43
www.schoolDD.com 3 SchoolDD.com

3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

www.schoolDD.com

����� 3

SchoolDD.com ���������������� ���������������

Page 2: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 1

����� 3

�� �� �� ��������������� (��)�������*���+��,-� ��.����������/��������,)0,��12�3������04�3��� ��)�������-�,������(2��������/��������,)��5�*0��6���������04�3�����.���5�+����7� 8 ����.����6����+�����(5�3�����04�3��� 9�+��:3;<)������=��1>?���6��+�����04�3���( ���.������,-� ��4-3����(2���������2�3)�����4�3� @�� +�0 �-6���,� �=�����04�3����3��<�5,� @���9���� @02�=@�� �/�2�����+�0�3��<�5,�

3.1 ��, �� �� �������� ��3�34��+�/���+�+����AB9<�9?�3��6���� @�� +�0 @02�-6���,� (2+����+@5�5���(��������/� C�,�3�/�3������)��� �����<5��2(6��,����+,���� �-6���,� ��.�+�0 ���� )3����D,���,� 45 �<�0��,+ (�<�C@0��5�3�)3����D,�+�+�0 45 �<�0��,+ ��,� 450 �<�5,�: �(2:/�5�3�5�+�0,�AB9<�9?��,)

�� (Force) H F J �+��: � ��<+�1����26��,)�,5:�@0��6�����,5:���0����9K�������04�3��� ����*0,��0�3��)�� �������3�/�)��4-������04�3��� 5�0/����<9���<��9��������+���6����0/����<9+����+��7���0��������.�5�� @����.���<+�1����53�?+��������.��<�5,� (N)

�� (Mass) H m J �+��: � ��<+�1���,5:�5���9K�������04�3��� ��.���<+�19��0��?+��������.��<�0��,+ (kg) ��������������� ����� ����������������� ������������������������ � ������������ ��������� ��� �����!������� � �"�������������!�#

��43

����������$��� $���� ��%��&�'�"#

u = 0 F

v

��0����9K�������04�3���(������<�� ��.���04�3���

v1 F

v2

��0����9K�������04�3���(����04�3���������+��7� v1 ��.� v2

��293)��� ��293)*��

Page 3: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 2

�������� (Weight) H w J �+��: � @�� �/�3��0�����26�5�3�,5:� ��+��������,)+�0 m �/1������+���� g +�<��������,)<����3����+���� g �43��������9/�(��/��?�0���3��0� @02+� �������.� �<�5,� (N)

��,-� ���.���/�� ��01��23�� ����1���@����26��,)�,5:���<���6�+�+�,)@��@�����2))�<�,D�� ����@��@�� x - y ���9�+��:@5�@��33���.�3��?��2�3)�3�@����@��@��8 ��5,-�D���,�,���-

��<�+@��� �K��@�� F �3���6�+�+ θ �,)@�� x @5�@�� F ��@��@�� x ����9��5�(,)���9��@��@�� F @0�����0�+�5�+<��� 1 +���@�� x (2�� F cosθ 9���@��@�� y �76����������,� ���9��5���5�+<��� 2 (2�� F sinθ (29,���5����������2�<+�+(2�����*0�/1�3�@���,) cosθ 9���3�����8 ��5,-�D���,�(2�����*0�/1�3�@���,) sinθ �9+3....:��@�� F �3���6�+�+ α �,)@�� y 03�@5�@�����9,+�,�;?�,)+�+ α @0��5��(��7�/�����*00,�;?�����1�@����43�+�..��4303�+�+(�<� C �0��7�� ���� θ = 30°, α = 60° (�� F cos30° = F sin 60° @02 F sin 30° = F cos60° ��+��,)?)��^_�82����0�3���,)!

m

W = mg

“�� �����'�"��(����"&)�� �(*�����”

��������

- �-6���,���.�@����<�� �� (= @�� �/�3��0�) - �,5:���3������,�(2+�+�0���<+�9+3�+����(23�/�)��0� ��43��(,��? 9����-6���,�(2��0������5�+

������+���+:��� g �3��0� ��43�3���(,��? - @����.���<+�1����53�? �����+@�� ��4�3��@��0,�;? ����<;����5�3�,� ���������,)�����+����53�?,�

���������)�� 2

θ

F y

F cosθ x

F sinθ 1

2 3��?��2�3)�3�@�� F ��@��@�� x �43 F cos θ

3��?��2�3)�3�@�� F ��@��@�� y �43 F sin θ

��������

- ���@5�@����.�@��3��?��2�3)��@��5,-�D���,� ����<��+43��,)���@���<+@�0�������.�93�@����@0�� (���5,���) @02(2�+��6�+���������3��,)����6���13��5�3��

- ��<+�1����53�?34�� C ���������2(, ���+��7� ���+���� b0b 9�+��:@5�33���.�3��?��2�3)���2))�<�,D��������<;�������������,��,)@��

Page 4: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 3

������4� sin , cos , tan 627/89����1�:�0/�/;

���<��<;����(6���� sin , cos , tan �3�+�+�����)�3� C ���� 30°, 60°, 37°, 53° ��� 45° �,������+��<;�(6�

��� sin , cos , tan �3�+�+5��� C 3��������,) +�����,�����<;�@))��@��������3� �3��<D�� D���<3�/���+��,) 03�+�������<�K�����(@))�+�5�3��3� @5�(6���� -��((�^��3�/���(<5�5�96�� � 9�+��:�,33�+������,����5�3���� @))+,���(�+�+�*< 03��6������/��.���2����?+����,)

96���,)���9����0,)�3� sin , cos , tan �79�+��:����6��3������,����0,)<�0/���,��0��� ��7���+��,)������������<;��3�(6���32�0� 03�^_�/�2��,)(2^_�53���� ��0���7��,-��,-� ����2�+�5�3����3����1?��43���4�3�+43 ��.�K�����(@��� �@02�<5�+�76���@0�� ���-03�+�/������+���@5�02��� �3��/�9�+��0���++�+D����+�+�+��2�3)+�+D����.� 30°, 60°, 37°, 53° ��� 45°

:���,������(6�K��9�+��0���++�+D��,-�9�+�/���-�� �79�+��:����� sin , cos , tan �3�+�+ 30°, 60°, 37°, 53° ��� 45° ��������<;����<�K�����(,��0�����@0�� ������+��,)

θ

�!�� ��� ���'�"������%��&� ������� ���+�,�� )��&�

θ

a c 1

2 �!�� sinθ ��0) 1)��2 �����)0����$�� 1�2 �������!�) ����( ���) ����( �� ��� sinθ = a/c

θ

b

c

3

4 �!�� cosθ ��0) 1)��2 �����)0����$�� 3�4 �������!�) ����( ���) ����( �� ��� cosθ = b/c

30

60

1 2

√3 37

535

4

3 45

45

1

1

√2

�!�� tanθ ��0) 1)��2 �����)0����$�� 5�6 �������!�) ����( ���) ����( �� ��� tanθ = a/b

θ

a

b

5

6

Page 5: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 4

� �������� 1

@�� F1 = 3 N @02 F2 = 4 N ��26��,)�,5:�+�0 m ,��/� (������ @02<����3�@��0,�;? �. 9++5< @����.� + +�<�������� F0,�;? = F1 - F2 = 3 - 4 = - 1 (�!��A) B $�)�!��AC��� ������� ����A�2!0������)

∴ @��0,�;?+���� 1 N +�<�����8���+43 Ans

�.

