Psikometri Bab a22

Bab 22

Estimasi Paramter Secara Terpisah

------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah

------------------------------------------------------------------------------

Bab 22

ESTIMASI PARAMETER SECARA TERPISAH

A. Estimasi Parameter Responden

1. Pendahuluan

• Ada tiga besaran pada karakteristik butir model logistik

a, b, c

P()

I II

III


------------------------------------------------------------------------------

• Pada estimasi parameter secara terpisah, ada tiga kemungkinan

I dan II diketahui, mengestimasi III

Di sini terjadi estimasi probabilitas jawaban betul

II dan III diketahui, mengestimasi I

Di sini terjadi estimasi satu parameter kemampuan pada responden

Jika ada M responden, maka terjadi M estimasi

I dan III diketahui, mengestimasi II

Di sini terjadi estimasi satu, dua, atau tiga parameter butir

Jika ada N butir, maka terjadi N, 2N, atau 3N estimasi butir

• Banyaknya estimasi parameter yang perlu dilakukan adalah dari M + N, M + 2N, sampai M + 3N

------------------------------------------------------------------------------Estimasi Paremter Secara Terpisah

------------------------------------------------------------------------------

2. Estimasi Parameter Kemampuan Melalui Coba- coba

Sebelum menggunakan rumus estimasi, di sini kita mencoba pengestimasian parameter kemampuan dengan cara coba-coba

Contoh 1

Satu responden menjawab tiga butir dengan hasil

Bu- Parameter butir Ha-

tir a b c sil

1 0,75 –2,00 0,10 1

2 1,25 0,00 0,18 1

3 1,00 1,75 0,16 0

Kebolehjadian

321

13

03

02

12

01

11

QPP

QPQPQPL

))()((


------------------------------------------------------------------------------

Karakteristik butir model L3P adalah

Masukkan parameter butir ke dalam butir 1, 2, dan 3

)(

)(

)(

)(

)(

ii

ii

ii

bDai

i

bDa

bDai

i

e

cQ

e

ecP

1

11

),)(,)(,(

),)(,)(,(

),)(,)(,(

),)(,)(,(

),)(,)(,(

,)(

,)(

,)(

751001713

00025171

00025171

2

00275071

00275071

1

1

16011

180

1

100

eQ

e

eP

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Kebolehjadian dari tiga butir ini menjadi

Masukkan berbagai nilai ke dalam L

= – 1,00 P1() = 0,803438 L = 0,178855

P2() = 0,267486

Q3() = 0,832239

= 0,00 P1() = 0,934816 L = 0,410909

P2() = 0,550000

. Q3() = 0,799203 . .

= 2,00 P1() = 0,994546 L = 0,326450

P2() = 0,988468

Q3() = 0,332070

),)(,())(,(

))(,(

),)(,(

),)(,( ,,,751711252

1252

0022751

0022751

321

1

840

1

180

1

100

ee

e

e

e

QPPL


------------------------------------------------------------------------------

Dihitung untuk berbagai dan disusun ke dalam tabel

P1() P2() Q3() L

–1,00 0,803438 0,267486 0,832239 0,178855

0,00 0,934816 0,550000 0,799203 0,410909

0,50 0,964325 0,789398 0,750380 0,571261

0,70 0,972106 0,848876 0,719303 0,593078

0,75 0,973779 0,861537 0,710249 0,595861

0,76 0,974101 0,863966 0,708373 0,596160

0,77 0,974420 0,866360 0,706475 0,596405

0,78 0,974735 0,868720 0,704555 0,596597

0,79 0,975046 0,871046 0,702612 0,596735

0,80 0,975354 0,873338 0,700461 0,596822

0,81 0,975657 0,875598 0,704100 0,601501 maks

0,82 0,975958 0,877824 0,696651 0,596834

0,83 0,976254 0,880017 0,694618 0,596760

0,84 0,976547 0,882177 0,692563 0,596634

0,85 0,976837 0,884305 0,690485 0,596456

0,90 0,978233 0,894466 0,679751 0,594780

1,00 0,980783 0,912514 0,656542 0,587591

1,25 0,985946 0,946204 0,588476 0,548993

1,50 0,989738 0,967496 0,507930 0,486377

2,00 0,994546 0,988468 0,332070 0,326450

L maksimum terletak di sekitar = 0,81


------------------------------------------------------------------------------

3. Estimasi Parameter Kemampuan melalui Metoda Pendekatan Newton-Raphson

• Kebolehjadian pada jawaban dikotomi

Xi = 1 untuk jawaban betul

Xi = 0 untuk jawaban salah (dan blanko)

