1
ANALISA KOMPLEKS
1. Bilangan Kompleks
Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1)
berikut
z = a + ib (1)
dimana
- z : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular
- a : bilangan nyata
- b : bilangan khayal
Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebagai berikut
o Penjumlahan
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z + z = a + ib a + ib a + a i b + b+ = + (2)
o Pengurangan
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z - z = a + ib a + ib a - a i b - b− = + (3)
o Perkalian
( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z = a + ib a + ib a a - b b i a b + a b= + (4)
o Pembagian
( )( )
( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 1 1 21
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
a + ib a a + b b a b - a bz = i
z a + ib a b a b= +
+ + (5)
Bilangan kompleks konjugat dinyatakan oleh persamaan (6) berikut
z = a - ib (6)
2. Bilangan Kompleks Dalam Koordinat Kutub, Akar dan Pangkat
Bentuk umum bilangan kompleks dalam koordinat kutub didefinisikan pada
persamaan (7) berikut
z = r θ = r cos θ + i r sin θ∠ (7)
dimana
- z : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk polar
- r : nilai mutlak atau modulus dari z
2
- θ : argument dari z ( radian atau derjat)
Nilai modulus r diperoleh dari persamaan (8) berikut
2 2r = z = a + b (8)
Nilai θ diperoleh dari persamaan (9) berikut
1 bθ = arg z = tan
a
− (9)
Dengan nilai utama pada persamaan (10) berikut
π < θ π≤ (10)
Operasi-operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (11)
s/d (14) berikut
o Perkalian
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2z z = r r cos θ + θ + i sin θ + θ (11)
o Pembagian
( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
z r = cos θ - θ + i sin θ - θ
z r (12)
o Pangkat Bulat
( )n nz = r cos nθ + i sin nθ (13)
o Akar
n n θ + 2kπ θ + 2kπz r cos i sin
n n
= + (14)
Nilai n z yang diperoleh dengan mengambil nilai utama θ dan k = 0 .
3. Limit, Turunan dan Fungsi Kompleks
Bentuk umum fungsi kompleks pada persamaan (15) berikut
( ) ( ) ( )w = f z = u x,y + iv x,y (15)
Suatu fungsi ( )f z dikatakan mempuyai limit l untuk z mendekati titik 0z
dituliskan dalam bentuk persamaan (16) berikut
( )0z z
lim f z = l→ (16)
Turunan suatu fungsi kompleks ( )f z di titik 0z didefinisikan pada persamaan
(17) berikut
3
( ) ( ) ( )0
0 0'
0∆z z
f z + ∆z - f zf z lim = l
∆z→= (17)
Ada beberapa perintah Matlab yang digunakan untuk menghitung limit fungsi
kompleks adalah
limit(expr, x, a) limit(expr, a) limit(expr) limit(expr, x, a, 'left') limit(expr, x, a, 'right')
4. Fungsi Eksponensial
Bentuk umum fungsi eksponensial kompleks pada persamaan (18) berikut
( )z xe = e cosy + i sin y (18)
5. Fungsi Trigonometrik dan Fungsi Hiperbolik
Bentuk umum fungsi trigonometrik dalam bilangan kompleks pada
persamaan (19) s/d (24) berikut
( )iz -iz1cos z = e + e
2 (19)
( )iz -iz1sin z = e - e
2i (20)
Selain itu didefinisikan juga bentuk – bentuk fungsi trigonometrik yang lain pada
persamaan (21) s/d (24) berikut
sin ztan z =
cos z (21)
cos zcot z =
sin z (22)
1sec z =
cos z (23)
1cos z =
sin z (24)
Bentuk umum fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks pada persamaan (25)
s/d (26) berikut
( )z -z1cosh z = e + e
2 (25)
( )z -z1sinh z = e - e
2 (26)
4
