STATISTIK DASAR

OLEH :

1. DIAH OCTAVIANTY (06081181419002)

2. CAHAYA WANIA (06081181419010)

3. LINDA ROSALINA (06081281419014)

Dosen Pembimbing:

1. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si

2. Puji Astuti, S.Pd. M.Sc.

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAR SRIWIJAYA

2015

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan

hidayah-Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini.

Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Prof. Dr. Ratu Ilma Indra

Putri, M.Si.selaku dosen pembimbing mata kuliah statistika dasar yang telah

memberikan tugas, sehingga dapat menambah wawasan kami serta dapat

memberikan pengetahuan bagi seluruh pembaca.

Kami sangat menyadari dalam penyusunan makalah ini terdapat banyak

kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan

sarannya dari Ibu. Sehingga dikemudian hari dapat kami dapat membuat makalah

lebih baik lagi. Semoga makalah ini dapat digunakan dengna baik dan bermanfaat

bagi kita semua. Aamiin.

Mengetahui,

Dosen Pembimbing Palembang,4 Desember 2015

Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si Penyusun

3

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................. 2Daftar Isi ................................................................................................. 3

ISI

BAB IPengertian Statistik, Statistika, Statistik Deskriptif dan Statistik Inferensial, Macam-Macam Data

.......................................................... 4

BAB IIPenyajian Data dan aplikasi pada data penelitian .......................................................... 12

BAB IIIDaftar Distribusi Frekuensi dan aplikasi pada data penelitian .......................................................... 20

BAB IVUkuran Pemusatan, Ukuran Penyebaran .......................................................... 32

BAB VUkuran keruncingan .......................................................... 46BAB VIDistibusi Binomial, Poisson .......................................................... 58BAB VIIDistribusi Normal dan aplikasinya .......................................................... 66BAB VIIIUji Normalitas dan Homogenitas .......................................................... 76BAB IXUji Hipotesis .......................................................... 100BAB XUji Hipotesis satu rata-rata .......................................................... 107BAB XIUji Hipotesis dua rata-rata .......................................................... 115DAFTAR PUSTAKA .......................................................... 124

4

BAB I

STATISTIKA DAN MACAM-MACAM DATA

A. STATISTIK DAN STATISTIKA

1. Pengertian Statistik dan Statistika

Pengertian statistik menurut para ahli

Menurut Prof. Dr. H. Agus Irianto, statistik adalah sekumpulan cara

maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan

(analisis), penarikan kesimpulan, atas data-data yang berbentuk angka

dengan menggunakan suatu asumsi-asumsi tertentu.

Menurut Stoel dan Torrie, statistik adalah metode yang memberikan

cara-cara guna menilai ketidaktentuan dari penarikan kesimpulan yang

bersifat induktif.

Menurut Anto Dajan, statistik adalah metode/asas-asas mengerjakan/

memanipulasi data kuantitatif agar angka-angka tersebut berbicara.

Menurut Prof. Drs. Sutrisno Hadi MA, statistik adalah cara untuk

mengolah data dan menarik kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan

keputusan-keputusan yang logik dari pengolahan data.

Berdasarkan pengertian-pengertian statistik di atas, maka dapat

disimpulkan bahwa statistik adalah suatu metoda atau cara untuk

mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menarik kesimpulan, serta

menyajikan dan mempublikasikan data fakta yang berbentuk maupun

bukan angka yang disusun dalam bentuk tabel (daftar) dan atau diagram

yang menggambarkan atau berkaitan dengan suatu masalah tertentu.

Pengertian Statistika Menurut Para Ahli

Menurut Sujana, statistika adalah pengetahuan yang berhubungan

dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta penganalisaannya,

penarikan kesimpulan, penyajian dan publikasi dari data-data yang

berbentuk angka.

5

Menurut Sudrajat, statistika adalah ilmu pengetahuan mengenai cara

dan aturan dalam hal pengumpulan data, pengolahan, analisa, penarikan

keseimpulan, penyajian dan publikasi dari kata-kata yang berbentuk angka.

Berdasarkan pengertian-pengertian di atas, maka dapat disimpulkan

bahwa statistika adalah ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan metode,

teknik atau cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan

menginterprestasikan data untuk disajikan secara lengkap dalam bentuk

yang mudah dipahami penggunan.

2. Fungsi Statistik

Menurut Budiyuwono (1987), fungsi-fungsi Statistik dapat dijelaskan

sebagai berikut :

a. Statistik menggambarkan data dalam bentuk tertentu. Tanpa adanya

Statistik, data menjadi kabur dan tidak jelas.

b. Statistik dapat menyederhanakan data yang kompleks menjadi data yang

mudah dimengerti. Data yang kompleks dapat disederhanakan dalam

bentuk tabel,grafik, maupun diagram dalam bentuk lain, seperti rata-rata,

persentase atau koefisien-koefisien sehingga mudah dimengerti.

c. Statistik merupakan teknik untuk membuat perbandingan. Dengan

menyederhanakan data dalam bentuk rata-rata ataupun persentase, suatu

kelompok dan kelompok lainnya dapat dikelompokkan dengan mudah.

d. Statistik dapat memperluas pengalaman individual. Pengalaman

individual sangat terbatas pada apa yang dilihat dan apa yang dapat

diteliti, yang merupakan bagian kecil dari tata kehidupan sosial

seluruhnya. Pengetahuan individual dapat diperluas dengan cara

mempelajari kesimpulan-kesimpulan berdasarkan data penilaian lain.

e. Statistik dapat mengukur besaran dari suatu gejala. Dengan mempelajari

Statistik, berbagai gejala, baik yang bersifat sosial maupun ekonomi

dapat dipelajari.

6

f. Statistik dapat menentukan hubungan sebab-akibat. Statistik dapat

menentukan sebab-sebab pokok suatu gejala yang selanjutnya digunakan

untuk mengadakan prediksi atau ramalan.

3. Kegunaan Statistik

Menurut Agus Iriyanto (1988), Statistik digunakan untuk :

a. Membantu peneliti dalam menggunakan sampel sehingga peneliti dapat

bekerja efisien dengan hasil yang sesuai dengan objek yang ingin diteliti.

b. Membantu peneliti untuk membaca data yang telah terkumpul sehingga

peneliti dapat mengambil keputusan yang tepat.

c. Membantu peneliti untuk melihat ada tidaknya perbedaan antara

kelompok yang satu dengan kelompok lainnya atas objek yang diteliti.

d. Membantu peneliti untuk melihat ada tidaknya hubungan antara variabel

yang sesuai dengan variabel lainnya.

e. Membantu peneliti dalam melakukan prediksi untuk waktu yang akan

datang.

f. Membantu peneliti untuk melakukan interpretasi atas data yang

terkumpul.

4. Ciri Khas Statistik

Beberapa ciri khas pokok Statistik menurut Sutrisno Hadi (1978), adalah

sebagai berikut :

a. Statistik bekerja dengan angka.

Angka-angka dalam Statistik mempunyai dua pengertian. Pengertian

pertama mengandung arti bahwa data Statistik adalah data kuantitatif,

misalnya dalam menyatakan jumlah siswa SMU di suatu kabupaten,

sudah tentu diperlakukan angka-angka yang menyatakan jumlah siswa.

Pengertian yang kedua adalah angka Statistik sebagai nilai mempunyai

arti kualitatif yang diwujudkan dalam angka, seperti kecerdasan, metode

mengajar, mutu sekolah dan sebagainya.

7

b. Statistik bersifat objektif

Statistik bekerja dengan angka sehingga mempunyai sifat objektif,

artinya angka Statistik dapat digunakan sebagai alat pengungkap

kenyataan dan kebenaran berbicara apa adanya.

c. Statistik bersifat universal

Statistik tidak hanya digunakan dalam suatu disiplin ilmu saja, tetapi

dapat digunakan secara universal dalam berbagai disiplin ilmu.

B. STATISTIK DESKRIPTIF DAN STATISTIK INFERENSIAL

Statistika dibedakan berdasarkan jenisnya menjadi dua yaitu Statistika

Deskriptif dan Statistika Inferensia.

Statistika deskriptif adalah statistika yang berkaitan dengan metode atau

cara medeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan atau menguraikan data.

Statistika deskripsi mengacu pada bagaimana menata, menyajikan dan

menganalisis data, yang dapat dilakukan misalnya dengan menentukan nilai

rata-rata hitung, median, modus, standar deviasi atau menggunakan cara lain

yaitu dengan membuat tabel distribusi frekuensi dan diagram atau grafik.

Statistika inferensia adalah statistika yang berkaitan dengan cara

penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk

menggambarkan karakteristik dari suatu populasi. Dengan demikian dalam

statistika inferensia data yang diperoleh dilakukan generalisasi dari hal yang

bersifat kecil (khusus) menjadi hal yang bersifat luas (umum).

Di sini terjadi pengujian signifikansi dari suatu analisis yang biasanya

didasarkan pada tabel seperti tabel-t untuk uji-t dan tabel-F untuk uji-F

(dapat digunakan alat bantu lainnya seperti MS - Excel).

Statistik inferensial terbagi atas dua, yaitu statistik parametrik dan

statistik nonparametrik. Statistik parametrik adalah statistik yang

berhubungan dengan inferensi statistik yang membahas parameter-

parameter populasi seperti rata-rata proporsi, dan lain-lain. Dengan ciri-ciri

parametrik adalah jenis data interval atau rasio serta distribusi data

8

(populasi) adalah normal atau mendekati normal. Contoh metode statistik

parametric, yaitu:

a. Uji-z (1 atau 2 sampel)

b. Uji-t (1 atau 2 sampel

c. Korelasi pearson,

d. Perancangan percobaan (one or two-way anova parametrik), dll.

Sedangkan statistik nonparametric adalah inferensi statistik yang tidak

membahas parameter-parameter populasi dengan ciri, yaitu data nominal

atau ordinal serta distribusi data (populasi) yang tidak diketahui atau bisa

disebut tidak normal. Contoh metode statistik non-parametrik adalah:

a. Uji tanda (sign test)

b. Rank sum test (wilcoxon)

c. Rank correlation test (spearman)

d. Fisher probability exact test.

e. Chi-square test, dll

Data kasar (raw data) diperoleh dari hasil pengukuran suatu variable pada

sampel yang diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan

sampel tertentu. Langkah-langkah kegiatan statistika untuk menangani data

kasar, yaitu:

1. Pengumpulan data

2. Pengolahan data (diurutkan atau digolongkan)

3. Penyajian data dalam tabel atau grafik

4. Penafsiran sajian data

5. Analisa data

6. Penafsiran dan pengambilan kesimpulan

7. Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan utk penentuan kegiatan

8. penelitian lebih lanjut

Untuk 1, 2, 3, 4, dan 7 disebut statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa

generalisasi, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-

perhitungan saja). Data ini disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

9

(mean, median, dan modus), bar-diagram, histogram, polygon, dll.

Sedangkan untuk 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 disebut statistik inferensial (dengan

analisis, generalisasi, dan pengujian hipotesis).

C. MACAM-MACAM DATA

a. Pengolongan Data

Data menurut sifat angka

- Data Diskrit (data anumeration)

Angka-angka yang tidak memiliki desimal atau pecahan di antara

bilangan bulatnya, diperoleh dari menghitung. Misalnya: Jumlah Siswa-

Siswi kelas V.5 SMP Negeri 54 Palembang tahun ajaran 2015 sebanyak

40 orang.

- Data Kontinu (data measurement)

Kumpulan angka-angka yang masih dimungkinkan memiliki bilangan

desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya yang banyaknya tak

terhingga, biasanya didapatkan dari proses pengukuran. Misalnya:

Siswa-siswi kelas V.5 SMP Negeri 54 Palembang memiliki berat badan

rata-rata 37,75 kg.

Data menurut sifatnya

- Data Kualitatif

Data yang tidak berbentuk angka dan tidak pula memungkinkan secara

langsung dapat diubah menjadi angka, sehingga menggunakan

pendekatan dalam bentuk kategori. Contoh: pemandangan bagus, wajah

cantik, penataan rapi, kebijaksanaan tepat, perkataannya benar.

- Data Kuantitatif, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk angka.

Contohnya : FKIP Unsri Indralaya mempunyai 4 gedung perkuliaan.

10

Data menurut sumbernya

- Data Primer : data yang diperoleh secara langsung dengan

melakukan sendiri pengumpulan terhadap obyek.

- Data Sekunder : data yang diperoleh dari olahan data primer

- Data Tersier : data yang diperoleh dari olahan data sekunder.

- Data Kuarter : data yang diperoleh dari data tersier yang telah

diolah terlebih dahulu.

Data menurut cara menyusun angkanya

- Data nominal, yaitu data statistik yang cara menyusunnya didasarkan

pada klasifikasi tertentu. Misalnya: Jumlah Siswa-Siswi kelas V.5 SMP

Negeri 54 Palembang menurut jenis kelaminnya.

- Data ordinal/urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya

didasarkan pada urutan/ranking. Misalnya: Hasil nilai ujian Matematika

Siswa-Siswi kelas V.5 SMP Negeri 54 Palembang berdasarkan ranking.

- Data interval, yaitu data statistik dimana terdapat jarak yang sama di

antara hal-hal yang sedang diteliti

Data berdasarkan bentuk angkanya

- Data tunggal, yaitu data statistik yang angka-angkanya merupakan satu

unit atau satu kesatuan, tidak dikelompokkan.

- Data kelompok, yaitu data statistik tiap unitnya terdiri dari sekelompok

angka, 71-75, 86-80, 91-95, dst.

Data berdasarkan waktu pengumpulannya

- Data seketika, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan pada suatu

waktu saja. Contoh : Pada semester gazal 2014/2015.

- Data urutan waktu, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan dari

waktu ke waktu secara berurutan. Contoh: Jumlah Siswa-Siswi SMP

Negeri 54 Palembang lulus dari tahun 2010-2015.

11

b. Sumber Data Statistika

- Data primer

Data primer merupakan sumber data yang diperoleh langsung dari

sumber asli (tidak melalui media perantara). Data primer dapat berupa

opini subjek (orang) secara individual atau kelompok, hasil observasi

terhadap suatu benda (fisik), kejadian atau kegiatan, dan hasil

pengujian. Metode yang digunakan untuk mendapatkan data primer

yaitu : (1) metode survei dan (2) metode observasi.

Sumber data primer, misalnya:

1. Wawancara langsung

2. Wawancara tidak langsung

3. Pengisian kuisione

- Data sekunder

Data sekunder merupakan sumber data penelitian yang diperoleh

peneliti secara tidak langsung melalui media perantara (diperoleh dan

dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya berupa bukti, catatan

atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip (data dokumenter)

yang dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan. Sumber data

sekunder, misalnya, data dari pihak lain seperti:

1. BPS

2. Bank Indonesia

3. Diknas

12

BAB II

PENYAJIAN DATA DAN APLIKASI PADA DATA

PENELITIAN

A. DEFINISI PENYAJIAN DATA

Penyajian data merupakan salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan

hasil penelitian yang telah dilakukan agar dapat dipahami dan dianalisis

sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Adapun tujuan penyajian data yaitu

sebagai berikut :

a. Memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang

merupakan hasil penelitian atau observasi;

b. Data lebih cepat ditangkap dan dimengerti;

c. Memudahkan dalam membuat analisis data;

d. Membuat proses pengambilan keputusan dan kesimpulan lebih tepat, cepat

dan akurat.

B. BENTUK PENYAJIAN DATA

Bentuk penyajian data secara garis besar dibagi menjadi dua cara, yaitu

dengan daftar atau tabel dan diagram atau grafik. Dua cara penyajian data ini

saling berkaitan karena pada dasarnya sebelum dibuat grafik data tersebut

berupa tabel.

1. Penyajian data dengan tabel

Penyajian data dalam bentuk tabel merupakan penyajian data dalam

bentuk angka yang disusun secara teratur dalam bentuk kolom dan baris.