sehingga pada Xi = 1 P()Q() = P()

pada Xi = 0 P()Q() = Q()

dan fungsi kebolehjadian menjadi

Dengan mengenakan logaritma, diperoleh

N

i

Xi

Xi

iiQPL1

1)()(

N

iiiii QXPXL

1

1 )(ln)()(lnln


------------------------------------------------------------------------------

• Kebolehjadian maksimum dicapai melalui

• Estimasi melalui metoda pendekatan Newton-Raphson menghasilkan iterasi

Dengan memasukkan model karakteristik butir (L1P, L2P, atau L3P), maka diperoleh bentuk iterasi untuk tiap model

0dLd ln

2

21

dLd

dLd

ss ln

ln


------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi pada L1P

sehingga oleh karenanya

))]()(([ln

)]([ln

N

iii

i

N

ii

PPDd

Ld

PXDd

Ld

1

22

2

1

1

N

iii

N

iii

ss

QPD

PX

1

11

)()(

)]([


------------------------------------------------------------------------------



))]()(([ln

)]([ln

N

iiii

i

N

iii

PPaDd

Ld

PXaDd

Ld

1

222

2

1

1

N

iiii

N

iiii

ss

QPaD

PXa

1

2

11

)()(

)]([


------------------------------------------------------------------------------



)(

)(

)(

)(

)(

])([ln

])[(

])()][([ln

i

iii

i

i

i

iiN

ii

N

i ii

iiiii

P

PcX

P

Q

c

cPaD

d

Ld

cP

cPPXaD

d

Ld

2

21

222

2

1

1

1

N

i ii

iiiiiii

N

i ii

iiiii

ss

cP

QPcXcPaD

cP

cPPXa

122

221

1

1

1

])[(

)()](][)([

])[(

])()][([


------------------------------------------------------------------------------

4. Prosedur Estimasi Parameter Kemampuan

• Paramter butir telah diketahui pada metrik tertentu sehingga hasil estimasi parameter kemampuan terletak pada metrik itu

• Di ini prosedur ini dilakukan melalui contoh pada model L1P

Contoh 2

Suatu responden menjawab tiga butir dengan hasil

Butir bi Xi

1 – 1 1

2 0 0

3 1 1

Estimasi parameter dari responden itu


------------------------------------------------------------------------------

• Probabilitas pada setiap butir

• Perhitungan ini memerlukan sejumlah data, mencakup

Titik awal iterasi 0 yang ditentukan oleh logit sukses

Rumus iterasi pada metoda pendekatan Newton-Raphson untuk L1P

))(,(

))(,(

)(

)(

),(

),(

)(

)(

))(,(

))(,(

)(

)(

)(

)(

)(

171

171

3

71

71

2

171

171

1

11

11

11

3

3

2

2

1

1

e

e

e

eP

e

e

e

eP

e

e

e

eP

bD

bD

bD

bD

bD

bD

N

iii

N

iii

ss

QPD

PX

1

11

)()(

)]([


------------------------------------------------------------------------------

• Nilai titik awal

0 = 0,693

• Perhitungan estimasi memerlukan beberapa besaran, seperti tampak pada rumus, meliputi

Pi()

Qi()

Xi – Pi()

DPi()Qi()

Perhitungan dilakukan dalam bentuk tabel untuk memudahkan perhitungan

Setiap iterasi menghasilkan satu tabel

69302

3132

0 ,lnln)(

)(ln

g

g

Q

P


------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 1

Butir 1

Dengan 0 = 0,693

(1,7)( + 1) = (1,7)(0,693 + 1) = 2,878

Q1(0,693) = 1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053

X1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053

DP1(0,693)Q1(0,693) = (1,7)(0,947)(0,053)