Selain itu didefinisikan juga fungsi-fungsi hiperbolik lain pada persamaan (27) s/d
(30) berikut
sinh ztanh z =
cosh z (27)
cosh zcoth z =
sinh z (28)
1sech z =
cosh z (29)
1cosh z =
sinh z (30)
Selain itu fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik komplek saling berkaitan
dalam bentuk fungsi-fungsi pada persamaan (31) s/d (34) berikut
cosh iz = cos z
(31)
sinh iz = i sin z
(32)
cos iz = cosh z
(33)
sin iz = i sinh z
(34)
6. Logaritma dan Pangkat Umum
Bentuk umum logaritma bilangan kompleks pada persamaan (35) berikut
ln z = ln r + iθ (35)
Nilai utama dari dari ln z pada persamaan (36) berikut
ln z = ln z + i arg z
(36)
Sifat- sifat logaritma asli yang berlaku untuk logaritma kompleks pada persamaan
(37) s/d (39) berikut
( )1 2 1 2ln z z = ln z + ln z (37)
11 2
2
zln = ln z - ln z
z
(38)
( )( )' 1ln z =
z (39)
Pangkat umum bilangan kompleks pada persamaan (40) berikut
z z ln aa = e (40)
5
7. Integral Kompleks
Bentuk umum integral kompleks adalah
( ) ( ) ( )1
0
1 0f z dz = F z F z
z
z
−∫ (41)
8 Beberapa Fungsi Matlab Untuk Bilangan Kompleks
Beberapa fungsi Matlab yang digunakan dalam analisa kompleks
diantaranya
Tabel 1. Fungsi – Fungsi Analisa Kompleks
Fungsi Keterangan
abs(X) Harga mutlak bilangan kompleks
angle(Z) Sudut fase bilangan kompleks
complex(a,b) Membentuk bilangan kompleks dari bagian nyata dan khayal
conj(Z) Konjugate bilangan kompleks
real(Z) Bagian nyata bilangan kompleks
imag(Z) Bagian khayal bilangan kompleks
9. Contoh Soal dan Jawab
Contoh 1 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada
persamaan (42) s/d (45) berikut
a. 1z =3 + i4 (42)
b. 2z =3 - i4 (43)
c. 3z = -3 + i4 (44)
d. 4z = -3 - i4 (45)
Jawab :
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (42) s/d (45) adalah
clc
clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(3,-4) Z3 = complex(-3,4) Z4 = complex(-3,-4) % Bentuk Polar disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_abs = abs(Z1) Z1_Sud = angle(Z1)
6
disp('Bilangan Kompleks Z1') Z2_abs = abs(Z2) Z2_Sud = angle(Z2) disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_abs = abs(Z3) Z3_Sud = angle(Z3) disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_abs = abs(Z4) Z4_Sud = angle(Z4)
Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 3.0000 - 4.0000i Z3 = -3.0000 + 4.0000i Z4 = -3.0000 - 4.0000i
Contoh 2 : Dengan menggunakan Matlab, jika 1z =3 + j4 dan 2z = 8 + j6 hitung
operasi aritmetik pada persamaan (46) s/d (49) berikut
a. a 1 2z = z + z (46)
b. b 1 2z = z - z (47)
c. c 1 2z = z z (48)
d. 1d
2
zz =
z (49)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (46) s/d (49) adalah
clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) % Operasi Aritmetik disp('Penjumlahan Bilangan Kompleks') Za = Z1 + Z2 disp('Pengurangan Bilangan Kompleks') Zb = Z1 - Z2 disp('Perkalian Bilangan Kompleks') Zc = Z1*Z2 disp('Pembagian Bilangan Kompleks') Zd = Z1/Z2
7
Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i Penjumlahan Bilangan Kompleks Za = 11.0000 +10.0000i Pengurangan Bilangan Kompleks Zb = -5.0000 - 2.0000i Perkalian Bilangan Kompleks Zc = 0 +50.0000i Pembagian Bilangan Kompleks Zd = 0.4800 + 0.1400i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (50) s/d (53) berikut
a. a 1 2z = z + z 11.0000 + i10.0000= (50)
