbDbDbDi

e

De

e

eDeeDeDe

e

DeeDee

d

dP

−

−

−

−−−−−

−

−−−−

+=

+

−+=

+

−+=

θ

θ

θ

θθθθθ

θ

θθθθ

θθ

)().()( θθ

θθ

iii QDPd

dP =

42504

1,|

)( === Dd

dPib

iθθ

θ


------------------------------------------------------------------------------

• Kecuraman pada model L2P

Mengikuti cara pada model L1P, kecuraman pada model L2P adalah

• Untuk titik dengan θ = bi kecuraman menjadi

• Tampak bahwa kecuraman bergantung kepada nilai daya beda butir ai

[ ])()(

)(

)()(

)(

θθθθ

θθ

θ

θ

iiii

bDa

bDaii

QPDad

dP

e

eDa

d

dPii

ii

=

+=

−

−

21

iibi aDad

dPi

42504

1,|

)( ===θθθ


------------------------------------------------------------------------------

• Kecuraman pada model L3P

Perhitungan kecuraman

Dalam hal ini

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]21

11

1

)(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

bDa

bDabDa

i

bDaibDa

i

bDa

bDai

i

e

ded

ecdecd

e

d

dP

e

ecP

−

−−

−−

−

−

+

++−++=

++=

θ

θθ

θθ

θ

θ

θθθθ

θ

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) )(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)()(

ibDa

ii

ii

bDabDa

ibDa

ii

ii

bDai

bDai

Dae

d

bdDa

bdDa

ed

d

ed

Dae

d

bdDa

bdDa

ecd

d

ecd

ii

iiii

ii

iiii

−

−−

−

−−

=

−−

+=+

=

−−

+=+

θ

θθ

θ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

11


------------------------------------------------------------------------------

• Masukkan ke rumus pertama

• Pada titik dengan θ = bi kecuraman menjadi

( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

i

iiii

i

bDa

bDaii

bDa

bDai

bDaii

bDai

bDai

bDa

bDai

bDai

bDai

bDai

c

cPQDa

d

dP

e

eDac

e

eDaeDaceDaeDa

e

eDaeceDae

d

dP

ii

ii

ii

iiiiiiii

ii

iiiiiiii

−−=

+

−=

+

−−+=

+

+−+=

−

−

−

−−−−

−

−−−−

1

1

1

1

1

1

2

2

22

2

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()(

)(

)()()()(

θθθθ

θθ

θ

θ

θ

θθθθ

θ

θθθθ

)(,)(|)(

iiiibi cacDad

dPi

−=−== 1425014

1θθ

θ


------------------------------------------------------------------------------

G. Keterampilan Statistika

1. Metoda Pendekatan Newton-Raphson

• Tidak semua persamaan dapat dicarikan akarnya dengan mudah

• Salah satu cara untuk mecari akar persamaan yang banyak digunakan adalah metoda Newton-Raphson

• Cara kerja metoda ini adalah mula-mula kita memberikan satu nilai x0 sebagai akar

• Kita masukkan akar x0 ini ke dalam persamaan dan memperoleh nilai x1 sebagai akar

• Kita masukkan akar x1 ini ke dalam persamaan dan memperoleh nilai x2 sebagai akar

• Demikian seterusnya sehingga selisih di antara akar baru dan akar lama cukup kecil untuk dapat diabaikan


------------------------------------------------------------------------------

2. Rumus Pendekatan Newton-Raphson

• Misalkan persamaan adalah f (x) = 0 dan kita akan mencari akar persamaan ini

• Sebagai akar awal kita tentukan sebarang x0

• Garis singgung pada x0 membentuk sudut β dan menghasilkan akar x1 sehingga

f (x)

x

akar

x0x1x2

β

10

00

xx

xf

dx

xdf

−== )()(

tanβ

Menuju ke akar sesungguhnya


------------------------------------------------------------------------------

• Dari hubungan ini diperoleh

• Selanjutnya pada x1 dibuat garis singgung yang menghasilkan akar x2 dengan hubungan

dx

xdfxf

xx

dxxdfxf

xx

)()(

)()(

0

001

0

010

−=

=−

dxxdfxf

xx)()(

1

112 −=

------------------------------------------------------------------------------Karakteristik butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------

• Proses ini diteruskan ke akar x3, x4, dan seterusnya dan akar ini makin lama makin mendekati akar sesungguhnya

• Rumus umum untuk akar ke s dan ke-s + 1 adalah

• Pengulangan seperti ini dikenal sebagai iterasi

• Iterasi diteruskan sampai selisih di antara akar baru dengan akar lama cukup kecil untuk dapat diabaikan

• Akar persamaan adalah akar terakhir yang dicapai

dxxdfxf

xxs

sss )(

)(−=+1


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 14

Suatu fungsi berbentuk f (x) = x2 – 2

Mencari akar f (x) = 0 atau x2 – 2 = 0

• Dari f (x) = x2 – 2 diperoleh hasilbagi diferensial

sehingga ditemukan

xdx

xd

dx

xdf2

22

=−= )()(

s

ss

s

ss

s

sss

x

xx

x

xx

dx

xdfxf

xx

2

2

2

2)()(

2

1

2

1

+=

−−=−=

+

+


------------------------------------------------------------------------------

• Kita mulai dengan mengambil sebarang akar, misalkan, x0 = 1

• Kita masukkan nilai ini ke dalam rumus dan diiterasi menjadi

• Selisih di antara x4 dan x3 adalah 0,000002 cukup kecil untuk diabailkan sehingga akar persamaan menjadi

x = 1,41421

414214141421612

24142161

2

2

414216141666712

24166671

2

2

416667150000012

25000001

2

2

50000012

21

2

2

2

3

23

4

2

2

22

3

2

1

21

2

0

20

1

,),)((

,

,),)((

,

,),)((

,

,

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 15

Fungsi adalah f (x) = x – 2 sin x

Carilah akar dari f (x) = 0 atau x – 2 sin x = 0

f (x) = x – 2 sin x

• Dari rumus diperoleh

xdx

xxd

dx

xdfcos

)sin()(21

2 −=−=

s

s

s

sss

s

ssss

D

N

x

xxx

x

xxxx

=

−−=

−−−=+

cos

)cos(sin

cos

sin

21

2

21

21


------------------------------------------------------------------------------

• Kita mulai dengan mengambil nilai sebarang untuk x0, misalnya, x0 = 2

• Iterasi selanjutnya menghasilkan nilai seperti pada tabel berikut

s xs Ns Ds xs+1

0 2,00000 3,48318 1,83229 1,90100

1 1,90100 3,12470 1,64847 1,89552

2 1,89552 3,10500 1,63809 1,89550

3 1,89550 3,10493 1,63806 1,89549

• Selisih di antara x2 dan x3 adalah 0,00001 sudah cukup kecil untuk diabaikan

• Akar persamaan adalah

x = 1,895

-----------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Logistik

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 16

Suatu fungsi berbentuk f (x) = x2 – 3

Hitunglah akar dari f (x) = 0

Contoh 17

Suatu fungsi berbentuk f (x) = x3 + x – 1


Contoh 18

Suatu fungsi berbentuk f (x) = ex – 4


Contoh 19

Suatu fungsi berbentuk f (x) = ex + 4x – 5


Education

Psikometri Bab a20