@5�@�� F2 33���.�@����@��@�� x @02@�� y @0���6�+���+�,)@�� F1 (2��

*0��+�3�@����@��@�� x ΣFx = F1 + F2 cos60

= 3 + 4 (½ )

= 5 N

*0��+�3�@����@��@�� y ΣFy = F2 sin60

= 4 �√��

= 2√3 N F0,�;? = ΣFx� Fy�

= �5� �23� = 6.08 N

m

F2 F1

m 60° F1

F2

F1 F2 cos60 60°

F2 sin60

x

y

F2

α x

y

ΣFX

ΣFy F0,�;?

Page 6: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 5

∴ @��0,�;?+���� 6.08 N Ans

<����3�@��0,�;?����(�� tan α = Σ ��Σ ��

= �√��

= 0.7

∴ α = tan-1 0.7 Ans �. F0,�;? = F1 + F2 = 3 + 4 = 7 N

∴ @��0,�;?+���� 7 N +�<����������+43 Ans

3.2 ���������������.��1�>�� �83�? �3@8� �<�5,� (Sir Issac Newton) �,�AB9<�9?���3,��p� ��9����������,)�����04�3����3��,5:�,-���3�/���9K��3�/��<�� @02��9K����04�3�����.� �q�����04�3����3��<�5,� 8 ��9�+��:3;<)����������(�����04�3���5��� C ��,-��+ �=�3��<�5,�+� 3 ��3 ,���-

�����A�����*��E��( 3 � ��*�)���(����#

��E� �� 1 ����+����'�"�&!�A �� ���'�"����+��!�� ���� �����A �&!��"�(� ���

m

F1 F2

��.9���� 1 �,5:�(2��9K��3�/��<�� ��43 ��04�3���������+��7�������@��5�� �3�(��(2+�@��0,�;?8 ��+�����+���.��/��?+���26�5�3�,5:��,-�

��.9���� 2 �+4�3+�@��0,�;? 8 ��+�����+���.��/��?+���26�5�3�,5:� (26�����,5:���<���+������<��������,)@��0,�;?��+���26� ������3����+����(2@��*,�5���,)����3�@��0,�;? @02@��*�*,��,)+�0�3��,5:�

��.9���� 3 Action = Reaction �+4�3+�@���<�<����3++�@���=<�<�<����+��������,�@5�+�<���5�����+�,��9+3

∑F = 0

�,5:���04�3���������+��7�����

m

V ���� , a = 0

�,5:�����<��

m

V = 0 , a = 0

Page 7: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 6

����+���� ��� ) ��������F���� ��$���� ���'�"����+�*������� ��� ) ��������F���� 0���"�(��� � ��%�$����1)�0�!��+) ���0�!��$�������*��� ��+)������� ���AC��0�#

��G� �� 2 ��� ��$���"HI J� ���!�0�!��%�C&��I������*��!����+ ���*��� ����+��A)������!���AC���)������$���"HI�� ������*� �� ���'�"����+��!�� ���� �����&!��"�(� ��$���"HI ∑� ������*��� ���� ��� ) ��������! a $��0) ∑� = ma#

��G� �� 3 Action = Reaction �� ���'�"���������2 �������*�$" $���& ����!�$��A�A���� ���*�����*�$" F12 �����)��!����$��GA�A�A���� �*�$"�*������ F21 $�!���AC����� ����� $���*��������+����2A(�)��&�

� � �1����(���C���$�����)����) P $��0�!��$�'����������*� ����+�� ���� ��� $���� ) ��������F���� �!���� ��)������� ��� ����+)������� ��� ���0�! HA�������G��A����0) �!�0�?

� �*�0���� ������ �0� � ����$��"�(����& �����F� ��%�0�����G� �)��A����? � ��� ���(��J �������������������� ����0��!�0�? � ����G������� ��� ��A���� �"A�&��I�!�����+J� ���!�A�������������! a ��!���� g

F12 = F21

F21 F12

33�@��*0,��6�@��

��������

- @���/��<�<��5�+�=��3 3 �3��<�5,� ��<� -���,-���1��,5:�9,+*,9�,� ��43�+�9,+*,9�,��7�� ����@�� �/�2�����+�0 @���2�������2(��AAu� @��@+���07���.�5��

- �q�3��<�5,�,-� 3 ��3�,������(6���.�5�3�(6��<��+ @026����+�����(���+�+��3����@(�+@(�� ����2����4-3��5�3 C ���3)�3��q,-� 3 ��3���3�/���4�3� ���������<�(�+����3����2..?) 3���������)3���0�(6����� �: �K����2�3)��� (2�������(6����� -��+�04+�������� @:+�,������(���+�+������ -� @02��7�K���(�?�,�(�

∑ F = ma

�,5:�+�@��0,�;?����+���.��/��?+���26�

m

a

∑ F

Page 8: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 7

� �������� 2

�,5:���3��� ��+�+�0 20 kg �<+3�/��<��)��4-�04�� 5�3+�+�@��+���26� 6�����,5:�+����+��7� 24 m/s K������0� 8 �<��� (�������3�@����- �����A�����*�1���I..��)�&����1���I �����$� $����A��T�!� P �� ��� ��� ��(�� �& �!� $��0�!�& �!��0��� ��) "�����$����������1���I �� ��%��&��� 0) ”

�(�?���������3�@�� F 8 ������(���q�����04�3�����3 2 �3��<�5,� ∑ F = ma �6���� ∑ F �+��: �*0��+�3�@�� ��43@��0,�;? ��6�����,5:���04�3�������<��������,��,)@�� (���/�+�@�� F �����@��������6�����,5:���04�3��� ,��,-� ∑ F = F ��43 F = ma --- (1)

�� ����� F �& m 0�!�& a ∴ � �� a �!�# �����+���� a ��(�� v = u + at (��� ������� ��� $����) 24 = 0 + a (8) a = 3 m/s2 @���� a = 3 �� (1) (2�� F = 20 (3)

∴ F = 60 N Ans

F = ?

m m

u = 0 (����23�/��<��) v = 24 m/s t = 8 s

m = 20 kg

�4-�04��

��������

- (��5,�3������-(2��7�������+�/���4�3������04�3���@��5����)�� 2 (2:/��6�+���2���5?���@��������(�?��� �����.�5,�3������ ��8 ����������AB9<�9?����4-3��5�3 C �� (2������3����+�/��������+�@0����������,��9+3 ,��,-��,���������(26����+�����(��4-3�����������@5�02��4�3�����,�(�:�3�@� �+�02�0����+�� ��43�<��������()��4�3�@0���+��6��3������3�� ��4-3��AB9<�9?(29,+�,�;?5�3��4�3��,�503��,)

Page 9: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 8

� �������� 3

�,5:�+�0 5 kg 5�(���Au�5 �9/� 100 m 3����3<9�2 (�������3�@������26��,)�,5:� (���q�����04�3�����393��3��<�5,� ∑ F = ma (2�� F = m(g) F = 5(10)

∴ F = 50 N Ans � �������� 4

�,5:��� ��:/�@�� 200 N ��26�@0��6������<���+���� 10 m/s2 :���,5:���3���-:/�@�� 100 N ��26�(2��<���+�������� 9�+��:��+�0�,5:���(����3+/0�/�@�� (�� ∑ F = ma (2�� F1 = ma1

∴ m = ����

= ���10 = 20 kg

9�+��:�����+���� a2 ��(����3+/0�/���93� (�� ∑ F = ma (2�� F2 = ma2

∴ a2 = ��� = ���

20 = 5 m/s2 Ans

��)�&����1���I

100 m a = g 80

m = 5 kg

F = ?

��������

- @������26��,)�,5:���5�3����3<9�2 �7�43@�� �/�3��0� ��43�-6���,��3��,5:��,���3�

m

a1 = 10 m/s2

F1 = 200 N

���)�&����1���I#

m

a2 = ?