= 0,085

94701

69308782

8782

1 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 2

Dengan 0 = 0,693

(1,7)()= (1,7)(0,693) = 1,178

Q2(0,693) = 1 – P2(0,693) = 1 – 0,765 = 0,235

X2 – P2(0,693) = 0 – 0,765 = – 0,765

DP2(0,693)Q2(0,693) = (1,7)(0,765)(0,235)

= 0,306

76501

69301781

1781

2 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 3

Dengan 0 = 0,693

(1,7)( – 1) = (1,7)(0,693 – 1) = – 0,522

Q3(0,693) = 1 – P3(0,693) = 1 – 0,372 = 0,628

X3 – P3(0,693) = 1 – 0,372 = 0,628

DP3(0,693)Q3(0,693) = (1,7)(0,372)(0,628)

= 0,397

37201

69305220

5220

3 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Hasil iterasi pertama

0 = 0,693

Butir Xi Pi(0,693) Qi(0,693) Xi – Pi(0693) DPi(0,693)Qi(0,693)

1 1 0,947 0,053 0,053 0,085

2 0 0,765 0,235 – 0,765 0,306

3 1 0,372 0,628 0,628 0,397

– 0,084 0,788

1 = 0 + (– 0,084 / 0,788) = 0,693 – 0,107 = 0,586

Selisih = |0 – 1| = |0,693 – 0,586| = 0,107

Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan dengan iterasi kedua


------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 2

Butir 1

Dengan 1 = 0,586

(1,7)( + 1) = (1,7)(0,586 + 1) = 2,696

Q1(0,586) = 1 – P1(0,586) = 1 – 0,937 = 0,063

X1 – P1(0,586) = 1 – 0,937 = 0,063

DP1(0,586)Q1(0,586) = (1,7)(0,937)(0,063)

= 0,100

93701

58606962

6962

1 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 2

Dengan 1 = 0,586

(1,7)()= (1,7)(0,586) = 0,996

Q2(0,586) = 1 – P2(0,586) = 1 – 0,730 = 0,270

X2 – P2(0,586) = 0 – 0,730 = – 0,730

DP2(0,586)Q2(0,586) = (1,7)(0,730)(0,270)

= 0,335

73001

58609960

9960

2 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 3

Dengan 1 = 0,586

(1,7)( – 1) = (1,7)(0,586 – 1) = – 0,704

Q3(0,586) = 1 – P3(0,586) = 1 – 0,331 = 0,669

X3 – P3(0,586) = 1 – 0,331 = 0,669

DP3(0,586)Q3(0,586) = (1,7)(0,331)(0,669)

= 0,376

33101

58607040

7040

3 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Hasil iterasi kedua

1 = 0,586

Butir Xi Pi(0,586) Qi(0,586) Xi – Pi(0,586) DPi(0,586)Qi(0,586)

1 1 0,937 0,063 0,063 0,100

2 0 0,730 0,270 – 0,730 0,335

3 1 0,331 0,669 0,669 0,376

0,002 0,811

2 = 1 + ( 0,002 / 0,811) = 0,586 + 0,002 = 0,588

Selisih = |1 – 2| = |0,586 – 0,588| = 0,002

Selisih sudah cukup kecil, sehingga iterasi

dihentikan

Hasil estimasi parameter kemampuan

= 0,588 ≈ 0,59


------------------------------------------------------------------------------

• Rekapitulasi

0 = 0,693

Butir Xi Pi(0,693) Qi(0,693) Xi – Pi(0693) DPi(0,693)Qi(0,693)

1 1 0,947 0,053 0,053 0,085

2 0 0,765 0,235 – 0,765 0,306

3 1 0,372 0,628 0,628 0,397

– 0,084 0,788

1 = 0,586 Selisih = 0,107

1 = 0,586

Butir Xi Pi(0,586) Qi(0,586) Xi – Pi(0,586) DPi(0,586)Qi(0,586)

