Kelompok 4

Akhmad heriantoIsra vivision

Paulina nelce moleZefry A. ferdyansah

Kisi Monoatomik Satu Dimensi

Us-

1

Us Us+1 Us+

2

Us+

3

Us+

4 K

Andaikan interaksi atom hanya terjadi antar tetangga terdekat, gaya yang bekerja mengikuti hukum hooke (pendekatan harmonic) dengan konstanta gaya α, dan massa setiap atom, maka sesuai dengan hukum newton persamaan gerak atom ke-L adalah

(2.36)

Kisi di atas mempunyai simetri translasi. Oleh sebab itu diambil bentuk solusi

Persamaan (2.37) menunjukkan bahwa semua atom bergetar dengan frekuensi sama. Getaran yang demikian disebut getaran modus normal. Substitusi (2.37) kedalam persamaan (2.36) yang menghasilkan :

 

(2.38)

Pada daerah k<</a atau 2a<< (panjang gelombang jauh lebih besar dari pada jarak antar atom) kecepatan fasa dan kecepatan group adalah sama, di mana 2a << dinamakan batas gelombang panjang.

Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang masih mempunyai makna fisis adalah pada =2a, dengan a adalah jarak antara atom terdekat di dalam kristal pada kedudukan kesetimbangnya.

=2a adalah sesuai dengan harga k=/a. Daerah antara -/ak/a dinamakan daerah Billouin pertama. Derah ini merepresentasikan semua gelombang yang masih bermakna fisis di dalam kristal.

Kasus dimana k=/a disebut juga sebagai kondisi refleksi Bragg. Pada kasus ini atom yang bertetangga bergetar dengan fase yang berlawanan, sebagaimana dengan gelombang tegak.

Untuk k=0 yang mana sesuai dengan = ~, menunjukkan bahwa semua atom atom secara bersamaan bergerak ke satu arah tertentu atau bertranslasi sebagai satu kesatuan.

(2r-2) (2r-1) 2r (2r+1) (2r+2)

a a

Kisi diatomik satu dimensi

Model ini terdiri dari dua jenis atom,masing-masing bermassa M1 pada koordinat ganjil dan M2 pada koordinat genap jarak setimbang atom bertetangga sebesar a. Asumsi yang di gunakan sama dengan bahasan kisi monoatomik.persamaan gerak untuk masing-masing massa

 

Diambil solusi berbentuk

Subtitusi bentuk solusi (2.45) ke dalam persamaan (2.44) menghasilkan dua Persamaan yang ekivalen persamaan matrik

= A= A

= 0

Solusi nontrivial persamaan homogen (2.46) ada hanya jika harga determinan matrik sama dengan nol.oleh karena itu persamaan sekularnya

Memberikansolusiuntuk,yakni

1,2 =1/2

= 0

Frek

uens

i S

udut

ω

12 = 2/M

22 = 2/m

Mm

1123

(-/2a) 0 (-/2a)Gelombang vector k

Modus Optik

Modus Akustik

Cabang bagian bawah adalah bagian negatifnya. Cabang ini disebut dengan cabang akustik.

Cabang bagian atas adalah bagian positifnya . Cabang ini disebut dengan cabang optik

Kisi Tiga Dimensi

Misalnya, terdapatkisibravaistigadimensidengansatu atom perselsatuan. Diandaikanbentuksolusigelombang yang merambatdalamkristal = Vektoramplitudomenunjukkanarahgetaran atom yang sesuaidenganpolarisasigelombang ( longitudinal, transversal ataukeduanya).Subtitusisolusi (2.51) kedalampersamaangerakmenghasilkanperangkattigapersamaan yang melibatkan , dansehinggadiperolehpersamaan sekulardengandeterminanmatrik 3x3 akhirnyadiperoleh 3 buahhargaangsemuanyamelaluititikasal k = 0 (cabangakustik).

Tandamenyebabkanterdapatduahubungandispersi, yang masing-masingkurvanya, denganasumsi M1M2.

Kurvabawah, bersesuaiandengantanda minus, dinamakancabangakustik. Kurvainimemilikicirisamadengankisimonoatomik. Sedangkankurva di atasdinamakancabangoptik. Variasicabanginitidakbegitubesarsehinggaseringdianggaptetap.Padagambar di atasterdapatdaerahtanpagetaran, yaitudaerahfrekuensiantara (2/M1/2sampai (2/M1/2. Daerah terlarangini, dimanakisitidakdapatmentransmisikangelombang, disebutcelahfrekuensi,olehkarenaitukisidiatomikberperansebagai filter mekaniklolos pita.

Perbedaandinamikagetaranantarakeduacabang di atasdapat di pelajaridariperbandinganamplitudo A1/A2 padanilai K=0 (atau. subtitusikedalampersamaanmatrik (2.46) menghasilkanungkapan A1=A2

Hal iniberartidua atom dalamsel, ataumolekulmempunyaiamplitudodanfasa yang sama. Keseluruhankisibergetarsepertibendategar, denganpusatmassabergerakbolak-balik, 

Cabangoptik subtitusi1/2kedalampersamaanmatrikdiatasmenghasilkanungkapanM1 A1 +M2 A2 = 0Hal iniberarticabangoptikberosilasidenganpusatmassa atom tidakberubah,dua atom dalamselbergetardalamfasaberlawanan .padakurvadiatomiktampakbahwakurvatersebutperiodikdalamruang k denganperiodedanmempunyaisimetrirefleksi di sekitartitik K= 0. Zonabrillouinpertamaterletakpadadaerah (riilnyasebesar 2a dalamzonaini,jumlahnilai k yang di perkenankansebanyakjumlah atom total N karenaterdapatduacabang, makajumlahmodagetartotalnyaadalah 2N.