F2 = 100 N

Page 10: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 9

��433�(���6�53)��(������<(��1����+9,+�,�;?�3���<+�1����.��=<K���,� (��9+��� ∑ F = ma ��43 F = ma �+4�3 m ���� (2�����+9,+�,�;? F � a

��43 ����

= ����

@����(2�� ������ = ��

��

∴ a2 = 5 m/s2 Ans � �������� 5

@������� ���+4�3��26��,)�,5:�+�0 m1 6������<���+���� 20 m/s2 �+4�3@����������,���- ��26��,)�,5:�+�0 m2 6������<���+���� 5 m/s2 (���3,5��9����3�+�0 m1/m2 ��3+/0(���/� (�� ∑ F = ma (2�� F = m1a1 --- (1) @02 F = m2a2 --- (2) 9+��� (1) = (2) , m1a1 = m2a2

∴ ����

= ����

= �

�� = � Ans

��433�(���6�53)��(������<(��1����+9,+�,�;?�3���<+�1����.��=<K���,� (��9+��� ∑ F = ma ��43 F = ma

�+4�3 F ���� (2�����+9,+�,�;? m � �� ��43 ��

�� = ��

��

@����(2�� ����

= ���

∴ ����

= � Ans

m1

a1 = 20 m/s2

F

���)�&����1���I#

m2

a2 = 5 m/s2

F

���� = ?

��������

- (��93�5,�3��������5�� ������6�53)����<;������+9,+�,�;?�3���<+�1����.��=<K���,� (2���6�53)���� @02����7�� -� ��393)@����,�,�� C �� +,�33�93)��@����- �,���������^_�@026����+�����( �����9������+9,+�,�;?�3���<+�15��� C ����.��=<K���,� (���02�3����)�6�) ^_�����0�3�+���2����?+����,)

Page 11: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 10

� �������� 6

@����� 20 N ��26�5�3�,5:���3��� �������04�3���(��(�����<�� ����0� 10 �<��� �,5:���04�3������� 50 m �,5:���3���-+�+�0���� (�� ∑ F = ma (2�� F = ma --- (1) �� m �& F 0�!�& a ! �� a �!� �� a ��(�� s = ut + ½ at2 (��� ������� ��� $����) 50 = 0 + ½ a (102) a = 1 m/s2 @���� a = 1 �� (1) F = ma 20 = m(1) ! m = 20 kg Ans

� �������� 7

+�0 5 kg :/�@�� 6 N @02 8 N ��26���@��5,-�D���,�,��/� (������+�����3�+�0��- (�� ∑ F = ma --- (1) �� a �& m 0�!�& ∑ F ! �� ∑ F �!� ��@��0,�;? ∑ F �������+@�� 6 N @02 8 N @))���5�3�,�

���)�&����1���I �����$� $����A��T�!� P �0��� ��)” m

s = 50

t = 10 F = 20

u = 0 " (������<�� m = ?

m

6 N 5 kg

8 N

����3�@��0,�;? ∑ F = √6� 8� = √100 = 10 N <����3�@��0,�;?

tan% = &' = � % = 53°

8 N 10 N

6 N %

Page 12: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 11

@���� ∑ F = 10 0��� (1)

(2�� a = ∑ �� = ��

� = 2 m/s2 +�<��������,��,)<�@��0,�;?�436�+�+ 53° �,)@��@�� 6 N Ans

3.3 ���@�72��� (Frictional force) ���@�72��� H f J �+��: � @��5��������04�3�����*<�9,+*,9�3��,5:� ����33�@��0���,5:���)��4-� (2

�/�9 ����+�@��5����+�����,�:���04�3��� 8 ���7�43@���9������*<�9,+*,9�3��,5:��,)�4-��,���3� @���9����+�<�9�����,)<������04�3����3��,5:� �����<5��2(6��,�(2+�@���9��������+���������3�503��0� ��������<�5�3�3��,�5�3�3��,�@���9�����3�*<�:���,)�4-��3���� �����04�3��� ��43�������3��:5�3�3��,�@���9�����3�*<�:���,)����:��5?��.�5��

@���9���� f +��������,)9,+��29<;<x���+�9�����2�����*<�9,+*,9 ) �/1�,)@���=<�<�<�� N @���9����+�<�9�����,)<��3������04�3����9+3 @���9����@)����.� 2 ��2�K �43

1. @���9����9:<5 (Static friction) H fs J ��.�@���9��������<� -��+4�3+�@��K���3���26�5�3�,5:� �����+����,5:��,-���04�3��� @5��,5:��,��+���04�3��� @���9����9:<5+�����+���5,� (2+������3�9���.��/��? @02+����+����9��+4�3�,5:���<�+��04�3��� (�+��: ��,��+���04�3���)

2. @���9����(0�? (Kinetic friction) HfkJ ��.�@���9��������<� -��+4�3�,5:��6�0,���04�3��� +������5,��9+3 ����'�"�$��������+��A ����$���%�C&��I..�$��"A ���(� P �U� P ��� � P..P ������+��A �������$�!��0�!���� �����������& ���0) �!��$�0� 0...�� fs (= )sN) �A���� $����� �$���A� fs �A���� ����+������ ��� 0�����AC���$���� $�!�����$�����)������ ��������� ��� �����)��� fk (= )kN) �����������& ����!��T�����+���� ��� 0�$� � ���$����� ���!�������+��A ����� ��� �*�0�����%��!���(�?#

f = *N

0���,5:���)��4-������2

f

F

...3 z)..3 z)..

N )

mg

��������

- ��*<�9,+*,9�����,�9,+��29<;<x���+�9����9:<5 )s > 9,+��29<;<x���+�9����(0�? )k

�9+3 (���9,+��29<;<x���+�9�����3�*<�9,+*,9@5�02�/�/��(����,�943@))������3� 99�.) - @���9����9:<5 �+�(6���.�5�3�+������@���9����(0�? �9+3�� - @���9����9:<5�+4�3�,5:���<�+��04�3��� ()sN) > @���9����(0�?()kN) �9+3 - @���=<�<�<�� N +�<�5,-�D���,)*<�9,+*,9�9+3 - �-6���,��3��,5:� W = mg +�<�<��0�9/��/��?�0���3��0��9+3

Page 13: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 12

� 0���,5:��<-������,�)��4-��/��2�)4-3�*<�+,��,)�4-�:���3����53,����(233�@��+�������,� ����2��5�?

� �������� 8

33�@����@���2,) *0,��0�3��)�� ��+�0 10 kg �����04�3���@))�:0��)��4-��) �0�3���<�+��04�3����+4�3���@����� 70 N �0,�(���,-��0�3���04�3�����������+��7����� ���12�����@��*0,���� 40 N (���

�. @���9����9:<59/�9� @029,+��29<;<x���+�9����9:<5�2�����*<��0�3��,)�4-� �. @���9����(0�? @029,+��29<;<x���+�9����(0�?�2�����*<��0�3��,)�4-�

��)�&����1���I �����$� $����A��T�!� P �0��� ��)

�. fs = ? , )s = ? @���9��������<� -��+4�3�,5:���<�+��04�3��� �43@���9����9:<59/�9� fs

�<(��1��/�@�� @����@���2,) ∑ Fx = max

F | fs = max 70 | fs = 10(0) (��0�!���� ��� ! ax = 0) ! fs = 70 N Ans ��9,+��29<;<x���+�9����9:<5 )s (�� fs = )sN --- (1) �<(��1��/�@�� @����@��<�� ∑Fy = may

N | mg = may N | 10(10) = 10(0) (0�!���� ��� $��)A ! ay = 0) N = 100 N @���� N = 100 �� (1) fs = )sN 70 = )s(100) ! )s = 0.7 Ans

fk = ?

v ����

F = 40 N

N

mg

)k = ? fs = ?

v = 0 �,��+���04�3���

F = 70 N

N

mg

)s =?