Penyajian dalam bentuk tabel banyak digunakan pada penulisan laporan hasil

penelitian dengan maksud agar orang mudah memperoleh gambaran rinci

tentang hasil penelitian yang telah dilakukan. Penyajian data dengan

menggunakan tabel biasanya digunakan untuk menyajikan data yang terdiri

13

atas beberapa variabel dengan beberapa kategori. Tabel dibagi menjadi tiga

macam, antara lain yaitu:

Tabel baris dan kolom

Terdiri dari baris dan kolom, yang mempunyai ciri tidak terdiri dari

faktor-faktor yang terdiri dari beberapa kategori dan bukan

merupakan data kuantitatif yang dibuat menjadi beberapa kelompok.

Contoh:

Tabel Daftar Indeks Prestasi Kumulatif

Seorang Mahasiswa Pend.Matematika Univ Sriwijaya

SEMESTER IPK

I 3,56

II 3,76

III 3,92

IV 3,86

V 3,82

VI 3,72

VII 3,62

VII 3,56

Sumber: data karangan

Tabel kontingensi

Merupakan bagian dari tabel kolom dan baris akan tetapi tebel ini

memiliki ciri khusus, yaitu untuk menyajikan data yang terdiri atas

dua faktor atau dua variabel, faktor yang satu terdiri atas b kategori

dan yang lainya terdiri dari k kategori , dapat dibuat daftar

kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris an k

menyatakan kolom.

Contoh:

Partisipasi Pendidikan Berdasarkan Jenis Kelamin Di Kota

Palembang 2010-2015

14

JENIS KELAMIN S-1 S-2 S-3 JUMLAH

PRIA 13.000 9.300 6.700 29.000

WANITA 11.000 9.750 8.100 28.850

JUMLAH 24.000 19.050 14.800 57.850

Sumber:data karangan

Tabel distribusi frekuensi

Tabel distribusi frekuensi merupakan sebuah tabel yang berisikan

nilai-nilai data, dengan nilai-nilai tersebut dikelompokan kedalam

interval-interval dan setiap interval nilai memiliki frekuensi

masing-masing.

Contoh:

Hasil Nilai Tengah Semester Statistik Dasar

Dari Mahasiswa Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fkip

Unsri 2010-2011

NILAI BANYAK MAHASISWA

61-65 4

66-70 9

71-75 11

76-80 2

81-85 4

86-90 7

91-95 3

JUMLAH 40

Sumber:data karangan

Berdasarkan komponennya ada tiga jenis bentuk tabel,antara lain yaitu:

• Tabel satu arah atau satu komponen adalah tabel yang hanya terdiri atas

satu kategori atau karakteristik data.

Contoh:

15

Nilai Mata Kuliah Statistik DasarMahasiswa Pend.Matematika Fkip Unsri

2014-2015

NILAI FREKUENSI

A 53

B 27

C 13

D 5

Total 98

Sumber:data karangan

• Tabel dua arah atau dua komponen adalah tabel yang menunjukkan dua

kategori atau dua karakteristik.

Contoh:

Data Kelulusan Siswa Diberbagai Tingkatan Sekolah Kota Palembang

Tahun 2014-2015

TINGKAT SEKOLAH BANYAK SISWA YANG LULUS BANYAK SISWA YANG TIDAK LULUS

SD 1.523 542

SMP 1.246 478

SMA 1.563 564

SMK 789 301

JUMLAH 5.121 1.885

Sumber:data karangan

• Tabel tiga arah atau tiga komponen adalah tabel yang menunjukkan tiga

kategori atau tiga karakteristik.

Contoh:

16

PARTISIPASI PENDIDIKAN BERDASARKAN JENIS KELAMIN KOTA PALEMBANG

2010-2015

JENIS KELAMIN S-1 S-2 S-3

PRIA 13.000 9.300 6.700

WANITA 11.000 9.750 8.100

JUMLAH 24.000 19.050 14.800

Sumber:data karangan

2. Penyajian data dengan grafik/diagram

Penyajian data dengan grafik merupakan pengembangan dari

penyajian data menggunakan tabel. Penyajian data dengan grafik dianggap

lebih komunikatif karena dalam waktu singkat dapat diketahui

karakteristik dari data yang disajikan. Terdapat beberapa jenis grafik

yaitu :

• Grafik garis (line chart)

Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data

berkala. Line chart (diagram garis) merupakan diagram yang digunakan

untuk menggambarkan keadaan yang serba terus atau

berkesinambungan. Diagram garis memiliki sistem sumbu

datar(horizontal) dan sumbu tegak(vertikal) yang saling berpotongan

tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya

waktu dan berat. Sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi data.

17

A B C D0

10

20

30

40

50

6053

27

135

NILAI MATA KULIAH STATISTIK DASARMAHASISWA PEND.MATEMATIKA FKIP UNSRI

2014-2015

FREKUENSI

NILAI

FREK

UEN

SI M

AHAS

ISW

A

• Grafik batang / balok (bar chart)

Grafik batang bertujuan untuk melihat kecenderungan data menurut

waktu, dimana sumbu x berisi data waktu dan sumbu y menunjukkan

frekuensi nilai dari variabel data dan membandingkan beberapa

pengamatan data menurut tempat dan jenis atau kategori tertentu.

A B C D

0

20

40

60

5327

135

NILAI MATA KULIAH STATISTIK DASARMAHASISWA PEND.MATEMATIKA FKIP UNSRI

2014-2015

FREKUENSI

NILAI

FREK

UEN

SI M

AH

ASI

SWA

• Grafik lingkaran (pie chart)

Grafik lingkaran menyajikan data kualitatif sebagai bagian komponen

perbandingan dari keseluruhan. Syarat bentuk lingkaran dengan jumlah

komponen 100% atau 360°. Perhitungan luas komponen atau sektor

merupakan perbandingan yang dikalikan dengan 100%.

18

Partisipasi Pendidikan Tingkat S-1 Berdasarkan Jenis Kelamin

Di Kota Palembang

2010-2015

PRIA54%WANITA

46%

S-1

Sumber :data karangan

• Grafik Gambar (pictogram)

Diagram lambang adalah suatu diagram yang merupakan penyajian data

yang menggunakan lambang-lambang.

Contoh:

Grafik Nilai Teori Bilangan Pend. Matematika Fkip Unsri

2010-2011

NILAI LAMBANG

A

B

C

D

Sumber: data karangan

Ket : = Banyaknya 3 orang

C. APLIKASI DALAM PENELITIAN

Data yang disajikan sebaiknya sederhana dan jelas agar mudah dibaca.

Penyajian data juga dimaksudkan agar para pengamat dapat dengan mudah

memahami apa yang kita sajikan untuk selanjutnya dilakukan penilaian atau

perbandingan.

19

Suatu “penyajian” sebagai sekumpulan informasi tersusun yang memberi

kemungkinan adanya penarikan kesimpulan dan pengambilan tindakan.

Penyajian-penyajian yang lebih baik merupakan suatu cara yang utama bagi

analisis kualitatif yang valid, yang meliputi berbagai jenis matrik, grafik,

jaringan dan bagan. Semuanya dirancang guna menggabungkan informasi yang

tersusun dalam suatu bentuk yang padu dan mudah diraih. Dengan demikian

seorang penganalisis dapat melihat apa yang sedang terjadi, dan menentukan

apakah menarik kesimpulan yang benar ataukah terus melangkah melakukan

analisis yang menurut saran yang dikisahkan oleh penyajian sebagai sesuatu

yang mungkin berguna.

20

BAB III

DISTRIBUSI FREKUENSI & APLIKASI PADA DATA

PENELITIAN

1. PENGERTIAN DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Definisi distribusi frekuensi menurut para ahli:

Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah Suatu keadaan yang

menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang

dilambangkan dengan angka itu, telah tersalur, terbagi, atau terpencar.

(Sudijono Anas.2009: 37)

Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah suatu tabel yang

banyaknya kejadian atau frekuensi (cases) didistribusikan ke dalam

kelompok-kelompok (kelas-kelas) yang berbeda. (Budiyuwono,1987)

Dapat disimpulkan bahwa distribusi frekuensi adalah penyusunan data

ke dalam kelas-kelas tertentu, dimana setiap satu data hanya termasuk ke

dalam salah satu kelas tertentu saja. Dalam suatu penelitian, biasanya juga

akan dilakukan pengumpulan data. Salah satu cara untuk mengatur atau

menyusun data adalah dengan mengelompokan data-data berdasarkan ciri-ciri

penting dari sejumlah data ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung

banyaknya data yang masuk ke dalam setiap kelas.

Tujuan distribusi frekuensi, yaitu :

Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai

bahan informasi.

Memudahkan dalam menganalisa atau menghitung data, membuat table

dan grafik.

Kelebihan distribusi frekuensi, yaitu:

Dapat mengetahui gambaran informasi data secara menyeluruh.

21

Kekurangan distribusi frekuensi, yaitu :

Rincian data awal atau informasi awal menjadi hilang.

2. BAGIAN-BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Kelas adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan

nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas kelas

(Class Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah

distribusi, terbagi menjadi states class limit dan class boundaries (tepi

kelas).

a) stated class limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam

distribusi frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (batas bawah

kelas) dan upper class limit (batas atas kelas).

b) class boundaries (tepi kelas) adalah batas kelas yang

sebenarnya, terdiri dari lower class boundary (batas bawah kelas

yang sebenarnya) dan upper class boundary (batas atas kelas yang

sebenarnya).

Panjang kelas atau lebar kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan

dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.

Rentang (range) suatu perangkat data yang biasanya dilambangkan dengan

huruf R adalah nilai terbesar dikurangi nilai terkecil.

Nilai tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau

tepi kelasnya.

3. LANGKAH-LANGKAH MENYUSUN DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Urutkan data terlebih dahulu

2. Menentukan Range (Jangkauan) : didapat dari nilai yang terbesar

dikurangi nilai yang terkecil. 

R = Xmax – X min

22

3. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan rumus

Sturgess.

K = 1 + 3,3 log n dimana K = Banyaknya kelas dan

n = Jumlah Data.

4. Menentukan Interval Kelas :

I = RK

5. Menentukan batas kelas :

Tbk = Bbk – 0,5

Tak = Bak + 0,5

Panjang interval kelas = Tak – Tbk

Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas

Tak = tepi atas kelas

Bbk = batas bawah kelas

Bak = batas atas kelas

6.  Menentukan titik tengahnya.     

7. Memasukkan data kedalam kelas-kelas yang sesuai dengan

memakai sistem turus/tally.

8. Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan

kolom Tally atau Turus.

23

4. MACAM-MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI

Dalam dunia statistik kita mengenal berbagai macam Tabel

Distribusi Frekuensi; dalam makalah ini akan dikemukakan mengenai 4

macam Tabel Distribusi Frekuensi,yaitu: Tabel Distribusi Frekuensi Data

Tunggal,Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan,Tabel Distribusi

Frekuensi Kumulatif, dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif ( Tabel

Persentase). (Sudijono Anas.2009: 39)

4.1 Tabel Distibusi Frekuensi Data Tunggal

Tabel Distribusi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik

yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka ; angka yang ada

itu tidak dikelompok-kelompokkan (ungrouped data).

(Sudijono Anas.2009: 39)

Contoh : TABEL 4.1 Distribusi Frekuensi Nilai UAS Dalam Bidang Studi

Matematika dari 40 Orang Siswa kelas X.1 SMA ANAK BANGSA.

NILAI UAS MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X.1

SMA ANAK BANGSA

4.2 Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok

Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok adalah salah satu jenis

tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data

Nilai( X) Frekuensi( f )

9

8

7

6

5

4

6

9

16

5

Total 40=N

24

angka,di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam

tiap unit terdapat sekelompok angka)

Contoh: TABEL 4.2 Distribusi Frekuensi Nilai Ulangan Umum Mata

Pelajaran Matematika dari 80 Orang Siswa Kelas XII SMA ANAK

BANGSA.

NILAI ULANGAN UMUM MATA PELAJARAN MATEMATIKA

NILAI ULANGAN UMUM TURUS FREKUENSI

31−40 III 3

41−50 III 3

51−60 III 3

61−70 IIII IIII III 13

71−80 IIII IIII IIII IIII IIII II 27

81−90 IIII IIII IIII IIII III 23

91−100 IIII III 8

∑ ∆ f 80

4.3 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah

satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang

dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan , baik dari

bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. (Sudijono Anas.2009: 41)

Distribusi frekuensi kumulatif terdiri dari dua macam, yaitu :

Tabel distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas) adalah

suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi

bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.

Tabel distribusi kumulatif atau lebih (menggunakan tepi bawah) adalah

suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi

bawah kelas pada masing-masing.

25

4.4 Tabel Distribusi Frekuensi Relatif

Tabel Distribusi Frekuensi Relatif juga dinamakan Tabel

Persentase. Dikatakan “frekuensi relatif” sebab frekuensi yang disajikan di

sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang

dituangkan dalam bentuk angka persenan. (Sudijono Anas.2009: 42)

Berikut adalah rumus mencari distribusi frekuensi relatif:

Frekuensi relatif = frekuensi kelasn

×100

5. APLIKASI PADA DATA PENELITIAN

Dalam membuat suatu daftar distribusi frekuensi peneliti harus

memperhatikan langkah–langkah yang akan diambil. Perhatikan langkah-langkah

pengerjaannya, supaya saat dalam proses pengerjaan tidak terjadi kesalahan yang

dapat mengakibatkan daftar distribusi yang dibuat menjadi salah total.

Berikut ini adalah contoh aplikasi distribusi frekuensi pada penelitian,

contoh objek pengaplikasian penelitiaan ini adalah nilai ulangan umum mata

pelajaran matematika sma anak bangsa. Dibawah ini diberikan data mengenai

nilai ulangan umum dari 80 orang siswa pada pelajaran matematika.

Langkah- langkah:

80 48 86 84 71 76 63 60

70 79 82 56 95 92 88 80

88 73 71 89 45 75 74 83

76 87 66 72 90 71 97 74

78 72 74 83 81 91 86 83

74 81 71 68 89 90 51 63

35 82 90 77 93 67 99 80

91 70 70 79 90 33 70 83

79 92 88 49 88 61 75 63

38 80 74 74 82 80 67 65

26

1. Urutkan data, maka akan diperoleh data terbesar = 99 dan

data terkecil = 33

2. Menentukan rentang,

Rentang = data terbesar- data terkecil

Rentang = 99-35

= 66

3. Banyak kelas

(k )=1+3,3 log80=7,2

Jadi banyak kelas adalah sebanyak 7 kelas

4. Panjang kelas,

p=667

=9,4 maka p=9 atau p=10

Kita tentukan panjang kelasnya 10

5. Menentukan interval (kelas pertama)

Diambil dari data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil,

misal kita mengambil interval pertama yaitu 31-40

6. Batas kelas

Tbk = Bbk – 0,5

Tak = Bak + 0,5

Panjang interval kelas = Tak – Tbk

Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas, Bbk = batas bawah kelas

                    Tak = tepi atas kelas, Bak = batas atas kelas

Tbk¿31−0,5=30,5

Tak¿40+0,5=40,5

Panjang interval ¿40,5−30,5=10

7. Nilai tengah

x1=40,5+30,5

2=35,5

x2=50,5+40,5

2=45,5

27

.

.

.

Daftar distribusi kelompok dari data yang didapat diatas, didapat seperti tabel

berikut:

NILAI

ULANGAN

UMUM

BATAS KELASNILAI

TENGAHTURUS FREKUENSI

FREKUENSI

RELATIF

31-40 30,5-40,5 35,5 III 3 3,75

41-50 40,5-50,5 45,5 III 3 3,75

51-60 50,5-60,5 55,5 III 3 3,75

61-70 60,5-70,5 65,5 IIII IIII III 13 16,25

71-80 70,5-80,5 75,5IIII IIII IIII IIII

IIII II27 33,75

81-90 80,5-90,5 85,5IIII IIII IIII IIII

III23 28,75

91-100 90,5-100,5 95,5 IIII III 8 10

TOTAL 80 100

Histogram dan Poligon Frekuensi Nilai Ulangan Umum Mata

Pelajaran Matematika:

Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ulangan

Umum Mata Pelajaran Matematika :

NILAI ULANGAN

UMUM

BATAS

KELAS

Frekuensi

Kumulatif ≤

PERSEN

KUMULATIF

≤30,5 0 0

31-40 ≤40,5 3 3,75

41-50 ≤50,5 6 7,5

28

51-60 ≤60,5 9 11,25

61-70 ≤70,5 22 27,5

71-80 ≤80,5 49 61,25

81-90 ≤90,5 72 90

91-100 ≤100,5 80 100

Berikut ogif kumulatif kurang dari untuk nilai ulangan umum

Matemtika kelas XII SMA ANAK BANGSA yang diambil dari tabel

distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan

menggunakan batas kelas.