1 1 0,937 0,063 0,063 0,100

2 0 0,730 0,270 – 0,730 0,335

3 1 0,331 0,669 0,669 0,376

0,002 0,811

2 = 0,588 Selisih = 0,002

Estimasi ≈ 0,59


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 3

Satu responden menjawab 3 butir dengan hasil

Butir bi Xi 1 – 2,00 1 2 0,00 1 3 1,75 0

Estimasi parameter

Contoh 4


Butir bi Xi 1 – 1,0 1 2 0,0 1 3 1,0 0 4 1,5 1 5 2,0 0

Estimasi parameter


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5


Butir ai bi Xi

1 1,0 – 1,0 1

2 1,2 0,0 0

3 0,8 1,0 1

Estimasi parameter

• Probabilitas tiga butir itu adalah

))(,(

))(,(

)(

)(

),(

),(

)(

)(

))(,(

))(,(

)(

)(

)(

)(

)(

1361

1361

3

042

042

2

171

171

1

11

11

11

33

33

22

22

11

11

e

e

e

eP

e

e

e

eP

e

e

e

eP

bDa

bDa

bDa

bDa

bDa

bDa


------------------------------------------------------------------------------

• Rumus iterasi pada estimasi

• Titik awal estimasi 0 pada logit sukses

0 = 0,693

N

iiii

N

iiii

ss

QPaD

PXa

1

2

11

)()(

)]([

69302

3132

0 ,lnln)(

)(ln

g

g

Q

P


------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 1

Butir 1

Dengan 0 = 0,693

(1,7)( + 1) = (1,7)(0,693 + 1) = 2,878

Q1(0,693) = 1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053

a1[X1 – P1(0,693)] = 1,0 (1 – 0,947) = 0,053

Da21 P1(0,693)Q1(0,693)

= (1,7)(1,0)2(0,947)(0,053)

= 0,085

94701

69308782

8782

1 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 2

Dengan 0 = 0,693

(2,04)()= (2,04)(0,693) = 1,414

Q2(0,693) = 1 – P2(0,693) = 1 – 0,804 = 0,196

a2[X2 – P2(0,693)] = (1,2)(0 – 0,765) = – 0,965

Da22 P2(0,693)Q2(0,693)

= (1,7)(1,2)2(0,765)(0,235)

= 0,386

80401

69304141

4141

2 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 3

Dengan 0 = 0,693

(1,36)( – 1) = (1,36)(0,693 – 1) = – 0,418

Q3(0,693) = 1 – P3(0,693) = 1 – 0,397 = 0,603

a3[X3 – P3(0,693)] = (0,8)(1 – 0,397) = 0,482

Da23P3(0,693)Q3(0,693)

= (1,7)(0,8)2(0,397)(0,603)

= 0,260

39701

69304180

4180

3 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------


0 = 0,693

Butir Xi ai[Xi – Pi(0693)] Da2iPi(0,693)Qi(0,693)

1 1 0,053 0,085

2 0 – 0,965 0,386

3 1 0,482 0,260

– 0,430 0,731

1 = 0 + (– 0,430 / 0,731) = 0,693 – 0,588 = 0,105

Selisih = |0 – 1| = |0,693 – 0,105| = 0,588



------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 2

Butir 1

Dengan 1 = 0,105

(1,7)( + 1) = (1,7)(0,105 + 1) = 1,879

Q1(0,105) = 1 – P1(0,105) = 1 – 0,867 = 0,133

a1[X1 – P1(0,105)] = (1,0)(1 – 0,867) = 0,133

Da21P1(0,105)Q1(0,105)

= (1,7)(1,0)2(0,867)(0,133)

= 0,196

86701

10508791

8791

1 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 2

Dengan 1 = 0,105

(2,04)()= (2,04)(0,105) = 0,214

Q2(0,105) = 1 – P2(0,105) = 1 – 0,553 = 0,447

a2[X2 – P2(0,693)] = (1,2)(0 – 0,553) = – 0,664

Da22 P2(0,105)Q2(0,105)

= (1,7)(0,8)2(0,553)(0,447)

= 0,605

55301

10502140

2140

2 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 3

Dengan 1 = 0,105

(1,36)( – 1) = (1,36)(0,105 – 1) = – 1,217

Q3(0,105) = 1 – P3(0,105) = 1 – 0,228 = 0,772

a3[X3 – P3(0,105)] = (0,8)(1 – 0,228) = 0,618

Da23P3(0,105)Q3(0,105)

= (1,7)(0,8)2(0,228)(0,772)