m = 10 kg

Page 14: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 13

�. fk = ? , )k = ? @���9��������<� -��+4�3�,5:���04�3�����@0�� �43@���9����(0�? fk

�<(��1��/���93� @����@���2,) ∑Fx = max

F | fk = max 40 | fk = 10(0) (���� ��� ) �� v ��� ! ax = 0) ! fk = 40 N Ans ��9,+��29<;<x���+�9����(0�? )k (�� fk = )kN --- (1) �<(��1��/���93� @����@��<�� ∑Fy = may

N | mg = may N | 10(10) = 10(0) (0�!���� ��� $��)A ! ay = 0) N = 100 N @���� N = 100 �� (1) fk = )kN 40 = )s(100) ! )k = 0.4 (< )s ) Ans

��������

- �0,���������56�@�����3�@����4�3�(���-6���,��,5:� mg @02@���=<�<�<�� N �+4�3�,5:����3�/�)��4-�

�+4�3�,5:����3�/�)��4-��+����(2��.��4-���)��43�4-��3��� @��@����4�3�(���-6���,��,5:� mg (2+�<�<��0�*���(��/��?:����3��,5:��,-� 9���@���=<�<�<�����4-���26��,)�,5:� N (2+�<������������,5:� @023�/���@��5,-�D���,)�4-� 1 56�@������9,+*,9�,)�,5:� ��������/���4�3���92��5�3����6���1 3�(�����56�@����@�� mg @02 N �04�3�� -�0����3�/���@��@��(�9����2)�7��

- ���9,+��29<;<x���+�9����9:<5 )s ����(��@���9����9:<59/�9�

mg

N

(��/��?:��� N

mg

mg

N �4-���) �4-��3���

Page 15: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 14

� �������� 9

0,��)�� ��+�0 120 kg 5�0�+�(���:��2)2��3��� ���6�0,�@0��������+��7� 20 m/s :��0,��)��-�:05�+�4-�:��������0 50 m ( ���� (������@��5����������04�3����3��4-�:������26�5�30,� �120,�5�0�+�(���: (2��04�3���5�3����<��������,��,)�: ��+����+��7�5�� u ����,)���+��7��3��:���12�,-� ,��,-� u = 20 m/s 0,�(2��04�3����:0��)��4-�:����+����+��7�00���4�3� C (������04�3��� �����0,�+����+��7���0������@9����+����+����(���+�����)��<� -� �+4�3+����+���� �75�3�+�@��+���26�5�+�=��3�� 2 �3��<�5,� @02@����+���26� �12��0,��:0��(�����<���43@���9����(0�?�2�����*<��4-�:���,)0,� @02+�<�5��������04�3����3�0,� :���+�+�@���9���� ��43@��5��������04�3���� C 0,�(2��04�3���5�3��������+��7���������,) 20 m/s 5�+�=��3�� 1 �3��<�5,� (�� ∑F = ma (2�� f = ma --- (1) �� f �& m 0�!�& a ! �� a �!� �� a (�� v2 = u2 + 2as (��� ������� ��� $����) 0 = 202 + 2a (50) a = -4 m/s2 (a �A) B ��%�������!����AC��� ����� u) @���� a = -4 �� (1) f = ma f = 120 (-4) f = -480 N ($��A) B $�)�!����AC��� ������AC������ ��� �����+) ! @��5��������04�3����3��4-�:��+���� 480 N Ans ���������� 10

33�@�� 500 N 6�+�+ 37° �,)@���2,),��/� ��,5:�+�0 40 kg 8 �����3�/�)��4-�+�9,+��29<;<x���+�9���� 0.4 �����04�3�������@���2,) (������+�����3��,5:�

���)�&����1���I "A���T�����+���� ���� ��� 0��0���"�(����$� ���+) ��!$��� ����*������$����A��T�� ��� ��� �0�”

u = 20 v = 0 " ���

m

s = 50

t = 10 f = ? m

<������04�3����3��:

m = 120

��!�� � ��)�&����1���I �����$���(��)�� ����*��������+”

500 N N 37°

Page 16: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 15

��4�3�(���,5:���04�3�������@���2,) ��4�3�������������6���1 (2@5�@�� 500 N ���3�/����2))�<�,D�� (x-y) ��3� �<(��1�@���2,) �����+���� a �3��,5:� (�� ∑Fx = max (2�� 500 cos37 - f = ma --- (1) �� a �& m 0�!�& f ! �� f �!� (�� f = )N �& ) 0�!�& N �<(��1�@��<�� ��@���=<�<�<�� N (�� ∑Fy = may (2�� N + 500 sin37 - mg = may

N + 500(3/5) | 40(10) = 0 (0�!���� ��� $��)A ! ay = 0) N = 100 N @���� (2�� f = )N = 0.4(100) = 40 N @���� f = 40 �� (1) 500 cos37 - f = ma 500(4/5) - 40 = 40a ! a = 9 m/s2 Ans

a = ?

500

37° 500 cos37

500 sin37

x

y

f N

mg m = 40

)= 0.4

�������!���(�!� ���.��������)����� �*���)���� ��%����.��������)������I $� 1���I0�!���+2�)���$�!���� �& � �"�����A)�T�����+���� ��� � �����+0�!���� ��� ����%����.��������)�����A�#

��������

- �0,�������9+��� ∑F = ma 5�+�=��3 2 �3��<�5,� ∑F �43*0��+(@))����53�?)�3�@�� ��43@��0,�;?��6�����,5:�+�0 m ��04�3�����������+���� a ��<��������,)@��0,�;?�,-� ��4�3������������6����+�����( ∑F 3�(������+�+������+��: �@��,-��+���9�<+�����04�3��� 0)���@��,-��+��5��������04�3����7��

m

mg

N

f

T F

a ∑F = ma F�9�<+ | F5��� = ma F | T | f = ma

Page 17: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 16

� �������� 11

@���3����53,��� �� ���)�@*����2�������6���.��4-��3��� 9,+��29<;<x���+�9���� �2�����93�*<�+���� )s = 1.0 @02 )k = 0.80 (������+�+ θ ���4-��3���6��,)@���2,)��6����@���3����5��<�+��04�3��� @02�0,�(����04�3���@0��@���3����5(2+����+�������� :�����+�+�+���0����@�0� ���)�&����1���I �����$���(��)�� ����*��������+ ���*��� �'�"� $��$� �^_��1���I0) !����(���%�����A����!� ������*�1���I a�A��I#

��+�+ θ ��6����@���3����5��<�+��04�3��� @9����@���9��������<� -���.�@���9����9:<5��+����+����9� �<(��1�5�+@���3����3��4-�(2�� (�� ∑F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg sinθ - fs = ma @5� a = 0 (�,��+���04�3���) ! mg sinθ = fs --- (1) �� fs (�� fs = µs N �/� µs �+��/� N �<(��1�@��5,-�D���,)�4-��3��� ��@���=<�<�<�� N (�� ∑F = ma (2�� N - mg cosθ = ma

N - mg cosθ = 0 (0�!���� ��� $����(,�����"�(��� ! a = 0) N = mg cosθ

“$���(��)��%�$��� ����*��������+�� "A���T�0�!�2!$��� ����*����"�(�����A � � ���A������I�� ����+$���2 $��� ����*��������+��!���(� ��� ��)�&�$� �����F��!���$�����*��������+��b����� 3 $��� $���� ����(*����������+ w = mg ���AC)A ���� , $�����)����"�(��� �A������� f ��

$���������"�(�����AC��(������������� ��� �����+�� "������� ��� �, $��$��GA�A�A���"�(� N ���AC��(,�����"�(���� �����(�$��$���� ����(*����������+���%� 2 $���� ��(,������� mg sinθ $�� mg cosθ )��&�”