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,50

20

40

60

80

NILAI ULANGAN UMUM MATA PELAJARAN MATEMATIKA

OGIVE POSITIF

NILAI

FRE

KU

EN

SI

Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ulangan

Umum Mata Pelajaran Matematika :

NILAI ULANGAN

UMUM

BATAS

KELAS

Frekuensi

Kumulatif ≤

PERSEN

KUMULATIF

31-40 ≥30,5 80 100

41-50 ≥40,5 77 96,25

51-60 ≥50,5 74 92,5

61-70 ≥60,5 71 88,75

71-80 ≥ 70,5 58 72,5

29

81-90 ≥80,5 31 38,75

91-100 ≥90,5 8 10

≥100,5 0 0

Berikut Ogif Kumulatif Lebih dari untuk nilai ulangan umum mata

pelajaran Matemtika kelas XII SMA ANAK BANGSA yang diambil dari

table distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan

menggunakan batas kelas.

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,50

102030405060708090

NILAI ULANGAN UMUM MATA PELAJARAN MATEMATIKA

OGIVE NEGATIF

NILAI

FREK

UEN

SI

Diagram ogif positif dan ogif negatif dari data diatas:

30

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,50

102030405060708090

NILAI ULANGAN UMUM MATA PELAJARAN MATEMATIKA

OGIVE POSITIFOGIVE NEGATIF

NILAI

FREK

UEN

SI

KESIMPULAN

Distribusi Frekuensi adalah penyusunanan data ke dalam kelas-kelas

tertentu dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu

saja. Tujuan distribusi frekuensi, yaitu : memudahkan dalam penyajian data,

mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi, memudahkan dalam

menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.

Adapun macam-macam tabel distribusi frekuensi, Tabel Distribusi Frekuensi Data

Tunggal,Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan,Tabel Distribusi Frekuensi

Kumulatif, dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif. Bagian-bagian distribusi

frekuensi diantaranya terdapat kelas, interval kelas dan titik tengah.

31

32

BAB IV

UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN

A. Ukuran Pemusatan Data

1. Pengertian Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua populasi karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

2. Bagian-Bagian Ukuran Pemusatan Dataa. Rata-Rata Hitung (Mean)

Rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi jumlah nilai data dengan banyak data.

1. Rata-rata data tunggal

Rumus x̄=∑ x

nketerangan:

x̄ = rata-rata hitung n = banyak data

∑ x = jumlah seluruh nilai data

Contoh soal: Dari hasil tes nilai matematika 10 mahasiswa matematika Unsri 2013 diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut.

x = 3+7+6+5+3+6+9+8+7+6

10=60

10=¿ 6

Jadi, rata-ratanya adalah 6.

2. Rata-rata data berkelompok

33

Rumus: x = ∑i=1

n

f i x i

∑i=1

n

f i

Tentukan rata-rata dari data berat badan mahasiswa fisika Unsri 2013 berikut ini!

Penyelesaian:

Berat badan(kg) Titik tengah(x i) f i f i . x i

40 – 44 42 1 4245 – 49 47 6 28250 – 54 52 10 52055 – 59 57 2 11460 – 64 62 1 62Jumlah 20 1020

x = ∑i=1

5

f i x i

∑i=1

5

f i

= 102020 = 51

Jadi, rata-ratanya adalah 51.

b. MedianMedian adalah nilai yang membagi data menjadi dua bagian sama banyak dari data yang telah diurutkan.1. Median untuk data tunggal

Contoh soal:Dari data nilai matematika siswa sd 249 di bawah ini, tentukan mediannya. 5, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8Penyelesaian: Data diurutkan menjadi 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 44 145 – 49 650 – 54 1055 – 59 260 – 64 1

34

↓ Me

Jadi, mediannya adalah 6.

2. Median untuk data berkelompok

Rumus :Me=Tb+( 1

2∑ f −fkf ) . p

Keterangan:Me = medianTb = tepi bawah kelas interval yang memuat Median.∑f = jumlah frekuensifk = frekuensi komulatif sebelum kelas median. f = frekuensi kelas medianp = panjang kelas interval

Contoh soal: Tentukan median dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13

berikut ini!

Banyaknya data ada 20, sehingga letak mediannya pada frekuensi 12 . 20 =

10Tb = 50 – 0,5 = 49,5 fk = 7 f = 10 P = 5

Maka Me=Tb+( 1

2∑ f − fkf ) . p

= 49,5 + ( 12

.20−7

10 ) 5 = 49,5 + 1,5 = 51

c. Modus

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 44 145 – 49 650 – 54 1055 – 59 260 – 64 1

35

Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

1. Modus untuk data tunggal Contoh soal: Tentukan modus dari data nilai matematika siswa sd 249 di bawah ini

5, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8Penyelesaian:Data diurutkan menjadi 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9Data yang paling sering muncul adalah 6. Jadi, modusnya adalah 6.

2. Modus untuk data berkelompok

Rumus :Mo=Tb+

s1

s1+s2. p

Keterangan :Mo = modusTb = tepi bawah kelas interval yang memiliki frekuensi

terbanyaks1 = Selisih frekuensi kelas interval kelas modus dengan kelas

interval sebelumnya

s2 = Selisih frekuensi kelas interval kelas modus dengan kelas interval

berikutnyap = Panjang kelas interval

Contoh soal:Tentukan modus dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13 berikut ini!

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 44 145 – 49 650 – 54 1055 – 59 260 – 64 1

Penyelesaian:

36

Frekuensi modusnya adalah 10, kelas modusnya 50-54, dan tepi bawah frekuensi modus (Tb) adalah 49,5.

S1 = 10 – 6 = 4 S2 = 10 - 2 = 8 P = 5

Mo=Tb+s1

s1+s2. p

= 49,5 + 4

8+4 . 5 = 51,17

B.Ukuran Letak3. Bagian-Bagian Ukuran Letak

a. Kuartil (Q)Kuartil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah

diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.1. Kuartil data tunggal

Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut

Letak Qi = i(n+1)

4 Keterangan: Qi = kuartil ke-i

n = banyak data

Contoh soal:Tentukan Q1, Q2, Q3 dari data nilai ulangan matematika 13 orang siswa

kelas VII.1 : 4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8Penyelesaian:Data diurutkan menjadi 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Letak Q1 : 1(13+1)

4 =

144 = 3,5 sehingga

Q1 = x3 + 0,5(x4 - x3) = 4 + 0,5(5 – 4) = 4,5

Letak Q2 : 2(13+1)

4 =

284 = 7 sehingga

Q2 = x7 + (x8 – x7) = 6 + (6 – 6) = 6

Letak Q3 : 3(13+1)

4 =

424 = 10,5

37

Q3 = x10 + 0,5(x11 – x10) = 7 + 0,5 (8 – 7) = 7,5

2. Kuartil data berkelompok

Rumus :Qi=(Tb)+(

i4 ∑ f −fk i

f i) . p

Letak Qi = i(n)

4

Keterangan :Qi = Kuartil-i

i = 1 Q1 = kuartil bawahi = 2 Q2 = kuartil tengah = Median (Me)i = 3 Q3 = kuartil atas

Tb = Tepi bawah kelas kuartil -ifi = frekuensi komulatif kelas kuartil-ifki = frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil-i.p = lebar kelas (interval kelas)

Contoh soal:Tentukan Q1, Q2, Q3 dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13

berikut!Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 44 145 – 49 650 – 54 1055 – 59 260 – 64 1

Penyelesaian:

Letak Q1 pada frekuensi = 1(20)4

= 5 di kelas 45 – 49.

Qi=(Tb )+(i4∑ f −fk i

f i) . p

Q1 = 44,5 + ( 14

.20−1

6 )5= 44,5 + 3,33 = 47,83

38

Letak Q2 pada frekuensi = 2(20)

4 = 10 di kelas 50 - 54

Qi=(Tb )+(i4∑ f −fk i

f i) . p

Q2 = 49,5 + ( 24

.20−7

10 )5 = 49,5 + 1,5 = 51

Letak Q3 pada frekuensi = 3(20)4

= 15 di kelas 50 - 54

Qi=(Tb )+(i4∑ f −fk i

f i) . p

Q3 = 49,5 + ( 34

.20−7

10 )5 = 49,5 + 4= 53,5

b. Desil Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

1. Desil data tunggal

Rumus

Di=i(n+1 )10

Contoh soal:Diketahui data nilai ulangan matematika 13 orang siswa kelas VII.1 adalah sebagai berikut :

4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8Tentukan desil ke-2 dan desil ke-5!Penyelesaian:Urutkan data tersebut: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Letak desil ke-2 diurutan data ke- 2(13+1)

10 = 2,8

D2 terletak pada urutan ke-2,8 sehingga: D2 = x2 + 0,8(x3 – x2)

= 4 + 0,8(4 – 4) = 4

39

Letak desil ke-5 diurutan data ke- 5(13+1)10

= 7

D5 = x7 +(x8 – x7) = 6 + (6 – 6) = 6

2. Desil data berkelompok

Rumus :Di=Tbi+(

i10∑ f − fki

f i) . p

Letak Di =

i(n)10

Keterangan: Di = Desil ke-i, i = 1,2, …, 9Tbi = Tepi bawah kelas desil-iΣf = jumlah frekuensif i = frekuensi desil ke-ip = panjang kelas

Contoh soal:Tentukan desil ke-7 dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13 berikut!

Penyelesaian:

Letak desil ke-7 pada frekuensi = 7(20)

10 = 14 di kelas 50 - 54

Di=Tbi+[ i10

Σf −fk i

f i] . p

D7 = 49,5 + ( 710

.20−7

10 )5 = 49,5 + 3,5 = 53

c. PersentilPersentil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah

diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi seratus bagian yang sama banyak.

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 44 145 – 49 650 – 54 1055 – 59 260 – 64 1

40

1. Persentil data tunggal

Rumus Pi=

i (n+1 )100

Contoh soal:Diketahui data nilai ulangan matematika 13 orang siswa kelas VII.1 adalah sebagai berikut :

4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8Tentukan persentil ke-4!Penyelesaian:Urutkan data tersebut: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Letak persentil ke-4 diurutan data ke- 4 (13+1)100

= 0,56

P4 terletak pada urutan ke-0,56 sehingga: P4 = x0 + 0,56(x1 – x0)

= 0 + 0,56(2 – 0) = 1.12

2. Persentil data berkelompok

Rumus :Pi=Tbi+(

i100 ∑ f −fki

f i) . p

Letak Pi =

i(n)100

Keterangan: Pi = Persentil ke-iTbi = Tepi bawah kelas desil-iΣf = jumlah frekuensif i = frekuensi desil ke-ip = panjang kelas

Contoh soal:Tentukan persentil ke-10 dari data berat badan mahasiswa matematika

Unsri’13 berikut!

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 44 145 – 49 650 – 54 1055 – 59 260 – 64 1

41

Penyelesaian:

Letak persentil ke-10 pada frekuensi = 10(20)

100 = 2 di kelas 45 - 49

Pi=Tbi+(i

100 ∑ f −fk i

f i) . p

P10 = 44,5 + ( 10100

.20−1

6 )5 = 44,5 + 0,83 = 45,33

3. Pengertian dan Kegunaan Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan

seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Adapun kegunaan ukuran penyebaran data yaitu :

1) Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rata-ratanya benar-benar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya, maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.

2) Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.

3) Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak.

2. Bagian-Bagian Ukuran Penyebaran Data

42

a.Jangkauan (Range) Jangkauan (J) didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil.

Rumus:

Contoh soal: Tentukan jangkauan dari data berat badan 7 mahasiswa matematika Unsri 2013 berikut ini : 40, 43, 43, 45, 50, 50, 52

Penyelesaian: Xmaks = 52 Xmin = 40J = Xmaks – Xmin = 52 - 40 = 12

Jadi, jangkauannya adalah 12

b.Hamparan (Jangkauan Interkuartil) Hamparan didefinisikan sebagai selisih kuartil terbesar dengan kuartil terkecil.

Rumus:

Contoh soal: Tentukan jangkaun interkuartil dari data berat badan 7 mahasiswa matematika Unsri 2013 berikut ini : 40, 43, 43, 45, 50, 50, 52

Penyelesaian:40, 43, 43, 45, 50, 50, 52

H = Q3 – Q1 = 50 – 43 = 7Jadi, jangkauan interkuartilnya adalah 7

Q1 Q2 Q3

c.Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Interkuartil)

Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan interkuartil.

Rumus:

Simpangan kuartil dari soal hamparan di atas adalah Qd = 12

x7=72

d.Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

Simpangan rata-rata (SR) dari x1, x2, x3, ..., xn didefinisikan sebagai :

Rumus:

J = Xmaks - Xmin

H = Q3 – Q1

Qd = 12 (Q3 – Q1)

SR = ∑ ¿ xi−x∨¿n

¿ atau SR =

43

Jika datanya besar, maka rumus di atas dapat diubah menjadi :

Contoh soal:

1. Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut ini : 2, 3, 6, 8, 11Penyelesaian:

x = ∑ xi

n = 2+3+6+8+11

5=6

SR = ∑ ¿ xi−x∨¿n

¿ = |2−6|+|3−6|+|6−6|+|8−6|+¿11−6∨¿5¿ =

4+3+0+2+55 = 2,8

2. Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Matematika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka ?

Penyelesaian :

SR = ∑ ¿d i−d∨¿n

¿ atau SR =

∑ f ∨x−x∨¿n

¿

Interval Kelas Frekuensi

40 – 44 3

45 – 49 4

50 – 54 6

55 – 59 8

60 – 64 10

65 – 69 11

70 – 74 15

75 – 79 6

80 – 84 4

85 – 89 2

90 – 94 2

44

Kelas

Interval

Nilai Tengah (xi) F |x – x| f |x – x|

40 – 44 42 3 23,7 71,1

45 – 49 47 4 18,7 74,8

50 – 54 52 6 13,7 82,2

55 – 59 57 8 8,7 69,6

60 – 64 62 10 3,7 37

65 – 69 67 11 1,3 14,3

70 – 74 72 15 6,3 94,5

75 – 79 77 6 11,3 67,8

80 – 84 82 4 16,3 65,2

85 – 89 87 2 21,3 42,6

90 – 94 92 2 26,3 52,6

Σf = 71 Σf|x – x| = 671,7

Dari tabel tersebut, diperoleh   = 65,7 (dibulatkan).

Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.

e.Simpangan Baku (Deviasi Standar / Standar Deviasi)

Simpangan baku (s) dari x1, x2, x3, ..., xn didefinisikan sebagai:

Rumus:

Contoh Soal:

SB = √∑ (X−X )2

n atau SB =

45

1.Tentukan simpangan baku dari data ulangan matematika 5 orang siswa kelas VIII.2 berikut ini :

7, 7, 8, 8, 10

Penyelesaian:

x = ∑ xi

n = 7+7+8+8+10

5=8

SB = √∑ (X−X )2

n = √(7−8)2+(7−8)2+¿¿¿ = √ 6

8

Jadi, simpangan bakunya adalah √ 68

2. Diketahui data tinggi badan 50 mahasiswa matematika Unsri’13 adalah sebagai berikut

Hitunglah berapa simpangan bakunya?

Penyelesaian:

46

\

BAB V

UKURAN KERUNCINGAN

1. Pengukuran Kemiringan (skewness)

1.1.Pengertian Kemiringan

Rata-rata hitung serta deviasi standar dua distribusi mungkin sama

meskipun bentuk kurva frekuensi kedua distribusi tersebut berbeda karena

47

tingkat kemencengannya berbeda. Sebuah contoh yang bersifat edukatif

akan coba kami sajikan guna menjelaskan persoalan di atas.