b. b 1 2z = z - z 5.0000 i2.0000= − − (51)
c. c 1 2z = z z i50.0000= (52)
d. 1d
2
zz = 0.4800 i0.1400
z= +
(53)
Contoh 3 : Dengan menggunakan Matlab, jika 1z =3 + i4 , 2z = 8 + i6 dan
3z = 12 + i13 tentukan
a. 1z
(54)
b. 2z
(55)
c. 3z
(56)
d. ( )a 1 3z = re z + z (57)
e. ( )b 1 2z = im z - z (58)
f. ( )c 1 2z = re z z (59)
g. 1d
3
zz = im
z
(60)
8
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (54) s/d (60) adalah
clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) Z3 = complex(12,13) % z1_a = conj(Z1) z2_a = conj(Z2) z3_a = conj(Z3) Za = real(Z1 + Z2) zb = imag(Z1 - Z2) zc = real(Z1*Z2) zd = imag(Z1/Z3)
Hasil program
Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i Z3 = 12.0000 +13.0000i z1_a = 3.0000 - 4.0000i z2_a = 8.0000 - 6.0000i z3_a = 12.0000 -13.0000i Za = 11 zb = -2 zc = 0 zd = 0.0288
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (61) s/d (67) berikut
a. 1z 3.0000 - i4.0000=
(61)
b. 2z 8.0000 - i6.0000=
(62)
c. 3z 12.0000 i13.0000= −
(63)
9
d. ( )a 1 3z = re z + z 11.0000= (64)
e. ( )b 1 2z = im z - z 2.0000= − (65)
f. ( )c 1 2z = re z z 0.0000= (66)
g. 1d
3
zz = im 0.0288
z
=
(67)
Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada
persamaan (68) s/d (71) bentuk dalam bentuk kutub
a. 1z =1 + i4 (68)
b. 2z = 1 - i4 (69)
c. 3z = -1 + i4 (70)
d. 4z = -1 - i4 (71)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (68) s/d (71) adalah
clc clear all close all % Z1 = complex(1,4) Z2 = complex(1,-4) Z3 = complex(-1,4) Z4 = complex(-1,-4) % Bilangan Kompleks Z1 disp('Bilangan Kompleks Z1 (Kutub)') z1_r = abs(Z1) z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z2 disp('Bilangan Kompleks Z2 (Kutub)') z2_r = abs(Z2) z2_sud_rad = angle(Z2) % Radian z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z3 disp('Bilangan Kompleks Z3 (Kutub)') z3_r = abs(Z3) z3_sud_rad = angle(Z3) % Radian z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z4 disp('Bilangan Kompleks Z4 (Kutub)') z4_r = abs(Z4) z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat
10
Hasil program Z1 = 1.0000 + 4.0000i Z2 = 1.0000 - 4.0000i Z3 = -1.0000 + 4.0000i Z4 = -1.0000 - 4.0000i Bilangan Kompleks Z1 (Kutub) z1_r = 4.1231 z1_sud_rad = 1.3258 z1_sud_deg = 75.9638 Bilangan Kompleks Z2 (Kutub) z2_r = 4.1231 z2_sud_rad = -1.3258 z2_sud_deg = -75.9638 Bilangan Kompleks Z3 (Kutub) z3_r = 4.1231 z3_sud_rad = 1.8158 z3_sud_deg = 104.0362 Bilangan Kompleks Z4 (Kutub) z4_r = 4.1231 z4_sud_rad = -1.8158 z4_sud_deg = -104.0362
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (72) s/d (75) berikut
a. 0
1z =1 + i4 = 4.1231 1.3258 = 4.1231 75.9638∠ ∠ (72)
b. 0
2z =1 - i4 = 4.1231 1.3258 = 4.1231 75.9638∠− ∠−
(73)
c. 0
3z = -1 + i4 = 4.1231 1.8158 = 4.1231 104.0362∠ ∠
(74)
d. 0
4z = -1 - i4 = 4.1231 1.8158 = 4.1231 104.0362∠− ∠−
(75)
11
Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada
persamaan (76) s/d (79) bentuk dalam bentuk rectangular berikut
a. 0
1z = 4 90 ∠ (76)
b. 0
2z = 5 135∠ (77)
c. 0
3z = π 45∠ (78)
d. 0
4z = 50 120∠ (79)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (76) s/d (79) adalah
clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((90/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((90/180)*pi); Z1 = complex(Z1_a,Z1_b) % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 5 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 4 * sin((135/180)*pi); Z2 = complex(Z2_a,Z2_b) % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3 = complex(Z3_a,Z3_b) % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 5 * sin((120/180)*pi); Z4 = complex(Z4_a,Z4_b) Hasil Program Bilangan Kompleks Z1 Z1 = 0.0000 + 4.0000i Bilangan Kompleks Z2 Z2 = -3.5355 + 2.8284i Bilangan Kompleks Z3 Z3 = 2.2214 + 2.2214i Bilangan Kompleks Z4 Z4 = -2.5000 + 4.3301i
12
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (80) s/d (83) berikut
a. 0
1z = 4 90 = 0.0000 + i4.0000∠ (80)
b. 0
2z = 5 135 -3.5355 + i2.8284∠ = (81)
c. 0
3z = π 45 2.2214 i2.2214∠ = + (82)
d. 0
4z = 50 120 2.5000 i4.3301∠ = − + (83)
Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, hitung penjumlahan dan perkalian
bilangan kompleks pada persamaan (84) s/d (87) dalam bentuk kutub berikut
a. 0 0
1z = 4 75 + 5 135∠ ∠ (84)
b. 0 0
2z = 15 135 10 105∠ + ∠ (85)
c. 0 0
3z = π 45 0.5 75∠ − ∠ (86)
d. 0 0
4z = 50 120 25 60∠ − ∠ (87)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (84) s/d (87) adalah
clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((75/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((75/180)*pi); Z1_1 = complex(Z1_a,Z1_b); Z1_c = 15 * cos((135/180)*pi); Z1_d = 15 * sin((135/180)*pi); Z1_2 = complex(Z1_c,Z1_d); Z1 = Z1_1 + Z1_2; Z1_abs = abs(Z1) Z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian Z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 15 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 15 * sin((135/180)*pi); Z2_1 = complex(Z2_a,Z2_b); Z2_c = 10 * cos((105/180)*pi); Z2_d = 10 * sin((105/180)*pi); Z2_2 = complex(Z2_c,Z2_d); Z2 = Z2_1 + Z2_2; Z2_abs = abs(Z2) Z2_sud_rad = angle(Z2) % Radian
13
Z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3_1 = complex(Z3_a,Z3_b); Z3_c = 0.5 * cos((75/180)*pi); Z3_d = 0.5 * sin((75/180)*pi); Z3_2 = complex(Z3_c,Z3_d); Z3 = Z3_1 - Z3_2; Z3_abs = abs(Z3) Z3_sud_rad = angle(Z3) % Radian Z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 50 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 50 * sin((120/180)*pi); Z4_1 = complex(Z4_a,Z4_b); Z4_c = 25 * cos((60/180)*pi); Z4_d = 25 * sin((60/180)*pi); Z4_2 = complex(Z4_c,Z4_d); Z4 = Z4_1 - Z4_2; Z4_abs = abs(Z4) Z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian Z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat
Hasil program Bilangan Kompleks Z1 Z1_abs = 17.3494 Z1_sud_rad = 2.1552 Z1_sud_deg = 123.4825 Bilangan Kompleks Z2 Z2_abs = 24.1828 Z2_sud_rad = 2.1479 Z2_sud_deg = 123.0675 Bilangan Kompleks Z3 Z3_abs = 2.7201 Z3_sud_rad = 0.6934 Z3_sud_deg = 39.7266 Bilangan Kompleks Z4
14
Z4_abs = 43.3013 Z4_sud_rad = 2.6180 Z4_sud_deg = 150
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (88) s/d (91) berikut
a. 0 0 0 '
1z = 4 75 + 5 135 17.3494 123 .3494∠ ∠ = ∠ (88)
b. 0 0 0 '
2z = 15 135 10 105 24.1828 123 .0675∠ + ∠ = ∠ (89)
c. 0 0 0 '
3z = π 45 0.5 75 2.7201 39 .7266∠ − ∠ = ∠ (90)
d. 0 0 0
4z = 50 120 25 60 43.3013 150∠ − ∠ = ∠ (91)
Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, hitung perkalian dan pembagian
kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (92) s/d (95) berikut
a. ( )( )0 0
az = 10 37 4 322∠ ∠ (92)
b. ( )( )0 0
bz = π 137 0.5 22∠ ∠ (93)
c. ( )( )
0