θ

N

mg sinθ

f

mg cosθ

W = mg

θ

"+�+��- 90-θ !+�+

����043:,���43 θ +�+K���� ��+�,��� 180 �����+��,)

Page 18: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 17

@���� N (2�� fs = µs N = 1.0 mg cosθ = mg cosθ @���� fs �� (1) mg sinθ = mg cosθ

-./θ01-θ = 1.0

tanθ = 1.0 ! θ = 45° Ans �����+�����3�@���3����5 �0,�(����04�3���@0�� @9����@���9��������<� -� ��.�@���9����(0�? �<(��1�5�+@���3����3��4-�(2�� (�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg sinθ | fk = ma mg sinθ - µk N = ma mg sinθ - µk (mg cos θ) = ma (N = mg cos 2) 10 ( �

√�) - 0.80 (10)( �√�) = a (���) �� m ��(�� �)

! a = √2 = 1.414 m/s2 Ans � �������� 12

33�@�� 90 N *0,��,5:�+�0 10 kg 8 ��3�/�5<3�/��,)+�0 20 kg �����04�3���)��4-�04��,��/� (��� �. ���+�����3�+�0,-�93� �. @����26��2�����+�0,-�93� �. :��@�� 90 N ��26����+�0 20 kg ���+����@02

@����26��2�����+�0,-�93�(2��.������

�. ���+���� a = ? (�� ∑ F = ma

��������

- (���(�?(2��7��������+�(6���.�5�3��/����+�0 m �79�+��:�6���1���6�53)33�+��� ��9+���(25,�,�������3� ���6��(�?����,���������/� �����9/5� ��439+�������������3�0�����3� @0����3��6�(,5,�@�����025,� 3����<����(�?�+�������+� ���6��+��� ����(��7� C ��3� C �<��@0���,�������7(26����3���,)

90 N 10 kg 20 kg

a = ?

�4-�04�����@���9����

Page 19: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 18

��43 F�9�<+ | F5��� = ma �+4�3�<,-��2)) m = 10 + 20 = 30 kg (�'�"����� �����%�� ��)���)

(2�� 90 = 30 (a) ! a = 3 m/s2 Ans

�. @����26��2�����+�0 R

@��+�0,-�93���3�33�(���,������@������26��,)+�0@5�02��3� �<(��1���+�0 10 kg

�<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma

90 - R = 10 (3) ! R = 60 N Ans �<(��1���+�0 20 kg

(�� ∑ F = ma

��43 F�9�<+ | F5��� = ma R = 20 (3) ! R = 60 N Ans (��!������ ����*������� 10 kg)

@����26��2�����+�0 9�+��:����(������<(��1���+�0��3���7�� (2���6�53)����,� �.

�����+���� a = ?

�$�����*�����!���� R ��%�$��&!�A�A��-�GA�A�A�� ����!������(� �����)��!�����AC�������� ����� $������*��������+����� � ����E� 3 ��A����” 10kg

90 N R

a = 3 m/s2

20 kg R

a = 3 m/s2

90 N 10 kg 20 kg

a = ?

Page 20: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 19

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma

�+4�3�<,-��2)) m = 10 + 20 = 30 kg (2�� 90 = 30 (a) ! a = 3 m/s2 Ans (������!��!���� 0�!�!�������) ���))

�<(��1���+�0 20 kg

(�� ∑ F = ma

��43 F�9�<+ | F5��� = ma 90 - R = 20 (3) ! R = 30 N Ans ($�����*�����!���� 0�!��!�����*���� �.) �<(��1���+�0 10 kg

(�� ∑ F = ma

��43 F�9�<+ | F5��� = ma R = 10 (3) ! R = 30 N Ans

20 kg

a = 3 m/s2

R 90 N

10kg R

a = 3 m/s2

��������

- �����+��.�(�<� �,5:����3�/�)��4-�(2+�@����4�3�(���-6���,��3�5,�+,��3� mg @02@���=<�<�<���3��4-� N ��26��,)�,5:���� ���@��,-�93��+�+�*05�3����6���1 ��43��������3��,)9<�����(�?5�3���� �7�+�(6���.�5�3������0������/��7�� @5����5�3��/��3����+�@��,-�93���26�3�/����

Page 21: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 20

� �������� 13

@�� F ��� 120 N �+�0 5 kg 8 �����5<�,)+�0 10 kg @02 15 kg �����43��)� (������+���� @�� ����9����43� T1 @02 T2 :��9,+��29<;<x�3�@���9���� µ = 0.10 �����+���� a �<(��1�,-��2)) �<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� F - f1 - f2 - f3 = ma F - µN1 - µN2 - µN3 = (m1+ m2 + m3)a 120 - µ(N1 + N2 + N3 ) = (15 + 10 + 5)a 120 - 0.1(15(10) + 10(10) + 5(10)) = 30 a ($���!� N = mg) ! a = 3 m/s2 Ans ��@�� ����9����43� T1 �<(��1���+�0 15 kg �<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑ F = ma

���)�&����1���I �����$���(��)�� ����*��������+”

���$����2�� T1 1)���)�!���!����!���� 10 kg $�� 15 kg "A���T��� ��� 15 kg��!$��� ����*���� m1 �0�#

15 kg 10 kg 5 kg T1 T2 F

m1 m2

m3 T1 T2 F

a = ?

f1 f2

N2

m1g m2g m3g

N1 N3

f3 µ = 0.10

m1

m1g f1

T1 = ?

N1 a = 3 m/s2

Page 22: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 21

��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T1 - f1 = m1a T1 - µN1 = m1a T1 - µ m1g = m1a T1 = m1(a + µg) T1 = 15(3 + 0.1(10)) ! T1 = 60 N Ans ��@�� ����9����43� T2 �<(��1���+�0 5 kg �<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� F | T2 | f3 = m3a F | T2 | µN3 = m3a F | T2 | µ(m3g) = m3a 120 | T2 | 0.1(5x10) = 5(3) ! T2 = 100 N Ans

��������

- @�� ���43� @��5 ���43� ��43���+5 ���43� ���9����43�+�0�)� :43���+��������,�503���+����9����43� @02��9����3��9����43�(2+�@�� �8 ���,�@02�,� 6�����9����43�5 � �+4�3�<(��1��,5:�@5�02�<-�����4�3+5�3�,�����9����43����@��33�(���,� ����<�9+43�����3�������+�5,�9����43������33�(���,� @0���9�@�� ���43�@5�02�0���3��9����43���:/�5,

m

mg

���+5 ���43� T T T

m

mg

m1 m2

F T

m1 m2

F T T

m3

m3g

N3

f3

T2 = ? F = 120 N

a = 3 m/s2

Page 23: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 22

� �������� 14

@�� 80 N ��,5:�+�0 2 kg @02 3 kg � -���@��<��,��/� :���+��<@��5����3�3���� (������+����@02���+5 ����9����43� �����+���� a �<(��1�,-��2)) ����<�9+43���)��++�0,-��+��.���3����� @�� ���43� T :43�����.�@��K�����2))�+��6�+��< �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� F | m1g | m2g = (m1 + m2)a 80 | 2(10) | 3(10) = (2 + 3)a ! a = 6 m/s2 Ans

��@�� � ��43���+5 ����9����43� T �<(��1�+�0 3 kg

3 kg

2 kg

F = 80 N

T a

a = 6 m/s2 m2

T = ?

m2g

a = ?

m2

m1

F = 80 N

m1g

m2g

Page 24: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 23

�<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | m2g = m2a T | 3(10) = 3(6) ! T = 48 N Ans � �������� 15