= 0,192

22801

10502171

2171

3 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Hasil iterasi kedua

1 = 0,105


1 1 0,133 0,196

2 0 – 0,664 0,605

3 1 0,618 0,192

0,087 0,993

2 = 1 + (0,087 / 0,993) = 0,105 + 0,088 = 0,193

Selisih = |1 – 2| = |0,105 – 0,193| = 0,088

Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan dengan iterasi ketiga


------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 3

Butir 1

Dengan 2 = 0,193

(1,7)( + 1) = (1,7)(0,193 + 1) = 2,028

Q1(0,193) = 1 – P1(0,193) = 1 – 0,884 = 0,116

a1[X1 – P1(0,193)] = (1,0)(1 – 0,884) = 0,116

Da21P1(0,193)Q1(0,193)

= (1,7)(1,0)2(0,884)(0,116)

= 0,174

88401

19300282

0282

1 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 2

Dengan 2 = 0,193

(2,04)()= (2,04)(0,193) = 0,394

Q2(0,193) = 1 – P2(0,193) = 1 – 0,597 = 0,403

a2[X2 – P2(0,193)] = (1,2)(0 – 0,597) = – 0,716

Da22 P2(0,193)Q2(0,193)

= (1,7)(0,8)2(0,597)(0,403)

= 0,589

59701

19303940

3940

2 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Butir 3

Dengan 2 = 0,193

(1,36)( – 1) = (1,36)(0,193 – 1) = – 1,098

Q3(0,193) = 1 – P3(0,193) = 1 – 0,250 = 0,750

a3[X3 – P3(0,193)] = (0,8)(1 – 0,250) = 0,600

Da23P3(0,193)Q3(0,193)

= (1,7)(0,8)2(0,250)(0,750)

= 0,204

25001

19300981

0981

3 ,),(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Hasil iterasi ketiga

2 = 0,193


1 1 0,116 0,714

2 0 – 0,716 0,589

3 1 0,600 0,204

0,000 0,967

3 = 2 + (0,000 / 0,967) = 0,193 + 0,000 = 0,193

Selisih = |1 – 2| = |0,193 – 0,193| = 0,000

Selisih sudah cukup kecil sehingga iterasi dihentikan

Estimasi = 0,193


------------------------------------------------------------------------------

• Rekapitulasi

0 = 0,693

Butir Xi ai[Xi – Pi()] Da2iPi()Qi()

1 1 0,053 0,085 2 0 – 0,965 0,386 3 1 0,482 0,260 – 0,430 0,731

1 = 0,105 selisih = 0,588

1 = 0,105


1 1 0,133 0,196 2 0 – 0,664 0,605 3 1 0,618 0,192 – 0,087 0,993

2 = 0,193 selisih = 0,088

2 = 0,193


1 1 0,116 0,174 2 0 – 0,716 0,589 3 1 0,600 0,204 0,000 0,967

3 = 0,193 selisih = 0,000 = 0,193


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 6


Butir ai bi Xi

1 0,75 – 2,00 1

2 1,25 0,00 1

3 1,00 1,75 0

Estimasi parameter

Contoh 7


Butir ai bi Xi

1 2,00 0,00 1

2 1,00 – 0,50 0

3 2,50 0,00 1

4 1,50 – 0,50 0

5 2,50 0,50 0

Estimasi parameter


------------------------------------------------------------------------------

5. Beberapa Hal pada Estimasi Parameter

Ada sejumlah hal yang perlu diperhatikan pada estimasi parameter ini

• Parameter kemampuan akan menuju minus atau plus tak hingga jika semua butir adalah betul atau semua butir adalah salah

• Pada L3P, apabila responden berkemampuan tinggi banyak menjawab salah pada butir mudah atau sebaliknya maka nilai parameter kemampuan juga menuju ke minus atau plus tak hingga

• Parameter kemampuan memiliki ciri asimptotik, artinya, jika butirnya banyak, distribusi parameter kemampuan menuju ke distribusi probabilitas normal, sehingga

• Pada taraf keyakinan 1 , dapat dibuat estimasi

2

1

2

1ˆˆˆ zz


------------------------------------------------------------------------------

B. Estimasi Parameter Butir

1. Parameter yang diestimasi

• Ada tiga besaran yang menentukan parameter butir. Mereka adalah

• Di sini I dan III diketahui sehingga melalui kebolehjadian maksimum, II diestimasi

