日曜数学会 Ofdm

1

スマホと正規直交関数

日曜数学者Kuma

日曜数学会 vol.N2016 年 X 月 Y 日

[1] @mkmk_4614; 金色モザイクより九条カレン

[1]

https://twitter.com/mkmk_4614

https://twitter.com/mkmk_4614

Agenda

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1. 自己紹介2. スマホと数学？3. 正規直交関数4. OFDM の基本原理5. あらゆるものを繋げる OFDM

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自己紹介

HN ： Kuma経歴：工学修士卒→エンジニア→研究者

【免責事項】数学と本業の接点はなし。独学です！

好きな分野：理論物理学、解析学、工学理論生主やってます。　講座 / 演習、理系ニュース紹介

Co1644269[ 数学・物理学の話をしようず ]

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スマホと数学？

今日はこれの話をします！！

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スマホ？

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惜しい！よく見て！

7


じー・・・・・

8


じー・・・・・

9


こっち！

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スマホを繋げてくれる電磁波の話をします（ガラケーでも OK です）

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電磁波ってなに？

周波数 f [Hz]

強度 A [dB]

電磁波とは電気と磁気の波★ 空間を飛ばしやすい周波数の波を利用

モバイルデータ通信のスペクトル [1]

[1] http://www.geocities.jp/specat_2/

・・・・・・・・

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周波数 f [Hz]

強度 A [dB]


モバイルデータ通信のスペクトル [1]

[1] http://www.geocities.jp/specat_2/

・・・・・・・・

正規直交関数

Agenda

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1. 自己紹介2. スマホと数学？3. 正規直交関数と sinc 関数4. OFDM の基本原理5. あらゆるものを繋げる OFDM

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正規直交関数

正規直交関数系 {, }

1 ( )( ) ( )

0 ( )i j

i jx x dx

i j

単位ベクトル {, }

𝑷𝒆1

𝒆2𝒇 (𝒙)a 2

𝝓 1(𝑥 )𝝓 2(𝑥)

a 1

1 ( )0 ( )i j

i ji j

e e・

1 1 2 2( ) ( ) ( )f x a x a x 1 1 2 2a a P e e

a 1

a 2

定義：正規直交性定義：正規直交性

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正規直交関数

正規直交関数系 {, } 単位ベクトル {, }

𝑷𝒆1

𝒆2𝒇 (𝒙)a 2

𝝓 1(𝑥 )𝝓 2(𝑥)

a 1

1

21 1 2 1 2

1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

f x x dx

a x dx a x x

a

1

1 1 1 2 1 2

1 0a aa

P ee e e e

・・・

a 1

a 2

成分抽出成分抽出

正規直交性を満たす⇒各方向の成分が独立に抽出できる

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正規直交関数の例

2

0

2

0

1

0

sin( )sin( )

cos( )cos( )

( ) ( )

sin( )sinc( )sinc( ) ;sinc(x)=

mn

mn

n m mn

mn

nx mx dx

nx mx dx

J x J x x dx

xx n x m dxx

・・・・・・・・

正規直交関数

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OFDM の原理

sin( )sinc( )sinc( ) ;sinc(x)=mnxx n x m dxx

・・・・・・・・

正規直交関数a 1 a 𝟑a 2, 0/1 を割り当てる

②sinc で合成する③ 伝送する④sinc を直交分離する⑤ , を得る周波数 f [Hz]

強度 A [dB]

Orthogonal F requency D ivisionM ultiplexing

異なる sinc は値 0 を取る( 直交性の現れ )[1]

[1]Yahoo 知恵袋『無線の OFDM について - 周波数領域での Zero-crossing 性の理由』

Agenda

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1. 自己紹介2. スマホと数学？3. 正規直交関数と sinc 関数4. OFDM の基本原理5. あらゆるものを繋げる OFDM

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OFDM の商用化

OFDM の活用例①：モバイルデータ通信 (LTE ほか )

[1] NTTdocomo 公式 HP より

OFDM の活用例②： Wi-Fi (802.11b 以外全て )

[2] http://80211notes.blogspot.jp/2013/08/wi-fi-80211-phy-data-rates.html

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OFDM の商用化

[1] http://www.rf-world.jp/bn/RFW01/samples/p016-017a.pdf

OFDM の活用例③：地上デジタル放送 (ISDB-T),CATV

※ ちなみに　フルセグ / ワンセグとはOFDM のサブキャリア (sinc 関数 ) を何個ぶん使って通信するかという違い

OFDM の活用例④：光通信（研究レベル）

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まとめ

スマホを取り巻く OFDM 技術について話した。・直交関数の概念とベクトルとの類似性を解説した・ sinc 関数の直交性から OFDM 技術を導出した・ OFDM があらゆるものを繋げていることを紹介した