+�0 2 kg @02 3 kg @���3�/����0����43��0�3�*����3�04��,��/� :����43�@02�3�+�+�0��3�+�� (��� ���+���� @02@�� ����9����43� �����+���� a �<(��1�,-��2)) +�0 3 kg 8 ����,�����(2��04�3���0� 9���+�0 2 kg (2��04�3���� -� +�0,-�93���04�3������������+���� a ����,� @5�<���5�����+�,� �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� m2g | m1g = (m1 + m2)a 3(10) | 2(10) = (2 + 3)a ! a = 2 m/s2 Ans

���)�&����1���I �����$�'������(��) �� ����*��������+”

T T

2 3

a = ? a = ? m1 m2

m2g m1g

Page 25: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 24

��@�� ����9����43� �<(��1�+�0 2 kg �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | m1g = m1a T | 2(10) = 2(2) ! T = 24 N Ans � �������� 16

(���/� (������+���� @02@��5 ���43���*/��2�����+�0@5�02��3� :�������*<�9,+*,904�� �����+���� a �<(��1�,-��2)) (���/�9++5<����,5:���04�3���0�+���+�0 m1

(�� ∑ F = ma

���!$��� ����*��������+��(��) ����A�� ����+���� ��� 0����AC���)����� ����+�������)������! a ��!�����"����!��� �!�����)� ��������#

T = ? a = 2 m/s2

m1

m1g

10 kg

37°

T2

T2

T1 T1

10 kg

15 kg

25 kg

��*<�9,+*,904�����@���9����

10 kg

37°

m2

m3

m1

m2g m2g cos37

m2g sin37

N

m1g

m3g

a

a

a

Page 26: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 25

��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� m1g | m2g sin37 | m3g = (m1 + m2 + m3)a 25(10) | 10 (10)(3/5) | 15(10) = (25 + 10 + 15)a ! a = 0.8 m/s2 Ans ���+���� a ��.�)�� @9�����,5:���04�3�������<�5�+��9++5<��� ��� a ��.�0)(2��04�3�����<�5�����+�,)��9++5< ��@��5 ����9����43� T1 �<(��1���+�0 m1 �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� m1g | T1 = m1a 25(10) | T1 = 25(0.8) ! T1 = 230 N Ans ��@��5 ����9����43� T2 �<(��1���+�0 m3 �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T2 | m3g = m3a T2 | 15(10) = 15(0.8) ! T2 = 162 N Ans

T1 = ?

a = 0.8 m/s2 m1

m1g

T2 = ?

a = 0.8 m/s2 m3

m3g

Page 27: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 26

3.4 �������������.���>EF;��>�8��@-�1 ������-6���,��3��,5:�(�����4�3��,�� ��435��,-�9��<�+��<;��������3������ �,������(2��������/����,���3��- �/��� 1 @02 2 ����-6���,��3��,5:���3�����(��5��,��9��<�(2+��������,)@��5 ���43� T �/��� 3 ����-6���,��3��,5:���3�����(�����4�3��,��(2����,)���@���=<�<�<�� N �����4�3��,����26��,)�,5:�

� :������4�)����4�3��,��3�/���0<A? ���0<A?��5,����(23�/���9K��3������? @02���4�3��,��(23�������-6���,��������?

� �������� 17

(,)�0������� ���3�5��,��9��<���+�+�0 1 kg */�5<3�/� 5��,��9��<�(23�������������:������,5:� �. 3�/��<�� �. ��04�3���� -�������+��7����� �. ��04�3���0�������+��7����� �. ��04�3���� -�������+�������� 0.5 m/s2 (. ��04�3���0�������+�������� 0.5 m/s2

��������

- @��5 ���43����0�3�*����3�@5�02���(2+��������,��9+3

1 m1

T1 T1

T2 = 2T1

1 m2

T1

T2 = T1/2

1 m1

T2 = T1/2

m m = 1 kg

�/��� 1

mg

T m

�/��� 2

m2g m g

m1g

T

T T

T m1 m2

�/��� 3

mg

m m

N

Page 28: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 27

5��,��9��<�(23�������� ����,)@��5 ���43���@���@02*/�5<�,)+�0 �. �,5:�3�/��<��

�<(��1����,5:� �9�@��,-��+����26��,)�,5:� @02��<+�1����������3�0������/�

�<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | mg = ma T | 1(10) = 1(0) ! T = 10 N (��!�����(*����������+) Ans

�. �,5:���04�3���� -�������+��7����� �<(��1����,5:� �9�@��,-��+����26��,)�,5:� @02��<+�1����������3�0������/�

�<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | mg = ma T | 1(10) = 1(0) ! T = 10 N (��!�����(*����������+) Ans

�. �,5:���04�3���0�������+��7����� �<(��1����,5:� �9�@��,-��+����26��,)�,5:� @02��<+�1����������3�0������/�

m

mg

����<�� a = 0

T

m

mg

v ���� , a = 0

T

m

mg

v ���� , a = 0

T

Page 29: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 28

�<(��1������04�3�����@��<�� (�� ∑ F = ma

��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg | T = ma 1(10) | T = 1(0) ! T = 10 N (��!�����(*����������+) Ans

�. �,5:���04�3���� -�������+�������� 0.5 m/s2 �<(��1����,5:� �9�@��,-��+����26��,)�,5:� @02��<+�1����������3�0������/�

�<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | mg = ma T | 1(10) = 1(0.5) ! T = 10.5 N (�����!��(*����������+) Ans

(. �,5:���04�3���0�������+�������� 0.5 m/s2 �<(��1����,5:� �9�@��,-��+����26��,)�,5:� @02��<+�1����������3�0������/�

�<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg | T = ma 1(10) | T = 1(0.5) ! T = 9.5 N (� ���!��(*����������+) Ans

m

mg

a = 0.5 m/s2

T

m

mg

a = 0.5 m/s2

T

Page 30: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 29

� �������� 18

�,5:�+�0 5 kg @0215 kg */�5<�,)5��,��9��<�,��/� 5��,��9��<�(23������������ 5��,��9��<�(23�������� ����,)@��5 ���43���*/�5<�,)+�0 ��@��5 ���43��9�������,�(2+��������,�503 �<(��1����,5:� �9�@��,-��+����26��,)�,5:� @02��<+�1����������3�0������/� (���/� �,5:�(2��04�3���0�+���+�0��+�������43+�0 15 kg ��04�3���0� 9���+�0 5 kg ��04�3���� -� �<(��1������04�3���,-��2)) ��4�3�����+���� a

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� m1g | m2g = (m1 + m2) a 15(10) | 5(10) = (15 + 5)a ! a = 5 m/s2 ��@��5 ���43� T �<(��1���+�0 m2 �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | m2g = m2a T | 5(10) = 5(5) ! T = 75 N Ans

15 5

m2g m g

m1g

T

T T

T m1 m2 a

a

a

m2

m2g

a = 5 m/s2

T = ?

Page 31: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 30

� �������� 19

;<�����+�+�0 100 kg +���070,)�����0�-6���,� �����043������� ���� �����+�5�3�3���� ��43��33��6�0,����������4�3� 9�+��:6���@02��*0,�5���7� �<;��3��;3�7�43 �����4�3��,���-6���,���������0<A? )3�������+0<A?),��,)0<A?�����04�3���0�������+�������� 5 m/s2 (���,-��;3� -����4��<-+)����4�3��,�� �,�������<��� ;<�����(29�+��:0�-6���,���3�������/�����43�+� @02���4�3��,��(23�������-6���,��;3������� 0<A?��04�3���0����0���� a = 5 m/s2 �<(��1������04�3����3��,5:�(��)��@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg | N = ma 100(10) | N = 100(5) N = 500 N ! 5��,��(23����� = 50 �<�0��,+ ��.�(�<�,�;<�����)3� Ans ���������������F)�������)�(*����� $��HA)�2 ���(0��2 �F0) ��!!”