• Pada L1P hanya satu parameter (b) yang diestimasi, pada L2P dua parameter (a dan b) dan pada L3P tiga parameter (a, b, dan c)

P()

a, b, cI II

III


------------------------------------------------------------------------------

2. Estimasi Parameter Butir melalui Cara Coba-coba

Sebelum menggunakan rumus untuk melakukan estiamsi, di sini, estimasi parameter butir dilakukan dengan cara coba-coba

Contoh 8

Pada model L1P, 9 responden dengan berbagai parameter kemampuan menjawab satu butir. Jawaban betul (X = 1) dan jawaban salah (X = 0) adalah

Responden g Xg

1 – 1,72 0

2 – 1,13 0

3 – 0,72 0

4 – 0,40 0

5 – 0,10 0

6 0,20 1

7 0,52 1

8 0,92 1

9 1,52 0


------------------------------------------------------------------------------

Kebolehjadian L adalah

L = (P01Q1

1)(P02Q1

2)(P03Q1

3)(P04Q1

4)(P05Q1

5)

(P16Q0

6)(P17Q0

7)(P18Q0

8)(P09Q1

9)

= Q1Q2Q3Q4Q5P6P7P8Q9

Dengan D = 1,7, pada model L1P

sehingga

)(7,1)(7,1 1

1)(;

1

1)(

bgbg eQ

eP

),(,

),(,

),(,

),(

.

.

.

),(

),(

b

b

b

eQ

eQ

eQ

521719

131712

721711

1

1521

1

1131

1

1721


------------------------------------------------------------------------------

Disusun ke dalam tabel untuk berbagai b

b Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 Lx10-3

–1,5 0,592 0,348 0,210 0,134 0,085 0,947 0,969 0,984 0,005 0,003

–1,0 0,773 0,555 0,383 0,265 0,178 0,885 0,930 0,963 0,014 0,084

–0,5 0,888 0,745 0,592 0,458 0,336 0,767 0,850 0,918 0,031 1,127

0,0 0,949 0,872 0,773 0,664 0,542 0,584 0,708 0,827 0,070 5,525

0,1 0,957 0,890 0,801 0,701 0,584 0,542 0,671 0,801 0,082 6,688

0,2 0,963 0,905 0,827 0,735 0,625 0,500 0,633 0,773 0,096 7,763

0,3 0,969 0,919 0,850 0,767 0,664 0,458 0,592 0,742 0,112 8,645

0,4 0,974 0,931 0,870 0,796 0,701 0,416 0,551 0,708 0,130 9,241

0,5 0,978 0,941 0,888 0,822 0,735 0,375 0,508 0,671 0,150 9,490

0,6 0,981 0,950 0,904 0,846 0,767 0,336 0,466 0,633 0,173 9,373

0,7 0,984 0,957 0,918 0,866 0,796 0,299 0,424 0,592 0,199 8,914

0,8 0,986 0,964 0,930 0,885 0,822 0,265 0,383 0,551 0,227 8,173

0,9 0,989 0,969 0,940 0,901 0,846 0,233 0,344 0,508 0,258 7,236

1,0 0,990 0,974 0,949 0,915 0,866 0,204 0,307 0,466 0,292 6,194

1,5 0,996 0,989 0,978 0,962 0,938 0,099 0,159 0,272 0,492 1,823

2,0 0,998 0,995 0,990 0,983 0,973 0,045 0,075 0,138 0,693 0,300

Kebolehjadian maksimum adalah 9,490.10-3

dengan b di sekitar 0,5


------------------------------------------------------------------------------

3. Perhitungan Kebolehjadian Maksimum

Untuk M responden pada satu butir, kebolehjadian

Dalam bentuk logaritma naturalis

Estimasi parameter butir melalui kebolehjadian maksimum

Untuk parameter b

M

g

Xg

Xg

ggQPL1

1)()(

M

ggggg QXPXL

1

1 )(ln)()(lnln

0)()(

)(

1

0ln

1

gigi

M

g gi

igi

i

i PXP

cP

c

Da

b

L


------------------------------------------------------------------------------

Untuk parameter a

Untuk parameter c

0

1

0

1

M

g gi

gigiigiig

i

i

P

PXcPb

c

D

a

L

)(

)()()(

ln

0)(

)(

1

1

0ln

1

M

g gi

gigi

i

i

P

PX

c

c

L


------------------------------------------------------------------------------

4. Estimasi Parameter Butir melalui Metoda Pendekatan Newton-Raphson

• Kebolehjadian pada jawaban dikotomi

Xi = 1 untuk jawaban betul

Xi = 0 untuk jawaban salah (dan blanko)