c 0
3π 167z =
5 20
∠
∠ (94)
d. ( )( )
0
d 0
10 37z =
4 322
∠
∠ (95)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (92) s/d (95) adalah
clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Za') Z1_abs = 10.0000; Z1_sud = (37/180)*pi; Z2_abs = 4.0000; Z2_sud = (322/180)*pi; Za_abs = Z1_abs*Z2_abs Za_sud = ((Z1_sud + Z2_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zb') Z3_abs = pi; Z3_sud = (137/180)*pi; Z4_abs = 0.5000;
15
Z4_sud = (22/180)*pi; Zb_abs = Z3_abs*Z4_abs Zb_sud = ((Z3_sud + Z4_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zc') Z5_abs = (3*pi); Z5_sud = (167/180)*pi; Z6_abs = 5.0000; Z6_sud = (20/180)*pi; Zc_abs = Z5_abs/Z6_abs Zc_sud = ((Z5_sud - Z6_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zd') Z7_abs = 10.0000; Z7_sud = (37/180)*pi; Z8_abs = 4.0000; Z8_sud = (322/180)*pi; Zd_abs = Z7_abs/Z8_abs Zd_sud = ((Z7_sud - Z8_sud)/pi)*180 % derjat Hasil program Bilangan Kompleks Za Za_abs = 40 Za_sud = 359 Bilangan Kompleks Zb Zb_abs = 1.5708 Zb_sud = 159.0000 Bilangan Kompleks Zc Zc_abs = 1.8850 Zc_sud = 147 Bilangan Kompleks Zd Zd_abs = 2.5000 Zd_sud = -285
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (96) s/d (99) berikut
a. ( )( )0 0 0
az = 10 37 4 322 40 359∠ ∠ = ∠ (96)
b. ( )( )0 0
bz = π 137 0.5 22 1.5708 159.0000∠ ∠ = ∠ (97)
16
c. ( )( )
0
0
c 0
3π 167z = 1.8850 147
5 20
∠= ∠
∠ (98)
d. ( )( )
0
0
d 0
10 37z = 2.5000 285
4 322
∠= ∠−
∠ (99)
Contoh 8 : Dengan menggunakan Matlab, selesaikan operasi bilangan kompleks
pada persamaan (100) s/d (103) berikut
a. ( ) ( )2 z - 5 + i z + 8 + i = 0 (100)
b. ( )2 z - 3z + 3 + i = 0 (101)
c. 3 + i4 (102)
d. 8 2i (103)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (100) s/d (103) adalah
clc clear all close all % Soal a p1 = [1 -(5 + i) (8+i)] roots(p1) % Soal b p2 = [ 1 -3 ( 3 + i)] roots(p2) % Soal c p3 = (3 + i*4)^0.5 % Soal d p3 = (i*2)^(1/8)
Hasil program
p1 =
1.0000 -5.0000 - 1.0000i 8.0000 + 1.0000i
ans =
3.0000 + 2.0000i
2.0000 - 1.0000i
p2 =
1.0000 -3.0000 3.0000 +
1.0000i
17
ans =
2.0000 - 1.0000i
1.0000 + 1.0000i
p3 =
2.0000 + 1.0000i
P4 =
1.0696 + 0.2127i
Hasil program menunjukkan bahwa
a. ( ) ( )2 z - 5 + i z + 8 + i = 0 (104)
diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (104) berikut
1 z = 3.0000 + i2.0000
(105)
2 z = 2.0000 - i
(106)
b. ( )2 z - 3z + 3 + i = 0 (107)
diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (108) berikut
1 z = 3.0000 + i2.0000
(109)
2 z = 2.0000 - i
(110)
c. 3 + i4 2.0000 i= + (111)
d. 8 2i 1.0696 i0.2127= + (112)
Contoh 9 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui 1 z = 3.0000 + i2.0000
dan 2 z = 2.0000 - i5.0000 . Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan
(113) s/d (116) berikut
a. ( )2
1 2z - 2z + 8 + i (113)
b. ( )2
1 22z - 3z + 3 + i = 0 (114)
c. 1 2z + z (115)
d. 31 2z z (116)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (113) s/d (116) adalah
clc clear all
18
close all z1 = complex(3,2); z2 = complex(2,-5); % Soal a f_1 = z1^2 - 2*z2 + (8 + i) % Soal b f_2 = 2*z1^2 - 3*z2 + ( 3 + i) % Soal c f_3 = (z1 + z2)^0.5 % Soal d f_4 = (z1*z2)^(1/3)
Hasil program
f_1 =
9.0000 +23.0000i
f_2 =
7.0000 +40.0000i
f_3 =
2.3271 - 0.6446i
f_4 =
2.6338 - 0.5360i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (117) s/d (120) berikut
a.