Dalam Tabel Prosedur, kami sajikan cara menghitung rata-rata hitung serta

deviasi standar dari dua disribusi yang bentuk kurvanya berbeda karena

tingkat ke mencengannya berbeda

Cara menghitung rata-rata hitung dan deviasi standar dari distribusi nilai-

nilai observasi sebesar n1=n2=100

Tabel 2.1

Distribusi n1 Distribusi n2

mi fi ui uifi ui2fi mi fi ui uifi ui

2fi

4,5

4,5

24,5

34,5

44,5

54,5

5

20

5

45

10

5

-2

-1

0

1

2

3

-10

-20

0

45

20

15

20

20

0

45

40

45

4,5

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

5

15

30

30

15

5

-2

-1

0

1

2

3

-10

-15

0

30

30

15

20

15

0

30

60

45

100 50 170 100 50 170

Distribusi n1

n1 = 100

u = 50100 = 0,50

X = 0,50 (10) + 24,5

= 29,5

48

s2 = (1/100)(10)2[170−(100 )( 50100 )

2] = 145

S = √145

= 12,041 atau 12,04

Distribusi n2

n2 = 100

u = 50/100 = 0,50

X = 0,50(10)+24,5

= 29,5

s2 = (1/100)(10)2[170−(100 )( 50100 )

2]= 145

s =√145

= 12,041 atau 12,04

Meskipun kedua distribusi di atas memiliki rata-rata hitung dan deviasi standar

yang sama, bentuk kurva frekuensinya ( Diagram ) ternyata berbeda sekali

Diagram2.1 dan Diagram 2.2 Kurva frekuensi distribusi n1=100 dengan X = 29,5

dan s = 12,04Serta n2= 100 denganX = 29,5 dan s = 12,04

Diagram 2.1 Diagram 2.2

49

4.5 14.5 24.5 34.5 44.5 54.50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

4.5 14.5 24.5 34.5 44.5 54.50

5

10

15

20

25

30

35

Sumber : Data Tabel2.1

Perbedaan di atas disebabkan oleh tingkat kemencengan yang berbeda dari kedua

distribusi tersebut. Distribusi n1 merupakan distribusi yang kurang simetri satu

menceng sekitar rata-ratanya sedangkan distribusi n2 merupakan distribusi yang

simetris sekitar rata-ratanya.

2.1. Koefisien Kemiringan Pearson

Rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi

oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya.

Bila sebuah distribusi memang simetris,rata-rata hitung = median=modus(6-5).

Sebaliknya,bila distribusi tidak simetris maka rata-rata hitung ≠ median ≠ modus.

Pengukuran tingkat kemencengan (skewness) sebuah distribusi sebetulnya sudah

lama dirumuskan oleh Karl Pearson dalam bentuk koefisien Pearson sebagai

sk = (X -mo) / s (2.2.1)

dimana

sk = kemiringan

X= rata-rata hitung

mo = modus

s = deviasi standar

50

Bila hasil Perumusan (2.2.1) sama dengan nol,maka distribusi dikatakan simetris

sekitar rata-ratanya dan X = mo = md. Makin jauh hasil sk dari nol makin besar

tingkat kemencengannya dan X ≠ mo ≠ md. Perubahan (2.2.1) di atas dapat

menghasilkan kemencengan yang positif bila nilai-nilai observasi distribusi yang

berfrekuensi rendah lebih banyak ”berkonsentrasi” di sisikanan rata-

ratanya.Dengan lain perkataan,bila distribusi memiliki “ekor” yang menjulur lebih

ke arah kanan dari padake arah kiri distribusi, hasil sk umumnya menjadi positif.

Sebaliknya, hasil menjadi negatif bila nilai-nilai observasi yang berfrekuensi

rendah lebih banyak “berkonsentrasi” di sisi kiri rata-ratanya, atau bila

distribusinya memiliki “ekor” yang menjulur lebih ke arah kiri dari pada arah

kanan distribusi. Dua buah contoh cara menghitung tingkatke mencengan

distribusi akan saya kemukakanguna menjelaskan penggunaan Rumus Pearson

(2.2.1)

Andaikan kita mengukur kemencengan kedua distribusi dalam Tabel Prosedur

1.1.1 dengan menggunakan koefisien Pearson (2.2.1) maka akan diperoleh tingkat

kemencengan bagi distribusi n1sebesar

sk = (29,5 – 34,5)/12,04

= -0,41528atau -0,42

danbagi n2 sebesar

sk = (29,5 – 29,5)/12,04

= 0

Kurva yang tidak simetris dapat menceng ke kiri atau ke kanan. Di dalam kurva

yang simetris, letak modus, median, dan mean sama. Perhatikan tiga bentuk kurva

berikut.

Ukuran tingkat kemencengan (TK) menurut pearson adalah sebagai berikut :

51

Mod = Mean = Med mean med mod mod med

mean

Kurva simetris kurva menceng ke kiri kurva menceng

ke kanan

TK= X−ModS . . . . . . . . (2.2.2)

Keterangan :

X__

= rata-rata hitung

Mod = modus

S = simpangan baku

Atau

TK=3(X−Mod )

S . . . . . . . (2.2.3)

Secara empiris dapat ditunjukan bahwa X__

-Mod =3 (X__

-Med)

Ukuran tingkat kemencengan dapat pula diitung berdasarkan momen ketiga

dengan perhitungan sebagai berikut :

∝3=M3

S3 = 1n S3 ∑

i=1

n

¿¿ . . . . . . . (untuk data tak berkelompok) (2.2.4)

Atau

52

∝3=M3

S3 = 1n S3 ∑

i=1

n

f i ¿¿ . . . . . . . (untuk data berkelompok, ada k kelas skewness)

(2.2.5)

Disini a3 sering disebut momen koefisien kemencengan (moment

coefficient of skewness).Apabila kelas intervalnya sama, maka untuk menghitung

α 3 dapat dipergunakan rumus berikut :

∝3=c3

S3 {1n∑i=1

k

fid i3−3( 1n∑i=1

k

fid i2)( 1n∑i=1

k

fidi)+2( 1n∑i=1

k

fidi)❑3} . . . . . . . (2.2.6)

Keterangan :

α 3 = ukuran tingkat kemencemgan

S = simpangan baku

c = besarnya kelas interval

fi = frekuensi kelas ke-i

di = simpangan kelas ke-i terhadap titik asal asumsi

k = banyaknya kelas

Contoh :

Modal dari 40 guru SMP X (dalam ratusan ribu rupiah) untuk membuka koperasi

sekolah adalah sebagai berikut

138 164 150 132 144 125 149 157

146 158 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 128

Hitunglah TK dan α 3 dengan rumus (2.2.3) dan (2.2.6)

53

Penyelesaian :

Kelas M F Fm d fd fd2 fd3 fd4

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

118-126

127-135

136-144

145-153

154-162

163-171

172-180

122

131

140

149

158

167

176

3

5

9

12

5

4

2

366

655

1260

1788

790

668

352

-3

-2

-1

0

1

2

3

-9

-10

-9

0

5

8

6

27

20

9

0

5

16

18

-81

-40

-9

0

5

32

54

243

80

9

0

5

64

162

Jumlah ∑ f =40 ∑ fiMi=5,879 ∑ fidi=−9∑ fid i2=95∑ fid i3=39∑ fid i4=563

X=∑ fiMi

∑ fi

¿ 5,87940

¿146 ,975

Med=Lo+c { n2− (∑ fi )0

fm }Dari data, f 1 + f 2 + f 3 = 3 + 5 + 9 = 17, belum mencapai 50% observasi (=20).

Untuk mencapai angka 20, harus ditambah dengan frekuensi kelas keempat. Jadi

kelas keempat memuat median fm = 12, ¿

Nilai batas bawah dan atas dari kelas yang memuat median masing-masing adalah

:

12

(144+145 )=144,5 dan 12

(153+154 )=153,5

54

c=153,5−144,5=9; Lo=144,5

Med=144+9 (20−1712 )

S=c√∑ fid i2

n−(∑ fid i2

n )¿9√ 95

40−(−9

40 )¿13 ,72

TK=3 ( X−Med )

S

TK=3(146,975−146,75)13,72

¿0,04 9

∝3=93

¿¿

¿0,282 (0,605 )

¿0,1 7

Makin besar α3 , kurva suatu distribusi makin menceng (miring).

1.2. Koefisien Kemencengan Bowley

Ukuran kemencengan lainnya dengan menggunakan kuartil sebagai

berikut :

55

QCS=( (Q 3−Q 2 )−(Q2−Q1))

Q 3−Q1=Q3−2 Q2+Q 1

Q 3−Q 1 . . . . . . . . . (1.19)

Ket : QCS = Quartile Coefficient of Skewness (Kuartil Koefisien kemencengan)

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien

kemencengan

Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng

secara

positif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng

secara

negatif.

3) QCS positif, berarti distribusi mencengke kanan.

4) QCS negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.

5) QCS = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB>

0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

1.3. Koefisien Kemencengan Persentil

Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil

(P90,P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil

dirumuskan :

10−90 PCS= ( P 90−P50 )−( P 50−P 10 )P 90−P 10

=¿P 90−2P 50+P 10P 90−P 10

. . . . . . . . . (1.20)

Ket :

10=90 PCS = 10-90 Quartile Coefficient of Skewness (Persentil Koefisien

Kemencengan)

56

1.4. Keofisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen

dilambangkan dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga

kemencengan relatif. Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva,

didapatkan :

1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,

2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,

3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,

4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50 adalah

distribusi

yang sangat menceng

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi

yang

menceng.

Dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya

2. Pengukuran Keruncingan (kurtosis)

2.1. Pengertian Keruncingan

Pengukuran kurtosis (peruncingan) sebuah distribusi teoritis ada kalanya

dinamakan pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebetulnya,

kurtosis dapat dianggap sebagai suatu distorsi dari kurva normal.

2.2. Ukuran Keruncingan Kurva ( Kurtosis)

Dilihat dari tingkat keruncingannya kurva distribusi frekuensi dibagi

menjadi leptokurtis, platykurtis, dan mesokurtis

57

a) Leptokurtis (puncaknya b) platykurtis (puncak agak c) mesokurtis

(puncaknya tidak

sangat runcing) datar/merata) begitu runcing

Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva distribusi dipergunakan α4 ,

yaitu moment coefficient of kurtosis yang rumusnya sebagai berikut :

∝4=M 4S4 =1

n∑i=1

n

¿¿¿ . . . . . . . . . (untuk data tak berkelompok) (1.21)

∝4=M 4S4 =1

n∑i=1

k

¿¿¿ . . . . . . . . . . (untuk data berkoloompok) (1.22)

Kalau kelas intervalnya sama, maka rumus (1.22) akan menjadi :

∝4=C4

S4 {1n∑i=1

k

fid i4−4 ( 1n∑i=1

k

fid i3)( 1n∑i=1

k

fidi)+6( 1n∑i=1

k

fid i2)( 1n∑i=1

k

fidi)❑2−3( 1n ∑

i=1

k

fidi)❑4}

. . . . . . . . . Keteragan symbol sama pada rumus (1.18)

Contoh :

Berdasarkan data pada contoh 1, hitunglah tingkat keruncingan kurva dengan

menggunakan Rumus (1.23).

∝4=94

¿¿

58

¿ 6,561¿¿

= 0,185{14,075 – 4(0,219) + 6(0,120) – 3(0,0020)}

= 0,185 (14,075 – 0,876 + 0,72 – 0,0078) = 2,57

Kalau α4 > 3 dihasilkan kurva leptokurtis (meruncing)

α4 =3 dihasilkan kurva mesokurtis (normal)

α4< 3 dihasilkan kurva platykurtis (mendatar)

rumus lainnya disebut Quartile Coefficient of Kurtosis (QCK), yaitu

sebagai berikut :

QCK=

12(Q3−Q 1)

P 90−P 10

Suatu distribusi yang mempunyai nilai QCK = 0,263 dapat didekati dengan fungsi

normal

KESIMPULAN

Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok

ukuranlain yang disebut momen. Rata-rata

hitungsertadeviasistandarduadistribusimungkinsamameskipunbentukkurva

frekuensikeduadistribusitersebutberbedakarenatingkatkemencengannyaber

beda. Untuk mengetahui distribusi dari sekumpulan data ditinjau dari

kemencengannya,kita harus menghitung Koefisien Kemencengannya.

Pengukuran kurtosis (peruncingan) dapat dianggap sebagai suatu distorsi

dari kurva normal,dan untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva

distribusi dipergunakan koefisien kurtosis .Dilihat dari tingkat

keruncingannya kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi leptokurtis,

platykurtis, dan mesokurtis

59

BAB VI

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISSON1. Distribusi Binomial

a. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Binomial

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi

probabilitas diskrit yang jumlah keberhasilan dalam n percobaan (berhasil

atau gagal) saling bebas dengan setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p.

(Raini Manurung 2013)

Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli)

adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variable random diskrit yang

terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak,

baik-cacat, kepala-ekor. (Hasan,2001:55)

Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan memakai

pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p sangat kecil maka

distribusi Binomial dapat didekati dengan memakai distribusi Poisson.

Distribusi binomial memiliki ciri-ciri:

1) Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-

gagal.

2) Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap

percobaan.

3) Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan

tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4) Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan

binomial harus tentu.

60

b. Rumus Distribusi Binomial

a) Rumus Binomial Suatu Peristiwa

Secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan:

P ( X=x )=b ( x ;n , p )=C xn px qn− x

Keterangan:

x= banyaknya peristiwa sukses

n=¿ banyaknya percobaan

p=¿ probabilitas peristiwa sukses

q=¿ 1−p = probabilitas peristiwa gagal

Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari

peristiwa mata dadu 5 muncul 1 kali.

Penyelesaian:

Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 5, sehingga setiap sisi memiliki

probabilitas 16 . Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah

16 , sehingga:

p=16 ; q=5

6 ; n=4; x=1

P ( X=x )=C xn px qn−x

P ( X=x )=C14 p1 q4−1

P ( X=x )=C14 p1 q3

P ( X=x )=4 ( 16 )

1

( 56 )

3

P ( X=x )=( 46 )(125

216 )

61

P ( X=x )= 5001296

P ( X=x )=0,386

b) Probabilitas Binomial Kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih

dari satu sukses. (Hasan, 2001:59)

Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

PBK=∑x=0

n

C xn px qn−x

¿∑x=0

n

P ( X=x )

¿ P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )+…+P ( X=n )

c. Rata-Rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial

a) Untuk Rata-Rata

E ( X )=μ=∑x=0

n

x (C xn px qn−x )

b) Untuk Varians

σ 2=∑x=0

n

x2 (C xn px qn−x )−μ2

c) Untuk Simpangan Baku

σ=√∑x=0

n

x2 (C xn px qn−x )−μ2

Secara singkat, nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi binomial

dapat dapat dihitung dengan rumus:

a) Rata-rata ( μ )=n . p

62

b) Varians (σ 2 )=n . p .q

c) Simpangan baku (σ 2 )=√n . p .q

Contoh:

Suatu distribusi binomial memiliki n=6 , p=14

, q=34

. tentukan nilai rata-rata,

varians, dan simpangan bakunya.

Penyelesaian:

Rata-rata ( μ )=n . p

¿6 × 14

¿1,5

Varians (σ 2 )=n . p .q

¿6× 14

× 34

¿1,125

Simpangan baku (σ 2 )=√n . p .q

¿√1,125

¿1,06

2. Distribusi Poisson

a. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Poisson

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,

ditemukan oleh S.D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa

Prancis. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variable

diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3, ..., n. (Raini Manurung

2013)

63

Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variable random X(X

diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval

waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. (Hasan ,2001:64)

Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain.

2. Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang

terjadi).

3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu singkat

tertentu, dapat diabaikan.

b. Rumus Distribusi Poisson

a) Rumus Probabilitas Posisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

P ( X=x )= λx e−λ

x !

Keterangan:

λ= rata-rata terjadinya suatu peristiwa

e= bilangan alam = 2,71828

Contoh:

Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 halaman yang

salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah

tersebut. Hitunglah probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut

dibuka 4 kata yang salah cetak.

Penyelesaian:

64

n=80 ; p= 1120

λ=n . p

¿80 × 1120

¿0,67

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses Poisson,

dirumuskan:

P ( X=x )=e− λt ( λt )x

x !

Contoh:

UGD suatu rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4

orang per hari. Berapa probabilitas kedatangan 2 pada malam hari saja.

