TEOREMA RAO-BLACKWELL

PAPER

STATISTIKA MATEMATIKA II

Oleh:

Fahmi Hidayatul Azizah (121810101006) Devita Arum Seruni (121810101015) Irawati (121810101021) Ahmad Saifudin (121810101024) Suro Imanul Afif (121810101038) Aulia Nandarema Hayyu (121810101066)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER

2014

TEOREMA RAO – BLACKWELL

Andaikan kita punya sebuah koleksi dari peluang pengukuran

oleh beberapa himpunan . Kita sebut parameter dan ruang parameter.

Contoh, kita ambil dan misalkan sebuah koleksi dari Distribusi

Eksponensial dengan parameter .

Dengan menggunakan beberapa definisi berikut dapat digunakan beberapa

Lemma:

Lemma 1. Misalkan X sebuah L1 variabel acak pada ruang peluang , dan

andaikan sub- -aljabar dari . Maka

.

Pembuktian:

Untuk setiap A elemen F1 maka

Lemma 2. Jika dan sebuah sub- -aljabar, maka

.

Kita definisikan varian bersyarat dari sebuah variable acak X

sehubungan dengan sub- -aljabar oleh:

Perhatikan bahwa membuktikan bahwa

dengan pertidaksamaan Jensen bersyarat, sehingga varian bersyarat terdefinisi.

Pembuktian:

Lemma 3. Misalkan X, Y variabel acak dengan varian terhingga, misalkan sub-

-aljabar dari , dan andaikan X adalah yang dapat diukur. Maka

Dimana persamaan bertahan jika dan hanya jika Lemma 3

merupakan aproksimasi terbaik dari proyeksi orthogonal dalam teory ruang

Hilbert yang diartikan ke dalam bahasa teori peluang.

Kita sebut variable acak adalah sebuah estimator tak bias dari parameter

jika , dimana menyajikan “parameter tak diketahui”. Jika kita punya

sampel Y, sebuah statistic dikatakan cukup jika Distribusi Bersyarat

independen dari nilai . Dengan tak sengaja, sekali kita mengamati

sampel acak X dan menghitung statistik cukup T(X), data asli tidak berisi

informasi tambahan tentang parameter tak diketahui .

Statistik dari sampel dengan parameter adalah

cukup jika joint density function dengan parameter dapat difaktorkan

dimana h, g adalah fungsi Borel-dapat diukur.

Jika kita mulai dengan estimator Y, statistik cukup membolehkan kita

mengisi estimator , diketahui sebagai estimator Rao-Blackwell, yang

mempunyai harapan lebih rendah kuadrat kurang dari estimator asli Y.

Teorema 4. (Rao-Blackwell)

Andaikan T statistik cukup untuk , dan andaikan Y estimator tak bias

dari sedemikian hingga

Maka adalah estimator tak bias dari dan

.

Pembuktian:

estimator tetap dari sehingga didapat:

Konsekuensi yang berguna dari Teorema Rao-Blackwell adalah bahwa

kita dapat membatasi pencarian pada estimator tak bias minimum-varian untuk

statistic cukup.

Theorem 1.1 Let X ∼ fX(x, θ) and T be sufficient for . Let U be

any unbiased estimator for g(θ). Define Vt= E(U |T= t). Then V is an unbiased

estimator for g(θ) and Var(V ) ≤ Var(U ) with equality iff V = U with probability

one.

Proof 1.1 Since U = U (X) is an estimator, it is also a statistic. And, since T is

sufficient for θ we have V = E(U |T = t) (1)

(2)

By Fisher, and noting that u(x) is a function of x and not θ, we see that V is θ-free.

Thus, V is a statistic as well.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

So, V is unbiased.

Now, (8)

(9)

(10)

Since we know that E(U) = E(V) by above,

(11)

(12)

(13)

(14)

And thus

) (15)

) (16)

(17)

With equality iff E((U-V)2) = 0 or V=U with probabality one.

Example 1.1