( )2
1 2z - 2z + 8 + i 9.0000 i23.0000= + (117)
b. ( )2
1 22z - 3z + 3 + i = 7.0000 + i40.0000 (118)
c. 1 2z + z 2.3271 i0.6446= − (119)
d. 31 2z z 2.6388 j0.5360= − (120)
Contoh 10 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui
1 z = 2.0000 + i5.0000 (121)
2 z = i3.0000 . (122)
3 z = -4 + i2.0000
(123)
Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (124) s/d (132) berikut
a. ( ) 2
1 1f z = 3z + z (124)
b. ( ) 2
2 2f z = 3z + z (125)
19
c. ( ) 2
3 3f z = 3z + z
(126)
d. ( ) 2
1
1f z =
2z (127)
e. ( ) 2
2
1f z =
2z (128)
f. ( ) 2
3
1f z =
2z (129)
g. ( ) ( )( )
1
1
z + 1f z =
z - 1 (130)
h. ( ) ( )( )
2
2
z + 1f z =
z - 1 (131)
i. ( ) ( )( )
3
3
z + 1f z =
z - 1 (132)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (124) s/d (132) adalah
clc clear all close all % z1 = complex(2,5) z2 = complex(0,3) z3 = complex(-4,2) % soal a f_a = 3*z1^2 + z1 % soal b f_b = 3*z2^2 + z2 % soal c f_c = 3*z3^2 + z3 % soal d f_d = 1/2*z1^2 % soal e f_e = 1/2*z2^2 % soal f f_f = 1/2*z3^2 % soal g f_g = (z1 + 1)/(z1 - 1) % soal h f_h = (z2 + 1)/(z2 - 1) % soal i f_i = (z3 + 1)/(z3 - 1)
20
Hasil program
z1 = 2.0000 + 5.0000i z2 = 0 + 3.0000i z3 = -4.0000 + 2.0000i f_a = -61.0000 +65.0000i f_b = -27.0000 + 3.0000i f_c = 32.0000 -46.0000i f_d = -10.5000 +10.0000i f_e = -4.5000 f_f = 6.0000 - 8.0000i f_g = 1.0769 - 0.3846i f_h = 0.8000 - 0.6000i f_i = 0.6552 - 0.1379i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (133) s/d (141) berikut
a. ( ) 2
1 1f z = 3z + z 61.0000 i65.0000= − + (133)
b. ( ) 2
2 2f z = 3z + z 27.0000 i3.0000= − + (134)
c. ( ) 2
3 3f z = 3z + z 32.0000 i46.0000= −
(135)
d. ( ) 2
1
1f z = 10.5000 i10.000
2z= − + (136)
e. ( ) 2
2
1f z = 4.5000
2z= − (137)
f. ( ) 2
3
1f z = 6.0000 i8.0000
2z= − (138)
g. ( ) ( )( )
1
1
z + 1f z = 1.0769 i0.3846
z - 1= − (139)
h. ( ) ( )( )
2
2
z + 1f z = 0.8000 i0.6000
z - 1= − (140)
21
i. ( ) ( )( )
3
3
z + 1f z = 0.6552 i0.1379
z - 1= − (141)
Contoh 11: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai turunan pada persamaan
(142) s/d (145) berikut
a. ( ) 3f z = 3z + 2z di z = 2i (142)
b. ( )4
1f z =
2z di z = 1 + i (143)
c. ( ) ( )22f z = z - i di
iz =
2 (144)
d. ( ) ( )z - if z =
2z di z = 2i (145)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (142) s/d (145) adalah
clc clear all close all % syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = diff(f_a) f_a_2 = subs(f_a_1,-i) % soal b f_b = 1/(2*z^4) f_b_1 = diff(f_b) f_b_2 = subs(f_b_1,(i+1)) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = diff(f_c) f_c_2 = subs(f_c_1,(i/2)) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) f_d_1 = diff(f_d) f_d_2 = subs(f_d_1,2*i)
Hasil program f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = 9*z^2 + 2 f_a_2 = -7 f_b =
22
1/(2*z^4) f_b_1 = -2/z^5 f_b_2 = 0.2500 - 0.2500i f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = 4*z*(z^2 - i) f_c_2 = 2.0000 - 0.5000i f_d = (z - i)/(2*z) f_d_1 = 1/(2*z) - (z - i)/(2*z^2) f_d_2 = 0 - 0.1250i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (146) s/d (149) berikut