次なる OFDM の進化は・・・

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Q&A 用資料

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スマホ通信(700 MHz ~ 5 GHz)


http://www.shokabo.co.jp/sp_radio/spectrum/radiow/window.htm

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よくある質問

Q. Sinc 関数以外の直交関数を使うアイデアは？A. Sinc のメリットが大きいのであまりない。(1) 多重密度が極めて高い(2)FFT/IFFT 演算で生成 / 分離が可能で計算速度とコストが良い(3) 伝搬特性の変動、遅延に強い欠点は消費電力が高いこと。（ FFT,PAPR 問題）　そのため LTE 上りは OFDM ではない。ただし、 Non-OMA や Super Nyquist など、擬似直交関数を使う手法が近年でてきた。Q.OFDM のデメリットは？① 位相の推定が精度よくないといけない（直交性を乱す要因 )② 消費電力が高い-FFT 回路- 電気増幅回路（ PAPR 問題 )

今回は他の直交関数の応用についてもリサーチしてみた

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-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-20

-10

0

10

20

30

40

50

J (λ 1x)J (λ 2x)J (λ 3x)J (λ 4x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

J (λ 1x)J (λ 2x)J (λ 3x)J (λ 4x)

Bessel-based OTDM

時刻 t

強度 A

周波数 f

強度 A

0 Hz

2

00

( ) ( / 2)[ ( )] ,1

( ) ( )

nn n

Nn nn

T rectFT J t T

BOTDM t a J t

∝ chebyshevは多項式

BOTDM(t)（ N=4)

Trade-offの関係が分かった。時間領域で高次ベッセル関数を使用⇔周波数領域では帯域が広がる時間多重数が増⇔周波数効率が低

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Hermite-based OTDM

“Ultra-wideband wireless communications and networks”, Xuemin Shen, et al.

n m mnf f dt Weight 関数 ρ

Hermite 多項式

n n n m nmg f g g dt とおくと

修正 Hermite 多項式

Hermite 多項式を用いた伝送方式について先行研究あり。（ UWB 用途）

定義を変更してWeight 関数を消しただけ

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Hermite-based OTDM

Pulse Position Modulation採用時には矩形パルスよりも性能が良い（課題は時間同期精度）

雑音：少

誤り率：高

MHP

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Wavelet-based TDM-FDM

ある種の Wavelet 関数は時間直交性と周波数直交性を同時に有する→ 周波数多重 (FDM) しながら、同一周波数上では時間多重 (TDM) ができるのでは？ (N^2倍の多重 )

残念ながらすでに商用化されている。（ PLC 通信。移動体でも（！）論文あり）

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直交関数による通信方式まとめ

直交関数方式名メリットデメリット先行研究Sinc OFDM FFT で作れ

る無線に好適

電力 , 位相同期

あり（ LTE等 )

Bessel - 同時刻で多重可能

多重数∝帯域なし？Hermite MHP PPM では矩

形パルスより良い

時間同期(TDM なので )

あり (UWB)

Wavelet(時空間直交 )

? 時間同期(TDM なので )

あり (PLC等 )

Legendre - 時間同期(TDM なので )

なし？直交関数を用いた多重通信技術 (xDM) の一般論が Unknown!!

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主要なモバイル通信方式比較

世代方式周波数帯主要技術キャリア3G W-CDMA 1.5~2GHz CDMA DC/SBM

3G CDMA 2000 1.5~2GHz CDMA KDDI

3.9G LTE 0.7~2GHz OFDMA ALL

3.9 G WiMAX 2.5 GHz OFDMA UQ(KDDI)

4G LTE Adv. 0.7~3.5 GHz OFDMA ALL

4G WiMAX2 2.5 GHz OFDMA UQ(KDDI)

4G AXGP 2.5 GHz OFDMA WCP(SBM)

5G LTE-X >10 GHz OFDMA? ALL?

MIMO,CA などの多重技術で速度を N倍にしてきた

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FFT で OFDM 信号を生成する

・・・・・・・・

Bit列 S/P 変換 IFFT時間窓 OFDM 信号計算時間 Nlog(N)

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シミュレーターの作成

原理確認の為シミュレーターを作成し、文献値通りの特性を得た

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直交性の証明

sinc sinc ( ) sinc( );sinc( ) sin( ) /x x x x x 【事実】

0

sinc( ) sin( ) /sinc sinc ( ) sinc( )

sinc sinc ( ) sinc( )sinc( )

=sinc( ) m

x x xx x

x x x m dx

m

今はよりとなる。

( ) ( )f x g x

【事実 1】( )× ( )F G

Fourier変換対

2( ) ( ) j fxF f x e dx

sinc(x)

【事実 2】rect( ) Fourier変換対

( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d

rect(x)sinc(x) Fourier変換対

2( ) ( ) j fxf x F f e df

( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d

sincf g とする。

sinc sincFourier変換対 2 2rect

2rect rect だから

sinc sincFourier変換対 2 rect

sinc

( ) ( )f x g x

【事実 1】( ) ( )F G

Fourier変換対

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伝送網構成

ルータ-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1ONU光スプリッタ [1]

ルータ

[1]http://z.apps.atjp.jp/mypc/

固定回線の流れ

モバイル回線の流れ-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

トップルータ

サーバー

Ethernet

802.11 x

LTEWiMaxetc

Ethernet

GE-PON

特殊規格

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Science

日曜数学会 Ofdm