sehingga pada Xi = 1 P()Q() = P()

pada Xi = 0 P()Q() = Q()

dan fungsi kebolehjadian menjadi

Dengan mengenakan logaritma, diperoleh

M

g

X

g

X

gggQPL

1

1)()(

M

ggggg QXPXL

1

1 )(ln)()(lnln


------------------------------------------------------------------------------

• Pada model L1P, M responden menjawab 1 butir

• Kebolehjadian maksimum dicapai melalui

• Estimasi melalui metoda pendekatan Newton-Raphson menghasilkan iterasi

Dengan memasukkan model karakteristik butir (L1P, L2P, atau L3P), maka diperoleh bentuk iterasi untuk tiap model

0db

Ld ln

2

21 ln

ln

dbLd

dbLd

bb ss


------------------------------------------------------------------------------



M

ggg

g

M

gg

QPDdb

Ld

PXDdb

Ld

1

22

2

1

)().(ln

)]([ln

N

igg

N

igg

ss

QPD

PXbb

1

11

)().(

)]([


------------------------------------------------------------------------------

5. Prosedur Estimasi Parameter Butir pada Model L1P

• Paramter kemampuan telah diketahui pada metrik tertentu sehingga hasil estimasi parameter butir terletak pada metrik itu

• Di ini prosedur ini dilakukan melalui contoh pada model L1P

Contoh 9

Suatu responden menjawab tiga butir dengan hasil

Responden g Xg

1 – 1 1 2 0 0 3 1 1

Estimasi parameter b dari butir itu


------------------------------------------------------------------------------

• Probabilitas pada setiap fresponden

• Perhitungan ini memerlukan sejumlah data, mencakup

Titik awal interasi b0 yang ditentukan oleh logit gagal

Rumus iterasi pada metoda pendekatan Newton-Raphson untuk L1P

))(,(

))(,(

)(

)(

,

,

)(

)(

))(,(

))(,(

)(

)(

)(

)(

)(

b

b

bD

bD

b

b

bD

bD

b

b

bD

bD

e

e

e

eP

e

e

e

eP

e

e

e

eP

171

171

3

71

71

2

171

171

1

11

11

11

3

3

2

2

1

1

M

ggg

M

ggg

s

QPD

PX

bb

1

101

)()(

)]([


------------------------------------------------------------------------------

• Nilai titik awal

bo = – 0,693

• Perhitungan estimasi memerlukan beberapa besaran, seperti tampak pada rumus, meliputi

Pg()

Qg()

Xg – Pg()

DPg()Qg()

Perhitungan dilakukan dalam bentuk tabel untuk memudahkan perhitungan

Setiap iterasi menghasilkan satu tabel

69302

1

3231

0 ,lnln)(

)(ln

i

i

P

Qb


------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 1

Responden 1: 1 = – 1

Dengan b0 = – 0,693

– 1,7 (1 + b0) = – (1,7)(1 – 0,693) = – 0,522

Q1(– 1) = 1 – P1(– 1) = 1 – 0,372 = 0,628

X1 – P1(– 1) = 1 – 0,372 = 0,628

DP1(– 1)Q1(– 1) = (1,7)(0,372)(0,628) = 0,397

37201

15220

5220

1 ,)(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Responden 2: 2 = 0

Dengan b0 = – 0,693

– 1,7 b0 = – (1,7)( – 0,693) = 1,178

Q2( 0 ) = 1 – P2( 0 ) = 1 – 0,765 = 0,235

X2 – P2( 0 ) = 0 – 0,765 = – 0,765

DP2( 0 )Q2( 0 ) = (1,7)(0,765)(0,235) = 0,306

76501

01781

1781

2 ,)(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Responden 3: 3 = 1

Dengan b0 = – 0,693

1,7 (1 – b0) = (1,7)(1 + 0,693) = 2,878

Q3(1) = 1 – P3(1) = 1 – 0,947 = 0,053

X3 – P3(1) = 1 – 0,947 = 0,053

DP3(1)Q3(1) = (1,7)(0,947)(0,053) = 0,085

94701

18782

8782

3 ,)(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------


b0 = – 0,693

Responden Xg Xg – Pg() DPg()Qg()