a. ( ) 3f 2i = 3z + 2z = -7 (146)
b. ( )4
1f 1 + i = 0.2500 j0.2500
2z= − (147)
c. ( )22i
f = z - i 2.0000 i0.50002
= −
(148)
d. ( ) ( )z - if 2i = 0.0000 i0.1250
2z= − (149)
Contoh 12 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan limit dari persamaan-
persamaan (150) s/d (153) berikut
a. ( ) 3
z 2i z 2ilim f z = lim 3z + 2z→ →
(150)
b. ( )4z 1 2i z 1 2i
1lim f z = lim
2z→ + → + (151)
c. ( ) ( )22
z 1 z 1lim f z = lim z - i→ →
(152)
d. ( ) ( )z -1-4i z -1-4i
z - ilim f z = lim
2z→ → di z = 2i (153)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (150) s/d (153) adalah
clc clear all close all %
23
syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z zo_a = complex(0,2) f_a_1 = limit(f_a,zo_a) % soal b f_b = 1/(2*z^4) zo_b = complex(1,2) f_b_1 = limit(f_b,zo_b) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 zo_c = complex(1,0) f_c_1 = limit(f_c,zo_c) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) zo_d = complex(-1,-4) f_d_1 = limit(f_d,zo_d) Hasil program
f_a =
3*z^3 + 2*z
zo_a =
0 + 2.0000i
f_a_1 =
(-20)*i
f_b =
1/(2*z^4)
zo_b =
1.0000 + 2.0000i
f_b_1 =
(12*i)/625 - 7/1250
f_c =
(z^2 - i)^2
zo_c =
1
f_c_1 =
(-2)*i
f_d =
(z - i)/(2*z)
24
zo_d =
-1.0000 - 4.0000i
f_d_1 =
i/34 + 21/34
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (154) s/d (157) berikut
a. ( ) 3
z 2i z 2ilim f z = lim 3z + 2z = -20i→ →
(154)
b. ( )4z 1 2i z 1 2i
1 7 12lim f z = lim i
2z 1250 625→ + → +
−= + (155)
c. ( ) ( )22
z 1 z 1lim f z = lim z - i -2i→ →
= (156)
d. ( ) ( )z -1-4i z -1-4i
z - i 21 1lim f z = lim i
2z 34 34→ →= + (157)
Contoh 7.13: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi
pada persamaan (158) s/d (161) berikut
a. ( ) 3 + 2πif z = e (158)
b. ( ) -if z = e (159)
c. ( ) 3 4if z = e− − (160)
d. ( ) 3 4if z = e− + (161)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (158) s/d (161) adalah
clc clear all close all % % soal a z_1 = complex(3,2*pi) f_a = exp(z_1) % soal b z_2 = complex(0,-1) f_b = exp(z_2) % soal c z_3 = complex(-3,-4) f_c = exp(z_3) % soal d z_4 = complex(-3,4) f_d = exp(z_4)
25
Hasil program z_1 = 3.0000 + 6.2832i f_a = 20.0855 - 0.0000i z_2 = 0 - 1.0000i f_b = 0.5403 - 0.8415i z_3 = -3.0000 - 4.0000i f_c = -0.0325 + 0.0377i z_4 = -3.0000 + 4.0000i f_d = -0.0325 - 0.0377i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (162) s/d (165) berikut
a. ( ) 3 + 2πif z = e 20.0855 - i0.0000= (162)
b. ( ) -if z = e 0.5403 - i0.8415= (163)
c. ( ) 3 4if z = e 0.0325 i0.0377− − = − + (164)
d. ( ) 3 4if z = e 0.0325 i0.0377− + = − − (165)
Contoh 14 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi
pada persamaan (166) s/d (169) berikut
a. ( ) ( )3 + 2πif z = re e (166)
b. ( ) ( )-if z = re e (167)
c. ( ) ( )3 4if z = im e− − (168)
d. ( ) ( )3 4if z = im e− + (169)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (166) s/d (169) adalah
clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,2*pi); f_a_1 = real(exp(z_1)) % soal b
26
z_2 = complex(0,-1); f_b_2 = real(exp(z_2)) % soal c z_3 = complex(-3,-4); f_b_3 = imag(exp(z_3)) % soal d z_4 = complex(-3,4); f_b_4 = imag(exp(z_4))