� �������� 20

(���(�?5,�3������ 20 ����,������������-6���,���3�����(�����4�3��,�� ��.��<�0��,+ ���),��,)0<A? �����04�3�����

�. 0<A?3�/��<�� �. 0<A?��04�3���� -�������+���� 1 m/s2 �. 0<A?��04�3���� -�������+����� 1 m/s2 �. 0<A?��04�3���� -�������+��7����� 1 m/s (. 0<A?��04�3���0�������+���� 1 m/s2 D. 0<A?��04�3���0�������+����� 1 m/s2 �. 0<A?��04�3���0�������+��7����� 1 m/s 8. 0<A?��

���)�&����1���I �����$���(��)�� ����*��������+���� ��(��HA)�2 � �� �*�0� �!��!��(*������� !��0) ������� 2� �F��$��GA�A�A�� N ����� 2� �� ����*��������+ J� �����)��!����$��A�A���� ����+����*�������� 2� $�!���AC����� ����� ����E� 3 ��A����”

N

a = 5 m/s2

mg

Page 32: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 31

�.0<A?3�/��<�� a = 0 ∑ F = ma N - mg = 0 N = mg N = 100 (10) = 1000 N ! 5��,��(23����� = 100 �<�0��,+ Ans �. 0<A?��04�3���� -�������+���� a = 1 m/s2 ∑ F = ma N - mg = ma N = m (a + g) N = 100 (1 + 10)

N = 1100 N ! 5��,��(23����� = 110 �<�0��,+ Ans �. 0<A?��04�3���� -�������+����� a = -1 m/s2 ∑ F = ma N - mg = ma N = m (a + g) N = 100 (-1 + 10)

N = 900 N ! 5��,��(23����� = 90 �<�0��,+ Ans �. 0<A?��04�3���� -�������+��7����� v = 1 m/s ! a = 0 ∑ F = ma N - mg = 0 N = mg N = 100 (10)

N = 1000 N ! 5��,��(23����� = 100 �<�0��,+ Ans (. 0<A?��04�3���0�������+���� a = 1 m/s2 ∑ F = ma mg - N = ma N = m (g - a) N = 100 (10 - 1)

��A`�I��+)�A �F�����2� �(*��������A��"�(�”

��A`�I���� ��� ��(�) ��������! ��%���� $�)�!����� ��� ) ��������F��"A ���(��� *���� ����A����������!������ 2 0 ��*�0) ������”

��A`�I���� ��� ��(�) ��������!� a ��%�- $�)�!����� ��� ) ��������F��)��� *���� ������� ����I0J)I��������������A �”

��A`�I���� ��� ) ��������F���� !������!��%�C+��I ��� P �F�& ”

N

a = 0

mg

N

a = 1 m/s2

mg

N

a = -1 m/s2

mg

N

v ���� a = 0 mg

N

a = 1 m/s2

mg

Page 33: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 32

N = 900 N ! 5��,��(23����� = 90 �<�0��,+ Ans D. 0<A?��04�3���0�������+����� a = -1 m/s2 ∑ F = ma mg - N = ma N = m (g - a) N = 100 (10 - (-1))

N = 1100 N ! 5��,��(23����� = 110 �<�0��,+ Ans

�. 0<A?��04�3���0�������+��7����� v = 1 m/s ! a = 0 ∑ F = ma mg - N = 0 N = mg N = 100 (10)

N = 1000 N ! 5��,��(23����� = 100 �<�0��,+ Ans

8. 0<A?�� a = g ∑ F = ma mg - N = mg

N = 0 N ! 5��,��(23����� = 0 �<�0��,+ Ans

� �������� 21

������� ��+�+�0 50 kg �4�3�/�)�5��,�� ��0<A?���6�0,���04�3���0�������+���� 0.5 m/s2 ���12�����,� ������+43������ �� ���43�����3�0�+�(������0<A? 5��,����7+��-�� 40 kg (���@��5 ����9����43�

��A`�I��)!! �g�! HA)�2 ����&!���'�"0� �(*����� $�� ���� ��� �!�A���'���� $�)�)&)�1��

) ��������! a = g”

N

a = -1 m/s2

mg

N

v ���� a = 0 mg

N

a = g

mg

Page 34: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 33

(���/� �����@��,-��+����26��,)�,5:�(��) @02��<+�1����������3�0����/� �<(��1������04�3����3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg | N | T = ma 50(10) | 400 | T = 50(0.5) ! T = 75 N Ans � �������� 22

),���6���3�+�0 40 kg �4��,���-6���,�)�0�3�04�3�+�0�)� 8 ����04�3���0�5�+�4-��3���04��6�+�+ 30� �,)@���2,) �-6���,���3�����(��5��,����.�����<�0��,+

(���/� �����@��,-��+����26��,)�,5:�(),���6���3�) @02��<+�1����������3�0����/�

�(�?5�3����������-6���,���3�����(��5��,�� ��43@���=<�<�<�� N 8 ��3�/���@��<�� ��4�3�����������1�6���1(2�����+������@��<����3� @0��( ������ N

T = ?

mg

N = 400 N

a = 0.5

30°

5��,��

30°

N

mg

mg sin30

a

N = ?

mg ay 30°

ax = a cos30

ay = a sin30 a

Page 35: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 34

�<(��1������04�3�����@���3����3��4-� @����6�����,5:���04�3���0�+�5�+@���3����43 mg sin30 8 ��@5�33�+�(��@�� mg

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg sin30 = ma a = g sin30 = 10(1/2) a = 5 m/s2 ! ay = a sin30 = (5x1/2) = 2.5 m/s2 �<(��1������04�3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg | N = may

40(10) | N = 40(2.5) N = 300 N ! 5��,��(23����� = 30 �<�0��,+ Ans

� �������� 23

������� ��+�0 70 kg �����43�8 ��@�����3�0�+�(������ (������+5 ��3���43��+4�3����5���43�

�. � -�������+�������� 1 m/s2 �. 0�������+�������� 1 m/s2

�.�5�� -���� a = 1 m/s2

�<(��1������04�3����3�����@��<��

(�� ∑ F = ma

���)�&����1���I �����$���(��)

�� ����*��������+(��)�� ��� $�)������ ��2�� T ���AC��(� $���(*���������+ mg”

mg

a = 1 m/s2

T

Page 36: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 35

��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | mg = ma T | 70(10) = 70(1) ! T = 770 N Ans

�. �5�0���� a = 1 m/s2

�<(��1������04�3����3�����@��<��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� mg | T = ma 70(10) | T = 70(1) ! T = 630 N Ans �� ����0�!�2����(� ����) ��������F���� $������� ��2������%���!�0�?”

� �������� 24

0<��������+�0 8 kg �����43� ���0����43��0�3�*����3� +��0������43�� ��+�0 10 kg */�5<3�/�0<�(25�3��5���43�3������( �(26�����0���3�/��<��

�0���3�/��<��@9����0<�5�3��5�� -� ��4�3�(��+�+�0��3����� �0���3�/��<�� ! ���+�����3��0��� a1 = 0 �<(��1����0���

(�� ∑ F = ma

mg

a = 1 m/s2

T

T

m1g

a1 = 0

Page 37: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 36

(2�� T = m1g �+4�3 a = 0 T = 10(10) ! T = 100 N �<(��1���0<�

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | m2g = m2a2

100 | 8(10) = 8 a2

a2 = 2.5 ! 0<�5�3��5���43�� -�������+���� 2.5 m/s2 Ans

� �������� 25

(���/��0�3� 2 �) ���8�3��,� :��9,+��29<;<x���+�9�����2�����9,+*,9��*<���.� 0.25 (������+���� @02@��5 ����9����43�

�<(��1����0�3�)� �<(��1����0�3�0���

�1���I� ��(��%�����!��� )� �� ��������0) �)�������� ��� �E� 3 ��A���� $�������!$�����*��������+�� "A���T�”

�����F�0) �!� $��GA�A�A�� N1 �� ����*������!��(����!���!�����(*��������!���� �!��$��GA�A�A�� N2 �� ����*������!���!����!���!�����(*��������!��(���������#

a2 = ?