Penyelesaian:

t=1 ; λ=4 ; x=2

P ( X=2 )=e−4 1

2 (4 × 12 )

2

2 !

¿(0,135 ) (4 )

2

¿0,271

b) Probabilitas Distribusi Poisson Kumulatif

Probabilitas Poisson Kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa lebih dari satu.

(Hasan, 2001:67)

Probabilitas Poisson Kumulatif dapat dihitung dengan rumus:

PPK=∑x=0

n λx e−λ

x !

65

¿∑x=0

n

P ( X=x )

¿ P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )+…+P ( X=n )

c) Distribusi Poisson sebagai Pendekatan Distribusi Binomial

Dirumuskan:

P ( X=x )= (np )x e−np

x !

Keterangan:

np= rata-rata distribusi binomial

Contoh:

Seorang pengusaha angkot menggunakan 20 angkot dalam bisnisnya.

Probabilitas sebuah angkot mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02.

Tentukan probabilitas dari 3 angkot yang akan mengalami gangguan dan

memerlukan perbaikan.

Penyelesaian:

n=20 ; p=0,02 ; x=3

P ( X=x )= (20 × 0,02 )3 e−(20 × 0,02)

3 !

P ( X=x )= (0,4 )3 e−0,4

6

P ( X=x )= (20 × 0,02 )3 e−(20 × 0,02)

3 !=0,0072

c. Rata-Rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Poisson

66

a. Rata-rata

E ( X )=μ=λ=n . p

b. Varians

E ( X−λ )2=σ2=n . p

c. Simpangan baku

σ=√ λ=√n. p

KESIMPULAN

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa probabilitas dapat

membantu kita dalam mengambil keputusan. Misalnya seperti memperkirakan mana

yang lebih banyak peluang gagal atau sukses dari sebuah usaha yang dilakukan.

Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa

usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan

gagal. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan

Bernoulli (Bernoulli trial)

67

BAB VII

DISTRIBUSI NORMAL DAN APLIKASINYA

1. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang penting dalam

menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas.Distribusi

normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu.

Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama

pengembangnya, yaitu Karl Gauss pada abad ke-18, seorang ahli

matematika dan astronomi (Iqbal Hasan,2003 : )

2. Ciri-ciri Distribusi Normal

a. Berbentuk lonceng simetris terhadap x=μ.

Dirtibusi normal atau kurve normal disebut juga dengan nama

distribusi Gauss, karena persamaan matematisnya ditemukan oleh

Gauss dengan rumus:

f ( x )= 1σ √2 π

e−12 ( x−μ

σ )2

di mana: π = nilai konstan yaitu = 3,1416

e = nilai konstan yaitu = 2,7183

μ = parameter yang merupakan rata-rata distribusi

σ = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi

68

(Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:106).

Jika x mempunyai bentuk −∞<x<∞, maka disebut variabel acak X

berdistribusi normal. Rumus di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1. Kurve Normal

1) Grafiknya selalu berada di atas sumbu absis X.

2) Mempunyai modus, jadi kurva unimodal tercapai pada x=μ=0,3939σ .

3) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu absis X dimulai dari

x=μ+3σ ke kanan dan x=μ−3 σ ke kiri.

4) Luas daerah grafik selalu = satu unit persegi

b. Bentuk Kurve Normal

a. Normal Umum

Di mana μ=rata−rata

σ=simpangan baku

μ−3 σ μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ

Gambar 2. Kurve Normal Umum

69

b. Normal Baku (Standar)

Gambar 3. Kurve Normal Baku

Menurut Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:107-108), perubahan

dari bentuk normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan langkah-

langkah berikut:

1) Cari zhitung dengan rumus: z=X−μ

σ

2) Gambar kurvenya.

3) Tuliskan nilai zhitung pada sumbu X di kurve di atas dan tarik garis

dari titik zhitungke atas sehingga memotong garis kurve.

4) Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara

garis tegak ke titik 0 di tengah kurve.

5) Carilah tempat nilai z dalam tabel normal.

6) Luas kurve normal = 1, karenaμ=0, maka luas dari 0 ke ujung

kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5.

Jika z bilangan bulat, maka luas daerah (dalam %) adalah sebagai

berikut:

70

Gambar 4. Kurva Normal Baku dalam %

Jika z bukan bilangan bulat, maka luas daerahnya dicari dengan

menggunakan tabel kurve normal baku.

c. Cara Menggunakan Tabel Kurve Normal Baku

Beberapa contoh di bawah ini diambil dari buku Husaini Usman dan R.

Purnomo (2006:108).

a. Berapa z = +2,34?

Jawab: 0,4904 atau 49,04% (ke kanan).

b. Berapa z = -2,34?

Jawab: 0,4904 atau 49,04% (ke kiri).

c. Berapa luas antara z = -2,34 dan z = +2,34 atau (-2,34< z <+2,34)?

Jawab: 49,04 + 49,04 = 98,08%

d. Berapa luas antara z = 1,23 dengan z = 2,34 atau (1,23 < z < 2,34)?

Jawab: z = +2,34 = 49,04%

z = +1,23 = 39,07% _

9,97%

e. Berapa luas z = +1,23 ke kanan?

Jawab: z = +1,23 ke kanan = 10,93%

f. Berapa luas z = + 1,23 ke kiri?

Jawab: 100% - 10,93% = 89,07%

g. Berapa nilai z untuk luas 49,60?

Jawab: 2,65.

71

d. Contoh Soal

Dari 100 peserta LCCM didapat nilai rata-rata pengerjaan = 75 dengan

simpangan baku = 4.

Ditanyakan:

1) Berapa jumlah peserta yang mendapat nilai 80 ke atas?

2) Berapa jumlah peserta yang mendapat nilai 70 ke bawah?

3) Berapa nilai peserta yang dapat dikualifikasikan 10% dari nilai tertinggi?

Jawab:

1) z= X−μσ

=80−754

=1,25

dari tabel kurve normal di dapat luas ke kanan = 10,56%

Jadi jumlah peserta = 10,56% x 100 = 11 orang.

2) z=75−804

=−1,25

Dari tabel kurve normal didapat luas ke kiri = 10,56%.

Jadi jumlah peserta = 10,56% x 100 = 11 orang.

3) Batas kualifikasi 10% tertinggi = 50% - 10% = 40% daro tabel kurve

normal di dapat 1,28. Karena SD tertinggi = 4, maka untuk 1,28 SD =

1,28 x 4 = 5,12. Jadi skor tertinggi = 75 + 5,12 = 80,12.

Distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk genta

atau lonceng. Pada bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada

rata-rata dengan berbagai ordinat pada jarak simpangan baku yang diukur

dari rata-rata.

Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal), distribusi

normal digambarkan: Kurva tersebut dipengaruhi oleh rata (μ) dan

simpangan baku (σ ). Jika rata-rata (μ) besar dan simpangan baku (σ ) besar

maka kurvanya makin rendah (platikurtik). Jika rata-rata (μ) dan

simpangan baku (σ ) kecil maka kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Dari bentuk kurva distribusi normal dapat diketahui sifat-sifat distribusi

normal, yaitu;

72

a. Bentuk distribusi normal adalah bentuk genta atau lonceng dengan

satu puncak (unimodal).

b. Rata-rata (μ) terletak di tengah-tengah.

c. Nilai rata-rata sama dengan median sama dengan modus

memberikan pola simetris.

d. Ujung-ujung sisi kurvanya sejajar dengan sumbu horizontal dan

tidak akan pernah memotong sumbu tersebut.

e. Data sebagian besar ada di tengah-tengah dan sebagian kecil ada di

tepi, yaitu;

i. Jarak ± 1σ menampung 68% atau 68,26 data,

ii. Jarak ± 2 σ menampung 95% atau 95,46 data,

iii. Jarak ± 1σ menampung 99% atau 99,74 data.

1. Distribusi normal standar

Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat

pengaruh rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari

probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat

dipermudah dengan menggunakan bantuan distribsui normal standar.

Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang memiliki

rata-rata (μ)= 0 dan simpangan baku (σ ) = 1. Bentuk fungsinya adalah,

f ( Z )= 1√2 π

e−1

2 Z2

Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal standar),

distribusi normal standar digambarkan:

Dari bentuk kurva distribusi normal standar tersebut, dapat diketahui

sifat-sifat distribusi tersebut yaitu:

a. Kurva simetris terhadap sumbu Y.

73

b. Mempunyai titik tertinggi (0,1

√2 π), dengan

1√2 π

= 0,4.

c. Cekung ke bawah untuk interval -1≤x ≤1 dan cekung ke atas

untuk nilai x di luar interval tersebut.

d. Meluas atau melebar tanpa batas ke kiri dan ke kanan serta

mendekati sumbu X secara cepat begitu bergerak dari X = 0 ke

kiri maupun ke kanan.

e. Luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X

sebesar 1 unit.

Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi

normal standar, gunakan nilai Z (standard units). Bentuk rumusnya

yaitu,

Z = X−μ

σ

Keterangan:

Z = variabel normal standar

X = nilai variabel random

μ = rata-rata variabel random

σ = simpangan baku variabel random

Nilai Z adalah angka atau indeks yang menyatakan

penyimpangan suatu nilai variabel random (X) dari rata-rata

(μ) dihitung dalam satuan simpangan baku (σ ).

2. Penggunaan kurva normal standar

Untuk mencari luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu tabel

luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu. Dengan daftar

tersebut, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.

74

Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap μ = 0

maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan

adalah 0,5, dan diartikan: P(Z > 0) = 0,5. Luas daerah di bawah kurva

normal pada interval tertentu dapat dituliskan: P(0 < Z < b).

Contoh:Akan dihitung nilai P(0 < Z < 2,13), langkah-langkahnya

adalah:

a. 2,13 = 2,1 + 0,03.

b. Dengan tabel luas kurva normal standar, dicari 2,1 pada kolom

Z (kolom paling kiri) dan 0,03 pada baris pertama (baris paling

atas).

c. Pertemuan baris 0,03 dan kolom 2,1 merupakan nilai Z dari P(0

< Z < 2,13), yaitu 0,4834.

Beberapa bagian luas di bawah kurva untuk distribusi normal

umum dengan rata-rata μ dan simpangan σ tertentu, dapat

ditentukan. Artinya, jika sebuah kejadian memiliki distribusi

normal maka dari kejadian itu:

a. Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan

baku sekitar rata-rata, yaitu antara μ ± σ.

b. Kira-kira 95,45% dari kasus ada dalam daerah dua simpangan

baku sekitar rata-rata, yaitu antara μ ±2σ .

c. Kira-kira 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan

baku sekitar rata-rata, yaitu antara μ ±3 σ.

d. Sekalipun secara teoritis ujung kurva normal ke kanan dan ke

kiri tak berhingga jauhnya, namun praktis dalam jarak lebih

dari tiga simpangan baku dari rata-ratanya (μ ±3 σ ¿ luas kurva

normal itu tidak berarti lagi (kurang dari 1%).

75

Untuk menentukan luas daerah kurva normal (yang bukan baku)

dilakukan transformasi dengan menggunakan nilai Z. Cara

transformasinya adalah sebagai berikut.

a. Menghitung nilai Z sampai dua desimal.

b. Menggambar kurva normal standarnya.

c. Meletakkan nilai Z pada sumbu X, kemudian menarik garis

vertikal yang memotong kurva.

d. Nilai yang terdapat dalam daftar merupakan luas daerah

antara garis tersebut dengan garis vertikal di titik nol.

e. Dalam dafta distribusi normal standar, mencari tempat

harga Z pada kolom paling kiri hanya sampai satu desimal

dan mencari desimal keduanya pada baris paling atas.

f. Dari Z di kolom kiri maju ke kanan dan dari Z di baris atas

trun ke bawah, sehingga didapat bilangan yang merupakan

luas daerah yang dicari.

Untuk mencari nilai Z, apabila luas kurva diketahui maka

dilakukan langkah sebaliknya.

Contoh:

Hitunglah P(90 < X < 115) untuk μ = 105 dan σ = 10

Penyelesaiannya:

X1 = 90 dan X2 = 115

Z = X−μ

σ

Untuk X1 = 90;

Z1 = 90−105

10 = -1,5

Untuk X2 = 115;

76

Z2 = 115−105

10 = 1

Dengan demikian P(90 < X < 115) ≈ P(-1,5 < Z < 1)

P(-1,5 < Z < 1) = P(-1,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1)

= 0,4332 + 0,3413 = 0,7745

Jadi, P(90 < X < 115) = 0,7745

3. Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi normal

Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku

sebagai berikut.

a. Rata-rata;

μ=∑ Xn

b. Varians;

σ 2=∑ (X−μ)2

n

c. Simpangan baku;

σ=√∑ (X−μ)2

n

KESIMPULAN

Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel

random kontinu. Kurvanya merupakan kurva normal. Keluarga

distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh

rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas

suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan

menggunakan bantuan distribsui normal standar. Menghitung luas

77

daerah kurva normal dapat menggunakan Tabel Kurve Normal

Baku.

BAB VIII

UJI HOMOGENITAS DAN UJI NORMALITAS

A. Pengertian Uji Normalitas dan Homogenitas

Uji normalitas adalah alat yang digunakan untuk mengetahui apakah populasi data berdistribusi normal atau tidak. Uji ini biasanya digunakan untuk mengukur data berskala ordinal, interval, ataupun rasio. Jika analisis menggunakan metode parametrik, maka persyaratan normalitas harus terpenuhi yaitu data berasal dari distribusi yang normal. Jika data tidak berdistribusi normal, atau jumlah sampel sedikit dan jenis data adalah nominal atau ordinal maka metode yang digunakan adalah statistik non parametrik. Di pihak lain, beberapa ahli menyatakan bahwa uji normalitas tidak diperlukan terhadap data yang jumlahnya sama dengan atau lebih dari 30 buah atau disebut sampel besar seperti dikemukakan Sudjana dan Sutrisno Hadi (yang dikutip oleh Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:109). Tetapi Nunnaly (yang dikutip oleh Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:109) mengemukakan bahwa ada pula ahli yang menyatakan bahwa data sudah dianggap normal jika jumlahnya 100 buah lebih.

B. Cara Pengujian Normalitas

Pengujian normalitas data dapat dilakukan dengan cara:

a. Pengujian Normalitas dengan Kertas Peluang

Langkah-langkah Pengujian Normalitas dengan Kertas Peluang.

1) Urutkan data dari yang terendah sampai tertinggi.

2) Buat daftar distribusi komulatif relatif kurang dari.

78

3) Gambarkan nilai daftar tersebut ke kertas peluang.

4) Hubungkan titik-titik yang digambarkan di kertas peluang tadi.

5) Simpulkan bahwa data berdistribusi normal atau mendekati

distribusi normal apabila titik-titik yang dihubungkan tersebut

merupakan garis lurus atau hampir lurus. Demikian pula jika

sebaliknya.

b. Pengujian Normalitas dengan Kurtosis

Kurtosis ialah tinggi atau rendahnya bentuk kurve normal (Usman

Husaini dan R. Purnomo, 2006:110). Kurve disebut normal,

apabila kurvenya tidak terlalu runcing (tinggi) atau pula tidak

terlalu datar (rendah). Kurve yang runcing disebut leptokurtik,

kurve yang datar disebut platikurtik, dan kurve yang tidak terlalu

datar disebut mesokurtik.

79

Gambar 1. Kurva Normal Baku

Koefisien kurtosis diberi lambang a4 yang dicari dengan rumus: a4

= (m4/m22)

Kriterianya jika :

a4 = 3, maka distribusinya normal.

a4 > 3, maka distribusinya leptokurtik.

a4 < 3, maka distribusinya platikurtik.

c. Pengujian Normalitas Data dengan Koefisien Kurtosis

Persentil

Pengujian normalitas data dengan koefisien kurtosis persentil

dihitung dengan rumus:

k= SKP90−P10

=

12(K 3−K1)

P90−P10

Keterangan :

SK = rentang semi antar kuartil

K1 = kuartil kesatu

K3 = kuartil ketiga

P10 = persentil kesepuluh

P90 = persentil ke-90

80

P90 – P10 = rentang 10 – 90 persentil

Kriterianya jika :

k = 0,263 atau mendekati 0,263, maka datanya berdistribusi normal

atau mendekati distribusi normal.