1 1 0,628 0,397

2 0 – 0,765 0,306

3 1 0,053 0,085

– 0,084 0,788

b1 = b0 – (– 0,084 / 0,788) = – 0,693 + 0,107

= – 0,586

Selisih = |b0 – b1| = |– 0,693 + 0,586| = 0,107



------------------------------------------------------------------------------

• Iterasi 2

Responden 1: 1 = – 1

Dengan b1 = – 0,586

– 1,7 (1 + b1) = – (1,7)(1 – 0,586) = – 0,704

Q1(– 1) = 1 – P1(– 1) = 1 – 0,331 = 0,669

X1 – P1(– 1) = 1 – 0,331 = 0,669

DP1(– 1)Q1(– 1) = (1,7)(0,331)(0,669) = 0,376

33101

17040

7040

1 ,)(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Responden 2: 2 = 0

Dengan b1 = – 0,586

– 1,7 b1 = – (1,7)( – 0,586) = 0,996

Q2( 0 ) = 1 – P2( 0 ) = 1 – 0,730 = 0,270

X2 – P2( 0 ) = 0 – 0,730 = – 0,730

DP2( 0 )Q2( 0 ) = (1,7)(0,730)(0,270) = 0,335

73001

09960

9960

2 ,)(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Responden 3: 3 = 1

Dengan b1 = – 0,586

1,7 (1 – b1) = – (1,7)(1 + 0,586) = 2,696

Q3( 1 ) = 1 – P3( 1 ) = 1 – 0,937 = 0,063

X3 – P3( 1 ) = 1 – 0,937 = 0,063

DP3( 1 )Q3( 1 ) = (1,7)(0,937)(0,063) = 0,100

93701

16962

6962

3 ,)(,

,

e

eP


------------------------------------------------------------------------------

Hasil iterasi kedua

b1 = – 0,586

Responden Xg Xg – Pg() DPg()Qg()

1 1 0,669 0,376

2 0 – 0,730 0,335

3 1 0,063 0,100

0,002 0,811

b2 = b1 – ( 0,002 / 0,811) = – 0,586 – 0,002

= – 0,588

Selisih = |b1 – b2| = |– 0,586 + 0,588| = 0,002

Selisih sudah cukup kecil, iterasi dihentikan

b = – 0,588 ≈ – 0,59


------------------------------------------------------------------------------

• Rekapitulasi

b0 = – 0,693

Responden Xg Xg – Pg() DPg()Qg() 1 1 0,628 0,397 2 0 – 0,765 0,306 3 1 0,053 0,085 – 0,084 0,788

b1 = – 0,586 selisih = 0,107

b1 = – 0,586

Responden Xg [Xg – Pg() DPg()Qg() 1 1 0,669 0,376 2 0 – 0,730 0,335 3 1 0,063 0,100 0,002 0,811

b2 = – 0,588 selisih = 0,002

b = – 0,59


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 10

Tiga responden menjawab satu butir dengan hasil

Responden g Xg

1 – 1 0

2 0 0 3 1 1


Contoh 11

Tiga responden menjawab satu butir dengan hasil

Responden g Xg

1 – 2,00 0 2 0,00 1 3 1,75 1



------------------------------------------------------------------------------

6. Prossedur Estimasi Parameter Butir pada Model

L2P dan L3P

• Estimasi parameter butir model L2P melibatkan 2 parameter butir

• Untuk N butir, ada 2N parameter butir yang perlu diestimsi

• Estimasi parameter butir model L3P melibatkan 3 parameter butir

• Untuk N butir ada 3N parameter butir yang perlu diestimasi

• Prosedur estimasi menjadi cukup rumit sehingga sebaiknya dilakukan melalui program komputer

Education

Psikometri Bab a22