Hasil program f_a_1 = 20.0855 f_b_2 = 0.5403 f_b_3 = 0.0377 f_b_4 = -0.0377 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (170) s/d (173) berikut
a. ( ) ( )3 + 2πif z = re e 20.0855= (170)
b. ( ) ( )-if z = re e 0.5403= (171)
c. ( ) ( )3 4if z = im e 0.0377− − = (172)
d. ( ) ( )3 4if z = im e 0.0377− + = − (173)
Contoh 15 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi
pada persamaan (174) s/d (177) berikut
a. ( )cos 3 + i4 (174)
b. ( )cos 6 - i8 (175)
c. ( )sin 2i (176)
d. ( )sin 2 i3− − (177)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (174) s/d (177) adalah
clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = cos(z_1)
27
% Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cos(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cos(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cos(z_4)
Hasil program f_1 = -27.0349 - 3.8512i f_2 = 1.4311e+003 -4.1646e+002i f_3 = 3.7622 f_4 = -4.1896 - 9.1092i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (178) s/d (181) berikut
a. ( )cos 3 + i4 -27.0349 - i3.8512= (178)
b. ( )cos 6 - i8 1431.10000 i416.4600= − (179)
c. ( )sin i2 3.7622= (180)
d. ( )sin 2 i3 4.1896 i9.1092− − = − − (181)
Contoh 16 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi-fungsi pada
persamaan (182) s/d (185) berikut
a. ( )cosh 3 + i4 (182)
b. ( )cosh 6 - i8 (183)
c. ( )sinh i2 (184)
d. ( )sinh 2 i3− − (185)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (182) s/d (185) adalah
clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4);
28
f_1 = cosh(z_1) % Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cosh(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cosh(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cosh(z_4)
Hasil program f_1 = -6.5807 - 7.5816i f_2 = -2.9350e+001 -1.9957e+002i f_3 = -0.4161 f_4 = -3.7245 + 0.5118i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (186) s/d (189) berikut
a. ( )cosh 3 + i4 6.5807 i7.5816= − − (186)
b. ( )cosh 6 - i8 29.3500 i199.5700= − − (187)
c. ( )sinh 2i 0.4161= − (188)
d. ( )sinh 2 i3 3.7245 i0.5118− − = − + (189)
Contoh 17 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi
pada persamaan (190) s/d (193) berikut
a. ( )ln 3 + i4 (190)
b. ( )'2ln z (191)
c. ( )( )ln 3 + i4 1 + i2 (192)
d. ( )( )6 + i2
ln2 + i4
(193)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (190) s/d (193) adalah
clc clear all close all
29
% syms z % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = log(z_1) % Soal b z_2 = log(z^2); f_2 = diff(z_2) % Soal c z_3_a = complex(3,4); z_3_b = complex(1,2); f_3 = log(z_3_a) + log(z_3_b) % Soal d z_4_a = complex(6,2); z_4_b = complex(2,4); f_4 = log(z_4_a) - log(z_4_b)
Hasil program
f_1 = 1.6094 + 0.9273i f_2 = 2/z f_3 = 2.4142 + 2.0344i f_4 = 0.3466 - 0.7854i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (194) s/d (197) berikut
a. ( )ln 3 + i4 1.6094 i0.9273= + (194)
b. ( )'2 2
ln zz
= (195)
c. ( )( )ln 3 + i4 1 + i2 2.4142 + i2.0344= (196)
d. ( )( )6 + i2
ln 0.3466 i0.78542 + i4
= − (197)