C. Cara Pengujian Homogenitas

Dalam Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:133), pengujian

homogenitas ada tiga cara yaitu:

a. Varians Terbesar dibandingkan Varians Terkecil

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.

2) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik.

3) Cari Fhitung dengan menggunakan rumus: F=VariansTerbesarVarians Terkecil

4) Tetapkan taraf signifikansi (α).

5) Hitung Ftabel dengan rumus:

F tabel=F 12 α

(dk varians terbesar−1, dk variansterkecil−1)

dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel.

6) Tentukan kriteria pengujian H0 yaitu:

Jika Fhitung ≤ Ftabel, maka H0 diterima (homogen).

7) Bandingkan Fhitung dengan Ftabel.

8) Buatlah kesimpulan.

Contoh Soal :

Terdapat dua macam pengukuaran prosedur mengajar di sebuah sekolah.

Prosedur ke-1 dilakukan 10x menghasilkan s2 = 37,2 dan prosedur ke-2

dilakukan 13x menghasilkan s2 = 37,2.α = 0,10. Apakah kedua prosedur

mengajar tersebut mempunyai varians yang homogen?

81

Jawab:

1) Ha : Terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.

H0 : Tidak terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.

2) Ha : σ 212 ≠ σ11

2

H0 : σ 212 =σ11

2

3) Fhitung dengan menggunakan rumus: F=VariansTerbesarVarians Terkecil

=37,224,7

=1,506

4) Taraf signifikansi (α ) = 0,10.

5) Hitung Ftabel dengan rumus:

F tabel=F 12

α(dk varians terbesar−1 , dk varians terkecil−1 )

¿ F12

.0,10(13−1,10−1)

¿ F0,05(12,9)

Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel = 3,07.

6) Kriteria pengujian H0 yaitu jika Fhitung ≤ Ftabel, maka H0 diterima

(homogen).

7) Ternyata 1,506 ≤ 3,070 atau Fhitung ≤ Ftabel, sehingga H0 diterima

(homogen).

8) Kesimpulannya:

H0 yang berbunyi: “Tidak terdapat p erbedaan varians 1 dengan varians

2”, diterima (homogen). Sebaliknya Ha yang berbunyi “Terdapat

perbedaan varians 1 dengan varians 2”, ditolak (tidak homogen).

b. Varians Terkecil dibandingkan Varians Terbesar

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.

2) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik.

3) Cari Fhitung semula dengan menggunakan rumus:

82

Fhitung semula=Varians TerbesarVariansTerkecil

Fhitung kini=Varians TerkecilVarians Terbesar

4) Tetapkan taraf signifikansi (α).

5) Hitung Ftabel semula dengan rumus:

F tabelsemula=F12 α

(dk varians terbesar−1 , dk varians terkecil−1)

dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel semula.

6) Cari Ftabel kanan dengan rumus:

F tabelkanan=F 12

α(dk var ians terkecil−1 , dk varians terbesar−1 )

dengan menggunakan tabel F didapat nilai F tabelkanan. Nilai ini

selanjutnya sebagai nilai maksimal.

7) Cari Ftabel kiri dengan rumus:

F tabelkanan=F(1−α )(dk variansterkecil−1 , dk varians terbesar−1)

atau

F tabelkanan=1

Ftabel semula

8) Tentukan kriteria pengujiannya yaitu:

Jika - Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ +F tabelkanan, maka H0 diterima

(homogen).

9) Bandingkan nilai - Ftabel kiri, Fhitung kini, F tabelkanan.

10) Buatlah kesimpulannya.

Contoh Soal :

Terdapat dua macam pengukuaran prosedur mengajar di sebuah sekolah.

Prosedur ke-1 dilakukan 10x menghasilkan s2 = 37,2 dan prosedur ke-2

dilakukan 13x menghasilkan s2 = 37,2.α = 0,10. Apakah kedua varians

tersebut homogen?

Jawab:

1) Ha : Terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.

83

H0 : Tidak terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.

2) Ha : σ 212 ≠ σ11

2

H0 : σ 212 =σ11

2

3) Fhitung kini untuk langkah 3 dengan rumus:

F kini=Varians TerkecilVarians Terbesar

=24,737,2

=0,664

4) Taraf signifikansi (α ) = 0,10.

5) Hitung Ftabel dengan rumus:

F tabel=F 12 α

(dk varians terbesar−1, dk variansterkecil−1)

¿ F12

.0,10(13−1,10−1)

¿ F0,05(12,9)

Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel = 3,07 nilai ini sebagai

F tabelsemula.

6) Ftabel kanan dengan rumus:

F tabelkanan=F 12

α(dk varians terkecil−1 , dk varians terbesar−1 )

¿ F 12.0,10 (10−1,13−1 )

¿ F 0,05(9,12)

dengan memakai tabel F didapat nilai Ftabel kanan = 2,80. Nilai ini selanjutnya

sebagai nilai maksimal.

7) Cari Ftabel kiri dengan rumus:

F tabelkanan=F(1−α )(dk variansterkecil−1 , dk varians terbesar−1)

atau

F tabelkanan=1

Ftabel semula= 1

3,07=0,328

8) Kriteria pengujiannya yaitu:

Jika - Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ +F tabelkanan, maka H0 diterima (homogen).

9) Ternyata -0,328 < 0,664 < 2,800 atau - F tabel kiri < Fhitung kini < +F tabelkanan,

sehingga H0 diterima (homogen).

84

10) Kesimpulannya:

H0 yang berbunyi: “Tidak terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2”,

diterima (homogen). Sebaliknya Ha yang berbunyi “Terdapat perbedaan

varians 1 dengan varians 2”, ditolak (tidak homogen)

c. Uji Bartlett

Pengujian homogenitas data dengan uji Bartlett adalah untuk

melihat apakah variansi-variansi k buah kelompok peubah bebas

yang banyaknya data per kelompok bisa berbeda dan diambil

secara acak dari data populasi masing-masing yang berdistribusi

normal, berbeda atau tidak.

Uji Bartlett digunakan apabila pengujian homogenitas dilakukan

terhadap tiga varians atau lebih. Langkah-langkahnya adalah

sebagai berikut:

1) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.

2) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik.

3) Buatlah tabel penolong untuk uji Bartlett.

Tabel Penolong Uji Bartlett

Kelompok ke:Dk 1

dksi

2 log s2 i2 dk log s2 i

2

1

2

3

K

n1-1

n2-1

n3-1

nk-1

1n1−1

1n2−1

1n3−1

s212

s222

s232

s2 k2

log s212

log s222

log s232

log s2 k2

dk log s212

dk log s222

dk log s232

dk log s2 k2

85

1nk−1

∑ (ni−1) 1ni−1

dk log s2 i2

4) Hitung s2 dengan menggunakan rumus:

s2=∑ (ni−1)si2

∑ (ni−1)

5) Hitung log s2

6) Hitung B dengan rumus:

B=(log s2)∑ (ni−1)

7) Cari χh itung2 dengan rumus:

χh itung2 = (2,3026 ) B−∑ (ni−1 ) log si

2

8) Tetapkan taraf signifikansi (α )

9) Cari χ tabel2 dengan rumus:

χ tabel2 = χ ( 1−α )(dk )

2

dimana dk = banyak kelompok -1

dengan menggunakan tabel χ2 didapat χ tabel2

10) Bandingkan χh itung2 dengan χ tabel

2 .

11) Buatlah kesimpulannya.

Contoh Soal :

Kelompok 1 dengan anggota 8 orang bervarians 400,609.

Kelompok 2 dengan anggota 9 orang bervarians 256,889.

Kelompok 3 dengan anggota 9 orang bervarians 354,444.

Kelompok 4 dengan anggota 8 orang bervarians 147,734.

Apakah keempat varians tersebut homogen?

Jawab:

86

1) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.

Ha : Terdapat perbedaan varians.

H0 : Tidak terdapat perbedaan varians.

2) Hipotesis statistiknya

Ha : salah satu ada yang ≠

H0 : : σ 12=σ1

2=σ12=σ1

2

3) Buatlah tabel penolong untuk uji Bartlett sebagai berikut:

Tabel Penolong Uji Bartlett

Kelompok ke:Dk 1

dksi

2 log s2 i2 dk log s2 i

2

1

2

3

4

7

8

8

7

0,1429

0,1250

0,1250

0,1429

400,609

256,889

354,444

147,734

2,6027

2,4097

2,5495

2,1695

18,2190

19,2780

20,3964

15,1867

Jumlah 30 0,5358 73,0801

4) Hitung s2 dengan menggunakan rumus:

s2=∑ (n i−1 ) si2

∑ (ni−1 )

¿ 7.400,609+8.256,889+8.354,444+7.147,7347+8+8+7

=290,969

5) log s2=log290,969=2,4638

6) Hitung B dengan rumus:

87

B=( log s2)∑ ( ni−1 )=2,4638.30=73,915

7) Cari χh itung2 dengan rumus:

χh itung2 = (2,3026 ) B−∑ (ni−1 ) log si

2

¿2,3026 (73,915−73,0801 )=1,92

8) Taraf signifikansi (α )=0,01

9) Cari χ tabel2 dengan rumus:

χ tabel2 = χ ( 1−α )(dk)

2 =χ0,99 (3 )2 dimana dk = banyak kelompok – 1=4-1 = 3

dengan menggunakan tabel χ2 didapat χ tabel2 =11,3

10) Ternyata 1,92 < 11,3 atau χh itung2 < χ tabel

2 , sehingga H0 diterima.

11) Kesimpulannya:

H0 yang berbunyi: “Tidak terdapat perbedaan varians 1”, diterima

(homogen). Sebaliknya Ha yang berbunyi “Terdapat perbedaan varians”,

ditolak (tidak homogen).

D. Macam-macam Metode Uji Normalitas

Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan

berdistribusi normal atau diambil dari populasi normal. Metode klasik

dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan

pengalaman empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya lebih

dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi

normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar.

Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi

normal atau tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena

belum tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal,

demikian sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30 belum tentu

tidak berdistribusi normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. uji statistik

normalitas yang dapat digunakan diantaranya Chi-Square, Kolmogorov

Smirnov, Lilliefors, Shapiro Wilk.

88

a. Metode Chi Square

Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi

Normal menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan

data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan.

X2=∑(Oi−Ei)

Ei

X2=¿ Nilai X2

Oi=¿ nilai observasi

Ei=¿ NIlai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan

tabel normal dikalikan N (total frekuensi) (pi x N)

N=¿ Banyaknya angka pada data (total frekuensi)

Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan

berdasarkan pada hasil

transformasi data distribusi frekuensi yang akan diuji

normalitasnya, sebagai

berikut:

No Batas Interval

KelasZ=

X i−XSD

pi Oi Ei( pi xN )

1

2

3

dst

89

Keterangan :

X i= Batas tidak nyata interval kelas

Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada

distribusi normal

pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel

normal (lampiran)

Oi = Nilai observasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan

tabel normal

dikalikan N (total frekuensi) ( pi xN )

Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit

Distribusi Normal)

a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel

distribus frekuensi.

b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )

c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.

Signifikansi

Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel

(Chi-Square).

Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha

ditolak.

90

Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha

diterima.

Contoh Soal :

Diambil tinggi badan mahasiswa di suatu perguruan tinggi tahun 1990.

TINGGI BADAN JUMLAH

140 – 144 7

145 – 149 10

150 – 154 16

155 – 159 23

160 – 164 21

165 – 169 17

170 – 174 6

JUMLAH 100

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal?

(Mean = 157.8; Standar deviasi = 8.09)

Penyelesaian :

1. Hipotesis :

Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal

H1 : Populasi tinggi badan mahasiswa tidak berdistribusi normal

2. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

3. Rumus Statistik penguji

X2=∑(Oi−Ei)

Ei

91

Batas Interval KelasZ=

X i−XSD

pi Oi Ei( pi xN )

139.5 - 144.5 -2.26 - -1.64 0.4881 - 0.4495 = 0.0386 7 3,86

144.5 - 149.5 -1.64 - -1.03 0.4495 - 0.3485 = 0.1010 10 10,1

149.5 - 154.5 -1.03 - -0.41 0.3485 - 0.1591 = 0.1894 16 18,94

154.5 - 159.5 -0.41 - 0.21 0.1591 - 0.0832 = 0.2423 23 24.23

159.5 - 164.5 0.21 - 0.83 0.0832 - 0.2967 = 0.2135 21 21.35

164.5 - 169.5 0.83 - 1.45 0.2967 - 0.4265 = 0.1298 17 12.98

169.5 - 174.5 1.45 - 2.06 0.4265 - 0.4803 = 0.0538 6 5.38

JUMLAH 100

Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang

dikonfirmasikan dengan tabel distribusi normal (Lampiran).

X2=∑(Oi−Ei)

Ei

¿(7−3,86)2

3,86+(10−10,1)2

10,1+

(16−18,94)2

18,94+(23−24,23)2

24,23+…+

(6−5,38)2

5,38

¿0,427

4. Derajat Bebas

Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2

92

5. Nilai

Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) pada

lampiran.

6. Daerah penolakan

- Menggunakan gambar

terima : 0.1628 tolak : 5.991

- Menggunakan rumus

|0,427 | < |5,991| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

7. Kesimpulan

Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.

b. Metode Lillifors (N Kecil dan N Besar)

Uji kenormalan dilakukan secara parametrik dengan menggunakan

penaksir rata-rata dan simpangan baku, maka dalam bagian ini akan

diperlihatkan uji kenormalan secara nonparametrik. Uji yang

digunakan dikenal dengan nama uji Lilliefors.

Misalkan kita mempunyai sampel acak dengan hasil pengamatan x1

, x2 , ..... , xn. Berdasarkan sampel ini akan diuji hipotesis nol bahwa

sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal melawan

hipotesis tandingan bahwa distribusi tidak normal. Untuk pengujian

hipotesis nol tersebut kita tempuh prosedur tersebut :

93

a) Pengamatan x1 , x2 , ....., xn dijadikan bilangan bilangan baku z1

, z2 , ..... , zn dengan menggunakan rumus z i=xi−x

s (x dan s

masing-masing merupakan rata-rata dan simpangan baku

sampel).

b) Untuk tiap bilangan baku ini dan menggunakan daftar

distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang F(zi) =

P(z ≤ zi).

c) Selanjutnya dihitung proporsi z1, z2, ..... , zn yang lebih kecil

atau sama dengan zi. Jika proporsi ini dinyatakan oleh S(zi),

maka S(zi) = banyaknya z1 , z 2 ,..... , zn yang ≤ zi

n

d) Hitung selisih F(zi) – S(zi) kemudian tentukan harga

mutlaknya.

e) Ambilah harga yang paling besar di antara harga-harga

mutlak selisih tersebut. Sebutlah harga terbesar ini L0

Untuk menerima atau menolak hipotesis nol, kita bandingkan L0

ini dengan

nilai kritis L yang diambil dari Daftar XIX(11) untuk taraf nyata

yang dipilih. Kriterianya adalah: tolak hipotesis nol bahwa

populasi berdistribusi normal jika L0 yang diperoleh dari data

pengamatan melebihi L dari daftar. Dalam hal lainnya hipotesis

nol diterima.

Daftar XIX

94

Nilai Kritis L untuk Uji Lilliefors

Ukuran

Sampel

Taraf Nyata ()

0,01 0,05 0,10 0,15 0,20

n = 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

0,417

0,405

0,364

0,348

0,331

0,311

0,294

0,284

0,275

0,268

0,261

0,257

0,250

0,245

0,239

0,235

0,231

0,200

0,381

0,337

0,319

0,300

0,285

0,271

0,258

0,249

0,242

0,234

0,227

0,220

0,213

0,206

0,200

0,195

0,190

0,173

0,352

0,315

0,294

0,276

0,261

0,249

0,239

0,230

0,223

0,214

0,207

0,201

0,195

0,289

0,184

0,179

0,174

0,158

0,319

0,299

0,277

0,258

0,244

0,233

0,224

0,217

0,212

0,202

0,194

0,187

0,182

0,177

0,173

0,169

0,166

0,147

0,300

0,285

0,265

0,247

0,233

0,223

0,215

0,206

0,199

0,190

0,183

0,177

0,173

0,169

0,166

0,163

0,160

0,142

95

30

n > 30

0,187

1,031√ n

0,161

0,886√ n

0,144

0,805√ n

0,136

0,768√ n

0,131

0,736√ n

Sumber : Conover, W.J., Practical Nonparametric Statistics, John Wiley & Sons,

Inc. 1973.