T

m2g

6 kg

4kg F = 100 N

f2

f1 N1

N2

T F = 100 N

m2g

a

f1

a

N1

T m1g

Page 38: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 37

�<���0�3�)� m1 = 4 �� �<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� T | f1 = m1a T | )N1 = m1a T |0.25(4x10) = 4a T = 4a + 10 ---- (1) �<���0�3�0��� m2 = 6 ��

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� F | T | f1 | f2 = m2a @���� T (�� (1) @02 f = µN F | (4a + 10) | )N1| )N2 = m2a �+4�3 N1 = m1g , N2 = N1 + m2g (2�� F | (4a + 10) | )m1g | )(N1 + m2g) = m2a 100 | (4a + 10) |0.25(4x10) | 0.25(4x10 + 6x10) = 6a ! a = 5.5 m/s2 Ans @���� a �� (1) T = 4a + 10 T = 4(5.5) + 10 ! T = 32 N Ans ������A)��(�����F0) �*��������� ��!$� �

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma F - f2 - f1 - f1 = (m1 + m2)a 100 - 0.25(10x10) - 0.25(4x10) - 0.25(4x10) = 10a ! a = 5.5 m/s2 Ans

Page 39: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 38

� �������� 26

(���/�(������+����3������3���9��3��: ��(2�+�6�����)�+����0<�+�5<��������2(��: 5�0�+� :��9,+��29<;<x���+�9�����2�������2(��:@02�)�+�����,) 0.50 (�+��<@���22�3�0+) �<(��1����)�+�

�<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑ F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� N = ma --- (1) �<(��1������04�3�����@��<�� �,5:��+�+������04�3�����@��<�� (2�� f = mg )N = mg N = mg/) @���� N �� (1) N = ma --- (1) mg/) = ma a = g/ ) �������� )� ���)���0�!����������� # a = 10/ 0.5 ! a = 20 m/s2 Ans

�1���I� ��( � �0�!��)�&��������U�$���A)0�!� $�!� �0) ���)�&� ��!$���(��)�� ����*��������+�0� ����F�'�"$����$� �h_���� $����!�� ,���(���)�&� ��!$��+����(�� �*�1���I������#

a

a = ?

N

f

mg

Page 40: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 39

� �������� 27

(���/�(��������43���*/�5���5� @���5<�,)�����:5/� (26�+�+�����,)@��<�� :������:5/���04�3���������+���� 10 m/s2

�<(��1���5���5� �<(��1������04�3�����@���2,)

(�� ∑F = ma ��43 F�9�<+ | F5��� = ma (2�� Tsinθ = ma --- (1) �<(��1������04�3�����@��<�� �,5:��+�+������04�3�����@��<�� (2�� Tcosθ = mg --- (2) (1)/ (2) , Tsinθ/ Tcosθ = ma/mg tanθ = a/g tanθ = 10/10 tanθ = 1 ! θ = 45° Ans

���)�&����1���I �����$���(��) �� ����*��������+”

a = 10 m/s2

T

Tsinθ

mg

Tcosθ θ

a = 10 m/s2

θ

��������

- �+�����(�?(233�+�3������ �0<�@�0����50)�75�+ �74�>�/;! ������/� �9�@����43��<+�1����������3�0������/� (���,-�������+�<�����.���4�3�32�� �����9+�������������3�0��� @0������1<5��95�?@��9+������6�53)33�+���3����9)�� C ���^_�6��(�?)�3� C 8-6� C �0�� C �3) (26�����,������+�,��2�����@������� @02�<����7�� -������,)

Page 41: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 40

3.6 �I��2J2K2� ��4���.��1�>�� �<�5,����6�*0���9,���5�3��,������95�?,-��0��+�9������ �������(,��? ��43�����+��(��3)�0� �0�@02������2�?5���C ��(��3)��3�<5�?�� ��4�3�(��+�@����26��2���������@5�02�/� 8 ����.�@�� �/�2�����+�0�3����� ��43�,5:�����<���3�K� �=@�� �/�2�����+�0�3��<�5,�+��(���+��9������

L��>EF������7/����:0; �����2J2K2MJ������ ��� 627.��2.���2J2K2� ��4���>EF�K4��J�;

�-�N��>����N��KO� ��4�����>EF���@� �� ; �-�N�N����������@�.�� 7 �4�� ��4���>EF���@�

����P

��� ��F��........#

�+4�3 m1 @02 m2 ��.�+�0�3��,5:�,-�93� R ��.��2�2�����3��,5:�,-�93� G ��.������5,����+���+:���9��0+���� 6.673 x 10-11 Nm2/kg2 FG ��.�����3�@�� �/�2�����+�0 ���9�+��:��+�0�3��0� ��43+�0�3�������2�?��34��C ��������q@�� �/�2�����+�0�3��<�5,� �+4�3����,5:����)��0� ��43)�������2�? @�� �/�2�����+�0�3��,5:��,)+�0�3��0�+��������,)�-6���,��3��,5:� ��43@�� �/�3��0�����26��,)�,5:�

(�� FG = 3����

4�

mg = 3��5

45�

me = 645�

3

FG = 7898:

;:

m

mg FG Re

me

FG FG

R

m1 m2

@�� �/�2�����+�0�3��,5:�

FG FG m1

m2 R

�����+��(��3)�0�

Page 42: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 41

:���,�+��3��0� Re = 6.38 x 106 m ! +�0�3��0� me = 9.8(6.38 x 106)2/(6.67 x 10-11) me = 5.98 x 1024 kg ��������+������4�3�(�����+���+:��� �7����(���q@�� �/�2�����+�0�3��<�5,������,�

(�� FG = 3����

4�

mg� = 3��5

4�

! g� = 3�5

4�

��.�������+���+:����3��0� g� ���2�2 R (��(��/��?�0���0� � �������� 28

(���@�� �/�2�����+�0�3�3��K��93�3��K�� +�+�0 1.0 �<����,+ @02 2.0 ������,+ 3�/������,� 1.0 �+����+5� �6������ G = 6.6 x 10-11 Nm2/kg2 m1 = 1.0x10-12x10-3 = 1.0x10-15 kg m2 = 2.0x10-9x10-3 = 2.0x10-12 kg R = 1.0 x10-6 m

(�� FG = 3����

4�

@����(2�� FG = '.'=��>��=�.�=��>�?=�.�=��>��

��.�=��>@�

! FG = 1.32 x 10-25 N Ans

FG FG

R

m1 m2

m

mg�

FG

R

me

Page 43: 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

���������� – ��� �������� ��� ������������������ www.schoolDD.com 42

� �������� 29

������5?��,� 900 �<�5,� ��*<��0� :���3����,���-6���,� 1 56�@����������(��(��/��?�0���0� 3 ����,�+��0� ������5?(2��,������ ��)�&����1���I

(�� FG = 3����

4�

�+4�3 G , m1 , m2 +�������<+

(�����+9,+�,�;? FG � �4�

��43 �A��A�

= 4��

4��

@����(2�� �A�B��

= 4��

��4��

! FG2 = 100 N Ans

m

mg1

FG1 R1 me

��*<��0�

FG1 = mg1 = 900 N FG2 = mg2 = ?

���3��0�

m

mg2

FG2

R2 = 3R1

me