Contoh Soal :

Misalkan sampel dengan data:

23, 27, 33, 40, 48, 48, 57, 59, 62, 68, 69, 70 telah diambil dari sebuah

populasi. Akan diuji hipotesis nol bahwa sampel ini berasal dari populasi

dengan distribusi normal. Dari data di atas didapatx = 50,3 dan s = 16,55.

Agar supaya mudah dimengerti setelah mengikuti prosedur disebutkan di

atas, sebaiknya hasilnya disusun seperti dalam daftar berikut

.

Xi zi F(zi) S(zi) |F (z i)−S(z i)|

23

27

33

40

48

48

57

- 1,65

- 1,41

- 1,05

- 0,62

- 0,14

- 0,14

0,40

0,53

0,71

1,07

0,0495

0,0793

0,1469

0,2676

0,4443

0,4443

0,6554

0,0833

0,1667

0,2500

0,3333

0,5000

0,5000

0,5833

0,0338

0,0874

0,1031

0,0657

0,0557

0,0557

0,0721

96

59

62

68

69

70

1,13

1,19

0,7019

0,7612

0,8577

0,8708

0,8830

0,6667

0,7500

0,8333

0,9167

1,0000

0,0352

0,0112

0,0244

0,0459

0,1170

Dari kolom terakhir dalam daftar di atas didapat L0 = 0,1170. Dengan n = 12

dan taraf nyata = 0,05, dari Daftar XIX didapat L = 0,242 yang lebih besar

dari L0 = 0,1170 sehingga hipotesis nol diterima. Kesimpulannya adalah

bahwa populasi berdistribusi normal.

Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel

distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat

dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal.

Probabilitas tersebut dicari bedanya dengan probabilitas komultaif empiris.

Beda terbesar dibanding dengan tabel Lilliefors pada Tabel Harga Quantil

Statistik Lilliefors Distribusi Normal.

No X i Z=X i−X

SDF (X ) S( X) |F ( X )−S( X)|

1

2

3

dst

97

Keterangan :

X i=¿ Angka pada data

Z=¿ Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

F ( X )=¿ Probabilitas komulatif normal

S ( X )=¿ Probabilitas komulatif empiris

Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Signifikasi

Signifikansi uji, nilai | F (x) - S (x) | terbesar dibandingkan dengan nilai

tabel Lilliefors.

Jika nilai | F (x) - S (x) | terbesar < nilai tabel Lilliefors, maka Ho

diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai | F(x) - S(x) | terbesar > dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho

ditolak ; Ha diterima.

c. Metode Kolmogorov-Smirnov

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode

Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus

sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode

Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding

Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan

tabel pembanding metode Lilliefors.

98

No X i Z=X i−X

SDFT FS |FT−FS|

1

2

3

dst

Keterangan :

X i=¿ Angka pada data

Z=¿ Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

FT=¿ Probabilitas komulatif normal

F S=¿ Probabilitas komulatif empiris

Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi

frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Signifikasi

Signifikansi uji, nilai |FT – FS| terbesar dibandingkan dengan nilai

tabel Kolmogorov Smirnov.

Jika nilai |FT – FS| terbesar <nilai tabel Kolmogorov Smirnov,

maka Ho diterima; Ha ditolak.

99

Jika nilai |FT – FS| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov,

maka Ho ditolak; Ha diterima.

Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil

Statistik Kolmogorov Distribusi Normal.

d. Metode Shapiro Wilk

Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah

dalam tabel distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi

dalam dua kelompok untuk dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat

juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung

luasan kurva normal.

T 3=1D [∑i=1

k

ai(Xn−i+1−X i)]2

Keterangan :

D = Berdasarkan rumus di bawah

a i = Koefisient test Shapiro Wilk (lampiran 8)

X n−i +1 = Angka ke n – i + 1 pada data

X i = Angka ke i pada data

D=∑i=1

n

(X i−X )2

Keterangan :

Xi = Angka ke i pada data yang

X = Rata-rata data

100

G=bn+cn+ln(T 3−dn

1−T3)

Keterangan :

G = Identik dengan nilai Z distribusi normal

T 3 = Berdasarkan rumus di atas

bn, cn, dn = Konversi Statistik Shapiro-Wilk Pendekatan

Distribusi Normal

Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi

frekuensi

c. Data dari sampel random

Signifikasi

Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi

uji nilai T3 dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk

dilihat posisi nilai probabilitasnya (p).

Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai p < 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika

digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal

101

KESIMPULAN

Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan

berdistribusi normal atau diambil dari populasi normal. Metode klasik dalam

pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan pengalaman

empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya lebih dari 30 angka (n >

30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi normal. Biasa dikatakan sebagai

sampel besar.

Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi normal atau

tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena belum tentu data yang

lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal, demikian sebaliknya data yang

banyaknya kurang dari 30 belum tentu tidak berdistribusi normal, untuk itu perlu

suatu pembuktian. uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya Chi-

Square, Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Shapiro Wilk.

Sedangkan uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji apakah kedua data

tersebut homogen yaitu dengan mambandingkan kedua variansnya. Jika kedua

varians sama besarnya, maka uji homogenitas tidak perlu dilakukan lagi karena

datanya sudah dapat dianggap homogen. Namun untuk varians yang tidak sama

besarnya, perlu diadakan pengujian homogenitas melalui uji kesamaan dua

varians ini. Persyaratan agar uji homogenitas dapat dilakukan ialah apabila kedua

datanya telah terbukti berdistribusi normal.

BAB IX

UJI HIPOTESIS

102

A. PENGERTIAN HIPOTESIS

Banyak pendapat yang menjelaskan arti dari hipotesis tersebut. Berikut akan

dijabarkan beberapa pengertian dari berbagai referensi yang ada.

Sutrisno Hadi, dalam bukunya yang berjudul “Statistika” istilah hipotesa

sebenarnya adalah kata majemuk, terdiri dari kata-kata hipo dan tesa. Hipo

berasal dari bahasa yunani hupo, yang berarti dibawah, kurang atau lemah.

Tesa berasal dari bahasa yunani thesis, yang berarti teori atau proposisi

yang disajikan sebagai bukti. Jadi hipotesa adalah pernyataan yang masih

lemah kebenarannya dan masih perlu dibuktikan kenyataannya.

Prof. Dr. Sudjana,M.A.,M.Sc. dalam bukunya yang berjudul “Metoda

Statistika” istilah hipotesa adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu

hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk

melakukan pengecekannya.

Berdasarkan pengertian-pengertian hipotesis di atas, maka dapat

disimpulkan bahwa hipotesis adalah pernyataan atau asumsi yang masih

diragukan kebenarannya dan perlu dilakukan pengecekkan.

Sebelum menerima atau menolak sebuah hipotesis, seorang peneliti harus

menguji keabsahan hipotesis tersebut untuk menentukan apakah hipotesis itu

benar atau salah. Secara umum Hipotesis adalah jawaban sementara terhadap

suatu masalah. Jawaban tersebut masih perlu diuji kebenarannya. Seorang

peneliti pasti akan mengamati sesuatu gejala, peristiwa, atau masalah yang

menjadi focus perhatiannya. Sebelum mendapatkan fakta yang benar, mereka

akan membuat dugaan tentang gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi

titik perhatiannya tersebut.

Fungsi atau kegunaan hipotesis yang disusun dalam suatu rencana penelitian,

setidaknya ada empat yaitu:

Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta

memudahkan perluasan pengetahuan dalam suatu bidang.

Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat

diuji dalam penelitian.

103

Hipotesis memberikan arah kepada penelitian

Hipotesis merupakan tujuan khusus. Dengan demikian hipotesis juga

menentukan sifat-sifat data yang diperlukan untuk menguji pernyataan

tersebut.

Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan

penyelidikan.

B. PERUMUSAN HIPOTESIS

Suatu rumusan dari sebuah hipotesis digunakan sebagai petunjuk arah

dalam rancangan penelitian, teknik pengumpulan, dan analisis data serta

penyimpulan. Rumusan hipotesis sebenarnya sudah dapat dibaca dari uraian

masalah, tujuan penelitian, kajian teoritik, dan kerangka pikir sehingga

rumusannya harus sejalan.

Rumusan hipotesis mempunyai ciri-ciri umum, yaitu sebagai berikut:

1. Kalimat dari rumusan hipotesis dinyatakan sebagai kalimat pernyataan

(deklaratif).

2. Rumusan hipotesis melibatkan minimal dua variabel penelitian.

3. Rumusan hipotesis mengandung suatu prediksi.

4. Suatu rumusan hipotesis harus dapat diuji (testable).

C. TIPE-TIPE HIPOTESIS

Hipotesis statistik akan diterima jika hasil pengujian membenarkan

pernyataannya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataannya.

Di dalam pengujian hipótesis, keputusan yang dibuat mengandung

ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan

resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas.

Hipotesis digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis

alternatif.

1. Hipotesis nihil/nol (Ho)

104

Hipotesis nihil adalah hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan

antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua

kelompok atau lebih.

2. Hipotesis alternatif (H1)

Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang menyatakan adanya hubungan

antara dua variabel atau lebih atau adanya perbedaan antara dua kelompok

atau lebih.

D. KESALAHAN/KEKELIRUAN PENGUJIAN HIPOTESIS

Kesimpulan Hipotesis benar Hipotesis salah

Terima hipotesis

Kekeliruan tipe II ( β )(kuasa uji = 1 – β)

Tolak hipotesis

Kekeliruan tipe I(taraf signifikan α )

Di dalam menaksir parameter populasi berdasarkan data sampel,

kemungkinan akan terdapat dua kesalahan, yaitu:

Kesalahan tipe I, yaitu suatu kesalahan bila menolak Ho yang benar

(seharusnya diterima). Dalam hal ini tingkat kesalahan dinyatakan dengan

α .

Kesalahan tipe II, yaitu suatu kesalahan bila menerima Ho yang salah

(seharusnya ditolak). Tingkat kesalahan ini dinyatakan dengan β.

Pembuat keputusan berusaha agar kedua tipe kesalahan di atas ditekan

sampai sekecil-kecilnya, hal ini dapat terjadi jika n meningkat.

E. FORMULASI HIPOTESIS

1. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)

Pengujian hipotesis dua pihak adalah pengujian hipotesis diaman hipotesis nol

berbunyi “sama dengan” dan hipotesis alternatifnya berbunyi “tidak sama

dengan”.

Ho: θ=θo

Ho: θ ≠ θ

105

2. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri

Pengujian hipotesis pihak kiri adalah pengujian hipotesis dimana hipotesis

nol berbunyi “sama dengan” atau “lebih besar atau sama dengan” dan

hipotesis alternatifnya berbunyi “lebih kecil” atau “lebih kecil atau sama

dengan” .

Ho: θ=θo

Ho: θ<θo

3. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan

Pengujian hipotesis pihak kanan adalah pengujian hipotesis nol berbunyi

“sama dengan” atau “lebih kecil atau sama dengan” dan hipotesis

alternatifnya berbunyi “lebih besar” atau “lebih besar atau sama dengan”.

Ho: θ=θo

Ho: θ>θo

F. PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS

Menentukan Formula Hipotesis

Formula hipotesis dapat dibedakan atas dua jenis:

Hipotesis Nol

Hipotesis Nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu

peryataan yang akan diuji. Disebut Hipotesis nol karena hipotesis

tersebut tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dengan

hipotesis sebenarnya.

106

Hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan

Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai

lawan atau tandingan dari hipotesis nol.

Menentukan Taraf Nyata (Significant Level)

Taraf nyata adalah besarnya taraf toleransi dalam menerima kesalahan

hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata

dilambangkan dengan α (baca: alpha), semakin tinggi taraf nyata yang

digunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis

yang diuji, padahal hipotesis nol benar.

Menentukan Kriteria Pengujian

Kriteria penngujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam

menerima atau menolak hipotesis nol dengan cara membandingkan α

tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai

dengan bentuk pengujiannya.

Menentukan Nilai Uji Statistik

Uji statistik merupakan rumusan-rumusan yang berhubungan dengan

distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan

perhitungan untuk menduga parameter data sampel yang diambil

secara random dari sebuah populasi.

Membuat Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal

penerimaan atau penolakan hipotesis nol, sesuai dengan kriteria

pengujiannya.

H. KESIMPULAN

Dalam melakukan sebuah penelitian langkah awal yang kita tentukan

adalah menentukan hipotesis, dimana hipotesis adalah pernyataan atau dugaan

107

sementara mengenai satu atau lebih populasi. Hipotesis yang telah kita

tentukan tadi perlu diadakan pengujian untuk membuktikan apakah hipotesis

kita sudah benar atau salah. Hal ini disebut dengan penguian hipotesis.

Pengujian hipotesis sangat berperan penting pada penelitian. Hal ini bisa

mempermudah kita untuk menguji hipotesis kita sehingga pengujian hipotesis

ini merupakan salah satu hal yang harus kita kuasai jika kita ingin melakukan

penelitian.

108

BAB X

UJI HIPOTESIS SATU RATA-RATA

A. Pengertian Uji Hipotesis

Pengujian hipotesis adalah suatu prosedur yang akan menghasilkan suatu

keputusan, yaitu keputusan menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam

pengujian hipotesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian,

artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar

kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Pengujian Hipotesis satu

rata-rata sendiri mempunyai prosedur khusus dan dalam penggunaannya

terbagi untuk sampel besar dan sampel kecil.

PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA-RATA

1. Sampel besar (n > 30)

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata, uji hipotesis ini menggunakan

distribusi Z karena sampel lebih besar dari 30. Prosedur pengujian

hipotesisnya ialah sebagai berikut.

1) Formulasi Hipotesisnya

a) H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0

Uji satu pihak (pihak kanan)

b) H0 : µ = µ0

H1 : µ < µ0

Uji satu pihak (pihak kiri)

c) H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

Uji dua pihak

2) Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z tabel (Zα)

Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian nilai Zα atau Zα /2

ditentukan dari tabel.

109

3) Kriteria Pengujian

a) Untuk H0 : µ = µ0 dan H1 : µ > µ0 yakni:

H0 diterima jika Z0≤ Zα ,

H0 ditolak jikaZ0>Zα ,

Daerah Penerimaan Ho α

Daerah kritis

Daerah penolakan Ho

b) Untuk H0 : µ = µ0 dan H1 : µ < µ0 yakni:

H0 diterima jika Z0≥−Zα ,

H0 ditolak jika Z0<−Zα ,

daerah penerimaan Ho

daerah kritis

penolakan Ho

α

c) Untuk H0 : µ = µ0 dan H1 : µ ≠ µ0 yakni:

H0 diterima jika −Zα /2≤ Z0 ≤ Zα /2

H0 ditolak jika Z0>Zα /2 atau Z0<−Zα /2

Daerah penerimaan Ho

Daerah penolakan Ho daerah penolakan Ho

α/2 α/2

4) Uji Statistik

110

a) Simpangan baku populasi (σ) diketahui:

Z0 = x−μ0

σ x⃗ =

x−μ0

σ√n

b) Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui:

Z0 = x−μ0

Sx =

x−μ0

S√n

Keterangan: S = simpangan baku sampel

μ0 = nilai µ sesuai dengan H0

5) Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai

dengan kriteria pengujiannya).

Contoh soal 1:

Seorang dosen prodi matematika Unsri yaitu pembimbing mata

kuliah statistika, menugaskan mahasiswanya untuk membawa satu

kaleng susu bubuk 400gram. Agar diuji untuk mengetahui apakah

rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang dipasarkan

masih tetap 400gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data

sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng

sama dengan 125gram. Dari sampel 50 kaleng yang diteliti,

diperoleh rata-rata bersih 375 gram. Dapatkah diterima bahwa

berat bersih rata-rata yang dipasarkan tetap 400 gram? Ujilah

dengan taraf nyata 5%!

Penyelesaian:

Diketahui: n = 50;

x = 375gram;

σ = 125;

µ0 = 400;

111

a) Formulasi hipotesisnya:

H0 : µ = 400

H1 : µ < 400

b) Taraf Nyata dan nilai Z tabelnya:

α = 5% = 0,05

Z0,05 = -1,64 (pengujian sisi kiri)

c) Kriteria Pengujian:

Daerah penerimaan Ho

daerah penolakan Ho

d) Uji statistik:

Z = x⃗−μ0

σ√n

= 375−400

125√100

= - 0,22e) Kesimpulan:

Karena Z0 = -0,22 ≥ -Z0,05 = -1,64 maka Ho diterima. Jadi, berat

bersih rata-rata susu bubuk perkaleng yang dipasarkan sama

dengan 400 gram.

2. Sampel Kecil (n < 30)

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n < 30), uji

statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian hipotesisnya

ialah sebagai berikut:

112

1) Formulasi hipotesisnya

a) H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0

Uji satu pihak (pihak kanan)

b) H0 : µ = µ0

H1 : µ < µ0

Uji satu pihak (pihak kiri)

c) H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

Uji dua pihak

2) Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai t-tabel

Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian menentukan derajat

bebas, yaitu:

db = n – 1, lalu menetukan nilat t α;n-1 atau t α/2; n-1 dari tabel.

3) Kriteria Pengujian

a) Untuk H0 : µ = µo dan H1 : µ > µ0:

H0 diterima jika to ≤ tα

H0 ditolak jika to > tα

daerah penerimaan Ho

daerah penolakan

α

b) Untuk Ho : µ0 dan H1 : µ < µ0:

Ho diterima jika t0 ≥ -tα

Ho ditolak jika t0 < -tα

daerah penerimaan Ho

113

daerah penolakan α

c) Untuk H0 : µ = µ0 dan H1 : µ ≠ µ0

H0 diterima jika –tα/2 ≤ t0 ≤ tα/2

H0 ditolak jika t0 > tα/2 atau t0 < -tα/2

daerah penerimaan Ho

Daerah penolakan daerah penolakan

α α

4) Uji Statistik

a) Simpangan baku (σ) populasi diketahui:

t0 = x−μ0

σ x⃗ =

x⃗−μ0

σ√n

b) Simpangan baku (σ) populasi tidak diketahui:

t0 = x−μ0

Sx =

x−μ0

S√n

5) Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai

dengan kriteria pengujiannya).

Contoh soal 2:

Seluruh mahasiswa pendidikan matematika Unsri 2014 ditugaskan

untuk menghitung rata-rata berat kotor beberapa kaleng susu

menggunakan uji hipotesis rata-rata.. Sebuah sampel terdiri dari 15

kaleng susu, memiliki isi berat kotor seperti yang diberikan berikut

ini.

114

(isi berat kotor dalam kg/kaleng)

1,21 1,21 1,23 1,20 1,21

1,24 1,22 1,24 1,21 1,19

1,19 1,18 1,19 1,23 1,18

Jika digunakan taraf nyata 1%, dapatkah anda meyakini bahwa

populasi susu dalam kaleng rata-rata memiliki berat kotor

1,2kg/kaleng? (dengan alternatif tidak sama dengan). Berikan

evaluasi anda!

Penyelesaian:

Diketahui: n = 15;

α = 1% = 0,01;

µo = 1,2

ΣX = 18,23

ΣX2 = 21,9189

X = 18,13

15 = 1,208

S = √ 21,918914

−(18,13)2

210 = 0,02

a) Formulasi hipotesis:

H0 : µ = 1,2

H1 : µ ≠ 1,2

b) Taraf Nyata dan nilat t-tabel:

α = 1% = 0,01;

α/2 = 0,005 dengan db = 15-1 = 14

t0,005;14 = 2,977

c) Kriteria Pengujian:

115

-2,977 2,977

H0 diterima jika : -2,977 ≤ t0 ≤ 2,977

H0 ditolak jika : t0 > 2,977 atau t0 < -2,977

d) Uji Statistik:

t0 = x−μ0

S√n

= 1,208−1,2

0,02√15

= 1,52

e) Kesimpulan

Karena –t0,005;14 = -2,977 ≤ t0 = 1,52 ≤ t0,005;14 = 2,977, maka H0

diterima.

Jadi, populasi susu dalam kaleng secara rata-rata berisi berat kotor

1,2 kg/kaleng.

KESIMPULAN

Pengujian hipotesis satu rata-rata merupakan jenis pengujian hipotesis

berdasarkan jenis parameternya. Pengujian hipotesis tentang rata-rata, yaitu

pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yang didasarkan atas informasi

sampelnya. Pengujian hipotesis satu rata-rata sendiri mempunyai prosedur

khusus dan dalam penggunaannya terbagi untuk sampel besar dan sampel

kecil.

116

BAB XI

UJI HIPOTESIS DUA RATA-RATA

Uji hipotesis dua rata-rata digunakan mengetahui ada atau tidaknya

perbedaan (kesamaan) antara dua buah data. Pengujian hipotesis dua rata-rata

merupakan jenis pengujian hipotesis berdasarkan jenis parameternya. Pengujian

hipotesis tentang rata-rata, yaitu pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi

yang didasarkan atas informasi sampelnya. Selain itu pengujian kesamaan dua

rata-rata dilakukan karena banyak penelitian yang membandingkan antara dua

keadaan atau tepatnya dua populasi.

1. Uji Hipotesis Dua Rata-Rata Sampel Besar ( N > 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar

(n>30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedur pengujian

hipotesisnya ialah sebagai berikut.

1) Formulasi Hipotesis

a) H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2

b) H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1< µ2

c) H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

2) Penentuan Nilai α dan Nilai Z tabel (Zα)

Mengambil nilai α sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai

Zα atau Zα/2 dari tabel.

3) Kriteria Pengujian

a) Untuk H0 : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 > µ2:

H0 diterima jika Z0 ≤ Zα

117

H0 ditolak jika Z0 > Zα

b) Untuk H0 : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 < µ2:

H0 diterima jika Z0 ≥ - Zα

H0 ditolak jika Z0 < - Zα

c) Untuk H0 : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 ≠ µ2:

H0 diterima jika –Zα/2 ≤ Z0 ≤ Zα/2

H0 ditolak jika Z0 > Zα/2 atau Z0 < - Zα/2

\

4) Uji Statistik

a) Jika simpangan baku populasi diketahui:

Z0 = x1− x2

σ x 1−x 2 dengan σ x 1−x 2 = √ σ1

2

n1+

σ22

n2

b) Jika simpangan baku populasi tidak diketahui:

Z0 = X1−X2

Sx1− x2 dengan Sx1− x2 = √ S1

2

n1+

S22

n2

Dimana apabila σ 12 dan σ 2

2 tidak diketahui, dapat diestimasi

dengan:

SX 1−X 2=√ S1

2

n1+

S22

n2

S12= 1

n1−1∑ ( X i 1−X 1)2

S22= 1

n2−1∑ ( X i 2−X2 )2

5) Kesimpulan

Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0.

a) Jika H0 diterima maka H1 ditolak

b) Jika H0 ditolak maka H1 diterima

Contoh Soal 1:

118

Salah satu mahasiswa pendidikan matematika Unsri berpendapat bahwa

rata-rata jam kerja dosen prodi matematika di gedung C dan D sama

dengan alternatif C lebih besar dari pada D. Untuk itu, diambil sampel di

kedua gedung, masing-masing 100 dan 70 dengan rata-rata dan

simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35 dan 7 jam per minggu.

Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5%! (varians/simpangan

baku kedua populasi sama besar).

Penyelesaian:

Diketahui: n1 = 100 X1 = 38 S1 = 9

n2 = 70 X2 = 35 S2 = 7

1) Formulasi hipotesisnya:

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2

2) Taraf Nyata dan Nilai Z-tabelnya:

α = 5% = 0,05

Z0,05 = 1,64

3) Kriteria Pengujian:

1,64

H0 diterima jika Z0 ≤ 1,64

H0 ditolak jika Z0 > 1,64

4) Uji Statistik

Sx1− x2 = √ S12

n1+

S22

n2

= √ 92

100+ 72

70 = 38−35

1,23

119

= 2,445) Kesimpulan:

Karena Z0 = 2,44 > Z0,05 = 1,64, maka H0 ditolak.

Jadi, rata-rata jam kerja dosen prodi matematika Unsri di gedung C dan

gedung D adalah tidak sama.

2. Uji Hipotesis Dua Rata-Rata Sampel Kecil ( n<30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel kecil

( n≤30 ), uji statistiknya menggunkan distribusi t. Prosedur pengujian

hipotesisnya ialah sebagai berikut.

1) Formulasi Hipotesis

a) H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2

b) H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1< µ2

c) H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

2) Penentuan Nilai α dan Nilai t tabel (tα)Mengambil nilai α sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan

nilai tα atau tα /2 dari tabel.

3) Kriteria Pengujian

a) Untuk H0 : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 > µ2:

H0 diterima jika t0 ≤ tα

H0 ditolak jika t0 > tα

b) Untuk H0 : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 < µ2:

H0 diterima jika t0 ≥ - tα

H0 ditolak jika t0 < - tα

c) Untuk H0 : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 ≠ µ2:

120

H0 diterima jika –tα/2 ≤ t0 ≤ tα/2

H0 ditolak jika t0 > tα/2 atau t0 < - tα/2

4) Uji Statistik

a) Untuk pengamatan tidak berpasangan(dibagi lagi menjadi dua)

(varian homogen: uji dua pihak, pihak kanan, pihak kiri n<30)

dan (varian tidak homogen, n>30)

t0 = X1−X2

√ (n1−1 ) s12+( n2−1 ) s2

2

n1+n2−2 (

1n1

+1n2

)

t 0 memiliki distribusi dengan db=n1+n2−2

b) Untuk pengamatan berpasangan(contoh ad perbedaan antara

siswa yang mengikuti les tambahan dengan yang tidak

mengikuti):

t0 = dSd

√n

Keterangan:

d = rata-rata dari nilai d

Sd = simpangan baku dari nilai d

n = banyaknya pasangan

t0 memiliki distribusi dengan db = n – 1

5) Kesimpulan

Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0.

a) Jika H0 diterima maka H1 ditolak

b) Jika H0 ditolak maka H1 diterima

121

Contoh Soal 2:

Himpunan mahasiswa pendidikan matematika Unsri 2012

mengadakan pelatihan mengajar sebelum melaksanakan PKL yang

biasa disebut peer teaching. Sampel sebanyak 12 orang dengan

metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir

pelatihan diberikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas

pertama mencapai nilai rata-rata 80 dengan simpangan baku 4 dan

kelas kedua nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah

hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternatif keduanya tidak

sama! Gunakan taraf nyata 10%! Asumsikan kedua populasi

menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama!

Penyelesaian:

Diketahui: n1 = 12 X1 = 80 S1 = 4

n2 = 10 X2 = 75 S2 = 4,5

1) Formulasi hipotesisnya:

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

2) Taraf Nyata dan Nilai t-tabelnya:

α = 10% = 0,10

α/2 = 0,05

db = 12 + 10 – 2 = 20

t0,05;20 = 1,725

3) Kriteria Pengujian

daerah penerimaan H0

-1,725 1,725

122

H0 diterima apabila -1,725 ≤ t0 ≤ 1,725

H0 ditolakan apabila t0 > 1,725 atau t0 < -1,725

4) Uji Statistik:

t0 = 80−75

√ (12−1 ) 42+(10−1)4,52

12+10−2¿¿¿ = 2,76

5) Kesimpulan:

Karena t0 = 2,76 > t0,05;20 = 1,725 maka H0 ditolak.

Jadi, kedua metode yang digunakan dalam pelatihan tidak sama

hasilnya.

Contoh Soal 3:

Untuk mengetahui apakah keanggotaan dalam organisasi

mahasiswa pendidikan matematika Universitas Sriwijaya memiliki

akibat buruk atau baik terhadap prestasi akademik seseorang,

diadakan penelitian mengenai mutu rata-rata prestasi akademik.

Berikut ini data selama periode 5 tahun.

STATUSTAHUN

1 2 3 4 5

ANGGOTA 7,0 7,0 7,3 7,1 7,4

BUKAN

ANGGOTA

7,2 6,9 7,5 7,3 7,4

Ujilah pada taraf nyata 1% apakah keanggotaan dalam organisasi

mahasiswa pendidikan matematika Universitas Sriwijaya berakibat

buruk pada prestasi akademiknya dengan asumsi bahwa

populasinya normal.

Penyelesaian:

1) Formulasi hipotesisnya:

123

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 < µ2

2) Taraf Nyata dan Nilai t-tabelnya:

α = 1% = 0,01

db = 5 – 1 = 4

t0,01;4 = -3,747

3) Kriteria Pengujian

H0 diterima apabila to ≥ -3,747

H0 ditolak apabila to < -3,747

4) Uji Statistik:

d

=

−0,55 = -0,1 ; Sd

2 = 0,13

4−

(−0,5)2

20 = 0,02 ; Sd = 0,14

t0 = −0,10,14√5

= -1,6

5) Kesimpulan:

Karena t0 = -1,6 > t0,01;4 = -3,747, maka H0 diterima.

Jadi, keanggotaan organisasi bagi mahasiswa pendidikan matematika

Universitas Sriwijaya tidak memberikan pengaruh buruk terhadap

prestasi akademiknya.

ANGGOTA BUKAN ANGGOTA D d2

7,0 7,2 -0,2 0,04

7,0 6,9 0,1 0,01

7,3 7,5 -0,2 0,04

7,1 7,3 -0,2 0,04

7,4 7,4 0,0 0,00

Jumlah -0,5 0,13

124

KESIMPULAN

Pengujian hipotesis dua rata-rata hampir sama dengan pengujian hipotesis satu

rata-rata yang merupakan jenis pengujian hipotesis berdasarkan jenis

parameternya. Pengujian hipotesis tentang rata-rata, yaitu pengujian hipotesis

mengenai rata-rata populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Selain itu

pengujian kesamaan dua rata-rata dilakukan karena banyak penelitian yang

membandingkan antara dua keadaan atau tepatnya dua populasi. Pengujian

hipotesis dua rata-rata sendiri mempunyai prosedur khusus dan dalam

penggunaannya terbagi untuk sampel besar dan sampel kecil.

125

DAFTAR PUSTAKA

Ali Muhidin Sambas, 2006.Aplikasi Statistika Dalam Penelitian. Bandung:

PustakaSetia.

Dajan, Anto. 2000. Pengantar Metode Statistik Jilid I. Jakarta : Pustaka LP3ES

Indonesia.

Hamid,H.M Akib.Statistika Dasar.Jakarta :Universita Terbuka,Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.1992.

Harlyan, Ledhyane Ika. Uji Hipotesis.

http://ledhyane.lecture.ub.ac.id/files/2012/11/PENGUJIAN-

HIPOTESIS.pdf. Diakses pada tanggal 17 November 2015.

Hasan, Iqbal.2003.Pokok-pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif).Jakarta:

Bumi Aksara.

J.Supranto. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Jakarta : Erlangga

Kesuma, Deta Puji. Uji Hipotesis 2 Rata-Rata

http://detapujik.blogspot.com/2012/06/uji-hipotesis-dua-rata-rata-uji.html

Putri, Ratu Ilma Indra. Distribusi Binomial dan Poisson.

http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/distribusi-binomial-dan-poisson-

baru.pdf

http://fathur14klose.blogspot.com/2011/12/makalah-statistika-distribusi-binomial.html

Putri, Ratu Ilma Indra. Distribusi Normal.

http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/distribusi-normal-ft.pdf

126

Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas.

http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-normalitas-dan-homogenitas-

ri.pdf

Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis.

http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji_hipotesis-dan-uji-

hipotesis_1_ratarata.pdf. Diakses pada tanggal 17 Novemer 2015.

Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis 1 dan 2 Rata-Rata

http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-hipotesis-12-rata-rata1.pdf

Rahadi, Moersetyo. Subana dan Sudrajat. 2000. Statistik Pendidikan. Bandung:

Pustaka Setia.

Sudjana. 2005. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.

Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada

Supranto, Johanes. 2001. Staitistik Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga.

Usman, Husaini, Pengantar Statistika, Penerbit bumi aksara, Jakarta : 2006